Τετάρτη, 29 Δεκεμβρίου 2010

ΤΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ της Άλγεβρας...

Την τελευταία βδομάδα, πριν κλείσουν τα σχολεία για τις διακοπές των Χριστουγέννων, το κλίμα στο μάθημα είναι ιδιαίτερα χαρούμενο και ευχάριστο. Τα χαμόγελα και οι φιλοφρονήσεις δίνουν και παίρνουν και μεταξύ αυτών ακούγεται η ακατάπαυστη "γελαστή μουρμούρα" των παιδιών: μα κυρία, προ-προτελευταία μέρα, μάθημα θα κάνουμε;  Και την επομένη: μα κυρία, προτελευταία μέρα, μάθημα θα κάνουμε; Και την παραμονή, της παραμονής, που είναι όντως η τελευταία μέρα του χρόνου που  τα σχολεία είναι ανοιχτά, οι μουρμούρες γίνονται αδιάλειπτες, καθώς τα μυαλά βρίσκονται ήδη στους δρόμους του χωριού να ψέλνουν κάλαντα! Αλλά, όμως... οι ώρες των μαθημάτων που χάθηκαν φέτος-λόγω εκλογών και όχι μόνο- είναι πολλές και το καινούριο βιβλίο της Άλγεβρας  απαιτητικό με έναν προγραμματισμό που απευθύνεται αποκλειστικά και μόνο σε άριστους...γνώστες της Άλγεβρας!
Κι έτσι τα περιθώρια για απώλεια επιπλέον ωρών γίνονται πολύ στενά, οπότε όφειλα να πείσω τα χαρούμενα προσωπάκια να συγκεντρωθούν στο τελευταίο μάθημα, που ήταν ανακεφαλαίωση και συμπληρώσεις στις ρίζες των πραγματικών αριθμών.
"Τι έχουμε να κάνουμε, σήμερα;", ρώτησα, για να προλειάνω το έδαφος.
"Ρίζες, κυρία", απάντησε ο Αλέξανδρος, από το πρώτο θρανίο, που ήταν από τους λίγους, αν όχι ο μόνος, που έδειχνε να μην επηρεάζεται από το γενικότερο κλίμα, μένοντας απερίσπαστος στον δύσκολο δρόμο της γνώσης!
"Σιγά μην κάνουμε ρίζες, Αλέξανδρε!", του είπα εστιάζοντας πάνω του, σαν να μην υπήρχε κανένας άλλος στην τάξη.. "Γιατί, κυρία; Αφού ρίζες έχουμε!", συνέχισε ο Αλέξανδρος. "Ε, και;", επέμενα εγώ, "πού θα τις χρειαστείς τις ρίζες Αλέξανδρε;". "Αργότερα, στη ζωή μου, κυρία!", "Σιγά μην τις χρειαστείς!"
Μάλιστα! Ο Αλέξανδρος, έτσι αγέρωχος,  καλά μυημένος σ' αυτό που κατ' εξοχήν καλλιεργούμε στο σχολείο, δηλαδή την πεποίθηση πως ό,τι διδαχτούν στο σχολείο θα το "χρειαστούν" στο μέλλον, προσπαθούσε  να ανατρέψει τα λεγόμενά μου σχετικά με την έλλειψη χρησιμότητας των ριζών των πραγματικών αριθμών! Στο μεταξύ οι περισσότεροι από τους υπόλοιπους, ξαφνιασμένοι από τη στάση μου είχαν αρχίσει να προσέχουν, συνοφρυωμένοι. Μερικά δευτερόλεπτα απόλυτης σιωπής! Είναι εκείνη η δύσκολη στιγμή που αν δεν καταφέρεις να "εντυπωσιάσεις", χάνεις το ενδιαφέρον τους με αποτέλεσμα να αντικρίσεις τον εαυτό σου ανιαρό καθρέφτισμα μέσα σε βαριεστημένα βλέμματα! Πολύ δύσκολο κοινό τα νιάτα! Πρέπει συνέχεια να επινοείς, να αυτοσχεδιάζεις,
να εγκαταλείπεις το "πλάνο μαθήματος" που έχεις ετοιμάσει και το έχεις διπλωμένο μέσα στο ντοσιέ, πάνω στην έδρα, να περιφέρεσαι ανάμεσά τους, να πιάνεις το σφυγό τους, να ελέγχεις την φλογίτσα στο βλέμμα τους και να αρπάζεσαι από την πιο φευγαλέα αναλαμπή της, για να ανατροφοδοτείσαι, να ανατροφοδοτείς και να συνεχίζεις..
"Ε, ναι, δεν θα κάνουμε ρίζες σήμερα", είπα σε όλην την τάξη δυνατά, έχοντας την αίσθηση πως ρισκάρω  παραπάνω από όσο έπρεπε.. :)


"Θα κάνουμε γυμναστική!!
Θα γυμνάσουμε τους εγκεφαλικούς μας νευρώνες. Θα μάθουμε πώς ένα σύνθετο και περίπλοκο πρόβλημα αρχικά το "περιγράφουμε" και μετά το "κομματιάζουμε", το "σπάμε" σε απλούστερα γνωστά, καθημερινά και τετριμμένα προβλήματα, τα οποία λύνουμε μηχανικά, χωρίς να σπαταλάμε φαιά ουσία. Αυτό θα κάνουμε, σήμερα!", είπα - σίγουρα όχι πρώτη φορά από την αρχή της χρονιάς, αλλά με τέτοιον ενθουσιασμό που δεν σήκωνε καμιάν αμφισβήτηση! Κι αυτό κάναμε. Αφού έγραψα όλους τους γνωστούς από τη θεωρία τύπους -ορισμούς, ιδιότητες, συνέπειες-στο πάνω μέρος του πίνακα, καθ' υπαγόρευση των παιδιών που με αυτόν τον τρόπο έκαναν ... προθέρμανση, βάζοντας σε τάξη τα συρτάρια της μνήμης τους,  ξεκινήσαμε το ... δύσκολο έργο μας.
Αρχικά συμφωνήσαμε να κάνουμε τη λεγόμενη "αναγνώριση" της αλγεβρικής παράστασης που είχαμε να υπολογίσουμε ή να απλοποιήσουμε. Τι είδους είναι; Είναι γινόμενο, πηλίκο, ρίζα μιας άλλης ρίζας; Πόσους παράγοντες έχει, πόσοι διαφορετικοί δείκτες υπάρχουν, μια ποια σειρά βολεύουν οι πράξεις;
Η βασική αρχή μας είναι πως όταν γνωρίζουμε  τι ακριβώς είναι αυτό που έχουμε να αντιμετωπίσουμε, τότε [και μόνο τότε] το αντιμετωπίζουμε. Όλοι ενεπλάκησαν σε μια κουβέντα, από την οποία εγώ σταδιακά αποσύρθηκα και σημείωνα μόνο ό,τι αποφάσιζαν πως - βάσει κανόνα- ισχύει. Το κουβέντιαζαν μεταξύ τους και, όταν κατέληγαν σε μιαν "ορθή" απόφαση, μου υπαγόρευαν. Είχαν κατανοήσει πως, από  τη στιγμή που θα κατονόμαζαν κάτι  και θα του έβαζαν μιαν "ετικέτα", μπορούσαν στη συνέχεια ανατρέχοντας στους ισχύοντες "νόμους" και στα "διατάγματα" (όλα όσα χρειαζόμασταν παρέμεναν γραμμένα στο επάνω μέρος του πίνακα) να το διαχειριστούν κατά τα ισχύοντα.
Και φυσικά για μιαν ακόμη φορά διαπιστώθηκε πως τα "ισχύοντα" στα Μαθηματικά, είναι διαχρονικά, καθολικά και απόλυτα σε αντίθεση με τις  "ισχύουσες" στη Νομοθεσία διατάξεις, αλλά και στις λοιπές ανθώπινες εκφάνσεις, κάτι που, με κάθε αφορμή, γίνεται θέμα συζήτησης στην τάξη ...
Σε μια τάξη με έξυπνα και δραστήρια παιδιά, που σύντομα θα καταλάβουν τις δυνατότητές τους και θα τις αξιοποιήσουν στο έπακρο.
Σ' αυτά τα παιδιά, που τόσο όμορφα περνάμε μαζί εξερευνώντας τα Μαθηματικά και
μέσα  από αυτά  γνωρίζουμε τον εαυτό μας και τον κόσμο μας, εύχομαι ολόψυχα
ΚΑΛΗ ΚΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ!

Δευτέρα, 27 Δεκεμβρίου 2010

Η ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΑΞΙΑ και ΤΟ ΗΘΙΚΟ ΠΡΟΣΗΜΟ !

"Μου φαίνεται ότι καθώς οι άνθρωποι συσσωρεύουν όλο και περισσότερα χρήματα αντιδρούν διαφορετικά με κάθε νέο ποσόν που προστίθεται στο κομπόδεμά τους. Πιστεύω ότι, ψυχολογικά, κάθε επιπλέον ρούβλι αξίζει γι' αυτούς λιγότερο από το προηγούμενο, οπότε, καθώς γίνονται όλο και πιο πλούσιοι, τα όποια κέρδη τούς ικανοποιούν όλο και λιγότερο, οπότε χρειάζονται συνεχώς περισσότερα χρήματα για να είναι ικανοποιημένοι".
"Έχεις δίκαιο", είπε ο Όιλερ. "Μήπως επινόησες κάποιον τύπο για την ψυχολογική αξία που έχει κάθε επιπλέον ρούβλι;"
"Όχι, αλλά πλησιάζω. Ήδη γνωρίζω πως η αξία που έχει κάθε νέο ρούβλι σε ένα άτομο είναι αντιστρόφως ανάλογη προς το ποσόν που ήδη διαθέτει", είπε ο Ντάνιελ, "αν και δεν έχω βρει ακόμη την ακριβή σχέση. Σκέφτομαι να ονομάσω την επιπλέον αυτή αξία στα χρήματά του 'ηθική τιμή' "
"Μου αρέσει αυτό Μπερνούλι", είπε ο Όιλερ. "Χρησιμοποιείς λοιπόν τη λέξη ηθική με τον ίδιο τρόπο που το έκανε και ο θείος σου, ο Γιάκομπ, όταν αναφερόταν στην ηθική βεβαιότητα" (*)
"Θαρρώ πως ναι. Ακόμα εργάζομαι σε αυτό", συνέχισε ο Ντάνιελ. "Αυτή η ηθική τιμή πρέπει να συσχετιστεί επίσης με τον τρόπο που κερδίζει κανείς τα χρήματα, καθώς και με το πώς εξελίσσονται οι προσδοκίες του όσο εργάζεται γι' αυτόν τον σκοπό. Είναι ένα αρκετά σύνθετο πρόβλημα".
"Πιστεύω πως θα περάσεις ωραία με αυτό", παρατήρησε ο Όιλερ. "Είμαι περίεργος να δω το αποτέλεσμα".
"Κι εγώ", είπε ο Ντάνιελ ταπεινά. "Πολύ θα ήθελα να το ποσοτικοποιήσω, αλλά βρίσκομαι ακόμη στην αρχή".

Θα καταλάβατε, ίσως,  ότι οι συνομιλητές στον παραπάνω διάλογο είναι ο (τεράστιος)  Λέοναρντ Όιλερ και ο Ντάνιελ Μπερνούλι, γιος του Γιόχαν, ανηψιός του Γιάκομπ και θείος των Γιόχαν, Ντάνιελ, Γιάκομπ, της μεγάλης μαθηματικής δυναστείας Μπερνούλι.
Αυτοί οι κορυφαίοι μαθηματικοί είναι οι ήρωες της Margaret Tent στο βιβλίο της "το μαθηματικό γονίδιο των Όιλερ και Μπερνούλι", που κυκλοφόρησε φέτος από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ. 
Είναι το τρίτο ιστορικό μυθιστόρημα της Tent που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ κι έχει  θέμα τη ζωή  κορυφαίων μαθηματικών!
Σε ένα διάστημα περίπου έξι ετών η Margaret Tent, μας έχει δώσει τρία όμορφα ιστορικά μυθιστορήματα, αφενός  διεξάγοντας εκτενή έρευνα για τους πρωταγωνιστές των βιβλίων της  και αφετέρου συμπληρώνοντας τα κενά στα ντοκουμέντα της με  φαντασία, αλλά και την υποστήριξη ειδικών, ιστορικών κλπ.
Νομίζω ότι αξίζει να σημειωθεί πώς αποφάσισε να γράψει το πρώτο της μυθιστόρημα, με τίτλο "Καρλ Φρίντριχ Γκάους ο  πρίγκιπας των Μαθηματικών", το οποίο με είχε ενθουσιάσει, όπως και πολλούς άλλους συναδέλφους, και το χρησιμοποίησα σε λέσχη ανάγνωσης με αφορμή το ιστορικό σημείωμα για τον Γκάους στο βιβλίο της πρώτης Γυμνασίου. (Για λεπτομέρειες δείτε εδώ).


M.B.W. Tent
« Αυτή η βιογραφία - του Καρλ Φρίντριχ Γκάους -  είναι αποτέλεσμα της συναναστροφής μου με τους μαθητές. Εκείνοι ήθελαν να πληροφορηθούν περισσότερα και εγώ με τη σειρά μου έψαξα και έμαθα όλες τις λεπτομέρειες.
Ελπίζω ότι η ιστορία του Γκάους θα παρακινήσει τους αναγνώστες να εξερευνήσουν τον κόσμο των μαθηματικών.  Αν κάτι τέτοιο συμβεί θα είμαι πραγματικά ευτυχής.», είπε η Tent, η οποία, όταν ήταν καθηγήτρια Μαθηματικών στην Αλαμπάμα των Η.Π.Α., 
...ένα πρωινό του 1992, στα πρώτα χρόνια της διδασκαλίας της είδε ένα προχειρογραμμένο μήνυμα στον πίνακα:
"Τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών και η θεωρία  αριθμών είναι η βασίλισσα των μαθηματικών".
"Ο Ν.Γ. και ο Μ.Μ. δύο μαθητές της Α' Γυμνασίου, μου εξήγησαν ότι ανακάλυψαν στη σχολική βιβλιοθήκη, στο βιβλίο του Έρικ Τεμπλ Μπελ Οι Μαθηματικοί.", μας εξομολογείται και συνεχίζει λέγοντας: "Όταν αργότερα έψαξα το βιβλίο στη βιβλιοθήκη, βρέθηκα εμπρός σε μια υπέροχη αφήγηση της ιστορίας των Μαθηματικών. Εκεί πραγματικά "κόλλησα" "

Δεν είναι η μόνη που "κόλλησε" σε μια υπέροχη αφήγηση της ιστορίας των Μαθηματικών! 
Σε μια αφηγηματική, εναλλακτική, προσέγγιση του κόσμου των Μαθηματικών και των θεμάτων που εξετάζουν έξω και πέρα από το τυπικό και περιορισμένο σχολικό εγχειρίδιο, αναδεικνύοντας την  ψυχολογική αξία και το ηθικό τους πρόσημο! 
Ναι, σίγουρα η Tent δεν είναι η μόνη που σαγηνεύτηκε από αυτόν τον υπέροχο κόσμο.
 Αλλά είναι η μόνη(;) καθηγήτρια  που δίδασκε  Μαθηματικά σε ένα Γυμνάσιο, κάποτε στην Αμερική, 
και βρέθηκε αίφνης, μετά από δυο-τρεις ερωτήσεις που  έκαναν οι μαθητές της για τον Γκάους, να ξεσκαλίζει τα ράφια στο Πανεπιστήμιο του Γκέτιγκεν  στη Γερμανία, τα συρτάρια στο Αρχείο Όιλερ στη Βασιλεία, τις προθήκες στην Πρωσική Ακαδημία στο Βερολίνο, και ποιος ξέρει πού αλλού και τι άλλο, για να ανακαλύψει στα ιστορικά ντοκουμέντα  ό,τι χρειαζόταν και μελετώντας το να ζωντανέψει με λέξεις τις ζωές του Καρλ Φρίντριχ Γκάους, της Έμυ Νέδερ, του Λέοναρντ Όιλερ και των οκτώ Μπερνούλι, η περίπτωση των οποίων εγείρει το ερώτημα: υπάρχει άραγε μαθηματικό γονίδιο;
Κι εγώ ρωτώ: υπάρχει κάποιος  που δεν θα επιθυμούσε να κάνει  αυτό που κάνει  η Margaret Tent; 
Να περιδιαβαίνει, δηλαδή, τα πνευματικά κέντρα της Ευρώπης, όπου τους τελευταίους τρεις και κάτι αιώνες έζησαν και διέπρεψαν πνευματικοί άνθρωποι τέτοιας εμβέλειας;  Να μπαίνει στα Μουσεία, στις Βιβλιοθήκες και στα γραφεία τους, να μελετά τα χειρόγραφά τους, να συναντά μακρινούς απογόνους τους, να αναβιώνει τις ζωές τους κι ύστερα, ν' ανοίγει  τα χαρτιά του, να ξεδιπλώνει τις σημειώσεις του και ν' αφηγείται, χαρτί και καλαμάρι, με το δικό τους στόμα και με τη δική τους δυναμική;
Υπάρχει, άραγε,  μαθηματικός τύπος που υπολογίζει την ψυχολογική αξία  μιας πράξη μας, όταν αυτή πηγάζει από τη βαθύτερη επιθυμία μας κι αυτή η βαθύτερη επιθυμία μας δεν είναι η στείρα συσσώρευση χρημάτων;  Αν υπήρχε τέτοιος τύπος, είμαι σχεδόν σίγουρη πως στην Tent, θα έδινε τη μέγιστη δυνατή τιμή!  Η αγάπη της για αυτό που κάνει  μεγαλώνει, από βιβλίο σε βιβλίο, και -καθώς παράλληλα αυξάνει  η εμπειρία-  το αποτέλεσμα γίνεται ολοένα και καλύτερο. 
Προσωπικά θέλω να πιστεύω ότι η Tent, παρόλο που έχει ήδη γράψει τρία ιστορικά μυθιστορήματα, θα συνεχίσει με την ίδια ζέση, επειδή νιώθει, όπως ακριβώς και ο Ντάνιελ Μπερνούλι, ότι βρίσκεται ακόμη στην αρχή!

===========================================================

(*) Ο Γιάκομπ Μπερνούλι, ο θείος του Ντάνιελ, στο έργο του Ars Conjectandi (η τέχνη του εικάζειν) παρουσίασε τη μελέτη των πιθανοτήτων ως μια προσπάθεια προς ποσοτικοποίηση της πιθανότητας να συμβεί ένα γεγονός, έτσι ώστε να μπορεί κάποιος να αναλάβει το ρίσκο ύστερα από σκέψη.  Την τιμή "αναφοράς", κάτω από την οποία συνέφερε σε κάποιον να αναλάβει το ρίσκο την ονόμασε  "ηθική βεβαιότητα", επηρεασμένος από τον Αριστοτέλη, τον οποίον είχε μελετήσει διεξοδικά, αφού πριν ασχοληθεί με τα Μαθηματικά σπούδασε Φιλοσοφία και Θεολογία, και όπως γράφει στη σελίδα 149:
"Ο Αριστοτέλης είχε αναγνωρίσει ότι, καθώς η απόλυτη βεβαιότητα είναι συνήθως κάτι ανέφικτο, ο ευφυής άνθρωπος πρέπει να θέτει ένα ελάχιστο όριο βεβαιότητας,  πέρα από κάθε λογική αμφιβολία."

Καθώς ξαναδιάβασα τώρα τις σελίδες όπου περιγράφεται η θεωρία του Γιάκομπ Μπερνούλι 
περί της τέχνης του εικάζειν, δεν μπόρεσα να αντισταθώ στον πειρασμό και να μην εικάσω... 
Να μην κάνω μια πρόβλεψη, δηλαδή, για το επόμενο θέμα της Margaret Tent! 
Ναι, αποτολμώ να εικάσω πως στο επόμενο βιβλίο της  θα ασχοληθεί με...
τον Βάιερστρας και την Σοφία Κοβαλέβσκι, πέρα από κάθε...λογική αμφιβολία! :)


Κυριακή, 26 Δεκεμβρίου 2010

ΠΟΙΟΣ ΣΚΟΤΩΣΕ ΤΟΝ ΚΥΡΙΟ Χ;

Όταν στην  αρχή της σχολικής χρονιάς 2008-2009, άρχισα - με πολύ άγχος..- τον σχεδιασμό για το Μαθηματικό Πανηγύρι που, για πρώτη φορά, θα γινόταν τον Ιούνιο  του 2009  στη Θεσσαλονίκη, [στην Αθήνα είχε γίνει ήδη τις δυο προηγούμενες χρονιές], είχα μόλις μάθει για την πρωτότυπη εργασία του  συναδέλφου Θοδωρή Ανδριόπουλου με  τίτλο "Ποιος σκότωσε τον κύριο Χ;".
Για τον λόγο αυτό τότε επικοινώνησα  μαζί του και συμφωνήσαμε να την παρουσιάσει, όχι ως ένας από τους τρεις καλεσμένους ομιλητές, αλλά -αφού την επεξεργαστεί πρώτα με κάποιους από τους μαθητές  του- ως συμμετοχή μιας σχολικής λέσχης ανάγνωσης. Άλλωστε ο στόχος του Μαθηματικού Πανηγυριού είναι αυτός ακριβώς, να εμπλέκει τους μαθητές σε διαφορετικές και διαθεματικές, ή αν το προτιμάτε πολυτροπικές,  προσεγγίσεις των Μαθηματικών. 
Το power point της παρουσίασης μου εστάλη ηλεκτρονικά, όπως και  το υλικό όλων των άλλων σχολικών ομάδων που συμμετείχαν, κάτι που ζητώ πάντα από τους συμμετέχοντες συναδέλφους, ώστε να βεβαιώνομαι έγκαιρα πως στο διήμερο της εκδήλωσης όλα θα  ... δουλέψουν ρολόι! :)
Πράγματι η παρουσίαση της ιστορίας "Ποιος σκότωσε τον κύριο Χ;", του Θοδωρή Ανδριόπουλου, σε σκίτσο του μαθητή Βλάση Γωγούση, αποτέλεσε μέρος του προγράμματος της διήμερης εκδήλωσης "Μαθηματικό Πανηγύρι" της ομάδας Θαλής+Φίλοι.
Έτσι γνώριζα από τότε την ιδέα του Θοδωρή και την εκτέλεσή της, μέχρι  ενός σημείου όμως, αφού...
Αφού ένα χρόνο μετά ο Θοδωρής μου ανακοίνωσε πως αναζητούσε κομίστα, επειδή ήθελε να εξελίξει την ιδέα του και να την εκδώσει σε μορφή κόμικ!
Κι ύστερα, ένα χρόνο περίπου μετά από αυτήν την ανακοίνωση, άρα δυο χρόνια μετά από την πρώτη μας σχετική με τη δολοφονία του κυρίου Χ επαφή, το  ανήσυχο πνεύμα του Θοδωρή Ανδριόπουλου ολοκλήρωσε το σχέδιο του.
Χθες μου ενεχείρησε το "Ποιος  σκότωσε τον κύριο Χ;", σε εικονογράφηση του Θανάση Γκιόκα, από τις εκδόσεις ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ.

Το διάβασα αμέσως και διαπίστωσα ότι είχε εμπλουτίσει την αρχική εκδοχή του, αυτή που μας είχε παρουσιάσει στο Μαθηματικό Πανηγύρι, χωρίς όμως
να έχει αλλάξει τίποτε από τη βασική του ιδέα. Οι πρωταγωνιστές της ιστορίας
του παρέμειναν οι ίδιοι, αλλά όπως ήταν φυσικό, λόγω της χωροχρονικής άνεσης που δίνει ένα βιβλίο σε σχέση με ένα power point, οι πληροφορίες για τον καθέναν από τους φερόμενους ως υπόπτους δολοφονίας αυξήθηκαν κι έγιναν ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες.

Για μιαν ακόμη φορά τα μαθηματικά τίθενται στην υπηρεσία του νόμου (βλέπε προηγούμενη ανάρτησή μου :)), αλλά τώρα  δεν είναι ο αστυνομικός που μαθηματικοποιεί και ...απομαθηματικοποιεί(!), τα δεδομένα του για να εξιχνιάσει το έγκλημα, αλλά είναι οι ύποπτοι, μαθηματικοί όλοι τους, αυτοί που δίνουν  καταθέσεις  με τη μορφή προβλημάτων.
Η αναζήτηση του δολοφόνου του κυρίου Χ και ο εντοπισμός του μεταξύ των δέκα μαθηματικών υπόπτων απαιτεί την επίλυση σύντομων μαθηματικών προβλημάτων (μαθηματικών ασκήσεων σχολικού επιπέδου)! Επιστρέφουμε δηλαδή στην απαρχή της βασικής ιδέας του Θοδωρή Ανδριόπουλου, που δεν ήταν άλλη από μια πρωτότυπη διδασκαλία! Για την  ιδέα του αυτή άλλωστε   κέρδισε  το 3ο Βραβείο στο 6ο Πανευρωπαϊκό Forum Πρωτοπόρων Καθηγητών του Προγράμματος Συνεργάτες στη μάθηση της εταιρείας Microsoft.

Πιστεύω πως ο Ανδριόπουλος αξίζει διπλά συγχαρητήρια! Αφενός για την πρωτότυπη και διασκεδαστική διδασκαλία που εμπνέυστηκε, αφετέρου επειδή λόγω της γενικότερης ανήσυχης φύσης τους, και παρά τις δυσκολίες που αντιμετώπισε, κατάφερε να κάνει την ιδέα του  κόμικ, για το οποίο κόμικ, αυτό καθαυτό, δεν θα καταθέσω τη δική μου προσωπική άποψη, αλλά της - εξίσου με τον Θοδωρή ανήσυχης και δραστήριας  -  συναδέλφου Χριστίνας Ζουρνά, με την οποία ανταλλάξαμε ήδη αρκετά μηνύματα γύρω από ... το μυστήριο στην υπόθεση της δολοφονίας του κυρίου Χ! :)
                
                 Μου έγραψε η Χριστίνα:

Μου άρεσε πάρα πολύ η εικονογράφηση, οι χρωματικοί συνδυασμοί, οι εικόνες από τα τοπία και τις πόλεις, μουσεία κλπ ανάλογα με τον μαθηματικό στον οποίο αναφέρονται οι δυο τρεις σελίδες κάθε φορά,  η μεταφορά σε κόμικ ήταν εξαιρετική ιδέα που τραβάει πολύ μεγάλους και παιδιά - είναι ωραίος ο χωρισμός με τις καφέ σελίδες και τον καινούργιο τίτλο και το όνομα του υπόπτου, πολύ καλό στήσιμο στο τέλος με λίγα ιστορικά στοιχεία και τις λύσεις των προβλημάτων. Πιστεύω ότι άνετα θα μπορούσε κάποιος να χρησιμοποιήσει τις καφέ σελίδες για να λύσει το κάθε πρόβλημα, αν δε φοβάται να γράψει στις σελίδες ενός βιβλίου. Το σενάριο και η σειρά των εικόνων (ντεκουπάζ για τους γνώστες) πολύ πολύ καλή. Γενικά πολύ προσεγμένη δουλειά. Ο εικονογράφος υποστήριξε πολύ καλά το έργο- και τη δουλειά του Θοδωρή. Ανέδειξε την όλη εργασία!! Προσωπικά θα προτιμούσα διαφορετικό τέλος, αλλά αυτό δεν ενδιαφέρει - είναι θέμα του συγγραφέα!!!! Όσο για να χρησιμοποιηθεί από τους μαθητές, νομίζω ότι ναι θα ήθελα, προσφέρεται κυρίως για γ γυμνασίου ή α λυκείου, ανάλογα με το πρόβλημα ταιριάζει σε πολλές τάξεις. Πιστεύω όμως ότι για γυμνάσιο είναι ιδανικό. Σίγουρα θα τους το δείξω πάντως σε όλες τις τάξεις που κάνω μάθημα- και στη θεατρική. Όπως είπα και στο Θοδωρή, οι αξιόλογες προσπάθειες αν μη τι άλλο, τουλάχιστον να αναγνωρίζονται!
Φιλιά
Χριστίνα


Φιλιά και από μένα!

Παρασκευή, 24 Δεκεμβρίου 2010

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΤΟΥ (αστυ)ΝΟΜΟΥ

"Τη δεκαετία του 1980, ο Κιμ Ρόμσο ήταν ένας νέος αστυνόμος που ανήκε στην αστυνομική δύναμη του Βανκούβερ, στον Καναδά. Αυτό που τον έκανε ασυνήθιστο για αξιωματικό της αστυνομίας ήταν το ταλέντο του στα μαθηματικά. Στο σχολείο είχε χαρακτηριστεί παιδί-θαύμα, το είδος του μαθητή που προκαλεί εκνευρισμό στους συμμαθητές του, ακόμη και στους δασκάλους του. Λέγεται ότι στις αρχές της τελευταίας τάξης του λυκείου, βαριεστημένος από τον αργό ρυθμό με τον οποίο διδασκόταν τα μαθηματικά στο σχολείο του, ζήτησε να δώσει τις τελικές εξετάσεις τη δεύτερη εβδομάδα του τριμήνου. Αφού αρίστευσε, απαλλάχθηκε για την υπόλοιπη χρονιά από το μάθημα των μαθηματικών.
Λίγο αργότερα, νιώθοντας επίσης να πνίγεται από τη συνήθη αργή πρόοδο των αστυνομικών ερευνών στα διάφορα βίαια κατά συρροήν εγκλήματα, ο Ρόμσο αποφάσισε να επιστρέψει στα θρανία, απο τα οποία έφυγε με ένα διδακτορικό δίπλωμα στην εγληματολογία από το Πανεπιστήμιο Σάιμον Φρέιζερ-ο πρώτος αστυνομικός με τέτοιο δίπλωμα στον Καναδά. Οι επιβλέποντες της εργασίας του, Πολ και Πατρίτσια Μπράντιγκχαμ, ήταν πρωτοπόροι στην ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων (συνόλων, δηλαδή, εξισώσεων που περιγράφουν μια κατάσταση) για την εγκληματική συμπεριφορά ιδιαιτέρως εκείνων που περιγράφουν τις πιθανότερες τοποθεσίες διάπραξης ενός εγκλήματος με βάση τον τόπο κατοικίας και εργασίας του εγκλήματια. [...]
Το ενδιαφέρον του Ρόμσο εστιάστηκε σε κάτι ελαφρώς διαφορετικό. Δεν ήθελε να μελετήσει τα πρότυπα της εγκληματικής συμπεριφοράς. Ως αξιωματικός της αστυνομίας, ήθελε να χρησιμοποιήσει τα πραγματικά δεδομένα σχετικά με τις θέσεις των εγκλημάτων ενός αγνώστου δράστη, ως ερευνητικό εργαλείο για την εξιχνίαση των εγκλημάτων.
Ο Ρόμσο ανέλυσε με επιτυχία κάποιες παλιότερες υποθέσεις και αφότου έλαβε το διδακτορικό του και προήχθη σε αστυνομικό επιθεωρητή, επικεντρώθηκε στην ανάπτυξη καλύτερων μαθηματικών μεθόδων, δημιουργώντας την επονομαζόμενη γεωγραφική στοχοποίηση του εγκληματία (criminal geographic targeting). Η μέθοδος ονομάζεται και "σκιαγράφηση γεωγραφικού προφίλ", επειδή συμπλήρωνε την πολύ γνωστή τεχνική της "σκιαγράφησης ψυχολογικού προφίλ", που χρησιμοποιείται για τον εντοπισμό των εγκληματιών βάσει των κινήτρων και των ψυχολογικών  χαρακτηριστικών τους. Με τη σκιαγράφηση γεωγραφικού προφίλ επιχειρείται να εντοπιστεί η πιθανή βάση δράσης ενός εγκληματία μέσω της ανάλυσης των τοποθεσιών όπου διέπραξε τα εγκλήματά του. [...]"

Αυτή είναι η πραγματική ιστορία  του Κιμ Ρόμσο και του μαγικού (μαθηματικού) τύπου , που  αυτός επινόησε! Ο τύπος του Ρόμσο, που βελτιώθηκε από τον επινοητή του στη συνέχεια, εξελίχτηκε στο πρόγραμμα Rigel, το οποίο σήμερα εφαρμόζεται από αστυνομικές και άλλες ερευνητικές υπηρεσίες σε όλον τον κόσμο!
Σε αυτήν την πραγματική ιστορία του Ρόμσο  βασίστηκε το σενάριο του πρώτου επεισοδίου της αστυνομικής σειράς NUMB3RS, που ο καλός μου φίλος, ΔΧ, προ πολλού μου είχε προτείνει να παρακολουθώ, αλλά εγώ λόγω της απέχθειας μου προς την TV, το ξέχασα!!! Συγγνώμη :(
Χθες βράδυ όμως, έπιασα στα χέρια μου το βιβλίο "ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΤΗΛΕΟΠΤΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ NUMB3RS", των Keith Devlin (συγγραφέα του βιβλίου ΦΕΡΜΑ-ΠΑΣΚΑΛ το τελευταίο παιχνίδι, το οποίο με είχε γοητεύσει τον Απρίλη...)   και  Gary Lorden, που μόλις κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ,  και ειλικρινά μετάνοιωσα που δεν είχα ακούσει νωρίτερα τη συμβουλή του φίλου μου, αν και δεν αντέχω να στέκομαι απέναντι από την τηλεόραση! :)

"Η σειρά NUMB3RS δεν δημιουργήθηκε με σκοπό τη διδασκαλία των μαθηματικών, ούτε την επεξήγησή τους. Είναι μια ψυχαγωγική σειρά, και μάλιστα εντυπωσιακά επιτυχημένη.Οφείλουμε να αναγνωρίσουμε πως οι συγγραφείς, οι ερευνητές και οι παραγωγοί κάνουν ό,τι μπορούν για να παρουσιάσουν ορθά τις μαθηματικές ιδέες, προσπαθώντας παράλληλα να δημιουργήσουν μία από τις πιο επιτυχημένες αστυνομικές σειρές στην ιστορία της τηλεόρασης", γράφουν οι συγγραφείς του βιβλίου στη σελίδα 307, ενώ ήδη από τον πρόλογο μας εξηγούν:
"Το βιβλίο μας σκοπεύει να περιγράψει, με μη τεχνικό τρόπο, μερικές από τις σημαντικότερες μαθηματικές τεχνικές που έχουν σήμερα στη διάθεσή τους η αστυνομία, η CIA και το FBI. Οι περισσότερες απ' αυτές αναφέρονται σε κάποιο επεισόδιο της σειράς NUMB3RS, και ενώ πολλές φορές συνδέουμε τις εξηγήσεις μας με ό,τι παίχτηκε στον αέρα, στο βιβλίο επικεντρωνόμαστε στις μαθηματικές τεχνικές και στον τρόπο με τον οποίο μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην εφαρμογή του νόμου."

Τον σκοπό τους τον πέτυχαν στην εντέλεια κι ακριβώς αυτό με έκανε να ξημερωθώ, παραμονή Χριστουγέννων, με ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΤΗΛΕΟΠΤΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ, στα χέρια..
Η κρυφή γοητεία των "στοχαστικών μαθηματικών", που οι K.Devlin και G.Lorden, αναλύουν με άκρως γλαφυρό και κατανοητό τρόπο, σε συνδυασμό με την πολύ καλή μετάφραση του Νίκου Αποστολόπουλου, καθιστούν το βιβλίο ένα εξαίρετο δώρο για όποιον θα ήθελε να χαρίσει στον εαυτό του ή σε όποιον αγαπά, ένα μέσο, επιμόρφωσης, ψυχαγωγίας, αλλά κυρίως "αποκάλυψης" της ομορφιάς και της δύναμης που περιέχουν τα συνεχώς εξελισσόμενα Μαθηματικά και γι' αυτό καταφέρνουν να μπαίνουν στην υπηρεσία του Νόμου και κάθε δυνατής ανθρώπινης επινόησης!

--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Στο βιβλίο θα επανέλθω με εκτενέστερη ανάρτηση, επειδή πολλά σημεία του είναι απίστευτα γοητευτικά, όπως το κεφάλαιο με τίτλο "Τα μαθηματικά στην αίθουσα του δικαστηρίου" ή το άλλο, όπου αναλύονται οι πιθανότητες των παιχτών στο παιχνίδι BLACK JACK...κι άλλα πολλά!
Σταματώ όμως εδώ, για να πάω στο κέντρο της πόλης, όπου  ακούγονται τα κάλαντα από κάθε γωνιά!
ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΜΑΣ!

Τετάρτη, 22 Δεκεμβρίου 2010

ΑΝΑ-ΚΑΤΑ-ΔΙΑ!

Συλλαμβάνω μερικές φορές τον εαυτό μου, σε στιγμές που ενώ φαίνεται πως είναι εντελώς χαλαρός και απαλλαγμένος από οποιαδήποτε σκέψη, να ψιθυρίζει με εκείνη την ακατάπαυστη και ενίοτε ενοχλητική  εσωτερική του φωνή: "ανάκατάδιάμετάπαρά"!
Εκεί, στο "παρά", συνειδητοποιώ ότι λέω πάλι τις κύριες προθέσεις, όπως τις είχαμε μάθει στο Δημοτικό (ή μήπως στο Γυμνάσιο;), και τότε ευκαιρίας δοθείσης το πιάνω από την αρχή, για να κάνω στα γρήγορα μια σύντομη άσκηση μνήμης, : "εν, εις, εκ ή εξ, συν, προς, προ, ανά κατά, διά, ...."!
 Ύστερα λέω στο καπάκι και τα νησιά της Ιαπωνίας, που τα 'χαμε μάθει στην Α' Γυμνασίου, και για κάποιον άγνωστο λόγο τα έχω συνδέσει με τις κύριες προθέσεις κι έτσι  συμπληρώνω την άσκηση μνήμης, στην οποία υποβάλλω τους εγκεφαλικούς μου νευρώνες, για να τους κρατώ όσο το δυνατόν σε φόρμα, ώστε να υπηρετούν τη μνήμη μου :)
Ναι, ανήκω σ΄ εκείνη την κατηγορία ανθρώπων που θεωρεί τη "μνήμη" πολύ μεγάλο προσόν και βασική προϋπόθεση για να διευρύνει κανείς, αρχικά τη γλώσσα του, στη συνέχεια τις γνώσεις του και τέλος ολόκληρο τον κόσμο του. Αν "Τα όρια του κόσμου μας είναι τα όρια της γλώσσας μας", όπως είχε πει ο Λούντβιχ Βιτγκενστάιν, τότε αναμφιβόλως περιορίζουμε αυτομάτως τον κόσμο μας, όταν περιορίζουμε τη γλώσσα μας. Τον κόσμο μας τον εξωτερικό και τον εσωτερικό.
Αυτή την άποψη  προσπαθώ να την περάσω στους μαθητές μου, οι οποίοι, πλην ελαχίστων εξαιρέσεων, έχουν  μνήμη που δεν τους επιτρέπει να αποδώσουν, ούτε στον προφορικό, ούτε στον γραπτό λόγο, όλα όσα οι ίδιοι πιστεύουν πως κατέχουν καλά και τα έχουν επισταμένως μελετήσει και τα έχουν μάθει. Το πρόβλημα δεν είναι  καθόλου απλό, δεν περιορίζεται στο δικό μου σχολείο και δεν ανησυχεί, πιστεύω,  μόνο εμένα. Είναι προφανές επίσης πως δεν το αναφέρω για να "κατακρίνω" τους μαθητές,  να τους επιρρίψω ευθύνες και  να πω το κλασικό "μα δεν διαβάζουν όσο θα έπρεπε" ή  κι άλλα τέτοια.
Το πρόβλημα είναι γενικευμένο και θέλει ιδιαίτερη προσοχή και ιδιαίτερη μεταχείριση, από εμάς τους εκπαιδευτικούς που διαπιστώνουμε πόσο "ανάκατα" είναι τα πράγματα στη "μνήμη" των μαθητών, η οποία μνήμη για ποικίλους λόγους, κυρίως όμως λόγω υψηλής τεχνολογίας και συνεχούς ενασχόλησης μ' αυτήν, έχει μεταλλαχθεί και μεταλλάσσεται συνεχώς  με γοργούς ρυθμούς, σε τέτοιο βαθμό που δεν μπορώ να διανοηθώ πως θα εξελιχθούν τα πράγματα, αν δεν συνειδητοποιήσουμε τι συμβαίνει και αν δεν αρχίσουμε ποικιλοτρόπως να το αντιμετωπίζουμε.  
Πριν δεχτώ τα πυρά όσων υπερασπίζονται τον κώδικα των νέων και το γλωσσικό τους ιδιόλεκτο, να ξεκαθαρίσω πως το πρόβλημά μου δεν είναι το γλωσσικό ιδιόλεκτο! Δεν αναφέρομαι, δηλαδή, στον τρόπο με τον οποίον οι νέοι επικοινωνούν μεταξύ τους, παραποιώντας τη γλώσσα με τη χρήση γλωσσικών τύπων που λειτουργούν παραβατικά ως προς την τυπική νόρμα. Σιγά το πρόβλημα! Αυτό είναι ένα αιώνιο και εντελώς ανώδυνο πρόβλημα, ξεπερασμένο προ πολλού, σε βαθμό που ούτε η Άννα Φραγκουδάκη, η  οποία τόσα έγραψε για το συγκεκριμένο θέμα προασπιζόμενη τους νέους και την ομιλία τους, θα πρέπει να ανησυχεί πλέον γι' αυτό! :) Είναι, εν πολλοίς, ένα χιλιοσυζητημένο τύποις πρόβλημα, από αυτά που πλουτίζουν τις σελίδες των φιλολογικών μαθημάτων στα σύγχρονα σχολικά εγχειρίδια! (στα δικά μας εγχειρίδια, δεν γινόταν κουβέντα για τέτοια θέματα..)
Αναφέρομαι, όχι  στον τρόπο με τον οποίον οι νέοι επικοινωνούν μεταξύ τους, αλλά σ' αυτόν με τον οποίον επικοινωνούν με την βασική, στοιχειώδη γνώση, αυτήν που καλούνται να αποκτήσουν όσο φοιτούν στο σχολείο. Και ακόμη πιο συγκεκριμένα αυτή τη στιγμή αναφέρομαι στο μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, το οποίο κάθε χρόνο γίνεται ολοένα και ... δυσκολότερο, παρόλο που το εγχειρίδιο που χρησιμοποιούμε παραμένει το ίδιο.
Σήμερα, για να κάνουμε έναν έλεγχο, από κοινού εγώ και οι μαθητές μου, πόσο καλά γνωρίζουμε το "Γλωσσάρι της Γεωμετρίας", είχαμε συμφωνήσει να γράψουμε ένα ιδιόρρυθμο τεστάκι.
Να εξηγήσω ότι το "Γλωσσάρι της Γεωμετρίας" είναι το ένα από τα δύο μέρη του τετραδίου που ονομάσαμε από την αρχή της χρονιάς "Γλωσσάρι των Μαθηματικών" και όπου σημειώνουμε τους ορισμούς μαθηματικών εννοιών κι οντοτήτων που συναντάμε στο μάθημα, όπως για για  παράδειγμα: διάμεσος τριγώνου, διάμετρος κύκλου κλπ κλπ. Οι λέξεις που είχαμε για το τεστ δεν ήταν πάνω από δέκα όλες κι όλες, αλλά αυτό δεν έχει σημασία καθότι..ουκ εν τω πολλώ το ευ!
Το θεώρησα περισσότερο, ως ένα "δωράκι" για τις γιορτές αφού σε ένα τόσο απλό τεστ θα έπεφταν τα εικοσάρια βροχή και θα χαιρόταν τα παιδιά, θα χαιρόμουν κι εγώ διπλά..
Τουλάχιστον αυτός ήταν ο  σκοπός μου αρχικά. Τα γραπτά των παιδιών όμως δεν ανταποκρίθηκαν στον δικό μου σχεδιασμό! Παραθέτω τα τεστ για όποιον θα ήθελε να δει τα ζητούμενα και να κρίνει το βαθμό δυσκολίας. (Θα με ενδιέφερε πολύ να δεχτώ σχόλια επ' αυτού)



Μόνο στο 1/3 των γραπτών η διάμετρος (ΑΒ, ΓΕ στα θέματα Α, Β αντίστοιχα) του κύκλου ονομάστηκε διάμετρος! Στα 2/3 η διάμετρος ονομάστηκε  διά-κεντρος, διά-μεσος, αλλά και διχοτόμος, κάθετος, εφαπτομένη, μεσοκάθετος, ακόμη  και απόσταση του κύκλου!...
Μάλιστα! Και τώρα; Τι κάνουμε τώρα; Σε ποιο βαθμό μπορούμε να παρέμβουμε και να βελτιώσουμε αυτήν την άναρχη κατάσταση; Πώς και γιατί μεγαλώνει συνεχώς το ποσοστό των "ανεπιτυχώς αυθαιρέτων" απαντήσεων που δίνουν οι μαθητές; Μήπως πίσω από όλην αυτήν την αναρχία υπολανθάνει μεταξύ των άλλων και η υπέρμετρη ανοχή σε κάθε παιδικό "καπρίτσιο", με αποτέλεσμα να τους έχει σταδιακά καλλιεργηθεί η πεποίθηση πως έχουν τη δυνατότητα και το δικαίωμα να λένε το κάθε τι αυθαίρετα με όποιον τρόπο επιθυμούν; Να τα λένε ανάκατα; Ή μήπως επιβάλλεται να τα λένε όλα με "δικά τους λόγια", αφού η "στείρα" απομνημόνευση έχει κριθεί αντιπαιδαγωγική; Τι νόημα έχει να μαθαίνουν τα "ανά, κατά, διά, μετά, παρά,.." απ' έξω κι ανακατωτά;
Αφού μπορούν, όπως πιστεύουν, να τα πουν  με τα δικά τους λόγια: ΄

Ή ακόμη μπορούν να χρησιμοποιήσουν τη φαντασία τους για να περιγράψουν τη μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος:

ΑΝΑ-ΚΑΤΑ-ΔΙΑ..διάμετρος, δίχως μέτρα και σταθμά!
Πάντων χρημάτων μέτρον έστιν άνθρωπος, των μεν όντων ως έστιν, των δε ουκ όντων ως ουκ εστίν,  είπε  ο Πρωταγόρας..ΑΛΛΑ κάποιων χρημάτων μέτρον έστι και η μνήμη του ανθρώπου...
Όσο κι αν την έχουμε επεκτείνει τεχνητά όλοι μας με τη χρήση σκληρών περιφερειακών δίσκων, αυτό που πραγματικά είναι δικό μας, αυτό που μας ανήκει, δεν είναι η περιφέρεια της μνήμης που κουβαλάμε στην τσάντα μας, στο κινητό μας, στο φλασάκι μας, αλλά είναι το κεφάλι μας και ό,τι αυτό έχει στο εσωτερικό του...
Τούτο είναι μάλλον που θα πρέπει να  καταλάβουν πρωτίστως τα παιδιά, τα οποία κάπως έχουμε, εμείς οι ίδιοι και η αφειδώς χορηγούμενη υψηλή μας τεχνολογία,  ανακαταδια-παραπλανήσει... 





Δευτέρα, 20 Δεκεμβρίου 2010

ΘΕΩΡΗΣΕ ΤΟΝ ΕΑΥΤΟ ΣΟΥ ΤΥΧΕΡΟ ΚΙ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΟΥ ΤΟ...

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία όλες οι κατασκευές γίνονται με κανόνα και διαβήτη. Μόνο! Κανόνας είναι ο αδιαβάθμητος χάρακας που μας επιτρέπει να ενώνουμε δυο σημεία μεταξύ τους κατασκευάζοντας ένα ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα μικρό κομμάτι μιας ευθείας.
Οι μαθητές, με ελάχιστες εξαιρέσεις, ξεχνούν να βάλουν στην τσάντα τους τα γεωμετρικά τους όργανα και όλα τα σχήματα που απαιτεί το μάθημα της ημέρας γίνονται στα τετράδια τους πρόχειρα, με το χέρι. Κύκλοι αυγά, ευθείες κατσαρές, παράλληλες που τέμνονται και ένα πλήθος αντιφάσεων που, για χάρη του μαθήματος, θεωρούμε ότι αποτελούν τα ιδανικά γεωμετρικά σχήματα, τα οποία ούτως ή άλλως δεν υπάρχουν στον υλικό κόσμο, αλλά ζούνε μόνο μέσα στο μυαλό μας, όπως και όλα τα υπόλοιπα ιδανικά πράγματα!
Το σημερινό  μάθημα ωστόσο, οι "Απλές γεωμετρικές κατασκευές", δεν μπορούσε να γίνει παρά μόνο αν οι μαθητές χρησιμοποιούσαν τα δυο ευκλείδεια όργανα, επειδή ο στόχος του είναι να μάθουν  να κάνουν  κάποιες ειδικές κατασκευές!
 Όπως το πώς φέρνουμε τη μεσοκάθετο σε ένα ευθύγραμμο τμήμα,αξιοποιώντας αφενός την ιδιότητα που έχουν τα σημεία της μεσοκαθέτου, να ισαπέχουν από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος, αφετέρου το μαγικό γεωμετρικό όργανο που λέγεται διαβήτης και είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο, όπως το κομπάσο που χρησιμοποιούν οι ναυτικοί για να χαράξουν πορεία...

Η κατασκευή της μεσοκαθέτου είναι σχετικά απλή και γνωστή ήδη από το Γυμνάσιο και τα καταφέραμε αρκετά καλά, παρά τον περιορισμένο αριθμό διαβητών στην τάξη.
Οι επόμενες  κατασκευές όμως είχαν έναν αρκετά μεγαλύτερο βαθμό δυσκολίας! 
Αυτό δεν γίνεται πάντοτε άλλωστε; Όσο προχωράμε δεν δυσκολεύουν κάπως  τα πράγματα;
Το δοσμένο, αυτή τη φορά ήταν μια ευθεία, και το ζητούμενο να φέρουμε κάθετη σε ένα σημείο της Α!
Ευθεία! Δηλαδή ούτε αρχή ούτε τέλος!? Και πώς να δουλέψει κανείς σε οντότητες αχανείς και ατελείωτες, όταν δεν μπορεί να τις προσαρμόσει μέσα στις, δυστυχώς, πεπερασμένες  ανθρώπινές του δυνατότητες;
Καταλάβαμε γρήγορα πόσο δύσκολο ήταν αυτό που μας ζητούσαν να κάνουμε και δεδομένου πως δεν είχαμε μαζί μας ούτε τα "όπλα" μας, αφού οι διαβήτες δεν είχαν μπει από βραδίς στις σχολικές τσάντες... :(, είμασταν σχεδόν έτοιμοι να εγκαταλείψουμε κάθε προσπάθεια!
Όμως τότε, λίγο πριν παραδοθούμε στην υπέρμετρη δυσκολία του προβλήματος, σε μια τελευταία προσπάθεια αντιμετώπισής του, σκεφτήκαμε να αξιοποιήσουμε ό,τι είχαμε πρόχειρο και ό,τι υπήρχε διαθέσιμο. Αυτό που διαθέταμε ήταν το σχήμα από την προηγούμενη κατασκευή, το οποίο υπήρχε ακόμη στον πίνακα. Αυτό ήταν! Κάποια μαθήτρια, επιμελής, με διαβήτη κι ό,τι άλλο έχει μια επιμελής μαθήτρια, σκέφτηκε να κατασκευάσουμε, χρησιμοποιώντας τον διαβήτη, πάνω στην ευθεία ένα ευθύγραμμο τμήμα που θα είχε για μέσο του το σημείο Α, οπότε, στη συνέχεια, θα μπορούσαμε να κάνουμε ό,τι κάναμε στην προηγούμενη περίπτωση. Ακολουθήσαμε τις οδηγίες της, περιοριστήκαμε σε ένα κομμάτι ΒΓ της απέραντης ευθείας και επιτέλους καταφέραμε να βγούμε από το ...αδιέξοδο!
 
Το επόμενο ζητούμενο ήταν ακόμη δυσκολότερο, γιατί ήθελε να φέρουμε κάθετη στην ευθεία ε,
από ένα σημείο που δεν βρισκόταν πάνω της! Όμως τώρα είχαμε πια αποκτήσει εμπειρία!

Μόλις προ ολίγου είχαμε εφαρμόσει αυτό το "ανάγομαι στην προηγούμενη απλή  περίπτωση", μια μέθοδο που κατά κανόνα αξιοποιούν  τα Μαθηματικά, για να καταλύουν τα δύσκολα προβλήματα, αυτά  που  αντιστέκονται σαν ...  Πύργοι απόρθητοι!! Είμασταν αρκετά υποψιασμένοι και σε ελάχιστο χρόνο η λύση δόθηκε. Η κατασκευή ήταν παιχνιδάκι! 
Παρόλο που δεν είχαμε κάνει όλοι μας  χρήση του διαβήτη και δεν είχαμε εξοικειωθεί με τις κατασκευές, χρησιμοποιώντας τα δυο ευκλείδεια όργανα όσο θα έπρεπε, καταφέραμε να μάθουμε πως αντιμετωπίζει κανείς ένα δύσκολο πρόβλημα, βάζοντάς του "όρια" ή, εν προκειμένω,  βάζοντας άκρα Β, Γ και φέρνοντάς το έτσι στα δικά του, πεπερασμένα...πλην απεριόριστα,  ανθρώπινα  μέτρα!
Φτάνει να μη χάνει το  θάρρος του!
Και, στην περίπτωση που είναι εκπαιδευτικός και όχι μαθητής, να θυμάται αυτό που γράφει ο Ian Stewart στο βιβλίο του Επιστολές σε μια νεαρή μαθηματικό, που κυκλοφόρησε το 2008, από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ, όπου συμβουλεύει τη νεαρή φίλη του για το πώς θα πρέπει μελλοντικά να αντιμετωπίζει τους φοιτητές της, λέγοντάς της μεταξύ των άλλων και το εξής:

Για μένα, ο καλός δάσκαλος είναι εκείνος που έχει την ικανότητα να "μπαίνει" στη θέση του μαθητή. Δεν αρκεί να δίνεις όμορφες διαλέξεις και να βαθμολογείς διαγωνίσματα. Όλη η ουσία βρίσκεται στο να βοηθήσεις τους φοιτητές να κατανοήσουν την ύλη. Όταν δίνεις μια διάλεξη ή δέχεσαι στο γραφείο σου φοιτητές, πρέπει να θυμάσαι ότι αυτό που για σένα είναι εντελώς προφανές, μπορεί να φαίνεται μυστηριώδες και σκοτεινό σε κάποιον που δεν έχει τις γνώσεις σου.
Είναι κάτι που προσπαθώ να θυμίζω πάντοτε στον εαυτό μου. Όταν βαθμολογείς διαγωνίσματα, εύχομαι να μην αρχίσεις να αναρωτιέσαι, "Πώς γίνεται να διδάσκω αυτή την ύλη επί είκοσι χρόνια και αυτοί ακόμη δεν την καταλαβαίνουν;" Εάν κάθε χρονιά έρχονται καινούριοι φοιτητές, και συναντούν ακριβώς τις ίδιες δυσκολίες όπως και οι προηγούμενοι, επαναλαμβάνεις τα ίδια λάθη, δεν φταίνε εκείνοι' έπρεπε εσύ να τα είχες παρατηρήσει όλα αυτά προηγουμένως.
Αν συμβεί κάτι τέτοιο, μην εκλάβεις ως εντελώς αρνητικό το γεγονός ότι δεν τα είχες παρατηρήσει όλα αυτά προηγουμένως. Θεώρησε τον εαυτό σου τυχερό και εκμεταλλεύσου το (σελ. 209)

Ναι, πράγματι. Θεώρησε τον εαυτό σου τυχερό, εσύ, όπως κι εγώ, που μας δίνεται η ευκαιρία να δούμε μέσα από τα μάτια των παιδιών πόσο τρομακτική μπορεί να είναι αυτή η ευθεία, η τόσο οικεία σε σένα, σε μένα, στον καθένα που  έχει προ πολλού ... ευθυγραμμιστεί σε μια  στερεότυπη διαδικασία αναπαραγωγής της γνώσης!! :)

Κυριακή, 19 Δεκεμβρίου 2010

ΔΥΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΛΑΘΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΕΣ ΜΩΒ ΑΝΤΑΥΓΕΙΕΣ...

"...το ελληνικό σχολείο εξακολουθεί να έχει τα διαμάντια του, τόσο ανάμεσα στους εκπαιδευτικούς που το υπηρετούν, όσο και στους μαθητές που γεμίζουν τις τάξεις του, παρά τις όποιες εξαιρέσεις.
Το λάθος της Πολιτείας είναι ότι αγνοεί προκλητικά την ύπαρξη όλων αυτών των λαμπρών ανθρώπων, μέσα στα πλαίσια μιας άθλιας νοοτροπίας εξωραϊσμού της μετριότητας.
Ο Αναστάσιος Ματσόπουλος, επίκουρος καθηγητής σχολικής ψυχολογίας στο πανεπιστήμιο της Κρήτης, σε κείμενό του με τίτλο "Καλό το "έξυπνο" σχολείο, αλλά τι κάνουμε με τα έξυπνα παιδιά του σχολείου;" που δημοσιεύτηκε από την ιστοσελίδα του Alfavita [...] αναφέρει μιλώντας για τους εξαιρετικούς μαθητές, ότι η Πολιτεία κάνει δύο θεμελιώδη λάθη. Πρώτο λάθος είναι πως αντί να εντοπίζει τα παιδιά με υψηλούς δείκτες νοημοσύνης για να τα βοηθήσει να μάθουν περισσότερα, να αποκτήσουν περισσότερη όρεξη και αγάπη για την μάθηση (και όχι να καταλήξουν να την αποστρέφονται) και εν γένει να εξελιχθούν περαιτέρω, τους κατατάσσει με τον "μέσο" μαθητή σε ένα σχολείο μετριότητας. Και ο κ. Ματσόπουλος συνεχίζει λέγοντας: "Δυστυχώς, χάνουμε την ευκαιρία να εκπαιδεύσουμε τα χαρισματικά και ταλαντούχα παιδιά στο δημόσιο σχολείο. Δεύτερο λάθος, που αποτελεί συνέχεια του πρώτου, είναι ότι δεν κάνουμε κάτι δυναμικό για να κρατήσουμε τα παιδιά αυτά στη χώρα μας, ώστε να προκόψουν εδώ, για να προκόψει και ο τόπος μαζί τους.  Όταν σπουδάσουν σε Ευρώπη και Αμερική, τα ξεχνάμε και δεν τους δίνουμε κανένα κίνητρο (μάλλον δίνουμε πολλά αντικίνητρα) για να επιστρέψουν πίσω στην πατρίδα, την ηλιόλουστη Ελλάδα.[...].
Αυτά τα παιδιά [...] είναι μια από τις καλύτερες στρατηγικές επενδύσεις που θα μπορούσε να κάνει η χώρα μας."

Το άρθρο του Αναστάσιου Ματσόπουλου, μαζί με άλλα σχετικά άρθρα,  παραθέτει ο Βαγγέλης Βαρβαρέσος, στο βιβλίο του
"Οι μωβ ανταύγειες της εκπαίδευσης...", που κυκλοφόρησε αυτές
τις μέρες από τις εκδόσεις ΜΥΓΔΟΝΙΑ, και παρουσιάστηκε σήμερα το πρωί στο Κέντρο Ιστορίας Θεσσαλονίκης.
Το πολυπληθές κοινό, που κατέκλυσε την αίθουσα και απαρτίζονταν κυρίως από καθηγητές  Μέσης Εκπαίδευσης, μαρτυρά πως η ανάγκη για μια κατά μέτωπο αντιμετώπιση της σχολικής δυσάρεστης πραγματικότητας δεν χωρά πλέον καμιά αναβολή.  
Ο Βαγγέλης Βαρβαρέσος με τόλμη και ειλικρίνεια επιχείρησε να περιγράψει τα μελανά σημεία της Εκπαίδευσης. Τις μωβ ανταύγειες στις πολιτικές, κοινωνικές και διδακτικές πρακτικές που διαιωνίζουν και διογκώνουν τα υπαρκτά προβλήματα. Συνεπικουρούμενος στην προσπάθεια του από κείμενα και άρθρα ειδικών, όπως του Αναστάσιου Ματσόπουλου, 
[διαβάστε όλο το άρθρο εδώ ], που παραθέτει και σχολιάζει στο βιβλίο του, πετυχαίνει να καταμερίσει στην κάθε μια από τις ομάδες που διαδρούν σ' αυτό που ονομάζουμε Εκπαίδευση το ποσοστό ευθύνης και λάθους που της αναλογεί. Δίχως εκπτώσεις και δίχως πρόθεση να γίνει αρεστός και να κερδίσει τις εντυπώσεις κάνει μια κάθετη τομή σε ό,τι επί χρόνια τώρα "ωραιοποιούμε" ή αποφεύγουμε, γονείς, εκπαιδευτικοί και Πολιτεία, αποβλέποντας σε εύκολες λύσεις και κυρίως σε λύσεις συμβατές με τις καταναλωτικές επιταγές της εποχής μας. 

Θα ήμουν ανειλικρινής αν ισχυριζόμουν πως οι πολιτικές και ιδεολογικές μου απόψεις ταυτίζονται κατά γράμμα με αυτές του Βαγγέλη Βαρβαρέσου, τον οποίον γνωρίζω από την εποχή που ήμασταν ακόμη φοιτητές. Όμως θα είμαι εξίσου ανειλικρινής αν δεν παραδεχτώ αφενός τη χρησιμότητα του εγχειρήματός του, αφετέρου την επιτυχία του στόχου του. Και η επιτυχία του έγκειται ακριβώς στο σημείο αυτό, στο ότι καταφέρνει να δημιουργήσει ένα κοινό πλαίσιο για προβληματισμό και συζήτηση σε ανθρώπους προερχόμενους από όλους τους δυνατούς πολιτικούς και κοινωνικούς χώρους, με μόνον κοινό παρονομαστή την εμπειρία τους και την καθημερινή τους τριβή στην ευαίσθητη και καθοριστική ζώνη της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης. Ο ίδιος ο Βαγγέλης Βαρβαρέσος δεν ισχυρίζεται πως θέτει καινούρια ζητήματα ούτε πως ό,τι λέει είναι κατ' ανάγκην ορθό. Και η μαρτυρία του αυτή είναι που προσδίδει μεγαλύτερο κύρος στην προσπάθειά του και διατρανώνει  τη σιγανή-εσωτερική διαμαρτυρία, την οποία ο καθένας σχεδόν από εμάς που εμπλεκόμαστε στην εκπαιδευτική διαδικασία, λίγο έως πολύ νιώθει μέσα του, αλλά συνήθως την  αποσιωπά για τους διάφορους δικούς του λόγους. "Ευθυγραμμίζεται" σε δοκιμασμένες πρακτικές  είτε επειδή επιλέγει μιαν κατ' επίφαση ευταξία στο σχολικό περιβάλλον  είτε  επειδή δεν θέλει να βρεθεί αντιμέτωπος με τη συνήθη πρακτική των προϊσταμένων που ως επί το πλείστον ακολουθώντας το ρεύμα της εποχής θεωρούν υπαίτιο των προβλημάτων τον ίδιο τον εκπαιδευτικό και την δική του ανεπάρκεια. 
 Έτσι μέσα στην ίδια τάξη και με το ίδιο πρόγραμμα σπουδών τα ιδιαίτερα "έξυπνα" παιδιά, για τα οποία μιλάει ο Αναστάσιος Ματσόπουλος στο άρθρο του, αναγκάζονται να υποβαθμιστούν και να μειώσουν τις απαιτήσεις τους, περιμένοντας τους υπόλοιπους συμμαθητές τους, το επίπεδο των οποίων κατεβάζει τον μέσο όρο..
Θα πρέπει βεβαίως να σκεφτούμε και τη ζημιά που προκαλείται στα άλλα παιδιά. Σ' αυτά που δεν είναι ιδιαίτερα έξυπνα, ώστε να αντιληφθούν αμέσως το έμμεσο αντικείμενο, τη δοτική διαιρετική ή το σημείο καμπής στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Αυτά τα παιδιά που έχουν κάποιες άλλες ικανότητες, όπως, ας πούμε, να δημιουργούν από το τίποτε μια κυψέλη και να παράγουν  μέλι ή να  ξεχορταριάζουν με μαεστρία την αυλή του σχολείου και να μαζεύουν τις ελιές από τα δέντρα.. Πόσο καταρρακώνεται άραγε ο ψυχικός τους κόσμος, όταν περιμένουν να χτυπήσει το κουδούνι μετρώντας το χρόνο με τη δική τους ελάχιστη ικανότητα ανταπόκρισης σε μια τυποποιημένη γνώση σε σχέση με κείνη κάποιων συμμαθητών τους; Και πόσο χρόνο άραγε τους παίρνει, αφότου τελειώσουν το σχολείο, για να καταλάβουν πως κάποιος που δεν μπορεί να παραγωγίσει σωστά μια συνάρτηση μπορεί να κάνει πολλά άλλα πράγματα ολόσωστα; 
Αλλά και πόσο είναι σε θέση ένας δάσκαλος μέσα στην τάξη να μανουβράρει σωστά όλο αυτό το "πολύτιμο" μαθητικό υλικό που έχει στα χέρια του, αν δεν μπορεί να συζητά καθημερινά τις αγωνίες τους και τα ποικίλα προβλήματα που αντιμετωπίζει; Πολύ δε περισσότερο στην εποχή μας που, όπως λέει και ο Βαγγέλης Βαρβαρέσος στο κλείσιμο του βιβλίου του:

Η πληροφορία έχει πάρει τη θέση της γνώσης η οποία με τη σειρά της έχει και αυτή αυξηθεί άναρχα.
Γι' αυτό και μπορεί, αν δεν χρησιμοποιηθεί με φρονιμάδα και σύνεση, να φυλακίσει τον άνθρωπο σε ένα αποπροσωποιημένο κοσμοείδωλο ή να τον ξεστρατίσει...[...]
Γι' αυτό και θα πρέπει να είμαστε έτοιμοι  να επαναλάβουμε τα λόγια που ο σοφιστής Πρωταγόρας στον ομώνυμο πλατωνικό διάλογο είπε για το περιεχόμενο της διδασκαλίας του, απαντώντας σε ερώτημα του Σωκράτη: "Το μάθημα που θα προσφέρουμε στους νέους θα είναι να σκέπτονται και να θέλουν το καλό του εαυτού τους (το ίδιον) και της κοινωνίας όλης (το κοινόν)".

Βαγγέλη, εσύ, εγώ και πολλοί πολλοί άλλοι, εκπαιδευτικοί και μη, θέλουμε να προσφέρουμε στους νέους ό,τι ακριβώς ήθελε να προσφέρει και ο σοφιστής Πρωταγόρας!
Και επειδή έχουμε κοινό στόχο θα πρέπει, όλοι εμείς, από κοινού να σκύψουμε πάνω από
τις μωβ ανταύγειες της εκπαίδευσης, με την ειλικρίνεια και την καθαρότητα που τις περιέγραψες...

Δευτέρα, 13 Δεκεμβρίου 2010

"ΑΝ ΜΑΘΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΑ ΣΩΣΩ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟ;"

" Όταν ήμουν στη Β' Λυκείου, ο καθηγητής των μαθηματικών προέβη σε μια εντυπωσιακά γενναία πράξη, κάνοντας την κατάπληκτη τάξη του να βιώσει μια στιγμή φαντασίωσης. Ενώ βρισκόταν στο κεφάλαιο των συναρτήσεων και προσέγγιζε το θέμα της συνέχειάς τους, μας κοίταξε χωρίς να πει τίποτα και έγραψε στον πίνακα τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f στο xo

Αυτή η παράθεση ιερογλυφικών έγινε δεκτή με μια σιωπή κατάπληξης. Δεν νομίζω ότι νιώσαμε άγχος. Δεν ήμασταν σε θέση να σκεφτούμε, είχαμε κεραυνοβοληθεί. Η όλη σκηνή δημιουργούσε  μια αίσθηση έντονου εξωτισμού: ο καθηγητής μάς είχε ξαφνικά μεταφέρει στις πυραμίδες της Αιγύπτου, πολύ πριν από την εποχή του Σαμπολιόν.
Αυτή η εμπειρία, αυτή η φαντασίωση, φαίνεται πολύ πιο διαδεδομένη απ' ό,τι φανταζόμουν: αρκετούς μήνες αφότου το έγραψα, είδα τυχαία ένα κινούμενο σχέδιο όπου ένας χαρακτήρας έβλεπε εφιάλτη. Βρισκόταν στο αμφιθέατρο του πανεπιστημίου, σε μια παρουσίαση όπου δεν καταλάβαινε τίποτα. Ρωτώντας έναν φοιτητή έμαθε με έκπληξη ότι επρόκειτο για μάθημα αιγυπτιακών μαθηματικών... στα ιερογλυφικά!
Ο καθηγητής δεν μας άφησε πολλή ώρα σε επαφή με αυτή την παράξενη παράσταση και γρήγορα κατεύνασε την ταραχή μας. Μόλις τέλειωσε το γράψιμο, στράφηκε προς το μέρος μας χαμογελώντας και μας είπε με συγκίνηση: "Κι εγώ την πρώτη φορά που το είδα είχα αυτή την έκφραση!".
Και άρχισε να μας εξηγεί, σύμβολο προς σύμβολο, την έννοια αυτής της παράστασης."

Πρόκειται για ένα βίωμα που περιγράφει η Anne Siety, στο βιβλίο της "Μαθηματικά, ο αγαπημένος μου φόβος", που κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Σαββάλας, το 2003.
Η Anne Siety είναι κάτοχος διπλώματος DESS στην κλινική ψυχολογία και έχει εκπαιδευτεί στην ψυχοπαιδαγωγική των μαθηματικών. Συνεργάζεται με πολλά ιδρύματα και διδάσκει στο τμήμα Παιδαγωγικής των Πανεπιστημίων Paris X και Paris VIII.
Στο βιβλίο  αυτό η Siety, παρουσιαζόντας πολλές περιπτώσεις μαθητών με τους οποίους συνομιλεί, αλλά και διάφορα προσωπικά της βιώματα όπως το παραπάνω,  προσπαθεί να αποδείξει πως τα Μαθηματικά, τα οποία από πολλούς θεωρούνται "απάνθρωπα", για να γίνουν κατανοητά απαιτούν τη συμμετοχή του βαθύτερου εαυτού μας. Απαιτούν αυτό που αποκαλεί  προσωπικό υπόβαθρο.

"Δεν προτείνει ψυχοθεραπεία, αλλά προσπαθεί να βοηθήσει το μαθητή να αντλήσει από τον εαυτό του, το σώμα του, τη φαντασία του, τα συναισθήματά του, τις φαντασιώσεις του, δηλαδή όλα τα μέσα που θα του επιτρέψουν να ξεπεράσει το "μπλοκάρισμα" του και να χαίρεται όταν ασχολείται με τα μαθηματικά.", διαβάζουμε στο οπισθόφυλλο του βιβλίου και μένουμε με την εντύπωση πως,  μελετώντας αυτό το εμπειρικό-βιωματικό-επιστημονικό σύγγραμμα, θα πετύχουμε εν τέλει όσα η συγγραφέας του προσπαθεί να πετύχει. Θα μπορέσουμε δηλαδή  να βοηθήσουμε  τους μαθητές να αντλήσουν από τον εαυτό τους όσα χρειάζονται για να βιώσουν τα Μαθηματικά, προσφέροντας σ' αυτά το απαιτούμενο προσωπικό τους υπόβαθρο. Και μέσα από αυτήν τη διαδικασία  να αναπτύξουν την αυτοεκτίμησή τους, να δοκιμαστούν, αλλά και να δοκιμάσουν  τα  θεωρητικά μαθηματικά μοντέλα και τις πραγματικές καταστάσεις που αυτά προσομοιώνουν, κάποιες από τις οποίες, ενδεχομένως, θα αντιμετωπίσουν  εμπράκτως στο μέλλον!
Όμορφα ακούγονται όλα αυτά, αναμφιβόλως αισιόδοξα,  και κάνουν τον εκπαιδευτικό να βιώνει εκείνου του είδους την ηθική ικανοποίηση που είναι η πρώτη  -και όπως πάνε τα πράγματα..η μόνη -  απολαβή που εισπράττει από το λειτούργημά του.
Όλα αυτά βέβαια σε θεωρητικό επίπεδο, γιατί η πραγματικότητα της τάξης έχει τους δικούς της κανόνες και εκεί δοκιμαζόμαστε καθημερινά  εμείς, οι εκπαιδευτικοί, αλλά και τα ίδια τα παιδιά  μες τες πολλές συνάφειες και μέσα στην παραδοξότητα του κόσμου που μας περιβάλλει.

Σήμερα, τη δεύτερη ώρα είχα με το Γ2,    Μαθηματικά Γενικής Παιδείας! Μόνο όσοι διδάσκουν  αυτό το μάθημα σε σχολείο καταλαβαίνουν τι σημαίνει "διδάσκω Μαθηματικά Γενικής Παιδείας σε σχολείο"!...  :):)  Μέσα στο ίδιο τμήμα είναι ανάκατα παιδιά που  εξετάζονται στο μάθημα πανελλαδικά και θέλουν να πετύχουν, άλλα παιδιά που το δίνουν ενδοσχολικά και θέλουν, απλά, να τα καταφέρουν στοιχειωδώς, κι άλλα παιδιά που δεν θέλουν ούτε να ακούνε για Μαθηματικά - ναι, υπάρχουν κι αυτά και είναι πολλά-και πασχίζουν την ώρα του μαθήματος με κάθε τρόπο να... επιβιώσουν!
Απαιτείται πολλή ενέργεια και μαεστρία και ... και... από τον δάσκαλο, για να κρατάει το τμήμα σε συνθήκες τέτοιες ώστε να μπορεί να επιτελέσει αξιοπρεπή διδασκαλία! 
Θέλω να πιστεύω πως η διδασκαλία μου είναι αξιοπρεπής στο συγκεκριμένο μάθημα, και αυτό οφείλεται ως ένα βαθμό και στο ό,τι τα συγκεκριμένα παιδιά τα γνώρισα πέρυσι που πρωτοπήγα σ' αυτό το σχολείο. Άρα ως "παλιοί γνώριμοι", έχουμε αναπτύξει έναν καλό κώδικα αλληλοσεβασμού και επικοινωνίας. Και ίσως αυτή η ιδιαίτερη επικοινωνία είναι που ώθησε την Σταυρούλα, [μαθήτρια θεωρητικής κατεύθυνσης,  από την ομάδα εκείνη των παιδιών που καταβάλλουν -αξιέπαινες- προσπάθειες να αυτοπειθαρχήσουν όση ώρα εγώ διδάσκω συναρτήσεις κι άλλα τέτοια σημεία και τέρατα], να μου θέσει την ακόλουθη ερώτηση: 
"Δηλαδή, κυρία, θέλετε να πείτε πως αν εγώ μάθω Μαθηματικά θα σώσω τον κόσμο;"
Μάλλον, αιφνιδιάστηκα μη περιμένοντας μια τέτοια ερώτηση, αν και -το ομολογώ- πολλές φορές πηγαίνω γυρεύοντας προκαλώντας τους μαθητές να διευρύνουν τον κόσμο τους αξιοποιώντας  κάθε ευκαιρία που τους δίνεται στο σχολείο για να πράξουν κάτι τέτοιο.
"Εντάξει, δεν ξέρω αν καταφέρεις να σώσεις όλον τον κόσμο..", της είπα, "αλλά, αν προσπαθήσεις λίγο παραπάνω να μάθεις Μαθηματικά σίγουρα θα βοηθήσεις τον εαυτό σου"!
Απάντησα με ειλικρίνεια αυτό ακριβώς που πίστευα, παρόλο που είχα στο μεταξύ βρεθεί αντιμέτωπη με πολλά καχύποπτα έως και ελαφρώς ειρωνικά, αλλά κατά τα άλλα λαμπερά, χαμόγελα! :)
Τώρα, έχοντας ξεπεράσει τον αρχικό αιφνιδιασμό, απαντώ στην Σταυρούλα και στον καθένα που μεταξύ αστείου και σοβαρού, ή ίσως μεταξύ... ειρωνίας/αυτοσαρκασμού και φόβου, διερωτάται αν μαθαίνοντας Μαθηματικά θα σώσει τον κόσμο.
Απαντώ πως η σωτηρία του κόσμου ξεκινά από τη σωτηρία του εαυτού μας.
Βέβαια για να σώσουμε τον εαυτό μας, λογικά θα πρέπει πρώτα να τον γνωρίσουμε.  
Το πώς μπορεί να γνωρίσει ο καθένας τον εαυτό του είναι πολύ μεγάλο θέμα και προφανώς ποικίλει από άνθρωπο σε άνθρωπο. Αλλά το ακριβώς αντίθετο, δηλαδή το πώς ΔΕΝ μπορεί να γνωρίσει κάποιος τον εαυτό του, έχει πολλά κοινά σημεία σε όλους μας. Και ένα από αυτά  τα κοινά σημεία είναι η Απόρριψη. Η Απόρριψη εν γένει και δη χωρίς να έχουμε ιδέα σχετικά με αυτό που αβρόχοις ποσί απορρίπτουμε...
Το λέει αυτό και η Anne Siety στο βιβλίο της:

"Πώς μπορούμε να ασχολούμαστε με μια δραστηριότητα, απαρνούμενοι ταυτόχρονα τα όσα βιώνουμε μέσα σ' αυτήν, τα όσα συμβαίνουν όταν εξασκούμε τον τρόπο με τον οποίον εξυφαίνεται με την ύπαρξη; Η απόρριψη αυτού του βιώματος ως περιφερειακού και άχαρου στοιχείου ισοδυναμεί, κατά τη γνώμη μου, με το να πετάξουμε το μωρό μαζί με το νερό του μπάνιου του. Έτσι η αποχή από τα μαθηματικά όπως συνήθως συμβαίνει, οδηγεί στην παρεμπόδιση πρόσβασης σ' αυτά.
Έτσι μπορούμε να κατανοήσουμε το "μπλοκάρισμα". Προέρχεται από το γεγονός ότι δεν ακούμε αρκετά όσα νιώθουμε όταν ασχολούμαστε με τα μαθηματικά. Τους αρνούμαστε το "προσωπικό υπόβαθρο", που έχουν ανάγκη. [...] Το "προσωπικό υπόβαθρο" καταλαμβάνει το μαθηματικό πεδίο με αυτές τις διαμαρτυρίες. Εμποδίζει τη σκέψη να ακολουθήσει το δρόμο της, επειδή του απαγορεύουμε να την τροφοδοτεί."

Έτσι, λέω εγώ,  όταν απέχουμε από το μάθημα των Μαθηματικών, παίρνοντας έναν  (λαγο)υπνάκο στο θρανίο ή διαβάζοντας λατινικά για την επόμενη ώρα, ενώ πιστεύουμε πως βοηθάμε τον εαυτό μας και του "χαριζόμαστε", αυτό που στην πραγματικότητα κάνουμε είναι να τον φιμώνουμε, στερώντας του τη δυνατότητα να βιώσει εμπειρίες που θα τον φέρουν πιο κοντά στο ίδιο του το περιεχόμενο!
Και το περιεχόμενο του καθένα, Σταυρούλα, αν καλλιεργηθεί σωστά, είναι τόσο που
-μην ξαφνιάζεσαι!-μπορεί να σώσει τον κόσμο, κάνοντας αρχή από τον ίδιο του τον εαυτό! :)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Θυμήθηκα επακριβώς τον διάλογο που διεμείφθη μεταξύ εμού και των μαθητών, ενώ οι νυφάδες του χιονιού, που μόλις είχαν αρχίσει να πέφτουν πυκνές πυκνές έκαναν όλα τα μάτια- φυσικά και τα δικά μου! - να στραφούν στα μεγάλα παράθυρα που βλέπουν στην αυλή... Με τα μάτια μου ακόμη έξω άρχισα..

Εγώ: Παιδιά, θα πούμε δυο πολύ σημαντικά πραγματάκια σήμερα!
Κ.Μ. Τι λέτε, κυρία; Εδώ ο κόσμος χάνεται κι εσείς θέλετε να μάθουμε Μαθηματικά;
Εγώ: Ακριβώς! Επειδή χάνεται, Κατερίνα, πρέπει να μάθουμε Μαθηματικά, μήπως και προλάβουμε    να τον σώσουμε!
Σταυρούλα: Δηλαδή, κυρία, θέλετε να πείτε πως αν εγώ μάθω Μαθηματικά θα σώσω τον κόσμο;

Τώρα που το ξανασκέφτομαι, απορώ γιατί αιφνιδιάστηκα με την ερώτηση της Σταυρούλας!
Τι άλλο θα μπορούσε να ρωτήσει μια μαθήτρια που ακούει -προσεκτικά- την καθηγήτριά της να λέει:
"...πρέπει να μάθουμε Μαθηματικά, μήπως και προλάβουμε να  σώσουμε τον κόσμο!" :):)

Σάββατο, 4 Δεκεμβρίου 2010

ΤΑ ΥΠΑΡΞΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ και ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ από ΤΟΝ B. BOLZANO ως τον Κ. ΔΑΣΚΑΛΑΚΗ!

Ο Γαλιλαίος, φαντάζομαι μελετώντας την ελεύθερη πτώση των σωμάτων από τον πύργο της Πίζας :), διαπίστωσε πως όσοι είναι οι φυσικοί αριθμοί, δηλαδή οι 1, 2, 3, 4, .... (άπειρο!!), άλλα τόσα  είναι και τα τετράγωνά τους, δηλαδή οι 1, 4, 9, 16... (άπειρο!!). Και τότε... έπεσε από τα σύννεφα!
Δεν μπορούσε να το πιστέψει καθώς η παιδεία του βασισμένη στην Ευκλείδεια        Αξιωματική Μέθοδο απαιτούσε, όπως συνάδει άλλωστε με τη διαίσθηση όλων μας, ολόκληρη η πίτα να είναι μεγαλύτερη από ένα κομμάτι της... Ή όπως το είχε πει ο ίδιος ο Ευκλείδης σε ένα από τα αξιώματά του  (τις βασικές, αναπόδεικτες προτάσεις που θεμελίωναν το σύστημά του),
"και το όλον του μέρους μείζον".
Ο Γαλιλαίος δεν ήταν ο μόνος που βρέθηκε αντιμέτωπος με τέτοιου είδους παράδοξα.
 Η συνειδητοποίηση πως μια ολόκληρη πίτα "ισούται" τελικά με ένα μόνο κομμάτι της έκανε πολλούς επιστήμονες να βρεθούν σε αδιέξοδο και μάλιστα κάποιοι, όπως ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους, απαιτούσαν να μην ασχολείται κανείς άμεσα με τέτοια αντιφατικά και επικίνδυνα θέματα..

Σε αυτή τη μεγάλη  αδιέξοδη κρίση άνοιξε, μάλλον κατά λάθος,  ένα παράθυρο ο Μπέρναρντ Μπολζάνο. Μια απλή σύμβαση, με περίσσεια τόλμη και ανυπέρβλητο θάρρος από την πλευρά του, στάθηκε ικανή να δώσει ώθηση στα Μαθαματικά που έμοιαζαν να έχουν εγκλωβιστεί σε μια κατάσταση παραδοξολογίας..
Ο Μπέρναρντ Μπολζάνο είναι ένας από τους αγαπημένους μου ήρωες κι έχω γράψει ξανά σχετικά με το θέμα αυτό:
"Ο Μπέρναρντ Μπολζάνο, (Bernhard Bolzano, 1781-1848), στο έργο του Paradoxes of the Infinite, που δημοσιεύτηκε το 1851, τρία χρόνια δηλαδή μετά τον θάνατό του, ήταν ο πρώτος που έκανε θετικά βήματα προς την παραδοχή του απείρου. Ο Μπολζάνο είπε πως το γεγονός ότι ένα άπειρο σύνολο μπορεί να τεθεί σε "ένα προς ένα" αντιστοιχία με ένα γνήσιο υποσύνολό του πρέπει απλά να γίνει αποδεκτό ως γεγονός. "  ( όλο το κείμενο μπορείτε να δείτε εδώ)

Και αφού ο Μπολζάνο για χ λόγους είναι ο αγαπημένος μου ήρωας από την ιστορία των Μαθηματικών, φυσικώ τω λόγω, να είναι και το θεώρημα που φέρει το όνομά του και διδάσκεται στην τεχνολογική και θετική κατεύθυνση της Γ' Λυκείου, το αγαπημένο μου θεώρημα!
Φωτογραφία από την ομιλία του Κ. Δασκαλάκη
Και αυτό αποτέλεσε έναν επιπλέον λόγο που με έκανε να νιώσω μιαν αίσθηση αφόρητης χαράς,  [αφόρητης μέχρι δακρύων...:( ] , όταν ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης   ο κεντρικός ομιλητής στην έναρξη του ετήσιου, τριήμερου Συνεδρίου, της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, την Παρασκευή 19 Νοεμβρίου, στη Χαλκίδα ξεκινώντας την "αφήγησή" του, για το πως τελικά κατέληξε να λύσει τον γρίφο του Νας, ούτε λίγο ούτε πολύ ξεκίνησε από τον αγαπημένο μου Μπολζάνο!!
Ας το πιάσουμε από την αρχή ή περίπου...
Ο Μπολζάνο, διατύπωσε ένα θεώρημα σύμφωνα με το οποίο "κάθε  συνάρτηση  f που είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], με f(α)f(β)<0, έχει ένα τουλάχιστον σημείο μηδενισμού μέσα στο [α, β]".
Ίσως για τον μη ειδικό να μη βγαίνει νόημα, αλλά δεν θέλω να υπεισέλθω σε τεχνικές λεπτομέρειες. Και από την άλλη οι μαθητές της Γ' Λυκείου είμαι σίγουρη πως αναγνωρίζουν στη διαφάνεια που δείχνει ο Κ. Δασκαλάκης στην παραπάνω φωτογραφία, την άσκηση νούμερο.........,
 στη σελίδα νούμερο........... του σχολικού τους βιβλίου.
[Η συμπλήρωση των δύο παραπάνω κενών αφήνεται στους μαθητές μου, της Γ' Λυκείου, ως επανάληψη...:)]


(η διαφάνεια είναι από την ομιλία του Κ. Δασκαλάκη)

 Το γαρ πολύ των Μαθηματικών, μπορεί  να εξόντωσε κάποιους, προτείνω εδώ να κάνουμε ένα μικρό διάλειμμα  για παιχνίδι  και προτείνω να παίξουμε το "πέτρα-ψαλίδι-χαρτί".
 Για όσους δεν το ξέρουν, να πω ότι είναι μια  παραλλαγή του "μονά-ζυγά", παίζεται δηλαδή κι αυτό  από δύο παίχτες, απλά ο καθένας έχει τρεις επιλογές και όχι δύο  όπως στο "μονά-ζυγά".
Άρα μιλάμε για  ένα παιχνίδι με δύο παίχτες, που είναι "μηδενικού αθροίσματος", όπως λένε οι μαθηματικοί, επειδή σε κάθε εκδοχή του, σε κάθε δυνατό αποτέλεσμα,  το άθροισμα των πόντων είναι μηδέν, όπως φαίνεται στον πίνακα διπλής εισόδου της φωτογραφίας.


Ο von Neumann το 1928 απέδειξε πως πάντα υπάρχει ένα σημείο ισορροπίας σε τέτοιου είδους παιχνίδια κι αυτό μπορεί να μην κάνει ιδιαίτερη αίσθηση αν δεν αντιληφθούμε ότι το "σημείο ισορροπίας" αναφέρεται σε συμφέροντα και σημαίνει πως το συμφέρον των δύο παικτών απαιτεί καμια.. απολύτως αλλαγή στρατηγικής..
Η διαφάνεια είναι από την ομιλία του Κ. Δασκαλάκη
Αλλά θα έχετε φαντάζομαι καταλάβει όλοι σας πόσο ανικανοποίητα πλάσματα είναι οι μαθηματικοί και πόσο αρέσκονται στο να καταλύουν ...  τις ισορροπίες! Εντάξει, δεν θα το έλεγα έτσι ακριβώς, αλλά σίγουρα αρέσκονται στο να μεταβάλλουν τα αρχικά δεδομένα διευρύνοντας το πεδίο του προβλήματος που εξετάζουν...
Αυτό ακριβώς έκανε ο John Nash, όταν το 1951, αφού άλλαξε τις βολικές αρχικές συνθήκες του παιχνιδιού μηδενικού αθροίσματος, απέδειξε ότι ΥΠΑΡΧΕΙ πάντα σημείο ισορροπίας ανεξάρτητα από τις λεπτομέρειες του παιχνιδιού.
Αντιλαμβάνεται κανείς τι σημαίνει αυτό;  Δεν μιλάμε βέβαια για το παιχνίδι "πέτρα-ψαλίδι-χαρτί", αλλά για κάτι πολύ πολύ σημαντικό! Αρκεί να σκεφτούμε ότι η "Θεωρία Υπολογισμού" που ασχολείται με αυτά τα παιχνίδια, και  είναι κλάδος της Μαθηματικής Λογικής, που είναι κλάδος των Μαθηματικών,  βρίσκει εφαρμογή στη Φυσική, στη Βιολογία, στις Κοινωνικές Επιστήμες και στα Οικονομικά!!! Μάλιστα. Αυτό σημαίνει πως από το 1951 είναι γνωστό ότι υπάρχει ένα σημείο ισορροπίας στα Οικονομικά, τέτοιο ώστε κανένας παίχτης, όταν το παιχνίδι φτάνει στο σημείο αυτό, δεν έχει συμφέρον να αλλάξει τη στρατηγική του.
Πού βρίσκεται αυτό το σημείο σημείο ισορροπίας όμως;
Αν είχε βρεθεί, και είχε εφαρμοστεί από τους οικονομολόγους στην πράξη,  η οικονομία θα ήταν τέτοια που δεν θα ήθελαν οι περισσότερες  ευρωπαϊκές χώρες να αλλάξει άρδην η οικονομική τους  πολιτική. 
 
Ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης, λύνοντας τον γρίφο του Nash στα 28 του, βραβεύθηκε από τον διεθνή οργανισμό ΑCΜ (Αssociation for Computing Μachinery), την Ένωση δηλαδή όλων όσων ασχολούνται με την πληροφορική, η οποία δίνει ένα βραβείο για την καλύτερη διδακτορική διατριβή κάθε χρόνο.
(διαβάστε εδώ το σχετικό άρθρο στα ΝΕΑ)
Αυτό που απέδειξε όμως είναι πως δεν υπάρχει τρόπος να προσδιοριστεί  το σημείο ισορροπίας,  παρόλο που γνωρίζουμε, σύμφωνα με το θεώρημα του Nash, ότι  το σημείο αυτό υπάρχει!
Για μιαν ακόμη φορά οι μαθηματικοί βρίσκονται αντιμέτωποι με τα "υπαρξιακά προβλήματα"
(έτσι αποκαλώ, χαριτολογώντας, στο μάθημα τα θεωρήματα ύπαρξης που εξασφαλίζουν μεν την ύπαρξη ενός ιδιαίτερου σημείου, αλλά δεν δίνουν τη δυνατότητα του άμεσου υπολογισμού του, σε αντίθεση με τα κατασκευαστικά...).
Ωστόσο ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης, προκάλεσε ένα ρεύμα αισιοδοξίας.. Το ένιωσα έντονα στο κατάμεστο αμφιθέατρο στο Συνεδριακό Κέντρο της Νομαρχίας στη Χαλκίδα, και το επιβεβαίωσα στη συνέχεια από  πολλούς όπως και από την ανάρτηση του συναδέλφου Στράτου Κουζελέα που διάβασα εδώ

Και η αισιοδοξία που μας  ενέπνευσε ο νεαρός, λαμπρός, επιστήμονας έγκειται στη δήλωση που έκανε στο τέλος της ομιλίας του, σύμφωνα με την οποία η απόδειξη του πως είναι αδύνατος υπολογιστικά ο προσδιορισμός του σημείου ισορροπίας δεν σημαίνει πως  ο προσδιορισμός  θα είναι για πάντα αδύνατος!  Σημαίνει πως τα υπολογιστικά μαθηματικά εργαλεία που διαθέτουμε σήμερα δεν επαρκούν για την επίλυση του προβλήματος!!
Ακριβώς! Ένα σενάριο που η ανθρωπότητα ζει ξανά και ξανά.
Θυμηθείτε το Δήλιο Πρόβλημα, και τον χρησμό για  διπλασιασμό του κυβικού βωμού του Απόλλωνα! Δεν επαρκούσαν οι τότε  γνώσεις για να λυθεί το πρόβλημα..Μα ο χρησμός έλεγε ακριβώς αυτό: Ψάξτε να βρείτε νέες αλήθειες, νέα επιστημονικά εργαλεία, αποτελεσματικότερα υπολογιστικά μαθηματικά, για να μπορέσετε να διπλασιάσετε τον κύβο. Μην μένετε κολλημένοι στον κανόνα και τον διαβήτη... Το ίδιο και σήμερα.. Ανακαλύψτε νέες μαθηματικές μεθόδους, για να  υπολογίσετε το πολυπόθητο σημείο ισορροπίας!

Ελπίζω πως εκεί  κάποτε θα μπορέσουμε να φτάσουμε, στο σημείο δηλαδή εκείνο όπου θα επέλθει η ισορροπία και τα "συμφέροντα" δεν θα κατηγοριοποιούν τους εμπλεκόμενους σε αυτούς που βάλλονται και σ' αυτούς που ωφελούνται..
Νομίζω πως αφενός χρειάζεται επίγνωση της κατάστασης και αφετέρου τόλμη σαν κι αυτήν που έδειξε ο αγαπημένος μου ήρωας, ο Μπέρναρντ Μπολζάνο, τότε που άνοιξε τον δρόμο προς το άπειρο κάνοντας μια απλή σύμβαση: Ας το παραδεχτούμε!
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Θέλω, με καθυστέρηση, να συγχαρώ τον ΔΣ του Παραρτήματος ΕΜΕ της Εύβοιας,
 για την άριστη διοργάνωση του συνεδρίου και για την ευκαιρία που μας έδωσε
να παρακολουθήσουμε από κοντά  τον Κωνσταντίνο  Δασκαλάκη.
Ιδιαίτερα δε ευχαριστώ τον αντιπρόεδρο, Μ. Στεργίου για την ευγενή του φιλοξενία.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Από την καταπληκτική ομιλία του Κ. Δασκαλάκη επέλεξα τα αποσπάσματα που είναι συναφή με το θ.  Bolzano, για την ύπαρξη σταθερού σημείου.  Για οποιαδήποτε παρανόηση των λεγομένων του ή  λάθος στη μεταφορά μου, έχω την αποκλειστική ευθύνη.

Τρίτη, 30 Νοεμβρίου 2010

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΕΙΝΑΙ ΕΡΩΤΑΣ!

Το να ανοίξεις κουβέντα με δεκαπεντάχρονα παιδιά στις 8.00 το πρωί για τις σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου πάνω στο επίπεδο, δεν είναι κι από τα ευκολότερα που μπορείς να κάνεις ξεκινώντας τη μέρα σου. Ειδικά όταν η μέρα αυτή είναι η Τρίτη και ένα βαρύ εφτάωρο περιμένει εσένα, ενώ ένα άλλο βαρύ εξάωρο περιμένει τα παιδιά... Κάτι τέτοια σκεφτόμουν καθώς προχωρούσα στο διάδρομο, πηγαίνοντας προς το Α2, και αναρωτιόμουν κατά πόσο θα τηρήσω το πλάνο μαθήματος που είχα από χθες ετοιμάσει. Μπαίνοντας τα "καλημέρα κυρία", "καλημέρα παιδιά", πήραν κι έδωσαν όση ώρα προσπαθούσα να βολιδοσκοπήσω τις προθέσεις, τη νύστα, τη διάθεσή τους κι όλα όσα πρέπει να  σφυγμομετρήσει στους μαθητές και να λάβει υπόψη του ο δάσκαλος, πριν αρχίσει την κατάστρωση ή καλύτερα την ... ενορχήστρωση του μαθήματός του.
Κρίνοντας από τον πρώτο γρήγορο έλεγχο πως θα έπρεπε να επινοήσω αστραπιαία κάτι διαφορετικό, κάτι επί πλέον από αυτό που είχα σχεδιάσει, για να κρατήσω ξύπνιο κι εναργές ένα πλήθος παιδιών, τα οποία είμαι βέβαιη πως στις 8.00 το πρωί με  μεγάλη χαρά θα εγκατέλειπαν την αίθουσα για να ξαναγυρίσουν στο κρεβάτι τους, αν όχι όλα, εντάξει τα περισσότερα..:), αποφάσισα να κάνω μια κίνηση φορσέ!
Σχεδιάσα τρεις -κατά προσέγγιση- κύκλους στον πίνακα και είπα: "Λοιπόν, φανταστείτε τώρα ότι ανοίγει η πόρτα της αίθουσας και μπαίνει μέσα μια ευθεία.. Βλέπει τους κύκλους, τους εξετάζει, τους ελέγχει, φλερτάρει μαζί τους  και στο τέλος επιλέγει τον έναν από αυτούς και τον πλησιάζει... :)
Αυτό που θέλω από σας είναι να κάνετε τους τρεις κύκλους στο τετράδιο σας και να ζωγραφίσετε στον έναν από αυτούς την ευθεία.."
Μάλλον σοκαριστικό το ζητούμενό μου, όπως φάνηκε από τη βροχή των ερωτήσεων που ακολούθησαν. "Πού να την κάνουμε την ευθεία;", "Σε ποιον από τους τρεις κύκλους να την βάλουμε;", "Πώς να την κάνουμε;", κι άλλες πολλές ερωτήσεις που τελειωμό δεν είχαν, αλλά όλες ελάμβαναν την ίδια ακριβώς απάντηση από μένα. "Την ευθεία να την βάλετε σε όποιον από τους τρεις κύκλους θέλετε, όπως εσείς θέλετε". Χρειάστηκε να το επαναλάβω πολλές φορές για να τους πείσω πως είχαν την απόλυτη επιλογή. Το βέβαιο είναι πως κανένας πλέον δεν θα επέλεγε να γυρίσει στο κρεβάτι του και να χάσει το μάθημα της Γεωμετρίας.  Αφού υποχώρησαν και με τα πολλά καταπιάστηκαν να τοποθετούν στο επίπεδο των τριών κύκλων, άλλοι διστακτικά κι άλλοι με αποφασιστικότητα, την ευθεία που με την είσοδό της στην τάξη μας είχε αιφνιδιάσει, έκανα μια γρήγορη γύρα ελέγχοντας τα τετράδια. Προς στιγμήν σκέφτηκα πως θα έπρεπε να τα πάρω και να τα "μελετήσω" σε βάθος, υπολογίζοντας με ακρίβεια τα ποσοστά των  περιπτώσεων που είδα στα σχήματα των παιδιών. Όμως υπήρχε τέτοια σύγκλιση που δεν χρειάστηκε από την πλευρά μου παραπέρα μελέτη. 
Οι ν-1 στους ν μαθητές μου είχαν σχεδιάσει την ευθεία να τέμνει τον πρώτο κύκλο.  Ένας είχε κάνει μιαν ευθεία απόμερα, χωρίς κοινά σημεία με κανέναν από τους τρεις κύκλους και κανένας (μα κανένας) δεν σχεδιάσε μια εφαπτόμενη ευθεία..  Το αξιοπρόσεκτο είναι πως εκτός από δύο που, ως ευθεία, έφεραν μια οριζόντια και μια κατακόρυφη διάμετρο του κύκλου αντίστοιχα, όλοι οι υπόλοιποι μαθητές  είχαν κάνει μια τέμνουσα με την ίδια περίπου κλίση. (όπως ακριβώς φαίνεται στο σκίτσο :) )
Μετέφερα τα σχήματά τους  στον πίνακα, συμπληρώνοντας φυσικά και την περίπτωση της εφαπτομένης...                                                                                                             
Οι σχετικές θέσεις ευθείας κύκλου με τη μορφή των διατακτικών σχέσεων των μέτρων της ακτίνας R και της απόστασης δ του κέντρου Ο από την ευθεία ε, προέκυψαν εύκολα και αναγράφηκε κάθε μια κάτω από το αντίστοιχο σχήμα. 
Το αξιοπρόσεκτο είναι πως κατάφεραν, οι περισσότεροι, να "μαντέψουν"  ποιων μεγεθών η σύγκριση θα καθόριζε τη σχετική θέση ευθείας κύκλου και ακόμη πιο αξιοπρόσεκτο είναι το σχόλιο μιας μαθήτριας:
"Κυρία, σαν να διηγούνται μια ερωτική ιστορία δεν είναι τα σχήματα στον πίνακα; "
Γύρισα να ξανακοιτάξω στον πίνακα κι ύστερα πάλι στη μαθήτρια, η οποία προς επίρρωση του σχολίου τής συνέχισε λέγοντας: "Ναι, κυρία! Δείτε! Ο κύκλος είναι ένας άνδρας και η ευθεία είναι μια γυναίκα που του την πέφτει.. Τι κυρία;  Αφού τα κορίτσια την πέφτουν σήμερα στα αγόρια..."
"Ελένη, νομίζω πως ξεφύγαμε" απάντησα γελώντας...
Είχα ωστόσο την απόλυτη βεβαιότητα πως κανένας από τους ν μαθητές μου δεν έμεινε στις 8.00 η ώρα το πρωί, αμέτοχος στο μάθημα της Γεωμετρίας...Κανένας δεν αναζήτησε τη ζεστασιά του κρεβατιού του, βαρυγκομώντας μέσα στην αίθουσα...επειδή όλοι συμμετείχαν - άλλοι λιγότερο κι άλλοι περισσότερο - στην αναζήτηση των σχετικών θέσεων ενός κύκλου και μιας ευθείας..

Σίγουρα δεν είναι από τα ευκολότερα η αφύπνιση των δεκαπεντάχρονων στο σχολείο την πρώτη ώρα, στις 8.00.. Όμως υπάρχει  τρόπος, νομίζω,  να γίνει ένα από τα διασκεδαστικότερα...
Αρκεί η διδασκαλία να είναι  έρωτας...και - γιατί όχι και -  αντιστρόφως!! :)

Σάββατο, 27 Νοεμβρίου 2010

Ο ΑΧΜΕΣ, ο γιος του φεγγαριού, ΕΙΝΑΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΣ ΓΙΑ ΒΡΑΒΕΙΟ...

...κάπου ανάμεσα στο 1700 και το 1500 π.Χ. έζησε στην Αίγυπτο ένας γραφέας με το όνομα Αχμές - ο γιος του φεγγαριού - και άφησε πίσω του έναν πάπυρο με 84 λυμένα προβλήματα και κάποια ιστορικά σχόλια. Όλα αυτά είναι ακριβώς όπως περιγράφονται στο βιβλίο. Όπου μάλιστα παρατίθεται ένα πρόβλημα αυτούσιο, σε υποσημείωση αναφέρεται ο αριθμός του μέσα στο πρωτότυπο κείμενο.
Όλα τα άλλα που αναφέρονται για τον γραφέα Αχμές είναι δημιούργημα της δικής μου φαντασίας μια και για τη ζωή του δεν υπάρχει απολύτως καμία πληροφορία. Ωστόσο, θα μπορούσαν να είνα αληθή αφού βασίζονται στις πολυάριθμες έγκυρες πληροφορίες που διαθέτουμε για τη ζωή στην Αίγυπτο εκείνη την εποχή. ...

...γράφει στο επίμετρο του βιβλίου του "Αχμές, ο γιος του φεγγαριού", (που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις Πόλις), ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, όπου μας εξηγεί τα "τι", τα "πώς" και τα "γιατί"  της συγγραφικής του περιπέτειας.
 Για την περιπετειώδη ζωή του Αχμές, για τα μαθηματικά προβλήματα του παπύρου που έγραψε, (ο οποίος όμως έμεινε στην ιστορία γνωστός με το όνομα Πάπυρος του Rhind, από τον Αλεξάντερ Χένρι Ριντ, τον αρχαιολόγο που τον ξετρύπωσε), καθώς και για τους αρχαίους αιγυπτιακούς μύθους με τους οποίους περίτεχνα διανθίζει ο Τεύκρος Μιχαηλίδης την ιστορία που μας αφηγείται  στο βιβλίο του, έχω γράψει ξανά και ξανά σ' αυτό το  blog και επιπλέον έχω συζητήσει εκτενώς με μαθητές στη Λέσχη Ανάγνωσης του καλοκαιρινού μαθηματικού σχολείου της Ημαθίας,αλλά και με συναδέλφους στη Λέσχη ενηλίκων, τόσο τη δική μας εδώ στη Θεσσαλονίκη, όσο και σε  αυτήν που έγινε στο πενθήμερο εργαστήρι λεσχών ανάγνωσης, Ιστορίες Αγνώστων, το οποίο διοργανώνεται κάθε χρόνο από την ομάδα Θαλής+Φίλοι. Θα πίστευε κανείς, λοιπόν, πως μετά από τόσο ενδελεχή ενασχόληση με το συγκεκριμένο βιβλίο έχω εξαντλήσει κάθε θέμα συζήτησης που θα μπορούσε να ξεπηδήσει από τις σελίδες που έγραψε η ευφάνταστη πένα του Τεύκρου Μιχαηλίδη. Και όμως φίλοι μου!!
Όταν έμαθα πως ο Αχμές, ο γιος του φεγγαριού, είναι ένα από τα υποψήφια βιβλία για το βραβείο αναγνωστών που έχει καθιερώσει το ΕΚΕΒΙ, τον πήρα πάλι από το ράφι, για να του ρίξω μια ματιά, πριν στείλω το SMS, (για πληροφορίες δείτε εδώ) για την ψηφοφορία. Τότε λοιπόν διαπίστωσα πως  μέχρι τώρα δεν έχω συζητήσει με κανέναν, τουλάχιστον όσο εκτενώς θα έπρεπε, την "πολιτική" διάσταση που έχει το μυθιστόρημα.. Δίνω ένα μικρό παράδειγμα, αντιγράφοντας από τη σελίδα 228.

Ο Αχμές ήταν αναμφίβολα εύστροφος' όμως η ευθύτητα του χαρακτήρα του, η ειλικρίνειά του- που συχνά άγγιζε τα όρια της αμετροέπειας- και κυρίως ο ορθολογισμός του δεν φαίνονταν να είναι τα πιο ενδεδειγμένα προσόντα για τη νέα του θέση.
Ωστόσο, όπως συνηθίζουν να λένε οι πιο κυνικοί, τα μεγάλα προβλήματα λύνονται μόνα τους' στην περίπτωσή μας η ρήση τους μοιάζει να επιβεβαιώνεται. Ανυποψίαστος για την ύπαρξη φατριών ο Αχμές, τις αγνόησε όλες, κρατώντας έτσι ντε φάκτο ίσες αποστάσεις από αυτές. Εστίασε το ενδιαφέρον του σε αυτά που θεωρούσε πως ήταν τα κύρια καθήκοντά του, τη λειτουργία της σχολής και την οργάνωση της βιβλιοθήκης. Οι λογιστικές τους ικανότητες, σαφώς ανώτερες από αυτές οποιουδήποτε άλλου στο ναό, του επέτρεπαν να ελέγχει τους λογαριασμούς γρήγορα και αποτελεσματικά και να εντοπίζει εύκολα λάθη και ατασθαλίες τα οποία τιμωρούσε πάντα με την ίδια αυστηρότητα όχι γιατί αντιλαμβανόταν ή υποπτευόταν ενδεχόμενο δόλο, αλλά γιατί θεωρούσε το οποιοδήποτε αριθμητικό λάθος ανεπίτρεπτο. (ο επιτονισμός είναι δικός μου :) )
Φυσικά αρκετοί καλοθελητές από κάθε παράταξη προσπάθησαν με τον έναν ή τον άλλον τρόπο να τον προσελκύσουν με το μέρος τους. Επειδή ακριβώς ο Αχμές αδυνατούσε να αντιληφθεί αυτού του είδους τα τερτίπια παρέμεινε ασυγκίνητος και από τις έμμεσες προσφορές και από τις κρυμμένες απειλές. Η στάση του, παρόλο που πήγαζε απο την απόλυτη αθωότητα, ερμηνεύθηκε ως εξαιρετικά περίπλοκη και συνεπώς ιδιαίτερα επίφοβη. Έτσι, χωρίς καθόλου, να προσπαθήσει, ο Αχμές κέρδισε σύντομα τη φήμη του απρόσιτου, άτεγκτου και χαρισματικού διοικητή, φήμη που κάποιος άλλος θα επεδιώκε να αποκτήσει μέσα από δεκάδες περίπλοκους ελιγμούς και μηχανοραφίες.

Υπάρχει κάποιος, φίλοι μου, ανάμεσά σας, ο οποίος δεν συμφωνεί για το ό,τι ο Αχμές είναι εκ φύσεως ο καταλληλότερος διοικητής; Ή που διαφωνεί πως ο Αχμές διαθέτει ακριβώς εκείνα τα φυσικά χαρακτηριστικά που απαιτείται να διαθέτει όποιος έχει τέτοιου είδους εξουσία; Και να σκεφτεί κανείς πως δυο είναι τα βασικά του αξιώματα - όπως φαίνεται στο παραπάνω απόσπασμα -  τούτα:
1) οποιοδήποτε αριθμητικό λάθος είναι ανεπίτρεπτο και τιμωρείται 
2) τηρούνται ντε φάκτο ίσες αποστάσεις από τις φατρίες !!
Ένα αριθμητικό αξίωμα και ένα γεωμετρικό αίτημα φαίνεται πως είναι αρκετά για την σωστή διοίκηση και την αποφυγή των ελιγμών και των μηχανοραφιών στις οποίες καταφεύγουν οι δικοί μας πολιτικοί...
Ο Αχμές, κατά πως φαίνεται, έχει να μας διδάξει  πολλά ακόμη, εκτός από τα 84 προβλήματα που υπάρχουν στον πάπυρό του. 
Αν ήταν υποψήφιος σε βουλευτικές εκλογές, θα τον ψήφιζα ανεπιφύλακτα.
Θα αρκεστώ να τον ψηφίσω για το Βραβείο Αναγνωστών, ελπίζοντας πως κάποτε θα εφαρμόσουμε τις δικές του μεθόδους  για τίμια διακυβέρνηση...
Καλή τύχη Αχμές!