Τετάρτη, 30 Μαρτίου 2011

Η ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΑΣ ΔΙΔΑΣΚΕΙ ΤΟΝ ΙΔΙΟ ΜΑΣ ΤΟΝ ΕΑΥΤΟ!

        Θα μπορούσατε να φανταστείτε  ότι η παραπάνω άσκηση Γεωμετρίας,  θα ήταν δυνατόν να αποτελέσει ένα μέσο ψυχαγωγίας, θέμα για συζήτηση ή - κι αυτό είναι το πλέον απίθανο - μια μέθοδο μελέτης κάποιων ιδιαίτερων χαρακτηριστικών γνωρισμάτων μας;!
Εγώ δεν  φανταζόμουν τίποτα από όλα αυτά, όταν την επέλεξα για να τη λύσουμε στην τάξη του Α1, εν όψει του τεστ που έχουμε προγραμματίσει για την επόμενη εβδομάδα. Μου φάνηκε πως είναι ό,τι πρέπει για μια κουβέντα γύρω από τα θέματα που έχουμε να επαναλάβουμε για το συγκεκριμένο τεστ κι έτσι την έγραψα στον πίνακα, εξηγώντας στα παιδιά πως δεν δίνω το σχήμα, επειδή θέλω να το κατασκευάσουν μόνα τους, για να ελέγξουμε κατά πόσο καταλαβαίνουμε τι διαβάζουμε στη γλώσσα της Γεωμετρίας. Φέρνοντας γύρες στην τάξη είδα, σε αρκετά  τετράδια, τη αμβλεία γωνία Α να μοιάζει με εξηντάρα κι έτσι έκανα τις απαραίτητες συστάσεις και υποδείξεις!
"Δεν γίνεται να έχουμε ισοσκελές τρίγωνο με αμβλεία γωνία", ακούστηκε μεταξύ των άλλων η διαμαρτυρία ενός μαθητή, ο οποίος είχε ζωγραφίσει ένα όμορφο οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο!
Ομολογώ πως ξαφνιάστηκα με την αντίδρασή του, αλλά όταν το ξανασκέφτηκα  κατάλαβα, για μιαν ακόμη φορά, πόσο οι κατασκευασμένες "κανονικότητες", οι ρουτίνες και οι επαναλήψεις 
(οξυγώνια είναι σχεδόν πάντα τα ισοσκελή  μη ορθογώνια τρίγωνα, τόσο στα σχήματα του βιβλίου, όσο και στις ασκήσεις που λύνουμε εντός κι εκτός σχολικού βιβλίου) τείνουν στη συνείδησή μας να γίνουν Νόμοι!!  Πολύ δε περισσότερο στη συνείδηση των παιδιών. Το συζητήσαμε το θέμα  και καταλήξαμε, εν πολλοίς,  στο ήδη γνωστό μας συμπέρασμα: ό,τι γίνεται καθ' έξιν δεν είναι κατ' ανάγκη σύμφωνο με τους κανόνες ούτε αποτελεί τον κανόνα, όπως και  ό,τι μας μαρτυρούν οι (απατηλές) αισθήσεις μας δεν είναι πάντα αληθές! Ένα τετράπλευρο, για παράδειγμα,  στον πίνακα δεν είναι παραλληλόγραμμο μόνο και μόνο επειδή μοίαζει με παραλληλόγραμμο,  δηλαδή επειδή έτσι μας λένε τα μάτια μας, είναι παραλληλόγραμμο αν και μόνο αν ισχύει ένα από τα γνωστά κριτήρια!! Και "Ποια είναι τα  κριτήρια σύμφωνα με τα οποία καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο;". Να ρωτήσω τους μαθητές μου; Δεν χρειάζεται. Αν ρωτήσω όλα τα χέρια θα σηκωθούν όρθια, όλοι οι μαθητές θα είναι πρόθυμοι να μου απαντήσουν! Τα έχουμε πει ήδη πολλές φορές. Τα έχουμε μάθει.

Μακάρι να ήταν τόσο ξεκάθαρα και τόσο εύκολα όλα τα "κριτήρια" στη ζωή  όσο είναι αυτά που μαθαίνουμε στη Γεωμετρία, αυτά που χωράνε σε μισή σελίδα όλη κι όλη. Όμως τα κριτήρια  επιλογής του επαγγέλματος, της επιλογής των φίλων, του συντρόφου;  Υπάρχουν κάπου γραμμένα; Πόσο εύκολα είναι; Μαθαίνονται μέσα από ένα βιβλίο; Ή μήπως τα διαμορφώνει ο καθένας  μόνος του, έχοντας ως βάση τον εαυτό του, με την προϋπόθεση πως τον γνωρίζει καλά ή, έστω, όσο καλά - και ειλικρινά -  μπορεί να γνωρίζει κάποιος τον ίδιο του τον εαυτό. Κι αυτό, το να γνωρίζουμε δηλαδή τον εαυτό μας, δεν είναι και από τα ευκολότερα, πολύ δε περισσότερο όταν είμαστε μόλις δεκάξι.

Αυτά σκεφτόμουν, ενώ τα παιδιά σκυμμένα με μεράκι στα τετράδιά τους, έσβηναν κι έγραφαν και σχεδιάζαν και με φώναζαν κάθε λίγο και λιγάκι να μου δείξουν μια λύση που βρήκαν, μια επιπλέον γραμμή που τράβηξαν, μια διόρθωση που έκαναν μετά την υπόδειξή μου στη λάθος λύση που είχαν βρει και μου την είχαν δείξει προηγουμένως.
Αν έβαζα χιλιομετρητή επάνω μου όταν είμαι  στην τάξη, νομίζω πως θα έγραφε τουλάχιστον... τρια χιλίομετρα ανά ώρα μαθήματος! :)

Τα δυο πρώτα ερωτήματα της άσκησης απαντήθηκαν σωστά σε πολλά τετράδια κι έτσι είπαμε να συζητήσουμε τη λύση στον πίνακα, επικουρικά, για όσους δεν είχαν καταλήξει  κάπου...
 Οι λύσεις που δόθηκαν για το 1ο ερώτημα ήταν δύο και θα τις αναφέρω συνοπτικά και επί τροχάδιν, ακριβώς επειδή από 'κεί μου προέκυψε μια απορία.
Κάποιοι από τους μαθητές, όπως ακριβώς είχα κάνει κι εγώ, υπολόγισαν τις γωνίες του τριγώνου ΑΕΓ, ξεκινώντας από τη γωνία της κορυφής είπαν:   
γωνία Α=120 μοίρες, ΑΕ κάθετη στην ΑΒ, άρα η γωνία ΕΑΓ ισούται με τη διαφορά τους, ήτοι 120-90=30 μοίρες κλπκλπ.
Κάποιοι άλλοι μαθητές όμως ξεκίνησαν από τις παρά την βάσιν κείμενες γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ και βρήκαν πως η Β, όπως και η Γ, ισούται με 30 μοίρες κι άρα η γωνία ΒΔΜ με 60 μοίρες κι επομένως η εξωτερική της με 120 και η εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων γωνία ΑΕΓ θα είναι επίσης 120, ενώ η Γ είπαμε από την αρχή 30, άρα ... κλπκλπ.

 Δεν μπόρεσα να μη σχολιάσω μεγαλοφώνως πόσο διαφορετικές ήταν οι δυο προσεγγίσεις. Η μια ξεκινούσε δυναμικά (και επιθετικά θα έλεγα) από την κορυφή του τριγώνου, και πήγαινε στο προκείμενο. Η άλλη σεμνά και ταπεινά ξεκινούσε από τη βάση του τριγώνου και με υπομονή κι επιμονή προχωρούσε μέχρι τον τελικό σκοπό, που ήταν ο υπολογισμός των γωνιών του μικρού τριγώνου...
  • Έχει άραγε να κάνει ο δρόμος που "επιλέξαμε" να προσεγγίσουμε την άσκηση με το τι είδους άνθρωποι είμαστε; 
  • Αποκαλύπτει μήπως ο τρόπος, με τον οποίον επεξεργαστήκαμε τις πληροφορίες της άσκησης - που αναμφιβόλως ήταν πάρα πολλές - στοιχεία του χαρακτήρα μας;
Ήταν κάποια από τα ερωτήματα που διατύπωσα μεγαλόφωνα.
Τα προσωπάκια συνοφρυώθηκαν, προβληματίστηκαν, σκέφτηκαν, λοξοκοίταξαν τη λύση τους, λοξοκοίταξαν κι εμένα.
"Μάλλον θα πρέπει να το προσέξουμε περισσότερο αυτό, δηλαδή, να προσέξουμε  αν τυχαία λύσαμε την άσκηση όπως τη λύσαμε ή αν έχουμε μια γενικότερη τάση να λειτουργούμε έτσι κι όχι αλλιώς... ", σχολίασα.

Αποδείξαμε στη συνέχεια  αυτό που ζητούσε το 2ο ερώτημα κι έμεινε το τρίτο για HW, συμπληρώμενο με κάτι επί πλέον, με κάτι "της ώρας": όποιος καταφέρει να διατυπώσει ένα τέταρτο "όμορφο" ζητούμενο για αυτήν την άσκηση, που βρίθει πληροφοριών σε βαθμό θορύβου..:), θα έχει εικοσαράκι! Με την προϋπόθεση βέβαια πως δεν έχει ..πάρει τη βοήθεια του κοινού, (με ό,τι μπορεί "βοήθεια του κοινού" να σημαίνει), αλλά έχει βρει κάτι που είναι δικό του, που πηγάζει από μέσα του, από τον ίδιο τον εαυτό του!
Το κουδούνι χτύπησε κι εγώ άρχισα να μαζεύω τα βιβλία μου αργά αργά, χρονοτριβώντας για να απολαύσω για λίγο ακόμη τον ζήλο με τον οποίο συζητούσαν  μεταξύ τους τη λύση της άσκησης.
Δεν ξέρω  τελικά αν η Ευκλείδεια Γεωμετρία μας διδάσκει τον ίδιο μας τον εαυτό, (που μάλλον το κάνει..), αλλά η διδασκαλία της στο Α1, όπως και στο Α2,  αποτελεί για μένα ένα πολύ μεγάλο σχολείο.

------------------------------------------------------------------------------------------------
Η ανάρτηση είναι αφιερωμένη στον φίλο μου τον Μάκη,  που πολύ καιρό πριν, στην αρχή  της σχολικής χρονιάς μου είχε αφήσει το εξής σχόλιο:

Κατερίνα γιατί δεν μας γράφεις μερικά παραδείγματα που έχεις κατά νου (μη μαθηματικά);
Θα είναι θετικό και χρήσιμο το blog σου να δίνει παραδείγματα διδασκαλίας έτοιμα να τα υιοθετήσει ο καθηγητής.
Νομίζω ότι θα το πράξω και εγώ στο blog μου, μου έδωσες μια καλή ιδέα!

Επειδή η Μαθηματική λογική είναι νέο κομμάτι στο βιβλίο, καλό θα ήταν να δούμε κάποιες ολοκληρωμένες παρουσιάσεις από συναδέλφους και να διδαχτούμε όλοι μας, ασχέτως αν δεν εξετάζεται στις εξετάσεις του Ιουνίου.

Φιλικά,
Μάκης 

Τον ευχαριστώ που μου έδωσε την ιδέα και το κίνητρο να γράφω για το πόσο ωραία περνάμε με τους μαθητές μου στην Α΄ Λυκείου, αλλά νομίζω πως δεν μπορεί σε καμιά περίπτωση να λειτουργήσουν όλα αυτά που περιγράφω εδώ ως "παραδείγματα διδασκαλίας έτοιμα να τα υιοθετήσει ο καθηγητής", όπως τα λες, φίλε Μάκη,  επειδή η "διδασκαλία" και του πλέον γνωστού και τετριμμένου, μπορεί να γίνει ένα γοητευτικό ταξίδι για τον δάσκαλο και τους μαθητές του, αν λειτουργήσει η μεταξύ αυτών Χημεία! :)) 
Δηλαδή  το όλο πράγμα είναι και θέμα .. καταλύτη, πίεσης, θερμοκρασίας κι άλλων τινών συνθηκών που μερικές φορές είναι δύσκολο να τις προσδιορίσουμε με σαφήνεια και ακρίβεια όπως    είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε επακριβώς τα (ορθά) κριτήρια επιλογής επαγγέλματος, φίλων, συντρόφου κλπκλπ.. :))

13 σχόλια:

  1. Χαχαχαχα να 'σαι καλά Κατερίνα με έκανες και γέλασα! Φυσικά και δεν ήμουν αυτός που σου έδωσε την να γράψεις, αλλά το είχες εδώ και χρόνια μέσα σου, απλά στο θύμισα!

    Να σαι καλά για την αφιέρωση!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Δεν είναι και λίγο να θυμίζεις ή να δείχνεις σε κάποιον τι έχει μέσα του..

    Καλό βράδυ και ευχαριστώ γενικώς! :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Ο τίτλος τί να σημαίνει άραγε πως ο εαυτός μας
    είναι πεπερασμένος και
    δεν μπορεί να προσαρμοστεί στο Αβέβαιο
    και τη Σεναριακή Λογική?

    Εν πάση περιπτώσει το Παιδί που σφαζε Πρόβατα
    μέρα που είναι σας εύχεται Χρόνια Πολλά και αναγελά
    πως δεν υπάρχει πλέον Επιμενίδειο Παράδοξο και
    γρίφος στα χαρτιά...:-)..αξίζει πλέον μόνο
    τουριστικά...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. @Michalis Melidonis

    Γιατί πιστεύεις πως η Ε.Γ. και ό,τι μελετάει, το επίπεδο δηλαδή και ο χώρος , είναι πεπερασμένα;
    Άπειρα είναι κι άπατα, όπως κι ο εαυτός μας!

    Χρόνια σου Πολλά κι σένα
    με τα παράδοξα ..σφαγμένα.. :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Τώρα το πιασα το νόημα
    δεν είναι ο Ευκλείδης
    από μόνος του
    είναι ο τρόπος γεωμέτρησης
    του προβλήματος και της αποδείξεως
    ...........
    Μακάρι να ήταν τόσο ξεκάθαρα και τόσο εύκολα όλα τα "κριτήρια" στη ζωή όσο είναι αυτά που μαθαίνουμε στη Γεωμετρία............

    Και ποιός φταίει για αυτό;;
    ;
    Ιδού! «Είμαι ο Kurt Goedel και δεν αποδεικνύομαι...»
    Ιδού! Ναρκισσισμός! γιατί Κύριε? να μην αποδειχτείς?

    Τη φράση μου την έμαθε ο φίλος μου ο Λάκωνας το 2006.

    έτσι είναι δε φταίνε μόνο οι αρχαίοι, ο Ευκλείδης,
    που του κοτσάρανε μειωτικά το Elementary Geometry...

    Καλη σας μέρα

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Ναι, το 2006 ήταν αφιερωμένο στον Κ.Γ.(στον κόσμο των μαθηματικών) για τα εκατό χρόνια από τη γέννησή του, γι' αυτό ειπώθηκαν πολλά και γράφτηκαν πολλά και παίχτηκαν (θεατρικά) πολλά με θέμα τη ζωή του και το ανατρεπτικό του θεώρημα κι έτσι τον έμαθε ο καθείς, χωρίς όμως να καταλαβαίνει και το "τι λέει ο ποιητής"!

    Γιατί πρέπει να φταίει κάποιος;
    Ή να το θέσω αλλιώς;
    Σε τι πρέπει να φταίει κάποιος;
    Στο ότι δεν κατανοούμε τα πάντα όλα;
    Αν συνέβαινε αυτό, νομίζω, θα 'ταν ανιαρό..

    καλή σας μέρα επίσης!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. ....Γιατί πρέπει να φταίει κάποιος;....

    Για να βασανίζω το μυαλό μου,
    να μην το αφήνω σε ησυχία
    κι ας μην τα πιάνει με τη μία..:-)

    Προσπαθούσα ανάμεσα σε άλλα να διαγνώσω
    αν υπάρχει είτε υπήρξε και μια είδους αντιπάθεια
    ανάμεσα στην παραδοσιακή και τη μοντέρνα Γεωμετρία.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Εκλαμβάνοντας το σχόλιο σου τοις μετρητοίς, δεν μπορώ να μην σου απαντήσω πως οι Γεωμετρίες μεταξύ τους δεν τρέφουν αντιπάθειες, νομίζω.. :)
    Οικοδομήθηκαν από ανθρώπους που τους ωθούσε η περιέργεια..που αναρωτιόταν αν υπάρχει στ' αξιώματα κρυμμένη μια ασυνέπεια..
    Καμιά Γεωμετρία, Ευκλείδεια ή Μη, δεν έφτασε ποτέ της σ' αντίφαση! Ήτανε όλες συνεπείς!
    Γι' αυτό οι επιστήμονες μπορούν να επιλέγουν όποια Γεωμετρία φαντάζει "βολική" κατά περίσταση!

    Το θέμα είναι αχανές και γοητευτικό, δεν εξαντλείται παρευθύς, γιατί είναι..μαθηματικό:)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. :-) Κριμά γιατί μου αρέσουν οι δημιουργικές
    συγκρούσεις αλλά αφού βολικά αγαπιέστε τόσο
    πολύ, γιατί να σας χαλάσω τη γιορτη;; :-)

    Επι του κειμένου και
    Ακούγοντας το συνδυαστικό μου ένστινκτο

    1.Αφού η ανάρτηση είναι αφιερωμένη στο Μάκη Χατζόπουλο.
    2.Παίρνω αποσπασματική τροφή για σκέψη απο σημερινό του κείμενο Eνα υπέροχο μυαλό ετών 16 -Μαθηματικός Xάρης Tσαμπασίδης


    ...χρειάζεται επίσης να επιστρατεύσεις τη φαντασία σου, να βρεις λύσεις έξω από την πεπατημένη. Περίπου όπως και στη ζωή»......


    και το κολλώ στο δικό σου

    Μακάρι να ήταν τόσο ξεκάθαρα και τόσο εύκολα όλα τα "κριτήρια" στη ζωή όσο είναι αυτά που μαθαίνουμε στη Γεωμετρία......


    Επιπλέον

    «Tο στερεότυπο, που θέλει τους μαθηματικούς να είναι κάπως ψυχροί, απόμακροι και υπολογιστικοί τύποι, λίγο-πολύ ισχύει», ομολογεί με μισό χαμόγελο.

    και το κολλώ αντιθετικά στην όλη χαμογελαστή
    και φιλόκοσμη σου παρουσία :-)))

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Η γνώμη μου είναι ότι τα μαθηματικά είναι μία ιδέα και όπως όλες μας οι ιδέες επηρρεάζονται απ την φύση του εαυτού μας, έτσι συμβαίνει και με τα μαθηματικά.
    Δηλαδή θεωρώ πως ο άνθρωπος που θα ξεκινήσει από την βάση και θα προσπαθήσει να φτάσει στην λύση είναι ο άνθρωπος που θέλει να νιώθει ασφάλεια για τις κινήσεις του, ενώ ο άνθρωπος που θα ξεκινήσει απ την αρχική γωνία είναι αυτός που δεν φοβάται να τολμήσει, ακόμα και αν τελικά βγει λάθος ο "δρόμος" του και χρειάζεται να ξαναξεκινήσει από την αρχή κάτι.

    Δεν θεωρώ άλλωστε τυχαίο το ότι οι πιο καινοτόμοι κατα την γνώμη μου μαθηματικοί ήταν αυτοί που και σαν χαρακτήρες είχαν μεγάλο δυναμισμό (ή τουλάχιστον οι μαθηματικοί ιστορικοί πιστεύουν ότι τα άτομα αυτά είχαν μεγάλο δυναμισμό)

    Τώρα σε ότι αφορά τα σχόλια του κυρίου Μιχάλη, η λέξη "elementary" δεν είναι απαραίτητα μία κακή και υποτιμητική λέξη. Απλώς θεωρώ ότι υποδηλώνει πως πάνω σε αυτήν την γεωμετρία βασίστηκαν όλες οι μετέπειτα. Δεν είναι υποτιμητικό, λοιπόν, να θεωρείται η Ευκλείδια Γεωμετρία στοιχειώδης, γιατί η αλήθεια είναι πως συγκρινόμενη με τις υπόλοιπες γεωμετρίες (ή καλύτερα με τις γεωμετρίες που γνωρίζω) είναι η λιγότερο χρήσιμη τόσο για τα μαθηματικά όσο και για την φυσική.

    Και σε ό,τι αφορά τον Godel... Θεωρώ πως είναι πολύ παρεξηγημένος, όπως και όλοι όσοι ασχολήθηκαν με τον μαθηματικό φορμαλισμό - προσωπική μου γνώμη: μας λύνει τα χέρια σε πολλά ζητήματα που χρειαζόμαστε κάποια αυστηρότητα-.
    Ο άνθρωπος δεν προσπάθησε να καλουπώσει τα πάντα ούτε να αποδείξει ότι τα πάντα είναι αποδείξιμα ή μη αποδείξιμα.
    Η επιστήμη των μαθηματικών χρειαζόταν ένα συμμάζεμα, λόγω της συσσώρευσης υποθέσεων.
    Αυτό που προσπάθησε να κάνει ο Godel για μένα ήταν να συμμαζέψει τα συρτάρια μας, που είχαμε γεμίσει με πολύ ωραίες ιδέες, αλλά θα τις χάναμε μέσα σε αυτό το χάος.

    Με συγχωρείτε αν παρανόησα έγω κάτι από τα σχόλια σας και δημιούργησα κάποια παρεξήγηση.
    Κάθε άλλος παρά αυτός ήταν ο σκοπός μου :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. @Michalis Melidonis

    :))Σ' ευχαριστώ!
    Θέλω όμως να διευκρινίσω πως "Tο στερεότυπο, που θέλει τους μαθηματικούς να είναι κάπως ψυχροί, απόμακροι και υπολογιστικοί τύποι.."
    αναφέρεται σε μαθηματικούς της έρευνας κι όχι σε "μεταπράτες" των Μαθηματικών, όπως η υπογράφουσα! :))

    Υ.Γ. Οι Γεωμετρίες δεν έχουν τίποτε να χωρίσουν και όπως είπε ο μέγας Ανρί Πουανκαρέ "Δεν υπάρχει σωστή ή λάθος Γεωμετρία, υπάρχει μόνο βολική Γεωμετρία"
    (το αξιώμα της επιλογής είναι το βασικό αξίωμα της Επιστήμης του 20ου αιώνα..)
    Αλλά, για να σ' ευχαριστήσω, κάτι θα σου μαρτυρήσω, που 'χει σχέση με συγκρούσεις κι άμα θέλεις θα τα 'κούσεις.. :)
    Πάντα υπήρχαν αντικρουόμενα ρεύματα κι αμφισβητήσεις, όπως παντού, έτσι και στους μαθηματικούς, μάχες μεγάλες και μικρές δημόσιες κι ιδιωτικές..Ένας χαμός!Πώς αλλιώς θα προχωρούσε η επιστήμη;
    Και οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, όπως μάλλον θα γνωρίζεις, ξεπήδησαν από την αμφισβήτηση του 5ου (και τελευταίου) αιτήματος του Ευκλείδη! Χωρίς αμφισβήτηση δεν πάει ο κόσμος μπροστά..Βολεύεται στο σπήλαιο του :))
    Το θέμα είναι πως οι αμφισβητίες του 5ου αιτήματος, μ'όλο που το ήθελαν πολύ, δεν κατάφεραν να ανατρέψουν το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη, το οποίο καθόλου άχρηστο δεν είναι όπως λέει η φίλη Ginger παραπάνω, αφού είναι η πρώτη αξιοματοποίηση της ανθρώπινης γνώσης, αποτελεί βάση για όσα νοητικά επιτεύγματα επακολούθησαν, όχι μόνο στα Μαθηματικά (βλέπε Σπινόζα)και γι' αυτό είναι αξεπέραστο εδώ και 2.300 χρόνια.
    (Τα Στοιχεία του Ευκλείδη αποτελούν το δεύτερο βιβλίο σε αριθμό πωλήσεων μετά την Αγία Γραφή!!!)
    Αυτά κι άλλα πολλά, αλλά τα 'φηνω για μετά. :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. @Ginger

    γεια σου miss Ginger!!
    Έφερες ένα άρωμα φρεσκάδας..μια νοστιμιά από βιετναμέζικο κοτόπουλο! :)
    Σ' ευχαριστώ για το σχόλιο και για την κατάθεση των απόψεών σου.
    Θα μου επιτρέψεις να κάνω μια μικροδιόρθωση σχετικά με τις προθέσεις του Κουρτ Γκέντελ?
    Ο Γκέντελ, λοιπόν, που ήταν ένας καθαρόαιμος πλατωνιστής και δεν σκεφτόταν σαν κι εσένα κι εμένα που λέμε πως τα μαθηματικά είναι κοινωνικό κατασκεύασμα και φέρουν την υπογραφή του κατασκευαστή τους, πίστευε πως η μαθηματική αλήθεια είναι κάτι που υπάρχει πραγματικά πέρα από οποιαδήποτε επινόηση του ανθρώπινου νου, ότι τα θεωρήματά του είναι "ανακαλύψεις" σχετικά με την αντικειμενική αλήθεια, όχι δημιουργήματα του νου του.
    Άρα μάλλον δεν έκανε την αρίθμησή του για να συμαζέψει τα συρτάρια κανενός..
    Κι ένα τελευταίο, για να κλείσω και να σας καληνυχτίσω..
    Είναι πολλές πρωτοπόρες μορφές στην ιστορία των Μαθηματικών, που κάθε άλλο παρά δυναμικές ήταν, όπως λες! Βλέπε G. Bool, B. Riemann, Cantor κλπκλπ Μπορώ να σου πω κι άλλους με διάφορες "ψυχοσωματικές" διαταραχές..

    Καλό βράδυ
    Υ.Γ. ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΔΟΞΙΑΔΗ "ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΑΡΑΝΟΙΑ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ.."
    Εκδόσεις Ίκαρος.
    Ειδικά οι εκκολαπτόμενοι μαθηματικοί ανεξάρτητα από τη βαθμίδα στην οποία θα αποφασίσουν, εν τέλει, να διδάξουν, θα πρέπει να γνωρίζουν την εξέλιξη των μαθηματικών, ως παράλληλη εξέλιξη των ιδεών και το συγκεκριμένο βιβλίο είναι ιδανικό. :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  13. Ευχαριστώ πολύ! *added to wishlist* :)

    Ε ναι, σκέφτηκα ότι ήρθε επιτέλους η ώρα!

    Καλό βράδυ!(:

    ΑπάντησηΔιαγραφή