Κυριακή, 9 Ιανουαρίου 2011

ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΜΟΥ ΚΑΝΕΤΕ ΜΙΑ ΚΑΛΗ ΕΡΩΤΗΣΗ;

Περιδιαβαίνοντας σήμερα το πρωί τα blog των συναδέλφων μαθηματικών, έπεσα πάνω σε μια πολύ ενδιαφέρουσα ανάρτηση με τίτλο "ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ", στο blog "Το ιστολόγιο ενός Μαθηματικού και όχι μόνο...", του συναδέλφου Δημήτρη Σπυρόπουλου.
Το κείμενο ήταν του κυρίου Δ. Μπουνάκη, σχολικού συμβούλου μαθηματικών στο Ηράκλειο, από ομιλία του σε ημερίδα "Διδακτικής και Παιδαγωγικής των Μαθηματικών".
Πρόκειται για  ένα εμβριθές κείμενο, με πολλά χρήσιμα παραδείγματα  και με αναφορές στο κλασικό έργο "Πώς θα το λύσω;" του Polya, που περιέχει οδηγίες  και γνώσεις απαραίτητες σε οποιονδήποτε διδάσκει Μαθηματικά.
Αλλά  θεωρώ πως διαμορφώνει μια, αν όχι εσφαλμένη, τουλάχιστον ελλειπή αντίληψη στο θέμα των ερωτήσεων που θα πρέπει σταδιακά να αρχίσει να μπαίνει στο τραπέζι της Διδακτικής του μαθήματός μας κάτω από άλλη οπτική. Δεν αρκεί  να διερευνούμε μόνο τον τρόπο με τον οποίον ο καθηγητής οφείλει να  θέτει αποτελεσματικές ερωτήσεις, επειδή με αυτήν την συγκεκριμένη, μονόδρομη θα έλεγα, έρευνα όλων των προηγούμενων χρόνων έχουμε -κάτω και από την χρονική πίεση των ΑΠΣ- καταλήξει σε μια στερεοτυπική αντιμετώπιση της διδασκαλίας. Ο καθηγητής διατυπώνει τις καλές ερωτήσεις, οι μαθητές - με την καθοδήγησή του - δίνουν τις ορθές απαντήσεις, ενίοτε δε καλούνται να  ασκήσουν κριτική σε κάποια απάντηση ή να συγκρίνουν μεταξύ τους  απαντήσεις δυο συμμαθητών τους!Μετά  χτυπάει το κουδούνι για διάλειμμα, πέφτει η αυλαία και η διαδικασία διακόπτεται, αφήνοντας  στον δάσκαλο την εντύπωση πως οι μαθητές, αφού κατάφεραν να απαντήσουν, κατανόησαν, στους δε μαθητές αφήνει την (ψευδ)αίσθηση πως αφού απάντησαν, έστω και με τη βοήθεια του δασκάλου τους, έχουν μάθει.
Ας υποθέσουμε τώρα πως μια μέρα  όλα εξελίσσονται στο μάθημα με τη συνήθη διαδικασία.
Θέτοντας ο καθηγητής ερωτήσεις που πληρούν όλες τις προδιαγραφές των "καλών" ερωτήσεων, ολοκληρώνει το μάθημά του. Στο τέλος κάνει και τις λεγόμενες "ερωτήσεις ελέγχου" ανακεφαλαιώνοντας,  για να βεβαιωθεί πως όλα πήγαν καλά και διαπιστώνει  πως όλα έχουν όντως πάει  καλά. Απαντήσεις δίνονται από ένα καλό ποσοστό  μαθητών, που είναι ορθές  σε ένα, επίσης, ικανοποιητικό ποσοστό.
Κανονικά τώρα θα πρέπει να ακουστεί το κουδούνι! Αλλά το κουδούνι, για κάποιον λόγο καθυστέρησε και ο καθηγητής έμπλεος στην ηθική ικανοποίηση που του έχει εξασφαλίσει η επιτυχής διδακτική πρακτική, θέλοντας να εκμεταλλευτεί τα λίγα λεπτά που κέρδισε, στέκεται καταμεσής στην αίθουσα και ρωτά: "Θα μπορούσατε τώρα εσείς να μου κάνετε μια καλή ερώτηση, γύρω από τις απόλυτες τιμές;

 Στο σημείο αυτό σημειώνεται η μεγάλη ανατροπή!!!
Αρχικά ακούγεται η διαμαρτυρία: "μα τι ερώτηση να κάνουμε, κυρία;"!  Έτσι ακριβώς!
Και στη συνέχεια: "δηλαδή πώς να την κάνουμε την ερώτηση, κυρία;"
Απορία ανάκατη με άγχος, άγνοια και αρκετή γκρίνια όπως και κάθε φορά που ξεβολευόμαστε...

Ο καθηγητής της παραπάνω υποθετικής κατάστασης  είναι αυτονόητο πως ήμουν εγώ και η κατάσταση κάθε άλλο παρά υποθετική ήταν. Το κουδούνι χτύπησε όμως   και χρειάστηκε να καταχραστώ λίγο από το διάλειμμά τους - κάτι που αποφεύγω πάντα συνειδητά - για να εξηγήσω ότι θα ήθελα να γράψει ο καθένας δυο ερωτήσεις με θέμα τις απόλυτες τιμές, των οποίων η ανακεφαλαίωση  ήταν το μάθημα της ημέρας εκείνης.  Εξήγησα πως δεν θα θεωρήσω "καλή" ερώτηση κάτι τετριμμένο όπως: "τι ονομάζεται απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού;". Για να δώσω επιπλέον εξηγήσεις για το τι ήθελα να κάνουν τους ζήτησα να υποθέσουν  ότι θέλουν να θέσουν ερωτήσεις σε ένα κοινό,  για να ελέγξουν αν γνωρίζει καλά τις απόλυτες τιμές.  Πράγματι την επομένη ήρθαν αρκετοί μαθητές και μου έδωσαν σε φύλλα από το τετράδιο τους, όπως είχα  πει, τις δυο ερωτήσεις ή, μάλλον, ό,τι οι ίδιοι θεωρούν ερωτήσεις, αφού εγώ  διαβάζοντας τα φύλλα που μου έδωσαν, δεν  βρήκα ούτε μια (ολοκληρωμένη) ερώτηση.
Ενδεικτικά αναφέρω μια  από τις ερωτήσεις:  "πότε ισχύει α^2*β^2;"
Το ίδιο χαοτικές, χωρίς δηλαδή καμιά συντακτική, εννοιολογική και λογική δομή ήταν σχεδόν και όλες οι υπόλοιπες με απειροελάχιστες εξαιρέσεις.
Εκτός όμως από τις ερωτήσεις υπήρχαν και αποδείξεις ιδιοτήτων διατυπωμένες με τη συνήθη προστακτική τους μορφή: "να δειχτεί ότι...", κι ακολουθούσε  αναλυτικά γραμμένη η απόδειξη.

Το σοκ για μένα ήταν μεγάλο όχι  γιατί κατέρρευσε η αρχική μου εντύπωση, πως δηλαδή με τις απόλυτες τιμές ξεμπερδέψαμε, αφού πολύ ωραία είχαν απαντήσει τα παιδιά στις ερωτήσεις "ελέγχου" κλπ!
Το σοκ ήταν μεγάλο επειδή  διαπίστωσα εμπράκτως ότι υπάρχει παντελής αδυναμία διατύπωσης ερωτήσεων. Αν δεχτούμε πως η μισή λύση ενός προβλήματος πετυχαίνεται με τη σωστή διατύπωσή του, τότε ενδεχομένως θα πρέπει να δεχτούμε ότι η ολική ή μερική κατανόηση μιας έννοιας ελέγχεται με την ικανότητα διατύπωσης ερωτήσεων σχετικών με αυτήν.
Από την άλλη όμως σκέφτηκα πως στερεοτυπικά ο ρόλος του μαθητή στο σχολείο είναι να απαντά σε ερωτήσεις που του τίθενται και όχι να διατυπώνει ο ίδιος κάποιες ερωτήσεις. Η διατύπωση των ερωτήσεων είναι  δουλειά για την οποία την (αποκλειστική) ευθύνη φέρει ο δάσκαλος και γι' αυτόν το λόγο άρθρα όπως του σχολικού συμβούλου κου Δημήτρη Μπουνάκη, που προανέφερα, αποδεικνύονται  χρήσιμα στον κάθε εκπαιδευτικό. Αλλά εδώ, σ' αυτό ακριβώς το σημείο,  θεωρώ ότι εμφανίζεται  έλλειμμα.  Εμφανίζεται ελλιπής η αντιμετώπιση του προβλήματος, καθώς περιγράφεται ενδελεχώς η μέθοδος με την οποία ο εκπαιδευτικός διατυπώνει ερωτήσεις, αφήνοντας έτσι μια μικρή υπόνοια ότι
ο εκπαιδευτικός είναι ο μόνος που ρωτά.
Είναι αυτός που κατ' αποκλειστικότητα θέτει τις καλές ερωτήσεις!
Εκπαιδευτικοί όμως δεν  θα γίνουμε όλοι..
Και από την άλλη ο μοναδικός  ρόλος του ανθρώπου δια βίου δεν είναι  αυτός που, εσφαλμένα, φαίνεται να έχει ο μαθητής στο σχολείο, δηλαδή να δίνει (ορθές) απαντήσεις.
Ίσως αυτός είναι ο κύριος ρόλος, αλλά σίγουρα δεν είναι ο μοναδικός!
Οι ρόλοι του ανθρώπου είναι πολλοί και  προκειμένου να επιτελεστούν  σωστά  στηρίζονται,  ολικώς ή μερικώς, στη διατύπωση καίριων και θεμελιωδών ερωτημάτων.
Πώς όμως τίθεται ένα ερώτημα γύρω από ένα συγκεκριμένο θέμα;
Ή αλλιώς: τι απαιτείται να γνωρίζει κανείς για να μπορέσει να διατυπώσει σωστά μια ερώτηση;
Αν ρωτούσατε ποτέ "Θα μπορούσατε τώρα εσείς να μου κάνετε μια καλή ερώτηση;"
θα περιμένατε να πάρετε ως απάντηση την ερώτηση: "πώς γίνεται μια ερώτηση;"";

Επειδή εγώ δεν περίμενα να πάρω ως απάντηση την απάντηση που πήρα, δηλαδή την ερώτηση "πώς γίνεται μια ερώτηση;",  κι επειδή ακόμη και στη δεύτερη ευκαιρία  που έδωσα, αυτήν της γραπτής κατ' οίκον δοκιμασίας  για την επόμενη μέρα,  οι ερωτήσεις  δεν ήταν  ερωτήσεις θεωρώ πως θα πρέπει να αντιμετωπιστεί διαφορετικά το πρόβλημα.
Δεν αμφισβητώ πως με τη διατύπωση ερωτήσεων και ακολουθώντας τις οδηγίες των συμβούλων και των ειδικών της Διδακτικής των Μαθηματικών εν γένει, με σκοπό αρχικά να βοηθήσουμε στην απόκτηση της νέας γνώσης και στη συνέχεια να ελέγξουμε το βαθμό της κατανόησης και της αφομοίωσης, πετυχαίνουμε κάπως το στόχο μας. Αλλά αναρωτιέμαι αν, αντ' αυτού ή μαζί με αυτό, θα ήταν καλό να ζητούσαμε από  τους μαθητές να  κάνουν οι ίδιοι ερωτήσεις
Ίσως με τον τρόπο αυτόν ελέγχεται άμεσα ο βαθμός "επικοινωνίας" μεταξύ ημών και των μαθητών μας!

Ο βαθμός επικοινωνίας μας, δασκάλων-μαθητών στα Μαθηματικά, παρόλες τις εξελίξεις στη Διδακτική, και παρόλη τη συνεχή αναβάθμιση των δασκάλων  (ΑΣΕΠ,  συνεχείς (αυτο)επιμορφώσεις,  κοινωνικά εκπαιδευτικά δίκτυα, διαδικτυακές συνεργασίες και αλληλεπιδράσεις εκπαιδευτικών κλπκλπ), μοιάζει  να  μειώνεται! Δεν είναι δυνατόν όλοι οι λόγοι που οδηγούν σε σταδιακή μείωση της επικοινωνίας των μαθητών με το γνωστικό  τους αντικείμενο να πηγάζουν από τον "διαμεσολαβητή",  λειτουργό αυτής της επικοινωνίας, δηλαδή από τον δάσκαλο! Θα  πρέπει ενδεχομένως  κάποια αίτια να αναζητηθούν σε ευρύτερο κοινωνικό πλαίσιο. Μέχρι να γίνει αυτό και μέχρι να αρχίσουν να εντοπίζονται - πιστεύω πως δεν θα αργήσει πολύ, αφού ήδη οι γνωσιολόγοι έχουν αρχίσει να σκιαγραφούν πλείστους λόγους - και να αντιμετωπίζονται αποτελεσματικά, - αυτό ίσως αργήσει λίγο περισσότερο! - θεωρώ πως οφείλουμε να ρωτάμε τους μαθητές μας, κατά τη συνήθη διαδικασία, αλλά να μην σταματάμε σ' αυτό!
Θα βοηθούσε πολύ πιστεύω αν, επιπλέον, τους επιφορτίζαμε με την υποχρέωση να  διατυπώνουν οι ίδιοι συστηματικά ερωτήσεις πρώτα σε μας και μετά στους συμμαθητές τους.
Τέλος, αν απευθυνόμενοι στον εαυτό τους ρωτούσαν: "είμαι σε θέση να διατυπώσω μια καλή ερώτηση;", θα έχουν κάνει αναμφιβόλως  μια  πραγματικά καλή ερώτηση!
Αλλά αυτό το τελευταίο δεν αφορά μόνο τους μαθητές μας, νομίζω πως αυτό αφορά όλους μας! 


Τρίτη, 4 Ιανουαρίου 2011

"HORROR MATHEMATICUS"

ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΕΥΡΥΤΕΡΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΔΙΑΛΟΓΟ

Συνάντηση "στο μέσο της σκάλας"

Μπ: ...Αυτό προϋποθέτει έναν διεπιστημονικό διάλογο που δυστυχώς δεν υπάρχει, τουλάχιστον στην έκταση που θα έπρεπε.
Να:  Έτσι ακριβώς είναι. Κι αυτή η προσπάθεια που κάνουμε μαζί εδώ είναι προς αυτή την κατεύθυνση, γιατί είναι αναγκαίος ο διεπιστημονικός διάλογος. Δυστυχώς όμως λυπάμαι που θα το πω, στη "θετικοεπιστημονική" κοινότητα (βάζω το "θετικό" για να γίνει κατανοητό, γιατί όλοι επιστήμονες είναι) μερικά από αυτά που λέμε ακούγονται λίγο περίεργα. Κυρίως γιατί φαίνεται ότι δεν θέλουν να ασχοληθούν. Σκέφτονται τις εξισώσεις τους, την επόμενη δημοσίευση που θέλουν να κάνουν. Νομίζω όμως ότι είναι λάθος αυτή η αντιμετώπιση.
Μπ: Είναι λάθος και χαίρομαι που το επισημαίνεις. Για λόγους αυτοκριτικής όμως, μίλησες μόνο για τις "θετικοεπιστημονικές" πλευρές. Αν μιλήσουμε και για άλλες, για παράδειγμα τις "κοινωνικοεπιστημονικές", εκεί πάλι υπάρχει ένας horror mathematicus, ένας "τρόμος μαθηματικός" για ό,τι έχει σχέση με τις θετικές επιστήμες αφού τα μαθηματικά θεωρούνται δηλωτικά των θετικών επιστημών. Τρομάζει κανείς να σκεφτεί ότι μπορεί να μπει στον χώρο των θετικών επιστημών μέσα από τις κοινωνικές, και βέβαια, αυτό επιφέρει ένα τεράστιο χάσμα. Γιατί φαίνεται ο άνθρωπος εκεί.
Να: Μου άρεσε πολύ το horror matehmaticus, θα το χρησιμοποιώ και θα σου κάνω αναφορά. [...]

Οι δύο επιστημονικοί όγκοι, Γιώργος Μπαμπινιώτης* (Μπ) και Δημήτρης Νανόπουλους** (Να)σε έναν εκτενή διάλογο που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις  ΚΑΣΤΑΝΙΩΤΗ,  με τίτλο  "Από την κοσμογονία στη γλωσσογονία", πραγματεύονται, σε μια γλώσσα άμεσα καταληπτή και από τον πλέον αδαή, τις συνάφειες των θετικών και των ανθρωπιστικών επιστημών, καθώς και την ανάγκη επανασύνδεσης κι επανασύνθεσής τους. 
"Το προϊόν αυτής της συζήτησης ήταν μια ευχάριστη έκπληξη και μια επιστημονική απόλαυση και για τους δύο. Και το κυριότερο: ήταν μια αποκάλυψη, που επιβεβαίωσε την αρχική μας διαίσθηση για ένα "συνεχές",(continioum) της γνώσης που δικαιώνει μια κοινή επιστημονική στάση και των δύο μας ενάντια στον κατακερματισμό της γνώσης. Η συζήτηση, όπως καταγράφεται πλέον εδώ, μας έπεισε αμετάκλητα για την ανάγκη μιας ολιστικής θεώρησης της γνώσης στη συμπληρωματική σχέση που διέπει τους ποικίλους χώρους διερεύνησης
"του συνεχούς σύμπαντος κόσμου" με επίκεντρο τον άνθρωπο.", όπως διαβάζουμε στο οπισθόφυλλο του βιβλίου, ενώ στο εσωτερικό του ο διάλογος παρέχει ακράδαντα επιχειρήματα στον καθένα από μας που προσπαθεί να πείσει τους μαθητές του ότι η "γνώση" δεν κατακερματίζεται. Στον καθένα από μας που παλεύει να εξηγήσει ότι δεν μπορεί κάποιος να κατανοήσει  πλήρως τους συσχετισμούς των εννοιών και τις δομές του κειμένου, ακόμη ακόμη και τα συμφραζόμενά του, αν δεν καταφέρει να υπερβεί, ή έστω να μετριάσει, τον horror mathimaticus του, αλλά και αντιστρόφως. Νομίζω πως δεν μπορεί να αντιληφθεί κάποιος πλήρως το βαθύτερο νόημα των φανταστικών μαθηματικών οντοτήτων, αν δεν μπορεί να τις εντάξει σε ένα σταθερής βάσης γλωσσολογικό και εννοιολογικό υπόβαθρο!
Αναρρωτιέμαι αν  ποτέ κάποιος που πραγματικά κόπτεται για την Παιδεία του τόπου και την παιδεία όλων μας, αποφάσιζε να εντάξει βιβλία όπως αυτό, στο αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών, για να γίνει επιτέλους το αντάμωμα κάπου στο μέσο της σκάλας και...σε ευρύτερη κλίμακα!
Και τώρα που είπα "σκάλα", θυμήθηκα τη μαντινάδα που μου έγραψε ο φίλος μου ο ΔΧ,
"τη γλάστρα που 'χεις  στα ζερβά τώρα που αναβαίνεις, θα τηνε δεις στα δεξιά όταν θα κατεβαίνεις" 
(το θυμάμαι σωστά;) κι επειδή το ζερβό και το δεξί από μόνο του κανένα δεν αποτελεί ολότητα, κι επειδή το κάθε ανέβασμα το ακολουθεί ένα κατέβασμα και τούμπαλιν, σκέφτομαι να παίρνω μαζί μου στο σχολείο την κουβέντα των Μπαμπινιώτη-Νανόπουλου και να διαβάζω μια δυο σελίδες τη φορά, 
στα παιδιά της Γ' Λυκείου που σε λίγους μήνες θα φύγουν για πάντα από το σχολείο και δεν θα έχουν καταλάβει πως υπάρχει ανάγκη μιας ολιστικής θεώρησης της γνώσης στη συμπληρωματική σχέση που διέπει τους ποικίλους χώρους διερεύνησης "του συνεχούς σύμπαντος κόσμου" με επίκεντρο τον άνθρωπο.
  ========================================================
*Γεώργιος Μπαμπινιώτης, Ομότιμος και Επίτιμος Καθηγητής Γλωσσολογίας, τ. Πρύτανης του Πανεπιστημίου Αθηνών, Πρόεδρος της Φιλεκπαιδευτικής Εταιρείας (Αρσάκεια – Τοσίτσεια Σχολεία)

**Δημήτριος Νανόπουλος, Ακαδημαϊκός, Καθηγητής στο Τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Texas A&M, CollegeStation (Έδρα Mitchell-Heep της Φυσικής Υψηλών Ενεργειών), Διευθυντής του Κέντρου Αστροσωματιδιακής Φυσικής του Κέντρου Προχωρημένων Ερευνών του Houston (HARC) στις ΗΠΑ, Πρόεδρος του Εθνικού Συμβουλίου Έρευνας και Τεχνολογίας (ΕΣΕΤ).



Κυριακή, 2 Ιανουαρίου 2011

Ας είναι το 2011... ΜΙΑ ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ ΠΟΛΛΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ!

Ας είναι το 2011, μια χρονιά πολυδιάστατη από κάθε άποψη!
Πολυδιάστατη, πολυσχιδής και γοητευτική για την ψυχή και το πνεύμα μας..
Δύσκολη, όπως κάθε τι που ξεφεύγει από τις πεπερασμένες-τρισδιάστατες-αντιληπτικές μας ικανότητες,
αλλά παρόλα αυτά εφικτή,  όπως κάθε τι υπολογίσιμο και μετρήσιμο...
Ας είναι μια χρονιά που, ενώ προμηνύεται πως θα μας δυσκολέψει, 
εμείς δυναμικά θα  αντιμετωπίσουμε...