Τετάρτη, 19 Ιανουαρίου 2011

ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΧΑΡΙΝ...

Όταν διάβασα το σχόλιο που άφησε στην προηγούμενη ανάρτηση ο κύριος Μπάμπης Στεργίου, περιγράφοντας την εμπειρία του μέσα από την τάξη  τη μέρα  που είχε ζητήσει από τους μαθητές  του να θέτουν ερωτήσεις/ασκήσεις οι μεν στους δε, σκέφτηκα για μιαν ακόμη φορά πόσο σημαντικό ρόλο παίζει το "αντιπαράδειγμα" στη διδασκαλία των Μαθηματικών.  Σκέφτηκα επίσης πως θα πρέπει  να "αυξήσω" ίσως τη χρήση αντιπαραδειγμάτων στο μάθημά μου, προκειμένου να αποφεύγονται οι  παρανοήσεις που προκύπτουν γύρω από τις μαθηματικές έννοιες και διαδικασίες ή, έστω, να αποφεύγονται στο μεγαλύτερο δυνατό βαθμό. Ούτως ή άλλως η χρήση αντιπαραδείγματος είναι κάτι που  εκ των πραγμάτων συνηθίζεται στο μάθημα των Μαθηματικών.  
Μερικές φορές χρησιμοποιώ αυθόρμητα ένα αντιπαράδειγμα - χωρίς δεύτερη σκέψη ή κάποια προετοιμασία -  ως, πλάγια, διορθωτική απάντηση σε  μια εσφαλμένη θέση των μαθητών, αντί της ευθείας διόρθωσης που σε γενικές γραμμές κρίνεται αντιπαιδαγωγική, δεν είναι εποικοδομητική  και, επιπλέον, η εφαρμογή της επιφέρει μια πρόσκαιρη παγομάρα στην τάξη και μια αμηχανία που χαλάει το καλό κλίμα.  Η αυθόρμητη διατύπωση ενός αντιπαραδείγματος  γίνεται, κατά πάσα πιθανότητα, επειδή τα επαναλαμβανόμενα λάθη των παιδιών εξελίσσουν και διαμορφώνουν με τον καιρό τα αντανακλαστικά και τις συνήθειες του δασκάλου.
Όμως ποια είναι η κύρια χρήση  του αντιπαραδείγματος;                    
Στα Μαθηματικά - και όχι μόνο - η χρήση του αντιπαραδείγματος είναι να διαψεύσει μια  γενίκευση, από εκείνες που οι μαθητές - και όχι μόνο - έχουν την τάση να εφαρμόζουν εσφαλμένα, χάριν (υπερ)απλούστευσης ή οικονομίας ή παρανόησης. Εκτός από αυτήν τη γενική χρήση όμως  το αντιπαράδειγμα συμβάλλει και στην αποσαφήνιση  μιας μαθηματικής έννοιας,  αφού για να έχουμε επίγνωση του τι είναι κάτι, συχνά οφείλουμε να γνωρίζουμε επίσης και το τι δεν είναι, πράγμα όχι πάντα, αλλα ούτε και για τον καθένα, αυτονόητο, ειδικά δε στην μετα-Αριστοτελική περίοδο που διάγουμε. 
Έχοντας αποφασίσει, λοιπόν, να χρησιμοποιήσω οπωσδήποτε αντιπαραδείγματα στο επόμενο μάθημα της Άλγεβρας στην Α΄ Λυκείου, το οποίο  ήταν το εισαγωγικό μάθημα του δεύτερου κεφαλαίου, διαπίστωσα πως δεν ήταν καθόλου εύκολο να κάνω ένα προσχέδιο μαθήματος  όπως το είχα -μετά το σχόλιο του κυρίου Στεργίου- διαμορφώσει στο μυαλό μου. Ήθελα, στην εισαγωγή, όπως και σε κάθε εισαγωγή, να παρουσιάσω και τα τρία βασικά αντικείμενα  τα οποία εξετάζονται στο κεφάλαιο. 
Ωραία! Αν πω: "αυτό 'αχ+β=0' είναι μια πρωτοβάθμια παραμετρική εξίσωση" τότε,  θέλοντας να φανώ συνεπής στην απόφαση που είχα πάρει να χρησιμοποιήσω οπωσδήποτε για κάθε περίπτωση  ένα τουλάχιστον "αντιπαράδειγμα",  θα πω: "κι αυτό (1/χ)+ [3/(χ-1)]=1, δεν είναι πρωτοβάθμια παραμετρική εξίσωση!"  Αλλά τι θα έχουν άραγε καταλάβει τα παιδιά; Θα έχουν καταλάβει πως και η 3χ^(1/2)-6=0 δεν είναι επίσης πρωτοβάθμια παραμετρική;; Τι καθιστά αποτελεσματικό ένα αντιπαράδειγμα; 
Αν ο ρόλος του αντιπαραδείγματος είναι να καταρρίψει την πλάνη που υπάρχει γύρω από μια έννοια,  το αντιπαράδειγμα θα είναι εκ των ων ουκ άνευ αν και μόνο αν η "πλάνη" είναι απόλυτα ...σαφής!
Άρα για να καταστήσω σαφή μια μαθηματική έννοια θα πρέπει με χρήση αντιπαραδειγμάτων να την απαλλάξω από την όποια πλάνη την περιβάλλει, και για να το πετύχω αυτό θα πρέπει πρώτα να αποσαφηνίσω την πλάνη αυτήν καθ' αυτήν. Άρχισα να σκέφτομαι, λοιπόν, πώς θα το δουν τα παιδιά αυτό που ήθελα να διδάξω και ποιες πλάνες έπρεπε να προλάβω! Κάνοντας τις εικασίες μου και τις προβλέψεις μου για τις πιθανές παρανοήσεις,  έγραψα δίπλα σε κάθε παράδειγμα ένα κατάλληλο -αποσαφηνιστικό- αντιπαράδειγμα, αλλά φάνηκε πως η διαδικασία δεν ολοκληρωνόταν σωστά, γιατί κάθε αντιπαράδειγμα  έμοιαζε ικανό να γεννήσει μια καινούρια παρανόηση... Το πράγμα άρχισε να πλατυάζει επικίνδυνα. Η διαπίστωση αυτή με οδήγησε σε μια καινούρια εκ διαμέτρου αντίθετη αντιμετώπιση του θέματος. "Δεν θα τους πω τίποτε", σκέφτηκα. "Θα τους αφήσω να το βρούν μόνοι τους!". Πράγματι την επομένη το πρωί, μόλις μπήκα στην τάξη ρώτησα αν θυμούνται τι ονομάζουμε εξίσωση και στη συνέχεια έγραψα στον πίνακα:
2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
  2.1.  3χ+5(χ-1) = 11        2.2.   χ^3 = 64        2.3.  χ^2 - 3χ + 2=0


Μετά έγραψα στον πίνακα  διάφορες εξισώσεις και ζήτησα από τα παιδιά να πουν σε ποια από τις τρεις στήλες 2.1, 2.2 και 2,3  θα έβαζαν την κάθε εξίσωση και για ποιο λόγο. Σημείωνα στον πίνακα τις απαντήσεις που έδινε ο καθένας και στο τέλος έλεγα το "ποσοστό ευστοχίας" τους, που δεν ήταν άσκημο, αλλά ήταν αποκαλυπτικό σε πολλές εσφαλμένες "κατηγοριοποιήσεις", όπως για παράδειγμα στην εξίσωση 2^2 + 3χ = 13, που κάποιος μαθητής την κατέταξε στη μορφή 2.3 λόγω του τετραγώνου, αλλά - ευτυχώς για μένα - δέχτηκε αμέσως την ένσταση μιας συμμαθήτριας του,  επειδή το τετράγωνο, όπως του είπε, δεν ήταν σε "γράμμα" , αλλά σε αριθμό κλπκλπ...
Αφιερώσαμε σχεδόν ένα εικοσάλεπτο, αλλά καταφέραμε - με τις αιτιολογήσεις, τις ενστάσεις και τις "ανα(κατα)σκευές" που έγιναν σε ένα πρώτο επίπεδο -  να ξεδιαλύνουμε αρκετές  πλάνες, τις οποίες αντιμετώπισαν τα ίδια τα παιδιά με τη συζήτηση που έκαναν και πέτυχαν ενδεχομένως περισσότερα από όσα θα πετύχαινα εγώ μέσω ενός "παραδείγματος [και ...αντιπαραδείγματος] χάριν..."!

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 σχόλια:

  1. Είναι αλήθεια ότι η κατηγοριοποίηση μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές (ιδιαίτερα αυτούς που έχουν μέτριες επιδόσεις στα μαθηματικά). Όμως, ορισμένες φορές οδηγεί στην παπαγαλία, τη στείρα απομνημόνευση και την αδυναμία επίλυσης δυσκολότερων προβλημάτων που αντιστέκονται στην κατηγοριοποίηση. Ωστόσο, στις εξισώσεις νομίζω οι περισσότεροι από εμάς που διδάσκουμε σε Λύκειο κατηγοριοποιούμε τις ασκήσεις, αν και όχι τόσο ευρηματικά όπως εσύ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. γεια σου Ανδρέα!
    Σ' ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο :)
    Θα έλεγα πως δεν έδωσα το βάρος στην "κατηγοριοποίηση", την οποία θεωρώ πολύ σημαντική έτσι κι αλλιώς, αλλά εστίασα κυρίως στη "μορφολογική αναγνώριση" που τη θεωρώ σημαντικότερη όλων των άλλων και πιστεύω ότι αποτελεί την επιβεβαίωση πως ισχύουν τα δυο πρώτα στάδια της ταξινομίας Bloom, δηλαδή η γνώση και η κατανόηση.
    Η "μορφολογική αναγνώριση" είναι κάτι που στην ουσία κάνουν τα παιδιά μόνα τους συζητώντας μεταξύ τους και το κάνουμε σαν παιχνίδι του στυλ "βρείτε τις διαφορές" ή "βρείτε τις ομοιότητες" και στη συνέχεια διατυπώνουμε κάποιον γενικό περιγραφικό κανόνα, από όπου προκύπτουν οι γενικευμένοι τύποι...
    Τέλεια περνάμε στην Α' Λυκείου.
    Έχω κατάλληλο μαθητικό υλικό σε ικανοποιητικό ποσοστό και στα δυο τμήματα.

    Πρώτη φορά κάνω σε σχολείο Α'.
    Νομίζω πως θα "παρατήσω" την κατεύθυνση! :)

    φιλιά πολλά

    ΑπάντησηΔιαγραφή