Πέμπτη, 26 Μαΐου 2011

5ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΑΝΗΓΥΡΙ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ


5ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΑΝΗΓΥΡΙ,  ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2011

Στις 18 ΙΟΥΝΙΟΥ, στο 1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΥΚΕΩΝ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ 


10.15 - 11.00 Καλωσόρισμα: Κατερίνα Καλφοπούλου- Χαιρετισμοί.
11.00 με 12.30 Παρουσιάσεις Σχολείων
1) 2ο ΓΕΛ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ
2) ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ
3) 1ο ΓΕΛ ΠΕΥΚΩΝ 
4) 1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ
12.30 -13.30  ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΟΜΙΛΙΑ: «Η ιστορία του π», Τεύκρος Μιχαηλίδης

13.30-14.15 Διάλειμμα [προκριματικός για το παιχνίδι]*


14.30 - 17.00 Παρουσιάσεις Σχολείων

5) 1ο ΓΕΛ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ
6) 3ο ΓΕΛ ΒΟΛΟΥ
7) ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΡΥΩΤΙΣΣΑΣ
8) 3ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΡΜΗΣ

17.00-17.30 Διάλειμμα

17.30-18.30 Παρουσιάσεις Σχολείων
9)    2ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΟΥΔΑΝΙΩΝ
10)  1ο ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ
11)  2o ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΡΜΗΣ

18.30-20.00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ

Κλείσιμο του Πανηγυριού με βράβευση των συμμετεχόντων/απονομή των δώρων (βιβλίων) και ανανέωση του ραντεβού για την επόμενη χρονιά!

Το Μαθηματικό Πανηγύρι, που διοργανώνεται στα πλαίσια των δραστηριοτήτων της ομάδας Θαλής+Φίλοι , πραγματοποιήθηκε για πρώτη φορά το 2006, στο Μουσείο Μπενάκη, στον Πειραιά. 
Από τότε και κάθε χρόνο η διοργάνωση πραγματοποιείται είτε στην Αθήνα είτε στη Θεσσαλονίκη είτε και στις δύο πόλεις και σκοπό έχει αφενός τη συνάντηση των λεσχών ανάγνωσης μαθηματικής λογοτεχνίας, οι οποίες έχουν λειτουργήσει στα σχολεία τη χρονιά που μόλις έκλεισε, αφετέρου τη γνωριμία των ανθρώπων που αγαπούν τα Μαθηματικά και τη Λογοτεχνία και - αναζητώντας τις μεταξύ τους διασυνδέσεις - διευρύνουν τις μεθόδους προσέγγισης και θέασης του επιστητού! :) 
Θα χαρούμε πολύ να σας δούμε στο Μαθηματικό Πανηγύρι και να σας 'ξεναγήσουμε', μέσα από τις παρουσιάσεις των σχολείων,  στα γοητευτικά μονοπάτια που ανοίγει μια τέτοιου είδους  διαθεματική προσέγγιση των Μαθηματικών! 
[Όσοι για πρώτη φορά ακούτε κάτι σχετικά με το Μαθηματικό Πανηγύρι, μπορείτε να βρείτε μια συνοπτική περιγραφή για το Μαθηματικό Πανηγύρι, 2009 και  περισσότερες πληροφορίες γενικά για το κλίμα της διοργάνωσης εδώ]
--------------------------------------------------------------------------------------
*Κατά τη διάρκεια του διαλείμματος οι μαθητικές ομάδες, οι οποίες έχουν δηλώσει συμμετοχή στο Μαθηματικό Παιχνίδι, συμμετέχουν στον προκριματικό διαγωνισμό.
Τα αποτελέσματα ανακοινώνονται αμέσως μετά τη λήξη του.
Η δήλωση συμμετοχής στο Μ.Παιχνίδι γίνεται την ημέρα της εκδήλωσης, από τις 10.30 μέχρι τις 12.30.

Πέμπτη, 19 Μαΐου 2011

ΕΙΣΟΔΟΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ!!

Σε περίπτωση που δεν βρίσκεται την έξοδο...

Αύριο το βράδυ θα είμαστε στο βιβλιοπωλείο του Κυριακίδη, Αγίας Σοφίας 40, μαζί με -τουλάχιστον πέντε! :)- συγγραφείς  του συλλογικού έργου "ΕΙΣΟΔΟΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ", για να τους γνωρίσουμε και να συζητήσουμε μαζί τους.

Σάββατο, 14 Μαΐου 2011

"ΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΕΙΣ!"

Σήμερα, 14 Μαΐου 2011, ημέρα Σάββατο,  ένιωσα να κλονίζονται, σχεδόν, τα θεμέλια πάνω στα οποία στηρίζεται το αξιωματικό-μαθηματικό μου σύστημα!:) Το ένα από τα τέσσερα μαθήματα επιλογής στο οποίο εξετάζονταν πανελλαδικά οι μαθητές της Γ' Λυκείου ήταν τα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής. Ως μαθηματικός όφειλα να αντιπαραβάλω τα θέματα, να τα διαβάσω δηλαδή από τις  σελίδες που μόλις είχαν τυπωθεί, ενώ η συνάδελφος, επίσης μαθηματικός, θα έλεγχε αν αυτά που διαβάζω εγώ είναι ακριβώς ίδια με αυτά που βλέπει στην οθόνη του VBI!  Με το που αρχίσαμε  την αντιπαραβολή, αρχίσαμε και τα μεταξύ μας σχόλια. "Το θέμα Α4γ είναι σωστό και λάθος ταυτόχρονα", είπε η συνάδελφος. Το ξανακοίταξα  και συμφώνησα μαζί της. Δεν εξασφάλιζε τις προϋποθέσεις για την παραγωγισιμότητα των συναρτήσεων f και g. Ούτε είχε τη λέξη "πάντα", που, όταν εμφανίζεται, αφήνει υπόνοιες πως η πρόταση είναι λάθος, αφού για να είναι σωστή  απαιτούνται κάποιες προϋποθέσεις που εδώ δεν δίνονταν, άρα...
Άρα, έτσι όπως διατυπώθηκε το θέμα βιαστικά κι αδιευκρίνιστα, εκθέτει εμένα και τον καθένα, που  ισχυρίζεται ότι στα Μαθηματικά η αυστηρή διατύπωση είναι τέτοιου επιπέδου, που δεν αφήνει περιθώρια πολλών  ερμηνειών και κατά συνέπεια τυχόν παρερμηνειών..
Σχεδόν αμέσως μετά, κι ενώ  συνέχιζα να διάβω δυνατά τα θέματα, διαπίστωσα πως στο θέμα Γ1 για τους δύο αγνώστους που ζητούσε να υπολογιστούν (yΔ και yE) έδινε τρεις εξισώσεις! Δύο ως άμεσα δεδομένα της άσκησης και ένα τρίτο συνδηλούμενο, αφού είναι γνωστό ότι το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό είναι πάντα ίσο με εκατό. Πόσες φορές το έχω πει αυτό στους μαθητές: μου "Αυτή είναι μια βασική σχέση που  θα πρέπει να τη γράφετε πρώτη και καλύτερη, όταν σας ζητούν να βρείτε σχετικές συχνότητες δίνοντάς σας κάποια ακόμη δεδομένα"!   Συμπληρώνοντας μάλιστα πως  αν ποτέ  τύχει να τους περισσέψει δεδομένο, τότε ή  έχουν κάνει λάθος οι ίδιοι ή δεν είναι καλά δομημένη η άσκηση! Αλλά επειδή το δεύτερο δεν είναι τόσο σύνηθες, τους εφιστούσα την προσοχή- σε περίπτωση που τους περισσέψει ένα δεδομένο- να  ξαναδούν προσεκτικότερα τη λύση τους..
Τόσο σίγουρα πράγματα. Συμμαζεμένα και βέβαια, με τη βεβαιότητα του "1+1=2". Στα Μαθηματικά δεν υπάρχει τίποτε περιττό κι αυτό είναι μια βεβαιότητα που αγγίζει τα όρια ενός δόγματος. Μάλιστα! Όπως λέει και ο  CsLaKoNaS: "Το πρόβλημα των μαθηματικών είναι πως στο πλαίσιο του Λυκείου και των Πανελλαδικών αντιμετωπίζονται δογματικά ". Δεν έχει άδικο. Έτσι ακριβώς αντιμετωπίζονται στο συγκεκριμένο πλαίσιο, κάτω δηλαδή από την πίεση του εξεταστικοκεντρικού μας συστήματος.
Συζητάμε για τα Μαθηματικά με την ίδια κατηγορηματική και απόλυτη εκφορά που διατυπώνονται οι "δέκα εντολές"! Ή  οι άλλες "εντολές", σαν κι αυτές που δίνω εγώ στο μάθημα, όπως το  "Ου παραγωγίσεις", που  λέω στους μαθητές μου, όταν παραγωγίζουν μια συνάρτηση f της οποίας δεν γνωρίζουν τον τύπο, και ούτε έχουν κάποια πληροφορία σχετική με τη συμπεριφορά της σε κάποιο διάστημα. Με μόνη γνώση πως η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, οι μαθητές συχνά εφαρμόζουν κανόνες παραγώγισης κάνοντας ένα πολύ μεγάλο λάθος!
Πώς αντιμετωπίζεται μια τέτοια λαθεμένη στάση στα στενά όρια της προετοιμασίας για τις πανελλαδικές; Μόνο με εντολές! :) Δογματικά, φίλε CsLaKoNaS, ακριβώς όπως το είπες.
Και ιδού ως παράδειγμα, η άσκηση που έγινε αφορμή μέσα από την τάξη να ξεπηδήσει η παραπάνω, ενδέκατη εντολή: Ου παραγωγίσεις!!
 Έδωσα την άσκηση στην τάξη και αφού περίμενα λίγο να την μελετήσουν κάλεσα στον πίνακα τον μαθητή που σήκωσε πρώτος το χέρι... Παραθέτω τη λύση του Γ.Μ., όπως μας την έγραψε, αστραπιαία, στον πίνακα. [ο Γ.Μ. είναι ο καλύτερος μαθητής που διέθετε το τμήμα της Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.]
Πολύ κομψή, πολύ σύντομη και πολύ όμορφη λύση του ΓΜ!  Αλλά και πολύ ΛΑΘΟΣ!!! 
Πώς να εφαρμόσουμε κανόνες παραγώγισης σε μια συνάρτηση, για τις "καμπύλες" της οποίες δεν έχουμε την παραμικρή ιδέα; Μπορεί να είναι..αιχμηρή, μπορεί να είναι ασυνεχής, μπορεί να είναι μια πλανεύτρα, ξελογιάστρα...Πώς να την αντιμετωπίσουμε αν δεν γνωρίζουμε τίποτε γι'αυτήν; Μόνο στο σημείο α ξέρουμε πώς συμπεριφέρεται και μόνο σε αυτό το σημείο μπορούμε με σιγουριά να τη διαχειριστούμε..Με τις συναρτήσεις οφείλουμε να είμαστε επιφυλακτικοί, όπως και με τους ανθρώπους, όταν δεν τους γνωρίζουμε καλά... Οφείλουμε να είμαστε ευγενικοί μεν, επιφυλακτικοί δε.. Μέχρι να τους γνωρίσουμε καλύτερα.. :)

Ο μαθητής μου, παρόλες τις αιτιολογήσεις μου και τις επεξηγήσεις μου δεν δεχόταν πως η  μέθοδος που είχε εφαρμόσει ήταν λάθος..Ήταν πεπεισμένος πως τα είχε κάνει όλα μια χαρά και δεν καταλάβαινε γιατί εγώ δεν  δεχόμουν τη λύση του. Τότε, έχοντας εξαντλήσει τα επιχειρήματα και τον χρόνο, αφού είχε χτυπήσει ήδη το κουδούνι του είπα: 
"Δεν τη δέχομαι τη λύση σου, επειδή υπάρχει μια εντολή που λέει "ου παραγωγίσεις", όταν δεν δίνεται πως η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα ή αν εσύ δεν βλέπεις, ιδίοις όμασι, τον τύπο της ώστε να  καταλαβαίνεις, από τις γνώσεις που ήδη έχεις για τις βασικές συναρτήσεις, πως πρόκειται για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση... :)"
Κάπως έτσι γεννιούνται οι εντολές που κάνουν τα Μαθηματικά στο Λύκειο δογματικά.. 
Αλλά στο τέλος της χρονιάς έρχεται μια "άνετη" και "χαλαρή"  Κεντρική Επιτροπή Εξετάσεων (ΚΕΕ) και ακυρώνει πολλά από αυτά που "δογματικά" διδάσκουν στους μαθητές όσοι τους προετοιμάζουν για τις πανελλαδικές εξετάσεις!

----------------------------------------------------------------------------------------------

Η άσκηση υπάρχει στο σχολικό εγχρειρίδιο, σελ 240, και άλλη συναφής άσκηση υπάρχει στη σελ 221.
Επίσης παρόμοια με αυτές έχουν βάλει στις Πανελλαδικές του 2008, όπου όμως η συνάρτηση g δινόταν δυο φορές παραγωγίσιμη στο R. Για το συγκεκριμένο θέμα έχει κάνει μια εξαιρετική ανάλυση, εξετάζοντας  τους τρόπους με τους οποίους το αντιμετώπισαν οι μαθητές στις εξετάσεις, ο σχολικός σύμβουλος Γιάννης Θωμαΐδης, στο βιβλίο του "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ", ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΖΗΤΗ. Στις σελ. 72-79 αναλύει όλες τις λαθεμένες εκδοχές που αναπτύχθηκαν στα γραπτά και μέσα από αυτές προσεγγίζει τα  προβλήματα στην κατανόηση βασικών μαθηματικών εννοιών, καταλήγοντας σε  πολύ χρήσιμα συμπεράσματα για τους διδάσκοντες τα Μαθηματικά της Γ΄ ΚΑΤ, αλλά σ' αυτό το θέμα θα επανέλθω με κάποια άλλη ανάρτηση...
Προς το παρόν θέλω να ευχηθώ στα παιδιά να γράψουν  τη Δευτέρα καλά στα Μαθηματικά και επίσης θα ήθελα να παρακαλέσω την ΚΕΕ να δει τα θέματα πιο προσεκτικά..
------------------------------------------------------------------------------------------------



Παρασκευή, 13 Μαΐου 2011

ΚΑΘΕ ΧΡΟΝΟ ΤΕΤΟΙΕΣ ΜΕΡΕΣ..

  Κάθε χρόνο τέτοιες μέρες μαζί με τους εκατοντάδες χιλιάδες  τελειόφοιτους  και τους γονείς τους που καρδιοχτυπούν αγωνιώντας για την έκβαση των Πανελλαδικών Εξετάσεων, καρδιοχτυπούν και οι εκπαιδευτικοί, που διδάσκουν, υποδεικνύουν, βοηθούν και υποστηρίζουν τους μαθητές,  προετοιμάζοντάς τους για αυτήν την πανελλαδική εξέταση.
   Μαθητές, γονείς, καθηγητές, στον πυρετό της τελικής αναμέτρησης.
 Όσοι δε από τους εκπαιδευτικούς είναι  μέλη των Λυκειακών Επιτροπών που συντονίζουν τις  διαδικασίες στα Εξεταστικά Κέντρα και συμβάλλουν στην ομαλή και αδιάβλητη διεξαγωγή των εξετάσεων, νομίζω πως καρδιοχτυπούν διπλά. Μεγάλη η ευθύνη! Απαιτεί αυξημένη ευσυνειδησία, όπως άλλωστε απαιτεί γενικότερα το επάγγελμα του εκπαιδευτικού. Αλλά δεν  φτάνει μόνο η ευσυνειδησία, για να κάνουμε σωστά τη δουλειά μας. Και για να είμαστε βέβαιοι πως μιλάμε για το ίδιο πράγμα και πως οι λέξεις δεν έχουν χάσει το νόημά τους δυσχεραίνοντας τη μεταξύ μας επικοινωνία, νομίζω πως θα πρέπει εδώ και τώρα να ορίσουμε από κοινού τη λέξη «ευσυνειδησία», επικαλούμενοι το λεξικό: Εξ ορισμού, λοιπόν, ισχύει το ακόλουθο:  «ευσυνειδησία (η) [μτγν.]{χωρίς πληθ.} η βαθιά επίγνωση από κάποιο πρόσωπο των ευθυνών και των καθηκόντων του, η αφοσίωση στην εκτέλεση του καθήκοντος και γενικότερα η ακεραιότητα του χαρακτήρα»(Γ. Μπαμπινιώτης)  

  Χθες, πρώτη μέρα των Πανελλαδικών εξετάσεων, στο δικό μας Εξεταστικό Κέντρο, από υπηρεσιακής πλευράς, όλα εξελίχτηκαν ομαλά, ακριβώς όπως απαιτεί – σε τέτοιες περιπτώσεις – το πρωτόκολλο! Πινακίδες, διαβιβαστικά, καταστάσεις, δισκέτες, πακέτα, πρακτικά… Ένας όγκος γραφειοκρατικών, πλην αναγκαίων, ενεργειών που διαφυλάσσουν την όλη διαδικασία. Μια εντελώς μαθηματική διαδικασία με ξεκάθαρα αλγοριθμικά βήματα.. Και ανάμεσα σε όλα αυτά υπήρχε διάχυτη η αγωνία μας για τους μαθητές  που  εξετάζονταν στο μάθημα της Νεοελληνικής Γλώσσας, υπό την επιτήρηση κάποιων άλλων συναδέλφων, 

 

αλλά ο καθένας στο είδος του.. κι εμείς οι μαθηματικοί στην … ειδικότητά μας! :)
   Η συνάδελφος μαθηματικός, που είναι μέλος της Λυκειακής Επιτροπής και  ήρθε από γειτονικό Λύκειο, ξεφύλλιζε τα περιοδικά  Ευκλείδης Β΄, που ήταν πάνω στο γραφείο μου.  Κάποια στιγμή ήρθε με ένα τεύχος στο χέρι. «Δες εδώ», μου είπε, δείχνοντάς μου μια άσκηση, «δεν καταλαβαίνω γιατί λέει ότι είναι λάθος να κάνουμε πρώτα αλλαγή μεταβλητής και μετά να βρούμε το πεδίο ορισμού…» 
Ακούγοντας το σχόλιο της, πριν ακόμη δω την άσκηση, της απάντησα: «Απαγορεύεται δια ροπάλου να ακουμπήσεις μια συνάρτηση, να την ‘πειράξεις’ κατά οποιονδήποτε τρόπο, αν πρώτα δεν βρεις το πεδίο ορισμού της». Η νεαρή συνάδελφος διαμαρτυρήθηκε λέγοντας: «μα τι πειράζει να την αλλάξω πρώτα, αφού στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγω;» Δεν είχα χρόνο να δω την άσκηση, αφού έπρεπε να ετοιμάσω τα έντυπα για τα εξώφυλλα των πακέτων, αλλά συνέχισα να υπερασπίζομαι τη θεμελιώδη μου θέση: «Όλα είναι θέμα ΟΡΙΣΜΟΥ! Αν δεν ορίσουμε μια έννοια, αν δεν ορίσουμε το πλαίσιο, αν -για τα Μαθηματικά- δεν ορίσουμε ευθύς εξ αρχής το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, μπορεί και να καταλήξουμε κάποτε στο ίδιο –σωστό- αποτέλεσμα, αλλά το πιθανότερο είναι στην πορεία να έχουμε κάνει λάθη, αυθαιρεσίες, άνομες συμβάσεις, παράνομες πράξεις  και πάει λέγοντας!»
Ναι, αυτό, ο καθορισμός δηλαδή του πλαισίου, που είναι εν προκειμένω ο υπολογισμός του Π.Ο., είναι για μένα μια θεμελιώδης αρχή και την εφαρμόζω πάντα στο μάθημα, ζητώντας από τους μαθητές μου να την υιοθετήσουν στα Μαθηματικά και, αν τα καταφέρουν, και στη ζωή τους γενικότερα. Μια τέτοια αρχή μας δίνει, εν πολλοίς, τη δυνατότητα να βάζουμε βάσεις, να οριοθετούμε, να πλαισιώνουμε κάθε τι όπου και όπως εμείς επιθυμούμε ή όπως η φύση αυτού μας επιβάλλει. Βοηθάει να είμαστε σύννομοι και να έχουμε μεταξύ μας έναν κοινό –κατά το δυνατόν - κώδικα επικοινωνίας, που είναι απαραίτητος σε κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα.

Όταν τελείωσε ο χρόνος της εξέτασης και τα τετράδια των παιδιών πακεταρίστηκαν,  σφραγίστηκαν και  πήραν το δρόμο για το σταθμό συγκέντρωσης, από όπου θα φύγουν για έναν άγνωστο σε μας προορισμό, δηλαδή για κάποιο Βαθμολογικό Κέντρο της Επικράτειας (! Όταν λέμε αδιάβλητες εξετάσεις , το εννοούμε..), βρήκα την ευκαιρία να ρίξω μια ματιά στην άσκηση που μου είχε δείξει η 
νεαρή συνάδελφος, νωρίτερα.

 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ 80 τ.4/68..
Γύρισα τις σελίδες, για να δω ποιος ήταν ο συγγραφέας του άρθρου.  «Αντώνης Κυριακόπουλος-Γιώργος Τασσόπουλος»! «Ο ορισμός της μαθηματικής ευσυνειδησίας», σκέφτηκα, βλέποντας το όνομα του κου Κυριακόπουλου. Κάτω από την εκφώνηση της άσκησης υπήρχε αναλυτική και εκτενής η λύση της και στην επόμενη σελίδα ένα ακόμη εκτενέστερο σχόλιο, όπου στην αρχή έδινε τη λάθος λύση της άσκησης, δηλαδή πρώτα αλλαγή μεταβλητής και μετά υπολογισμό του πεδίου ορισμού και αμέσως μετά, στη μέση του σχολίου, έγραφε:
 (ο σκοπός δεν αγιάζει τα μέσα) Γενικότερα, όταν θέλουμε να βρούμε το σύνολο ορισμού μιας συνάρτησης, δεν θα πρέπει πρώτα να κάνουμε οποιαδήποτε ενέργεια (πράξη ή απλοποίηση) στον τύπο της συνάρτησης. Γιατί τότε, εκτός του ότι δεν ξέρουμε για ποια χ ισχύουν οι ενέργειες που κάνουμε, ενδέχεται να φτάσουμε και σε λανθασμένα αποτελέσματα.
Και το σχόλιο έκλεινε, όπως απαιτείται σε έναν καθαρά μαθηματικό λόγο, με παράδειγμα που αποδείκνυε την ορθότητα του παραπάνω ισχυρισμού. Διαβάζοντάς το φαντάστηκα τον κύριο Κυριακόπουλο να αγορεύει με ευσυνειδησία και απόλυτη αφοσίωση, όπως τον έχω δει κατ’ επανάληψη να κάνει σε μαθηματικά συνέδρια.. Είναι πραγματικά ο ορισμός της ευσυνειδησίας. Δεν φείδεται κόπου και προσπάθειας  προκειμένου να εξηγήσει, να διδάξει, να υπερασπιστεί την ορθή διαδικασία, εμμένοντας στις απόψεις του.
«Όμως παρόλα αυτά», σκέφτηκα, «παρόλο το εκτενές σχόλιο και το αντιπαράδειγμα που παρέθεταν οι συγγραφείς, η νεαρή συνάδελφος επέμενε πως είναι το ίδιο και το αυτό είτε βρούμε το πεδίο ορισμού από την αρχή είτε το βρούμε, αφού έχουμε αλλάξει πρώτα τη μορφή της συνάρτησης! Δεν φάνηκε να πείθεται από όλο αυτό το κατεβατό..»
 Και το κριτήριο της συναδέλφου ήταν πως το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήγαμε και με τους δύο τρόπους είναι το ίδιο! Η αλήθεια είναι πως ο υπολογισμός του πεδίου ορισμού της συνάρτησης ‘σ’-στη μορφή που αυτή δόθηκε- απαιτούσε αρκετά υψηλού επιπέδου λογικές πράξεις, σε σχέση με την τυπική διαδικασία  που εφαρμόζεται αν ακολουθήσουμε την εσφαλμένη σειρά, δηλαδή αν πρώτα μετασχηματίσουμε τον τύπο και μετά από τη ’μεταλλαγμένη’ συνάρτηση υπολογίσουμε το  πεδίου ορισμού.
 Ίσως αυτό να είναι τελικά που οδηγεί τους ανθρώπους στην –κατά πάσα πιθανότητα εν γνώσει τους- εσφαλμένη επιλογή. Θυσιάζουν την ορθότητα στο όνομα της ευκολίας, κρίνοντας αποκλειστικά εκ του ορθού αποτελέσματος την ορθότητα της όλης διαδικασίας!!
Αυτό ίσως να ταίριαζε σε άλλου τύπου διαδικασίες, πχ σε νομικές ή σε πειραματικές επιστήμες :), αλλά στα Μαθηματικά, τέτοιου είδους ασυνέπειες που προκύπτουν, όταν αποφασίζουμε πως «θα τα βρούμε μετά ..», αντιβαίνουν στην αυστηρότητα και στη συνέπεια που χαρακτηρίζουν το αντικείμενο. Οι νομικοί, ας πούμε, οι οποίοι ασχολούνται με την παρασκευή νόμων,  μπορεί να μη νοιάζονται για το που ‘ανήκουν’ οι άνθρωποι οι οποίοι θα κληθούν να εφαρμόσουν τους νόμους αυτούς. Από την άλλη έχουν κατά νου πως όποιο σφάλμα προκύψει θα το διορθώσουν αναθεωρώντας και τροποποιώντας τον αρχικό νόμο. :)
Οι μαθηματικοί όμως επιβάλλεται  να γνωρίζουν εξ αρχής το πεδίο όπου ανήκουν τα x στα οποία  ενεργούν … 

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΝΤΑΙ ΑΥΡΙΟ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ:  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ! (και στα λοιπά μαθήματα επιλογής)
Προσεκτικά παιδιά! Τηρείτε πάντα τη «σωστή σειρά» και μην αγνοείτε τους ΟΡΙΣΜΟΥΣ,  κλασικούς και  αξιωματικούς!! 
Αν δεν ορίσουμε το σωστό πλαίσιο ευθύς εξ αρχής, αποδίδοντας στην Τύχη το μερίδιο που της αναλογεί, μπορεί να θεωρούμε πως η  άγνοιά μας είναι ... τυχαιότητα!:)