Δευτέρα, 28 Ιανουαρίου 2013

Το σύμβολο έχει γίνει η ... μέθοδος!

   Ανάμεσα σε αυτούς που για πολλούς και διάφορους λόγους αντιπαθούν τα Μαθηματικά υπάρχουν και εκείνοι που πιστεύουν  ότι πρόκειται για ένα "παιχνίδι συμβόλων",  αφηρημένο και σίγουρα εντελώς κενό συναισθήματος. Οι άνθρωποι αυτοί, φαντάζομαι, στερούνται τη δυνατότητα να βιώσουν την πολύ ιδιαίτερη συγκίνηση που βιώνει κανείς, όταν αντιλαμβάνεται με ποιον τρόπο η ανθρώπινη σκέψη, με μόνο εργαλείο τον ... εαυτό της, καταφέρνει να υπερβεί τα ανυπέρβλητα εμπόδια και να τα κάνει μετρήσιμα και διαχειρίσιμα, φέρνοντας τα πράγματα στο επίπεδο του ανθρώπου.
     Ένα από τα πολλά σχετικά παραδείγματα είναι κι αυτό που συναντάμε στα Μαθηματικά,  στην Κατεύθυνση της Β' Λυκείου, όταν -στην &2.2- γενικεύουμε την εξίσωση της ευθείας στη μορφή: Αx+By+Γ=0, με Α ή Β διάφορο του μηδενός. Οι περισσότεροι μαθητές, ανακουφισμένοι που έπαψαν να ασχολούνται με τα διανύσματα του 1ου κεφαλαίου, τα οποία τους ταλαιπώρησαν επί μακρού και δυστυχώς καθόρισαν το βαθμό τους για το 1ο τετράμηνο, σοκάρονται όταν τα διανύσματα εμφανίζονται και πάλι στη σελίδα 67, ως παράλληλα, το (Β, -Α), ή κάθετα, το (Α, Β), στην παραπάνω ευθεία. Κάποιοι μαθητές αρνούνται πεισματικά να ασχοληθούν με αυτά τα διανύσματα, αρνούνται να τα χρησιμοποιήσουν, το διαπραγματεύονται, επινοούν δικαιολογίες για να τα αποφύγουν, αδυνατώντας φυσικά να κατανοήσουν πως μέσω αυτών των δύο μετρήσιμων, κι άρα πεπερασμένων διανυσμάτων, μπορεί κανείς  να διαχειριστεί την άπειρη ευθεία! Περιορίζονται στον συντελεστή διεύθυνσης και λύνουν, ακόμη και τις παραμετρικές ασκήσεις, με αυτόν, αγνοώντας την ισχύ που τους παρέχουν τα διανύσματα. 
Γιατί άραγε; Τι συμβαίνει; Για ποιο λόγο μόνο λίγοι μαθητές είναι έτοιμοι να δεχτούν αμέσως τη νέα μέθοδο; Πολλές φορές προβληματίζομαι γύρω από το θέμα. Ίσως ένα μέρος του προβλήματος να οφείλεται στο ότι στο σχολείο δεν εξηγούμε επαρκώς τα Μαθηματικά έξω από το φορμαλιστικό-λειτουργικό τους πλαίσιο. Και αναμφιβόλως στο Λύκειο, ακολουθώντας το πιεστικό Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών,  δεν προσεγγίζουμε τα Μαθηματικά από τη φιλοσοφική τους διάσταση, η οποία αποδεικνύει ότι  δεν πρόκειται για ένα "παιχνίδι συμβόλων", που στερείται νοήματος, αλλά για ένα σύνολο πρακτικών άμεσα εφαρμόσιμων ως τρόπο σκέψης, συγκρότησης, συνέπειας, λογικής διάταξης, ερμηνείας, μετάφρασης, και άλλων ατομικών, κοινωνικών και επικοινωνιακών διεργασιών... Τα Μαθηματικά, εν κατακλείδι, δεν είναι μόνο τρόπος σκέψης, είναι και τρόπος ζωής.
Αλλά στο σχολείο τα Μαθηματικά είναι για αρκετούς ένα δύσκολο, απαιτητικό και αντιπαθητικό μάθημα, χωρίς καμία χρησιμότητα, ενώ για κάποιους άλλους δεν είναι τίποτε παραπάνω από  ένα μέσο για να πετύχουν το στόχο τους, περνώντας στο Πανεπιστήμιο. Αυτή η τελευταία κατηγορία μαθητών, όταν φτάσει στη Γ' Λυκείου, περιέχει και μια υποκατηγορία παιδιών, που διαβάζουν ανελέητα, πλην άκριτα, όλα όσα πρέπει να διαβάσουν. Συνήθως δίνουν την εικόνα του παιδιού που αντιλαμβάνεται το αντικείμενο, αφού συμμετέχουν, λύνουν ασκήσεις, σηκώνονται στον πίνακα και γράφουν καλά στα τεστ.
   Σε αυτήν την κατηγορία των ιδιαίτερα μελετηρών παιδιών ανήκει και ο μαθητής μου, ο Χ., σε κάποιο τμήμα της Γ', όπου παρέδωσα τη Γραφική Παράσταση Κατανομής Συχνοτήτων.
Πριν ξεκινήσω τη θεωρία, και για να κεντρίσω το ενδιαφέρον των τριάντα μαθητών κάθε επιπέδου, δυνατότητας, πρόθεσης και προσδοκίας, που φοιτούν στο συγκεκριμένο τμήμα ζήτησα να διαβάσουν την άσκηση 7.

Τα δημοφιλέστερα ξένα μουσικά συγκροτήματα των 18 αγοριών του πίνακα 4 ήταν:
Metallica, Iron Maiden, Scorpions, Rolling Stones...

  Φαντάστηκα πως θα αφυπνιστεί ο κρυμμένος ρόκερ μέσα τους και θα συγκεντρωθούν στο μάθημα, αλλά εκ των υστέρων διαπίστωσα, ρωτώντας κάποιους από τους μαθητές τι μουσική ακούνε, πως αν αντί για τα παλιά ροκ συγκροτήματα στην άσκηση αναφέρονταν αστέρια όπως Κυάμος, Λυάμος, Μυάμος, Νυάμος, το ενδιαφέρον θα κεντριζόταν πραγματικά...
Εν πάση περιπτώσει, οι τόνοι διατηρήθηκαν ήπιοι και το μάθημα ολοκληρώθηκε με τις συνήθεις διαδικασίες. Συζήτηση των θεμάτων θεωρίας και μετά ασκήσεις. Ο Χ. σηκώθηκε πρόθυμα και λύσαμε την άσκηση 7. Τέλος, προκειμένου να εξαντλήσουμε τα λίγα λεπτά που είχαν απομείνει, διαβάσαμε την άσκηση 8.

  Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται η βαθμολογία των 450 μαθητών ενός Γυμνασίου σε τέσσερις κατηγορίες. "Άριστα", "Λίαν Καλώς", "Καλώς" και "Σχεδόν Καλώς". Το 30% των μαθητών έχουν επίδοση "Λίαν Καλώς". Η γωνία του κυκλικού τομέα για την επίδοση "Καλώς είναι 144 μοίρες. κλπ.

"Εύκολη!", ακούστηκε ο Χ..
"Πώς θα τη λύσουμε;", τον ρώτησα.
Ο πάντα πρόθυμος και αποφασισμένος να πετύχει στις εισαγωγικές εξετάσεις Χ. μου απάντησε αμέσως, έμπλεος ενθουσιασμού: "Με τις βουλίτσες, κυρία!".
Ένιωσα λίγο αμήχανα, γιατί νόμισα πως αναφέρεται στο "σημειόγραμμα", το οποίο καμιά σχέση βέβαια δεν έχει με την άσκηση. "Εεε, δηλαδή τι εννοείς;", ξαναρώτησα.
"Με τις βουλίτσες, κυρία, εκείνη τη μέθοδο που βάζουμε βουλίτσες!".
Η επιμονή του με ανάγκασε να ζητήσω περισσότερες εξηγήσεις κι ενώ το κουδούνι σήμανε το σχόλασμα του εφτάωρου και το ασυγκράτητο κύμα των περισσότερων μαθητών χίμηξε στην έξοδο, ο Χ. σήκωσε το τετράδιό του προς το μέρος μου και μου είπε, δείχνοντας με το στυλό του τη "μέθοδο".
"Εννοώ αυτή τη μέθοδο που βάζουμε μια βουλίτσα και δίπλα γράφουμε: Άριστα και τελίτσες τελίτσες. Και μετά από κάτω βάζουμε μια άλλη βουλίτσα και δίπλα γράφουμε Λίαν Καλώς, τελίτσες τελίτσες".
Επιτέλους κατάλαβα τη "μέθοδο βουλίτσα", δηλαδή τη "μέθοδο", που το μόνο που κάνει είναι να περιγράφει πώς θα σημειώσουμε στο χαρτί μας τα δεδομένα, αν θέλουμε βέβαια να τα σημειώσουμε έτσι... (προσωπικά δεν το εφαρμόζω...)
  • "Άριστα" ..........................................
  • "Λίαν καλώς"............(οι "τελίτσες τελίτσες" του Χ. υπονοούν ότι θα γράψουμε τα δεδομένα)
    Αλλά δεν κρατήθηκα να μη ρωτήσω αυθόρμητα:
"Δηλαδή αν αντί για βουλίτσα βάλουμε μπροστά ένα τριγωνάκι, τότε θα την πούμε "μέθοδο τριγωνάκι" "; Γελάσαμε και οι δυο, φαντάζομαι ο καθένας για το δικό του λόγο, και σηκωθήκαμε να ακολουθήσαμε τους υπόλοιπους στην έξοδο..

  Σε όλη τη διαδρομή από το σχολείο στο σπίτι σκεφτόμουν το βαθύτερο νόημα της "μεθόδου βουλίτσας" και κάθε άλλης τέτοιας μεθόδου που, αντί να εστιάσει στις διεργασίες της διαχείρισης των δεδομένων,  εστιάζει στα συμβολάκια,  στα χρωματάκια ή στα κελιά και στα κουτάκια (φίλε μου, Μάκη), καθώς και στις κάθε είδους υπογραμμίσεις και πλαισιώσεις που χρησιμοποιούμε είτε εμείς στο σχολείο, είτε οι συνάδελφοι, καθηγητές στο φροντιστήριο, για να εξηγήσουμε στα παιδιά πώς θα λύσουν μια άσκηση...
Και ό,τι  τελικά μένει, όπως συχνά φαίνεται από τα λεγόμενα των μαθητών, δεν είναι η άσκηση και η μέθοδος που έχουμε διδάξει, αλλά το επιπρόσθετο σύμβολο που χρησιμοποιήσαμε για να δώσουμε έμφαση ή για να κάνουμε πιο καλαίσθητο το γραπτό μας...
Το χειρότερο δε είναι πως σε βάθος χρόνου το σύμβολο αυτονομείται και γίνεται "μέθοδος", το πράγμα γίνεται διαδικασία, το αντικείμενο γίνεται ρήμα και ...  το μέσο είναι το ίδιο το μήνυμα.

Και μέσα σ' αυτή τη λογική,  που από πράξη έγινε σκέψη,  οι μέθοδοι παρέα με τις λέξεις, τις έννοιες, τις σχέσεις, τις λογικές διασυνδέσεις συρρικνώνονται, κι εκφυλίζονται σε σημεία...
Μέχρι που κάποιο θα ξεφύγει ... από την ευθεία, θα διευρύνει τον κόσμο και θα μας πει μια καινούρια ιστορία. :)



Κυριακή, 20 Ιανουαρίου 2013

"ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ"

Η "ζωή", όπως λέγεται το παιχνίδι, παίζεται με μάρκες που τοποθετούνται σε ένα τετραγωνικό πλέγμα. Στην αρχή οι μάρκες δημιουργούν πάνω στο πλέγμα έναν συγκεκριμένο σχηματισμό, που αποτελεί και την αρχική κατάσταση του αυτομάτου. Έπειτα, εφαρμόζονται λίγοι απλοί κανόνες, που αφορούν τον αριθμό των άμεσων γειτόνων κάθε μάρκας, και προκύπτει ο επόμενος σχηματισμός. Οι κανόνες διέπουν την επιβίωση, τη γέννηση και τον θάνατο κάθε μάρκας. Οι νεκρές μάρκες αφαιρούνται από το πλέγμα, οι νεογέννητες προστίθενται, ενώ οι υπόλοιπες παραμένουν όπως έχουν. 
Πιο συγκεκριμένα, οι κανόνες έχουν ως εξής:

  • Μια μάρκα με 0 ή 1 γείτονα πεθαίνει
  • Μια μάρκα με περισσότερους από τρεις γείτονες πεθαίνει.
  • Μια μάρκα με 2 ή 3 γείτονες παραμένει ζωντανή.
  • Σε μια κενή θέση με 3 ακριβώς γειτονικές μάρκες γεννιέται μια νέα μάρκα. 
                                                                                         
Μπορείτε να βρείτε στο διαδίκτυο πολλές πληροφορίες για το παιχνίδι της ζωής, (π.χ. εδώ) καθώς και δωρεάν λογισμικό του παιχνιδιού. (π.χ. εδώ ) Το παιχνίδι βασίζεται σε αυστηρούς κανόνες, επομένως η πορεία οποιουδήποτε αρχικού σχηματισμού είναι πλήρως προσδιορισμένη: αν ξεκινάμε πάντα από τον ίδιο σχηματισμό, η εξέλιξη του παιχνιδιού θα είναι πάντα η ίδια. Παρ' όλα αυτά, το αποτέλεσμα είναι απρόβλεπτο υπό την έννοια ότι δεν μπορούμε να ακολουθήσουμε κάποια σύντομη οδό και να προβλέψουμε τι θα συμβεί - το μόνο που μπορούμε να κάνουμε είναι να παίζουμε το παιχνίδι και να παρακολουθούμε την εξέλιξή του. Αυτός είναι ένας από τους πολλούς τρόπους με τους οποίους  διακρίνονται στην πράξη οι έννοιες "ντετερμινιστικό" και "προβλέψιμο", παρότι, καταρχήν, είναι ουσιστικά ίδιες.
Παρά τους απλούς κανόνες του, το παιχνίδι της ζωής μπορεί να εκδηλώσει εκπληκτικά πλούσια συμπεριφορά. Τόσο πλούσια, μάλιστα, που μερικές φορές είναι απρόβλεπτη υπό μια πολύ ισχυρή έννοια, μολονότι η αρχική κατάσταση προσδιορίζει πλήρως την εξέλιξη.
******************************

Ένα απόσπασμα από το κεφάλαιο "Τι είναι ζωή;", σελ. 443-444, στο βιβλίο του Ian Stewart,  "Τα μαθηματικά της ζωής", που προσφάτως κυκλοφόρησε από τον εκδοτικό οίκο ΤΡΑΥΛΟΣ και το απέκτησα τρεις μέρες πριν. Μην έχοντας όμως βρει ακόμη τον χρόνο που απαιτείται για τη συστηματική μελέτη ενός τέτοιου βιβλίου, το ξεφυλλίζω λαίμαργα κάθε φορά που ξεκλέβω λίγη ώρα για μένα, και διαβάζω αποσπάσματά του, από δω κι από κει ...
Κάτω από αυτές τις ... καταπιεστικές και, ομολογουμένως, αγχώδεις συνθήκες ανάγνωσης του βιβλίου, ανακάλυψα τουλάχιστον δέκα αποσπάσματα που θα ήθελα να μοιραστώ άμεσα με ανθρώπους που αγαπώ και ξέρω ότι διαβάζοντάς τα θα εμπνευστούν, ο καθένας με το δικό του τρόπο και στο δικό του τομέα, αντλώντας ιδέες από τα γραφόμενα του Ian Stewart. "Τα μαθηματικά της ζωής. Ξεκλειδώνοντας τα μυστικά της ύπαρξης", πιθανότατα μπορούν να εμπνεύσουν κάποιον που γράφει βιβλίο, το οποίο ουδεμία σχέση έχει με μαθηματικά. Ομοίως μπορούν να εμπνεύσουν κάποιον που γράφει σενάριο ταινίας, καταγράφοντας είδη ανθρώπινων σχέσεων ή μυστικές ιστορίες ανθρώπων...
Κι αν η έμπνευση συγγραφέων και σεναριογράφων από την ανάγνωση του βιβλίου αποτελεί πιθανό ενδεχόμενο, το βέβαιο ενδεχόμενο είναι πως "Τα μαθηματικά της ζωής" θα εμπνεύσουν όποιον εκπαιδευτικό προσπαθεί να εμπλουτίσει τα σενάρια διδασκαλίας του με επιχειρήματα που θα πείθουν τους μαθητές ότι η αντιμετώπιση της γνώσης ως ένα ενιαίο σώμα -και όχι αποσπασματικά και κατακερματισμένα, όπως συμβαίνει στο σχολείο μας- είναι ο μόνος τρόπος με τον οποίον τελικά η Επιστήμη ολοκληρώνεται και προχωρά, επειδή ακριβώς η ολοκλήρωση ενός επιστημονικού κλάδου προϋποθέτει τη μαθηματικοποίησή του, κάτι που έχει συμβεί προ καιρού με τη Φυσική και τη Χημεία και πολύ πιο πρόσφατα με τη βιολογία. Η βιολογία, την οποία ο Ian Stewart εξετάζει σε συνάφεια με τα μαθηματικά, μελετά, όπως είναι γνωστό, την ίδια τη ζωή.
Λιγότερο γνωστό είναι το "τι είναι ζωή;", δηλαδή ο ορισμός της ζωής.Τι είναι ζωή και πώς ορίζεται;
*****************************************
"Οι βιολόγοι δεν έχουν καταλήξει σε έναν καθολικά αποδεκτό ορισμό της "ζωής". Αντιθέτως, διαθέτουν αρκετούς ανταγωνιστικούς ορισμούς, κανένας από τους οποίους δεν είναι απολύτως ικανοποιητικός",  γράφει ο Stewart στη σελίδα 431. Στη συνέχεια παραθέτει διάφορες σκέψεις και επιχειρήματα, για να καταλήξει στο ακόλουθο συμπερασμα, που, εν τέλει, δεν μας δίνει απάντηση στο "τι είναι ζωή", καθώς μας εξηγεί ότι:
"ο σύγχρονος λειτουργικός ορισμός εστιάζεται στο τι κάνει η ζωή, όχι τι είναι. Τα κύρια χαρακτηριστικά της είναι τα εξής:

  • διαθέτει οργανωμένη δομή
  • ρυθμίζει την εσωτερική συμπεριφορά αποκρινόμενη σε βραχύχρονες αλλαγές στο περιβάλλον.
  • επιτυγχάνει τα δύο παραπάνω αντλώντας ενέργεια από το περιβάλλον
  • αποκρίνεται σε εξωτερικά ερεθίσματα, μετακινούμενη, φερειπείν, προς μια πηγή τροφής
  • αναπτύσσεται-με τρόπο που δεν συσσωρεύεται απλώς- όλο και περισσότερο υλικό, χωρίς να κάνει τίποτε με αυτό
  • αναπαράγεται
  • προσαρμόζεται σε μακροχρόνιες αλλαγές στο περιβάλλον.
***************************************
Και έτσι μαθαίνουμε, όχι τι είναι η ζωή, αλλά τι κάνει!  Άρα μαθαίνουμε τι κάνουμε και πώς λειτουργούμε εμείς, που είμαστε έμβια - και επιπλέον έλλογα - όντα. Τι κάνουμε; Θα έλεγε  κανείς -επηρεασμένος άμεσα από τον λειτουργικό ορισμό που προαναφέρθηκε- πως αγωνιζόμαστε να αναπαραχθούμε και να οργανώσουμε τις δομές, (ή τους θεσμούς, αν έτσι το προτιμούν οι νομικοί...:) ), πως σκεφτόμαστε προκειμένου να βρούμε τρόπους οργάνωσης και άρα επιβίωσης, πως συχνά προβληματιζόμαστε και, εν δυνάμει, κάποιοι τουλάχιστον εξ ημών, ανανεωνόμαστε, προσαρμοζόμενοι στις περιβαλλοντικές και πλείστες άλλες αλλαγές, ανταποκρινόμενοι σε εξωτερικά ερεθίσματα, που μας ωθούν να μετακινηθούμε προς καινούριες πηγές "τροφής" κλπ.
Προσωπικά, εστιάζοντας στο κομμάτι της ανανέωσης και της προσαρμογής, θα έλεγα πως σε ένα ανανεωτικό πλαίσιο, και προς αναζήτηση "πνευματικής τροφής",  ο εκπαιδευτικός, πριν από όλους, οφείλει να μελετά βιβλία όπως "Τα Μαθητικά της ζωής", όπου εύλογα διασυνδέεται  σχεδόν κάθε πεδίο του επιστητού, χωρίς να γίνεται περιορισμός στις θετικές  επιστήμες, όπως προοικονομεί ο τίτλος. Αντιθέτως, στο βιβλίο γίνεται διασύνδεση θετικών και ανθρωπιστικών επιστημών, και μάλιστα γίνεται με μαεστρία και  τρόπο τέτοιον που αγγίζει τα ενδιαφέροντα, και τις εκπαιδευτικές ιδιαιτερότητες κι ανάγκες, του καθένα μας. Υπό το πρίσμα που ο Stewart εξετάζει τις διασυνδέσεις μαθηματικών, βιολογίας,  φυσικής,  χημείας,  αρχιτεκτονικής, αστρονομίας, ανθρωπολογίας, βιομηχανίας τροφίων, κ.α. η "κρυμένη συνδεσμολογία" (κεφάλαιο 11) αποκαλύπτει "ευκαιρίες δικτύωσης" (κεφάλαιο 15), με αποτέλεσμα "ο μακρύς κατάλογος της ζωής" (κεφάλαιο 3) να εμπλουτίζεται με νέα διαφωτιστικά στοιχεία, που οδηγούν τελεολογικά σε αυτό που ο Stewart αποκαλεί "η έκτη επανάσταση", στο τελευταίο κεφάλαιο (19) του βιβλίου του.
Η, κατά Stewart, έκτη επανάσταση που ήδη συντελείται,  μετατρέπει σταδιακά την επιστήμη από συλλογή χωριών σε παγκόσμια κοινότητα. "Και η ιστορία της μαθηματικής βιολογίας δείχνει πως οι συνεργαζόμενες κοινότητες μπορούν να επιτύχουν πράγματα που είναι αδύνατον να κατορθώσουν από μόνα τους τα μέλη της."
Διακατεχόμενη από την αισιοδοξία που αποπνέει η εμβριθής, πλην απευθυνόμενη στο ευρύ κοινό, επιστημονική μελέτη του Ian Stewart, με διευρημένη τη σημασία* των λέξεων που θα χρησιμοποιήσω στη συνέχεια, οδηγούμαι, μεταξύ άλλων, στα ακόλουθα συμπεράσματα:
1ο.  Μια αποτελεσματική συνεργασία φαίνεται να προϋποθέτει μιας τάξης επανάσταση.
2ο.  Η επανάσταση οδηγεί σε καινούριες κατακτήσεις.
3ο. "Το παιχνίδι της ζωής", με τους  απλούς και αυστηρούς κανόνες, αλλά την πλούσια κι απρόβλεπτη συμπεριφορά,  μας καθιστά ανίκανους να προβλέψουμε με βεβαιότητα τις εξελίξεις, μέσω μιας σύντομης οδού, επειδή πληρεί ταυτόχρονα όλες τις προϋποθέσεις της τάξης και του χάους, όπως ακριβώς κάνει και η ίδια μας η ζωή, άρα
4ο. Δεν μένει παρά να περιμένουμε, για να μάθουμε τις εξελίξεις...

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
*Η γλωσσολογία, φυσικώ τω λόγω, δεν μένει έξω από τις διασυνδέσεις και τις πλείστες αναφορές, που κάνει ο I. Stewart. Το πώς οι μαθηματικοί επεκτείνουν τη σημασία των λέξεων αποτελεί ένα από τα αποσπάσματα που θέλω να μοιραστώ με τους ανθρώπους που αγαπώ, αλλά "Τα μαθηματικά της ζωής" είναι ανεξάντλητα, ενώ ο χρόνος μου, προς το παρόν,  εξαντλείται εδώ...


Τετάρτη, 16 Ιανουαρίου 2013

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΜΟΡΦΙΑ: μια αυθεντική σχέση.

    Όταν ήμουν παιδί, με είχε μαγέψει η ομορφιά της χιονονιφάδας. Τώρα αναζητώ την εξήγησή της στα μαθηματικά. Είναι σοφό αυτό που κάνω;
    Ίσως μας εκπλήσσει ο συνδυασμός των λέξεων "μαθηματικά" και "ομορφιά". Οι περισσότεροι φαντάζονται τα μαθηματικά ως ατέλειωτες σελίδες με πολύπλοκες "αθροίσεις"-καθόλου όμορφη εικόνα. Πιστέψτε με, το κατανοώ.
Όμως, αυτή είναι η αριθμητική, δεν είναι τα μαθηματικά-επιμένω πολύ σ' αυτό. Τα σύμβολα στο χαρτί έχουν τόση σχέση με την πραγματική ομορφιά του αντικειμένου όση έχουν τα σύμβολα του πεντάγραμμου με μια συμφωνία του Μπετόβεν. Η ομορφιά των μαθηματικών δεν βρίσκεται στον συμβολισμό, αλλά στις ιδέες τους, όχι στις ασκήσεις για τα δάχτυλα, αλλά στις συμφωνίες.
    Υπάρχουν δύο είδη μαθηματικής ομορφιάς: η λογική και η οπτική. Ο φιλόσοφος και μαθηματικός Μπέρτραντ Ράσελ περιέγραψε την ομορφιά των μαθηματικών ως "ψυχρή και απέριττη" αναφερόμενος στη λογική ομορφιά τους. Για όποιον καταλαβαίνει τις ιδέες, μια μαθηματική απόδειξη μπορεί στη λογική της να μοιάζει με μια συμφωνία. Αυτό το είδος ομορφιάς είναι διανοητικό και δυσπρόσιτο.
    Αντίθετα, η οπτική ομορφιά ασκεί άμεση έλξη. Η ομορφιά της χιονονιφάδας είναι μαθηματικού χαρακτήρα, απευθύνεται στην αίσθηση συμμετρίας και πολυπλοκότητας που διαθέτουμε. Η ίδια αίσθηση αποτελεί την ουσία των μαθηματικών.
 Η σχέση μεταξύ μαθηματικών και ομορφιάς είναι αυθεντική, αλλά αδιόρατη. Φαίνεται πως δεν υπάρχει προοπτική για την επινόηση ενός Λογισμού της ομορφιάς (όχι πως αυτό επέτρεψε κάποιους θαρραλέους από την προσπάθεια). Επιπλέον, τα εξιδανικευμένα μαθηματικά σχήματα είναι υπερβολικά κανονικά σε σύγκριση με το φυσικό κόσμο ή με την τέχνη ώστε να θεωρηθούν όμορφα. Άλλωστε, υπάρχουν παντού: στους τοίχους, στις κουρτίνες, στα χαλιά, στις ταπετσαρίες, στα κεραμικά, ακόμη και στην αρχιτεκτονική.
http://www.strathbogierangescmn.com/wp-content/uploads/2012/09/Blue-butterfly-Card.jpgΤι είναι όμως εκείνο που κάνει τη συμμετρία τόσο ελκυστική; Μας αρέσει η επανάληψη-μέχρις ενός βαθμού. Στα παιδιά αρέσει να τους διηγούνται ξανά και ξανά την ίδια ιστορία. Η μουσική, στο απλούστερο επίπεδο, είναι ένας ρυθμικά επαναλαμβανόμενος θόρυβος, στο αμέσως επόμενο διακρίνουμε μουσικά θέματα και παραλλαγές, διαπλεκόμενες δομές αποτελούμενες από επαναλήψεις. Ο εγκέφαλος εξελίχθηκε σε έναν κόσμο όπου η επιβίωση συνδέεται άμεσα με την ικανότητα αναγνώρισης σχημάτων. Η διάκριση των εποχών μας επιτρέπει να βρίσκουμε τροφή σε όλη τη διάρκεια του έτους. Η αναγνώριση σχημάτων μας επιτρέπει να διακρίνουμε το φίδι από το αμπέλι, τη σφίγγα από την πεταλούδα...
******************************************************************

Αντέγραψα ένα μικρό απόσπασμα από τη σελίδα 100 του βιβλίου "Ο1 μυ6τικοί Αρι8μοί, Από το σχήμα της χιονονιφάδας στο σχήμα του σύμπαντος", του Ίαν Στιούαρτ, που κυκλοφορεί εδώ και δέκα ήδη χρόνια από τις εκδόσεις Τραυλός. Επέλεξα να αντιγράψω το συγκεκριμένο απόσπασμα για τους εξής λόγους:

1ο. Αυτή είναι η πρώτη ανάρτηση που κάνω μες στην καινούρια χρονιά και θα ήθελα να έχει ένα όμορφο θέμα, άρα το "Μαθηματικά και Ομορφιά", που είναι η επικεφαλίδα του επιλόγου του 8 κεφαλαίου στο εν λόγω βιβλίου του Ίαν Στιούαρτ, πληρεί εκ προοιμίου το βασικό μου επίταγμα.
2ο. Η ανάγνωση του βιβλίου του Τεύκρου Μιχαηλίδη, "Ο μέτοικος και η συμμετρία", στη μαθητική λέσχη ανάγνωσης του 2ου Λυκείου Συκεών το απόγευμα της περασμένης Κυριακής, έγινε αφορμή να ανοίξει εκτενής συζήτηση γύρω από τη συμμετρία και,  ως η μόνη μαθηματικός της ομήγυρης, όφειλα να απαντώ στις ερωτήσεις των παιδιών. Η γοητεία της συμμετρίας όμως οδηγεί κατευθείαν στον Ίαν Στιούαρτ, τον κατ' εξοχήν υμνητή της, και στα πολλά σχετικά του συγγράμματα, ένα εκ των οποίων είναι και οι μυστικοί του αριθμοί. :)
3ο. Οι μυστικοί αριθμοί του Ίαν Στιούαρτ έχουν την ιδιότητα να ξεκλειδώνουν τα μυστικά της ίδιας της ύπαρξης! Μαγικά μαθηματικά! Όμορφα και απλά. Αρκεί βέβαια να είναι σε θέση κάποιος να μελετήσει ... τα Μαθηματικά της ζωής,  το τελευταίο βιβλίο του Ίαν Στιούαρτ που κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Τραυλός μόλις πριν από λίγο καιρό και περιμένω να το διαβάσω πως και πως... Μέχρι τότε, έστω και καθηστερημένα, να ευχηθώ:
Καλή Χρονιά, με πολλές αναγνώσεις, με όμορφα, μυστηριώδη και συνάμα αποκαλυπτικά, μαθηματικά για μεγάλους και παιδιά!
Κλείνοντας δε να πω τον 4ο - και σημαντικότερο - λόγο για τον οποίον αντέγραψα το παραπάνω απόσπασμα...
4ο. Το αντέγραψα επειδή, όπως γράφει και ο Ίαν Στιούαρτ, "Στα παιδιά αρέσει να τους διηγούνται ξανά και ξανά την ίδια ιστορία.", οπότε, σαν παιδί κι εγώ, χαίρομαι πολύ να διαβάζω ξανά και ξανά κείμενα γραμμένα με ομορφιά για την ομορφιά και τα μαθηματικά! ;)