Τρίτη, 26 Νοεμβρίου 2013

ΜΙΑ ΔΙΑΚΕΚΟΜΜΕΝΗ ΓΡΑΜΜΗ...

Θα μπορούσα να ισχυριστώ ότι η ραπτική δεν είναι κάτι  περισσότερο από εφαρμογή λίγων στοιχειωδών Μαθηματικών. Λίγες καμπύλες γραμμές στο πατρόν, δυο τρεις βασικές μετρήσεις, μια αντιστοίχιση ανάμεσα στις διαστάσεις μας και σ' αυτές του υφάσματος και τέλος μια σωστή συναρμολόγηση των κομματιών! Και το ρούχο είναι έτοιμο για φόρεμα, τουλάχιστον σε μια απλή και λιτή  εκδοχή, που όμως είναι επαρκής, συνήθως οικονομική και, πιθανόν,  οικολογική.
 Επειδή κάποτε είχα παρακολουθήσει λίγα μαθήματα κοπτικής-ραπτικής και για ένα μικρό διάστημα  έραβα ρούχα για μένα και για τη φίλη μου, δεν είναι εντελώς θεωρητικός ο ισχυρισμός μου. Είχα ράψει μερικές φούστες και κάμποσα καλοκαιρινά μπλουζάκια, με πατρόν που έφτιαχνα συνήθως μόνη μου, τραβώντας διακεκομμένες γραμμές πάνω σε λευκό ρυζόχαρτο, με εφαρμογή της στοιχειώδους Γεωμετρίας που απαιτούσε η περίσταση και με χρήση των δύο ειδικών οργάνων που είχα επί τούτου προμηθευτεί.
Αυτό που αναμφιβόλως δεν θα μπορούσα να ισχυριστώ είναι το αντίστροφο του παραπάνω ισχυρισμού, δηλαδή να ισχυριστώ πως τα Μαθηματικά δεν είναι κάτι περισσότερο από εφαρμογή λίγων στοιχειωδών μεθόδων της κοπτικής και της ραπτικής! 
Και αν στον πρώτο μου ισχυρισμό υπάρχουν ενστάσεις ή αντιρρήσεις, είμαι εντελώς σίγουρη πως όλοι θα συμφωνήσουν με τον δεύτερο. Τα Μαθηματικά είναι πολλά περισσότερα από τη δημιουργία ενός πατρόν και την κατασκευή ενός ρούχου. Ακόμη και όταν προσπαθούμε να τα απλοποιήσουμε και να τα κατεβάσουμε στο επίπεδο κατανόησης των μαθητών μας, ακόμη και τότε ο πληθωρικός τους χαρακτήρας και η πολυεπίπεδη φύση τους θα πρέπει να αντιμετωπίζεται με σεβασμό και να μην εκφυλίζεται. Ωστόσο, η διδασκαλία των Μαθηματικών, νομίζω πως - για πολλούς και διάφορους λόγους, που δεν είναι της ώρας - έχει σταδιακά απογυμνωθεί και έχει απλοποιηθεί σε βαθμό που δεν διαφέρει και πολύ από τη μηχανική δημιουργία ενός πατρόν. Και μάλιστα ενός πατρόν που δεν έχει καν ως αποτέλεσμα ένα ρούχο, ας πούμε, υψηλής αισθητικής ή, ακόμη καλύτερα, αυξημένης χρησιμότητας. Διδάσκονται μάλιστα τόσο μηχανικά, που τελικά οι έννοιες χάνουν το νόημά τους και τη διασύνδεσή τους, με αποτέλεσμα οι μέθοδοι να μην εδραιώνονται σε κάποια λογική διαδικασία, αλλά να περιορίζονται στη χρήση συμβόλων που, στην περίπτωση που δεν στερούνται παντελώς νοήματος, αποκτούν ένα ιδιαίτερο νόημα που δεν έχει σχέση με την πραγματικότητα. Συχνά δε φτάνουν στο σημείο τα σύμβολα να ταυτίζονται τελικά με τη μέθοδο! Για το θέμα αυτό είχα γράψει παλιότερα με αφορμή τη "μέθοδο βουλίτσα", όπως  είχε πει ένας μαθητής της Γ' Λυκείου, τη μέθοδο που θα εφάρμοζε σε μια άσκηση της Στατιστικής. (βλέπε εδώ)
Σήμερα, στο μάθημα της Γεωμετρίας στην Α' Λυκείου θυμήθηκα τη "μέθοδο βουλίτσα", με αφορμή  τη μέθοδο "διακεκομμένη γραμμή", που πρότεινε ένας μαθητής στη λύση μιας άσκησης.
Βρισκόμαστε στην τριγωνική ανισότητα και ο προγραμματισμός του σημερινού μαθήματος προέβλεπε τις αποδεικτικές ασκήσεις 3, 5 και 7 στη σελίδα 58 του σχολικού. Αφού πρώτα λύθηκε στον πίνακα η άσκηση 10, με τον χιλιομετρητή, που είχαν για το σπίτι,  ξεκίνησε η συζήτηση με θέμα τις προαναφερθείσες ασκήσεις.
Ειδικά η άσκηση 3, σύμφωνα πάντα με τον προγραμματισμό θα γινόταν διεξοδικά, για να αντιληφθούν οι μαθητές ότι όταν τα γνωστά θεωρήμα, πορίσματα κλπ, δεν καλύπτουν την περίπτωση που έχουμε να αντιμετωπίσουμε, τότε πρέπει εμείς να "επινοήσουμε" κάτι νέο, μια κίνηση φορσε ας πούμε, που θα σώσει την κατάσταση. Εν προκειμένω, θα έπρεπε να προεκτείνουμε κατά ίσο τμήμα τη διάμεσο του τριγώνου, κι αυτό ήταν που έπρεπε να σκεφτούν οι μαθητές.
Αφού διαβάσαμε προσεκτικά την άσκηση, έγραψα στον πίνακα τα δύο γνωστά από πριν θεωρήματα, της σελίδας 54, που μοίαζουν με το ζητούμενό της, και μετά από συζήτηση οδηγηθήκαμε στο συμπέρασμα πως κανένα από αυτά δεν εφαρμόζεται πιστά στη δική μας περίπτωση. Τότε πρότεινα να σκεφτούν για λίγο τι θα μπορούσαμε να κάνουμε. Σχεδόν αμέσως ο Π σήκωσε το χέρι του και του έδωσα τον λόγο. "Για να τη λύσουμε θα τραβήξουμε μια διακεκομμένη γραμμή!", είπε. Περίμενα για λίγο, να δω μήπως και το σώσει στη συνέχεια, αλλά το παιδί μάλλον είχε ολοκληρώσει την πρότασή του. Δυστυχώς δεν κατάφερα να συγκρατηθώ, δηλαδή να ρωτήσω τι εννοεί, για να του δώσω χρόνο να το ξανασκεφτεί. Μου προέκυψε αυθόρμητα η ερώτηση: "Δηλαδή Π, αν αντί για διακεκομμένη γραμμή τραβήξω μια κόκκινη γραμμή ή μια πράσινη συνεχόμενη γραμμή δεν θα μπορέσω να λύσω την άσκηση;".  Έσπευσα να διορθώσω την αντίδρασή μου, εξηγώντας πως η ουσία δεν είναι το στυλ της γραμμής, το πάχος της, το χρώμα της, η μορφή της τέλος πάντων, αλλά είναι η λειτουργία της! Τι θα κάνει αυτή η γραμμή, πώς θα λειτουργεί μέσα στο σχήμα μας; Με λίγη υπομονή ο μαθητής, που πιθανόν είχε λύσει την άσκηση από πριν και 'γνώριζε' τη λύση, παρόλο που δεν την είχαν ως homework, μας εξήγησε πως "η διακεκομμένη γραμμή θα συνέχιζε τη διάμεσο ΑΜ και θα ήταν ίση με αυτήν"!
Νομίζω πως η μέθοδος "προεκτείνω κατά ίσο τμήμα τη διάμεσο του τριγώνου...", που την είχα αναφέρει στο πρόσφατο παρελθόν και την είχα τονίσει ως μεθοδολογία σε ασκήσεις με διάμεσο τριγώνου, στην περίπτωση που δεν επαρκούν τα δεδομένα της άσκησης ή τα γνωστά θεωρήματα, στο μυαλό του Π, και πιθανότατα και σε πολλών άλλων μαθητών μου, κωδικοποιήθηκε απλά ως "μια διακεκομμένη γραμμή"! 
Και εδώ τίθεται το εξής πολύ σημαντικό ερώτημα: Πόσο συχνά οι μαθητές κόβουν και ράβουν όσα ακούν από τον δάσκαλο, πάνω σε ένα εντελώς δικό τους πατρόν, που πολύ απέχει από το "μοντέλο" που έχει  ο δάσκαλος στο δικό του μυαλό;
Είμαι απολύτως πεπεισμένη πως τα Μαθηματικά υπερέχουν πολύ από τη ραπτική, ακόμη και την υψηλή, την περιβόητη "haute couture", αλλά φοβάμαι πολύ πως η επικοινωνία μας με τους μαθητές μας ενέχει, τελικά, όλα εκείνα τα στοιχεία της ... κοπτικής!

 

Τετάρτη, 13 Νοεμβρίου 2013

Ο ΑΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ


Η "διακρίνουσα" είναι, ως γνωστόν, μετοχή ενεστώτα του ρήματος διακρίνω. 
Διακρίνων-διακρίνουσα-διακρίνον! Και το ρήμα διακρίνω, που σημαίνει βλέπω, αντιλαμβάνομαι, ξεχωρίζω κλπ, είναι, ως γνωστόν, σύνθετο από την πρόθεση "δια" και το ρήμα "κρίνω", που σημαίνει νομίζω, αξιολογώ, εκτιμώ, ασκώ κριτική κλπ.
Επίσης, σχεδόν όλοι γνωρίζουν πως η Διακρίνουσα (Δ) στα Μαθηματικά είναι ένας πραγματικός αριθμός στενά συνυφασμένος με τη δευτεροβάθμια πολυωνυμική εξίσωση, καθώς το πρόσημό της  μας βοηθά να διακρίνουμε, με όλες τις προαναφερθείσες σημασίες του ρήματος "διακρίνω", το πλήθος και το είδος των ριζών που έχει μια δευτεροβάθμια εξίσωση. 
Οι μαθητές διδάσκονται για πρώτη φορά τη δευτεροβάθμια εξίσωση, όταν φοιτούν στην τρίτη τάξη του Γυμνασίου και για δεύτερη φορά, όταν φοιτούν στην πρώτη τάξη του Λυκείου. Φτάνοντας μάλιστα στο Λύκειο πολλοί από αυτούς έχουν στο βαλιτσάκι της γνώσης που κουβαλούν μαζί τους το "βόδια στο τετράγωνο πλην τέσσερις αγελάδες", το οποίο μερικοί καθηγητές των Μαθηματικών  συνηθίζουν να χρησιμοποιούν, για να βοηθήσουν τους μαθητές τους  να απομνημονεύσουν τον τύπο που δίνει την αριθμητική τιμή της διακρίνουσας. Και φαίνεται πως η χρήση αυτού του εργαλείου  επιφέρει καλό αποτέλεσμα, αλλά σε επίπεδο απομνημόνευσης  και μόνο! Σχεδόν όλοι οι μαθητές θυμούνται τον τύπο της διακρίνουσας.
Αλλά  αυτό είναι  το ζητούμενο από τη διδασκαλία των Μαθηματικών; Η απομνημόνευση των τύπων; 
Όχι πως προσωπικά είμαι κατά της απομνημόνευσης των μαθηματικών τύπων, ούτε των ρηματικών τύπων, ούτε ... των τύπων και των υπογραμμών, εν γένει, και δεν είμαι επειδή πιστεύω ότι όταν κάποιος αναγκάζεται από νεαρή ηλικία να ασκηθεί στην απομνημόνευση αναπτύσσει τις δικές του τεχνικές, που τον βοηθούν στην οργάνωση και  διευθέτηση θεμάτων, στην κοινωνικοποίηση, στην πνευματική ανέλιξη κ.ά., ωστόσο στο θέμα των "βοδιών στο τετράγωνο ελαττωμένων κατά τέσσερις αγελάδες" έχω αναμφιβόλως τις αντιρρήσεις μου. Και ο λόγος που έχω τις αντιρρήσεις μου στη χρήση του συγκεκριμένου  απομνημονευτικού κανόνα είναι ο τρόπος που αυτός εντυπώνεται στο κεφάλι των παιδιών! Μου φαίνεται πως το βάρος των βοδιών, και μάλιστα στο τετράγωνο(!), καίτοι ελαφρωμένο κατά το βάρος των τεσσάρων αγελάδων, δημιουργεί μια πολύ βαθιά χαρακιά στους ευαίσθητους εγκεφαλικούς νευρώνες των νεαρών μαθητών που δεν επουλώνεται ποτέ, με αποτέλεσμα όταν στη συνέχεια, καθώς το "τριώνυμο" και η δευτεροβάθμια εξίσωση δεν αποτελούν πλέον αυτοσκοπό, αλλά ένα χρήσιμο εργαλείο επίλυσης ποικίλων άλλων μαθηματικών προβλημάτων, να ξεπηδούν τα βόδια στο προσκήνιο και να ...οργώνουν εκεί που δεν τα σπέρνουν.:) Με αποτέλεσμα οι μαθητές να κάνουν χρήση του απομνηνονευτικού αυτού κανόνα και να υπολογίζουν αδιακρίτως μια Διακρίνουσα , όπου και όποτε συναντήσουν κάποια παράσταση που είτε είναι είτε θυμίζει τριώνυμο δεύτερου βαθμού.
Σίγουρα δεν είμαι η μόνη που  έχω προσέξει αυτό το φαινόμενο. Και δεν το πρόσεξα τώρα. Όμως με αφορμή μια συζήτηση που είχα με τον καλό μου συνάδελφο τον Φώτη, καθώς την Παρασκευή οδεύαμε από Θεσσαλονίκη προς Καρδίτσα για να πάρουμε μέρος στο 30ο Πανελλήνιο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, αποφάσισα, επιστρέφοντας στο σχολείο, να καταγράψω μέσα από το μάθημα μερικά παραδείγματα "αντίδρασης" μαθητών στη θέα ενός τριωνύμου.
Σήμερα μου δόθηκε η ευκαιρία να το κάνω σε τρία διαφορετικά τμήματα και σε δυο διαφορετικές τάξεις. Στην Α' Λυκείου, στο μάθημα της Άλγεβρας και στη Β' Λυκείου, στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης.
Αντί για λόγια παραθέτω κάποιες από τις εικόνες που συνέλεξα.
Να σημειώσω πως δεν πρόκειται για τεστ, αλλά για φύλλο  επανάληψης που το απάντησαν οι μαθητές συνεργαζόμενοι ανά δύο. Παρόμοια με την απάντηση της προηγούμενης εικόνας υπήρχε σε πολλά γραπτά. Για να συζητήσουμε το θέμα διεξοδικά,  σήκωσα μια μαθήτρια στον πίνακα να γράψει τη δική της εκδοχή, η οποία φαίνεται στην επόμενη εικόνα:

(με πράσινο είναι οι υποδείξεις που έκανα εγώ, προσπαθώντας να βοηθήσω τη μαθήτρια)
Με αφορμή τη συζήτηση που ακολούθησε και τις διορθώσεις που έγιναν, κατασκεύασα επί τόπου μια πρόχειρη άσκηση, για να δω πώς θα αντιδράσουν οι μαθητές. Ζήτησα να προτείνουν λύσεις και κατέγραψα στον πίνακα τις τρεις προτάσεις (ή έστω τις δυο παρατηρήσεις και τη μια πρόταση) που ακούστηκαν:
Από τις δύο πρώτες (αυθόρμητες) παρατηρήσεις γίνεται προφανές πως το "τριώνυμο" είναι αυτό που "κλέβει την παράσταση" και αφήνει όλα τα υπόλοιπα στο παρασκήνιο.
Στην Α' Λυκείου δε το σημερινό μάθημα εξυπηρετούσε σε μεγάλο βαθμό τον πειραματισμό γύρω από το ερώτημα: "πώς αντιδρούν οι μαθητές στη θέα του τριωνύμου;". 
Αφού έκανα μια σύντομη, πλην περιεκτική παράδοση, με αρκετές ερωταποκρίσεις και ο πίνακας μας είχε περίπου αυτήν τη μορφή:
 ζήτησα από τους μαθητές να προσπαθήσουν να λύσουν την ακόλουθη άσκηση:
 
Περνώντας από τα θρανία, επιβεβαίωσα την πρόβλεψή μου! Η πλειοψηφία των μαθητών - και έχει πολύ καλούς, έξυπνους και μελετηρούς, μαθητές το συγκεκριμένο τμήμα της Α' - αντέδρασαν υπό την επήρεια του "βόδια στο τετράγωνο μείον τέσσερις αγελάδες"!
Με την άδειά τους φωτογράφησα μερικά τετράδια. Παραθέτω δυο χαρακτηριστικά ευρήματα:
Νομίζω πως τα ντοκουμέντα που παρέθεσα είναι αρκετά, για να επαληθεύσουν τον ισχυρισμό μου, ότι τελικά "τα βόδια στο τετράγωνο..." οργώνουν βαθιά τη σκέψη των μικρών μαθητών και τους καλλιεργούν μια αντανακλαστική αντίδραση όμοια με εκείνη του σκύλου στα πειράματα του Παυλόφ!
Και μπαίνει το ερώτημα: είναι τελικά σωστό χρησιμοποιώντας τόσο υπερμεγέθεις και ... υπέρβαρες εικόνες, όπως τα βόδια στο τετράγωνο και οι τέσσερις αγελάδες, να δημιουργούμε μια προκάτ αντίδραση στα παιδιά; 
Μήπως αυτό περιορίζει την ικανότητά τους να "κρίνουν" και να διακρίνουν πού και πότε είναι χρήσιμο και απαραίτητο να υπολογίζουν τη Διακρίνουσα;
Θα με ενδιέφερε πολύ να έχω σχόλια, απόψεις, κρίσεις και  απαντήσεις.  :)
--------------------------------------------------------------------------------

Θέλω να ευχαριστήσω όλους τους μαθητές μου, οι οποίοι έχοντας κατανοήσει την προσπάθεια που καταβάλω  για να βρω τρόπους και πρακτικές που θα βελτιώσουν όσο το δυνατόν περισσότερο τη μαθηματική τους παιδεία, μου δείχνουν εμπιστοσύνη και μου επιτρέπουν να διαχειρίζομε ελεύθερα το υλικό που προκύπτει από τα μαθήματά μας στην τάξη του σχολείου.
Ελπίζω και εύχομαι με το τέλος της χρονιάς να έχουμε ξεκαθαρίσει το τοπίο και να έχουμε αποκτήσει επαρκή κρίση όλοι μας!

Παρασκευή, 1 Νοεμβρίου 2013

Η "ΕΙΣ ΑΤΟΠΟΝ ΑΠΑΓΩΓΗ" και τα λοιπά ατοπήματα...

Ο αγώνας ταχύτητας στη διδασκαλία της Άλγεβρας στην Α' Λυκείου (και όχι μόνο σε αυτήν) καλά κρατεί και όσο περνάει ο καιρός οι απαιτήσεις αυξάνονται και οι ρυθμοί επίσης. Το αυστηρά σχεδιασμένο πλάνο του μαθήματος τηρείται σχεδόν απαρέγκλητα και οι τυχόν αδυναμίες και τα "κενά" των μαθητών είναι πρακτικά αδύνατο να λαμβάνονται υπόψη στο βαθμό που λαμβάνονταν τα προηγούμενα χρόνια. Οι επαναλήψεις της ύλης, η οποία έχει ήδη διδαχτεί στο Γυμνάσιο, φέτος λόγω της πίεσης από την Τράπεζα Θεμάτων είναι πραγματικές επαναλήψεις και όχι μια εκ νέου διδαχή, όπως γινόταν τις προηγούμενες χρονιές,  στην παραγοντοποίηση, ας πούμε, και στις ταυτότητες,  όπου  περισσότεροι από τους μισούς μαθητές δεν μπορούσαν να ανταποκριθούν ικανοποιητικά, με αποτέλεσμα να χρονοτριβώ για να τα διδάξω από την αρχή αναλυτικά. Βέβαια, για να πω την αλήθεια και τα δύο τμήματα της Α' Λυκείου, στα οποία  διδάσκω φέτος, έχουν ικανοποιητικό μέσο όρο στην επίδοση και στη γενικότερη συμμετοχή, οπότε αυτό με διευκολύνει αρκετά και μου δίνει τη δυνατότητα να ρίχνω το βάρος στα καινούρια κομμάτια της ύλης και σε όσα πρέπει να τονιστούν και να απασαφηνιστούν φέτος, για να προετοιμάσουν το έδαφος για τη μελλοντική τους ενασχόληση με τα Μαθηματικά. Και ένα από τα βασικότερα σημεία της φετινής ύλης είναι αναμφιβόλως το κομμάτι της "απόδειξης" και οι αποδεικτικές μέθοδοι που χρησιμοποιούμε στα Μαθηματικά. Για το λόγο αυτό έδωσα μεγάλη βαρύτητα στην "ευθεία απόδειξη" ταυτοτήτων και  συνεπαγωγών, τουλάχιστον όσο μου επιτρέπει η χρονική πίεση... Μέσα σε αυτόν το γενικότερο στόχο, θέλησα σήμερα να διδάξω την "απαγωγή σε άτοπο" ως αποδεικτική μέθοδο που εμφανίζεται πιεστικά μεν, δηλαδή μας οδηγεί σε αυτήν η ανάγκη, αλλά σωτήρια δε, αφού λειτουργεί εκεί όπου η ευθεία απόδειξη δεν αποτελεί λύση. Για το λόγο αυτό αποφάσισα να αφήσω τα παιδιά να πάρουν το χρόνο τους και να οδηγηθούν μόνα τους στην ... επινόηση μιας νέας αποδεικτικής μεθόδου, διαφορετικής από την ευθεία απόδειξη που ήδη γνώριζαν. Για ... ζέσταμα ζήτησα στην αρχή να αποδείξουν την ακόλουθη συνεπαγωγή: 

Αν ένας φυσικός αριθμός α είναι περιττός, να δείξετε ότι το τετράγωνό του είναι περιττός αριθμός.

Δύσκολο; Όχι φυσικά! Αν γνωρίζει κάποιος ποιοι αριθμοί λέγονται περιττοί και ποια είναι η γενική τους μορφή, τελειώνει στο πι και φι. Θα πρέπει να τονίσουμε βέβαια πως αρκετοί ήταν οι μαθητές που πρότειναν να αποδείξουμε το ζητούμενο χρησιμοποιώντας έναν τυχαίο αριθμό!
"Να, κυρία, αν ο α είναι ο 5 που είναι περιττός, τότε και το τετράγωνό του που είναι το 25 είναι κι αυτός περιττός!"
Δυστυχώς αυτό είναι ένα σημείο που δεν ξεπερνιέται από τη μια στιγμή στην άλλη και φανερώνει πόσο δύσκολα υπερπηδούν οι μαθητές το γυμνασιακό - εμπειρικό στάδιο, που ενίοτε λειτουργεί ως εμπόδιο, για να προσεγγίσουν το επίπεδο αφαίρεσης και γενίκευσης που απαιτείται στο Λύκειο και που με τη σειρά του απαιτεί ανεξάντλητη υπομονή και επιμονή από την πλευρά του καθηγητή.  :)
Εν πάση περιπτώσει, η συνεπαγωγή μετά από σύντομη συζήτηση αποδείχτηκε εύκολα και προχώρησα στην επόμενη συνεπαγωγή, γράφοντας στον πίνακα:

Αν το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού α είναι περιττός, να δείξετε ότι ο α είναι περιττός. 

Οι περισσότεροι μαθητές, όπως ήταν αναμενόμενο, θεώρησαν πως η απόδειξη είναι απλή και σήκωσαν τα χέρια, για να μου πουν τι θα κάνουμε. Κατέγραφα τις προτάσεις τους στον πίνακα και τις συζητούσαμε διεξοδικά. Μία μία αποδεικνύονταν άκαρπες οι προσπάθειες που κάναμε, κάποιες από τις οποίες τις προχωρούσαμε λιγάκι, ενώ άλλες τις απορρίπταμε εξ αρχής, επειδή αμέσως μόλις ακούγονταν κάποιος πεταγόταν από κάτω να μας εξηγήσει ότι η συγκεκριμένη επιλογή δεν θα μας οδηγούσε πουθενά...
"Λυπάμαι πολύ παιδιά!", είπα μετά από αρκετή ώρα. "Ειλικρινά λυπάμαι και δεν ξέρω τι μπορούμε να κάνουμε για να το αποδείξουμε...".
Είχα πάρει σχεδόν περίλυπη έκφραση και αρκετοί από τους μαθητές επίσης, γιατί ένιωθαν πως ξεμείναμε από ιδέες και μεθόδους...
Τότε η Μαριάνθη, μάλλον για να με ανακουφίσει το παιδί, σήκωσε το χέρι της και είπε: "Κυρία, να προτείνω κάτι ακόμη; Αν και δεν είμαι σίγουρη...". "Ευτυχώς που δεν είσαι σίγουρη, Μαριάνθη!", της είπα για ενθάρρυνση, "αν οι άνθρωποι ήταν πάντα σίγουροι για τα πράγματα δεν θα προχωρούσε η επιστήμη..."
Ενώ  η Μαριάνθη άρχισε να λέει την ιδέα της, που δεν ήταν η σωστή επιλογή, πετάχτηκε ένας συμμαθητής της και τη διέκοψε προτείνοντας να υποθέσουμε ότι ο α είναι άρτιος  και να δοκιμάσουμε τι θα γίνει... Άρχισαν να μιλάνε και άλλοι συνεχίζοντας την ιδέα αυτή...
Είχαν φτάσει πολύ κοντά στο να ξανανακαλύψουν την εις άτοπο απαγωγή! Δυστυχώς η πίεση του χρόνου με ανάγκασε να μη δώσω συνέχεια στο παιχνίδι και δεν κατάφερα να αξιοποιήσω στο έπακρο τις δυνατότητες που μας δίνει μια τέτοια προσέγγιση. Στο βαθμό που το πετύχαμε όμως, καταλάβαμε κάτω από ποιες συνθήκες το ανθρώπινο μυαλό οδηγείται στην επινόηση νέων μεθόδων και πρακτικών... Αλλά την απαγωγή σε άτοπο δεν είναι σίγουρο ότι την κατάλαβαν όλοι στην τάξη. Ακούστηκαν διάφορες διαμαρτυρίες όταν ολοκληρώθηκε η απόδειξη στον πίνακα και μου ζητήθηκε πολλές φορές να επαναλάβω κάποια σημεία...


Για εργασία στο σπίτι ζήτησα να γράψουν για την "απόδειξη στα Μαθηματικά".  Δεν ρώτησαν καν αν ήθελα έναν ορισμό ή τις αποδεικτικές μεθόδους ή την ιστορία της απόδειξης. (Αυτό το τελευταίο λίγο δύσκολο να το σκεφτούν βέβαια, αλλά λέμε τώρα..).
Κάπου εκεί το κουδούνι,  μας διέκοψε, όπως πάντα, στο καλύτερο σημείο.
"Πολύ δύσκολα, κυρία, είναι αυτά..." είπαν αρκετά παιδιά, ενώ βγαίναμε για διάλειμμα. 
Μεταξύ αυτών και η Μαριάνθη, που είναι καλή στα Μαθηματικά και έγραψε 18 στο διαγώνισμα της Άλγεβρας, με κοίταζε με μάτια διάπλατα ανοιχτά, ψιθυρίζοντας "Δύσκολα, κυρία...", σα να μου ζητούσε βοήθεια...Διαβλέπω πως η Μαριάνθη σιγά σιγά στρέφεται προς τα φιλολογικά, όπως στράφηκαν και πολλά από τα περσινά μας παιδιά, παρόλο που είχαν καλές επιδόσεις στα Μαθηματικά... 
Και παρόλα αυτά, ο αγώνας ταχύτητας συνεχίζεται και γεννά μια σειρά από ατοπήματα μεγάλα και μικρά, που λειτουργούν στα περισσότερα παιδιά τελείως αποθαρρυντικά, επειδή...είναι τόοοοσο δύσκολα τα Μαθηματικά!