Παρασκευή, 24 Φεβρουαρίου 2012

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΙ στην εποχή της υψηλής τεχνολογίας

Ο παραπάνω "εξπρεσιονιστικός πίνακας" είναι ό,τι κατά προσέγγιση είδα με τα ματάκια μου σήμερα στο τέλος του  μαθήματος της Γεωμετρίας σε ένα τμήμα της Α΄ Λυκείου! Στην πραγματικότητα αυτό που έβλεπαν τα μάτια μου δεν ήταν παρά ο μαυροπίνακας, γεμάτος με γεωμετρικά σχήματα και "μαθηματικούς συλλογισμούς", που είχαν προκύψει από μια, ας πούμε, συλλογική προσπάθεια να λύσουμε κάποιες ασκήσεις γεωμετρίας, τις οποίες προσωπικά βρίσκω πολύ όμορφες, απίστευτα κομψές, ιδιαίτερα γοητευτικές και, γιατί όχι, απαράμιλλα διασκεδαστικές! 
Ειδικά δε όταν αντιμετωπίζονται σαν επιτραπέζιο παιχνίδι, μπορούν  να μας ψυχαγωγήσουν και να  μας μορφώσουν ταυτόχρονα.
Αν, ας πούμε, τον παραπάνω "εξπρεσιονιστικό πίνακα" τον αντικαταστήσουμε με το ρεαλιστικό του ισοδύναμο, που είναι κάπως έτσι:
  και στη συνέχεια συμπληρώσουμε τον πίνακα με δύο προτάσεις, όπως οι ακόλουθες
πείτε μου ειλικρινά, σας φαίνεται ότι  αυτό που προκύπτει διαφέρει πολύ από ένα επιτραπέζιο παιχνίδι;
Ας προσπαθήσουμε να το φανταστούμε και να θέσουμε τους κανόνες, αφού πρώτα διατυπώσουμε με σαφήνεια τον στόχο του παιχνιδιού. Ας πούμε ότι ο στόχος του παιχνιδιού είναι να ξεκινήσουμε από τη γωνία ΔΑΕ και με κατάλληλα βήματα, που θα είναι όσο το δυνατόν λιγότερα, να φτάσουμε στις γωνίες Β και Γ που πρόσκεινται στη βάση. Οι κανόνες του παιχνιδιού, που δεν είναι πάντοτε και τόσο προφανείς όσο είναι ο στόχος, θα μπορούσαν ίσως να διαμορφώνονται, κατά περίσταση, από τους ίδιους τους παίκτες, ώστε να ανταποκρίνονται στις εκάστοτε συνθήκες. Ένας παίκτης, δύο, πολλοί;  :)
Το παιχνίδι μπορεί να εμπλουτιστεί με "κάρτες ερωτήσεων", τις οποίες τραβάμε και απαντάμε, ενώ προσπαθούμε να κινηθούμε από την κορυφή Α, το σημείο εκκίνησης, στη βάση ΒΓ, όπου πρόσκεινται οι γωνίες που θέλουμε να εμφανίσουμε.. 
Μου φαίνεται βολικό αν οι ερωτήσεις στις κάρτες δεν αφορούν σε κάτι άσχετο αλλά κάνουν μια   διασύνδεση της συγκεκριμένης κατάστασης/θέσης του παίκτη, δηλαδή της γωνίας, με το θεωρητικό υπόβαθρο. Τις φαντάζομαι, για παράδειγμα, κάπως έτσι:
Νομίζω πως σε κάθε καταφατική απάντηση ο παίκτης πρέπει να καταγράφει τη σχέση που ικανοποιεί η γωνία.. Για παράδειγμα, αν ο παίκτης που βρίσκεται στο σημείο εκκίνησης, δηλαδή στη γωνία ΔΑΕ, τραβήξει την κάρτα με την ερώτηση  "ανήκει η γωνία  σε ορθογώνιο τρίγωνο;", θα πρέπει να απαντήσει Ναι και να γράψει: "ΔΑΕ+Ε1=90 μοίρες "...
Τις σχέσεις που θα γράφει στο φύλλο του, για κάθε καταφατική απάντηση που θα δίνει, θα τις συνδυάζει μεταξύ τους για να "διώχνει" όσα δεν χρειάζεται.. Καλό ακούγεται.. Σε μια τέτοια περίπτωση...ποιος θα είναι ο νικητής; Λογικό δεν είναι να κερδίζει αυτός που φτάνει με τις λιγότερες κάρτες και τα λιγότερα βήματα στην τελική σχέση, δηλαδή τη ζητούμενη; Απόλυτα λογικό..Η αρχή της οικονομίας. Το ξυράφι του Οκαμ! Τα λιγότερα βήματα...

 Περίπου έτσι σκεφτόμουν, παρομοιάζοντας την άσκηση με επιτραπέζιο παιχνίδι, όση ώρα προσπαθούσα να ενεργοποιήσω τους μαθητές μου και να τους κάνω να σκεφτούν, να "δουν", να "αναγνωρίσουν" και να ολοκληρώσουν τους απαιτούμενους "μαθηματικούς συλλογισμούς", για να λύσουν τις ασκήσεις!! Πρώτα τους έδωσα χρόνο να μελετήσουν μόνοι τους την άσκηση, αλλά αφού κανένας δεν προχώρησε σε ικανοποιητικό βαθμό, αναγκάστηκα να παρέμβω δραστικά.
Ομολογώ πως ενώ, αναγκαστικά πλέον, έθετα στην τάξη τα ερωτήματα που έπρεπε σταδιακά να απαντηθούν για να προκύψει η ζητούμενη σχέση, ένιωσα σαν να τραβούσα αόρατες κάρτες ερωτήσεων και σαν να  διαβάζα μεγαλοφώνως το περιεχόμενό τους: "σε ποιο τρίγωνο ανήκει η γωνία που μας ενδιαφέρει;", "τι είδους τρίγωνο είναι;", "τι ισχύει για τις γωνίες αυτού του τριγώνου;". 
Εκείνη τη στιγμή, φαντάστηκα πως η άσκηση είναι ένα επιτραπέζιο παιχνίδι και κάπως έτσι, εντέλει, την παρουσίασα στα παιδιά, που έδειξαν να τη διασκεδάζουν.

Όμως, αλίμονο, αν το ζητούμενο στο μάθημα είναι αποκλειστικά η διασκέδαση! Δυστυχώς αυτό έχει καλλιεργηθεί στους μαθητές μέσω των σύγχρονων παιδαγωγικών θεωριών, που απαιτούν να είναι όλα τα προς μάθησιν τουλάχιστον διασκεδαστικά! Αλίμονο! Το κακώς νοούμενο παιδαγωγικό μόρφωμα δίνει εξαίρετα άλοθι στους μαθητές, όπως: "γιατί να το διαβάσω αφού δεν είναι ενδιαφέρον;", "γιατί να ασχοληθώ με αυτό, αφού δεν μου αρέσει;" κι άλλα τέτοια, που ολοένα αυξάνουν και κρύβουν από πίσω τους τα πραγματικά προβλήματα.. Πότε θα σκύψουμε πάνω σ' αυτά;

Είναι πραγματικά ανησυχητικό το πόσο δυσκολεύονται οι μαθητές μας να ξεδιαλύνουν ποιο είναι το ζητούμενο σε κάθε άσκηση. Και πόσο δυσπιστούν όταν "τελειώνει" μια άσκηση! "Δηλαδή τέλειωσε τώρα;", ρωτούν συχνά, αποδεικνύοντας ότι αδυνατούν να παρακολουθήσουν το συλλογισμό, και μάλιστα μαθητές που γενικά θεωρούνται "καλοί"!
Είναι ανησυχητικό το πόσο δυσκολεύονται να κατανοήσουν μια εκφώνηση, ακόμη και σε πολύ απλές περιπτώσεις. Και είναι πραγματικά ανησυχητικό το ότι η πλειοψηφία των παιδιών έχει χάσει την ικανότητα να αντιλαμβάνεται τον πλέον στοιχειώδη παραγωγικό συλλογισμό, όπως: "Αν όλα τα στοιχεία του συνόλου Ω έχουν την ιδιότητα α και το χ είναι ένα στοιχείο του Ω, τότε το χ  έχει υποχρεωτικά την ιδιότητα α"... Και τα προβλήματα αυτά δεν είναι φαινόμενα που παρατηρούνται  στην Α' Λυκείου αποκλειστικά. Παρατηρούνται εξ ίσου στη Β' και στη Γ΄ και- όπως φαίνεται από τα λεγόμενα και τις μαρτυρίες  Πανεπιστημιακών καθηγητών- συνεχίζονται ακόμη παραπέρα...
Φοβάμαι πως αν δεν ληφθούν δραστικά μέτρα άμεσα, τουλάχιστον στον τρόπο που μαθαίνουν τα παιδιά τη γλώσσα, θα φτάσουμε να χαιρόμαστε τον μαυροπίνακα μόνοι μας, Γιάννης πίνει, Γιάννης κερνάει, γράφοντας, λύνοντας, σβήνοντας και παίζοντας  φανταστικά επιτραπέζια παιχνίδια, με τον εαυτό μας που θα μιλάει μια εντελώς διαφορετική γλώσσα από αυτήν των μαθητών μας.

Και για να προλάβω όσους σκοπεύουν να μου πουν τα γνωστά περί της 'παρωχημένης' μορφής μαθήματος (μαυροπίνακας, σφουγγάρι, κιμωλία) στην εποχή της προηγμένης Τεχνολογίας και του "ηλεκτρονικού σχολείου", θα απαντήσω προκαταβολικά, επικαλούμενη τη γνώμη των καθ' ύλην ειδικών, δηλαδή των κορυφαίων επιστημόνων της υψηλής τεχνολογίας  και τον τρόπο που επιλέγουν αυτοί για να μορφώσουν τα δικά τους παιδιά στη Μέκκα της τεχνολογίας, όπου το μολύβι, το χαρτί και το χάρτινο βιβλίο είναι τα μόνα εργαλεία διδασκαλίας που κρίνονται αποδεκτά. ...
 Όποιος δεν κατάλαβε ακόμη σε τι αναφέρομαι, μπορεί να ξαναδιαβάσει το σχετικό άρθρο εδώ.
Επίσης καλό θα είναι να ακούσει και την πολύ ενδιαφέρουσα εκπομπή "Δημόσια και Ιδιωτικά", εδώ, όπου στο πρώτο κιόλας πεντάλεπτο ο Τεύκρος Μιχαηλίδης*, ως οικοδεσπότης, και ο Αντώνης Μελάς**, ως καλεσμένος, μας περιγράφουν τη μειωμένη συλλογιστική ικανότητα της πλειοψηφίας των σημερινών φοιτητών.. 
Κάτι φαίνεται πως δεν γίνεται γενικώς σωστά..Και σίγουρα δεν γίνονται σωστά οι "μαθηματικοί συλλογισμοί" από τα περισσότερα παιδιά..
 -----------------------------------------------------------------------
*Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης είναι διδάκτορας Μαθηματικών, καθηγητής στη Μ.Ε., συγγραφέας, μεταφραστής
**Ο Αντώνης Μελάς είναι καθηγητής στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Αθηνών.

Κυριακή, 19 Φεβρουαρίου 2012

ΤΑ ΤΕΣΣΕΡΑ ΧΡΩΜΑΤΑ ΤΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΟΥ στην καρδιά του χειμώνα..

Τον Οκτώβριο του 2011 κυκλοφόρησαν από τις εκδόσεις ΠΟΛΕΙΣ "ΤΑ ΤΕΣΣΕΡΑ ΧΡΩΜΑΤΑ ΤΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΟΥ", του Τεύκρου Μιχαηλίδη. Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, ιδιαίτερα αγαπητός στα μέλη της αναγνωστικής μας λέσχης, η οποία ονομάζεται Ζεύξις, εδρεύει στη Θεσσαλονίκη και λειτουργεί από το 2007, αποτελεί την πρώτη μας επιλογή κάθε φορά που εκδίδεται ένα νέο του μυθιστόρημα.
Είθισται να διαβάζουμε αρχικά το βιβλίο κατά μόνας, να συναντιόμαστε μετά για να το συζητήσουμε όλοι μαζί και τέλος να  καλούμε τον συγγραφέα  στη συντροφιά μας, για να ανταλλάξουμε μαζί του όλα τα ανταλλάξιμα που προσφέρει η συγγραφή ενός βιβλίου όταν συνδυαστεί  με την ανάγνωσή του  από μια ομάδα ετερόκλητων αναγνωστών.  Γνώσεις, συναισθήματα, αμφισβητήσεις, αγωνίες, φαντασιώσεις, διασυνδέσεις, πειράγματα, χιούμορ, αποδοχή, σεβασμός, πληρότητα, προβληματισμός, συμμετοχή, απόρριψη, αναζήτηση, αντίθεση, σύνθεση, χαλάρωση, διεύρυνση, ενατένιση, διερεύνηση, ενθουσιασμός... Σταματώ να αναγράφω τα "ανταλλάξιμα" μεταξύ συγγραφέα και αναγνωστών, επειδή όσα και να γράψω όλο και κάτι θα παραλείψω και ποτέ δεν θα καλύψω τη λίστα των παρεχόμενων μέσω της συμμετοχικής ανάγνωσης, πολύ δε περισσότερο όταν ο συγγραφέας του μυθιστορήματος είναι ένας τόσο πολυσχιδής χαρακτήρας όπως είναι ο Τεύκρος Μιχαηλίδης. Μαθηματικός, μεταφραστής, συγγραφέας, παραμυθάς, επιστήμονας, φίλος, άνθρωπος [και όπως ανακαλύπτω αυτή τη στιγμή, ακούγοντας  Athens 98,4, και οικοδεσπότης μουσικοεπιστημονικής εκπομπής σε συνέντευξη με τον καθηγητή Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, Αντώνη Μελά!!  :) ]
                                                 
                                     
Να επιστρέψουμε όμως στο καλοκαίρι και στα τέσσερα χρώματα ή   καλύτερα να επιστρέψουμε  στην ιστορία της συγγραφής αυτού του μυθιστορήματος, όπως μας την αφηγήθηκε χθες το βράδυ στη λέσχη ανάγνωσης ο Τεύκρος Μιχαηλίδης. Πρόκειται για μια εξίσου γοητευτική  και πιθανόν κατά τι γοητευτικότερη ιστορία και από αυτήν ακόμη που παρουσιάζεται στο ίδιο το μυθιστόρημα!
Είμαι σχεδόν βέβαιη πως αν μεταξύ των μελών της λέσχης μας υπήρχε ένας επίδοξος συγγραφέας, θα μπορούσε κάλλιστα να αντλήσει  από την ιστορία της συγγραφής των τεσσάρων χρωμάτων του καλοκαιριού υλικό ικανό για να γράψει ένα καινούριο μυθιστόρημα! Από την άλλη πλευρά δε ο απολαυστικός και παράλληλα μεθοδικός τρόπος με τον οποίον ο Τεύκρος Μιχαηλίδης παρουσίασε το χρονικό της συγγραφής του τελευταίου του μυθιστορήματος, θα μπορούσε ανεπιφύλακτα να χαρακτηριστεί ως ένα συναρπαστικό μάθημα δημιουργικής γραφής, όπως αρκετοί από εμάς που το παρακολουθήσαμε με πολλή προσοχή το αντιληφθήκαμε παρά τις προθέσεις του ίδιου του συγγραφέα, που όπως μας διαβεβαίωσε δεν  απέβλεπε παρά μόνο στο να αφηγηθεί την ιστορία με την ιδιότητα του παραμυθά! Κάπως έτσι.
Μια φορά κι έναν καιρό...χτύπησε το τηλέφωνο  "φτιάξε μου μια εκπομπή με εφτά τραγούδια.. για το ραδιόφωνο!"... Έτσι ξεκίνησαν όλα. Μου θύμισε το "εφτά τραγούδια θα σου πω για να διαλέξεις τον σκοπό που θα μου πεις για να σου πω το σ' αγαπώ..." Ο δημοσιογράφος, από την άλλη άκρη της γραμμής, ζήτησε από τον συγγραφέα να επινοήσει μια ιστορία στην οποία τα εφτά τραγούδια θα εντάσσονταν λειτουργικά και θα αποτελούσαν πηγή άντλησης των ηρώων, των ιστορίων, των συναισθημάτων...
Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, που από όσο γνωρίζω δεν λέει ποτέ όχι σε τέτοιου είδους προκλήσεις, επέλεξε εφτά τραγούδια που αγαπάει ιδιαίτερα και με αυτά έφτιαξε μια ιστορία που ήταν όμως αρκετά μεγάλη για να χωρέσει σε μια μόνο ραδιοφωνική εκπομπή! Προβληματιζόταν για το πώς θα τη συντόμευε, ώστε να ανταποκρίνεται στους χρονικούς περιορισμούς που έθετε η εκπομπή κι αυτό τον στεναχωρούσε αρκετά, όπως θα στεναχωρούσε τον κάθε συγγραφέα που του ζητούν να συμπιέσει το πόνημά του ή τον κάθε επιστήμονα που του επιβάλλουν περιορισμούς  στο ερευνητικό του πεδίο για λόγους οικονομίας και μόνο... Ευτυχώς όμως ήρθε η οικονομική κρίση να σώσει τον συγγραφέα μας!!
Η έλλειψη χρημάτων με τις περικοπές που επέβαλε στις ραδιοφωνικές εκπομπές είχε ως αποτέλεσμα να ακυρωθεί η προγραμματισμένη παρουσίαση της ιστορίας που είχε επινοηθεί για να γεφυρώνει τα εφτά προεπιλεγμένα τραγούδια.. Έτσι ένα τηλεφώνημα, ως από μηχανής θεός, έβγαλε τον συγγραφέα από τη στενάχωρη θέση και προς στιγμήν τον...στεναχώρησε ακόμη περισσότερο!!
Τζάμπα κόπος και τζάμπα τόσο υλικό, σκέφτηκε.. Προς στιγμήν όμως κι αυτό επειδή, όπως σοφά λέει ο λαός, το καλό το παλικάρι ξέρει κι άλλο μονοπάτι! Και διαπιστωμένα ο ΤΜ γνωρίζει καλά πολλά μονοπάτια και μεταξύ αυτών γνωρίζει πολύ καλά τα μονοπάτια της αφήγησης!!
Αποτέλεσμα αυτής της ματαιωμένης, εντέλει, ραδιοφωνικής εκπομπής υπήρξε η έμπνευση από τα εφτά τραγούδια, η Σέριφος, η εκμετάλλευση των μεταλλείων της από τους Γερμανούς, ο πρώτος παγκόσμιος πόλεμος, ο δεύτερος, η διαπόμπευση των γυναικών που συνδέθηκαν ερωτικά με γερμανούς στρατιώτες, το γαλάζιο, η θάλασσα ο ουρανός, το μαθηματικό πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων, το κόκκινο, οι ολόδροσες φέτες καρπούζι και οι ιβίσκοι, η Ερνεστίν, τα καθίσματα των θερινών των σινεμά, το κιτρινισμένο τετράδιο, η αγωνία της αναζήτησης, η αγωνία του έρωτα, το λευκό, τα αφρισμένα κύματα, τα κυκλαδίτικα σπίτια, οι αγράμπελες, ο Λαντάου, το Γκέτιγκεν, ο διωγμός των εβραίων καθηγητών από το Πανεπιστήμιο, τα πεύκα, τα γιασεμιά, ο Χίλμπερτ, τα φούλια στις αυλές... οι ματωμένοι εργάτες, τα κλασικά έργα της λογοτεχνίας, οι διαχρονικοί ήρωες, η Δανάη, οι μύθοι που μας κρατάνε ζωντανούς, οι αλήθειες, τα ψέματα, οι σωστές και οι λάθος αποδείξεις..
Όλα αυτά σε αναλογίες που ορίζονται από τη μαθηματική ακρίβεια που διαθέτει ο Τεύκρος Μιχαηλίδης στους συλλογισμούς του, όπως φάνηκε, για μια ακόμη φορά, στην εκτενή συζήτηση που έγινε χθες βράδυ στην αναγνωστική μας λέσχη...
Στο βιβλίο που γράφτηκε τελικά εξαιτίας εκείνης της ραδιοφωνικής εκπομπής που δεν έγινε ποτέ, δεν περισσεύει τίποτα, ούτε μια τόση δα λεξούλα...Τα αφηγηματικά μονοπάτια επιλέχτηκαν σωστά μέσω ...ενδεδειγμένων μαθηματικών τεχνικών. "Δεδομένα, ζητούμενο...Ιδού, λύσε το πρόβλημα!", φάνηκε να λέει στον εαυτό του ο μαθηματικό-συγγραφέας μας και το έλυσε με αποτέλεσμα  τα Μαθηματικά και η Λογοτεχνία να εναρμονίζονται πλήρως, άλλοτε εμφανώς κι άλλοτε όχι, στις 147  σελίδες του  βιβλίου που έχουν ως φόντο της ιστορίας τον επαναλαμβανόμενο όλεθρο του πολέμου σε τοπικό και σε παγκόσμιο επίπεδο, το μαθηματικό πρόβλημα που δίχασε την κοινότητα των μαθηματικών ως προς το τι σημαίνει "απόδειξη", τα τέσσερα, σχεδόν διακριτά, όμορφα χρώματα του ελληνικού καλοκαιριού και τον επαναλαμβανόμενο αμοιβαίο ερώτα, που προκάλεσε τόση συζητήση μεταξύ των μελών της λέσχης μας!
"Πώς είναι δυνατόν να είναι και οι τρεις έρωτες στο βιβλίο σας αμοιβαίοι;", ρώτησαν κάποιοι που φαίνεται να προτιμούν την ταλαιπώρια των ανεκπλήρωτων ερώτων...
"Είναι.", απάντησε γελαστά ο συγγραφέας. "Και είναι επειδή μόνο αυτοί οι έρωτες με ενδιαφέρουν. Αν κάποιος ταλαιπωρείται από έναν ανεκπλήρωτο έρωτα, αυτό είναι δικό του πρόβλημα. Είναι κάτι που υπάρχει στο κεφάλι του και δεν με αφορά. Όταν όμως δυο ερωτευμένοι άνθρωποι χωρίζονται βίαια και παρά τη θέλησή τους από τη δίνη των γεγονότων, τότε λέω πως αξίζει να σκύψω στοργικά πάνω στον έρωτά τους και να γράψω γι' αυτόν..."

 ---------------------------------------------------------------------------------
Κι έγραψες Τεύκρο Μιχαηλίδη!
Θέλω να σε ευχαριστήσω που με τα τέσσερα χρώματα του καλοκαιριού μας χάρισες τόσο όμορφες, τρυφερές και ανθρώπινες στιγμές, ενώ βρισκόμαστε βυθισμένοι στην καρδιά ενός πολύ σκληρού, απάνθρωπου και ασύμμετρου χειμώνα..
Επίσης θέλω να σου υπενθυμίσω ότι περιμένω εναγωνίως να διαβάσω το επόμενο μυθιστόρημά σου... Γνωρίζω ήδη πως έχει σχέση με τη συμμετρία κι αδημονώ να μάθω ολόκληρη την ιστορία :))

Πέμπτη, 16 Φεβρουαρίου 2012

ΟΙ "ΚΑΛΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ" στην κορυφή του παγόβουνου!

Όταν μπαίνει κανείς το πρωί της Τσικνοπέμπτης  να κάνει Άλγεβρα σε τμήμα της Β' Λυκείου, μπορεί να βρεθεί αντιμέτωπος με τις πλέον περίεργες  και χιουμοριστικές καταστάσεις, όπως αυτή, για παράδειγμα, στην οποία βρέθηκα εγώ σήμερα, αμέσως μόλις δρασκέλισα την πόρτα του Βx! Γενικά είναι ασύνηθες το φαινόμενο της κατάμεστης αίθουσας στις 8.15 το πρωί σε ένα τμήμα της Β΄ Λυκείου, ανεξάρτητα από το διδασκόμενο μάθημα. Εντούτοις, σήμερα ήταν και οι τριάντα εκεί.  Απαξάπαντες! Και μάλιστα δέκα από τους τριάντα, μεταξύ των οποίων και οι μαθητές με το ελάχιστο δυνατόν ενδιαφέρον για το μάθημα της  Άλγεβρας, είχαν μεταμφιεστεί σε "καλούς μαθητές"  της δεκαετίας του 70!! Γυαλάκια στρογγυλά, πουκαμισάκια εφαρμοστά με καρό ντεσέν , κουμπωμένα μέχρι τον γιακά, παντελόνια με γραμμή ξεχασμένη από καιρό, ζώνες παλαιικές, τιράντες, γραβατούλες κι άλλα τινά αξεσουάρ που δεν συνηθίζουν να συμπεριλαμβάνουν στο βεστιάριο τους οι σύγχρονοι μαθητές,  είχαν καταφέρει να μεταμορφώσουν την εικόνα της τάξης. Πολύ δε περισσότερο που αυτοί οι μεταμφιεσμένοι μαθητές είχαν αλλάξει ολοσχερώς τη συνήθη διάταξη των καθισμάτων και είχαν καταλάβει τα πλέον κεντρικά θρανία, στα οποία κάθονταν άκαμπτοι, αμίλητοι, σοβαροί και με χέρια σταυρωμένα!!
Μου ήρθε να .... σταυροκοπηθώ από  έκπληξη, αντικρύζοντας το ασύνηθες μαθητικό μου κοινό :) Τελικά, χωρίς  να επικαλεστώ τον Χριστό και τον Απόστολο σταυροκοπούμενη μπροστά στο απίθανο θέαμα, ξέσπασα σε γέλια  τόσο τρανταχτά, που φάνηκε να ξαφνίαζουν ακόμη και τους δέκα μεταμφιεσμένους που τα είχαν προκαλέσει. Κι όσο εγώ συνέχιζα να γελάω δυνατά τόσο οι δέκα μεταμφισμένοι σφίγγονταν ακόμη περισσότερο στην ούτως ή άλλως ασφυκτική περιβολή τους και άλλο τόσο χαλάρωναν οι υπόλοιποι είκοσι, κάποιοι από τους οποίους φορούσαν μικρές κορώνες ή αυτάκια ή γιρλάντες ή είχαν περιοριστεί να βάψουν απλώς περίεργα τα πρόσωπά τους για να συμμετέχουν κι αυτοί ψυχή τι και σώματι στο εθιμοτυπικό της Τσικνοπέμπτης.
Ταλαντεύτηκα προς στιγμήν στο πώς θα έπρεπε να διαχειριστώ τον χρόνο μου, που ούτως ή άλλως δεν αρκεί για να διδάξουμε όλα όσα πρέπει, ακόμη και στην Άλγεβρα της Β' που έχει μειωθεί αλόγιστα.. Όμως το να επιβάλω στους "καλούς μαθητές" του ΄70  το τυπικό αλγεβρικό μάθημα, που είχα σχεδιάσει το 2012 και που προέβλεπε τις αντίστροφες εξισώσεις, μου φάνηκε εντελώς παράτερο τόσο με το σκηνικό όσο και με τις προσδοκίες των μεταμφιεσμένων παιδιών. Έτσι, αφού κάποτε σταμάτησα να γελώ και σοβαρεύτηκα και αφού τους επικρότησα αρκούντως για τις ενδυματολογικές τους επιλογές, για τις στυλιστικές τους δεξιότητες, αλλά και για την ιδιαίτερα σοβαρή και καθώς πρέπει  στάση τους στο μάθημα, ζήτησα στη συνέχεια να ασχοληθούμε με ένα πολύ ενδιαφέρον και διδακτικά χρήσιμο πρόβλημα. Συγκεκριμένα τους ζήτησα να διαβάσουν στη σελίδα 155 του βιβλίου τους την άσκηση 8.

Ο ήλιος ενός πλανητικού συστήματος με την πάροδο του χρόνου γίνεται άλλοτε θερμότερος και άλλοτε ψυχρότερος. Έχει εκτιμηθεί ότι η θερμοκρασία Τ σε βαθμούς Κελσίου στην επιφάνεια ενός πλανήτη του συστήματος, μετά από x εκατομμύρια χρόνια θα είναι: T=10x3-100x2+270x-180.

i) Μετά πόσο χρόνο θα έρθει το τέλος των παγετώνων του πλανήτη;
ii) Πότε θα αρχίσει ο επόμενος παγετώνας και πόσο θα διαρκέσει;  

Κάποιοι, ελάχιστοι, σήκωσαν το χέρι για να πουν πώς θα λύσουμε την άσκηση, αλλά οι περισσσότεροι έμοιαζαν συνοφριωμένοι. Πρόσεξα τους δέκα μεταμφιεσμένους μαθητές που διάβαζαν προβληματισμένοι την εκφώνηση. "Πραγματικά έχουν μπει στο πετσί του ρόλου που υποδύονται", σκέφτηκα και, για να αφήσω χρονικά περιθώρια σε όλους να σκεφτούν τη λύση της άσκησης, πρότεινα να απαντήσουμε αρχικά σε κάποια έμμεσα, πλην καίρια και βοηθητικά, ερωτήματα που προέκυπταν από την εκφώνηση. 
"Από πού προκύπτει η πληροφορία πως στον πλανήτη επικρατεί τώρα παγετώνας;" Φανταζόμουν πως θα σηκωθούν όλα σχεδόν τα χέρια για να δώσουν τη σωστή απάντηση. Ένα δυο χέρια μόνο σηκώθηκαν και οι απαντήσεις τους ήταν περίπλοκες και λανθασμένες, όπως "επειδή οι δύο όροι είναι θετικοί και οι άλλοι δύο αρνητικοί"!
 Η αλήθεια είναι ότι στη Β' Λυκείου ακολουθώ κι εγώ, όπως οι περισσότεροι διδάσκοντες, το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών, το οποίο εκ των πραγμάτων δεν ρίχνει το βάρος στην επίλυση προβλημάτων, αλλά περιορίζεται, όπως ακριβώς και το σύνολο των προγραμμάτων, στη διδασκαλία ενός στεγνού φορμαλισμού που δεν αντιστοιχεί σε καταστάσεις και δεν αντλεί νόημα από κάποιο ρεαλιστικό πλαίσιο, στο επίπεδο τουλάχιστον που αυτό είναι εφικτό. 
Ωστόσο, επειδή  είχα κάνει στις 2 του Φλεβάρη αναλυτικά στην τάξη το πρόβλημα 9 της σελίδας 80, με το παγόβουνο που λιώνει, και δεδομένου ότι εννοιολογικά τα δύο προβλήματα ήταν της  ίδιας περίπτωσης, φαντάστηκα ότι οι παγετώνες θα ήταν για τους μαθητές μου παιχνιδάκι. Δυστυχώς αποδείχτηκε πως δεν ήταν. Ευτυχώς προκάλεσαν μια εκτενή συζήτηση για το τι σημαίνει "μαθηματικό μοντέλο" και πώς οι επιστήμονες μοντελοποιούν, μέσω προσεγγίσεων,  επιδιώκοντας να κάνουν προβλέψεις, απαραίτητες για τη λήψη κρίσιμων αποφάσεων.
--------------------------------------------------------------------------
....Βέβαια στην επιστημονικά ενδεδειγμένη ορθότητα των αποφάσεων παρεμβαίνουν συνήθως μείζονα οικονομικά συμφέροντα ή ελάσσονες πολιτικοί και στρεβλώνουν τους ορθολογικούς νόμους και τους ασφαλείς κανόνες, δημιουργώντας προβλήματα. Το χειρότερο όλων δε είναι πως  τα εν λόγω προβλήματα συχνά δεν γίνονται αντιληπτά στο σύνολό τους, όπως ακριβώς και τα παγόβουνα, στα οποία διακρίνει κανείς μόνο την κορυφή, που είναι το 10% του συνολικού όγκου τους. Και αλίμονο δηλαδή, αν δεν βρεθεί ένα ικανό "μάτι" να μετρήσει τον κίνδυνο και να κάνει κάποια διορθωτική παρέμβαση ή έστω..ερμηνευτική διόρθωση...τροπολογία..ή όπως αλλιώς τα λένε οι νομικοί :)
Αυτά τα τελευταία, περί πολιτικών και οικονομικών συμφερόντων δεν τα συζητήσαμε στην τάξη, επειδή στο μεταξύ χτύπησε το κουδούνι (το οποίο μας κόβει πάντα στο καλύτερο :) ), αλλά τα σκεφτόμουν εγώ στο διάλειμμα, ως συνέχεια του μαθήματος που έγινε λόγω της μεταμφίεσης δέκα μαθητών σε "καλούς μαθητές", οι οποίοι μπαίνοντας στο πετσί του ρόλου τους παρακολούθησαν, ανέλπιστα,  συγκεντρωμένοι και σοβαροί  το "προσαρμοσμένο" στις ανάγκες της περίστασης μάθημα της Άλγεβρας. 
Και ήταν σαν να είχαν αντιληφθεί ξαφνικά, έτσι ντυμένοι με τις φαιδρές τους παλιομοδίτικες αμφιέσεις, πως πρέπει, επιτέλους, όλοι μας να σοβαρευτούμε, επειδή διαπιστωμένα πλέον δεν βρισκόμαστε  πάρα μόνο στην κορυφή ενός θεόρατου και πολύ επικίνδυνου παγόβουνου, που είναι πιθανόν ότι ξεκίνησε την πορεία του εκεί κάπου μετά το ΄70!
-------------------------------------------------------------------------------
Να συμπληρώσω δε το σχόλιο της απουσιολόγου, όταν μου έφερε να υπογράψω το απουσιολόγιο:
"Πρώτη φορά, κυρία, την πρώτη ώρα είναι όλοι παρόντες!"
"Νομίζω πως στο εξής σε κάθε μάθημα θα πρέπει εκ περιτροπής οι μισοί μαθητές να μεταμφιέζονται σε "καλούς μαθητές", της απάντησα, χωρίς να αστειεύομαι ...
--------------------------------------------------------------------------------
[Η ανάρτηση είναι αφιερωμένη εξαιρετικά στους δέκα! ]



Παρασκευή, 3 Φεβρουαρίου 2012

"ΑΠΕΛΘΕΤΩ ΑΠ' ΕΜΟΥ ΤΟ... ΤΡΑΠΕΖΙΟΝ ΤΟΥΤΟ"

Όταν έφτασα το πρωί στο σχολείο, βρήκα τον Διευθυντή στο γραφείο των καθηγητών να ενημερώνει τους συναδέλφους, τους λίγους που είχαν φτάσει πριν από μένα, για μια καινούρια μαθήτρια που ήρθε στο σχολείο μας. Μετεγγραφή από ένα ιδιωτικό. Ο λόγος της μετεγγραφής δεν αναφέρθηκε ούτε και ζήτησα να τον μάθω. Πληροφορήθηκα μόνο πως πρόκειται για άριστη μαθήτρια και πως  εντάχτηκε τελικά στο x τμήμα της Β', με το οποίο είχα εγώ μάθημα την πρώτη ώρα. Έτσι μου έτυχε να είμαι αυτή που θα έπρεπε να συστήσει την καινούρια μαθήτρια στην τάξη. Δεν είναι και εύκολο για ένα παιδί να αλλάζει σχολικό περιβάλλον στη μέση της χρονιάς! Αφού, λοιπόν, ενημέρωσα τους μαθητές και τις μαθήτριες του τμήματος για την άφιξη του νέου μέλους λέγοντας το όνομά του, σκέφτηκα πως θα έπρεπε να συστηθώ στη μαθήτρια και  να της πω  τι μαθήματα διδάσκω, να γνωρίσει το παιδί με ποια έχει  να κάνει. Αμέσως μετά, και πριν αρχίσω το μάθημά μου, την ρώτησα   πού είχαν φτάσει στη Γεωμετρία στο σχολείο που πήγαινε πριν. Το κορίτσι με κοίταξε με ένα βλέμμα σαστισμένο, σαν να αιφνιδιάστηκε. "Να υποθέσω πως είσαστε κάπου στα εμβαδά;", ρώτησα για να τη διευκολύνω. Ξεροκατάπιε, συνοφρυώθηκε και μου απάντησε: "Ξέρετε, ήμασταν χωρισμένοι σε κατευθύνσεις. Εμείς της Θεωρητικής δεν κάναμε και πολλή Γεωμετρία, εεε, δηλαδή κάναμε κάτι λίγα πράγματα...". Δεν θέλησα να τη φέρω σε ακόμη πιο δύσκολη θέση, καλά καλά δεν είχε φτάσει στο καινούριο της σχολείο, γι' αυτό και δεν συνέχισα, αν και θα ήθελα πολύ να τη ρωτήσω "πόσο λίγα πράγματα, δηλαδή, κάνατε;". Από την άλλη δεν ήθελα να ακούσουν οι δικοί μου μαθητές πως σε κάποια σχολεία "δεν κάνουν  και πολλή Γεωμετρία", γιατί ομολογώ πως δαπάνησα πολύ χρόνο κι ακόμη περισσότερη ενέργεια, μέχρι να πείσω τους μαθητές του συγκεκριμένου τμήματος, ανεξαρτήτως κατεύθυνσης, να παρακολουθούν το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Και φυσικά δεν επαναπαύομαι στη σκέψη πως οι μαθητές έχουν πειστεί για τα πολλαπλά οφέλη που αποκομίζει κανείς μελετώντας τη Γεωμετρία, γιατί μάλλον δεν έχουν πειστεί εντελώς. Γι'αυτό σε κάθε ώρα του μαθήματος, με κάθε ( ανθρωπίνως δυνατό) τρόπο φροντίζω να γίνεται καταφανής η δύναμη της παραγωγικής-επαγωγικής μεθόδου που χρησιμοποιεί η Γεωμετρία, η οποία μας διδάσκει εκτός των άλλων και το πώς να αντιμετωπίζουμε προβλήματα που δεν σχετίζονται μόνο με θέματα των Μαθηματικών, αλλά, σχεδόν, με κάθε θέμα της καθημερινότητάς μας.
Ειδικά δε στο σημερινό μάθημα, μετά τη δήλωση της νεόφερτης μαθήτριας περί της όχι πολλής ενασχόλησής τους με τη Γεωμετρία στο προηγούμενο σχολείο της, όφειλα να δώσω μια ιδιαίτερα προσεγμένη "παράσταση" που δεν θα άφηνε περιθώρια για σκέψεις κατά του μαθήματος :)

Ευτυχώς που οι ασκήσεις στα εμβαδά, ειδικά αυτές που μοιάζουν με το κινέζικο  tangram προσφέρονται ιδιαίτερα για έντονο προβληματισμό, για παρατήρηση, για εμπρόθετο συνδυασμό θεωρητικών και εμπειρικών δεδομένων, για ενατένιση, για κριτική σκέψη και φυσικά για ...παιχνίδι και ψυχαγωγία! 
Ζήτησα από τους μαθητές να ασχοληθούν με την ακόλουθη άσκηση:  'Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ). Αν Ε είναι το μέσον της ΑΔ, να δείξετε ότι (ΑΒΓΔ) = 2(ΒΕΓ)'  (άσκηση Απ. 4,  σελ. 217, σχολικού),  διευκρινίζοντας αναλυτικά τα στάδια του "παιχνιδιού":
Προσπαθήστε, αρχικά, να μετασχηματίσετε το "κακοφορμισμένο" τραπέζιο, σε  ένα ισοδύναμο σχήμα το οποίο μπορείτε να διαχειριστείτε καλύτερα, δηλαδή μετασχηματίστε το σε ένα σχήμα που σας προσφέρει "σύμμετρες καταστάσεις". Έχετε υπόψη σας τους transformers... Κι από την άλλη έχετε υπόψη σας πως δεν αντιμετωπίζονται εύκολα οι "ασύμμετρες απειλές"! :)

Μετά  "ακτινογραφήστε" το σχήμα και προσπαθείστε να το αναλύσετε  στα εξ ων συνετέθη..

Επανατοποθετήστε τα κομμάτια με κατάλληλο τρόπο και... αυτό ήταν όλο!
Τώρα "κωδικοποιήστε" σωστά τις πληροφορίες σας και διατυπώστε, με μια λογική ακολουθία βημάτων, την απόδειξη..
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Σε τι διαφέρει η παραπάνω διαδικασία  από ένα επιτραπέζιο παιχνίδι που αυξάνει την παρατηρητικότητα, που καλλιεργεί την κριτική σκέψη και  ωθεί τους παίκτες στην ανάπτυξη στρατηγικών, οι οποίες εφαρμόζονται κάθε φορά  σε  ανάλογες καταστάσεις "ασύμμετρων απειλών", είτε είναι εντός είτε εκτός ... του επιπέδου;
Σε τίποτα απολύτως, θα έλεγα. Επιπροσθέτως δε η ενασχόληση με τέτοιες ασκήσεις συμβάλλει τα μέγιστα στην "κατανόηση του κειμένου". Η αδυναμία κατανόησης κειμένου από τους μαθητές, ανεξαρτήτως κατευθύνσεως, παρατηρείται πολύ συχνά στο μάθημα της Γεωμετρίας. Και αν τις περισσότερες φορές υφέρπει η πεποίθηση πως οι μαθητές δεν κατανοούν το κείμενο, επειδή δεν γνωρίζουν τις γεωμετρικές έννοιες που αναφέρονται σ' αυτό, υπάρχουν πολλές φορές που γίνεται καταφανές ότι η αδυναμία κατανόησης δεν οφείλεται σε άγνοια γεωμετρικών εννοιών, αλλά σε αδυναμία κατανόησης της γλώσσας. Σήμερα το διαπίστωσα για μια ακόμη φορά, όταν, αφού επιτυχώς ολοκληρώσαμε την προηγούμενη άσκηση, (εννοείται με συνεχείς δικές μου παρεμβάσεις), ζήτησα από μια μαθήτρια να διαβάσει δυνατά την επόμενη άσκηση του σχολικού, που σε ελεύθερη απόδοση έλεγε το εξής: "Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζίου ισούται με το γινόμενο της μιας μη παράλληλης πλευράς του επί την απόσταση του μέσου της άλλης από αυτήν"!! Μόλις τέλειωσε η μαθήτρια την ανάγνωση βούιξε η τάξη: "Δηλαδή;". "Τι εννοεί;". "Τι σημαίνει αυτό;"  Καθώς εγώ δεν απαντούσα, τα κεφάλια  στρέφονταν αναζητώντας με στο χώρο. Στεκόμουν στο πίσω μέρος της αίθουσας, δίπλα από την τετράδα που αποτελεί την..."ασύμμετρη απειλή" του μαθήματός μου και με αναγκάζει να στέκομαι αρκετή ώρα μακριά από τον πίνακα και πάνω από τα κεφάλια τους. Άλλο μέτρο με αυτούς τους τέσσερις δεν πιάνει!  Καθώς δεν είχα ούτε το βιβλίο στα χέρια μου, αλλά ούτε και τα γυαλιά μου φορούσα, αναγκάστηκα να επαναλάβω την άσκηση δυο τρεις φορές, απ' έξω. Επέμενα να μη δίνω καμιά επιπλέον εξήγηση με την ελπίδα πως θα βρεθεί κάποιος που θα κατανοούσε τι έλεγε η άσκηση και θα απαντούσε στους συμμαθητές του, αντί για μένα. Θα την έλεγα απ' έξω για τέταρτη φορά, όταν ο ένας εκ των τεσσάρων της "ασύμμετρης απειλής" μου, γύρισε με κοίταξε με μια έκφραση που κάτω από άλλες συνθήκες μπορεί και να την έλεγα "έκφραση θαυμασμού" και μου είπε: "Πώς μπορείτε και το λέτε όλο αυτό το ακαταλαβίστικο απ' έξω;".  
Ο συγκεκριμένος μαθητής δεν ήταν ο μόνος που χαρακτήρισε "ακαταλαβίστικη" την εκφώνηση της άσκησης. Με ελάχιστες εξαιρέσεις, τελικά, οι μαθητές δεν μπορούσαν να "κατανοήσουν" το σύντομο κείμενο της εκφώνησης. Οι  μισοί και περισσότεροι στο τμήμα αυτό είναι θεωρητικής κατεύθυνσης! Θεωρητικά, τουλάχιστον, έχουν μια έφεση στη γλώσσα και στην πλειοψηφία τους απεχθάνονται τα Μαθηματικά. Όπως είπα και προηγουμένως, κουράστηκα να τους πείσω ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία έχει να τους  διδάξει πολλά και - παρόλο που δεν τους ανταμείβω άμεσα με τριώβολον* - τελικά λόγω της δουλειάς που κάνουμε στην τάξη και λόγω  αυτών που κερδίζουν  από κάθε διδακτική ώρα της Γεωμετρίας  έχουν καταλάβει τα οφέλη που αποκομίζουν, γι' αυτό συμμετέχουν, άλλοι περισσότερο κι άλλοι λιγότερο, στο μάθημα.
 Οι μαθητές, αν αναλώσει κανείς τον απαιτούμενο χρόνο και αναμφιβόλως πολλή ενέργεια, μπορούν, όπως φαίνεται τελικά, να καταλάβουν κάτι από το μεγαλείο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και να μην την αποστρέφονται λέγοντας "απελθέτω απ' εμού το ποτήριον τούτο".          
Σε αντίθεση όμως με τους μαθητές   υπάρχουν, δυστυχώς,  πολλοί συνάδελφοι εκπαιδευτικοί ή ακόμη και  ολόκληρα σχολεία,  που  δεν αντιλαμβάνονται ότι η μονομερής γνώση δεν αρκεί και, εν κατακλείδι, δεν αποτελεί γνώση... Στο όνομα μιας κακώς νοούμενης "επιτυχίας", απαξιώνουν τα μαθήματα και δεν κάνουν, όπως είπε και η καινούρια μου μαθήτρια σήμερα το πρωί, παρά μόνο "κάτι λίγα πράγματα"  από Ευκλείδεια Γεωμετρία!

====================================================================