Παρασκευή, 22 Μαρτίου 2013

ΟΙ ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ... ΚΑΙ ΟΙ ΧΩΡΟΙ ΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ...

Παίζοντας με το GeoGebra, μετρώ τις διαστάσεις της ζωής μου...

Εδώ και μέρες διαβάζω "τα Μαθηματικά της ζωής, ξεκλειδώνοντας τα μυστικά της ύπαρξης"...
Τα μελετώ και εμμένω σε διάφορα σημεία, αναζητώντας στη γλωσσική πολυσημία τις διαστάσεις που αρκούν, για να περιγράψουν σαφώς και πλήρως το ζωτικό μου χώρο. Με μια, μάλλον, προσποιητή σοβαρότητα εισάγω και εξάγω διαστάσεις, γράφοντας και σβήνοντας αριθμούς [και e-φίλους στο facebook...]. Στην πράξη όμως δεν κάνω κάτι πέρα από το να κλέβω τρελές ιδέες από μεγάλους μαθηματικούς, αλλά αυτοί...

...οι μαθηματικοί δεν εισήγαγαν τους χώρους πολλών διαστάσεων για να διασκεδάσουν ή για να εντυπωσιάσουν τον κόσμο. Το έκαναν επειδή τους χρειάζονταν. Μέχρι τα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα διάφορες εξελίξεις, τροφοδοτούμενες από την καθαρή γεωμετρία μέχρι την ουράνια μηχανική, φαίνονταν να υποδεικνύουν μια καινούρια ιδέα. Την ίδια περίπου εποχή, οι φυσικοί άρχισαν να συνειδητοποιούν ότι πολλές βασικές ανακαλύψεις έβγαζαν περισσότερο νόημα αν οι εξισώσεις τους διατυπώνονταν μέσα σε έναν "χωρόχρονο" τεσσάρων διαστάσεων: τις τρεις παραδοσιακές διαστάσεις του χώρου, συν μία επιπλέον, του χρόνου. Όμως, ο χρόνος δεν ήταν η τέταρτη διάσταση, αλλά απλώς μια δυνατότητα.
Με λίγα λόγια: διάσταση ενός χώρου είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων συντεταγμένων που απαιτούνται για να προσδιορίσουμε τα πράγματα που ανήκουν σε αυτόν. Χώροι με πολλές διαστάσεις παρέχουν ένα βολικό τρόπο για περιγραφή συστημάτων στα οποία πολλές διαφορετικές μεταβλητές μπορούν να πάρουν όποια τιμή θέλουμε. Ο "χώρος" όλων αυτών των επιλογών διαθέτει μια φυσική δομή - που προκύπτει από την άμεση γενίκευση των οικείων μαθηματικών των δύο και τριών διαστάσεων. Πιο συγκεκριμένα, μπορούμε να προσδιορίσουμε πότε σε έναν τέτοιο χώρο δύο "σημεία" βρίσκονται  το ένα κοντά στο άλλο: οι αντίστοιχες μεταβλητές τους θα πρέπει να έχουν παραπλήσιες τιμές.
Επιπλέον, τα "σημεία" δεν χρειάζεται να είναι πραγματικά 'σημεία'. Το επίπεδο είναι ένα σύνολο σημείων, αλλά μπορεί να εκληφθεί και ως μια συλλογή ελλείψεων. Το σύνολο όλων των ελλείψεων στο επίπεδο συνιστά από μόνο του ένα ενδιαφέρον μαθηματικό αντικείμενο. Πώς μπορεί κανείς να προσδιορίσει μια έλλειψη; Ας το κάνουμε στο πλαίσιο της ευκλείδειας γεωμετρίας, όπου οι εικόνες είναι πιο οικείες. Πρέπει να γνωρίζουμε: 

  • πού βρίσκεται το κέντρο της έλλειψης (2 αριθμοί)
  • πόσο επιμήκης είναι (1 αριθμός)
  • πόσο πλατιά είναι (1 αριθμός)
  • τη γωνία κατά την οποία είναι κεκλιμένη (1 αριθμός).
     Επομένως, απαιτούνται συνολικά πέντε αριθμοί για να προσδιορίσουμε μια έλλειψη (βλ. Σχήμα 30).
    Ο "χώρος" των ελλείψεων είναι πενταδιάστατος. Και είναι χώρος, με την έννοια ότι αν αλλάξουμε ελαφρώς τους αριθμούς που αναπαριστούν μια συγκεκριμένη έλλειψη, παίρνουμε μια άλλη έλλειψη που βρίσκεται "κοντά" και μοιάζει πολύ με την αρχική. Και όσο μικρότερες είναι οι μεταβολές, τόσο περισσότερο μοιάζουν.
    Από μια άποψη, το επίπεδο είναι δισδιάστατο. Από μια άλλη, είναι πενταδιάστατο. Σε κάθε περίπτωση μιλάμε για το ίδιο επίπεδο, επομένως δεν έχει νόημα να ισχυριζόμαστε ότι ο χώρος είναι δισδιάστατος αλλά όχι πενταδιάστατος. Πρόκειται για δύο πτυχές του ίδιου πράγματος. Αν εξαιρέσουμε την εξοικείωση και την παράδοση, δεν υπάρχει κανένας βάσιμος μαθηματικός λόγος για τον οποίο πρέπει να προτιμούμε το σύνολο των σημείων από το σύνολο των ελλείψεων. Ποια άποψη είναι καλύτερη, εξαρτάται από το ερώτημα που θέτουμε.
    -----------------------------------------------------------------------------------------
    Άρα το ερώτημα που θέτουμε είναι: ποιο ερώτημα θέτουμε;
    Ή αλλιώς πόσων και ποιων διαστάσεων είναι το ερώτημα που θέτουμε; 
    Αποτελεί άραγε το "βάθος" μια από τις διαστάσεις του ή μήπως εξαντλείται η προσπάθεια στην "αβάσταχτη ελαφρότητα του είναι";
    Από την άλλη, τα "σημεία" πώς τα ορίζουμε;
    Προβληματίζομαι ... Επιχειρώντας να περιγράψω με κλεμμένες μαθηματικές ιδέες τη ζωή μου θυμήθηκα την Χαρούλα και το "η ζωή μου κύκλους κάνει..."
    Φτάνει..φτάνει...φτάνει! :) Τέλος! 
    Επιλέγω τα σημεία του επιπέδου της ζωής μου να είναι κύκλοι, αλλά όχι αυτοί οι περιπαθείς κύκλοι  της Χαρούλας, επειδή δεν μου ταιριάζουν. 
    Επιλέγω τους άλλους κύκλους, τους ορθόδοξους... Αυτούς που αρκούν τρεις μόνο αριθμοί για να τους περιγράψουν: δύο για το κέντρο τους κι ένας για την ακτίνα τους! Τριάδα...κυκλ-άδελφος!
    Επιλέγω τους κύκλους, ως ειδική περίπτωση της έλλειψης, και γλυτώνω την "κλίση"!

    Και επιλέγω τους κύκλους των φίλων και τους κύκλους των γνωστών και των φιλαναγνωστών ως σημεία αναφοράς σε μια διάσταση χαράς!

    "...οι μαθηματικοί δεν εισήγαγαν τους χώρους πολλών διαστάσεων για να διασκεδάσουν ή για να εντυπωσιάσουν τον κόσμο" γράφει ο Ian Stewart στη σελίδα 239 του βιβλίου του "Τα μαθηματικά της ζωής"
    Εγώ όμως καταφεύγω στους χώρους των πολλών διαστάσεων, ξανά και ξανά, προσπαθώντας να χαθώ στις σελίδες του βιβλίου του Ian Stewart, για να διασκεδάσω και να εντυπωσιαστώ..
    Ή για να ξεχάσω τις ελλείψεις, τα σημεία των καιρών,  και να ξεχαστώ.
    Αλλά ΔΕΝ ξεχνάω και μελαγχολώ...



    Σάββατο, 16 Μαρτίου 2013

    ΤΙ ΔΕΝ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΕΙΣ;

       Η διδασκαλία των Μαθηματικών στην Α' Λυκείου έχει δύο κεντρικούς στόχους. Την ολοκλήρωση της μαθηματικής εκπαίδευσης που οι μαθητές απέκτησαν στο Δημοτικό και στο Γυμνάσιο και ταυτόχρονα το πέρασμα σε έναν πιο προωθημένο, θεωρητικό μαθηματικό τρόπο σκέψης. Βασικά στοιχεία αυτού του τρόπου σκέψης είναι η "αυστηρή" χρήση μαθηματικής ορολογίας και συμβολισμού, οι ορισμοί των εννοιών και η θεωρητική απόδειξη των ισχυρισμών.

       Η προηγούμενη παράγραφος αποτελεί την εισαγωγή στο 35σέλιδο pdf αρχείο με τίτλο Πρόγραμμα Σπουδών μαθήματος: Άλγεβρα A Γενικού Λυκείου, καθώς και στο Πρόγραμμα Σπουδών μαθήματος: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α Γενικού Λυκείου, που βρίσκονται στο Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΑΙΘΠΑ και, φαντάζομαι, είναι η βάση του σχεδιασμού διδασκαλίας ενός εκάστου εξ ημών που εμπλέκεται στη διδασκαλία των Μαθηματικών στην Α', καθώς και στις λοιπές τάξεις, του Λυκείου. Επί πλέον στην εισαγωγή του αρχείου με τίτλο Οδηγίες για τον Εκπαιδευτικό - Γεωμετρία Α Λυκείου  διαβάζουμε  τα ακόλουθα:

      Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α' Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε επαφή με στοιχεία θεωρητικής γεωμετρικής σκέψης και στο Γυμνάσιο, όπου έχουν αντιμετωπίσει ασκήσεις που απαιτούν θεωρητική απόδειξη. Στην Α' Λυκείου, πρέπει αυτή η εμπειρία των μαθητών να αξιοποιηθεί με στόχο την περαιτέρω ανάπτυξη της θεωρητικής σκέψης. Η διατύπωση ορισμών γεωμετρικών εννοιών είναι κάτι δύσκολο για τους μαθητές ακόμα και αυτής της τάξης, καθώς απαιτεί συνειδητοποίηση των κρίσιμων και ελάχιστων ιδιοτήτων που απαιτούνται για τον καθορισμό μιας έννοιας.

    -----------------------------------------------------------
    Αν επαναλάβουμε τις δύο παραπάνω παραγράφους, παραθέτοντάς τες, το αποτέλεσμα είναι το εξής:

    Ο ένας από τους δύο στόχους της διδασκαλίας των Μαθηματικών στην Α' Λυκείου είναι  το πέρασμα σε έναν πιο προωθημένο, θεωρητικό μαθηματικό τρόπο σκέψης, βασικά στοιχεία του οποίου είναι η "αυστηρή" χρήση μαθηματικής ορολογίας και συμβολισμού, οι ορισμοί των εννοιών και η θεωρητική απόδειξη των ισχυρισμών, πλην όμως η διατύπωση ορισμών γεωμετρικών εννοιών είναι κάτι δύσκολο για τους μαθητές της Α' Λυκείου, καθώς απαιτεί συνειδητοποίηση των κρίσιμων και ελάχιστων ιδιοτήτων που απαιτούνται για τον καθορισμό μιας έννοιας.

    Δεν ξέρω κατά πόσο κάνω λάθος, αλλά έχω την εντύπωση ότι από τη συγκερασμένη παράγραφο, έτσι όπως αυτή προέκυψε, αυτομάτως οδηγούμαστε στο συμπέρασμα πως, σύμφωνα πάντα με τα επίσημα έγγραφα του ΥΠΑΙΠΘΑ, ο ένας - τουλάχιστον - από τους δύο στόχους της διδασκαλίας των Μαθηματικών στην Α' Λυκείου είναι δύσκολος
    Από την άλλη στο 2ο έγγραφο του ΥΠΑΙΠΘΑ διατυπώνεται σαφώς η άποψη ότι τα παιδιά είναι μικρά ακόμη σ' αυτήν την τάξη, δηλαδή στην Α΄ Λυκείου, και δυσκολεύονται να κατανοήσουν τις κρίσιμες και ελάχιστες ιδιότητες που απαιτούνται για τον καθορισμό των γεωμετρικών εννοιών. 
    Ένα ερώτημα που προκύπτει τώρα είναι το εξής: 
    Πόσο μικροί είναι οι μαθητές που φοιτούν στην Α' Λυκείου; 
    Αν κάποιος ρωτούσε εμένα, θα έλεγα ότι οι μαθητές μου που φοιτούν φέτος στην Α' Λυκείου είναι μικρότεροι από τους περσινούς μαθητές μου, που φοιτούσαν στην ίδια τάξη. Και δεν εννοώ πως είναι ηλικιακά κατά ένα χρόνο μικρότεροι, γιατί αυτό είναι αυτονόητο. Εννοώ ότι οι επιδόσεις των φετινών μαθητών είναι "μικρότερες" από αυτές των περσινών. Και δεν εννοώ οι επιδόσεις κατά μέσο όρο, εννοώ αναλογικά, δηλαδή ότι οι καλύτεροι φετινοί μαθητές είναι "μικρότεροι" από τους καλύτερους περσινούς μαθητές, οι μέσοι φετινοί μαθητές είναι "μικρότεροι" από τους μέσους περσινούς μαθητές και πάει λέγοντας. Το αποτέλεσμα είναι πως το μάθημα της Γεωμετρίας που ενίοτε πέρυσι και πρόπερσι αποτελούσε για μένα και πολλούς από τους μικρούς μου μαθητές πηγή χαράς και δημιουργίας φέτος  γίνεται συχνά αιτία προβληματισμού και ... εκπαιδευτικής ανησυχίας. (βλέπε εδώ)
    Αναμφιβόλως οι παράγοντες που μπορεί να συντελούν στη μείωση των μαθητικών ικανοτήτων συνολικά μπορεί να είναι συγκυριακοί ή τοπικοί, όπως π.χ. οι φετινοί μαθητές της Α' Λυκείου στο σχολείο που διδάσκω μπορεί να προέρχονται από Γυμνάσιο που είχε πέρυσι έλλειμμα εκπαιδευτικών ΠΕ03 για ένα πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα. Στο δικό μας σχολείο, για παράδειγμα, φέτος ήρθαν  μαθηματικοί δύο μήνες μετά την έναρξη των μαθημάτων και μέχρι τότε τα μισά τμήματα της Α' κι άλλα τόσα της Β' δεν διδάσκονταν από κανέναν Μαθηματικά. Έτσι απλά... Προφανώς του χρόνου οι μαθητές αυτοί θα παρουσιάζουν αντικειμενικά προβλήματα στην επίδοσή τους.
    Πέρα όμως από αυτό, το πρόβλημα της επίδοσης που παρατηρώ φέτος στους μαθητές μου στην Α' Λυκείου δεν αποκλείεται να είναι μεγαλύτερης εμβέλειας και, επί πλέον, να μην περιορίζεται μόνο στα Μαθηματικά, αλλά να παρατηρείται γενικότερα. Άρθρα όπως αυτό με τίτλο "Τα παιδιά μελετούν, αλλά δεν κατανοούν", που αναλύουν τις παρατηρήσεις και τους προβληματισμούς μάχιμων φιλολόγων, συνηγορούν στην άποψη πως το πρόβλημα της φθίνουσας απόδοσης είναι γενικότερο.
     «Αρνητικά μπροστά στο συνεχές κείμενο τα παιδιά μας. Βαριούνται και φοβούνται. Η λεξιπενία ιδιαίτερα αισθητή, ενώ πρόβλημα υπάρχει τόσο στην κατανόηση, όσο και στις γνώσεις και την ορθογραφία», επισημαίνουν οι φιλόλογοι του παραπάνω άρθρου.
    "Άπραγα μπροστά στο μικρό κείμενο που αποτελεί την εκφώνηση μιας άσκησης Γεωμετρίας", συμπληρώνω εγώ. Ενώ στην περίπτωση που δεν είναι άπραγα είναι σε πολύ μεγάλο ποσοστό αυθαίρετα, αποδίδοντας σε κάθε γεωμετρική έννοια του κειμένου μια δική τους σημασία. Ένα παράδειγμα υπάρχει στο δεύτερο μέρος της ανάρτησης που έχω δημοσιεύσει εδώ.
    Και δυστυχώς πολλά παρόμοια παραδείγματα μπορώ να αναφέρω από τη σχολική καθημερινή εμπειρία. Χθες για παράδειγμα, στο μάθημα της Γεωμετρίας, όσο εγώ θα έλεγχα τα τετράδια περνώντας από κάθε θρανίο, ζήτησα να λύσουν συνεργατικά την αποδεικτική άσκηση 2 στη σελίδα 87.
    Όταν τέλειωσα με τον έλεγχο και ενώ είχαν περάσει ήδη πέντε ολόκληρα λεπτά σε ελάχιστα τετράδια υπήρχε σχήμα. Τρίγωνο ξέρουν να κατασκευάζουν. Διχοτόμο, παρόλο που συχνά ξεχνούν τον ορισμό ή τον διατυπώνουν εσφαλμένα, ξέρουν να φέρνουν. Τι έφταιγε; Το ότι η γωνία Β έπρεπε να είναι μεγαλύτερη από τη Γ; Ίσως...
    Τέλος πάντων, έκανα το σχήμα στον πίνακα και ρώτησα αν είχαν προτάσεις για τη λύση της άσκησης. Ελάχιστα χέρια σηκώθηκαν και οι ιδέες που ακούστηκαν αποσκοπούσαν περισσότερο στο να δηλώσουν προθυμία για συμμετοχή παρά μια δυνατότητα...
    Έθεσα βοηθητικά ερωτήματα. Ελάχιστη ανταπόκριση. Άρχισα να λύνω σιγά σιγά και αφήνοντας περιθώρια να σκεφτούν να σχολιάσουν, να συμπληρώσουν, να αντιπροτείνουν... Ελάχιστη ανταπόκριση. Έφτασα να έχω λύσει όλη την άσκηση, βήμα βήμα με αναλυτική διατύπωση του κάθε επιμέρους  συλλογισμού και με παράλληλες διατυπώσεις άλλων λαθεμένων συλλογισμών που αν εφαρμόζονταν θα οδηγούσαν σε προφανή ή λιγότερο προφανή σφάλματα. Εντέλει, κατέληξα να λύσω σχεδόν όλη την άσκηση μόνη μου... "Τι δεν καταλαβαίνεις;", ρώτησα τον Α, στο πρώτο θρανίο, που με κοίταζε, όπως οι περισσότεροι, με μάτια ορθάνοιχτα...

    Να τονίσω ότι αφενός αυτές οι ασκήσεις τις δυο προηγούμενες σχολικές χρονιές αποτέλεσαν αφορμή ενός θεσπέσιου "stund up comedy" με την έννοια πως τις χαρήκαμε όλοι και, αφετέρου, στο  τμήμα αυτό φέτος (όπως και σε  όλα  σχεδόν τα υπόλοιπα τμήματα που διδάσκω) υπάρχει κλίμα εμπιστοσύνης και σε γενικές γραμμές παρατηρείται ικανοποιητική συναισθηματική εμπλοκή των μαθητών στο μάθημα. Το τονίζω για να προλάβω τυχόν κακόβουλες σκέψεις, όπως: και τι να χαρούν τα παιδιά από μια τέτοια άσκηση... :)
    Αυτό που παρατηρώ όμως  στο μάθημα της Γεωμετρίας, και δυστυχώς όχι μόνο της Γεωμετρίας, είναι ότι η συμμετοχή των μαθητών εξαντλείται  στις Ερωτήσεις Κατανόησης της κάθε παραγράφου. Αμέσως μόλις αρχίζουμε τις ασκήσεις Εμπέδωσης τα χέρια που σηκώνονται λιγοστεύουν και τα μάτια γεμίζουν απορία και μια υπολανθάνουσα κενότητα, από αυτήν που έχει το βλέμμα μας μπροστά σε κάτι ακατάληπτο.
    Ειδικά όταν περνάμε στις Αποδεικτικές ασκήσεις, όπως η παραπάνω, τότε εκτός από την απορία που εμφανώς καθρεφτίζεται στα βλέμματα, σε κάποια μάτια - είμαι σχεδόν σίγουρη - διακρίνω και  τρομάρα, ένα είδος πανικού, σαν να μιλώ ξαφνικά σε άλλη γλώσσα..
    Και τότε αρχίζω να αναρωτιέμαι πώς μπορεί, μέσα στην τάξη μου, να διαμορφωθεί η βιγκοτσκική "ζώνη της επικείμενης ανάπτυξης" και πώς εγώ, η πρόθυμη και έμπειρη εκπαιδευτικός, θα διαμορφώσω τις συνθήκες εκείνες που θα βοηθήσουν τους μαθητές μου όχι να εστιάσουν απλώς στις σημερινές, αλλά στις εν δυνάμει γνώσεις και δεξιότητές τους.  Πώς θα βοηθήσω τους μαθητές μου να αναπτύξουν τις ανώτερες νοητικές τους λειτουργίες, διδάσκοντάς τους Μαθηματικά, το αρτιότερο και καθολικότερο νοητικό εργαλείο που διαθέτει το ανθρώπινο μυαλό, όταν δεν μιλάμε την ίδια γλώσσα;
    Σύμφωνα με την εξέχουσα προσωπικότητα της σοβιετικής ψυχολογίας, τον Λεβ Σεμιόνοβιτς Βιγκότσκι (Лев Семенович Выготский, 17 Νοεμβρίου 1896 – 11 Ιουνίου 193), "η ανάπτυξη των ανώτερων νοητικών λειτουργιών - της μνήμης, της ομιλίας και, κατεξοχήν, της συνείδησης - δεν είναι δυνατή χωρίς το χειρισμό των συμβολικών (ή σημειωτικών) συστημάτων: της γλώσσας, της γραφής και των αριθμών... Τα σημειωτικά συστήματα παίζουν στην επεξεργασία της γνώσης ένα ρόλο ανάλογο με εκείνο των τεχνικών εργαλείων στο χειρισμό του φυσικού κόσμου."[1]
    Μήπως τελικά για τη φθίνουσα χρόνο με το χρόνο επίδοση των μαθητών μας στα Μαθηματικά ευθύνονται τα συστήματα γενικά, τα εκπαιδευτικά και τα σημειωτικά, που σχεδόν κάθε χρόνο είναι διαφορετικά;
    Σχεδόν τα ίδια βιβλία με τις ίδιες οδηγίες, τους ίδιους πάντα κεντρικούς στόχους κάθε χρόνο, σε τόσο διαφορετικά παιδιά! Τίποτα δεν πάει καλά!
    Σε μια κοινωνία που προ πολλού έχει απολέσει τους ανθρωπιστικούς της σκοπούς και τους ανθρωποκεντρικούς της στόχους, ο ένας τουλάχιστον εκ των δυο κεντρικών στόχων στη διδασκαλία των Μαθηματικών της Α΄ Λυκείου, όπως έχει καθοριστεί από το ΥΠΑΙΠΘΑ έχει κιόλας αυτοκαταργηθεί...καθώς η γλώσσα τα τελευταία χρόνια βιώνει μια καινούρια εκδοχή,
     :) & :P  *@@ ###%^#@@@@    ^-^  (y)  8) 3:) <3 >:o 8) :P :o :v  :Ο),
    που  δεν είναι  σε όλους κατανοητή..Τι από όλα δεν καταλαβαίνεις, θα μου πεις; 
    -----------------------------------------------------------
    [1] Foulin, J.N., Mouchon, S. (2002) Εκπαιδευτική Ψυχολογία,  Αθήνα: Μεταίχμιο

    5th International Week Dedicated to Maths


    Δείτε εδώ το τελικό πρόγραμμα της 5ης Μαθηματικής Εβδομάδας.
    Σημειώστε τις παρουσιάσεις που άπτονται του ενδιαφέροντός σας και ελάτε να γνωριστούμε και να ανταλλάξουμε ιδέες, γνώσεις και προτάσεις σε ένα πενθήμερο αφιερωμένο στα Μαθηματικά.

    Τετάρτη, 13 Μαρτίου 2013

    ΤΟ ΥΠΑΡΚΤΟ ΤΙΠΟΤΑ

    Επειδή τα μαθηματικά είναι τέχνη, οι δημιουργοί τους απολαμβάνουν να δημιουργούν νέα σενάρια όπου αυτά μπορούν να δώσουν την παράστασή τους - όπως ακριβώς οι συγγραφείς μυθιστορημάτων περιορίζουν τους χαρακτήρες τους σε συγκεκριμένες καταστάσεις και αφήνουν τις συμπεριφοριστικές τάσεις των ανθρώπων να ξετυλίξουν την πλοκή (καθότι ο χαρακτήρας μεταφράζεται σε ένα είδος πεπρωμένου). Δεν είναι τόσο επίπλαστο όσο ακούγεται, αναφορικά τουλάχιστον με τους περιορισμούς της φυσικής μας κατάστασης αρκεί να κοιτάξετε την τελείως προκαθορισμένη ποικιλία "τρόπων ζωής" μέσα σε ένα κούτσουρο για να κατανοήσετε πόσο "τοπική" είναι η ζωή. Ίσως βέβαια να πιστεύετε ότι τα μαθηματικά, όπως η αστρονομία, κινούνται σε διαστάσεις που ξεπερνούν τελείως τον άνθρωπο, με τις τιτάνιες ποσότητές τους και τις ατέλειωτες διαδοχές αριθμών.
    Φανταστείτε όμως για μια στιγμή τις σαπουνόφουσκες που εξαπολύει ένα παιδί στον καλοκαιρινό αέρα. Μικρές και μεγάλες, καθεμιά ένας τέλειος κόσμος, με τα χρώματα να ταξιδεύουν στην επιφάνεια τους σαν ήπειροι. Ένας μαθηματικός μπορεί επίσης να φτιάξει τέτοιους κόσμους σαπουνόφουσκες: μικρά σύμπαντα αριθμών που φτάνουν μέχρι ένα σημείο και έπειτα επιστρέφουν στην αρχή. Τι θα γινόταν αν για παράδειγμα συρρικνώνατε το άπειρο σύμπαν στους αριθμούς από το 0 μέχρι το 11: οι αριθμοί αυτοί θα συμπεριφέρονται τώρα με φανταστικό τρόπο ή οι βαθιές αλήθειες τους θα διαφαίνονται και σε αυτόν το μικρόκοσμο; Πάρτε για παράδειγμα την πρόσθεση: 2+3 θα εξακολουθεί να κάνει 5 και 1+8 να κάνει 9, όμως το 6+7; Δεν μπορεί να κάνει 13 διότι στον κόσμο αυτό δεν υπάρχει 13., οπότε θα κάνει πάλι 1, αφού συμπίπτει με το 1 καθώς κάνουμε τον κύκλο. Είναι σαν να κάνουμε αριθμητική πάνω σε ένα ρολόι με αριθμούς από το 0 μέχρι το 11 ισοκατανεμημένους στην περιφέρειά του. Μάλιστα αυτό γίνεται το γνωστό μας ρολόι, αρκεί να αυξήσουμε όλους τους αριθμούς κατά μία μονάδα και πλέον μετράμε από το 1 ως το 12. 
    Αυτό σημαίνει ότι σε αυτόν τον κουκλίστικο κόσμο το 12 παίζει το ρόλο του 0: προσθέστε το σε οποιονδήποτε αριθμό και θα πάρετε ακριβώς τον ίδιο αριθμό (12 ώρες μετά τις 3 είναι πάλι 3, και 11+12=11)
    [Σελίδα 141, στο βιβλίο του Robert Kaplan, ΤΟ ΥΠΑΡΚΤΟ ΤΙΠΟΤΑ Μια ιστορία του μηδενός, από τις εκδόσεις Αλεξάνδρεια, σε μετάφραση Τεύκρου Μιχαηλίδη.]
    http://maddmaths.simai.eu/noi-e/noi-e-image-des-mathematiques/la-matematica-del-gatto









    Αυτό που μας λέει εδώ ο Κάπλαν*, εν ολίγοις, νομίζω πως είναι το εξής:
    Ένας μαθηματικός έχει τη δυνατότητα, όπως ακριβώς και ένας συγγραφέας μυθιστορημάτων, να φτιάχνει μικρά σύμπαντα, κλειστά και αυτόνομα, όμοια με τις σαπουνόφουσκες,  μέσα στα οποία οι (μαθηματικοί) χαρακτήρες ακολουθούν το ... πεπρωμένο τους. 
    Σε ένα τέτοιο σύμπαν  όπου η σαπουνόφουσκα παραχώρησε τη θέση της σε ένα "ρολόι", το σενάριο εξίσωσε το 12 με το 0, οπότε, αναγκαστικά πια και για λόγους συνέπειας, 6+7=1!
    Επομένως, (λίγο ως μαθηματικός, ακόμη λιγότερο ως συγγραφέας και πολύ πολύ περισσότερο ως άνθρωπος που -για να συνεχίσει να προσπαθεί- έχει ανάγκη από ελπίδα), δεν θα μπορούσα κι εγώ να υποθέσω ότι κάπου εκεί έξω κάποιος κάποια στιγμή θα επινοήσει (το τονίζω: θα επινοήσει και δεν θα ανακαλύψει) ένα μικρό σύμπαν, μια σαπουνόφουσκα ναυαγοσώστη, μιαν αριθμητική ευεργετική, ένα σενάριο ικανό να διορθώσει τις εσφαλμένες (πολιτικές) πράξεις και τα ολέθρια αποτελέσματά τους που μας οδήγησαν σε αδιέξοδα;
    Σαν να λέμε: δεν θα μπορούσε κάποιος να επινοήσει ένα άλλο Ο και να γράψει με αυτό, μια καινούρια ιστορία, με μέση, τέλος και αρχή, που να είναι ... αληθινή;
    Αναμφιβόλως θα μπορούσα να υποθέσω κάτι τέτοιο και θα το κάνω!
     Έστω, λοιπόν, ότι σε έναν...κουκλίστικο κόσμο...το υπαρκτό τίποτα...θα με νανουρίσει γλυκά...πάνω σε μια σαπουνόφουσκα...
    Καληνύχτα.
    --------------------------------------------------------------------------
    *Ο Robert Kaplan έχει διδάξει μαθηματικά σε ανθρώπους από έξι ως εξήντα ετών, πρόσφατα και στο Πανεπιστήμιο Χάρβαρντ. Είναι συνιδρυτής του Math Circle, ενός προγράμματος ανοιχτού στο κοινό, για την απόλαυση των καθαρών μαθηματικών.



    Κυριακή, 10 Μαρτίου 2013

    ΆπειρΟ. Τα μαθηματικά της αθανασίας.


      Ο Μάρτιος έφερε την Άνοιξη κι αυτή, μέρα τη μέρα, πρασίνισε τον τόπο. Προ ολίγου το κατάλαβα, όταν σήκωσα το βλέμμα από το βιβλίο μου, έκανα  με τα μάτια μια στροφή 43 μοιρών κι αντίκρισα μιαν ανθισμένη αμυγδαλιά, πενήντα εξήντα μέτρα απ' το παράθυρό μου. Απόρησα! Δεν γίνεται να φούντωσε έτσι μέσα σε μια ώρα ολόκληρο το δένδρο! Σιγά σιγά θα μεταλλάχθηκε, αλλά εγώ ούτε που αντιλήφθηκα ότι από ξερόδεντρο ξανάγινε νυφούλα! Και πώς να το αντιληφθώ; Δυο μήνες τώρα δεν σήκωσα κεφάλι. 
    Μια οι εργασίες του μεταπτυχιακού, μια το πρόγραμμα για τα project, μια οι παράλληλες δραστηριότητες... Μια τα συλλαλητήρια και οι πορείες. Και φυσικά κάθε μέρα ανελλιπώς ο προγραμματισμός των σχολικών μαθημάτων. Πού να βρεθεί  χρόνος για να χαρώ  τον ερχομό της Άνοιξης, παρατηρώντας τα κλαδιά των δένδρων που φουντώνουν γύρω τριγύρω σε μια τόσο μικρή ακτίνα από το σπίτι μου; Από την άλλη βέβαια,  όταν οι υποχρεώσεις μου επιτρέπουν, που και που, να πάρω μιαν ανάσα, αντί να βγω έξω να μυρίσω την Άνοιξη, σπεύδω να αρπάξω κάποιο από τα βιβλία που περιμένουν στη ντάνα αδιάβαστα, να το μυρίσω, να το διαβάσω βιαστικά, να το ξεφυλλίσω, να κάνω τα φύλλα του να φτεροκοπήσουν μπροστά στα μούτρα μου, σαν λευκά πουλιά που 'ρχονται από μακριά, τιτιβίζοντας  ελπίδες και υποσχέσεις...
    Έτσι έκανα και σήμερα, λίγο πριν σηκώσω το βλέμμα μου κι αντικρίσω την φουντωμένη αμυγδαλιά,  αυτήν της  παραπάνω φωτογραφίας :)
    Είχα πάρει στα χέρια μου το βιβλίο του John D. Barrow, "'ΑπειρΟ Τα μαθηματικά της αθανασίας" και διάβαζα ανάκατα τα κεφάλαια. Είχα απορροφηθεί και δεν θα σήκωνα κεφάλι, αν δεν έφτανα στη σελίδα 103 όπου διάβασα για τον μεγάλο μου έρωτα, τον Bernhard Bolzano, (1781-1848), για τον οποίον έχω ξαναγράψει παλιότερα εδώ.
    Αντιγράφω ένα μικρό απόσπασμα από όσα διάβασα:

    "Ο Bernhard Bolzano άρχισε να μελετά τα παράδοξα του απείρου το 1847, στα 67 του χρόνια. Κατά τον Bolzano όλα τα άπειρα ήταν ίσα. Ο απλούστερος τρόπος να καταλάβουμε πώς κατέληξε σε αυτό το συμπέρασμα είναι να εξετάσουμε ένα άλλο από τα "παράδοξα", που ο Γαλιλαίος και οι μαθηματικοί του Μεσαίωνα επικαλούνταν συχνά, όταν ήθελαν να αμφισβητήσουν το λογικό υπόβαθρο της έννοιας του απείρου. Πάρτε ένα κομμάτι κλωστή και σχηματίστε ένα ημικύκλιο με διάμετρο ενός μέτρου. Φανταστείτε τώρα ότι κάτω από το ημικύκλιο παράλληλα προς τη διάμετρό του, περνάει μια άπειρη ευθεία γραμμή (βλ. Εικόνα 4.7). Όλες οι δυνατές ευθείες που ενώνουν το κέντρο του ημικυκλίου με την άπειρη ευθεία, θα τέμνουν το ημικύκλιο σε κάποιο σημείο της περιφέρειάς του. Το εκπληκτικό είναι ότι, όπως φαίνεται και στην Εικόνα 4.7, υπάρχει μια ευθεία που συνδέει κάθε σημείο της περιφέρειας του ημικυκλίου με ένα, και μόνο ένα, σημείο της άπειρης ευθείας. Επομένως, τα σημεία που συγκροτούν την περιφέρεια του ημικυκλίου πρέπει να είναι ισάριθμα με τα σημεία που αποτελούν την άπειρη ευθεία. Έστω, τώρα, ότι σχεδιάζουμε κι άλλα ημικύκλια, με το ίδιο κέντρο αλλά με μικρότερες ακτίνες. Το σύνολο όλων των ευθειών που μπορούν να χαραχτούν από το κέντρο θα διέρχονται από κάθε σημείο της περιφέρειας όλων των κύκλων και η καθεμιά ευθεία θα βρίσκεται σε αντιστοιχία με κάθε σημείο της περιφέρειας κάθε άλλου κύκλου. Επομένως, όλοι αυτοί οι κύκλοι περιέχουν στις περιφέρειες τους άπειρα σημεία και τα σημεία αυτά είναι ισάριθμα."

    Κάπως δύσκολο; Ο.K.! Παραθέτω την εικόνα 4.7, την οποία έφτιαξα  με χρήση GeoGebra, για να διαφωτίσω όσους μπερδεύτηκαν, και μαζί με την εικόνα παραθέτω και την υποσημείωση που τη συνοδεύει στο βιβλίο και καθιστά απολύτως κατανοητή τη διαδικασία με την οποία η άπειρη ευθεία έρχεται σε ένα -προς - ένα αντιστοιχία με ένα πεπερασμένο ευθύγραμμο τμήμα μήκους μόλις μιας μονάδας!!!


    Εικόνα 4.7 Η ένα-προς-ένα αντιστοιχία ανάμεσα σε μια ευθεία μήκους μίας μονάδας που εκτείνεται οριζόντια από το 0 ως το 1, και σε ολόκληρη την άπειρη ευθεία από το πλην άπειρο (αριστερά) ως το συν άπειρο (δεξιά). Διαλέξτε ένα οποιοδήποτε σημείο της ευθείας που συνδέει το πλην άπειρο με το συν άπειρο. Στη συνέχεια χαράξτε μια ευθεία που να ενώνει αυτό το σημείο με το κέντρο του ημικυκλίου. Από το σημείο όπου η ευθεία αυτή τέμνει το ημικύκλιο, σχεδιάστε μια κατακόρυφη διακεκομμένη γραμμή προς ένα σημείο του ευθύγραμμου τμήματος μεταξύ 0 και 1. Μέσω αυτής της διαδικασίας, βλέπουμε πως κάθε σημείο της αρχικής άπειρου μήκους ευθείας καταλήγει σε ένα σημείο του πεπερασμένου ευθύγραμμου τμήματος από το 0 ως το 1. (Σελ. 106)

    Φανταστικό, σωστά; Με μια απλή κίνηση, μια κίνηση που μοιάζει με αναδίπλωση, κάθε σημείο της άπειρης ευθείας "ζευγαρώνει" με ένα μόνο σημείο του ημικυκλίου κι αυτό το σημείο στη συνέχεια "πέφτει" ευλαβικά, σαν σταγόνα βροχής, μέσα στο διάστημα που οριοθετείται από το μηδέν και το ένα, για να βρει εκεί την εικόνα του σε ένα άλλο μοναδικό σημείο...
    Πόσο ερωτικό και πόσο ανοιξιάτικο συνάμα! Όταν πρωτοδιάβασα, μερικά χρόνια πριν, αυτή την τολμηρή και ερωτική αναδίπλωση του απείρου στο πεπερασμένο, όπως την είχε περιγράψει ο Bolzano, ένιωσα μιαν απέραντη ευγνωμοσύνη γι' αυτόν. Η φράση "Ας το αποδεχτούμε κι ας προχωρήσουμε" του Bolzano άνοιξε το δρόμο, ρίχνοντας τον τοίχο που όρθωνε το άπειρο με τα παράδοξά του  στον Γαλιλαίο και τους άλλους μαθηματικούς του Μεσαίωνα. Μια απλή παραδοχή ήταν αρκετή για νέες κατακτήσεις...Και παρόλο που ο Cantor αργότερα, με ένα ωραίο παράδειγμα, απέδειξε πως τελικά τα άπειρα δεν είναι όλα ίσα (και όμοια), ο Bolzano παραμένει για μένα ο πιο αγαπημένος ήρωας του μαθηματικού μου κόσμου, για πολλούς και διάφορους λόγους, κυρίως όμως επειδή ήταν πάντα τολμηρός, θαρραλέος και κοινωνικά δίκαιος... Γι' αυτό κάθε φορά που διαβάζω κάτι σχετικά με τον Bernhard Bolzano, νιώθω την ανάγκη να ονειροπολήσω, να συλλογιστώ, να ελπίσω, και τότε σηκώνω το βλέμμα από το ανάγνωσμα και το περιφέρω έξω από το παράθυρο, στον γαλάζιο ή στον γκρίζο ουρανό, ανάλογα με τον καιρό..
    Κάπως έτσι και σήμερα, διαβάζοντας το βιβλίο του Barrow, ένιωσα την ελπίδα να φουντώνει μέσα μου και τότε, σηκώνοντας το βλέμμα, είδα την ανθισμένη αμυγδαλιά, κι είδα τον ερχομό της Άνοιξης, είδα την αναγέννηση και νόμισα πως αφουγκράστηκα την ... μπουμπουκιασμένη αθανασία, αυτήν που κρύβουν μέσα τους τα ...  Μαθηματικά του απείρου και της φαντασίας μου :)

    ----------------------------------------------------------------------------------------
    Συμπληρωματικά παραθέτω μιαν άλλη εκδοχή της ΕΙΚΟΝΑΣ 4.7, της σελίδας 106, η οποία είναι πιο κοντά στην περιγραφή της υποσημείωσης, με την έννοια πως παίρνει ένα σημείο Κ της άπειρης ευθείας, το ενώνει με το κέντρο Ο του ημικυκλίου και οριζέται έτσι το σημείο Ρ, ως σημείο τομής του ΚΟ με το ημικύκλιο. Στη συνέχεια το Ρ προβάλλεται στο Η, το οποίο βρίσκεται -πάντα υπό περιορισμό :)-,  ανάμεσα στο 0 και στο 1...


    Παρασκευή, 8 Μαρτίου 2013

    5η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΒΔΟΜΑΔΑ, Θεσσαλονίκη 27 με 31 Μαρτίου

    Δείτε το πρόγραμμα της 5ης Μαθηματικής Εβδομάδας εδώ
    Επιλέξτε τις συνεδρίες και τα σεμινάρια που θέλετε να παρακολουθήσετε.
    Κάντε την εγγραφή σας στη σελίδα του Παραρτήματος ΕΜΕ, Κεντρικής Μακεδονίας εδώ

    Προγραμματίστε εκπαιδευτικές επισκέψεις με τα σχολεία σας, για να παρακολουθήσουν οι μαθητές σας τις παράλληλες δραστηριότητες, που είναι σχεδιασμένες ειδικά για τα σχολεία.
    Δείτε στο τελευταίο μέρος του προγράμματος τις παράλληλες μαθητικές δραστηριότητες.
    Μεταξύ των άλλων, οι μαθητές σας θα έχουν την ευκαιρία να παρακολουθήσουν άλλους μαθητές
    που θα παρουσιάσουν τις ερευνητικές τους εργασίες, εν είδει Μαθητικού Συνεδρίου.

    Στείλτε μήνυμα στο kalfokat@gmail.com, για να δηλώσετε την επίσκεψη του σχολείου σας στην 5η Μαθηματική Εβδομάδα.
    Έχουν απομείνει λίγες θέσεις και τηρείται σειρά προτεραιότητας.

    Μην χάσετε, το βράδυ του Σαββάτου το στρογγυλό τραπέζι με θέμα "Ερευνητικές Εργασίες-Project", με ομιλητές τους:
    Κατερίνα Καλφοπούλου, Γιάννη Θωμαΐδη, Ανδρέα Λύκο, Χατζηχρίστου Χρυσούλα.

    Οι Κατερίνα Καλφοπούλου και  Ανδρέας Λύκος, εκπροσωπώντας την ομάδα Θαλής+Φίλοι, θα κάνουν προτάσεις για την οργάνωση Ερευνητικών Εργασιών με χρήση λογοτεχνικών βιβλίων ή βιβλίων εκλαϊκευμένης επιστήμης, στα πρότυπα λειτουργίας των Λεσχών Ανάγνωσης της ομάδας Θαλής+Φίλοι, όπου διαθέτουν πολύχρονη εμπειρία.
    Κατά τη διάρκεια της συζήτησης με το κοινό θα κληρωθούν πολλά βιβλία, τα οποία αποτελούν πολύτιμες πηγές για μαθηματικές και όχι μόνο ερευνητικές εργασίες, όπως: 
    • "Τα Πυθαγόρεια Εγκλήματα", του Τεύκρου Μιχαηλίδη από τις εκδόσεις Πόλις, 
    • "Επιστολές σε μια νεαρή μαθηματικό", του Ian Stewart, από τις εκδόσεις Τραυλός 
    • "Το μέτρο του κόσμου", του Denis Guedj, από τις εκδόσεις Τραυλός κ.ά.
    ΣΑΣ ΠΕΡΙΜΕΝΟΥΜΕ ΟΛΟΥΣ ΣΤΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 

    27 με 31 Μαρτίου, στη Διεθνή Έκθεση Θεσσαλονίκης, 
    στο Συνεδριακό Κέντρο Νικόλαος Γερμανός.

    Η εγγραφή στο Συνέδριο και η παρακολούθηση των εισηγήσεων είναι ΔΩΡΕΑΝ.
    (αντιθέτως η παρακολούθηση των ειδικών σεμιναρίων από εκπαιδευτικούς έχει κόστος 15 ευρώ)