Κυριακή, 19 Ιανουαρίου 2014

Η ΔΥΜΑΜΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ...

Έχω ήδη γράψει σ' αυτό το ιστολόγιο περισσότερες από μια φορές ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι   έρωτας, ότι μας διδάσκει τον ίδιο μας τον εαυτό, ότι μας βοηθάει να κατανοούμε εμάς και τους άλλους. Έχω γράψει διάφορα, αλλά νομίζω πως δεν έχω γράψει μέχρι τώρα ότι όταν διδάσκω το μάθημα αυτό, στην Α' και στη Β' Λυκείου,  χρησιμοποιώ συχνά τον μεταφορικό λόγο και καταφεύγω σε διάφορες αναπαραστάσεις, άλλοτε προγραμματισμένα και άλλοτε αυθόρμητα. Το κάνω επειδή ο μεταφορικός λόγος δίνει στο μάθημα μια γοητεία που κρατάει αμείωτο το ενδιαφέρον σχεδόν όλων των μαθητών. Στην Άλγεβρα δεν είναι πάντοτε εύκολη η χρήση του μεταφορικού λόγου και η προσωποποίηση των διάφορων αλγεβρικών αντικειμένων, αλλά στη Γεωμετρία αυτό όχι μόνο δεν είναι κάτι που γίνεται δύσκολα, είναι κάτι που μοιάζει με ... επιταγή, επειδή στην Επιπεδομετρία του Ευκλείδη η μελέτη  των σημειοσυνόλων πάνω σε ένα επίπεδο μπορεί με τον α ή τον β τρόπο να υποθέσουμε ότι αναπαριστά οποιοδήποτε σύνολο, οποιωνδήποτε οντοτήτων σε οποιονδήποτε κόσμο. Αυτό άλλωστε δεν είχε χρησιμοποιήσει και ο Edwin A. Abbot,  το 1884 όταν έγραψε το συναρπαστικό μυθιστόρημα Flatland; Ακριβώς αυτό! Επηρεασμένη ενδεχομένως από το βιβλίο του Abbot, που το έχω κατ' επανάληψη μελετήσει σε Λέσχες Ανάγνωσης, έχω υιοθετήσει μια ιδιαίτερη στρατηγική κατά την παράδοση του μαθήματος, που είναι είτε μια πρώτη ... αφηγηματική προσέγγιση, ως εισαγωγή στο μάθημα, είτε μια τελική φιλοσοφική ενατένιση, ως κατακλείδα στην ανακεφαλαίωση.
Ένα παράδειγμα αρχικής αφηγηματικής προσέγγισης υπάρχει εδώ.
Ένα παράδειγμα κατακλείδας, και μάλιστα από τα πιο αγαπημένα μου, θα προσπαθήσω να παρουσιάσω σήμερα. Το παράδειγμα σχετίζεται με το μάθημα που φέρει τον απολύτως λογοτεχνικό τίτλο: "Δύναμη σημείου ως προς κύκλο" και που - ως τίτλος και μόνο - δίνει τροφή στη φαντασία... Το θέμα, από θεωρητική σκοπιά, θα μπορούσε να το μελετήσει όποιος ενδιαφέρεται στο σχολικό βιβλίο "Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Λυκείου", ή, στοχευμένα, στο ιστολόγιο του αγαπητού συναδέλφου, Σωκράτη Ρωμανίδη, εδώ , αλλά αυτά που πραγματικά θα πρέπει να γνωρίζει, για να κατανοήσει την τελική φιλοσοφική ενατένιση είναι μόνο τα εξής δύο:
1ο. τρεις είναι οι δυνατές σχετικές θέσεις του σημείου, ας το πούμε Ρ, ως προς τον κύκλο, που έχει κέντρο Ο και ακτίνα R, δηλαδή τον κύκλο (Ο, R), οι εξής:
α) Το Ρ είναι μέσα στον κύκλο (Ρ εσωτερικό του κύκλου)
β) Το Ρ είναι πάνω στον κύκλο (Ρ σημείο του κύκλου ή  Ρ ανήκει στον κύκλο)
γ) Το Ρ είναι έξω από τον κύκλο (Ρ εξωτερικό του κύκλου).
2ο. Η θέση του σημείου Ρ σε σχέση με τον κύκλο (Ο, R) εκφράζεται από έναν πραγματικό αριθμό που ονομάζεται δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο και ισούται με τη διαφορά των τετραγώνων δυο πραγματικών αριθμών.
Ως γνωστόν η διαφορά δυο πραγματικών αριθμών είναι ένας άλλος πραγματικός αριθμός και επίσης ως γνωστόν ένας πραγματικός αριθμός μπορεί να είναι ή θετικός ή μηδέν ή αρνητικός.
Άρα η δύναμη ενός σημείου ως προς έναν κύκλο είναι ή θετική ή μηδέν ή αρνητική.
Και μπλαμπλαμπλα, τόσο απλά.
Το μάθημα ολοκληρώνεται κανονικά με όλα τα συναφή, τύπους, σύμβολα, ερμηνείες, ορισμούς κλπ.
Και τότε, ως ανακεφαλαίωση, πριν από τις ασκήσεις, μπαίνει το μεγάλο ερώτημα:
Το ΠΟΤΕ!
Πότε είναι θετική, πότε είναι μηδέν, πότε είναι αρνητική η δύναμη του σημείου ως προς τον κύκλο;
Χαίρονται τα παιδιά που κατάλαβαν το μάθημα και απαντούν. Χαίρομαι κι εγώ που η τάξη γεμίζει υψωμένα χέρια και νεανικές φωνές και προχωρώ ένα βήμα παραπέρα...



"Ωραία, το καταλάβατε! Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο κύκλος παριστάνει κάποιο πρόβλημα κι εμείς, ο καθένας μας, είμαστε ένα σημείο του επιπέδου.
Πότε θα έχουμε τη μεγαλύτερη "δύναμη", για να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημά μας;"
"Όταν είμαστε έξω από το πρόβλημα!", απαντούν πολλά παιδιά μαζί.

"Ακριβώς! Τότε... Όταν καταφέρουμε να βγούμε έξω από το πρόβλημα, όταν μπορέσουμε να το δούμε από απόσταση, τότε μόνο έχουμε .... θετική δύναμη! Και, τελικά, έτσι θα πρέπει να αντιμετωπίζουμε τα προβλήματά μας. Γιατί όταν μένουμε προσκολλημένοι στο κέντρο του κύκλου, δηλαδή στο κέντρο του προβλήματος, η "δύναμή" μας παίρνει τη μικρότερη τιμή... γίνεται -R^2, αποδυναμωνόμαστε εντελώς..."

Κάθε χρόνο η ίδια κατακλείδα στο μάθημα κάνει τους μαθητές να συμμετέχουν και να προβληματίζονται...Κάποιοι κοιτάζουν με δυσπιστία τα σχήματα στον πίνακα, σαν να αναρωτιούνται πώς τα καταφέραμε με αφορμή το μάθημα της Γεωμετρίας να φτάσουμε να συζητάμε για τον καλύτερο δυνατό τρόπο αντιμετώπισης των προβλημάτων μας...
Όπως κάθε χρόνο έγινε  και φέτος η συζήτηση, και μάλιστα φάνηκε πως είχε άμεση επίδραση.
Όταν χτύπησε το κουδούνι και βγήκαν όλοι έξω, έμεινα να γράψω στο βιβλίο ύλης και στο δικό μου προσωπικό ημερολόγιο μαθήματος (όπως λέμε "ημερολόγιο καταστρώματος"!) τα πεπραγμένα. Τελειώνοντας, σήκωσα το κεφάλι μου και είδα δυο μαθήτριες σε ένα θρανίο να συζητούν χαμηλόφωνα. 
"Τι έγινε, κορίτσια;", ρώτησα. "Τι συμβαίνει, έχετε κάποιο πρόβλημα;" Η μία ψιλοκοκκίνησε και μου χαμογέλασε, χαμηλώνοντας το βλέμμα. Επειδή την γνωρίζω από πέρυσι, κατάλαβα.
"Τι έγινε; Έχουμε προβλήματα καρδιάς;", επέμενα εγώ, με όλο το θάρρος. Αναθάρρυσε και η μαθήτρια, σήκωσε το βλέμμα και μου απάντησε: "Ακριβώς, κυρία, αυτό. Κι όταν είπατε πριν στο μάθημα πότε έχουμε μεγαλύτερη δύναμη απέναντι σε ένα πρόβλημα, με βοηθήσατε...Αυτό συζητάμε τώρα...".

Η δύναμη του σημείου...
Η δύναμη του  μαθήματος!
Η δύναμη του ΣΧΟΛΕΙΟΥ...
Πώς μπορεί να τα καταλάβει κανείς όλα αυτά όταν δεν έχει την τύχη να "δουλεύει", και μάλιστα κάτω από αντίξοες συνθήκες, μέσα σε μια τάξη με εικοσιεφτά παιδιά;
Και πώς θα μπορέσει  κάποιος να αξιολογήσει μια τέτοια - ας την πούμε - δουλειά;
...........................................................................................................................


μαθηματικά β΄λυκείου: δύναμη σημείου ως προς κύκλο από sonomgr

2 σχόλια:

  1. ....κι αν πάρουμε την όλη αυτή υπέροχη αφήγηση και την μεταφέρουμε από το επίπεδο στον χώρο θα έχουμε μια σφαίρα και αν πάλι δεχθούμε πως ο χώρος μας είναι διακριτός δεν θα είναι σφαίρα μα κάτιι άσχημο πια με πολλές γωνίες ... με λίγη φαντασία όμως, όρεξη για κολάζ και καλλιτεχνίες μπορούμε να το μετατρέψουμε σε κύβο ... και τότε...ναι!!! πετύχαμε άλλο ένα ρητό μέσω αυτής της προσέγγισης και δεν είναι αλλο από το think out of the box! που λένε οι Εγγλέζοι!!
    Με ένα κουτί λοιπόν στο χέρι, και με μια ΔΥΝΑΜΗ καινούργια μπορούμε να συνεχίσουμε τούτη την αφήγηση μέχρις ότου πλησιάσουμε πολύ το κέντρο..του/μας/ ή και καποιου άλλου ;)

    υπέροχη ιστορία και ακόμη πιο υπέροχο να την ζεις!!! καλή και δημιουργική συνέχεια!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σε ευχαριστώ πολύ!
      Με συγκινεί ιδιαίτερα ένα τόσο όμορφο σχόλιο από έναν παλιό καλό μου μαθητή...ή, πιο σωστά, από έναν πολλά υποσχόμενο νέο συνάδελφο!
      Να είσαι καλά και να ζεις τις υπέροχες μαθηματικές- και όχι μόνο- δικές σου ιστορίες, Χρήστο!

      Διαγραφή