Δευτέρα, 24 Οκτωβρίου 2011

ΠΟΥ ΥΠΑΡΧΕΙ ΛΑΘΟΣ;

Πού υπάρχει λάθος; Δεν εννοώ πού υπάρχει λάθος στην παραπάνω λύση, αλλά πού υπάρχει  λάθος στην παρεχόμενη μαθηματική παιδεία; Και μπαίνω στη διαδικασία να θέσω το ερώτημα, επειδή
ο συλλογισμός και η γραπτή του απεικόνιση, όπως φαίνεται στη φωτογραφία, δεν αποτελεί μια μεμονωμένη περίπτωση, αλλά ένα σύνηθες φαινόμενο. Ίσως το δεύτερο σε συχνότητα φαινόμενο, μετά τη λευκή κόλλα ή την κόλλα με τις λίγες μουντζουρωμένες γραμμές..
Ας παραβλέψουμε τους μαθητές που δεν γράφουν τίποτα κι ας σταθούμε σ' αυτούς που γράφουν μια-κατά την άποψή τους- "πληρέστατη" λύση, πλην όμως -κατά την άποψη του διορθωτή- εντελώς λάθος..
Σε μια τέτοια 'πλήρη' - και πλήρη λαθών - λύση, λοιπόν, ρωτάω "Πού υπάρχει λάθος";
Στα πρώτα στάδια της Αριθμητικής, 1+1=2 κι όχι 1;  Στα πρώτα στάδια της Άλγεβρας, χ+1=χ+1 και όχι 2χ;  Στην κατανόηση της έννοιας της 'εξίσωσης' και της διαφοράς που υπάρχει ανάμεσα στη διαδικασία  επίλυσής της από τη διαδικασία της απόδειξης, εν γένει;
Σε όλα αυτά και σε άλλα πολλά 'δυσνόητα' σημεία των Μαθηματικών που διδάσκουμε;
Μήπως όμως τα προβλήματα δεν περιορίζονται στον χώρο των Μαθηματικών, που αναμφιβόλως έχουν τις εγγενείς τους δυσκολίες; Μήπως πρόκειται για  γενικότερα προβλήματα που θα πρέπει να αντιμετωπιστούν κάτω από ένα κοινό πρίσμα;
Μήπως, δηλαδή, τα Μαθηματικά, ως γλώσσα, ακολουθούν και αυτά την  πορεία εκφυλισμού της (φυσικής) γλώσσας, όπως την περιγράφει ο  κος Γιάγκος Ανδρεάδης,  Καθηγητής Ιστορίας Πολιτισμού και Θεάτρου, στο Πάντειο Πανεπιστήμιο, στο άρθρο του 'Σκοτώνοντας την γλώσσα (και) με την επιείκεια'.  
Αν ναι, τότε  τα αίτια που προκαλούν την 'έκπτωση' είτε είναι κοινά, σε γλώσσα και Μαθηματικά, είτε αλληλεπιδρούν μεταξύ τους  και άρα θα πρέπει να προσπαθήσουμε κι εμείς από κοινού να βρούμε πού υπάρχει το λάθος...

Πέμπτη, 13 Οκτωβρίου 2011

ΑΥΤΟ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΑΥΤΟ... ΑΥΤΟ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΕΚΕΙΝΟ

Είχα ολοκληρώσει ένα έντονο και απαιτητικό  μάθημα στην Άλγεβρα της Α' Λυκείου, στο ένα από τα τρία τμήματα που διδάσκω, λίγα μόλις λεπτά πριν χτυπήσει το κουδούνι, και παρατηρούσα τα σκεπτικά και κουρασμένα πρόσωπα των μαθητών.

Τα του Λογισμού Πιθανοτήτων με την πληθώρα των συμβόλων και την αλγεβροποίηση των πιθανοκρατικών προβλημάτων είναι κάτι που πρέπει, σύμφωνα με τις οδηγίες διδασκαλίας, να διδαχτεί στους δεκαπεντάχρονους μαθητές σε έξι μόνο ώρες!
Τα παιδιά, τα περισσότερα τουλάχιστον από αυτά στα οποία έχω την χαρά να διδάσκω, προσπαθούν φιλότιμα να κατανοήσουν τι σημαίνει αυτό: P(AUB) και τι σημαίνει εκείνο: P(A-B). Κι εγώ από την πλευρά μου, χρησιμοποιώντας όλες τις δυνατές παραστάσεις, αναπαραστάσεις, εννοιολογικές  και  μεταγνωστικές προσεγγίσεις, προσπαθώ να τα εξηγήσω ολιστικά και να μην περιοριστώ στην παρουσίαση μιας ξερής, φροντιστηριακής, μεθοδολογίας.

Στα ελάχιστα λεπτά που είχαν απομείνει, μετά από την "παράδοση" των κανόνων του Λογισμού Πιθανοτήτων, κι αφού καμιά απορία δεν υπήρχε από την πλευρά των μαθητών, θέλοντας να τους χαλαρώσω  από την ένταση του μαθήματος και να μην τους αφήσω εξουθενωμένους στον συνάδελφο που θα έμπαινε στην τάξη τους μετά από μένα, ζωγράφισα στον πίνακα τέσσερα σχήματα και ζήτησα να μου πουν ποιο από αυτά είναι διαφορετικό από τα άλλα τρία.


Ακούστηκαν ένας δύο να ρωτούν κάτι κι άλλοι να σχολιάζουν κάτι άλλο, αλλά το κουδούνι χτύπησε και προτιμήσαμε να το σκεφτούν με την ησυχία τους, για  να το συζητήσουμε την επομένη.
Πράγματι, στο επόμενο μάθημα της Άλγεβρας, τα παιδιά αυθόρμητα έφεραν στο προσκήνιο το θέμα κι εγώ ζήτησα από μερικούς να το σχολιάσουν. Οι δύο ομόκεντροι κύκλοι, του τρίτου σχήματος, ήταν η επικρατούσα τιμή στις επιλογές τους και ο λόγος που επέλεξαν ως διαφορετικό από τα άλλα  το σχήμα αυτό ήταν, όπως είπαν: "επειδή το ένα είναι μέσα στο άλλο και μοιάζει με ... υποσύνολο"!
Εδώ θα πρέπει να μαρτυρήσω πως όταν πρωτοείδα   το παραπάνω ερώτημα με τα τέσσερα σχήματα επέλεξα -αυθορμήτως και πριν σκεφτώ καθόλου - όπως και οι περισσότεροι μαθητές το τρίτο σχήμα, για διαφορετικό βέβαια λόγο. Το επέλεξα επειδή ήταν το μόνο που είχε τρύπα κι άρα δεν ήταν τοπολογικά ισοδύναμο με τα άλλα τρία!
Η επιλογή από τους περισσότερους του τρίτου σχήματος, για τον λόγο που επικαλέστηκαν οι μαθητές,  αποδεικνύει πιθανότατα ότι ερμηνεύουμε τα σημαίνοντα ανάλογα με τις θεματικές που απασχολούν τη σκέψη μας στη συγκεκριμένη φάση. Οι μαθητές, δουλεύοντας αυτόν τον καιρό με τα ενδεχόμενα και τις πράξεις τους, είχαν στο μυαλό τους πως μια κλειστή καμπύλη μέσα σε μια άλλη, ταυτίζεται σχηματικά με  το  υποσυνόλο, γι' αυτό στους ομόκεντρους κύκλους απέδωσαν την έννοια υποσύνολο. Εγώ, έχοντας στο μυαλό μου την εικασία του Πουανκαρέ και τα τοπολογικά ισοδύναμα, επέλεξα το τρίτο σχήμα- το μοναδικό με τρύπα- ως διαφορετικό από τα άλλα. Σε μια δεύτερη ματιά και με μια διάθεση επαλήθευσης αναρωτήθηκα αν  θα μπορούσε να είναι κάποιο άλλο διαφορετικό για τον χ ή τον ψ λόγο και αμφισβήτησα την αρχική μου επιλογή, επειδή θεώρησα πως δεν ήταν σαφής η ερώτηση... Αυτήν τη σκέψη, όμως που εγώ δεν την έκανα αυθόρμητα,  κάποιοι μαθητές την είχαν κάνει εξ αρχής, πριν μπουν στη διαδικασία της επιλογής. Την εξέφρασαν τη στιγμή που τους έθεσα το ερώτημα, λέγοντας: "ως προς τι είναι διαφορετικό;" . Η Μαρία δε, που ήταν μια από αυτούς που ήθελε να διευκρινίσω ως προς τι  ήταν διαφορετικό και δεν της είχα απαντήσει τη μέρα που έθεσα το ερώτημα, την επομένη σήκωνε επίμονα  το χέρι κι όταν της έδωσα τον λόγο, με ύφος που θα μπορούσα τρόπον τινά να χαρακτηρίσω ελαφρώς επικριτικό, είπε: "Θεωρώ πως κανένα δεν διαφέρει από τα άλλα, επειδή το καθένα μπορεί να διαφέρει σε κάτι από τα άλλα"! Η Μαρία έδωσε, πράγματι,  την ορθότερη των απαντήσεων. Εξήγησα στα παιδιά, πως ακριβώς αυτό ήταν το ζητούμενο από την ερώτηση που τους είχα κάνει και πως για να βρούμε ομοιότητες ή διαφορές θα πρέπει να ορίσουμε ένα πλαίσιο ομοιοτήτων ή ένα πλαίσιο διαφορών. Ένας δυσανασχέτησε έντονα επειδή είχε 'σκεφτεί τζάμπα' σε μια ερώτηση που, όπως είπε, δεν είχε απάντηση, ενώ αρκετοί έδειξαν να κατανοούν τι σημαίνει "σκέφτομαι πώς σκέφτομαι".  Όλη η συζήτηση δεν μας πήρε πάνω από πέντε λεπτά, αλλά όταν έχεις μόνο έξι σαρανταπεντάλεπτα για να πεις τα πάντα (εκτός από τον αξιωματικό ορισμό) για την εισαγωγή στις πιθανότητες σε παιδιά δεκαπέντε χρόνων, το πεντάλεπτο είναι πολύς και πολύτιμος χρόνος, που δεν πρέπει να χαθεί!
Για να μην χρονοτριβούμε, λοιπόν, ζήτησα να μου "υπενθυμίσουν" τους τέσσερις "κανόνες" που είχαμε αποδείξει την προηγουμένη (τον 5ο τον αφήσαμε, για να αφομοιώσουμε εμπράκτως πρώτα τους ... εύκολους). Τους έγραψα στον πίνακα, καθ' υπαγόρευση των παιδιών, που αποδείκνυαν με αυτόν τον τρόπο πως είχαν μάθει καλά το μάθημά τους και ήμασταν πλέον έτοιμοι να τους εφαρμόσουμε σε  "αλγεβρικές" ασκήσεις, (ασκήσεις διαχείρισης συμβόλων), πριν περάσουμε στα προβλήματα.

Όταν είδα στον πίνακα τους τέσσερις κανόνες, και προφανώς επηρεασμένη από το κουίζ των τεσσάρων σχημάτων που είχε προηγηθεί, είπα στην τάξη:
"Οι δυο από τους τέσσερις τύπους μοιάζουν σε κάτι μεταξύ τους, το βλέπετε;".
Από τις απαντήσεις που δόθηκαν κάποιες θα μπορούσαν να θεωρηθούν σωστές,  όπως αυτή: "Μοιάζουν οι 1 και 3, επειδή και οι δυο έχουν την πιθανότητα της ένωσης" και άλλες εντελώς λάθος, επειδή δεν ανταποκρίνονταν στις προδιαγραφές της ερώτησης, όπως αυτή: "Ο 4 διαφέρει από τους άλλους τρεις, επειδή έχει ανισότητα". Ακούστηκε βέβαια και η απάντηση που είχα εγώ στο μυαλό μου. Η Έλενα,  με σκεπτικιστικό ύφος είπε: "Ο 1 και ο 4 διαφέρουν από τους άλλους δύο, επειδή μας βάζουν κάτι σαν περιορισμό. Δεν ισχύουν πάντα..."!
Ακριβώς ο πρώτος και ο τέταρτος ισχύουν υπό προϋποθέσεις, μας περιορίζουν δηλαδή.
Αλλά ως εδώ, φτάνει η ανάλυση των σημαινόντων.. Πρέπει να πάμε γρήγορα γρήγορα στις ασκήσεις του σχολικού, να εφαρμόσουμε τους τύπους και να ... παπαγαλίσουμε την διαδικασία της χρήσης τους, χωρίς να τους καταλάβουμε καλά καλά  και χωρίς να αναζητήσουμε τι σημαίνει αυτό και τι σημαίνει εκείνο, γιατί άλλωστε κάτι τέτοιο είναι δουλειά της ... Σημειωτικής κι εμείς εδώ πρέπει να κάνουμε Μαθηματικά!

Δυστυχώς αυτή είναι κατά βάση η πραγματικότητα της σχολικής τάξης. Κάτω από τέτοιους περιορισμούς μας επιβάλλουν τα Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών να προσεγγίζουμε τη γνώση, για να καλύψουμε μια ύλη, που δεν συσχετίζεται ούτε με τις δυνατότητές μας, ούτε με την ηλικία μας, αλλά ούτε και με τα λοιπά μαθήματα, όπως  η Φυσική, ας πούμε, όπου τα Μαθηματικά που απαιτούνται στη Γ', όρα τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τύπους τριγωνομετρικών μετασχηματισμών κλπ., είναι έξω από την  ύλη της Άλγεβρα στην Β', όπου κάποτε διδάσκονταν...

Ίσως όμως να μην είναι και τόσο τραγικά όσο τα περιγράφω...
Ίσως στο βάθος να μην υπάρχει πραγματικό ενδιαφέρον για το "τι σημαίνει αυτό" και "τι σημαίνει εκείνο", παρά  να υπάρχει μόνο  ανάγκη  για μια διαδικαστική γνώση, για τη γνώση του
"πες μου πώς να το κάνω, ό,τι κι αν μπορεί  να σημαίνει αυτό, τέλος πάντων..." ή
"πες μου πώς να το κάνω, ακόμη και στην περίπτωση που  δεν  καταλαβαίνω τι ακριβώς κάνω"!


-----------------------------------------------------------------------------------
Το ερώτημα με τα τέσσερα σχήματα το διάβασα στο βιβλίο ΑΥΤΟ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΑΥΤΟ .. ΑΥΤΟ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΕΚΕΙΝΟ, ΣΗΜΕΙΩΤΙΚΗ Οδηγός χρήσης του SEAN HALL, σε μετάφραση Μαρίας Κωνσταντοπούλου, που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις ΔΙΑΥΛΟΣ.

Δευτέρα, 3 Οκτωβρίου 2011

Ο David Acheston στην Αθήνα!! ΜΗΝ ΤΟ ΧΑΣΕΤΕ!!

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ




The Hub Events
presents

HUB SCIENCE

                                                 The Hub Events, Αλκμήνης 5,  Αθήνα (Mετρό Κεραμεικός)
                                                 τηλ : 210-3411009  e-mail : info@thehubevents.gr
www.thehubevents.gr






 













Hub Science

Το «Τhe Hub Events» και ο Νικόλας Πρωτονοτάριος εγκαινιάζουν μια νέα σειρά επιστημονικών διαλέξεων με τίτλο «Hub Science», με στόχο να παρουσιάσουν με συναρπαστικό τρόπο τις επιστήμες και να παρασύρουν το ευρύ κοινό στο μαγικό αλλά παρεξηγημένο αυτό κόσμο.
Την Τρίτη 18 Οκτωβρίου 2011, στις 20:00 σας  προσκαλούμε στην πρώτη συνάντηση του «Hub Science» στα πλαίσια του οποίου θα πραγματοποιηθεί η διάλεξη του Βρετανού μαθηματικού, καθηγητή της Οξφόρδης και συγγραφέα,  David Acheson με θέμα «Μαθηματικά, μαγεία και ηλεκτρική κιθάρα».


Μαθηματικά, μαγεία και ηλεκτρική κιθάρα

Γιατί ο αριθμός 1.089 είναι τόσο ξεχωριστός;
Μπορούν τα μαθηματικά να εξηγήσουν το ινδικό κόλπο με το σκοινί; 
Τι σχέση έχουν όλα αυτά με την ηλεκτρική κιθάρα; 

Ο David Acheson, ομότιμος καθηγητής μαθηματικών στο Jesus College του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, μας προσκαλεί να ταξιδέψουμε μαζί του στο γοητευτικό κόσμο των μαθηματικών. Με την εύθυμη παρουσίασή του, το πάθος και τον ενθουσιασμό του προσκαλεί ακόμη και εκείνους που εξαιτίας ενός καθηγητή, όπως λέει, δικαίως μίσησαν τα μαθηματικά, σε μια ασυνήθιστη διάλεξη! Πιστεύει ότι τα μαθηματικά είναι για όλους, αρκεί να τα παρουσιάσει κανείς με το σωστό τρόπο.

Ο David Acheson έχει γράψει το δημοφιλές βιβλίο «1.089 Ένα μαγικό ταξίδι στον κόσμο των μαθηματικών», που κυκλοφορεί στην Ελλάδα από τις εκδόσεις Οκτώ. Έχει δημοσιεύσει άρθρα για το χάος, τη μη γραμμική δυναμική και τη μηχανική των ρευστών. Τα τελευταία χρόνια δίνει διαλέξεις μαθηματικών για το ευρύ κοινό. Όταν δεν ασχολείται με τα μαθηματικά παίζει ηλεκτρική κιθάρα.

Η διάλεξη θα γίνει στα αγγλικά με ταυτόχρονη μετάφραση στα ελληνικά.
Είσοδος ελεύθερη με δελτία προτεραιότητας.
Η διανομή των δελτίων αρχίζει στις 18:00.
Πού//
«The Hub Events» (Αλκμήνης 5, Κ. Πετράλωνα, μετρό Κεραμεικός)

Πότε//
Τρίτη 18 Οκτωβρίου 2011, ώρα 20:00

Πληροφορίες//
τηλ : 210-3411009 
e-mail : info@thehubevents.gr
www.thehubevents.gr