Τετάρτη, 23 Νοεμβρίου 2011

"Άλλα μας μαθαίνετε στο Γυμνάσιο κι άλλα στο Λύκειο!"

Ενώ οι συνθήκες διαβίωσης, με τον αυξανόμενο δείκτη ανεργίας, τις περικοπές μισθών και συντάξεων, τις μειώσεις κοινωνικών δαπανών κλπ, πηγαίνουν καλπάζοντας από το δύσκολο στο δυσκολότερο, με αποτέλεσμα πολλοί από μας να αναζητούν πλέον τρόπους και μεθόδους επιβίωσης, υπάρχουν και κάποιες  άλλου τύπου δυσκολίες, οι οποίες παραμένουν σχεδόν αμετάβλητες στην πορεία του χρόνου.  Μια τέτοιου είδους δυσκολία που αντιμετωπίζω σταθερά και ανεξάρτητα από το τι συμβαίνει στον οικονομικο-κοινωνικο-πολιτικό μας περίγυρο είναι αυτή που βιώνουν οι δεκαπεντάχρονοι μαθητές της Α' Λυκείου, βρισκόμενοι αντιμέτωποι με τις αφηρημένες έννοιες της Άλγεβρας. Ειδικά δε όταν η νέα γνώση βρίσκεται σε 'αντίθεση' με όσα ήδη γνωρίζουν από τη γυμνασιακή τους θητεία, τότε η σύγχυση είναι ακόμη μεγαλύτερη και το σοκ που προκαλεί σε μια μεγάλη μερίδα μαθητών μπορεί, αν δεν αντιμετωπιστεί σωστά, να προκαλέσει βαρύ πλήγμα στη σχέση των παιδιών με τα Μαθηματικά.
Πόσες φορές δεν ακούμε από μαθητές μας να λένε κάτι όπως: "Κυρία, στο Γυμνάσιο ήμουν άριστος/στη στα Μαθηματικά! Έγραφα δεκαεννιάρια και εικοσάρια..Δεν ξέρω τι έχω πάθει φέτος!";
Εγώ άκουσα παρόμοια σχόλια από δυο τρεις (στους 92 συνολικά) μαθητές μου, πριν από λίγες μέρες, όταν έγραψαν τεστ σε ταυτότητες-παραγοντοποίηση-διάταξη και την επομένη είδαν τον βαθμό τους! Και είμαι σίγουρη πως κι άλλοι θα σκέφτηκαν έτσι, αλλά δεν θέλησαν ή δεν τόλμησαν να μου το πουν. Το θέμα είναι πως όταν βρίσκομαι μπροστά σε τέτοιες καταστάσεις χάνω τον ύπνο μου, προσπαθώντας να βρω τρόπους που θα βοηθήσουν τα παιδιά να ξεπεράσουν τα προβλήματα κατανόησης. Τουλάχιστον όσα από τα παιδιά προσπαθούν στοιχειωδώς να ξεπεράσουν τα υπαρκτά προβλήματά τους. Δεν είναι εύκολο και καθόλου "αλγοριθμικό" να βρίσκω λύσεις, επειδή κάθε παιδί, κάθε τμήμα, κάθε σχολείο, κάθε "φουρνιά", έχουν τις δικές τους ιδιαιτερότητες. Όπως και κάθε διδακτική ώρα έχει, από την άλλη, τη δική της γοητεία! Είναι πράγματι πολύ γοητευτικό, πολύ δημιουργικό και ενίοτε πολύ αποκαλυπτικό το να διδάσκεις..Ή έτσι μου φαίνεται; Εν πάση περιπτώσει, η αλήθεια είναι πως συχνά η τροπή του μαθήματος είναι απρόβλεπτη και ο επανασχεδιασμός του απαιτεί στρατηγικές και προσεγγίσεις που δεν αποτελούν μέρος της τυπικής μεθοδολογίας. Όπως για παράδειγμα όταν στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος της Άλγεβρας, και λίγο πριν χτυπήσει το κουδούνι, ενώ ενημέρωνα την τάξη πως την επόμενη φορά θα μιλήσουμε για την απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού, ρώτησα: "Θυμάται κανείς, από το Γυμνάσιο, τι είναι η απόλυτη τιμή;" Κάμποσα χέρια σηκώθηκαν και άκουσα δυο τρεις απαντήσεις, μεταξύ των οποίων και την κλασική "ο αριθμός χωρίς το πρόσημό του"! Αυθορμήτως διαφώνησα, λέγοντας, "ναι, το μαθαίνετε έτσι στο Γυμνάσιο, αλλά δεν είναι αυτό.." και τότε ή Ίλντα, δικαίως το παιδί, αγανακτησμένη μου είπε: "Ε, αμάν πια. Άλλα μας μαθαίνετε στο Γυμνάσιο κι άλλα στο Λύκειο. Γιατί δεν μας τα μαθαίνετε μια και καλή σωστά;" Εξήγησα βιαστικά "εε, είναι θέμα πλαισίου.. δεν φτάνει τώρα αυτό το πλαίσιο" και κάτι τέτοια που, μάλλον, ακούστηκαν ακαταλαβίστικα, αλλά αφενός αιφνιδιάστικα από το σχόλιο, αφετέρου - και ευτυχώς - χτύπησε το κουδούνι. Βγήκα από την τάξη με την αίσθηση πως έπρεπε να βρω έναν τρόπο να τους εξηγήσω την αναγκαιότητα της "διεύρυνσης" του ορισμού της απόλυτης τιμής και επι πλέον  πως θα έπρεπε να...αποκαταστήσω την τιμή μου, αφού αμφισβητήθηκε η σοβαρότητα της δουλειάς μας, καθώς, όπως μου είπε η μαθήτρια, άλλα τους μαθαίνουμε στο Γυμνάσιο κι άλλα στο Λύκειο.. Σαν να μου είπε πως δεν ξέρουμε τι μας γίνεται δηλαδή! :) Άντε βγάλτα πέρα με τους δεκαπεντάχρονους, ειδικά όταν έχουν και σωστά επιχειρήματα, όπως αυτό που χρησιμοποίησε νωρίτερα η Ίλντα!
Σήμερα, λοιπόν, μπήκα στην τάξη έτοιμη για να δώσω τη μάχη μου και να...αποκαταστήσω την αξιοπιστία μου! Χωρίς πολλά πολλά, αμέσως μετά το "Κ-Α-Λ-Η-Μ-Ε-Ρ-Α παιδιαά!", έγραψα στον πίνακα:  " Αν 1 < α < 2 και -3 < β < -2, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών παίρνει τιμές η παράσταση Α = αβ - 5 ". "Για προσπαθήστε να λύσετε αυτήν την άσκηση", είπα. Ακούστηκαν διαμαρτυρίες όπως: "Μα δεν θα δείτε πρώτα αυτά που είχαμε;" (Έχουν συνηθίσει να τους ελέγχω πάντα τα τετράδιά) και "Μα δεν θα μας λύσετε πρώτα τις απορίες;" (Έχουν συνηθίσει να τους λύνω πρώτα τις απορίες. Είχαν τις ασκήσεις 4, 5 σελίδα 60 του σχολικού). "Όχι αν δεν κάνετε πρώτα αυτήν την άσκηση", τους είπα κάπως αυστηρά, οπότε συμμορφώθηκαν αμέσως κι άρχισαν να δουλεύουν με την άσκηση. Και φυσικά, οι περισσότεροι, στην προσπάθειά τους να τη λύσουν "κόλλησαν"! Αν εξαιρέσουμε όσους πολλαπλασίασαν κατά μέλη, παραβαίνοντας τον γνωστό κανόνα, οι υπόλοιποι, που γνώριζαν ότι απαγορεύεται να πολλαπλασιάσουν ανισότητες κατά μέλη όταν δεν είναι όλα θετικά, δεν αποφάσιζαν  να πολλαπλασιάσουν τη δεύτερη ανισότητα με το -1, επειδή, όπως είπαν, αυτό θα έδινε ως αποτέλεσμα 2 < -β < 3 και το -β, δεν το ήθελαν, γιατί ήθελαν το β να είναι θετικός αριθμός και όχι αρνητικός κλπ κλπ!
Η συζήτηση που ακολούθησε για το τι είναι το β και τι το -β και κατά πόσο το -β, το οποίο παίρνει τιμές μεταξύ του 2 και του 3, μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός, μόνο και μόνο επειδή έχει το σημείο του "μείον", δημιούργησε το κατάλληλο μαθησιακό κλίμα για να αποδεχτούν, εν τέλει, τον σωστό ορισμό της απόλυτης τιμής. Αποσαφηνίστηκε πως αυτό που έμαθαν στο Γυμνάσιο, ότι δηλαδή "η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι ο αριθμός χωρίς το πρόσημό του" είναι σωστό όταν μιλάμε για "αριθμένιους αριθμούς", όπως π.χ. το -3 και το +3 που έχουν και οι δυο απόλυτη τιμή ίση με 3.
Αλλά τι γίνεται όταν μιλάμε για αλγεβρικούς αριθμούς όπως το β και το -β;! Όταν δηλαδή γενικεύεται το πλαίσιο μέσα στο οποίο συνδιαλεγόμαστε; Μήπως θα πρέπει τότε να αναθεωρήσουμε, να αναστοχαστούμε και να διευρύνουμε την οπτική μας και τη θέση μας; Μετά από τον απαραίτητο προβληματισμό αποδεχτήκαμε πλέον την ανάγκη ενός ευρύτερου ορισμού για την απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού και την ορίσαμε  με τον ... λυκειακό τρόπο!
"Ετσι, είναι παιδιά! Όσο θα μεγαλώνετε θα αναθεωρείτε τις απόψεις σας και θα διευρύνετε τους 'ορισμούς' σας. Αυτό σημαίνει 'πρόοδος' ", είπα κλείνοντας το μάθημα κι αφού- στο μεταξύ - είχαμε κάνει και δύο ασκήσεις που βασίζονταν στον "λυκειακό ορισμό" της απόλυτης τιμής.
Αυτό το τελευταίο, περί ασκήσεων δηλαδή, το τονίζω, για να μη δημιουργήσω την εσφαλμένη εντύπωση πως ο χρόνος αναλώνεται μόνο σε "θεωρητικές προσεγγίσεις" των δυσνόητων αλγεβρικών εννοιών. Αντιθέτως γίνονται στην τάξη οι κατάλληλες εφαρμογές, αφού όμως πρώτα η καινούρια έννοια προσεγγιστεί και "ανακαλυφτεί" από τους μαθητές με τρόπο που δεν αφήνει περιθώρια αμφιβολιών και όχι με εκείνο το ύφος του "αποφασίζουμε και διατάζουμε ότι: απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού ονομάζεται ...μπλαμπλαμπλα.."! Αυτό το ύφος δηλαδή που κάνει τους μαθητές να θεωρούν εμάς τους καθηγητές των Μαθηματικών αυταρχικούς, τα δε Μαθηματικά άκαμπτα,  παράλογα  κι αντιπαθητικά. :)

Το σημαντικότερο όλων τελικά, πιστεύω, είναι ότι μέσα από  τέτοιες απρόσμενες και γοητευτικές τροπές  που συχνά  παίρνει το μάθημα τόσο στην Άλγεβρα όσο και στη Γεωμετρία, (η οποία παρεμπιπτόντως κερδίζει ολοένα έδαφος στις προτιμήσεις των μαθητών μου :)), αναδύονται πολλές και ποικίλες πτυχές  των Μαθηματικών! Κι όταν συμβαίνει αυτό, τότε φτάνει κανείς  στο σημείο να αναρωτιέται πώς είναι δυνατόν να υπάρχουν ακόμη και σήμερα άνθρωποι, (μαθητές, καθηγητές, γονείς και όποιοι άλλοι) που ισχυρίζονται ότι το μάθημα των Μαθηματικών δεν προσφέρεται για πολλές και ενδιαφέρουσες συζητήσεις σε αντίθεση με τα φιλολογικά και τα άλλα πιο ανθρωπιστικά μαθήματα!
Εγώ λέω πως όσοι ισχυρίζονται κάτι τέτοιο μάλλον δεν έχουν καταλάβει ακόμη την ατέλειωτη γοητεία των Μαθηματικών! :)) Κι αν δεν πιστεύουν εμένα, ας έρθουν να ρωτήσουν την Ίλντα και τα υπόλοιπα παιδιά του Α6, με τα οποία σήμερα στις 8.00 το πρωί ανακαλύψαμε ποια ανάγκη γέννησε έναν "καινούριο" ορισμό για την απόλυτη τιμή..:))
------------------------------------------------------------------
Ευχαριστώ πολύ όσους με ενέπνευσαν για το συγκεκριμένο μάθημα.



13 σχόλια:

  1. ΔΕΝ ΛΕΤΕ ΠΑΛΙ ΚΑΛΑ ΠΟΥ ΣΤΗΝ ΕΡΩΤΗΣΗ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΔΕΝ ΕΙΠΑΝ ΚΑΤΙ ΜΕ ΚΟΥΤΑΚΙΑ...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Γεια σου geo!

    Για πες μου τι θα μπορούσαν να μου πουν με "κουτάκια"; Δεν πάει κάπου το μυαλό μου :)

    Γενικά, πάντως πιστεύω ότι όσο πιο "παράξενη" είναι μια απάντηση που δίνουν οι μαθητές τόσο πιο αποκαλυπτική μπορεί να είναι για τις "παρανοήσεις" που δημιουργούνται και δεν καταλαβαίνουμε ούτε εμείς ούτε κι οι μαθητές μας, φυσικά, αφού αυτοί είναι οι "φορείς" αυτών των παρανοήσεων.
    Δεν μιλάω για τα παιδιά που δεν ασχολούνται καθόλου και δεν διαβάζουν, αλλά γι' αυτά που προσπαθούν και συνεχώς σκοντάφτουν στα εμπόδια που από διάφορα αίτια ορθώνονται.
    Και δεν είναι λίγα..

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. δεν υπάρχει μεγαλυτερη αηδία από αυτόν τον ορισμό της απόλυτης τιμής που μάθαμε στο γυμνάσιο.

    Είναι ένας τελείως παραπλανητικός ορισμός. Θα μπορούσαν να πουν απλά και ωραία ότι η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι η απόστασή του από το μηδέν. Τι πιο απλό και κατανοητό;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Κουτάκια παρομοιάζουν οι καθηγητές τις απόλυτες τιμές, κυρίως όταν αναφέρονται σε μαθητές Γυμνασίου... αυτό φαντάζομαι ότι εννοεί ο Geo.

    Εγώ τους τα παρομοιάζω ως "φυλακή"! Ότι και να είναι μέσα στην φυλακή, θετικός (καλός) ή αρνητικός (κακός), πρέπει να βγαίνει από την φυλακή πάντα θετικός!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Είναι ενθαρρυντικό πάντως Κατερίνα το ενδιαφέρον των παιδιών για τη Γεωμετρία.Εφόσον η έννοια της απολύτου τιμής είναι τρόπο τινά "γεωμετρική"-μιας και εκφράζει απόσταση αριθμού από την αρχή των αξόνων-θα είναι στο μέλλον πιο εύκολο(ίσως?)να γίνει και κτήμα τους.
    Καλό βράδυ!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Γειά...
    Δεν ξέρω τι έμαθε η Ίλντα...
    Εγώ πάντως, και νομίζω οι περισσότεροι αν όχι όλοι, ζητάμε να μάθουν και τον ορισμό στο Γυμνάσιο. Τον ζητάω καμμιά φορά και σε διαγωνίσματα... Άλλο αν για ευκολία στις ασκήσεις λέμε το πρακτικό "ο αριθμός χωρίς το πρόσημο"...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Με αυτήν την ευκαιρία, ρώτα τους και το τι πρόσημο έχει ο αριθμός x και άντε να τους βγάλεις από το μυαλό ότι είναι θετικός - και το χειρότερο να τους πείσεις ότι μπορεί να έχει κρυμμένο ένα αρνητικό πρόσημο.. Πάντως κρίνω ότι μεγαλύτερη σημασία έχει να εμπιστεύονται τον καθηγητή τους και να κάνουν ησυχία μέσα στην τάξη και να τον ακούνε προσεκτικά. Διαφορετικά, τζάμπα κόπος.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Μου άρεσε ο όρος "ο αριθμένιος αριθμός". Πολύ καλό!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. και έρχεσαι μετά να εξηγήσεις ότι |x|=-x , x<0 και αρχίζει το πάρτυ.....

    μα πως - εφόσον το αποτέλεσμα της απόλυτης τιμής είναι μη αρνητικο...

    +1 Κατερίνα με το πρόσημο .... ΚΑΙ ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. @CsLaKoNaS

    Καλή σου μέρα!
    Δεν έχεις άδικο. Καλύτερα θα ήταν να έμεναν και να εμμέναν στη γεωμετρική ερμηνεία της απόλυτης τιμής, ως απόστασης του αριθμού από το μηδέν στον άξονα των πραγματικών δηλαδή, παρά να προχωρούν σε ένα λάθος ορισμό ή τύπου ορισμό ο οποίος ενώ φαίνεται αθώος και αντιμετωπίζεται, ίσως, ως τέτοιος από τους καθηγητές του γυμνασίου, δημιουργεί τέτοιες παρανοήσεις και τέτοιες αμφισβητήσεις στη συνέχεια που κάθε άλλο παρά αθώος είναι.

    Υ.Γ. Κατά βάθος λυπάμαι που συμφωνώ μαζί σου, γιατί δεν θα έχουμε τον συνήθη "αντιπαραθετικό" και άκρως εποικοδομητικό μας διάλογο :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. @Χατζόπουλος Μάκης

    Όταν είπα στην τάξη "ένας καλός φίλος και συνάδελφος παρομοιάζει τις γραμμές της απόλυτης τιμής με κελί φυλακής", μια μαθήτρια ενθουσιάστηκε και είπε πως κι αυτή το είχε σκεφτεί ακριβώς έτσι! Μετά κάναμε κουβέντα για τις συμβάσεις όπως "το + σημαίνει καλός, θετικός, αύξηση, πρόοδο, κλπ", ενώ το "-" τα αντίθετα..
    Και ξαναγυρίζω στον ισχυρισμό μου πως τα Μαθηματικά αποτελούν την καλύτερη τράπεζα θεμάτων για συζητήσεις γενικού προβληματισμού και ευρύτατου ενδιαφέροντος και όποιος καθηγητής που τα διδάσκει δεν αξιοποιεί έστω και μερικώς αυτή τους τη δυνατότητα στερεί από τους μαθητές του τη χαρά του συνεχούς προβληματισμού, της έκπληξης και κυρίως της διασύνδεσης των "ορισμών" και των "συμβάσεων" ... Μεγάλο θέμα, απαιτεί καινούρια ανάρτηση :)

    Γεια σου Μάκη

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. @Κώστας Λαμπρινίδης

    Καλημέρα Κώστα

    Το πιστεύω πως οι περισσότεροι καθηγητές στο Γυμνάσιο λένε τον ορισμό της απόλυτης τιμής κανονικά, εκείνο ίσως που λείπει - κι όχι μόνο από το Γυμνάσιο, αλλά κι απο το Λύκειο, τολμώ να πω πως ίσως κι από τη ζωή γενικότερα - είναι η επίγνωση της 'αυστηρότητας' που απαιτείται σε κάθε Σύστημα, προκειμένου να λειτουργήσει αυτό σωστά. Στο όνομα μιας 'ευκολίας' δημιουργούνται καταστάσεις που η 'επικινδυνότητά' τους γίνεται καταφανής πολύ αργότερα. (Όρα τη βιώνουμε στο όνομα της ευκολίας της προηγούμενης τριακονταετίας...)

    χαιρετίσματα από Θεσσαλονίκη

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  13. @Κώστας Λαμπρινίδης

    "όρα τι βιώνουμε' και όχι "όρα τη βιώνουμε" όπως έγραψα πριν..
    Αλλά με την ευκαιρία αυτή, του ορθογραφικού λάθους, να θυμίσω και τις διαμαρτυρίες των φιλολόγων για την ανορθογραφία των μαθητών..
    Μήπως κι αυτό την ίδια ρίζα δεν έχει με τα λοιπά προβλήματα που αναφέραμε; Την ευκολία δηλαδή..

    ΑπάντησηΔιαγραφή