Σάββατο, 10 Μαρτίου 2012

Τελικά, είναι θέμα αισθητικής! :)


 Όλα από κάπου αρχίζουν! Ξεκινούν από μια ιδέα ή από ένα σημείο στο χώρο ή στο χρόνο, που αναλόγως το βαφτίζουμε "αφετηρία" ή "σημείο εκκίνησης" ή "πρώτη μέρα" ή "πρώτη φορά" ή όπως αλλιώς μας βολεύει. Μετά τα πάντα εξελίσσονται με κάποιον τρόπο. Θετικό ή αρνητικό...
Συμβαίνει κάποτε να μένουν στάσιμα, αλλά αυτό παρατηρείται σπάνια και πάντως όχι για πολύ καιρό.. Κανένα έμβιο δεν αντέχει τη στασιμότητα και την οποιουδήποτε είδους ακινησία! Εκτός αν ανήκει στο φυτικό βασίλειο.. Αλλά κι εκεί ακόμη υπάρχει κίνηση και σίγουρα υπάρχει εξέλιξη!
Όλα από κάπου αρχίζουν! Ξεκινούν από μια βασική έννοια και σταδιακά, με κάποιον τρόπο, εξελίσσονται...
Φαντάζομαι πως αν ήμουν φυσικός θα μιλούσα για "αρχική κατάσταση", αλλά εγώ, ως μη φυσικός, επιμένω να μιλώ για "όρους" και "κοινές έννοιες" και αντί να επικαλούμε τους φυσικούς νόμους, αναζητώ λήμματα, αν όχι θεωρήματα, έχοντας μάλλον στο μυαλό μου το πρότυπο της Ευκλείδειας θεμελίωσης, όπου οι  όροι, οι κοινές έννοιες, τα  αιτήματα και οι προτάσεις, σε μια ιδανική αλληλουχία, δομούν το πρότυπο επαγωγικό-παραγωγικό σύστημα αξιωματικής σκέψης, το οποίο μιμήθηκαν πολλοί εντός και εκτός των τειχών των Μαθηματικών.
 Γι' αυτό άλλωστε εμείς   μελετάμε στο σχολείο τον Ευκλείδη, εκεί όπου υποτίθεται ότι επιδιώκουμε να δημιουργήσουμε πρότυπα σκέψης, συμπεριφοράς και χαρακτήρα!  Σωστά;
Περίπου... Γιατί δυστυχώς δεν αντιμετωπίζεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία με την αξιωσύνη που της αρμόζει. Ευτυχώς όμως που  το ευκλείδειο μοντέλο αναπαράγει τον εαυτό του και μας δίνει τη δυνατότητα ακόμη και μέσα από μικρά του αποσπάσματα να αντιλαμβανόμαστε πόσο μεθοδικά λειτουργεί στο σύνολό του,  ξεκινώντας από τις βασικές έννοιες και χτίζοντας, στη συνέχεια, με αυτές τις σύνθετες, που με τη σειρά τους χτίζουν τις συνθετότερες και πάει λέγοντας. Κι όλο αυτό χωρίς καμιά απολύτως αντιφάση! Χωρίς καμιά, ενδιάμεση, τροποποιητική και χωρίς κανέναν υστερόβουλο 'ρυθμιστικό'! Δεν είναι πραγματικά μαγικό; Σίγουρα είναι! :)
Όπως σίγουρα είναι και τα "είδη των παραλληλογράμμων"  ένα "απόσπασμα" που προσφέρει ένα απλό και ιδιαίτερα βολικό πλαίσιο για να παρακολουθήσει κανείς το πώς θα μπορούσε να εξελιχτεί μια βασική έννοια, αν σταδιακά της προσθέταμε   κάποια επιπλέον στοιχεία.
Αν για λόγους σκοπιμότητας και εντελώς αυθαιρέτως θεωρήσουμε πως το παραλληλόγραμμο είναι μια βασική έννοια και, για να σιγουρευτούμε πως μιλάμε για το ίδιο πράγμα, πούμε ότι "εξ ορισμού το παραλληλόγραμμο είναι ένα επίπεδο τετράπλευρο σχήμα με τις απέναντι πλευρές του παράλληλες", τότε θα έχουμε δώσει τον ορισμό του παραλληλογράμμου και θα έχουμε κάνει το πρώτο βήμα στην ...αξιωματική μας θεμελίωση!
Βέβαια ο κάθε ορισμός στα Μαθηματικά, δηλαδή ή κάθε πρόταση που περιγράφει το γένος και τα χαρακτηριστικά μιας νέας μαθηματικής έννοιας, (και εφόσον αυτή δεν είναι στην πραγματικότητα βασική έννοια) συνοδεύεται από μια ομάδα ιδιοτήτων που προκύπτουν άμεσα από αυτόν.
Ο προηγούμενος ορισμός, ακολουθώντας τον παραπάνω γενικό κανόνα των ορισμών  "γεννά" τις τρεις ακόλουθες προτάσεις/ιδιότητες, που ισχύουν σε κάθε παραλληλόγραμμο:
(i)   Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες.
(ii)  Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. (ή ισοδύναμα: Οι διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές)
(iii) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.
Ο συνδυασμός του ορισμού με τις προτάσεις αυτές γεννά τα κριτήρια, δηλαδή τον "έλεγχο", μέσω του οποίου αποφαινόμαστε αν ένα οποιοδήποτε τετράπλευρο πάνω στο επίπεδο είναι ή όχι παραλληλόγραμμο. Μέχρι εδώ τα πράγματα είναι μάλλον απλά.
 Όμως δεν πρόκειται να σταματήσουμε εδώ, επειδή δεν συνηθίζεται να ορίζουμε μια έννοια για να την αφήσουμε μετά στην ησυχία της. Αντιθέτως! Την ορίζουμε για να μην την αφήσουμε στη ησυχία της. Πειραματιζόμαστε μαζί της. Την έχουμε στο χέρι, την παρατηρούμε, την τραβάμε λίγο από δω, την τραβάμε λίγο από κει, την σπρώχνουμε,  τη μετασχηματίζουμε. Στο σημείο αυτό ένα λογισμικό μπορεί ίσως να βοηθήσει, αλλά μπορεί και να αποπροσανατολίσει, επειδή δίνει έμφαση στην αίσθηση και όχι στην κρίση, μας περιορίζει στη μέτρηση και στη σύγκριση και παραγκωνίζει τη λογική συνέπεια και την αλληλουχία των προκείμενων προτάσεων.. Λάθος;
Εν πάση περιπτώσει, με χρήση ΤΠΕ ή χωρίς, τα είδη των παραλληλόγραμμα είναι ένα πολύ όμορφο απόσπασμα της Ευκλείδειας, επειδή δίνει
τη δυνατότητα να παίξεις, να σκεφτείς, να  συγκρίνεις και να διατυπώσεις εύκολα ερωτήματα και εικασίες που αποδεικνύονται εξίσου εύκολα, όπως, για παράδειγμα, το ερώτημα "αν στο παραλληλόγραμμο προσθέσουμε μια ορθή γωνία διατηρώντας τα  μήκη και την παραλληλία των πλευρών τι θα συμβεί;"
 Απάντηση: "Θα γίνουν όλες οι γωνίες ορθές!"
Και γιατί θα συμβεί αυτό; Επειδή γνωρίζουμε ότι στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες και οι διαδοχικές παραπληρωματικές!
Αυτό το "επειδή γνωρίζουμε ότι...", όταν το λένε οι μαθητές και συνοδεύεται από κάτι που όντως γνωρίζουμε κι όχι από μια δική τους εσφαλμένη προσέγγιση, ακούγεται πάντα ελπιδοφόρο και χαρμόσυνο... Ευφραίνει την καρδιά του δασκάλου :)
Και η δική μου η καρδιά ευφράνθηκε σήμερα στο μάθημα της Γεωμετρίας, επειδή οι απαντήσεις δίνονταν με  διατυπώσεις που υποδηλώνουν επαγωγικούς και παραγωγικούς συλλογισμούς, οι οποίοι  είναι το κλειδί της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, αλλά και κάθε λογικά ολοκληρωμένης σκέψης!
Αλλά όμως, τόσο ωραίο που ήταν το μάθημά μας σήμερα  τέλειωσε πέντε ολόκληρα λεπτά πριν χτυπήσει το κουδούνι. Όλα από κάπου αρχίζουν! Και επίσης όλα τα ωραία τελειώνουν γρήγορα!
Κι εμείς είχαμε εξαντλήσει  την τετράγωνη λογική του ... τετραγώνου, που είναι ο.. άρχων των παραλληλογράμμων και φέρει όλες τις ιδιότητες του ρόμβου και του ορθογωνίου ταυτόχρονα και είχαμε ακόμη χρόνο μέχρι το διάλειμμα. Για να αξιοποιήσω καταλλήλως τον εναπομείναντα χρόνο, είχα τη φαεινή ιδέα να ρωτήσω: "Με τι ισούται η διαγώνιος του τετραγώνου πλευράς α;".
Η αλήθεια είναι πως δεν έκανα πρώτη φορά την ερώτηση στο τμήμα. Το είχαμε ξανασυζητήσει στο παρελθόν περισσότερες από μία φορές, επειδή το θέμα δίνει αφορμή για αναφορά στους άρρητους,  στους Πυθαγόρειους, στην "κρίση στα θεμέλια των Μαθηματικών" και στην κρίση γενικότερα!! Σούπερ θέμα για προβληματισμό, αλλά πού χρόνος για τέτοια στο σχολείο;! Προέχουν οι εξετάσεις..
Οι απαντήσεις που δόθηκαν στην ερώτησή μου περί της διαγωνίου του τετραγώνου ήταν  οι τρεις  που φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Τις έγραψα μια προς μια στον πίνακα και ζήτησα να απορρίψουν τις δύο, για να  μείνει μόνο η σωστή. Πίστευα πως σκεπτόμενοι "κριτικά" οι μαθητές θα απέρριπταν τις δυο πρώτες που μοιάζουν μεταξύ τους και που εκφράζουν εμβαδόν και όχι μήκος και πάντως όχι το μήκος της διαγωνίου! Αποδείχτηκε πως καμιά συσχέτιση δεν έγινε μεταξύ διαστάσεων και δυνάμεων, αντιθέτως απορρίπτονταν η πρώτη και η τρίτη τιμή ή η δεύτερη και η τρίτη. Η τρίτη ήταν σταθερά επιλεγμένη ως λάθος, από όλους εκτός, φυσικά, από τη μαθήτρια που την είχε προτείνει... Δηλαδή, όλοι όσοι ρωτήθηκαν θεωρούσαν λάθος ή την πρώτη ή τη δεύτερη και σταθερά την τρίτη τιμή.
 Ώσπου μια μαθήτρια έδωσε την εξής καταλυτική απάντηση:
"Εγώ λέω ότι λάθος είναι μόνο η τρίτη απάντηση".
"Όχι! Θα πρέπει να απορρίψεις δύο και να κρατήσεις την σωστή. Μόνο μία είναι η σωστή", επέμενα.
"Όχι, εγώ απορρίπτω μόνο την τελευταία!", επέμενε και η μαθήτρια.
Μπορείς να τα βγάλεις πέρα με ένα παιδί που επιμένει έτσι; :)
Δεν μπορείς.. Υποχώρησα, λοιπόν, και ρώτησα:
"Και γιατί διαλέγεις αυτήν συγκεκριμένα;"
"Επειδή το "ρίζα δύο" δεν είναι ωραίος αριθμός! Γι' αυτό!"

Είναι κι αυτό ένα επιχείρημα και μάλιστα ένα επιχείρημα που χρησιμοποιούν κατά κόρον οι μαθητές...
Φαίνεται πως, ότι και να λέμε εμείς,  πίσω από κάθε επαγωγικό-παραγωγικό σύστημα συλλογισμών και πίσω από κάθε τυπική ή ... άτυπη λογική, για τα παιδιά, αυτό που προέχει είναι τελικά η αισθητική... :))

----------------------------------------------------------------------------
Αν ο Ίππασος μπορούσε να υποψιαστεί πώς θα αντιδρούν οι μαθητές μπροστά στο λόγο της διαγωνίου του τετραγώνου προς την πλευρά του, ίσως να είχε πάρει εντελώς διαφορετικές αποφάσεις... :)



14 σχόλια:

  1. ««Επειδή το "ρίζα δύο" δεν είναι ωραίος αριθμός! Γι' αυτό!»

    Αυτήν την απάντηση την ακούω κάθε χρόνο από κάποιους μαθητές.

    Είτε στην λύση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης , είτε στο μήκος ενός διανύσματος.

    «« Κύριε , αποτέλεσμα με ρίζα έβγαλα,δεν είναι ωραίο, νομίζω ότι κάνω κάτι λάθος».Και αυτό το ακούς και από μαθητές διαβασμένους.

    Δεν δέχονται τους άρρητους.Τους θεωρούν κάτι άκομψο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Την ίδια εμπειρία έχω κι εγώ.
    Μάλιστα θα έλεγα πως οι λιγότερο αποδοτικοί στα Μαθηματικά μαθητές δεν αποδέχονται ούτε τους ρητούς!
    Η αποδοχή τους και η σχέση τους με τους αριθμούς σταματά στους ακέραιους!
    Ίσως τελικά να μπορούσε να αποτελέσει μέτρο..."μαθηματικής ωριμοτητας" των μαθητών μας το αριθμητικό σύνολο που αποδέχονται ως κομψό! :))
    Επίπεδο Ε: Φυσικοί, 0, 1, 2, ..
    Επίπεδο Δ: Ακέραιοι, ..-2, -1, 0, 1, 2,...
    Επίπεδο Γ: Ρητοί, α/β, με α, β ακέραιους και β διάφορο από το 0.
    Επίπεδο Β: Πραγματικοί, R
    Επίπεδο Α: Μιγαδικοί, C

    Καλημέρα στο Κέντρο!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Καλημέρα! Θα συμπλήρωνα βάσει της εμπειρίας μου πάντα, ότι δεν είναι μόνο θέμα αισθητικής αν είναι "ωραίος" ο αριθμός ή όχι, αλλά και θέμα κυρίως αντιμετώπισης. Γενικά τα "κοφτά" και γρήγορα είναι γοητευτικά. Τα σύνθετα και πολύπλοκα ναι μεν φαίνονται επιφανειακά άσχημα όμως κρύβουν ουσία , στην προκειμένη περίπτωση η αποκωδικοποίηση να τολμήσω να πω εξαρτάται άμεσα με τον τρόπο εξοπλίστηκαν οι μαθητές με τα εργαλεία δουλειάς στα μαθηματικά. Ο "ρατσισμός" υπάρχει απο τους ρητούς και μετά, με μικρές διακυμάνσεις προς τα πίσω στους ακεραίους με τους αρνητικούς αριθμούς, αρά δεν είναι μόνο θέμα αισθητικής είναι και πως αντιμετωπίζουμε τα πράγματα θετικά ή αρνητικά; Πολύ καλό το θέμα σας , χαίρομαι να σας διαβάζω. Ένα συνάδερφος , και εκτιμώ που με τιμήσατε με την παρούσια σας στο ταπεινό ιστολόγιο μου. Θα χαρώ να μοιράζομαι μαζί σας τις εμπειρίες μου. http://math-e-sh.blogspot.com/

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Καλησπέρα!
      Κι εγώ χαίρομαι πολύ να μοιράζομαι τις εμπειρίες μου από τη σχολική τάξη με τους συναδέλφους, γι' αυτό τις γράφω άλλωστε! :) Και γι' αυτό διαβάζω και τις δικές τους.

      Είναι περίεργη η κατανόηση των μαθητών για τους αριθμούς και παρόλες τις σχετικές έρευνες και τον εντοπισμό του προβλήματος και των πιθανών αιτίων, τίποτα δεν φαίνεται να βελτιώνεται..
      Μάλλον οι άρρητοι ήταν και είναι.. ταμπού, όπως λέει ο BaBis_fLou παρακάτω.

      Καλή βδομάδα!

      Διαγραφή
  4. Κατερίνα σε χαιρετώ...Όσον αφορά τους ρητούς, εκεί υπάρχει ένα θέμα αφού τα παιδιά τους αντιμετωπίζουν σαν ακέραιους, ενώ όσον αφορά τους άρρητους, αν ακολουθήσουμε το ρητό που λέει ότι: " η οντογένεση ανακεφαλαιώνει τη φυλογένεση" τότε η ιστορία της εξέλιξης των αριθμών αυτών στο μυαλό του Ευκλείδη μοιάζει με την εξέλιξη των ίδιων αριθμών στο μυαλό των παιδιών ! Λοιπόν είναι αλήθεια ότι οι αρχαίοι ούτε καν τους πέρασε απ' το μυαλό να συμβολίσουν αυτούς τους αριθμούς. Αντίθετα όμως προσπαθούσαν να τους περιγράψουν όπως οι λεγόμενοι από τον Ευκλείδη: "αποτομή", "ελάσσων" κ.λ.π. όμως είχαν σίγουρα τρόπο να τους απεικονίσουν με γεωμετρικό τρόπο. Κι αυτός μάλλον ήταν ο λόγος που έμειναν πίσω στην άλγεβρα και διέπρεψαν κυριολεκτικά στη γεωμετρία.
    Ο Ευκλείδης λοιπόν όταν έλεγε άρρητους εννοούσε τους δυνάμει ασύμμετρους (άλογους) και όχι τους μήκει ασύμμετρους. Αν ας πούμε ο λόγος των τετραγώνων δύο αριθμών ήταν ρητός αυτούς τους θεωρούσε ρητούς. Γι αυτό και αυτούς τους αριθμούς τους αντιμετώπιζε απλά γεωμετρικά και όχι όπως εμείς σαν τύπους με τετραγωνικές ρίζες.Υπό μία έννοια, ο Ευκλείδης πιστεύω έβλεπε το θέμα και από άποψη αισθητικής, αλλά όχι μόνο. Ας πούμε οι αποδείξεις του 2ου βιβλίου των Στοιχείων είναι οι περισσότερες σχεδόν οπτικές με την μέθοδο cut and paste.Αρα αυτό που τον ενδιέφερε πιο πολύ ήταν η διδακτική αμεσότητα και η συγκράτηση στην μνήμη της απόδειξης.Αλλο παράδειγμα, η 1η πρόταση του 13ου βιβλίου περιγράφει την εύρεση της λύσης του μεγαλύτερου τμήματος της χρυσής τομής.Εμείς το βρίσκουμε λύνοντας εξίσωση και ενθυμούμενοι έναν τύπο με ρίζες.Αντίθετα ο Ευκλείδης που δεν θεωρεί αρρήτους τους αριθμούς μας λέει:"Αν προεκτείνουμε ένα γνωστό ευθ. τμήμα ΑΒ κατα το μισό του έστω ΑΚ τότε το ΚΓ στο τετράγωνο είναι πενταπλάσιο του τετραγώνου του μισού του ΑΒ(όπου Γ είναι η χρυσή τομή του ΑΒ). Πόσο πιο κομψή και όμορφη είναι η διατύπωση και πόσο πιο εύκολα μπορούν να τη θυμούνται οι μαθητές ! Μακάρι να μπορούσα να σας δείξω και το σχήμα της απόδειξης που είναι και αυτή πολύ όμορφη !

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Καλησπέρα Κατερίνα, δεν πιστεύω οτι είναι τόσο θέμα αισθητικής όσο μιμητισμού κ συνήθειας. Τα παιδιά έχουν συνηθίσει να παίρνουν κάποια "είδη" αποτελεσμάτων που "φαίνονται" σωστά (στην ίδια λογική που κ εμένα οι δασκάλες(φιλόλογοι) μου στο δημοτικό μου έλεγαν η ορθογραφία μιας λέξης ή η σύνταξη μιας φράσης είναι "όπως το ακούς και το νιώθεις"). Ίσως μια βοήθεια για τα παιδιά θα ήταν η επιλογή ασκήσεων με "περίεργα" νούμερα ή εκφράσεις, ως τελικά αποτελέσματα, με σκοπό να προβληματιστούν από πιο νωρίς για το σημείο στο οποίο έχουν λύσει μια ασκηση ολοκληρωτικά (χωρίς να κάνουν κύκλους πράξεων γύρω απο το ίδιο σημείο) ή έχουν επιλέξει τη σωστή απάντηση σε μια ερώτηση πολλαπλής επιλογής και μετά τον προβληματισμό να έχουν περισσότερη βεβαιότητα για τις επιλογές/λύσεις τους. Επιπλέον στην περίπτωση με το ρίζα 2 ίσως θα ήταν διασκεδαστικό να βασιστούμε στην πραγματική έννοια της αισθητικής συγκρινόμενη με την έννοια της ασυμμετρίας και πόσο συχνότερα εμφανίζονται στην πραγματική ζωή απ ότι στις ασκήσεις των βιβλίων (οι οποίες ασκήσεις συνήθως έχουν απλά νουμερα και αποτελέσματα για να μην μπερδεύονται οι μαθητές..δίκοπο μαχαίρι απ ότι φαίνεται). Τελικά ταμπού ως θέμα συζήτησης για την αρχαιότητα οι άρρητοι(από την σημασία της λέξης κ μόνο), "ταμπού" και ως επιλογή για τους σημερινούς μαθητές χαχα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Είναι θέμα..μαθηματικού άγχους!
      ΄Ο,τι δεν κατανοούμε το αποβάλλουμε για να χαλαρώσουμε λίγο :)
      Και οι άρρητοι πάντα ήταν ακατανόητοι..και λίγο ταμπού, όπως χαριτωμένα το θέτεις :)

      Σίγουρα όμως η υψηλή αισθητική, η χρυσή αρμονία, η θεία αναλογία ή όπως αλλιώς έχει ονομαστεί κατά καιρούς, είναι άρρητη!
      Αλλά και σε τι δεν υπάρχει αντίφαση;
      Απορρίπτουμε τον άρρητο αριθμό ως ακαλαίσθητο και επιλέγουμε το "χρυσό ορθογώνιο" ως το πλέον καλαίσθητο!

      Καλή βδομάδα να ΄χουμε!

      Διαγραφή
  6. Επίσης, καλή βδομάδα!!Όντως μαλλον άγχος είναι περισσότερο

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Γειά...
    Έχω πολύ καιρό να μπω, δεν προφταίνω...

    Σχετικοάσχετος γρίφος :
    Με 3 ευθύγραμμα τμήματα (ανεξαρτήτως μεγέθους) να φτιάξουμε τετράγωνο...
    Από μαθητές μου, δεν το βρήκα, μου το φανέρωσαν...
    Εσείς το είχατε ξανακούσει ;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γεια σου Κώστα!

      Όχι δεν τον άκουσα τον γρίφο που λες..
      Αλλά μια και τον γράφεις σ' αυτήν την ανάρτηση, κι όχι στην τελευταία μου, θα τολμήσω να ρωτήσω το εξής:
      μήπως οι μαθητές σου εννοούσαν το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας; :)

      Διαγραφή
    2. Μου φάνηκε ότι πάει πιό πολύ εδώ...

      Όχι, "τετράγωνο" είπαν και το εννοούσαν...
      Άντε, να βοηθήσω, κοντά είσαι, έβαλα και τα " "...

      Να "προειδοποιήσω", σε κάποιους συναδέλφους δεν άρεσε η απάντηση...
      Είναι και θέμα "γούστου"...

      Διαγραφή
    3. μήπως τον αριθμό τέσσερα; "4" :)

      Διαγραφή
    4. χαχαχα θέλει και ψαλίδι ο γρίφος όμως...

      σε ένα κομμάτι χαρτί ζωγραφίζουμε δύο παράλληλα τμήματα μέχρι το τέλος το χαρτιού. Η απόσταση των τμημάτων πρέπει να είναι ίση με το πλάτος του χαρτιού. Στη συνέχεια φέρνουμε κάθετη σε αυτές τις παράλληλες δεν έχει σημασία σε ποιο σημείο. .... κόψτε τα 2 ορθογώνια που σχηματίστηκαν και .... ενώστε... Χρόνια πολλά και καλημέρα σε όλους Ονούφριος Τσαμόγλου http://math-e-sh.blogspot.com/

      Διαγραφή