Σάββατο, 10 Μαρτίου 2012

Τελικά, είναι θέμα αισθητικής! :)


 Όλα από κάπου αρχίζουν! Ξεκινούν από μια ιδέα ή από ένα σημείο στο χώρο ή στο χρόνο, που αναλόγως το βαφτίζουμε "αφετηρία" ή "σημείο εκκίνησης" ή "πρώτη μέρα" ή "πρώτη φορά" ή όπως αλλιώς μας βολεύει. Μετά τα πάντα εξελίσσονται με κάποιον τρόπο. Θετικό ή αρνητικό...
Συμβαίνει κάποτε να μένουν στάσιμα, αλλά αυτό παρατηρείται σπάνια και πάντως όχι για πολύ καιρό.. Κανένα έμβιο δεν αντέχει τη στασιμότητα και την οποιουδήποτε είδους ακινησία! Εκτός αν ανήκει στο φυτικό βασίλειο.. Αλλά κι εκεί ακόμη υπάρχει κίνηση και σίγουρα υπάρχει εξέλιξη!
Όλα από κάπου αρχίζουν! Ξεκινούν από μια βασική έννοια και σταδιακά, με κάποιον τρόπο, εξελίσσονται...
Φαντάζομαι πως αν ήμουν φυσικός θα μιλούσα για "αρχική κατάσταση", αλλά εγώ, ως μη φυσικός, επιμένω να μιλώ για "όρους" και "κοινές έννοιες" και αντί να επικαλούμε τους φυσικούς νόμους, αναζητώ λήμματα, αν όχι θεωρήματα, έχοντας μάλλον στο μυαλό μου το πρότυπο της Ευκλείδειας θεμελίωσης, όπου οι  όροι, οι κοινές έννοιες, τα  αιτήματα και οι προτάσεις, σε μια ιδανική αλληλουχία, δομούν το πρότυπο επαγωγικό-παραγωγικό σύστημα αξιωματικής σκέψης, το οποίο μιμήθηκαν πολλοί εντός και εκτός των τειχών των Μαθηματικών.
 Γι' αυτό άλλωστε εμείς   μελετάμε στο σχολείο τον Ευκλείδη, εκεί όπου υποτίθεται ότι επιδιώκουμε να δημιουργήσουμε πρότυπα σκέψης, συμπεριφοράς και χαρακτήρα!  Σωστά;
Περίπου... Γιατί δυστυχώς δεν αντιμετωπίζεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία με την αξιωσύνη που της αρμόζει. Ευτυχώς όμως που  το ευκλείδειο μοντέλο αναπαράγει τον εαυτό του και μας δίνει τη δυνατότητα ακόμη και μέσα από μικρά του αποσπάσματα να αντιλαμβανόμαστε πόσο μεθοδικά λειτουργεί στο σύνολό του,  ξεκινώντας από τις βασικές έννοιες και χτίζοντας, στη συνέχεια, με αυτές τις σύνθετες, που με τη σειρά τους χτίζουν τις συνθετότερες και πάει λέγοντας. Κι όλο αυτό χωρίς καμιά απολύτως αντιφάση! Χωρίς καμιά, ενδιάμεση, τροποποιητική και χωρίς κανέναν υστερόβουλο 'ρυθμιστικό'! Δεν είναι πραγματικά μαγικό; Σίγουρα είναι! :)
Όπως σίγουρα είναι και τα "είδη των παραλληλογράμμων"  ένα "απόσπασμα" που προσφέρει ένα απλό και ιδιαίτερα βολικό πλαίσιο για να παρακολουθήσει κανείς το πώς θα μπορούσε να εξελιχτεί μια βασική έννοια, αν σταδιακά της προσθέταμε   κάποια επιπλέον στοιχεία.
Αν για λόγους σκοπιμότητας και εντελώς αυθαιρέτως θεωρήσουμε πως το παραλληλόγραμμο είναι μια βασική έννοια και, για να σιγουρευτούμε πως μιλάμε για το ίδιο πράγμα, πούμε ότι "εξ ορισμού το παραλληλόγραμμο είναι ένα επίπεδο τετράπλευρο σχήμα με τις απέναντι πλευρές του παράλληλες", τότε θα έχουμε δώσει τον ορισμό του παραλληλογράμμου και θα έχουμε κάνει το πρώτο βήμα στην ...αξιωματική μας θεμελίωση!
Βέβαια ο κάθε ορισμός στα Μαθηματικά, δηλαδή ή κάθε πρόταση που περιγράφει το γένος και τα χαρακτηριστικά μιας νέας μαθηματικής έννοιας, (και εφόσον αυτή δεν είναι στην πραγματικότητα βασική έννοια) συνοδεύεται από μια ομάδα ιδιοτήτων που προκύπτουν άμεσα από αυτόν.
Ο προηγούμενος ορισμός, ακολουθώντας τον παραπάνω γενικό κανόνα των ορισμών  "γεννά" τις τρεις ακόλουθες προτάσεις/ιδιότητες, που ισχύουν σε κάθε παραλληλόγραμμο:
(i)   Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες.
(ii)  Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. (ή ισοδύναμα: Οι διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές)
(iii) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.
Ο συνδυασμός του ορισμού με τις προτάσεις αυτές γεννά τα κριτήρια, δηλαδή τον "έλεγχο", μέσω του οποίου αποφαινόμαστε αν ένα οποιοδήποτε τετράπλευρο πάνω στο επίπεδο είναι ή όχι παραλληλόγραμμο. Μέχρι εδώ τα πράγματα είναι μάλλον απλά.
 Όμως δεν πρόκειται να σταματήσουμε εδώ, επειδή δεν συνηθίζεται να ορίζουμε μια έννοια για να την αφήσουμε μετά στην ησυχία της. Αντιθέτως! Την ορίζουμε για να μην την αφήσουμε στη ησυχία της. Πειραματιζόμαστε μαζί της. Την έχουμε στο χέρι, την παρατηρούμε, την τραβάμε λίγο από δω, την τραβάμε λίγο από κει, την σπρώχνουμε,  τη μετασχηματίζουμε. Στο σημείο αυτό ένα λογισμικό μπορεί ίσως να βοηθήσει, αλλά μπορεί και να αποπροσανατολίσει, επειδή δίνει έμφαση στην αίσθηση και όχι στην κρίση, μας περιορίζει στη μέτρηση και στη σύγκριση και παραγκωνίζει τη λογική συνέπεια και την αλληλουχία των προκείμενων προτάσεων.. Λάθος;
Εν πάση περιπτώσει, με χρήση ΤΠΕ ή χωρίς, τα είδη των παραλληλόγραμμα είναι ένα πολύ όμορφο απόσπασμα της Ευκλείδειας, επειδή δίνει
τη δυνατότητα να παίξεις, να σκεφτείς, να  συγκρίνεις και να διατυπώσεις εύκολα ερωτήματα και εικασίες που αποδεικνύονται εξίσου εύκολα, όπως, για παράδειγμα, το ερώτημα "αν στο παραλληλόγραμμο προσθέσουμε μια ορθή γωνία διατηρώντας τα  μήκη και την παραλληλία των πλευρών τι θα συμβεί;"
 Απάντηση: "Θα γίνουν όλες οι γωνίες ορθές!"
Και γιατί θα συμβεί αυτό; Επειδή γνωρίζουμε ότι στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες και οι διαδοχικές παραπληρωματικές!
Αυτό το "επειδή γνωρίζουμε ότι...", όταν το λένε οι μαθητές και συνοδεύεται από κάτι που όντως γνωρίζουμε κι όχι από μια δική τους εσφαλμένη προσέγγιση, ακούγεται πάντα ελπιδοφόρο και χαρμόσυνο... Ευφραίνει την καρδιά του δασκάλου :)
Και η δική μου η καρδιά ευφράνθηκε σήμερα στο μάθημα της Γεωμετρίας, επειδή οι απαντήσεις δίνονταν με  διατυπώσεις που υποδηλώνουν επαγωγικούς και παραγωγικούς συλλογισμούς, οι οποίοι  είναι το κλειδί της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, αλλά και κάθε λογικά ολοκληρωμένης σκέψης!
Αλλά όμως, τόσο ωραίο που ήταν το μάθημά μας σήμερα  τέλειωσε πέντε ολόκληρα λεπτά πριν χτυπήσει το κουδούνι. Όλα από κάπου αρχίζουν! Και επίσης όλα τα ωραία τελειώνουν γρήγορα!
Κι εμείς είχαμε εξαντλήσει  την τετράγωνη λογική του ... τετραγώνου, που είναι ο.. άρχων των παραλληλογράμμων και φέρει όλες τις ιδιότητες του ρόμβου και του ορθογωνίου ταυτόχρονα και είχαμε ακόμη χρόνο μέχρι το διάλειμμα. Για να αξιοποιήσω καταλλήλως τον εναπομείναντα χρόνο, είχα τη φαεινή ιδέα να ρωτήσω: "Με τι ισούται η διαγώνιος του τετραγώνου πλευράς α;".
Η αλήθεια είναι πως δεν έκανα πρώτη φορά την ερώτηση στο τμήμα. Το είχαμε ξανασυζητήσει στο παρελθόν περισσότερες από μία φορές, επειδή το θέμα δίνει αφορμή για αναφορά στους άρρητους,  στους Πυθαγόρειους, στην "κρίση στα θεμέλια των Μαθηματικών" και στην κρίση γενικότερα!! Σούπερ θέμα για προβληματισμό, αλλά πού χρόνος για τέτοια στο σχολείο;! Προέχουν οι εξετάσεις..
Οι απαντήσεις που δόθηκαν στην ερώτησή μου περί της διαγωνίου του τετραγώνου ήταν  οι τρεις  που φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Τις έγραψα μια προς μια στον πίνακα και ζήτησα να απορρίψουν τις δύο, για να  μείνει μόνο η σωστή. Πίστευα πως σκεπτόμενοι "κριτικά" οι μαθητές θα απέρριπταν τις δυο πρώτες που μοιάζουν μεταξύ τους και που εκφράζουν εμβαδόν και όχι μήκος και πάντως όχι το μήκος της διαγωνίου! Αποδείχτηκε πως καμιά συσχέτιση δεν έγινε μεταξύ διαστάσεων και δυνάμεων, αντιθέτως απορρίπτονταν η πρώτη και η τρίτη τιμή ή η δεύτερη και η τρίτη. Η τρίτη ήταν σταθερά επιλεγμένη ως λάθος, από όλους εκτός, φυσικά, από τη μαθήτρια που την είχε προτείνει... Δηλαδή, όλοι όσοι ρωτήθηκαν θεωρούσαν λάθος ή την πρώτη ή τη δεύτερη και σταθερά την τρίτη τιμή.
 Ώσπου μια μαθήτρια έδωσε την εξής καταλυτική απάντηση:
"Εγώ λέω ότι λάθος είναι μόνο η τρίτη απάντηση".
"Όχι! Θα πρέπει να απορρίψεις δύο και να κρατήσεις την σωστή. Μόνο μία είναι η σωστή", επέμενα.
"Όχι, εγώ απορρίπτω μόνο την τελευταία!", επέμενε και η μαθήτρια.
Μπορείς να τα βγάλεις πέρα με ένα παιδί που επιμένει έτσι; :)
Δεν μπορείς.. Υποχώρησα, λοιπόν, και ρώτησα:
"Και γιατί διαλέγεις αυτήν συγκεκριμένα;"
"Επειδή το "ρίζα δύο" δεν είναι ωραίος αριθμός! Γι' αυτό!"

Είναι κι αυτό ένα επιχείρημα και μάλιστα ένα επιχείρημα που χρησιμοποιούν κατά κόρον οι μαθητές...
Φαίνεται πως, ότι και να λέμε εμείς,  πίσω από κάθε επαγωγικό-παραγωγικό σύστημα συλλογισμών και πίσω από κάθε τυπική ή ... άτυπη λογική, για τα παιδιά, αυτό που προέχει είναι τελικά η αισθητική... :))

----------------------------------------------------------------------------
Αν ο Ίππασος μπορούσε να υποψιαστεί πώς θα αντιδρούν οι μαθητές μπροστά στο λόγο της διαγωνίου του τετραγώνου προς την πλευρά του, ίσως να είχε πάρει εντελώς διαφορετικές αποφάσεις... :)



Κυριακή, 4 Μαρτίου 2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΒΔΟΜΑΔΑ



Δείτε το πρόγραμμα εδώ
και μην ξεχάσετε να έρθετε την Πέμπτη, 08/03, στις 20.00, που θα μιλήσω εγώ :)
Θα σας περιμένω.