Κυριακή, 26 Ιανουαρίου 2014

Η ΔΙΤΤΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ "="!

Μια από τις (μόνιμες) δυσκολίες που αντιμετωπίζει ο εκπαιδευτικός στη σχολική τάξη είναι να κρατά ζωντανό το ενδιαφέρον των μαθητών του κατά την παράδοση μιας νέας μαθηματικής έννοιας, όταν στην πλειοψηφία τους την έχουν ήδη διδαχθεί στο φροντιστήριο, με το γνωστό "φροντιστηριακό τυπικό", δηλαδή μέσω  μεθοδολογίας συνοδευόμενης από ικανοποιητικό αριθμό παραδειγμάτων και ασκήσεων και όχι μέσω θεωρητικής προσέγγισης, πολύ δε περισσότερο μέσω ... συντακτικής ανάλυσης! 
Έχοντας όμως ο μαθητής λύσει μια πληθώρα ασκήσεων, επαναλαμβάνοντας συγκεκριμένες αλγοριθμικές διαδικασίες, συνήθως διαμορφώνει την αντίληψη ότι κατέχει πλήρως το αντικείμενο, με αποτέλεσμα την ώρα του μαθήματος στην τάξη είτε να (ψιλο)βαριέται είτε να επιδιώκει να δείξει ότι  τα ξέρει όλα και ότι στο τσεπάκι του έχει όλες τις σωστές απαντήσεις, στάση που σε κάποιους, λίγους ευτυχώς, προσδίδει μια ιδιαίτερα υπερφίαλη συμπεριφορά.
 Όπως και να 'χει μια τέτοια στάση δεν δυσχεραίνει μόνο την προσπάθεια του εκπαιδευτικού που, επιδιώκοντας να κάνει σωστά τη δουλειά του, διευρύνει τις μεθοδολογικές προσεγγίσεις του χωρίς να περιορίζεται στο "φροντιστηριακό τυπικό", αλλά δυσχεραίνει και τη μαθησιακή διαδικασία του ίδιου του μαθητή που αυτοπεριορίζεται μέσα στην αντισωκρατική του  πεποίθηση: "εν οίδα, ότι όλα τα οίδα!" :)
Όταν την προηγούμενη εβδομάδα σε ένα τμήμα της Β΄ Λυκείου ξεκίνησα το 4ο Κεφάλαιο, Πολυώνυμα - Πολυωνυμικές εξισώσεις, η χαρά κάποιων μαθητών που θα κάναμε, επιτέλους, πολυώνυμα ήταν απερίγραπτη. Μερικοί μάλιστα άρχισαν να συζητούν μεταξύ τους, χαμηλοφώνως, (αλλά όχι και τόσο, ώστε να είναι σίγουροι πως θα τους ακούσω), για το σχήμα Horner. Ο τρόπος τους ήταν σχεδόν δηλωτικός της σκέψης τους, που - σύμφωνα με αυτό που εγώ διάβαζα - έλεγε: "Μπορεί στο τεστ της Τριγωνομετρίας να μην τα πήγαμε όσο καλά θέλαμε, αλλά τώρα στα πολυώνυμα θα σκίσουμε!". Εννοείται πως η επιτυχία των μαθητών είναι - ή πρέπει να είναι - το ζητούμενο του κάθε δάσκαλου, που γι' αυτήν πασχίζει άλλωστε μαζί τους σε μια υπεράνθρωπη και μάλλον υποτιμημένη προσπάθεια, η οποία συστηματικά βάλλεται από παντού, ενίοτε δε και από τους ίδιους τους μαθητές ή/και τους γονείς τους.
 Όμως το θέμα μου δεν είναι οι δυσκολίες που αντιμετωπίζει ο εκπαιδευτικός λόγω κάποιων παγιωμένων αντιλήψεων της κοινής γνώμης, ούτε θέλω τώρα να απευθυνθώ σε όσους συστηματικά βάλλουν το εκπαιδευτικό έργο, για να τους εξηγήσω πόσο κακό προκαλούν στους ίδιους τους μαθητές, επειδή τους διαμορφώνουν μια απαξιωτική στάση απέναντι στο σχολείο. Το έχω κάνει κάποιες φορές στο παρελθόν και πιθανότατα θα χρειαστεί να το κάνω  στο μέλλον. Αυτό όμως που θα ήθελα τώρα να πω, επειδή το θεωρώ σημαντικό, είναι η εξέλιξη που είχε αυτό το μάθημα της Άλγεβρας στη Β' Λυκείου.  
Στις πρώτες βασικές έννοιες του 4ου Κεφαλαίου, μονώνυμα-πολυώνυμα, και στον τρόπο που αυτά αλληπιδρούν και συμπράττουν υπήρχε ζωντάνια και μεγάλη συμμετοχή  στην τάξη, αλλά αυτοί που ήδη γνώριζαν το θέμα και είχαν προχωρήσει στο φροντιστήριο μέχρι το σχήμα Horner, άρχισαν σιγά σιγά να χάνουν το ενδιαφέρον τους και να απασχολούνται με άλλα πράγματα ή να συνομιλούν μεταξύ τους.
Είναι πολύ δύσκολο να κρατάς 27 στους 27 μαθητές "παρόντες" και συμμετέχοντες στο μάθημα, όταν έχεις να αντιμετωπίσεις μια τόση μεγάλη ποικιλία δυνατοτήτων και ενδιαφερόντων. Απαιτεί σχεδόν ταχυδακτυλουργικές δεξιότητες, αλλά ευτυχώς που στα Μαθηματικά  υπάρχουν πολλών ειδών τέτοιες. Μια, ας πούμε, 'ταχυδακτυλουργία', είναι αυτή που σχετίζεται με τη λειτουργία του "=" και στην οποία κατέφυγα για να ζωηρέψω το ενδιαφέρον όσων  έφθινε σταδιακά.. 

Έγραψα στον πίνακα τις δύο μαγικές προτάσεις: "P(x)=0"   και "P(x)=0, για κάθε x".
"Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα σ' αυτές τις δύο προτάσεις;", ρώτησα δυνατά για να με ακούσουν όλοι καλά. Σχεδόν αμέσως έπεσε στην τάξη σιωπή και οι φατσούλες συνοφρυώθηκαν. Μετά ακούστηκαν κάποιοι ψίθυροι. Ύστερα σηκώθηκαν δυο τρία χέρια κάπως διστακτικά. 
Έχει ενδιαφέρον να παρακολουθεί κανείς τις αντιδράσεις των μαθητών όταν οι ερωτήσεις ξεφεύγουν από τα τετριμμένα, από αυτά που έχουν μάθει να υπολογίζουν με ... κλειστά μάτια, ακολουθώντας τις διακριτές οδηγίες των αλγορίθμων.
Έδωσα το λόγο σε όσους σήκωσαν χέρι και σιγά σιγά ... εξιχνιάστηκε το μυστήριο. 
Το ότι η πρώτη πρόταση είναι μια εξίσωση κι άρα, αυτό που "ζητάει"  είναι να υπολογίσουμε το x που μηδενίζει το πολυώνυμο, έγινε εύκολα κατανοητό. 
Πρόβλημα κατανόησης υπήρξε στη δεύτερη πρόταση, όπου χρειάστηκε αρκετή συζήτηση σε συνδυασμό με παραδείγματα εκ ταυτότητος μηδενικών πολυωνύμων, αλλά και πάλι...
Έχοντας τις αμφιβολίες μου για το αν αντιλήφθηκαν οι μαθητές μου την ειδοποιό διαφορά ανάμεσα στις δύο προτάσεις, προχώρησα σε μια πιο ... γλωσσολογική προσέγγιση και ρώτησα
"Ποια είναι η λειτουργία του " = " στις δύο προτάσεις;".
Νομίζω πως αν αντί να θέσω αυτήν την ερώτηση είχα   απαγγείλει ένα χαϊκού στα γιαπωνέζικα, δεν θα είχαν ξαφνιαστεί τόσο!
Φυσικά δεν δόθηκε απάντηση στο ερώτημά μου, οπότε αναγκαστικά έδωσα εγώ τις απαραίτητες διευκρινίσεις:
"Στην πρώτη πρόταση το "=" λειτουργεί προστακτικά! Ζητάει να βρούμε τις τιμές του x, που μηδενίζουν το πολυώνυμο. Στη δεύτερη πρόταση το "=" λειτουργεί δηλωτικά, κάνει μια δήλωση, μας πληροφορεί ότι το πολυώνυμο μηδενίζεται για οποιαδήποτε τιμή του x και αυτό ακριβώς είναι το κλειδί για άλλες ασκήσεις, γιατί από αυτή τη δήλωση μπορεί να ξεπηδούν εξισώσεις το πολύ τόσες όσοι και οι όροι του πολυωνύμου, με άγνωστο μια ή περισσότερες παραμέτρους!!!" 
Άκουγαν προβληματισμένοι. Δεν ακούστηκε ούτε μια διαμαρτυρία τύπου: "Ε, κυρία τώρα  μαθηματικά κάνουμε, όχι γλώσσα", που όλο και κάποιος της Τεχνολογικής βρίσκεται να πεί όταν στο μάθημα επιχειρώ ... συντακτικές και εννοιολογικές αναλύσεις, αναζητώντας το ρήμα της πρότασης και τη λειτουργία του! 
Φαίνεται πως στο συγκεκριμένο μάθημα, με το συγκεκριμένο παράδειγμα αρκετοί κατάλαβαν ότι το σχήμα Horner και οι υπολογιστικές διαδικασίες που μαθαίνουν και τις αναπαράγουν, μάλλον,  συνειρμικά   δεν αρκούν, για να λύνουν όλες τις ασκήσεις στα Μαθηματικά. 
Για να κατανοούμε στο Λύκειο τα Μαθηματικά, απαιτείται να μελετάμε τα Αρχαία και τα Νέα Ελληνικά.
Απαιτείται να μελετάμε τη Γλώσσα δομικά, επειδή, όπως γράφει και ο Βιγκότσκι στο βιβλίο του "Σκέψη και Γλώσσα", στη διαμόρφωση των ανώτερων μορφών νοητικής δραστηριότητας (της νοητικής δραστηριότητας δηλαδή που απαιτούν τα Μαθηματικά) η γλώσσα δεν εντάσσεται συνειρμικά, αλλά λειτουργικά!

17 σχόλια:

  1. Νομιζω οτι το σφαλμα εδω ειναι παρομοιου τυπου με την αδυναμια κατανοησης της διαφορας της συναρτησης απο την εξισωση! Αν για παραδειγμα ρωτησεις καποιον μαθητη της 3ης γυμνασιου (ή ακομη και του λυκειου) ποια η διαφορα της αχ^2+βχ+γ=0 με την f(x)=ax^2+bx+c δεν θα μπορεσει να απαντησει ικανοποιητικα! αλλωστε ειναι συνηθες το φαινομενο να χρησιμοποιουν το = αντι για συνεπαγωγη σε πολλες περιπτωσεις και να μην μπορουν να κατανοησουν την διαφορα ακομη και οταν τους το εξηγεις!!! Γι'αυτο αλλωστε και στα σοβαρα μαθηματικα προγραμματα (π.χ. Mathematica) υπαρχουν τριων τουλαχιστον ειδων =.
    Το = που σημαινει αντικατασταση, το == που σημαινει εξισωση και το := που χρησιμοποιειται για τον ορισμο της συναρτησης.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Δαμιανέ, συμφωνώ μαζί σου απόλυτα. Και στην Α' Λυκείου, ακόμη και στη Β', δεν κατανοούν τη διαφορά και το διαπιστώνω κάθε χρόνο, παρόλες τις προσπάθειες που καταβάλω να γίνει κατανοητό.
      Τα "υπερφορτωμένα" μαθηματικά σύμβολα, όπως το "=" προκαλούν μεγάλη σύγχιση. Αλλά υπάρχει και ένα άλλο θέμα, που είναι η πηγή των μεγαλύτερων προβλημάτων, το οποίο σκέφτομαι να εξετάσω επισταμένως, για να ετοιμάσω, ίσως, ομιλία για συνέδριο.
      Για το συγκεκριμένο θέμα να σου πω απλά ότι πολύ καλοί μαθητές μου έχουν πει, με ιδιαίτερα διστακτικό ύφος, ότι η εξίσωση: α^2-3α+2=0, δεν είναι δεύτερου βαθμού, επειδή δεν δίνει ότι α διάφορο από το 0. Αντιλαμβάνεσαι τι συμβαίνει...
      Και το χειρότερο είναι ότι οι περισσότεροι από μας λέμε το μάθημά μας και φεύγουμε ικανοποιημένοι από την τάξη, ενώ οι μαθητές - οι καλοί μαθητές, αυτοί που διαβάζουν και παρακολουθούν - έχουν εισπράξει μια πληθώρα παρανοήσεων...
      Είναι πολύ μεγάλο το πρόβλημα και κάθε χρόνο γίνεται μεγαλύτερο.

      υ.γ. θα τα πούμε το Σάββατο 8/2 στο Σεμινάριο.

      Διαγραφή
  2. Καλησπέρα.Αν στα σχολεία μας είχαν όλοι οι μαθηματικοι το ζήλο και τη διάθεση να δώσουν πραγματική μαθηματική γνώση όπως εσείς αλλά και όλοι οι διδάσκοντες αγάπη γι'αυτό που κλήθηκαν να κάνουν, τότε θα είχαμε το ιδανικό σχολείο και κανένας δεν θα μπορουσε να το υποβαθμίσει.Δυστυχώς το δικαίωμα να κατηγορούν και να υποτιμούν το δημόσιο σχολείο το δίνουν αρκετοί εκπαιδευτικοί με τον τρόπο τους.
    Να είστε καλά και να συνείσετε έτσι μέχρι τη συνταξιοδότηση σας.(Τα αρχαία αλλά και γενικότερα η σωστή χρήση της γλώσσας είναι απαραίτητη προυπόθεση για να διατυπωθούν και να γίνουν κατανοητές οι μαθηματικές έννοιες.)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σας ευχαριστώ πολύ για την εμψύχωση.
      Να είσαστε καλά κι εσείς.

      Διαγραφή
  3. Κατερίνα, χαίρομαι πολύ που σε "συναντώ" μέσα στις ηλ. γειτονιές.
    Διαβάζοντας το προφίλ και τις αναρτήσεις σου, "έπιασα" αυτη τη χαρά, και τον ενθουσιασμό, που χαρακτηρίζουν τον σωστό εκπαιδευτικό. Αυτόν, που στέκεται με αγάπη, ευαισθησία και σεβασμό απέναντι στον μαθητή που έχει απέναντί του.
    Είναι τυχεροί οι μαθητές που "πέφτουν" στον δρόμο σου!
    Σου εύχομαι μια όμορφη και ευλογημένη χρονιά!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευχαριστώ πολύ για τα τόσο όμορφα λόγια.
      Σου εύχομαι κι εγώ ό,τι καλύτερο.

      Διαγραφή
  4. Αυτό το πρόβλημα με την έννοια του συμβόλου της ισότητας υπάρχει και στο Δημοτικό. Τι θα κάνουμε, θα τους μάθουμε αρχαία; Απλώς τέτοιες συζητήσεις, με πιο απλά ελληνικά, πρέπει να γίνονται συχνότερα. Εμείς χρειαζόμαστε να μάθουμε Διδακτική Μαθηματικών, ασχολείται και με το πρόβλημα της διδασκαλίας της έννοιας του συμβόλου της ισότητας από το Δημοτικό ακόμα, και όχι τα παιδιά να μάθουν αρχαία ελληνικά. Πού σιγά μη μάθουν και ποτέ...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Συμπτωματικά, διαβάζω το σχόλιό σας μόλις γύρισα από μια ημερίδα του παραρτήματος της ΕΜΕ Κιλκίς, με θέμα την οργάνωση της επανάληψης της Γ' Λυκείου. Ο ένας εκ των ομιλητών παρουσίασε στατιστικά για τα λάθη των μαθητών στην ερώτηση της θεωρίας. Ένα επαναλαμβανόμενο λάθος είναι όταν ζητείται ο ορισμός μιας έννοιας να δίνεται ως απάντηση ένα θεώρημα. Αγαπητέ κύριε Μιχαηλίδη, δεν μπορεί να καταλάβει κανείς μαθηματικά αν δεν κατανοεί σε βάθος τη γλώσσα. Όσο για την έννοια του συμβόλου της ισότητας, δυστυχώς είναι διαπιστωμένη η λάθος χρήση του στο Δημοτικό, όπου πολλές φορές εμφανίζονται ισότητες της μορφής: 5+9=14:2=7 κλπκλπ... Δυστυχώς.

      Διαγραφή
    2. Αρχαία δε θα μάθουν ποτέ. Τα νέα ελληνικά τα ξέρουν μια χαρά. Η εξήγηση φταίει. Κάποτε πρέπει να αρχίζουμε να βλέπουμε και τις δικές μας ευθύνες, γιατί είναι το μόνο που μπορούμε να αλλάξουμε. Συγγνώμη, αλλά τους εξήγησε ποτέ κανείς τι σημαίνει ορισμός έννοιας; Ασκήθηκαν σε αυτό συστηματικά; Πώς αλλιώς θα το μάθουν; Από τα αρχαία; Ή θα τους μάθουν οι φιλόλογοι τι σημαίνει ορισμός έννοιας στα μαθηματικά; Είναι δική σας δουλειά αποκλειστικά και κανενός άλλου.

      Διαγραφή
    3. Καλημέρα σας!
      Πολύ πρωινός και πολύ αφοριστικός συνάμα!
      Και μάλλον όχι συνεργάσιμος.
      Κράζετε εμένα για ανεπάρκεια αλλά και τους φιλολόγους συλλήβδην! :)

      Και για να μην αφήσω αναπάντητο το ερώτημά σας αν τους εξήγησε ποτέ κανείς τι σημαίνει ορισμός έννοιας, που προφανώς την απευθύνετε ρητορικά σε μένα πεπεισμένος πως η απάντησή μου θα είναι αρνητική σας παραπέμπω σε σχετικές αναρτήσεις μου.
      Θα βρείτε πολλές στο ιστολόγιο αυτό που τονίζουν το ρόλο και τη χρησιμότητα του ορισμού. Ενδεικτικά επικολλώ παρακάτω κάποιες αναρτήσεις τις οποίες μου υπέδειξε η "ηλεκτροντική αναζήτηση".


      Μαθηματικά + Λογοτεχνία : "Άλλα μας μαθαίνετε στο Γυμνάσιο κι ...
      23 Νοεμ. 2011 ... Είναι ένας τελείως παραπλανητικός ορισμός. Θα μπορούσαν να πουν απλά και ωραία ότι η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι η απόστασή του ...
      mathandliterature.blogspot.com

      Μαθηματικά + Λογοτεχνία : ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΜΗΔΕΝ
      3 Φεβ. 2016 ... Ο ορισμός αυτός, πιστεύω, θέλει πολλή συζήτηση για διάφορους λόγους, αλλά θα αναφέρω μόνο δύο. Πρώτον αναφέρει τους δεκαδικούς σαν ...
      mathandliterature.blogspot.com

      Μαθηματικά + Λογοτεχνία : Τελικά, είναι θέμα αισθητικής! :)
      10 Μαρ. 2012 ... Βέβαια ο κάθε ορισμός στα Μαθηματικά, δηλαδή ή κάθε πρόταση που περιγράφει το γένος και τα χαρακτηριστικά μιας νέας μαθηματικής έννοιας, ...
      mathandliterature.blogspot.com

      Μαθηματικά + Λογοτεχνία : ΤΙ ΔΕΝ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΕΙΣ;
      16 Μαρ. 2013 ... Βασικά στοιχεία αυτού του τρόπου σκέψης είναι η "αυστηρή" χρήση μαθηματικής ορολογίας και συμβολισμού, οι ορισμοί των εννοιών και η ...
      mathandliterature.blogspot.com

      Και για να κλείσω με αυτήν την άνευ λόγου αντιπαράθεση να σας πω ότι θα ήταν ευχής έργο αν η καλή επίδοση των μαθητών μου στα Μαθηματικά ήταν δική μου δουλειά και κανενός άλλου, όπως κατηγορηματικά μου λέτε.
      Τότε σίγουρα θα είχε καλά αποτελέσματα.
      Η δική μου δουλειά όμως είναι ένα μέρος μιας συλλογικής δουλειάς και μέρος της συλλογικότητας είναι και οι δάσκαλοι. Μια πλειάδα μαθητών φτάνει στην Α' Γυμνασίου αγνοώντας την προπαίδεια. Να κατηγορήσουμε τους δασκάλους γι' αυτό και εσάς προσωπικά ή να αναζητήσουμε τα αίτια σε ό,τι γενικότερα εμπλέκεται στο θέμα της σύγχρονης εκπαίδευσης;

      Τέλος πάντων.
      Θα ήθελα οι νεότεροι άνθρωποι σαν κι εσάς να έχουν πιο ανοιχτά μυαλά και κυρίως να διαβάζουν τα κείμενα σωστά.
      Εκεί καταλήγω. Διαβάζοντας το κείμενό μου νιώσατε πως θίγονται οι μαθητές ή πως αποποιούμαι τις ευθύνες μου.
      Ούτε το ένα ισχύει ούτε το άλλο.

      Καλή συνέχεια.

      Διαγραφή
    4. «Διαβάζοντας το κείμενό μου νιώσατε πως θίγονται οι μαθητές ή πως αποποιούμαι τις ευθύνες μου»

      Τίποτα από τα δύο. Απλώς, μην χάνεις τον χρόνο σου με παράγοντες που δεν ελέγχεις.

      Διαγραφή
    5. Αυτό τώρα να το εκλάβω ως συμβουλή, ως προτροπή ή ως διαταγή;

      Μήπως πράγματι χάνω το χρόνο μου μπαίνοντας σε συζητήσεις τέτοιου τύπου, σαν κι αυτήν που κάνω μαζί σας;

      (Παρεμπιπτόντως: γνωριζόμαστε από κάπου;;; : ) )

      Διαγραφή
  5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ+Λ
    Η ερώτηση που ετέθη δεν έχει νόημα.
    1) Οι σχέσεις αυτές δεν είναι προτάσεις. Κάθε πρόταση έχει μια μοναδική τιμή αληθείας. Στην καλύτερη περίπτωση θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως προτασιακοί τύποι, αλλά και τότε δεν υπάρχει μονοσήμαντη απάντηση.
    2) Για να απαντήσει ένας, θα πρέπει να ξέρει όχι μόνο τι συμβολίζει το P(x), αλλά και τι νόημα δίνουμε στις σχέσεις αυτές.
    3) Πρώτα θα πρέπει να του πούμε αν το P(x) είναι πολυώνυμο ή συνάρτηση.
    α) Αν το P(x) είναι πολυώνυμο, η πρώτη σχέση: P(x)=0 λέει ότι αυτό είναι το μηδενικό πολυώνυμο, δηλαδή ότι όλοι οι συντελεστές του είναι 0. ( δεν χρειάζεται τίποτα άλλο, σχολικό βιβλίο Β΄ λυκείου ) . Η δεύτερη σχέση δεν έχει νόημα γιατί δεν ξέρουμε σε ποιο σύνολο ανήκει το x. Τίποτα δεν εννοείτε στα Μαθηματικά εκτός από αυτά που γράφουμε, γιατί πιθανόν να μου πείτε ότι εννοείται ότι το x ανήκει στο R. Με το υπονοούμενο αυτό η δεύτερη σχέση λέει ότι και η πρώτη, αλλά τότε το « για κάθε x στο R δεν χρειάζεται» ( βλ. παραπάνω σχολικό βιβλίο ).
    β) Αν το P(x) είναι συνάρτηση, η πρώτη σχέση είναι ένας προτασιακός τύπος και δεν έχει μονοσήμαντη απάντηση. Η δεύτερη σχέση και πάλι δεν έχει νόημα, για τους λόγους που εξηγήσαμε παραπάνω.
    --Είναι επιζήμιο για τους μαθητές να τους θέτουμε τέτοια ελλιπή ερωτήματα, γιατί παρουσιάζουμε τα Μαθηματικά σκοτεινά, μυστηριώδη και δυσκολότερα από ότι είναι, με αποτέλεσμα να τους απομακρύνουμε από αυτά.
    -- Μια ερώτηση θα μπορούσε να είναι:
    « Θεωρούμε ένα πολυώνυμο P(x). Τι εννοούμε όταν γράφουμε:
    i) P(x)=0. ii) P(x)=0, για κάθε x στο R.
    ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Στο ι) εννοούμε ότι το πολυώνυμο P(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο, δηλαδή ότι όλοι οι συντελεστές του είναι 0. Στο ii) εννοούμε ότι για οποιαδήποτε τιμή του x από το R, η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου είναι 0 και αυτό, με βάση γνωστό θεώρημα, ισοδυναμεί με το ότι το P(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο.
    -- Επίσης, μια άλλη ερώτηση θα μπορούσε να είναι:
    «Θεωρούμε μια συνάρτηση P με σύνολο ορισμού το R. Τι εννοούμε όταν γράφουμε:
    i) Nα λυθεί η εξίσωση: P(x)=0. ιι) P(x)=0, για κάθε x στο R.
    ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Στο ι) εννοούμε να βρούμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς ρ, για τους οποίους ισχύει f(ρ)=0( σε μια εξίσωση το = ούτε ισχύει, ούτε ζητάμε να αποδειχθεί). Στο ii) εννοούμε ότι η συνάρτηση P είναι η μηδενική συνάρτηση.
    ( ο ορισμός της μηδενικής συνάρτησης δεν είναι ίδιος με τον ορισμό του μηδενικού πολυωνύμου, άλλο συνάρτηση και άλλο πολυώνυμο. Ακόμα και στα σχολικά βιβλία, η διαφορά των ορισμών των δύο αυτών εννοιών, είναι εμφανής. Βλέπε άρθρο μου στο περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ της Ε.Μ.Ε., τεύχος 102, σελίδα 74).
    ΔΕΝ ΘΑ ΗΘΕΛΑΝ ΜΙΑ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΤΕ. ΑΠΛΑ ΗΘΕΛΑ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΩ.
    Αντώνης Κυριακόπουλος
    « Η αυστηρότητα για τα Μαθηματικά είναι ό,τι το ήθος για τον άνθρωπο» ( Αντρέ Βέϊλ)



    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Κύριε Κυριακόπουλε,
      ευχαριστώ για το εκτενές σχόλιο.

      Υποψιάζομαι ότι δεν έχετε διδάξει σε τάξη 27 μαθητών με [αντικειμενική] βαθμολογία από 0 έως 20.
      Δεν θα συμφωνήσω μαζί σας ως προς το απαιτούμενο επίπεδο μαθηματικής αυστηρότητας, όταν το κοινό παρουσιάζει την ετερογένεια μιας σχολικής τάξης και την αδυναμία σύλληψης της υψηλής αυστηρότητας μαθηματικών από την πλειοψηφία των παιδιών.
      Η ερώτησή μου σχετικά με τη διττή σημασία του "=" είναι σαφέστατη και, όταν την έθεσα, ενεργοποίησε τους μαθητές, προβληματίζοντάς τους.
      Άλλωστε δεν επρόκειτο για προετοιμασία μαθηματικής Ολυμπιάδας.
      Και με την ευκαιρία να σας πω ότι στην ημερίδα που παρακολούθησα σήμερα το απόγευμα στο παράρτημα ΕΜΕ Κιλκίς ο κύριος Θωμαΐδης στην ομιλία του, αναφερόμενος στο Γ Θέμα των περσινών θεμάτων, τόνισε πόσο ακατανόητο φάνηκε να είναι αυτό το "για κάθε χ", όπως έδειξαν τα αποτελέσματα, οπότε πολύ καλά κάνω να υποψιάζω τους μαθητές από τη Β' Λυκείου για τη λειτουργία του υπονοούμενου καθολικού ποσοδείκτη. Κρίμα μόνο που έχω πάρει οργανική σε Γυμνάσιο και δεν θα έχω τη δυνατότητα να κάνω τέτοιους και τόσους πειραματισμούς με τα μεγαλύτερα παιδιά.
      Βέβαια και το Γυμνάσιο προσφέρεται για πειραματισμούς στη διδασκαλία και ίσως να είναι προσφορότερο από το Λύκειο.

      Σας ευχαριστώ και πάλι για το σχόλιο, αν και εμέσως πλην σαφώς με λέτε -περίπου- ανήθικη.
      Γνωρίζετε πως δεν συμμερίζομαι την άποψή σας γύρω από τον τρόπο προσέγγισης των Μαθηματικών και κρίνω πως η διαφωνία μας (όπως και όλες τις προηγούμενες φορές) έγκειται σε καθαρά ιδεολογικές διαφορές.

      Με εκτίμηση
      Κατερίνα Καλφοπούλου

      Διαγραφή
  6. Κυρία Καλφοπούλου.
    1) Με άλλα λόγια ισχυρίζεστε ότι τα λέτε έτσι ώστε να τα απλοποιήσετε για να τα καταλάβουν οι μαθητές. Δηλαδή τα λέτε λάθος ,θολά και ομιχλώδη, για να τα καταλάβουν σωστά οι μαθητές!!! Αυτό δεν είναι παραλογισμός;
    Ένας τρόπος υπάρχει για να απλοποιηθούν τα Μαθηματικά και αυτός είναι να γίνονται αυστηρά. Αυστηρότητα στα μαθηματικά δεν σημαίνει δυσκολία, αντίθετα η αυστηρότητα τα απλοποιεί και τα κάνει κατανοητά. Σε οποιαδήποτε τάξη μαθητών και όσοι μαθητές και αν είναι εκεί.
    2) Τα μαθηματικά δεν έχουν ιδεολογία. Δεν είναι γαλάζια , κόκκινα, πράσινα κτλ. Εκτός, αν εσείς εννοείται αλλά Μαθηματικά. Γιατί εγώ εννοώ τα Μαθηματικά όπως διαμορφώθηκαν από τον 19ον και μετά και τα οποία διδάσκονται σε όλο τον κόσμο, από το Δημοτικό μέχρι το Πανεπιστήμιο και πέρα από αυτό. Έτσι λοιπόν η ιδεολογία στα Μαθηματικά, μόνο σαν δικαιολογία μπορεί να προβληθεί.
    3) Δεν περίμενα να βγάλετε το συμπέρασμα περί ανηθικότητας που γράφεται. Άλλωστε η ρήση αυτή είναι του Αντρέ Βεϊλ , αν και πολύ θα ήθελα να την είχα πει εγώ. Από αυτό όμως δεν προκύπτει ότι οποίος κάνει λάθος στα μαθηματικά είναι ανήθικος, ούτε και το αντίστροφο. Αυτό δεν είναι θέμα Μαθηματικής Λογικής, είναι θέμα κοινής Λογικής.
    4) Δεν θα ήθελα να σχολιάσω την παράγραφο στην οποία αναφέρεται των κ. Θωμαΐδη . Άλλωστε δεν καταλαβαίνω και πολύ καλά τι θέλετε να πείτε. Πάντως, στο συνέδριο της Ε.Μ.Ε. που έγινε πρόσφατα στα Χανιά μίλησα για τη σχέση των μαθητών και των καθηγητών με τους ποσοδείκτες και επιπλέον είπα ότι θα πρέπει να βγάλουν την Ανάλυση από τα Λύκεια ( λόγω αντικειμενικών δυσκολιών, για τις οποίες δεν ευθύνονται οι καθηγητές) και να βάλουν άλλα Μαθηματικά που είναι κοντά στις δυνατότητες των μαθητών, όπως Μιγαδικούς Αριθμούς, Θεωρία Αριθμών, Στερεομετρία κτλ.
    Αντώνης Κυριακόπουλος
    « Η αυστηρότητα για τα Μαθηματικά είναι ότι το ήθος για τον άνθρωπο» ( Αντρέ Βέϊλ)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Όχι κύριε Κυριακόπουλε, δεν εννοώ τίποτε από αυτά.
      Άλλο η απλοποίηση άλλο το λάθος.

      Αλλά δεν είπα κάτι λάθος στους μαθητές μου.
      Γράψατε στο προηγούμενο σχόλιο το εξής:
      "-- Μια ερώτηση θα μπορούσε να είναι:
      « Θεωρούμε ένα πολυώνυμο P(x). Τι εννοούμε όταν γράφουμε:
      i) P(x)=0. ii) P(x)=0, για κάθε x στο R."

      Ακριβώς αυτό τους είπα και εγώ.
      Αν δεν φαίνεται αυτό στο σκίτσο της ανάρτησης (δεν είναι φωτογραφία, σκίτσο είναι και μάλιστα χιουμοριστικό) ή αν δεν αποδόθηκε με απόλυτη αυστηρότητα στον πεζό λόγο της αφήγησης, λυπάμαι.

      Χαίρομαι πάντως που μπαίνετε στη διαδικασία να γράφετε στο ιστολόγιό μου.

      Καλό βράδυ.

      Υ.Γ. Τα Μαθηματικά ως μέσο αποκλεισμού των μαζών ήταν και είναι ένα ιδεολογικό εργαλείο με πολύ αρνητική λειτουργία.
      Δεν είναι καιρός να αλλάξει αυτό; Αν έχω άδικο, τότε τι σημαίνουν όλα αυτά περί Μαθηματικής Άνοιξης και άλλων συναφών που ξεφυτρώνουν στο διαδίκτυο τις τελευταίες μέρες;

      Διαγραφή
  7. Κυρία Κλφοπούλου. Γράφω , όσο μου επιτρέπουν οι δυνάμεις μου ,σε κάθε ιστολόγιο που ασχολείται με τα Μαθηματικά και που πέφτει στην αντίληψή μου, αν βέβαια κάτι έχω να πω.
    ● Οι έννοιες στα μαθηματικά απλοποιούνται μέχρι ενός σημείου ( κάτω πέρας- infimum-όπως λέμε στην Ανάλυση). Κάτω από αυτό το σημείο αρχίζουν τα λάθη, οι ασάφειες και οι θολούρες, που κάνουν τα μαθηματικά ακατανόητα και αντιπαθητικά. Αυτός είναι ο λόγος που ο καθηγητής πρέπει να έχει με σαφήνεια τις έννοιες αυτές στο μυαλό του, ώστε να μην κατέβει κάτω από αυτό το σημείο. Σας διαβεβαιώνω λοιπόν ότι χωρίς την Μαθηματική Λογική, θα έλθει στιγμή που όχι μόνο θα ξεπεράσει αυτό το όριο, αλλά θα κάνει και άλλα λάθη χωρίς να το καταλάβει. Δυστυχώς όμως στα περισσότερα Πανεπιστήμια της χώρας μας δεν υπάρχει το μάθημα της Μαθηματικής Λογικής στα Μαθηματικά Τμήματα!. Αλλά και αυτά που έχουν το μάθημα αυτό ή το έχουν ως μάθημα επιλογής ή τους διδάσκουν Λογική για την Λογική και όχι αυτά που είναι απαραίτητα για να κατανοήσουν, να εμβαθύνουν και να μάθουν σωστά τα Μαθηματικά. Αυτός είναι ο λόγους που οι μαθητές δεν μαθαίνουν σωστά , για παράδειγμα, τους ποσοδείκτες και αυτός είναι ο λόγος που λέω να βγάλουν το μάθημα της Ανάλυσης από τα Λύκεια, τουλάχιστον μέχρι καθένας που παίρνει πτυχίο μαθηματικού να έχει διδαχθεί το μάθημα της Μαθηματικής Λογικής, αφού με αυτή θεμελιώνονται, κατανοούνται και αναπτύσσονται τα Μαθηματικά.
    ● Κυρία Κλφοπούλου, δεν σας κρύβω ότι με απογοητεύσατε με αυτό που γράφεται ότι δηλαδή : «Τα Μαθηματικά ως μέσο αποκλεισμού των μαζών ήταν και είναι ένα ιδεολογικό εργαλείο με πολύ αρνητική λειτουργία». Αυτό το έλεγαν πολύ παλιά, στην εποχή του ψυχρού πολέμου, για να βάλουν και τα Μαθηματικά στην διαμάχη των συστημάτων διακυβερνήσεως των χωρών. Δεν περίμενα να είσαστε ακόμα εκεί. Είχα σχηματίσει την εντύπωση ότι είσαστε μοντέρνος άνθρωπος. Το ότι μια ομάδα συναδέλφων θέλουν να αλώσουν την Μαθηματική Εταιρεία και ονόμασαν την ομάδα τους: « Μαθηματική Άνοιξη», υπονοώντας ότι θα οργανώσουν καλύτερα την εταιρεία ( όχι τα μαθηματικά) είναι άλλο, δικό τους, θέμα.
    Καληνύχτα.
    Αντώνης Κυριακόπουλος
    « Η αυστηρότητα για τα Μαθηματικά είναι ότι το ήθος για τον άνθρωπο» ( Αντρέ Βέϊλ)




    ΑπάντησηΔιαγραφή