Κυριακή, 22 Φεβρουαρίου 2009

Η ρητορική της βιογραφίας

Η ομάδα ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ
σας προσκαλεί στην ομιλία του
ΜΑΚΗ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗ
μαθηματικού, πεζογράφου και κριτικού
με θέμα:

Η ρητορική της βιογραφίας.
Οι περιπτώσεις των Τζιρόλαμο Καρντάνο και
Εβαρίστ Γκαλουά


την Παρασκευή, 27 Φεβρουαρίου, στις 8:00 μμ
στο Κέντρο Ιστορίας Θεσσαλονίκης
(Πλατεία Ιπποδρομίου, 546 21 Θεσσαλονίκη, τηλ. 2310 264668)

Η βιογραφία ως λογοτεχνικό είδος, από τους «Παράλληλους Βίους» του Πλούταρχου και τα Συναξάρια έως τη Βικτωριανή Αγγλία, έχει μια μεγάλη παράδοση. Η συναρπαστική ζωή του τυχοδιώκτη, μαθηματικού και αστρολόγου Τζιρόλαμο Καρντάνο μας εισάγει στο ιστορικό πλαίσιο για την επίλυση των εξισώσεων 3ου και 4ου βαθμού, τα πρώτα μεγάλα προβλήματα που κατόρθωσαν να λύσουν ευρωπαίοι επιστήμονες από την εποχή των αρχαίων ελλήνων.
Ο τραγικός βίος του Εβαρίστ Γκαλουά, ο οποίος θεμελίωσε τη μοντέρνα Άλγεβρα, αποτελεί μια ξεχωριστή περίπτωση στην ιστορία των επιστήμης ή τον «θρίαμβο της μνημειώδους βλακείας επάνω στην αδάμαστη μεγαλοφυΐα», όπως έγραψε ο Ε. Τ. Μπελ. Οι διαφωνίες των βιογράφων για το θάνατό του αποτελούν ένα σημαντικό παράδειγμα για τη μελέτη των αφηγηματικών τρόπων τους οποίους μετέρχονται, αλλά και αφορμή για μια ενδιαφέρουσα περιπλάνηση πάνω στις αλήθειες και τις πλάνες των βιογραφιών.



πληροφορίες www.thalesandfriends.org
ή Κατερίνα Καλφοπούλου kalfokat@gmail.com

Πέμπτη, 19 Φεβρουαρίου 2009

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠΡΟΣΔΟΚΗΤΟ

"Αυτή είναι η δοκιμασία που έθεσα στον εαυτό μου να φέρει σε πέρας: να συνοψίσω, με λίγες εικόνες, τα Μαθηματικά του Χρόνου, που είναι το κοινό υπόβαθρο μεγάλου μέρους της σύγχρονης επιστήμης. Οι επιτυχημένες εικόνες έχουν έναν τρόπο να εντυπώνονται στο μυαλό μας και να επηρεάζουν όλες τις ακόλουθες αντιλήψεις μας. Αυτό αληθεύει τόσο για την επιστήμη όσο και για την τέχνη. Οι τρεις νόμοι του Κέπλερ, για παράδειγμα υπήρξαν κάτι πολύ περισσότερο από αστρονομική περιέργεια. Η εικόνα των πλανητών που περιστρέφονται γύρω από τον Ήλιο σε ελλειπτικές τροχιές έχει εντυπωθεί στο μυαλό ειδικών και μη, γενιές ολόκληρες. Είναι μια από τις σταθερές, αλλά ανομολόγητες, αναφορές της σύγχρονης σκέψης.
Στις μέρες μας μερικές εκπληκτικές εικόνες...[...]...είναι υποψήφιες για παρόμοια επιρροή.
Θα προσπαθήσω να παρουσιάσω ορισμένες τέτοιες εικόνες. Δεν είναι εύκολο εγχείρημα, επειδή οι ρυθμοί στις μέρες μας είναι τόσο εντατικοί, με νέα προβλήματα προς λύση, που πέφτουν πάνω σε επιμέρους λύσεις παλιών προβλημάτων, ώστε όποιος ασχολείται με επιστημονική έρευνα οφείλει να τρέχει πολύ γρήγορα απλώς και μόνο για να παραμένει στην ίδια θέση. Αλλά σίγουρα αξίζει τον κόπο..."


Είναι το οπισθόφυλλο από το βιβλίο του Ίβαρ Έκελαντ, "ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠΡΟΣΔΟΚΗΤΟ", εκδόσεις Δίαυλος, Αθήνα 1993! Ή ακόμα παραπίσω, τίτλος πρωτότυπου "MATHEMATICS AND UNEXPECTED", Published 1988 by the University of Chicago Press!
Είκοσι ένα ολόκληρα χρόνια πίσω! Γιατί κάνω αυτήν την επιλογή και δεν καταπιάνομαι με κάτι σύγχρονο που αφορά στο "απροσδόκητο"; Ή, όπως αλλιώς θα λέγαμε,που αφορά στη νέα Επιστήμη της Πολυπλοκότητας, αναζητώντας το δρόμο ανάμεσα στις κανονικότητες και στο τυχαίο, απολαμβάνοντας τις πανέμορφες, πολύχρωμες εικόνες των φράκταλ που κατακλύζουν τώρα πια το διαδίκτυο και προχωρώντας με ταχείς ρυθμούς στη εξοικείωση μου με τη νέα αυτή Επιστήμη; Παρασυρμένη μάλιστα από την εκδοχή πως η ζωή μας κινείται μεταξύ κανονικότητας και τυχαίου, υποθέτω πως θα έπρεπε να επισπεύσω την ενασχόληση μου με τις σύγχρονες θέσεις πάνω στο θέμα. Φαίνεται όμως πως το έχω βίτσιο να ξεκινάω από τις...πηγές, πιάνοντας το χρόνο από την ανάποδη κι αναζητώντας τους λόγους που ώθησαν σε μια τέτοια νέα θεώρηση (επινόηση ή ανακάλυψη, αυτό είναι μεγάλη και πολυσυζητήμενη ιστορία που δεν είναι της ώρας).
Έτσι για να διαβάσω το βιβλίο "ο θαυμαστός κόσμος των FRACTAL", από τις εκδόσεις Leader Books, του καθηγητή στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών, κου Τάσου Μπούντη, αναγκάστηκα να ξεκινήσω από το μακρινό παρελθόν και να ξαναδιαβάσω βιβλία που είχα από φοιτήτρια, μόνο που "ποταμοίσι τοίσιν αυτούσιν εμβαίνουσιν έτερα και έτερα ύδατα επιρρεί" και ας με συγχωρήσει ο Ηράκλειτος που αποτολμώ να γράψω σε μονοτονικό την πασίγνωστη ρήση του, αλλά δε διαθέτω πολυτονική γραμματοσειρά.
Έπεσα, λοιπόν, στο ποτάμι της αντιντετερμινιστικής θεώρησης και πασχίζω να αφεθώ στο ρέμα του, αλλά αυτό που συμβαίνει είναι να βρίσκομαι στην ίδια θέση!
Όμως, έστω κι έτσι, σίγουρα αξίζει τον κόπο.

Δευτέρα, 9 Φεβρουαρίου 2009

ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΙΑ ΔΙΑΦΟΡΑ...


Το βιβλίο του Γκιγιέρμο Μαρτίνες, "η ακολουθία της Οξφόρδης" δεν είναι καθόλου καινούριο και καθόλου άγνωστο...Είναι όμως ένα από τα αγαπημένα μου και - έστω και τώρα με λίγα χρόνια καθυστέρηση - θέλω να γράψω δυο λόγια, πόσο μάλλον που σε λίγο θα παίζεται και ως ταινία του Άλεξ ντε λα Ιγγλέσια. Μια ταινία που θα είναι απλά βασισμένη στο μυθιστόρημα. Το τονίζω, επειδή πιστεύω πως ο σεναριογράφος θα έχει κάνει τις δικές του παρεμβάσεις και θα έχει αποπροσανατολίσει πλήρως την πλοκή στοχεύοντας σε άλλα σημεία, σε πιο "ευπώλητα" κινηματογραφικά τερτίπια, από αυτά που ο Μαρτίνες, ως διδάκτορας ο ίδιος της Λογικής, είχε κατά νου, όταν συνέγραφε το βιβλίο του. Βέβαια δεν μπορώ παρά προβλέψεις να κάνω και δεν είναι καθόλου απίθανο να διαψευσθώ, κάτι που θα ήθελα άλλωστε προκειμένου η ταινία να καταδείξει την ουσία του μυθιστορήματος.
Στην ακολουθία της Οξφόρδης του Μαρτίνες στην οποία ο καθηγητής της Λογικής Σέλντομ, πρωταγωνιστεί μαζί με τον νεαρό αργεντίνο μεταπτυχιακό φοιτητή, που αφηγείται, όλη η ιστορία δομείται πάνω στην αέναη προσπάθεια του ανθρώπου να προσεγγίσει την Αλήθεια.
Ο Μαρτίνες χρησιμοποιώντας την πυθαγόρεια σέκτα, μια από τις αρχαιότερες προσπάθειες που γίνονται για την ερμηνεία του κόσμου μέσω των ακέραιων αριθμών, με τα μυστικιστικά της σύμβολα και την ιερή τετρακτύ, αντιπαραθέτει την απαγόρευση μεταμόσχευσης ζωτικών οργάνων από τους πυθαγορείους, δεδομένης της πίστης τους στη μετεμψύχωση, με την ανάσταση νεκρών κατά το χριστιανικό δόγμα και τέλος με την υλιστική στάση του συγγραφέα στη μεταθάνατο...ανυπαρξία!
Κι όλα αυτά έχουν κοινή ρίζα, την εναγώνια προσπάθεια της ανθρωπότητας να μάθει την Αλήθεια!
Κι εδώ γίνεται η μεγάλη διαπίστωση πως υπάρχει μια διαφορά ανάμεσα στην αλήθεια και στο κομμάτι της αλήθειας που μπορεί να αποδειχτεί, όπως ακριβώς ερμήνευσε ο Τάρσκι, ένας ήσσονος σημασίας φιλόσοφος από τον κύκλο της Βιέννης, το θεώρημα της μη πληρότητας του Κουρτ Γκέντελ. Όμως ο Τάρσκι δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς που κάνει μια τέτοια διαπίστωση. Ο Μαρτίνες κάνει αναφορά και στον Νικόλα Ντε Κούζα (1407-1464), γερμανό θεολόγο, φιλόσοφο και μαθηματικό, ο οποίος ταυτίζει μεταφορικά τον κύκλο με την αλήθεια.
"Οι εγγραφές σε κύκλο κανονικών πολυγώνων με συνεχώς αυξανόμενο πλήθος πλευρών είναι σαν την προσπάθεια προσέγγισης της Αλήθειας."
Είναι γνωστό βέβαια πως όσο και να αυξήσουμε το πλήθος των πλευρών το πολύγωνο ποτέ δε θα γίνει κύκλος, γιατί ο κύκλος είναι ένα τελείως ιδεατό σχήμα, όπως ίσως είναι και η Αλήθεια.

Αυτός όμως είναι μόνο ο ένας από τους τέσσερις άξονες στους οποίους νομίζω ότι κινείται ο Μαρτίνες. Θέλοντας να αποφύγω ένα εκτενές κείμενο θα σταματήσω εδώ και θα αναφερθώ, ίσως, σε μια άλλη ανάρτηση στα γλωσσικά παιχνίδια του Βιντγκεστάιν, και τις διαφορετικές μορφές ευφυίας που παίζουν σημαντικότατο ρόλο στην πλοκή της ακολουθίας.
Μπορεί βέβαια και να μην ξαναγράψω για το συγκεκριμένο βιβλίο, παρόλο που υπάρχουν κι άλλα που μου άρεσαν, αφού ο λόγος που έγραψα σήμερα ήταν να πω στον φίλο μου τον Αλέξανδρο για ποιο λόγο μου άρεσε εμένα τόσο πολύ αυτό το βιβλίο.
Έτσι απλά, επειδή υπάρχει μια διαφορά, στον τρόπο που ο καθένας μας ακούει μια ιστορία. Κι όπως έχει πει κι ο Έρμαν Έσσε: το μόνο αληθινό μέρος μιας ιστορίας είναι το μέρος που πιστεύει αυτός που την ακούει.

Υ.Γ. "Η ακολουθία της Οξφόρδης" γράφτηκε από τον Μαρτίνες δώδεκα χρόνια μετά από το "Σχετικά με τον Ροδερέρ", στο οποίο "πρωταγωνιστεί" το θεώρημα του Σέλντομ (!). Ο ίδιος ο Σέλντομ δεν υπήρχε ακόμη...

Κυριακή, 8 Φεβρουαρίου 2009

Η ΔΙΑΘΗΚΗ ΤΟΥ ΚΑΝΤ

Το παρακάτω κείμενο είναι ένα απόσπασμα από το ημερολόγιο του Χάνο Στιφένιις από το Λότιγκεν, βοηθό εισαγγελέα στη Δεύτερη Περιφέρεια του Δικαστικού Τομέα του Ανώτατου Δικαστηρίου της Πρωσίας και αφορά σε μια συζήτηση που διημείφθη μεταξύ αυτού και του Ιμάνουελ Καντ, στην καρδιά του χειμώνα του 1804. Γράφει, λοιπόν, ο Χάνο Στιφένιις:

" Ο Καντ με κοίταξε αμίλητος, σαν μαγεμένος από τα λόγια μου. Το νέο φάνηκε να τον αναστατώνει...[...]...γύρισε και μου χαμογέλασε. Η τρικυμία είχε περάσει. Ήταν και πάλι ο εαυτός του. "Παράξενο δεν είναι Στιφένιις;" είπε ήρεμα.
"Ορίστε;" ρώτησα επιφυλακτικά.
"Πώς αλλάζουν τα πράγματα ανάλογα με τις καταστάσεις. Το χάος που μπορεί να προκαλέσει κάποιος έχει μια εντελώς δική του δυναμική, που δε γνωρίζει όρια".
Κοιτούσε κατευθείαν μπροστά, σαν να είχε προσηλωθεί σε κάτι χειροπιαστό, που, όμως, μόνο εκείνος μπορούσε να δει. "Τι εννοείτε;" μουρμούρισα, πιο ανήσυχος μήπως τον αναστατώσω περισσότερο στην αλλοπρόσαλλη κατάσταση που βρισκόταν και που ήταν άγνωστο που θα τον οδηγούσε.
"Θέλω να πω πως όσο προχωρά αυτό το πείραμα, τόσο περισσότερο καταλαβαίνω ότι η λειτουργία της Λογικής είναι μόνο επιφανειακή. Αυτά που συμβαίνουν κάτω από την επιφάνεια δίνουν μορφή στα γεγονότα. Το Αδιανόητο μας εξουσιάζει όλους. Για πρώτη φορά στη ζωή μου νιώθω την ακατανίκητη δύναμη του τυφλού πεπρωμένου". Γύρισε και με κοίταξε.
"Δε τη νιώθεις κι εσύ Χάνο;"
Ήταν κατάχλομος και φαινόταν πιο αδύναμος από ποτέ. Η φωνή του έσβησε, καταλήγοντας σε έναν κούφιο ψίθυρο.
"Πρέπει να πάτε σπίτι, καθηγητά Καντ", τον προέτρεψα με την καρδιά βαριά από τη στεναχώρια.
Εκείνη τη στιγμή έχασα κάθε ελπίδα πως θα μπορούσα να προχωρήσω στην έρευνα, Ο Ιμάνουελ Καντ, η άγκυρά μου, η πυξίδα μου μέσα στη θύελλα, είχε αρχίσει να χάνεται. Με είχε αφήσει ολομόναχο μέσα στην άγρια, απέραντη θάλασσα."

Κι έτσι ο Χάνο Στιφένιις, ο αφηγητής στο βιβλίο του Μάικλ Γκριγκόριο, με τίτλο "Η διαθήκη του Καντ. Κριτική του εγκληματικού λόγου", από τις εκδόσεις Ελληνικά γράμματα, χάνει τον μπούσουλα της Λογικής με την οποία επιχειρεί να διαλευκάνει τα εγκλήματα που διαπράχτηκαν στα υγρούς, παγωμένους, δαιδαλώδεις δρόμους του Κένιγκσμπεργκ.

Ο συγγραφέας του βιβλίου, του οποίου το πραγματικό όνομα παραμένει άγνωστο, αφού υπογράφει με ψευδώνυμο, αποτολμά να δώσει μια άλλη πτυχή στην προσωπικότητα του φιλόσοφου Ιμάνουελ Καντ, σαν να αποκαλύπτει την άλλη όψη του νομίσματος, παραβιάζοντας τη βασική αρχή του Καντ, η οποία δεν κατηύθυνε μόνο τη διδασκαλία του, αλλά και τις πράξεις του, και δεν ήταν άλλη από τον σεβασμό προς τον άνθρωπο. Ένα σεβασμό από τον οποίον δεν απέκλινε ως το τέλος της ζωής του, όπως λένε οι βιογράφοι του.

Στο βιβλίο του Γκριγκόριο όμως, ο Καντ, για να εξιχνιάσει το ζόφο της ανθρώπινης ψυχής και να βιώσει την υπέρτατη ελευθερία, καταλύει τις αρχές του...ξετυλίγοντας ένα κουβάρι αδιανόητων πράξεων που εξουσιάζουν ολόκληρο το Κένιγκσμπεργκ, πανικοβάλοντας τους κατοίκους, ο καθένας από τους οποίους δημιουργεί το προσωπικό του χάους με τη δική του δυναμική...Ούτως ή άλλως το Αδιανόητο μας εξουσιάζει όλους.

Παρασκευή, 6 Φεβρουαρίου 2009

Ένα ταξίδι στα μυστήρια της Φύσης

Η ομάδα ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ

Σας προσκαλεί στην ομιλία του ΤΑΣΟΥ ΜΠΟΥΝΤΗ,
καθηγητή στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών
με θέμα:

Ένα ταξίδι στα μυστήρια της Φύσης
μέσω της Επιστήμης της Πολυπλοκότητας


την Παρασκευή, 13 Φεβρουαρίου, στις 8:00 μμ
στο Κέντρο Ιστορίας Θεσσαλονίκης
(Πλατεία Ιπποδρομίου, 546 21 Θεσσαλονίκη, τηλ. 2310 264668)

Στο τέλος του 20ου αιώνα, η επιστήμη της Πολυπλοκότητας ήρθε να μας δείξει ότι η Φύση είναι πολύ πιο σύνθετη και απρόβλεπτη από ότι φανταζόμαστε. Η θεωρία του Χάους και τα εκπληκτικά σχήματα των Φράκταλ διαδόθηκαν με εντυπωσιακή ταχύτητα και γοήτευσαν επιστήμονες, φιλόσοφους, καλλιτέχνες και απλούς ανθρώπους σε όλο τον κόσμο.
Η Πολυπλοκότητα μελετά με ενιαίο τρόπο συστήματα των Φυσικών, Ιατρικών, Τεχνολογικών και Κοινωνικών Επιστημών που παρουσιάζουν απρόβλεπτη συμπεριφορά στο χρόνο και σύνθετη δομή στο χώρο. Παραδείγματα πολύπλοκων συστημάτων είναι το κλίμα, οι σεισμοί, το περιβάλλον, ο εγκέφαλος και το νευρικό μας σύστημα, ενώ πολυπλοκότητα συναντάει κανείς και σε ηλεκτρονικά και τηλεπικοινωνιακά δίκτυα, το Χρηματιστήριο, τον οικονομικό ανταγωνισμό επιχειρήσεων, τη συμβίωση διαφορετικών κοινωνικών ομάδων, κ.ά.
Στην ομιλία μας, θα περιγράψουμε τη νέα αυτή επιστήμη μέσω μιας σειράς παραδειγμάτων που εξηγούν τις βασικές της έννοιες και τις σημαντικότερες εφαρμογές της. Θα δώσουμε ιδιαίτερη έμφαση στο ρόλο των Μαθηματικών και στο πως αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη διδασκαλία και κατανόηση της Επιστήμης της Πολυπλοκότητας στη Μέση Εκπαίδευση.


πληροφορίες www.thalesandfriends.org
ή Κατερίνα Καλφοπούλου
kalfokat@gmail.com

Πέμπτη, 5 Φεβρουαρίου 2009

ΕΙΔΗ ΑΠΕΙΡΟΥ...


Η ανθρωπότητα ταλαντεύεται ανάμεσα στο φόβο ενός περιφραγμένου χώρου και στο φόβο της πτώσης σε ένα ατέλειωτο κενό. Το πως αντιδρά το κάθε άτομο στην έννοια του απείρου εξαρτάται περισσότερο από την ψυχολογία του, παρά από κάποιο χαρακτηριστικό του απείρου. (σελ.195)
Μια από τις μεγαλύτερες προσπάθειες στην ιστορία των Μαθηματικών ήταν η οικοδόμηση μιας λογικής που θα πραγματευόταν ικανοποιητικά το άπειρο.
(σελ. 197)


Άπειρο μέγεθος

Οι Έλληνες είναι οι πρώτοι που άφησαν πίσω τους ένα αξιόλογο έργο για την έννοια του απείρου.
Ο Πλάτωνας, πρέσβευε το "πανδεχές", κατά το οποίο ο χώρος συνενώνεται με κάποιον τρόπο με τα είδη ή τις ιδέες για να δημιουργηθεί ο αισθητός κόσμος. Οι ιδέες είναι αυτόνομες και αδιαίρετες, ενώ η υποδοχή, δηλαδή ο χώρος που τις δέχεται είναι απείρως διαιρετός.

Ο Αριστοτέλης άσκησε κριτική τόσο στον Πλάτωνα, όσο και στον Πυθαγόρα, επειδή πίστευαν ότι το άπειρο ήταν μια αυθύπαρκτη ουσία και όχι μια ιδιότητα κάποιου άλλου πράγματος. Απόρριπτε την ύπαρξη άπειρου πλήθους αριθμών. Αρνήθηκε επομένως την πλήρη ύπαρξη του απείρου, ενώ ταυτόχρονα προσπαθούσε να κρατήσει ζωντανή κάποια έννοια του απείρου, το εν δυνάμει άπειρο.

Αποσπασματικά παρέθεσα κάποιες παραγράφους απο το 8ο κεφάλαιο του βιβλίου του C.C. Clawson, "ο ταξιδευτής των μαθηματικών". Ο τίτλος του κεφαλαίου είναι: "Αντιμετωπίζοντας το άπειρο" και ξεκινάει, νομίζω από τον Αναξίμανδρο τον Μιλήσιο, «Αρχήν και στοιχείον το άπειρον… Τα μεν μέρη μεταβάλλειν, το δε παν αμετάβλητον είναι» και φτάνει μέχρι την ανακάλυψη των ορίων στον 18ο αιώνα, για να συνεχίσει την εξερεύνηση της εντυπωσιακής ιστορίας των αριθμών στα επόμενα κεφάλαια, προσπαθώντας να δώσει ιστορικά τεκμηριωμένες απαντήσεις στην αντίδραση των ανθρώπων μπροστά σε ερωτήματα όπως
"Είναι δυνατόν να έχουμε άθροισμα με άπειρους προσθετέους και να πάρουμε ως αποτέλεσμα έναν πεπερασμένο πραγματικό αριθμό;" (η απάντηση είναι: ναι, μέσω των ορίων )
Κλείνει το 8ο κεφάλαιο λέγοντας:
"Τα σύγχρονα μαθηματικά κι οι επιστήμες δε θα μπορούσαν ποτέ να αναπτυχθούν αν δεν είχαμε ανακαλύψει τα όρια.
Η ιδέα ενός ορίου είναι πράγματι μια εκλεπτυσμένη και όμορφη έννοια, γιατί μπορούμε να πάρουμε ένα άπειρο πλήθος όρων και να τους συσχετίσουμε στο όριο με κάτι πεπερασμένο. Χρησιμοποιώντας αυτή την τεχνική, μπορούμε να ερευνήσουμε ακόμα βαθύτερα τα μυστήρια του συστήματος των αριθμών μας, για να αποκαλύψουμε εντυπωσιακούς και παράξενους νέους αριθμούς."

Κι αν αυτό, έτσι αποκομμένο, δεν είναι και τόσο κατανοητό σε ένα μη ειδικό, τα όσα έχουν προηγηθεί στην εξιστόρηση του Clawson για το πως φτάσαμε στα όρια, πιστεύω πως θα δώσουν μια σαφή και μάλλον όμορφη εικόνα της διαδικασίας που προηγήθηκε, της λεγόμενης μεθόδου της εξάντλησης.
Η μέθοδος της εξάντλησης που εφάρμοζαν οι αρχαίοι έλληνες για να υπολογίσουν εμβαδά επιφανειών που οριοθετούνταν από καμπύλες περιγράφεται πλήρως στο βιβλίο XIII του Ευκλείδη, σύμφωνα με τον οποίον: αν από ένα μέγεθος αφαιρεθεί ένα τμήμα όχι μικρότερο από το μισό του, κι αν από το υπόλοιπο αφαιρέσουμε πάλι όχι λιγότερο από το μισό του, κι αν αυτή η διαδικασία της αφαίρεσης συνεχιστεί, τελικά θα απομείνει ένα μέγεθος μικρότερο από οποιοδήποτε προκαθορισμένο μέγεθος αυτού του είδους.
(αν το μέγεθος αυτό είναι το «σφάλμα», τότε με τη μέθοδο της εξάντλησης πετυχαίνουμε να κάνουμε το σφάλμα οριακά μηδέν, άρα να πετύχουμε μια άριστη προσέγγιση)

Και όπως προκύπτει από όλα τα παραπάνω δεν μπορούμε να ξεφύγουμε από το "περιφραγμένο της ανθρώπινης ιδιότητάς" μας, το οποίο μας επιτρέπει μόνο προσεγγίσεις να κάνουμε, άντε και στην καλύτερη περίπτωση ίσως να πετυχαίνουμε ένα σφάλμα οριακά μηδέν, αλλά όπως και να' χει το σφάλμα είναι αναπόφευκτο!

Το βιβλίο του C.C. Clawson αξίζει να διαβαστεί για όλα τα κεφάλαια
του, αλλά εγώ θα επανέλθω στο κεφάλαιο 8 και θα "αντιμετωπίσω" πάλι το άπειρο, επιδιώκοντας με τον τρόπο αυτό...την πτώση στο ατέλειωτο κενό, εμμένοντας στις δυο επιλογές που δίνει ο συγγραφέας βάζοντας την ανθρωπότητα συλλογικά να ταλαντεύεται ανάμεσα στους δυο φόβους, του...στενού μαρκαρίσματος και της αβυσσαλέας, χωρίς όρια, πτώσης...
Εκτός κι αν μέχρι την επόμενη ανάρτηση μεταξύ των δύο τούτων καταστάσεων βρεθεί κάποια που θα έχει απαλλαχτεί από το αίσθημα του φόβου, επιλέγοντας κάποιου είδους "λογικά όρια"! Αλλά αυτό έχει να κάνει με την ψυχολογία του κάθε ατόμου...