Δευτέρα, 23 Δεκεμβρίου 2013

ΕΠΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΣ ΑΠΟ ΤΗ ΡΩΜΗ...

Είχα ακούσει παλιότερα μια γερμανική παροιμία που έλεγε "αν θέλεις να μάθεις κάτι, κάνε ένα ταξίδι...". Αυτά τα λόγια τα θυμήθηκα πολλές φορές κατά τη διάρκεια του ταξιδιού που έκανα πρόσφατα στην Ιταλία, ως συνοδός των μαθητών της τρίτης Λυκείου. Τα βιώματά μου στην επταήμερη δεν επιβεβαίωσαν απλώς την παλιά γερμανική παροιμία, αλλά μου έδωσαν επί πλέον την ευκαιρία να διατυπώσω διάφορες παραλλαγές της με επικρατέστερη αυτήν που λέει "αν θέλεις να μετρήσεις τις πάσης φύσεως αντοχές σου, κάνε ένα ταξίδι με 117 τελειόφοιτους Λυκείου!" :)
Δεν θέλω να υπεισέλθω σε λεπτομέρειες σχετικές με την εκδρομή, αναφέρω όμως τη συμμετοχή μου σε αυτήν για να εξηγήσω στους πολλούς φίλους που διαμαρτυρήθηκαν για την πολυήμερη απουσία μου από το blog, ότι ο βασικός λόγος της σιωπής μου είναι η επταήμερη της Γ' Λυκείου. Η προετοιμασία της εκδρομής, με όλα τα τυπικά/γραφειοκρατικά ξεκίνησε τρεις περίπου εβδομάδες πριν από το ταξίδι, ενώ η επανένταξή μου στην κανονική ροή της ζωής απαίτησε περίπου μια εβδομάδα μετά την επιστροφή. Θα μου πείτε, αφού είναι τόσο δύσκολη υπόθεση γιατί πήγα; Πήγα επειδή δεν υπήρχαν συνοδοί! Μόλις και μετά βίας συγκεντρώθηκε ο απαιτούμενος αριθμός καθηγητών που δέχτηκαν να συνοδεύσουν τους μαθητές στην εκδρομή. Και επειδή τα περισσότερα παιδιά μας είναι πολύ καλά παιδιά, είναι τα παιδιά που χάρη σε αυτά έζησα πέρυσι και πρόπερσι πολλές όμορφες στιγμές μέσα στη σχολική τάξη, κάποιες από τις οποίες μάλιστα μοιράστηκα με τους αναγνώστες του blog, δεν θα ήθελα να χάσουν την εκδρομή τους. Γι' αυτό δήλωσα ευθύς εξ αρχής πως δέχομαι να τα συνοδεύσω. Κι έτσι είχα την ευκαιρία να μάθω πολλά και διάφορα. Για παράδειγμα, έμαθα ότι μπορώ να αντέξω τρία συνεχόμενα μερόνυχτα ξάγρυπνη! Αναγκάστηκα επομένως να αναθεωρήσω την άποψη που είχα για τον εαυτό μου, πως δηλαδή χρειάζομαι επτά με οκτώ ώρες ύπνου, ανά δεκάξι περίπου ώρες εγρήγορσης!  
Πραγματικά! Άμα θέλεις να μάθεις τις αντοχές σου, κάνε ένα ταξίδι με εκατό εφήβους και θα αναθεωρήσεις τις απόψεις σου, για το άτομό σου!
Επιστρέφοντας από τη Ρώμη, η υπερένταση και η ταξιδιωτική διάθεση με έκαναν να νιώθω κυριολεκτικά άλλος άνθρωπος. Σε αντίθεση με τους περισσότερους μαθητές, που είχαν παραδοθεί κατάκοποι πια σε ύπνο βαθύ κι έγερναν τα κορμιά τους με όλες τις δυνατές κλίσεις στα καθίσματα του πούλμαν, εγώ είχα κέφι πολύ και ζωντάνια, οπότε κάποια στιγμή, για να εκτονώσω τη συσσωρευμένη μου ενέργεια, έκοβα βόλτες στο διάδρομο του λεωφορείου. Ένας από τους λίγους μαθητές που ήταν ξύπνιοι, όταν έφτασα δίπλα του, μου είπε: "Κυρία, δεν μας δίνετε καμιά εξίσωση να τη λύσουμε για να περάσει η ώρα;". Πιθανόν να το έλεγε με χιουμοριστική διάθεση, αλλά εγώ το εξέλαβα σοβαρά και σκέφτηκα να του δώσω μια εξίσωση που στο παρελθόν έγινε θέμα μεγάλης συζήτησης, στο mathematica.gr, με αφορμή μια εισήγηση που είχαμε κάνει με τον κο Θωμαΐδη. Πήγα στη θέση μου, πήρα ένα χαρτί κι έγραψα:
[Αργότερα θυμήθηκα πως το τριώνυμο της βάσης έχει σταθερό όρο 5 και όχι 7, για να βολεύει περισσότερο, αλλά εκείνη την ώρα αυτό ήταν μια ασήμαντη λεπτομέρεια.]
 Επέστρεψα με το ραβασάκι στο χέρι στον μαθητή που μου είχε ζητήσει καμιά εξίσωση, αλλά το παιδί είχε στο μεταξύ χάσει το ενδιαφέρον του. Αντιθέτως δυο άλλοι μαθητές, συγκεκριμένα μια μαθήτρια της Θεωρητικής και ένας μαθητής της Θετικής, έδειξαν να ενθουσιάζονται στη θέα της εξίσωσης. Μου ζήτησαν χαρτί και μολύβι για να τη λύσουν και αφού τους προμήθευσα με τα απαραίτητα, επέστρεψα στη θέση μου. Σε λίγα μόνο λεπτά ήρθαν τα παιδιά να μου δείξουν τις λύσεις τους.  Ήταν σειρά μου να ενθουσιαστώ, βλέποντας τι είχαν γράψει. Η μαθήτρια έκανε μια προσέγγιση βασισμένη σε θεμελιώδεις γνώσεις, όπως φαίνεται στη λύση της:
 Ο μαθητής αντιθέτως περιέπλεξε τα πράγματα, χρησιμοποιώντας πιο σύνθετη μέθοδο, που  απορρέει υποθέτω από τη γνώση που είχε προσφάτως αποκτήσει μελετώντας στον Διαφορικό Λογισμό την παραγώγιση σύνθετων εκθετικών συναρτήσεων.
 Ενώ σχολίαζα ακροθιγώς τις λύσεις τους, τα δυο παιδιά με άκουγαν με ενδιαφέρον και ζητούσαν να μάθουν περισσότερα. Τους εξήγησα πως οι λύσεις τους παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον από διδακτικής πλευράς, οπότε η μαθήτρια με ρώτησε: "Θα τις ανεβάσετε στο facebook, κυρία;". "Στο facebook όχι, αλλά πιθανότατα θα τις αξιοποιήσω με κάποιον τρόπο στο μέλλον, Κατερίνα", της απάντησα. "Μπορώ να κρατήσω τις λύσεις σας;". Έγνεψαν καταφατικά και μου τις έδωσαν. Και εκείνη τη στιγμή, επιστρέφοντας από τη Ρώμη, μιλώντας με την Κατερίνα και τον Αχιλλέα, ένιωσα μέσα μου μεγάλη χαρά που συνόδευσα  στην επταήμερη τα παιδιά...

Κάνοντας ένα ταξίδι αναμφιβόλως μαθαίνεις κάτι.
Κάνοντας όμως μια εκδρομή με τους τελειόφοιτους του Λυκείου, σίγουρα μαθαίνεις πολλά.

Και με την ευκαρία αυτή, εύχομαι σε όλους το 2014 να είναι μια καλύτερη χρονιά!

Τρίτη, 26 Νοεμβρίου 2013

ΜΙΑ ΔΙΑΚΕΚΟΜΜΕΝΗ ΓΡΑΜΜΗ...

Θα μπορούσα να ισχυριστώ ότι η ραπτική δεν είναι κάτι  περισσότερο από εφαρμογή λίγων στοιχειωδών Μαθηματικών. Λίγες καμπύλες γραμμές στο πατρόν, δυο τρεις βασικές μετρήσεις, μια αντιστοίχιση ανάμεσα στις διαστάσεις μας και σ' αυτές του υφάσματος και τέλος μια σωστή συναρμολόγηση των κομματιών! Και το ρούχο είναι έτοιμο για φόρεμα, τουλάχιστον σε μια απλή και λιτή  εκδοχή, που όμως είναι επαρκής, συνήθως οικονομική και, πιθανόν,  οικολογική.
 Επειδή κάποτε είχα παρακολουθήσει λίγα μαθήματα κοπτικής-ραπτικής και για ένα μικρό διάστημα  έραβα ρούχα για μένα και για τη φίλη μου, δεν είναι εντελώς θεωρητικός ο ισχυρισμός μου. Είχα ράψει μερικές φούστες και κάμποσα καλοκαιρινά μπλουζάκια, με πατρόν που έφτιαχνα συνήθως μόνη μου, τραβώντας διακεκομμένες γραμμές πάνω σε λευκό ρυζόχαρτο, με εφαρμογή της στοιχειώδους Γεωμετρίας που απαιτούσε η περίσταση και με χρήση των δύο ειδικών οργάνων που είχα επί τούτου προμηθευτεί.
Αυτό που αναμφιβόλως δεν θα μπορούσα να ισχυριστώ είναι το αντίστροφο του παραπάνω ισχυρισμού, δηλαδή να ισχυριστώ πως τα Μαθηματικά δεν είναι κάτι περισσότερο από εφαρμογή λίγων στοιχειωδών μεθόδων της κοπτικής και της ραπτικής! 
Και αν στον πρώτο μου ισχυρισμό υπάρχουν ενστάσεις ή αντιρρήσεις, είμαι εντελώς σίγουρη πως όλοι θα συμφωνήσουν με τον δεύτερο. Τα Μαθηματικά είναι πολλά περισσότερα από τη δημιουργία ενός πατρόν και την κατασκευή ενός ρούχου. Ακόμη και όταν προσπαθούμε να τα απλοποιήσουμε και να τα κατεβάσουμε στο επίπεδο κατανόησης των μαθητών μας, ακόμη και τότε ο πληθωρικός τους χαρακτήρας και η πολυεπίπεδη φύση τους θα πρέπει να αντιμετωπίζεται με σεβασμό και να μην εκφυλίζεται. Ωστόσο, η διδασκαλία των Μαθηματικών, νομίζω πως - για πολλούς και διάφορους λόγους, που δεν είναι της ώρας - έχει σταδιακά απογυμνωθεί και έχει απλοποιηθεί σε βαθμό που δεν διαφέρει και πολύ από τη μηχανική δημιουργία ενός πατρόν. Και μάλιστα ενός πατρόν που δεν έχει καν ως αποτέλεσμα ένα ρούχο, ας πούμε, υψηλής αισθητικής ή, ακόμη καλύτερα, αυξημένης χρησιμότητας. Διδάσκονται μάλιστα τόσο μηχανικά, που τελικά οι έννοιες χάνουν το νόημά τους και τη διασύνδεσή τους, με αποτέλεσμα οι μέθοδοι να μην εδραιώνονται σε κάποια λογική διαδικασία, αλλά να περιορίζονται στη χρήση συμβόλων που, στην περίπτωση που δεν στερούνται παντελώς νοήματος, αποκτούν ένα ιδιαίτερο νόημα που δεν έχει σχέση με την πραγματικότητα. Συχνά δε φτάνουν στο σημείο τα σύμβολα να ταυτίζονται τελικά με τη μέθοδο! Για το θέμα αυτό είχα γράψει παλιότερα με αφορμή τη "μέθοδο βουλίτσα", όπως  είχε πει ένας μαθητής της Γ' Λυκείου, τη μέθοδο που θα εφάρμοζε σε μια άσκηση της Στατιστικής. (βλέπε εδώ)
Σήμερα, στο μάθημα της Γεωμετρίας στην Α' Λυκείου θυμήθηκα τη "μέθοδο βουλίτσα", με αφορμή  τη μέθοδο "διακεκομμένη γραμμή", που πρότεινε ένας μαθητής στη λύση μιας άσκησης.
Βρισκόμαστε στην τριγωνική ανισότητα και ο προγραμματισμός του σημερινού μαθήματος προέβλεπε τις αποδεικτικές ασκήσεις 3, 5 και 7 στη σελίδα 58 του σχολικού. Αφού πρώτα λύθηκε στον πίνακα η άσκηση 10, με τον χιλιομετρητή, που είχαν για το σπίτι,  ξεκίνησε η συζήτηση με θέμα τις προαναφερθείσες ασκήσεις.
Ειδικά η άσκηση 3, σύμφωνα πάντα με τον προγραμματισμό θα γινόταν διεξοδικά, για να αντιληφθούν οι μαθητές ότι όταν τα γνωστά θεωρήμα, πορίσματα κλπ, δεν καλύπτουν την περίπτωση που έχουμε να αντιμετωπίσουμε, τότε πρέπει εμείς να "επινοήσουμε" κάτι νέο, μια κίνηση φορσε ας πούμε, που θα σώσει την κατάσταση. Εν προκειμένω, θα έπρεπε να προεκτείνουμε κατά ίσο τμήμα τη διάμεσο του τριγώνου, κι αυτό ήταν που έπρεπε να σκεφτούν οι μαθητές.
Αφού διαβάσαμε προσεκτικά την άσκηση, έγραψα στον πίνακα τα δύο γνωστά από πριν θεωρήματα, της σελίδας 54, που μοίαζουν με το ζητούμενό της, και μετά από συζήτηση οδηγηθήκαμε στο συμπέρασμα πως κανένα από αυτά δεν εφαρμόζεται πιστά στη δική μας περίπτωση. Τότε πρότεινα να σκεφτούν για λίγο τι θα μπορούσαμε να κάνουμε. Σχεδόν αμέσως ο Π σήκωσε το χέρι του και του έδωσα τον λόγο. "Για να τη λύσουμε θα τραβήξουμε μια διακεκομμένη γραμμή!", είπε. Περίμενα για λίγο, να δω μήπως και το σώσει στη συνέχεια, αλλά το παιδί μάλλον είχε ολοκληρώσει την πρότασή του. Δυστυχώς δεν κατάφερα να συγκρατηθώ, δηλαδή να ρωτήσω τι εννοεί, για να του δώσω χρόνο να το ξανασκεφτεί. Μου προέκυψε αυθόρμητα η ερώτηση: "Δηλαδή Π, αν αντί για διακεκομμένη γραμμή τραβήξω μια κόκκινη γραμμή ή μια πράσινη συνεχόμενη γραμμή δεν θα μπορέσω να λύσω την άσκηση;".  Έσπευσα να διορθώσω την αντίδρασή μου, εξηγώντας πως η ουσία δεν είναι το στυλ της γραμμής, το πάχος της, το χρώμα της, η μορφή της τέλος πάντων, αλλά είναι η λειτουργία της! Τι θα κάνει αυτή η γραμμή, πώς θα λειτουργεί μέσα στο σχήμα μας; Με λίγη υπομονή ο μαθητής, που πιθανόν είχε λύσει την άσκηση από πριν και 'γνώριζε' τη λύση, παρόλο που δεν την είχαν ως homework, μας εξήγησε πως "η διακεκομμένη γραμμή θα συνέχιζε τη διάμεσο ΑΜ και θα ήταν ίση με αυτήν"!
Νομίζω πως η μέθοδος "προεκτείνω κατά ίσο τμήμα τη διάμεσο του τριγώνου...", που την είχα αναφέρει στο πρόσφατο παρελθόν και την είχα τονίσει ως μεθοδολογία σε ασκήσεις με διάμεσο τριγώνου, στην περίπτωση που δεν επαρκούν τα δεδομένα της άσκησης ή τα γνωστά θεωρήματα, στο μυαλό του Π, και πιθανότατα και σε πολλών άλλων μαθητών μου, κωδικοποιήθηκε απλά ως "μια διακεκομμένη γραμμή"! 
Και εδώ τίθεται το εξής πολύ σημαντικό ερώτημα: Πόσο συχνά οι μαθητές κόβουν και ράβουν όσα ακούν από τον δάσκαλο, πάνω σε ένα εντελώς δικό τους πατρόν, που πολύ απέχει από το "μοντέλο" που έχει  ο δάσκαλος στο δικό του μυαλό;
Είμαι απολύτως πεπεισμένη πως τα Μαθηματικά υπερέχουν πολύ από τη ραπτική, ακόμη και την υψηλή, την περιβόητη "haute couture", αλλά φοβάμαι πολύ πως η επικοινωνία μας με τους μαθητές μας ενέχει, τελικά, όλα εκείνα τα στοιχεία της ... κοπτικής!

 

Τρίτη, 19 Νοεμβρίου 2013

Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ένας κύκλος χαράς!

Η αλήθεια είναι ότι κατά την παράδοση του μαθήματος δεν δίνω ιδιαίτερη έμφαση στη μορφή του πίνακα, επειδή όταν γράφω σ' αυτόν σπάνια στρέφω την πλάτη μου στους μαθητές. Κι αν ποτέ απαιτείται να το κάνω, φροντίζω να μείνω έτσι στραμμένη όσο το δυνατόν λιγότερο. Όχι πως δεν μου αρέσει να είναι καλογραμμένος ο πίνακας, με τα ωραία γραμματάκια, τις γραμμούλες, τα χρωματάκια, ίσα ίσα...Αλλά αντί να ασχολούμαι με την καλλιγραφία, προτιμώ να γράφω και να σημειώνω στα πεταχτά, ενίοτε δε στα τυφλά, προκειμένου να μη χάνω από τα μάτια μου το βλέμμα των μαθητών και τον παλμό της τάξης. Ειδικά δεν όταν συμβαίνει η τάξη να έχει παλμό, όπως είχε σήμερα το Β3 στο μάθημα της Άλγεβρας. Οι πέντε έξι λίγοτερο ήσυχοι μαθητές του τμήματος, από τη στιγμή που μπήκα, έδειχναν αποφασισμένοι να παρακολουθήσουν απερίσπαστοι. Κάποιοι είχαν αλλάξει θέση, για να έρθουν πιο μπροστά! Ίσως να το έκαναν επειδή στο προηγούμενο μάθημα, μετά από μια αναλυτική, αλλά πραγματικά αναλυτική, παρουσίαση της Τριγωνομετρίας που ήδη γνώριζαν από τα Γυμνασιακά τους χρόνια, φτάσαμε στον τριγωνομετρικό κύκλο μόλις δύο λεπτά πριν χτυπήσει του κουδούνι, οπότε τους είχα υποσχεθεί ότι στο επόμενο μάθημα θα τους παρουσίαζα ένα σούπερ δυνατό εργαλείο, μια επινόηση που αποδεικνύει το μεγαλείο του ανθρώπινου μυαλού, μια μέθοδο που θα τους βοηθήσει να γράψουν καλά στο επερχόμενο test της Άλγεβρας και θα τους κάνει να λύνουν σωστά τα προβλήματα της Φυσικής που θα διδαχτούν στη Γ', αλλά κι άλλα πολλά.
Η αλήθεια είναι ότι εγώ προσωπικά απολαμβάνω πολύ το συγκεκριμένο μάθημα, ακριβώς επειδή μου δίνει τη δυνατότητα να μιλήσω στους μαθητές για τη "διπλή" αντιστοίχιση. Και την ξεκινώ πάντα από τη θεμελιώδη αντιστοίχιση, των σημείων της ευθείας των πραγματικών, στους πραγματικούς κλπ. κλπ. Αργά και σταθερά. Μέχρι που καταλήγουμε να πούμε ότι κάθε σημείο Μ του τριγωνομετρικού κύκλου είναι ταυτόχρονα και σημείο του επιπέδου, οπότε ως σημείο του επιπέδου το Μ αντιστοιχίζεται σε ένα διατεταγμένο ζευγαράκι πραγματικών αριθμών. Ενώ ως σημείο του κύκλου το Μ, ορίζει το πέρας ενός τόξου...
Και ακριβώς στο σημείο αυτό, κυρίες και κύριοι, γίνεται η μεγάλη αποκάλυψη!
Το συνημίτονο και το ημίτονο του τόξου που έχει πέρας το Μ είναι η τετμημένη και η τεταγμένη του Μ αντίστοιχα! Ένα μικρό θαύμα! Και μια επέκταση στο ... άπειρο. Ο περιορισμένος υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών μόνο για οξείες γωνίες ορθογωνίων τριγώνων, όπως είχαμε μάθει στη Β' Γυμνασίου καταρρίφθηκε. Ο υπολογισμός της απόστασης ρ του Μ, από την αρχή των αξόνων, που απαιτούνταν για να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών, όπως το μάθαμε στη Γ' Γυμνασίου, υπερσκελίστηκε, γιατί το ρ στον τριγωνομετρικό κύκλο είναι ίσο με τη μονάδα! Δεν είναι θαύμα; Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς όλων των ειδών των γωνιών, χρησιμοποιώντας τον θαυμαστό τριγωνομετρικό κύκλο. Αρκεί να έχουμε καταλάβει αυτή τη διπλή αντιστοίχιση.
Και περί του λόγου το αληθές, για να καταλάβουμε αν καταλάβαμε τη διπλή αντιστοίχιση, βρήκαμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των τόξων που ορίζονται από τα σημεία τομής του κύκλου με τους άξονες! Λίγη συμμετρία, μια πρόχειρη ... χορογραφία, μια διάταση των χεριών, που αρκεί για να λειτουργήσει το κορμί μας ως ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και αυτό ήταν όλο!
(1, 0), (0,1), (-1,0), (0,-1). Συμμετείχαν σχεδόν όλοι και κυρίως συμμετείχαν οι συνήθως ανήσυχοι και μη συμμετέχοντες, οι ούτως ειπείν αδιάφοροι...
Δεν θα έμπαινα στον κόπο να τα γράψω όλα αυτά, αν δεν είχε συμβεί κάτι ιδιαίτερα σημαντικό.
Στο τέλος του μαθήματος ο συνήθως ανήσυχος και όχι πολύ συμμετοχικός Γιώργος σήκωσε το χέρι του και ζήτησε το λόγο. Νόμισα πως θα διατύπωνε κάποια απορία, αφού τόση ώρα παρακολουθούσε με προσοχή και συμμετείχε. Οπότε καταλαβαίνετε τι ένιωσα όταν άκουσα το παιδί να λέει το εξής: "Ειλικρινά, κυρία, έτσι όπως τον βλέπω τώρα τον πίνακα, νιώθω μέσα μου μια χαρά!"! Θα έλεγε κανείς πως αστειεύεται, αλλά ο Γιώργος, ήταν καταφανές στην έκφρασή του και στο βλέμμα του, μιλούσε πολύ σοβαρά και εννοούσε ακριβώς αυτό που έλεγε.
Γύρισα και κοίταξα τον πίνακα κι ένιωσα μέσα μου κι εγώ μεγάλη χαρά! Όχι με αυτό που έβλεπα στον πίνακα, αλλά με αυτό που έβλεπα στα μάτια των παιδιών που κοίταζαν τον πίνακα.
"Είδατε πόση αρμονία, τι χάρη και τι συμμετρία, κρύβει μέσα της η Τριγωνομετρία; Πώς να μη νιώθουμε χαρά, όταν μαθαίνουμε και όταν κατανοούμε τέτοια πράγματα;", ρώτησα και, όλως παραδόξως, δεν ακούστηκε ούτε ένα ειρωνικό ή περιπαικτικό "ε, καλά", "μα ναι,  φυσικά" ή "ό,τι πείτε, κυρία", κλπ.
Αντιθέτως έμειναν να κοιτάζουν τον (όχι ιδιαίτερα καλογραμμένο, ομολογώ) πίνακα, με την έκφραση ανθρώπων που μόλις είδαν μια ταινία που τους άγγιξε βαθιά...
Βρε, τι κάνουν τα Μαθηματικά! Τελικά, όταν τα καταλαβαίνεις, σε γεμίζουν με χαρά! :)

Τετάρτη, 13 Νοεμβρίου 2013

Ο ΑΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ


Η "διακρίνουσα" είναι, ως γνωστόν, μετοχή ενεστώτα του ρήματος διακρίνω. 
Διακρίνων-διακρίνουσα-διακρίνον! Και το ρήμα διακρίνω, που σημαίνει βλέπω, αντιλαμβάνομαι, ξεχωρίζω κλπ, είναι, ως γνωστόν, σύνθετο από την πρόθεση "δια" και το ρήμα "κρίνω", που σημαίνει νομίζω, αξιολογώ, εκτιμώ, ασκώ κριτική κλπ.
Επίσης, σχεδόν όλοι γνωρίζουν πως η Διακρίνουσα (Δ) στα Μαθηματικά είναι ένας πραγματικός αριθμός στενά συνυφασμένος με τη δευτεροβάθμια πολυωνυμική εξίσωση, καθώς το πρόσημό της  μας βοηθά να διακρίνουμε, με όλες τις προαναφερθείσες σημασίες του ρήματος "διακρίνω", το πλήθος και το είδος των ριζών που έχει μια δευτεροβάθμια εξίσωση. 
Οι μαθητές διδάσκονται για πρώτη φορά τη δευτεροβάθμια εξίσωση, όταν φοιτούν στην τρίτη τάξη του Γυμνασίου και για δεύτερη φορά, όταν φοιτούν στην πρώτη τάξη του Λυκείου. Φτάνοντας μάλιστα στο Λύκειο πολλοί από αυτούς έχουν στο βαλιτσάκι της γνώσης που κουβαλούν μαζί τους το "βόδια στο τετράγωνο πλην τέσσερις αγελάδες", το οποίο μερικοί καθηγητές των Μαθηματικών  συνηθίζουν να χρησιμοποιούν, για να βοηθήσουν τους μαθητές τους  να απομνημονεύσουν τον τύπο που δίνει την αριθμητική τιμή της διακρίνουσας. Και φαίνεται πως η χρήση αυτού του εργαλείου  επιφέρει καλό αποτέλεσμα, αλλά σε επίπεδο απομνημόνευσης  και μόνο! Σχεδόν όλοι οι μαθητές θυμούνται τον τύπο της διακρίνουσας.
Αλλά  αυτό είναι  το ζητούμενο από τη διδασκαλία των Μαθηματικών; Η απομνημόνευση των τύπων; 
Όχι πως προσωπικά είμαι κατά της απομνημόνευσης των μαθηματικών τύπων, ούτε των ρηματικών τύπων, ούτε ... των τύπων και των υπογραμμών, εν γένει, και δεν είμαι επειδή πιστεύω ότι όταν κάποιος αναγκάζεται από νεαρή ηλικία να ασκηθεί στην απομνημόνευση αναπτύσσει τις δικές του τεχνικές, που τον βοηθούν στην οργάνωση και  διευθέτηση θεμάτων, στην κοινωνικοποίηση, στην πνευματική ανέλιξη κ.ά., ωστόσο στο θέμα των "βοδιών στο τετράγωνο ελαττωμένων κατά τέσσερις αγελάδες" έχω αναμφιβόλως τις αντιρρήσεις μου. Και ο λόγος που έχω τις αντιρρήσεις μου στη χρήση του συγκεκριμένου  απομνημονευτικού κανόνα είναι ο τρόπος που αυτός εντυπώνεται στο κεφάλι των παιδιών! Μου φαίνεται πως το βάρος των βοδιών, και μάλιστα στο τετράγωνο(!), καίτοι ελαφρωμένο κατά το βάρος των τεσσάρων αγελάδων, δημιουργεί μια πολύ βαθιά χαρακιά στους ευαίσθητους εγκεφαλικούς νευρώνες των νεαρών μαθητών που δεν επουλώνεται ποτέ, με αποτέλεσμα όταν στη συνέχεια, καθώς το "τριώνυμο" και η δευτεροβάθμια εξίσωση δεν αποτελούν πλέον αυτοσκοπό, αλλά ένα χρήσιμο εργαλείο επίλυσης ποικίλων άλλων μαθηματικών προβλημάτων, να ξεπηδούν τα βόδια στο προσκήνιο και να ...οργώνουν εκεί που δεν τα σπέρνουν.:) Με αποτέλεσμα οι μαθητές να κάνουν χρήση του απομνηνονευτικού αυτού κανόνα και να υπολογίζουν αδιακρίτως μια Διακρίνουσα , όπου και όποτε συναντήσουν κάποια παράσταση που είτε είναι είτε θυμίζει τριώνυμο δεύτερου βαθμού.
Σίγουρα δεν είμαι η μόνη που  έχω προσέξει αυτό το φαινόμενο. Και δεν το πρόσεξα τώρα. Όμως με αφορμή μια συζήτηση που είχα με τον καλό μου συνάδελφο τον Φώτη, καθώς την Παρασκευή οδεύαμε από Θεσσαλονίκη προς Καρδίτσα για να πάρουμε μέρος στο 30ο Πανελλήνιο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, αποφάσισα, επιστρέφοντας στο σχολείο, να καταγράψω μέσα από το μάθημα μερικά παραδείγματα "αντίδρασης" μαθητών στη θέα ενός τριωνύμου.
Σήμερα μου δόθηκε η ευκαιρία να το κάνω σε τρία διαφορετικά τμήματα και σε δυο διαφορετικές τάξεις. Στην Α' Λυκείου, στο μάθημα της Άλγεβρας και στη Β' Λυκείου, στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης.
Αντί για λόγια παραθέτω κάποιες από τις εικόνες που συνέλεξα.
Να σημειώσω πως δεν πρόκειται για τεστ, αλλά για φύλλο  επανάληψης που το απάντησαν οι μαθητές συνεργαζόμενοι ανά δύο. Παρόμοια με την απάντηση της προηγούμενης εικόνας υπήρχε σε πολλά γραπτά. Για να συζητήσουμε το θέμα διεξοδικά,  σήκωσα μια μαθήτρια στον πίνακα να γράψει τη δική της εκδοχή, η οποία φαίνεται στην επόμενη εικόνα:

(με πράσινο είναι οι υποδείξεις που έκανα εγώ, προσπαθώντας να βοηθήσω τη μαθήτρια)
Με αφορμή τη συζήτηση που ακολούθησε και τις διορθώσεις που έγιναν, κατασκεύασα επί τόπου μια πρόχειρη άσκηση, για να δω πώς θα αντιδράσουν οι μαθητές. Ζήτησα να προτείνουν λύσεις και κατέγραψα στον πίνακα τις τρεις προτάσεις (ή έστω τις δυο παρατηρήσεις και τη μια πρόταση) που ακούστηκαν:
Από τις δύο πρώτες (αυθόρμητες) παρατηρήσεις γίνεται προφανές πως το "τριώνυμο" είναι αυτό που "κλέβει την παράσταση" και αφήνει όλα τα υπόλοιπα στο παρασκήνιο.
Στην Α' Λυκείου δε το σημερινό μάθημα εξυπηρετούσε σε μεγάλο βαθμό τον πειραματισμό γύρω από το ερώτημα: "πώς αντιδρούν οι μαθητές στη θέα του τριωνύμου;". 
Αφού έκανα μια σύντομη, πλην περιεκτική παράδοση, με αρκετές ερωταποκρίσεις και ο πίνακας μας είχε περίπου αυτήν τη μορφή:
 ζήτησα από τους μαθητές να προσπαθήσουν να λύσουν την ακόλουθη άσκηση:
 
Περνώντας από τα θρανία, επιβεβαίωσα την πρόβλεψή μου! Η πλειοψηφία των μαθητών - και έχει πολύ καλούς, έξυπνους και μελετηρούς, μαθητές το συγκεκριμένο τμήμα της Α' - αντέδρασαν υπό την επήρεια του "βόδια στο τετράγωνο μείον τέσσερις αγελάδες"!
Με την άδειά τους φωτογράφησα μερικά τετράδια. Παραθέτω δυο χαρακτηριστικά ευρήματα:
Νομίζω πως τα ντοκουμέντα που παρέθεσα είναι αρκετά, για να επαληθεύσουν τον ισχυρισμό μου, ότι τελικά "τα βόδια στο τετράγωνο..." οργώνουν βαθιά τη σκέψη των μικρών μαθητών και τους καλλιεργούν μια αντανακλαστική αντίδραση όμοια με εκείνη του σκύλου στα πειράματα του Παυλόφ!
Και μπαίνει το ερώτημα: είναι τελικά σωστό χρησιμοποιώντας τόσο υπερμεγέθεις και ... υπέρβαρες εικόνες, όπως τα βόδια στο τετράγωνο και οι τέσσερις αγελάδες, να δημιουργούμε μια προκάτ αντίδραση στα παιδιά; 
Μήπως αυτό περιορίζει την ικανότητά τους να "κρίνουν" και να διακρίνουν πού και πότε είναι χρήσιμο και απαραίτητο να υπολογίζουν τη Διακρίνουσα;
Θα με ενδιέφερε πολύ να έχω σχόλια, απόψεις, κρίσεις και  απαντήσεις.  :)
--------------------------------------------------------------------------------

Θέλω να ευχαριστήσω όλους τους μαθητές μου, οι οποίοι έχοντας κατανοήσει την προσπάθεια που καταβάλω  για να βρω τρόπους και πρακτικές που θα βελτιώσουν όσο το δυνατόν περισσότερο τη μαθηματική τους παιδεία, μου δείχνουν εμπιστοσύνη και μου επιτρέπουν να διαχειρίζομε ελεύθερα το υλικό που προκύπτει από τα μαθήματά μας στην τάξη του σχολείου.
Ελπίζω και εύχομαι με το τέλος της χρονιάς να έχουμε ξεκαθαρίσει το τοπίο και να έχουμε αποκτήσει επαρκή κρίση όλοι μας!

Παρασκευή, 1 Νοεμβρίου 2013

Η "ΕΙΣ ΑΤΟΠΟΝ ΑΠΑΓΩΓΗ" και τα λοιπά ατοπήματα...

Ο αγώνας ταχύτητας στη διδασκαλία της Άλγεβρας στην Α' Λυκείου (και όχι μόνο σε αυτήν) καλά κρατεί και όσο περνάει ο καιρός οι απαιτήσεις αυξάνονται και οι ρυθμοί επίσης. Το αυστηρά σχεδιασμένο πλάνο του μαθήματος τηρείται σχεδόν απαρέγκλητα και οι τυχόν αδυναμίες και τα "κενά" των μαθητών είναι πρακτικά αδύνατο να λαμβάνονται υπόψη στο βαθμό που λαμβάνονταν τα προηγούμενα χρόνια. Οι επαναλήψεις της ύλης, η οποία έχει ήδη διδαχτεί στο Γυμνάσιο, φέτος λόγω της πίεσης από την Τράπεζα Θεμάτων είναι πραγματικές επαναλήψεις και όχι μια εκ νέου διδαχή, όπως γινόταν τις προηγούμενες χρονιές,  στην παραγοντοποίηση, ας πούμε, και στις ταυτότητες,  όπου  περισσότεροι από τους μισούς μαθητές δεν μπορούσαν να ανταποκριθούν ικανοποιητικά, με αποτέλεσμα να χρονοτριβώ για να τα διδάξω από την αρχή αναλυτικά. Βέβαια, για να πω την αλήθεια και τα δύο τμήματα της Α' Λυκείου, στα οποία  διδάσκω φέτος, έχουν ικανοποιητικό μέσο όρο στην επίδοση και στη γενικότερη συμμετοχή, οπότε αυτό με διευκολύνει αρκετά και μου δίνει τη δυνατότητα να ρίχνω το βάρος στα καινούρια κομμάτια της ύλης και σε όσα πρέπει να τονιστούν και να απασαφηνιστούν φέτος, για να προετοιμάσουν το έδαφος για τη μελλοντική τους ενασχόληση με τα Μαθηματικά. Και ένα από τα βασικότερα σημεία της φετινής ύλης είναι αναμφιβόλως το κομμάτι της "απόδειξης" και οι αποδεικτικές μέθοδοι που χρησιμοποιούμε στα Μαθηματικά. Για το λόγο αυτό έδωσα μεγάλη βαρύτητα στην "ευθεία απόδειξη" ταυτοτήτων και  συνεπαγωγών, τουλάχιστον όσο μου επιτρέπει η χρονική πίεση... Μέσα σε αυτόν το γενικότερο στόχο, θέλησα σήμερα να διδάξω την "απαγωγή σε άτοπο" ως αποδεικτική μέθοδο που εμφανίζεται πιεστικά μεν, δηλαδή μας οδηγεί σε αυτήν η ανάγκη, αλλά σωτήρια δε, αφού λειτουργεί εκεί όπου η ευθεία απόδειξη δεν αποτελεί λύση. Για το λόγο αυτό αποφάσισα να αφήσω τα παιδιά να πάρουν το χρόνο τους και να οδηγηθούν μόνα τους στην ... επινόηση μιας νέας αποδεικτικής μεθόδου, διαφορετικής από την ευθεία απόδειξη που ήδη γνώριζαν. Για ... ζέσταμα ζήτησα στην αρχή να αποδείξουν την ακόλουθη συνεπαγωγή: 

Αν ένας φυσικός αριθμός α είναι περιττός, να δείξετε ότι το τετράγωνό του είναι περιττός αριθμός.

Δύσκολο; Όχι φυσικά! Αν γνωρίζει κάποιος ποιοι αριθμοί λέγονται περιττοί και ποια είναι η γενική τους μορφή, τελειώνει στο πι και φι. Θα πρέπει να τονίσουμε βέβαια πως αρκετοί ήταν οι μαθητές που πρότειναν να αποδείξουμε το ζητούμενο χρησιμοποιώντας έναν τυχαίο αριθμό!
"Να, κυρία, αν ο α είναι ο 5 που είναι περιττός, τότε και το τετράγωνό του που είναι το 25 είναι κι αυτός περιττός!"
Δυστυχώς αυτό είναι ένα σημείο που δεν ξεπερνιέται από τη μια στιγμή στην άλλη και φανερώνει πόσο δύσκολα υπερπηδούν οι μαθητές το γυμνασιακό - εμπειρικό στάδιο, που ενίοτε λειτουργεί ως εμπόδιο, για να προσεγγίσουν το επίπεδο αφαίρεσης και γενίκευσης που απαιτείται στο Λύκειο και που με τη σειρά του απαιτεί ανεξάντλητη υπομονή και επιμονή από την πλευρά του καθηγητή.  :)
Εν πάση περιπτώσει, η συνεπαγωγή μετά από σύντομη συζήτηση αποδείχτηκε εύκολα και προχώρησα στην επόμενη συνεπαγωγή, γράφοντας στον πίνακα:

Αν το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού α είναι περιττός, να δείξετε ότι ο α είναι περιττός. 

Οι περισσότεροι μαθητές, όπως ήταν αναμενόμενο, θεώρησαν πως η απόδειξη είναι απλή και σήκωσαν τα χέρια, για να μου πουν τι θα κάνουμε. Κατέγραφα τις προτάσεις τους στον πίνακα και τις συζητούσαμε διεξοδικά. Μία μία αποδεικνύονταν άκαρπες οι προσπάθειες που κάναμε, κάποιες από τις οποίες τις προχωρούσαμε λιγάκι, ενώ άλλες τις απορρίπταμε εξ αρχής, επειδή αμέσως μόλις ακούγονταν κάποιος πεταγόταν από κάτω να μας εξηγήσει ότι η συγκεκριμένη επιλογή δεν θα μας οδηγούσε πουθενά...
"Λυπάμαι πολύ παιδιά!", είπα μετά από αρκετή ώρα. "Ειλικρινά λυπάμαι και δεν ξέρω τι μπορούμε να κάνουμε για να το αποδείξουμε...".
Είχα πάρει σχεδόν περίλυπη έκφραση και αρκετοί από τους μαθητές επίσης, γιατί ένιωθαν πως ξεμείναμε από ιδέες και μεθόδους...
Τότε η Μαριάνθη, μάλλον για να με ανακουφίσει το παιδί, σήκωσε το χέρι της και είπε: "Κυρία, να προτείνω κάτι ακόμη; Αν και δεν είμαι σίγουρη...". "Ευτυχώς που δεν είσαι σίγουρη, Μαριάνθη!", της είπα για ενθάρρυνση, "αν οι άνθρωποι ήταν πάντα σίγουροι για τα πράγματα δεν θα προχωρούσε η επιστήμη..."
Ενώ  η Μαριάνθη άρχισε να λέει την ιδέα της, που δεν ήταν η σωστή επιλογή, πετάχτηκε ένας συμμαθητής της και τη διέκοψε προτείνοντας να υποθέσουμε ότι ο α είναι άρτιος  και να δοκιμάσουμε τι θα γίνει... Άρχισαν να μιλάνε και άλλοι συνεχίζοντας την ιδέα αυτή...
Είχαν φτάσει πολύ κοντά στο να ξανανακαλύψουν την εις άτοπο απαγωγή! Δυστυχώς η πίεση του χρόνου με ανάγκασε να μη δώσω συνέχεια στο παιχνίδι και δεν κατάφερα να αξιοποιήσω στο έπακρο τις δυνατότητες που μας δίνει μια τέτοια προσέγγιση. Στο βαθμό που το πετύχαμε όμως, καταλάβαμε κάτω από ποιες συνθήκες το ανθρώπινο μυαλό οδηγείται στην επινόηση νέων μεθόδων και πρακτικών... Αλλά την απαγωγή σε άτοπο δεν είναι σίγουρο ότι την κατάλαβαν όλοι στην τάξη. Ακούστηκαν διάφορες διαμαρτυρίες όταν ολοκληρώθηκε η απόδειξη στον πίνακα και μου ζητήθηκε πολλές φορές να επαναλάβω κάποια σημεία...


Για εργασία στο σπίτι ζήτησα να γράψουν για την "απόδειξη στα Μαθηματικά".  Δεν ρώτησαν καν αν ήθελα έναν ορισμό ή τις αποδεικτικές μεθόδους ή την ιστορία της απόδειξης. (Αυτό το τελευταίο λίγο δύσκολο να το σκεφτούν βέβαια, αλλά λέμε τώρα..).
Κάπου εκεί το κουδούνι,  μας διέκοψε, όπως πάντα, στο καλύτερο σημείο.
"Πολύ δύσκολα, κυρία, είναι αυτά..." είπαν αρκετά παιδιά, ενώ βγαίναμε για διάλειμμα. 
Μεταξύ αυτών και η Μαριάνθη, που είναι καλή στα Μαθηματικά και έγραψε 18 στο διαγώνισμα της Άλγεβρας, με κοίταζε με μάτια διάπλατα ανοιχτά, ψιθυρίζοντας "Δύσκολα, κυρία...", σα να μου ζητούσε βοήθεια...Διαβλέπω πως η Μαριάνθη σιγά σιγά στρέφεται προς τα φιλολογικά, όπως στράφηκαν και πολλά από τα περσινά μας παιδιά, παρόλο που είχαν καλές επιδόσεις στα Μαθηματικά... 
Και παρόλα αυτά, ο αγώνας ταχύτητας συνεχίζεται και γεννά μια σειρά από ατοπήματα μεγάλα και μικρά, που λειτουργούν στα περισσότερα παιδιά τελείως αποθαρρυντικά, επειδή...είναι τόοοοσο δύσκολα τα Μαθηματικά! 

Δευτέρα, 14 Οκτωβρίου 2013

Η κριτική προσέγγιση της μεθοδολογίας

Δύο μήνες και δύο μέρες μετά από την τελευταία μου ανάρτηση, και ενώ είχα αρχίσει να σκέφτομαι  πως μπορεί και να μην ξαναγράψω στο blog, σήμερα την ώρα της Άλγεβρας ένιωσα την ανάγκη να σχολιάσω κάποιες από τις παρατηρήσεις που έκανα στη διάρκεια του μαθήματος. Για να είμαι ειλικρινής, αφότου αποσπάστηκα στο σχολείο που θα διδάξω φέτος και αφότου ξεκίνησαν - στο βαθμό που ξεκίνησαν - τα μαθήματα  ένιωσα κι άλλες φορές την ίδια ανάγκη, αλλά οι συνεχείς αλλαγές στην εκπαιδευτική πραγματικότητα, η μόνιμη αγωνία για τις εξελίξεις, η ανησυχία για το πόσο θα συρρικνωθεί και πόσο θα χάσει τη δυναμική του το Δημόσιο Σχολείο, με έκαναν να χάνω, εν τέλει, τη διάθεση για επικοινωνία και για διάχυση των σκέψεων και των διδακτικών εμπειριών.
Από την άλλη όμως, η ζωντάνια της τάξης, η ενέργεια των παιδιών, οι φρέσκες ιδέες τους και ... τα επαναλαμβανόμενα λάθη τους αποτελούν αστείρευτη πηγή έμπνευσης και δημιουργίας! Όρεξη να έχει ο δάσκαλος να δοκιμάζει... Κι εγώ, παρόλες τις αντίξοες συνθήκες, διατηρώ την όρεξή μου ανεξάντλητη και πειραματίζομαι συνεχώς, προσπαθώντας να βρω τρόπο να κάνω καλύτερα τη δουλειά μου, ειδικά δε τώρα που μέσα σε τόσο λίγο χρόνο πρέπει να βγάλουμε τόση πολλή ύλη και με την "απειλή" της Τράπεζας Θεμάτων στο τέλος της χρονιάς! Στο Νέο Λύκειο! Να το δούμε κι αυτό...
Μέχρι να το δούμε όμως είμαστε εμείς και οι μαθητές μας, οι μικροί μαθητές της Α' Λυκείου, που πολλοί από αυτούς διατηρούν τη γυμνασιακή τους παιδικότητα, βάζοντας φρένο στην ταχύτατη πνευματική ανάπτυξη που απαιτείται να σημειώσουν με την είσοδό τους στο Λύκειο. Εμείς, λοιπόν, και αυτοί οι μαθητές είμαστε που παλεύουμε εντός των τοιχών της σχολικής αίθουσας, για να καλύψουμε τις ύλες που καθορίζονται από ανθρώπους που δεν γνωρίζουν ούτε εμάς, αλλά ούτε και τις συνθήκες κάτω από τις οποίες εργαζόμαστε... Αλλά στις δύσκολες συνθήκες, πιθανόν, θα επανέλθω με άλλη ανάρτηση. Τώρα θα προτιμούσα να επικεντρωθώ σε διδακτικές πρακτικές και πιο συγκεκριμένα θα ήθελα να πω  πόσο σημαντική θεωρώ την "κριτική προσέγγιση της μεθοδολογίας", δηλαδή τη συζήτηση με τους μαθητές γύρω από τις επιλογές της μεθόδου που χρησιμοποιούμε για να λύσουμε μια συγκεκριμένη άσκηση. Για μένα η διαδικασία αυτή είναι εκ των ων ουκ άνευ στρατηγικών που αναπτύσσουν την κριτική σκέψη. Για το λόγο αυτό επιδιώκω σχεδόν πάντα, με την ολοκλήρωση ενός κεφαλαίου κι ενώ έχουν γίνει όλα ή περίπου όλα τα είδη των ασκήσεων να επιλέγω τρεις  ασκήσεις διαφορετικής μεθοδολογικής προσέγγισης και να τις λύνω στον πίνακα, εν είδει επανάληψης, μαζί με τους μαθητές, δηλαδή με ερωτο-απαντήσεις και διευρυμένη συζήτηση.
Σήμερα για παράδειγμα, τελειώνοντας το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, επέλεξα να λύσουμε τις ασκήσεις που φαίνονται στον πίνακα. Υπήρχε και μια τρίτη άσκηση, ένα λεκτικό πρόβλημα, αλλά  το μέγεθος του πίνακα δεν επιτρέπει να κάνουμε ακριβώς όπως θα θέλαμε τη δουλειά μας, να συγκρίνουμε δηλαδή στο τέλος του μαθήματος και τα τρία είδη ταυτόχρονα, κάνοντας και μια πλήρη ανακεφαλαίωση.

Αφού λύσαμε την πρώτη άσκηση, αυτή που φαίνεται στα αριστερά του πίνακα, έγραψα τα στοιχεία της δεύτερης, που είναι από το σχολικό βιβλίο, και ζήτησα από τους μαθητές να τη μελετήσουν και να κάνουν προτάσεις για τη λύση. Μαντεύετε πώς πρότειναν να λύσουμε τη δεύτερη άσκηση; Με χρήση των τύπων, όπως δηλαδή λύσαμε και την πρώτη. Και μαντεύετε ποιοι πρότειναν αυτή τη λύση. Οι καλύτεροι μαθητές! Αναμενόμενο; Ναι! Το παρατηρώ συνεχώς από τότε που το πρόσεξα για πρώτη φορά. Το έχουν παρατηρήσει και άλλοι πολλοί πριν από μένα. Και πιο ειδικοί από μένα, όπως, για παράδειγμα, ο Resnick που έχει πει ότι "Οι μαθητές πραγματοποιούν την απαραίτητη νοητή δόμηση χρησιμοποιώντας όποιες γνώσεις έχουν στη διάθεσή τους και τις θεωρούν σχετικές με το θέμα". Και το επιβεβαιώνω κάθε φορά που σχεδιάζω ένα μάθημα σαν αυτό που έκανα σήμερα, με τρεις δηλαδή διαφορετικής μεθοδολογικής προσέγγισης επαναληπτικές ασκήσεις. Επιβεβαιώνεται τελικά ότι πολλοί μαθητές αυθορμήτως επιλέγουν να λύσουν τη δεύτερη άσκηση με τη μέθοδο που έλυσαν την πρώτη, ακόμη και όταν είναι εντελώς διαφορετικής κατηγορίας. (Ένα τέτοιο, πολύ ενδιαφέρον κατά τη γνώμη μου, παράδειγμα υπάρχει εδώ).
Η συζήτηση που ακολουθεί είναι πολύ σημαντική για διάφορους εκπαιδευτικούς και παιδαγωγικούς λόγους. Προκαλεί όχι μόνο "μεθοδολογική σύγκρουση" και διαμόρφωση κριτηρίων επιλογής της κατάλληλης μεθόδου, αλλά επί πλέον προκαλεί και μια γενικότερη συζήτηση γύρω απο την κριτική προσέγγιση των επιλογών μας. Των όποιων επιλογών...
Και σταματώ εδώ για να ρωτήσω το εξής: πώς εγώ θα προλάβω να καλλιεργήσω την κριτική σκέψη των μαθητών μου, αυτών των μαθητών της Α' Λυκείου, όταν πρέπει να τους προετοιμάσω για μια Τράπεζα Θεμάτων, για την οποία προς το παρόν τουλάχιστον εγώ δεν γνωρίζω τίποτε;
Γνωρίζει κάποιος να μου πει αν έχουμε...επιλογή;

Δευτέρα, 12 Αυγούστου 2013

"Ένας λαός σε μια φέτα ψωμί..."

"[...] ήρθε  στο γραφείο μου ο Στάθης ανήσυχος: 
'Το ψωμί δεν φτάνει ούτε για τους μισούς. Τι θα κάνουμε;'
Κατέβηκα έντρομη στην κουζίνα, κι έλεγα χωρίς κανένα δισταγμό στη φωνή μου:
'Παιδιά, κόψτε τις φέτες λεπτές, για να βγουν όσο το δυνατόν περισσότερες'.
Ο Σωτήρης έκοψε μια και μου την έφερε.
'Τόση φτάνει κυρία διευθύντρια; Δεν μπορώ πιο λεπτή...' "

Είναι λίγες γραμμές από το βιβλίο της Δήμητρας Νούση, με τίτλο "σ' ευχαριστώ που μ' αγαπάς", που  προσφάτως κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Πατάκη.
Όταν πρωτοπήρα το βιβλίο στα χέρια μου, κρίνοντας από τον τίτλο, φαντάστηκα πως πρόκειται για ένα από εκείνα τα love story μυθιστορήματα, που κατακλύζουν κατά δεκάδες τους πάγκους  των εποχιακών βιβλιοπωλείων, σαν κι αυτά που στήνονται βιαστικά τα καλοκαίρια στα τουριστικά θέρετρα, για να εφοδιάσουν τις λουόμενες με εύπεπτα κι ανάλαφρα αφηγήματα φλογερών ιστοριών, που μετά από μια προκαθορισμένη και προβλεπόμενη Οδύσσεια καταλήγουν πάντα σε ένα, κατά το δοκούν,  αίσιο τέλος!  Η αλήθεια είναι ότι ο τίτλος του βιβλίου παραπλανά. Και ο υπότιτλος: "Μια ιστορία από την καρδιά της Αθήνας", δεν ξεκαθαρίζει το τοπίο. Γυρνώντας δε στο οπισθόφυλλο, όπου περίμενα να πληροφορηθώ επαρκώς για  το είδος του εν λόγω βιβλίου το πράγμα φάνηκε να περιπλέκεται ακόμη περισσότερο, όταν διάβασα:

"Αύγουστος του 2012 στην Αθήνα. Μια συνηθισμένη γυναίκα καλείται να αναλάβει μια ασυνήθιστη δουλειά: τη διεύθυνση ενός ιδρύματος που είναι γεμάτο πληγές, στην Αθήνα που περνάει μια απ' τις χειρότερες στιγμές της νεότερης ιστορίας της. Δεν είναι μόνο οι άστεγοι και οι ναρκομανείς που έρχονται στην αυλή για το συσσίτιό τους, αλλά και οι 'νεόπτωχοι': άνθρωποι της μεσαίας τάξης που έχουν χάσει τα πάντα, όχι όμως την αξιοπρέπειά τους..."

"Τελικά φαίνεται να έχουν δίκαιο όσοι ισχυρίζονται ότι η κρίση δίνει τροφή στην Τέχνη", σκέφτηκα. "Ιδού πώς οι τραγικές συνθήκες που διαμορφώθηκαν στην καρδιά της πρωτεύουσας, αποτελούν το ιδανικό σκηνικό για μυθιστορίες και κάθε είδους λογοτεχνικές αφηγήσεις. Η ταχύτατη εξαθλίωση ολοένα και μεγαλύτερης κοινωνικής μερίδας, πλέκει τον καμβά πάνω στον οποίο μπορεί να κεντήσει το γαϊτανάκι του κάθε επίδοξος συγγραφέας", συνέχισα να μονολογώ βλέποντας με μια δόση καχυποψίας το βιβλίο. Ακόμη και όταν διάβασα, κάπου στη μέση του οπισθόφυλλου, ότι:

"Το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας είναι μια συγκλονιστική μαρτυρία, μια κατάθεση ψυχής από μια συνηθισμένη γυναίκα που βρέθηκε αντιμέτωπη με την κατάρρευση.",

ακόμη και τότε δεν ήμουν σίγουρη περί τίνος πρόκειται. Πιθανόν η εμφατική επανάληψη των τριών λέξεων: "μια - συνηθισμένη - γυναίκα", ήταν που με μπέρδεψε περισσότερο. Πόσο συνηθισμένη γυναίκα, δηλαδή; Ίσως αυτή η απορία με ώθησε να ξεκινήσω την ανάγνωση. Δεν χρειάστηκε να διαβάσω πολλές σελίδες, για να καταλάβω, μεταξύ άλλων, τα εξής πράγματα:

1ο. Το βιβλίο "σ' ευχαριστώ που μ' αγαπάς", της διευθύντριας ΚΥΑΔΑ, Δήμητρας Νούση, είναι ένα χρονογράφημα ημερολογιακού τύπου και όχι ένα love story, όπως μου φάνηκε στην αρχή λόγω του τίτλου... Επί πλέον, κάθε άλλο παρά "συνηθισμένη γυναίκα" είναι η συγγραφέας, όπως επιμόνως και κατ' επανάληψη στο βιβλίο της ισχυρίζεται ότι είναι.
2ο. Κατά την ανάγνωση το στομάχι μου σφίχτηκε τόσο που, μέχρι να διαβάσω την τελευταία σελίδα, αναγκάστηκα να κάνω αρκετές φορές διάλειμμα.
3ο.  Οι εικόνες από την "αυλή των καταραμένων" του Ιδρύματος, όπως η Δ.Ν. αποκαλεί τους σιτιζόμενους στο Ίδρυμα, καταγράφηκαν σαν Ερινύες στο μυαλό μου και κάθε φορά που γεμίζω το πίατό μου, με κατακλύζουν και μου κόβουν την όρεξη... Τότε πιάνω μια πολύ λεπτή φέτα ψωμί και το τρίβω στο χέρι μου...

"[...] Ένας λαός σε μια φέτα ψωμί, μια χούφτα κολλημένα ψίχουλα που ασφυκτιούν μέσα σε μια σφιχτή ζύμη, τόσο σφιχτή που ξαφνικά, σαν να μην αντέχει την ασφυξία της, ξεσπάει σε μια εκρηκτική αποκόλληση, διαλύεται, χάνεται η συνοχή της...
Αναρωτιέμαι πόσοι άνθρωποι που ζουν στην επαρχία αντιλαμβάνονται τι γράφω.", 

γράφει η Δ.Ν. και πιστεύω πως έχει δίκαιο που αναρωτιέται, επειδή η επαρχία είχε κι έχει πάντα  τον τρόπο της να στρώνει τραπέζι, με τα εδώδιμα που παράγει στις αυλές της. 
Στην Κατοχή πού κατέφευγαν οι άνθρωποι των πόλεων; Στα χωριά, για να ανταλλάξουν τα λιγοστά τους υπάρχοντα, στην καλύτερη περίπτωση με ένα σακί αλεύρι, λίγα λίτρα λάδι ή, στη χειρότερη, με μερικά αυγά και λίγα ψίχουλα...  Με μια λεπτή φέτα ψωμί... Σαν κι αυτή που έκοψε ο Σωτήρης!

Ο Σωτήρης, ο Φοίβος, ο Στάθης, νέα παιδιά που εργάζονται αμισθί στο Ίδρυμα, χωρίς προοπτική, χωρίς ελπίδα, ανακατεμένοι με τους σιτιζόμενους, έχουν στοιχειώσει τη σκέψη μου. Οι εθελοντές του Ιδρύματος, και ειδικά ο 27χρονος Φοίβος, έχουν αποτυπωθεί ανεξίτηλα στο μυαλό  μου και με κρατούν ξάγρυπνη τις νύχτες...
Πριν λίγες μέρες, στις τέσσερις τα ξημερώματα βγήκα στο μπαλκόνι, τη στιγμή ακριβώς που ακουγόταν -μέσα στην απόλυτη ησυχία- το χειρόφρενο ενός αυτοκινήτου, που πάρκαρε στη γωνία, δέκα μέτρα παρακάτω. Είδα ένα μεγαλόσωμο άντρα, ανάμεσα 30 και 40, να βγαίνει και να πηγαίνει βιαστικά προς τους τρεις κάδους. Δύο ανακύκλωσης και ένας κανονικός. Μόλις τους έφτασε κι ενώ άπλωνε το χέρι του στον έναν από αυτούς, έστρεψε το κεφάλι του ένα γύρω να ελέγξει την περιοχή. Μοιραία μπήκα στο οπτικό του πεδίο. Τότε, με το χέρι μεταίωρο, έκανε μεταβολή, μπήκε στο αυτοκίνητό του και εξαφανίστηκε. Ένιωσα να με πλημμυρίζει ενοχή! Θα έπρεπε να είχα μείνει στο κρεβάτι μου...
Ή θα έπρεπε να είχα κρεμάσει ένα καρβέλι ψωμί, δίπλα στους κάδους...
Σκέφτομαι να το κάνω... Για όσο τουλάχιστον έχω τη δυνατότητα να το αγοράζω. 
Και έτσι, αγοράζοντας ένα καρβέλι ψωμί, να εξαγοράζω τη...συνείδησή μου, και πιθανότατα, και τον ύπνο μου!

Σάββατο, 20 Ιουλίου 2013

ABECEDARIUS

Ο Ιωάννης (Johannes Balbus) της Γένουας, το 1286 στο έργο του Catholicon, πίστευε ότι επινοεί την αλφαβητική σειρά για πρώτη φορά, γι' αυτό έδινε λεπτομερείς οδηγίες στον αναγνώστη, όπως για παράδειγμα: 
"...σκοπεύω να εξετάσω τις λέξεις amo και bibo. Θα εξετάσω το amo πριν από το bibo, επειδή το a είναι το πρώτο γράμμα του amo και το b είναι το πρώτο γράμμα στο bibo και το a προηγείται του b στο αλφάβητο. Ομοίως....". 
Ο Ιωάννης της Γένουας, έχοντας μάλλον επίγνωση της δυσκολίας που αντιμετώπιζαν οι σύγχρονοί του στην "τεχνολογία της γραφής", έδινε στον πρόλογο του βιβλίου του ένα μακρύ κατάλογο παραδειγμάτων αρχειοθέτησης κατά αλφαβητική σειρά, για να καταλήξει στο εξής: 
"Σε εκλιπαρώ, ευγενικέ αναγνώστη, να μην περιφρονήσεις αυτόν τον μεγάλο κόπο μου και αυτή τη σειρά σαν κάτι ανάξιο λόγου".

Διαβάζοντας αυτήν την παράγραφο στο βιβλίο Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ, του James Gleick, εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ, 2011, ένιωσα να ... συμμερίζομαι την αγωνία του Ιωάννη! :) 
Θέλησα να μοιραστώ το ανάγνωσμα μαζί σου, αγαπητέ αναγνώστη! Αλλά, μετά σκέφτηκα μήπως πληκτρολογώ εις μάτην. Μήπως εσύ, ευγενικέ μου αναγνώστη, βρίσκεσαι στον Φλοίσβο και απολαμβάνεις τη ρέμβη σου, έχοντας πλήρως αποσυνδεθεί από το διαδίκτυο; Μακάρι! Ελπίζω να είναι έτσι κι ελπίζω  να περνάς καλά, αν μπορείς...

Εγώ διαβάζω τώρα το τρίτο κεφάλαιο του βιβλίου που έχει τίτλο "Δύο λεξικά", και από αυτό το κεφάλαιο θα αντιγράψω ένα μικρό και πολύ ενδιαφέρον απόσπασμα, που ανατρέπει την αντίληψη του Ιωάννη της Γένουας, για να το διαβάσεις εσύ όταν θα επιστρέψεις. :)
Αλλά πριν αρχίσω την αντιγραφή, να πω ότι στο 2ο κεφάλαιο που έχει τίτλο "η διατήρηση της λέξης" ο Gleick προσεγγίζει το θέμα από γλωσσολογική σκοπιά και μεταξύ πολλών ενδιαφερόντων - από τα οποία τα μισά και περισσότερα, για να μην πω σχεδόν όλα, αφορούν στον Πλάτωνα και στον Αριστοτέλη - εξηγεί ότι στα πρώτα κείμενα οι νομικοί και οι λοιποί, από την αμηχανία που τους προκαλούσε ο γραπτός λόγος, (οι γραπτές λέξεις εκλαμβάνονταν ως φωνή του απόντος!), απευθύνονταν σε κάποιον φανταστικό αναγνώστη, με αποτέλεσμα πολλά καταστατικά κείμενα,  νομικά ή λογιστικά, να κλείνουν με τη λέξη  "αντίο"! Και ο Ιωάννης της Γένουας, από αμηχανία απευθυνόταν σε έναν τέτοιον αναγνώστη  και μάλιστα ικετευτικά, επειδή θεωρούσε ότι η κωδικοποίηση κατά  αλφαβητική σειρά, που ο ίδιος-όπως πίστευε- είχε επινοήσει για πρώτη φορά, ήταν δυσνόητη και  θα απέτρεπε τον άγνωστη από το να μελετήσει το σύγγραμα. Τελικά δεν ήταν έτσι, αφού άλλοι, πολύ πριν από αυτόν, είχαν ήδη χρησιμοποιήσει τους αλφαβητικούς καταλόγους, όπως διαβάζουμε στο βιβλίο του Gleick:

 
Στον αρχαίο κόσμο, οι αλφαβητικοί κατάλογοι σπάνιζαν μέχρι περίπου το 250 π.Χ., οπότε εμφανίζεται σε παπύρους από την Αλεξάνδρεια. Φαίνεται πως στη μεγάλη βιβλιοθήκη χρησιμοποιήθηκε, τουλάχιστον ως ένα σημείο, η αλφαβητική σειρά για την τακτοποίηση των βιβλίων. Η ανάγκη για ένα τέτοιο τεχνητό σχήμα ταξινόμησης ανακύπτει μόνο όταν υπάρχουν μεγάλες συλλογές δεδομένων, που δεν ταξινομούνται διαφορετικά. Και η δυνατότητα της αλφαβητικής σειράς υπάρχει μόνο στις γλώσσες που διαθέτουν αλφάβητο: ένα συγκεκριμένο μικρό σύνολο συμβόλων με τη δική τους συμβατική ακολουθία (" abecedarie, η σειρά των γραμμάτων ή εκείνος που την χρησιμοποιεί"). Ακόμη και σ' αυτήν την περίπτωση το σύστημα είναι αφύσικο. Αναγκάζει τον χρήστη να αποσυνδέσει την πληροφορία από το νόημα, να δει τις λέξεις αυστηρά σαν σειρές από χαρακτήρες, να εστιάσει αφηρημένα στο σχηματισμό της λέξης. Επιπλέον, η αλφαβητική σειρά περιλαμβάνει δύο διαδικασίες, τη μία αντίστροφη της άλλης: την οργάνωση ενός καταλόγου και τον έλεγχο για την εύρεση συγκεκριμένων στοιχείων, την ταξινόμηση και την αναζήτηση. Και στις δύο κατευθύνσεις η διαδικασία χαρακτηρίζεται από την αναδρομή (" recourse, το να τρέχεις προς τα πίσω"). Η βασική λειτουργία είναι μια δυαδική επιλογή: 'περισσότερο από...' ή 'λιγότερο από...'. Αυτή η λειτουργία εκτελείται πρώτα σε ένα γράμμα, κατόπιν ενσωματωμένη ως υπορουτίνα, εκτελείται στο επόμενο γράμμα, κ.ο.κ.

Πιθανόν για μας που έχουμε εξοικειωθεί με τη γραφή και την ανάγνωση, με τη χρήση λεξικών, με τους υπολογιστές, με τις ρουτίνες, τις υπορουτίνες και όλες τις αλγοριθμικές διαδικασίες, η παραπάνω περιγραφή να είναι περιττή, αλλά για τον δάσκαλο και ιερέα Robert Cawdrey, που το 1604 έκρινε απαραίτητο να συγγράψει ένα βιβλίο με τον μακροσκελή τίτλο: "Αλφαβητικός Πίνακας, που περιλαμβάνει και διδάσκει την ορθή γραφή και κατανόηση ασυνήθιστων αγγλικών λέξεων", τα πράγματα ήταν πολύ διαφορετικά.
Cawdrey γνώριζε ότι δεν μπορούσε να περιμένει ούτε από τους πιο μορφωμένους αναγνώστες του να είναι εξοικειωμένοι με την αλφαβητική σειρά, γι' αυτό προσπάθησε να φτιάξει έναν μικρό οδηγό χρήσης". 
Η τακτοποίηση κατ' αλφαβητική σειρά, αυτή η κατά Cawdrey αλλόκοτη διαδικασία, "έχει εκπληκτική αποτελεσματικότητα. Το σύστημα κλιμακώνεται εύκολα σε οποιοδήποτε μέγεθος, καθώς η μακροδομή είναι ταυτόσημη με τη μικροδομή. Όποιος κατανοεί την αλφαβητική σειρά γρήγορα κατευθύνεται σε οποιοδήποτε στοιχείο, ανάμεσα σε χίλια ή σε ένα εκατομμύριο, με ακρίβεια και απόλυτη βεβαιότητα. Και χωρίς να γνωρίζει τίποτε για το νόημα." 

Κρατώ την τελευταία φράση του Gleick: "Και χωρίς να γνωρίζει τίποτε για το νόημα", η οποία εγείρη έντονο προβληματισμό γύρω από το πόσο μπορεί να γνωρίζει το νόημα κάποιος που  εκτελεί ρουτίνες, όπως για παράδειγμα αυτές που ακολουθούν οι μαθητές μας, όταν λύνουν τις πρωτοβάθμιες και τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις...
Θα επανέλθω στο θέμα της κατανόησης του νοήματος από τους μαθητές και όχι μόνο, όπως θα επανέλθω και στο βιβλίο συντόμως με νέα ανάρτηση.  Πώς να το αποφύγω άλλωστε, αφού στο τέλος του τρίτου κεφαλαίου κάνει παρέμβαση ο ...Gottfried Wilhelm Leibniz, οπότε η αρχικά "φαινόμενη" γλωσσολογική προσέγγιση αποκαλύπτει το μαθηματικό της προφίλ και η γοητεία του θέματος  χτυπά κόκκινο! :) ) Όσο δε για το δεύτερο λεξικό το οποίο αναφέρεται στο κεφάλαιο αυτό, να πω ότι είναι το Oxford English Dictionary  και να σταματήσω προς το παρόν εδώ, για να αφήσω τον James Gleick να μιλήσει για τη θεωρία της πληροφορίας και την πολύ μακρά της ιστορία.

Δευτέρα, 8 Ιουλίου 2013

ΟΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΤΡΥΠΕΣ TOY REULEAUX


"Η ιδέα ενός τρυπανιού που ανοίγει σχεδόν τετράγωνες τρύπες εναντιώνεται στην κοινή λογική! Πώς είναι δυνατόν μια περιστρεφόμενη κεφαλή τρυπανιού να ανοίγει μη κυκλικές τρύπες;"

γράφει στη σελίδα 93  του βιβλίου "η λωρίδα του Μέμπιους", του Clifford Pickover, που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ και που τυχαία άνοιξα στη σελίδα αυτή σήμερα το πρωί, περιμένοντας στο γραφείο του Διευθυντή. Προσπάθησα να φέρω στο μυαλό μου την κεφαλή του τρυπανιού και, καθώς διαθέτω δικό μου κρουστικό κι άρα έχω καλή σχέση με το εργαλείο, αναπαράστησα νοερά την κίνηση της κεφαλής και μια ολοστρόγγυλη τρύπα σχηματίστηκε στον ... αέρα, εκεί μπροστά στα μάτια μου! "Τελικά θα πρέπει να παραδεχτώ ότι η λογική μου δεν ξεφεύγει από την "κοινή" και γι' αυτό  εναντιώνεται στις τετράγωνες τρύπες", σκέφτηκα και για να λύσω τον γρίφο της τετράγωνης οπής έπιασα να διαβάσω την παράγραφο από την αρχή:
"Τα μαθηματικά αξιοποιούνται και εφαρμόζονται στις ευρεσιτεχνίες με εντυπωσιακούς τρόπους: ένας από αυτούς είναι το τρίγωνο Ρελό - ένα τρίγωνο με καμπύλες πλευρές. Η συγκεκριμένη πατέντα με το τρίγωνο Ρελό αφορά κεφαλές τρυπανιών που μας βοηθούν να ανοίξουμε τετράγωνες τρύπες! [...] Η διατομή τους ορίζεται από το τρίγωνο Ρελό, το οποίο πήρε το όνομά του από τον διακεκριμένο μηχανολόγο μηχανικό Φραντς Ρελό (1829-1905)."

Στη συνέχεια μας παρέπεμπε σε εικόνα που παρίστανε το δίπλωμα ευρεσιτεχνίας "Τρυπάνι για τετράγωνες τρύπες" (Δίπλ. Ευρ. ΗΠΑ 4.074.778) και συνέχιζε λέγοντας: 
"Το ίδιο τρίγωνο εμφανίζεται και σε ευρεσιτεχνίες για άλλες κεφαλές τρυπανιών, καθώς και για καινοφανείς φιάλες, έλαστρα, κουτάκια αναψυκτικών, κεριά, ράφια που μπορούν να περιστραφούν, κιβώτια ταχυτήτων και ερμάρια. "

Μετά τον πρώτο ενθουσιασμό μου για το τρίγωνο Ρελό και καθώς το θέμα άρχισε να γίνεται εντελώς "μηχανικό" το ενδιαφέρον μου έτεινε να εξαντληθεί εντελώς και προς στιγμή σκέφτηκα να κλείσω το βιβλίο και να περιμένω τον Διευθυντή άπραγη, αλλά τότε το μάτι μου πήρε τη λέξη "μαθηματικά" στην αμέσως επόμενη σειρά, οπότε, όπως ήταν φυσικό, κράτησα το βιβλίο ανοιχτό και συνέχισα να διαβάζω. Άλλωστε ο Διευθυντής είχε ακόμη πολλή δουλειά στο εργαστήριο της Φυσικής.

"Για αναγνώστες που τους ενδιαφέρουν τα μαθηματικά, αναφέρουμε πως είναι εύκολο να κατασκευαστεί ένα τρίγωνο Ρελό. Αρχικά κατασκευάστε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά μήκους s. Στη συνέχεια με τη βοήθεια του διαβήτη, σχεδιάστε τρείς κύκλους με κέντρο καθεμία από τις κορυφές του τριγώνου και ακτίνα s.  Τα τόξα που σχηματίζονται από τα σημεία τομής των τριών κύκλων και περνούν από τις κορυφές του αρχικού τριγώνου, αποτελούν τις πλευρές του τριγώνου Ρελό.
Χάρη στις μελέτες πολλών μαθηματικών, γνωρίζουμε αρκετά για τις ιδιότητες του τριγώνου Ρελό. Το εμβαδόν του ισούται με:
{1\over2}(\pi - \sqrt3)s^2
και το εμβαδόν της περιοχής που διανοίγεται από ένα τέτοιο τρυπάνι καλύπτει το 0,9877003907...του εμβαδού ενός τετραγώνου. Η μικρή αυτή διαφορά οφείλεται στο ότι η κεφαλή του τρυπανιού Ρελό δημιουργεί τελικά ένα τετράγωνο με ελαφρώς στρογγυλεμένες κορυφές."

Η ενότητα για το τρίγωνο Ρελό τέλειωνε εδώ και η επόμενη ενότητα με τίτλο Η λωρίδα του Μέμπιους σε διάφορες ευρεσιτεχνίες ανέφερε διάφορα διπλώματα ευρεσιτεχνίας Μέμπιους, όπως για παράδειγμα του Όουεν Χάρις που του χορηγήθηκε  ένα δίπλωμα ευρεσιτεχνίας το 1949, για έναν λειαντικό ιμάντα που αύξανε σημαντικά τη λειαντική ή στιλβωτική επιφάνεια..." κλπκλπ

Όσο προχωρούσα το διάβασμα άρχισα να σκέφτομαι πως το βιβλίο αυτό θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ως βασικό εργαλείο στο μάθημα της ερευνητικής εργασίας! Ένα project που διασυνδέει τα Μαθηματικά και την Τεχνολογία, ιδανικός συνδυασμός με δυνατότητα ενεργοποίησης όλων των μαθητών ...Ενθουσιάστηκα δε ακόμη περισσότερο, όταν ανακάλυψα πως το 7ο κεφάλαιο έφερε τον πολλά υποσχόμενο τίτλο Παιχνίδια, λαβύρινθοι, τέχνη, μουσική και αρχιτεκτονική, ενώ το 8ο με τον τίτλο Λογοτεχνία και ταινίες ερχόταν για να υπερκαλύψει και όλα τα προσωπικά μου ενδιαφέροντα. Αυθόρμητα η σκέψη μου πλημμύρισε με εικόνες παιδιών που εργάζονταν σε τετραμελείς ομάδες, έχοντας κιόλας επιλέξει θέματα από τα πολλά που πρόσφερε το βιβλίο του Clifford Pickover, αλλά όταν τα βήματα του Διευθυντή αντήχησαν στο διάδρομο του άδειου από παιδιά σχολείου, επανήλθα με θλίψη στην ωμή πραγματικότητα... 
Κάνω όνειρα για την επόμενη χρονιά, για το project και για τα μαθηματικά, ενώ δεν ξέρω πού θα βρίσκομαι την επόμενη σχολική χρονιά... Δεν μπορώ να προβλέψω πού θα με "ξεβράσει" η χαοτική κατάσταση που επικρατεί στον χώρο της παιδείας, και παντού, και γενικά... 
Φοβάμαι μήπως οι γοητευτικές και πέρα από την κοινή λογική τετράγωνες τρύπες του Ρελό κι όλα  τα σχέδια του project  που έχω για του χρόνου στο μυαλό, αποδειχτούν στο τέλος μια ... τρύπα στο νερό.
  
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Για περισσότερες πληροφορίες για το τρυπάνι Reuleaux δείτε εδώ "Est-il possible de forer des trous de forme carrée ?"   και εδώ


Τετάρτη, 3 Ιουλίου 2013

ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ...



 
"Φυσιολογικά, ο  κάτοχος μιας κλειδαριάς διαθέτει και το απαραίτητο κλειδί με το οποίο μπορεί να την ανοίξει."

Με αυτήν τη φράση ξεκινά το βιβλίο που κρατώ στα χέρια μου και προσπαθώ εδώ και λίγες μέρες να διαβάσω. Διαβάζοντας όμως την πρώτη κιόλας αράδα αναρωτήθηκα πώς μπορεί να ξεκινά κατ' αυτόν τον τρόπο ένα τέτοιο βιβλίο! Η αλήθεια είναι πως είχα προετοιμαστεί για κάτι εντελώς διαφορετικό.
Η κλειδαριά και το κλειδί, με κάτοχο ή χωρίς, έφεραν στη σκέψη μου χίλια μύρια θέματα με πύργους, με κλειδωμένες πριγκίπισσες, με χαμένους παραδείσους κι άλλα διάφορα. Κι ύστερα σκέφτηκα μερικές αγαπημένες φράσεις, με επικρατέστερη ανάμεσά τους αυτήν του Κάρλο Φραμπέτι: "η επίγνωση της άγνοιας είναι το κλειδί της γνώσης". Ακόμη και τίτλους άρθρων σκέφτηκα όπως το  "Αναζητούν το ... γαλλικό κλειδί για την αξιολόγηση των δημοσίων υπαλλήλων", που μου είχε κάνει εντύπωση όταν τον πρωτοδιάβασα, γιατί πάντα πίστευα πως το "γαλλικό κλειδί" είναι ένα εργαλείο που σφίγγει τις βίδες που έχουν λασκάρει, αλλά να που τελικά είναι εργαλείο ... αξιολόγησης δημοσίων υπαλλήλων!
Με τα πολλά, εν τέλει, κάποτε κατάφερα να συγκεντρωθώ και να συνεχίσω την ανάγνωση, οπότε στο γύρισμα της σελίδας, αντί να ξεκαθαρίσει το τοπίο, το πράγμα περιπλέχτηκε ακόμη περισσότερο. Ιδού τι έγραφε:

Φυσιολογικά, ο  κάτοχος μιας κλειδαριάς διαθέτει και το απαραίτητο κλειδί με το οποίο μπορεί να την ανοίξει. Ωστόσο, το να διαθέτεις ένα κλειδί που να μπορεί να  ανοίξει και άλλες κλειδαριές, κλειδαριές περίεργες που ουδέποτε έχουμε αντικρίσει μέχρι τώρα είναι νομίζω κάτι το συναρπαστικό! Ένα αντικλείδι κάνει πιο συναρπαστικά τα αστυνομικά μυθιστορήματα και, παρότι οι σύγχρονες κλειδαριές παραβιάζονται δύσκολα από αντικλείδια, η ιδέα αυτή δεν έχασε ποτέ την αίγλη της και τη γοητεία της.
Ένας κλειδαράς θα μπορούσε να κατασκευάσει πενήντα κλειδαριές που καθεμιά θα είχε το δικό της κλειδί. Θα μπορούσε όμως να κατασκευάσει και ένα κοινό αντικλείδι το οποίο θα άνοιγε και τις πενήντα κλειδαριές. Αυτό μπορεί να συμβεί επειδή ο μηχανισμός που ανοίγει την κάθε κλειδαριά είναι πάντα ο ίδιος. Ο μηχανισμός τίθεται σε λειτουργία από ένα μικρό τμήμα του κλειδιού, το οποίο τμήμα περιέχεται σε όλα τα κλειδιά. Στο αντικλείδι υπάρχει μόνο αυτό το μικρό τμήμα, στερεωμένο μέσω μιας λεπτής ράβδου στο στέλεχος του κλειδιού. Το αντικλείδι δεν έχει τίποτε το οποίο δεν είναι ουσιαστικό στα άλλα κλειδιά και, επειδή δεν διαθέτει τίποτε περιττό, μπορεί ανενόχλητα να μπαίνει, να γυρίζει μέσα σε όλες τις πενήντα κλειδαριές και να τις ανοίγει. 
Επομένως, η αρχή που ακολουθείται για την κατασκευή ενός κλειδιού είναι ο εντοπισμός του ελάχιστου εκείνου τμήματος που είναι απαραίτητο και ταυτόχρονα ο αποκλεισμός κάθε άλλου μη απαραίτητου. Αυτός ο αυστηρός περιορισμός επιβραβεύεται από τη διεύρυνση των δυνατοτήτων και του πεδίου εφαρμογής.

Αν δεν είχα ήδη ελέγξει δυο τρεις φορές το εξώφυλλο και τα περιεχόμενα του βιβλίου που κρατούσα στα χέρια μου, θα πίστευα πως το ανάγνωσμά μου έχει τίτλο "το εγκώμιο του καλού διαρρήκτη" ή κάτι συναφές τέλος πάντων! 

Επρόκειτο όμως για το βιβλίο του D.E. Littlewood, "Στοιχειώδης εισαγωγή στα Ανώτερα Μαθηματικά", από τις εκδόσεις Κάτοπτρο, που - μαζί με δυο άλλα - είχα αποφασίσει  να διαβάσω αμέσως μόλις ξεκινούσαν οι θερινές διακοπές, κάτι που όντως έκανα. Ή τουλάχιστον προσπάθησα, και προσπαθώ, αφού ακόμη δεν έχω ολοκληρώσει τη μελέτη. Όμως δεν ολοκληρώνεται εύκολα και γρήγορα η μελέτη ενός βιβλίου μαθηματικών, ακόμη και στοιχειωδών.
Για να μελετήσεις ένα βιβλίο μαθηματικών πρέπει να κατανοήσεις τις βασικές αρχές που διέπουν τις διάφορες μαθηματικές κατασκευές, όπως ακριβώς για να κατασκευάσεις ένα κλειδί που ανοίγει πενήντα κλειδαριές πρέπει πρώτα να κατανοήσεις την αρχή που ακολουθείται για την κατασκευή ενός κλειδιού.

"Στο πεδίο των μαθηματικών, η αρχή αυτή λέγεται αφαίρεση και δικαιολογημένα μπορούμε να την αποκαλέσουμε μίτο της Αριάδνης για την εν λόγω επισήμη",  λέει  ο D.E. Littlewood στην αμέσως επόμενη παράγραφο. Και συνεχίζει: "στην πραγματικότητα τα μαθηματικά γεννήθηκαν από την αφαίρεση, όπως αποδεικνύεται από το παράδειγμα της ίδιας της έννοιας του αριθμού". 

Και ακριβώς εκεί, στον αριθμό, ξεκινά η απόλυτη αφαίρεση, οπότε αν δεν έχει κάποιος την ικανότητα να διαχειρίζεται το νου του με τρόπον τέτοιο, ώστε να αφήνει τα εγκόσμια και να περιέρχεται σε μια μορφή ...ύπνωσης και μαθηματικού διαλογισμού, δεν νομίζω πως θα έχει ποτέ τη δυνατότητα να κατανοήσει πλήρως τους αλγεβρικούς ακέραιους, τα ιδεώδη, τους p-αδικούς αριθμούς κι όλα αυτά τα  αλγεβρικά όντα που  κρατούν επτασφράγιστα τα ουράνια μυστικά τους και για να τα κατακτήσει κανείς πρέπει αναμφιβόλως να διαθέτει το απαραίτητο κλειδί, που -εν γένει-  είναι  το πείσμα, η επίγνωση και η υπομονή...

--------------------------------------------------
Ευτυχώς το άλλο βιβλίο που δεσμεύτηκα να διαβάσω είναι Απειροστικός Λογισμός και το τρίτο είναι η Αξιωματική Μέθοδος. Γήινα πράγματα, δηλαδή! :)