Κυριακή, 26 Ιανουαρίου 2014

Η ΔΙΤΤΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ "="!

Μια από τις (μόνιμες) δυσκολίες που αντιμετωπίζει ο εκπαιδευτικός στη σχολική τάξη είναι να κρατά ζωντανό το ενδιαφέρον των μαθητών του κατά την παράδοση μιας νέας μαθηματικής έννοιας, όταν στην πλειοψηφία τους την έχουν ήδη διδαχθεί στο φροντιστήριο, με το γνωστό "φροντιστηριακό τυπικό", δηλαδή μέσω  μεθοδολογίας συνοδευόμενης από ικανοποιητικό αριθμό παραδειγμάτων και ασκήσεων και όχι μέσω θεωρητικής προσέγγισης, πολύ δε περισσότερο μέσω ... συντακτικής ανάλυσης! 
Έχοντας όμως ο μαθητής λύσει μια πληθώρα ασκήσεων, επαναλαμβάνοντας συγκεκριμένες αλγοριθμικές διαδικασίες, συνήθως διαμορφώνει την αντίληψη ότι κατέχει πλήρως το αντικείμενο, με αποτέλεσμα την ώρα του μαθήματος στην τάξη είτε να (ψιλο)βαριέται είτε να επιδιώκει να δείξει ότι  τα ξέρει όλα και ότι στο τσεπάκι του έχει όλες τις σωστές απαντήσεις, στάση που σε κάποιους, λίγους ευτυχώς, προσδίδει μια ιδιαίτερα υπερφίαλη συμπεριφορά.
 Όπως και να 'χει μια τέτοια στάση δεν δυσχεραίνει μόνο την προσπάθεια του εκπαιδευτικού που, επιδιώκοντας να κάνει σωστά τη δουλειά του, διευρύνει τις μεθοδολογικές προσεγγίσεις του χωρίς να περιορίζεται στο "φροντιστηριακό τυπικό", αλλά δυσχεραίνει και τη μαθησιακή διαδικασία του ίδιου του μαθητή που αυτοπεριορίζεται μέσα στην αντισωκρατική του  πεποίθηση: "εν οίδα, ότι όλα τα οίδα!" :)
Όταν την προηγούμενη εβδομάδα σε ένα τμήμα της Β΄ Λυκείου ξεκίνησα το 4ο Κεφάλαιο, Πολυώνυμα - Πολυωνυμικές εξισώσεις, η χαρά κάποιων μαθητών που θα κάναμε, επιτέλους, πολυώνυμα ήταν απερίγραπτη. Μερικοί μάλιστα άρχισαν να συζητούν μεταξύ τους, χαμηλοφώνως, (αλλά όχι και τόσο, ώστε να είναι σίγουροι πως θα τους ακούσω), για το σχήμα Horner. Ο τρόπος τους ήταν σχεδόν δηλωτικός της σκέψης τους, που - σύμφωνα με αυτό που εγώ διάβαζα - έλεγε: "Μπορεί στο τεστ της Τριγωνομετρίας να μην τα πήγαμε όσο καλά θέλαμε, αλλά τώρα στα πολυώνυμα θα σκίσουμε!". Εννοείται πως η επιτυχία των μαθητών είναι - ή πρέπει να είναι - το ζητούμενο του κάθε δάσκαλου, που γι' αυτήν πασχίζει άλλωστε μαζί τους σε μια υπεράνθρωπη και μάλλον υποτιμημένη προσπάθεια, η οποία συστηματικά βάλλεται από παντού, ενίοτε δε και από τους ίδιους τους μαθητές ή/και τους γονείς τους.
 Όμως το θέμα μου δεν είναι οι δυσκολίες που αντιμετωπίζει ο εκπαιδευτικός λόγω κάποιων παγιωμένων αντιλήψεων της κοινής γνώμης, ούτε θέλω τώρα να απευθυνθώ σε όσους συστηματικά βάλλουν το εκπαιδευτικό έργο, για να τους εξηγήσω πόσο κακό προκαλούν στους ίδιους τους μαθητές, επειδή τους διαμορφώνουν μια απαξιωτική στάση απέναντι στο σχολείο. Το έχω κάνει κάποιες φορές στο παρελθόν και πιθανότατα θα χρειαστεί να το κάνω  στο μέλλον. Αυτό όμως που θα ήθελα τώρα να πω, επειδή το θεωρώ σημαντικό, είναι η εξέλιξη που είχε αυτό το μάθημα της Άλγεβρας στη Β' Λυκείου.  
Στις πρώτες βασικές έννοιες του 4ου Κεφαλαίου, μονώνυμα-πολυώνυμα, και στον τρόπο που αυτά αλληπιδρούν και συμπράττουν υπήρχε ζωντάνια και μεγάλη συμμετοχή  στην τάξη, αλλά αυτοί που ήδη γνώριζαν το θέμα και είχαν προχωρήσει στο φροντιστήριο μέχρι το σχήμα Horner, άρχισαν σιγά σιγά να χάνουν το ενδιαφέρον τους και να απασχολούνται με άλλα πράγματα ή να συνομιλούν μεταξύ τους.
Είναι πολύ δύσκολο να κρατάς 27 στους 27 μαθητές "παρόντες" και συμμετέχοντες στο μάθημα, όταν έχεις να αντιμετωπίσεις μια τόση μεγάλη ποικιλία δυνατοτήτων και ενδιαφερόντων. Απαιτεί σχεδόν ταχυδακτυλουργικές δεξιότητες, αλλά ευτυχώς που στα Μαθηματικά  υπάρχουν πολλών ειδών τέτοιες. Μια, ας πούμε, 'ταχυδακτυλουργία', είναι αυτή που σχετίζεται με τη λειτουργία του "=" και στην οποία κατέφυγα για να ζωηρέψω το ενδιαφέρον όσων  έφθινε σταδιακά.. 

Έγραψα στον πίνακα τις δύο μαγικές προτάσεις: "P(x)=0"   και "P(x)=0, για κάθε x".
"Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα σ' αυτές τις δύο προτάσεις;", ρώτησα δυνατά για να με ακούσουν όλοι καλά. Σχεδόν αμέσως έπεσε στην τάξη σιωπή και οι φατσούλες συνοφρυώθηκαν. Μετά ακούστηκαν κάποιοι ψίθυροι. Ύστερα σηκώθηκαν δυο τρία χέρια κάπως διστακτικά. 
Έχει ενδιαφέρον να παρακολουθεί κανείς τις αντιδράσεις των μαθητών όταν οι ερωτήσεις ξεφεύγουν από τα τετριμμένα, από αυτά που έχουν μάθει να υπολογίζουν με ... κλειστά μάτια, ακολουθώντας τις διακριτές οδηγίες των αλγορίθμων.
Έδωσα το λόγο σε όσους σήκωσαν χέρι και σιγά σιγά ... εξιχνιάστηκε το μυστήριο. 
Το ότι η πρώτη πρόταση είναι μια εξίσωση κι άρα, αυτό που "ζητάει"  είναι να υπολογίσουμε το x που μηδενίζει το πολυώνυμο, έγινε εύκολα κατανοητό. 
Πρόβλημα κατανόησης υπήρξε στη δεύτερη πρόταση, όπου χρειάστηκε αρκετή συζήτηση σε συνδυασμό με παραδείγματα εκ ταυτότητος μηδενικών πολυωνύμων, αλλά και πάλι...
Έχοντας τις αμφιβολίες μου για το αν αντιλήφθηκαν οι μαθητές μου την ειδοποιό διαφορά ανάμεσα στις δύο προτάσεις, προχώρησα σε μια πιο ... γλωσσολογική προσέγγιση και ρώτησα
"Ποια είναι η λειτουργία του " = " στις δύο προτάσεις;".
Νομίζω πως αν αντί να θέσω αυτήν την ερώτηση είχα   απαγγείλει ένα χαϊκού στα γιαπωνέζικα, δεν θα είχαν ξαφνιαστεί τόσο!
Φυσικά δεν δόθηκε απάντηση στο ερώτημά μου, οπότε αναγκαστικά έδωσα εγώ τις απαραίτητες διευκρινίσεις:
"Στην πρώτη πρόταση το "=" λειτουργεί προστακτικά! Ζητάει να βρούμε τις τιμές του x, που μηδενίζουν το πολυώνυμο. Στη δεύτερη πρόταση το "=" λειτουργεί δηλωτικά, κάνει μια δήλωση, μας πληροφορεί ότι το πολυώνυμο μηδενίζεται για οποιαδήποτε τιμή του x και αυτό ακριβώς είναι το κλειδί για άλλες ασκήσεις, γιατί από αυτή τη δήλωση μπορεί να ξεπηδούν εξισώσεις το πολύ τόσες όσοι και οι όροι του πολυωνύμου, με άγνωστο μια ή περισσότερες παραμέτρους!!!" 
Άκουγαν προβληματισμένοι. Δεν ακούστηκε ούτε μια διαμαρτυρία τύπου: "Ε, κυρία τώρα  μαθηματικά κάνουμε, όχι γλώσσα", που όλο και κάποιος της Τεχνολογικής βρίσκεται να πεί όταν στο μάθημα επιχειρώ ... συντακτικές και εννοιολογικές αναλύσεις, αναζητώντας το ρήμα της πρότασης και τη λειτουργία του! 
Φαίνεται πως στο συγκεκριμένο μάθημα, με το συγκεκριμένο παράδειγμα αρκετοί κατάλαβαν ότι το σχήμα Horner και οι υπολογιστικές διαδικασίες που μαθαίνουν και τις αναπαράγουν, μάλλον,  συνειρμικά   δεν αρκούν, για να λύνουν όλες τις ασκήσεις στα Μαθηματικά. 
Για να κατανοούμε στο Λύκειο τα Μαθηματικά, απαιτείται να μελετάμε τα Αρχαία και τα Νέα Ελληνικά.
Απαιτείται να μελετάμε τη Γλώσσα δομικά, επειδή, όπως γράφει και ο Βιγκότσκι στο βιβλίο του "Σκέψη και Γλώσσα", στη διαμόρφωση των ανώτερων μορφών νοητικής δραστηριότητας (της νοητικής δραστηριότητας δηλαδή που απαιτούν τα Μαθηματικά) η γλώσσα δεν εντάσσεται συνειρμικά, αλλά λειτουργικά!

Κυριακή, 19 Ιανουαρίου 2014

Η ΔΥΜΑΜΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ...

Έχω ήδη γράψει σ' αυτό το ιστολόγιο περισσότερες από μια φορές ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι   έρωτας, ότι μας διδάσκει τον ίδιο μας τον εαυτό, ότι μας βοηθάει να κατανοούμε εμάς και τους άλλους. Έχω γράψει διάφορα, αλλά νομίζω πως δεν έχω γράψει μέχρι τώρα ότι όταν διδάσκω το μάθημα αυτό, στην Α' και στη Β' Λυκείου,  χρησιμοποιώ συχνά τον μεταφορικό λόγο και καταφεύγω σε διάφορες αναπαραστάσεις, άλλοτε προγραμματισμένα και άλλοτε αυθόρμητα. Το κάνω επειδή ο μεταφορικός λόγος δίνει στο μάθημα μια γοητεία που κρατάει αμείωτο το ενδιαφέρον σχεδόν όλων των μαθητών. Στην Άλγεβρα δεν είναι πάντοτε εύκολη η χρήση του μεταφορικού λόγου και η προσωποποίηση των διάφορων αλγεβρικών αντικειμένων, αλλά στη Γεωμετρία αυτό όχι μόνο δεν είναι κάτι που γίνεται δύσκολα, είναι κάτι που μοιάζει με ... επιταγή, επειδή στην Επιπεδομετρία του Ευκλείδη η μελέτη  των σημειοσυνόλων πάνω σε ένα επίπεδο μπορεί με τον α ή τον β τρόπο να υποθέσουμε ότι αναπαριστά οποιοδήποτε σύνολο, οποιωνδήποτε οντοτήτων σε οποιονδήποτε κόσμο. Αυτό άλλωστε δεν είχε χρησιμοποιήσει και ο Edwin A. Abbot,  το 1884 όταν έγραψε το συναρπαστικό μυθιστόρημα Flatland; Ακριβώς αυτό! Επηρεασμένη ενδεχομένως από το βιβλίο του Abbot, που το έχω κατ' επανάληψη μελετήσει σε Λέσχες Ανάγνωσης, έχω υιοθετήσει μια ιδιαίτερη στρατηγική κατά την παράδοση του μαθήματος, που είναι είτε μια πρώτη ... αφηγηματική προσέγγιση, ως εισαγωγή στο μάθημα, είτε μια τελική φιλοσοφική ενατένιση, ως κατακλείδα στην ανακεφαλαίωση.
Ένα παράδειγμα αρχικής αφηγηματικής προσέγγισης υπάρχει εδώ.
Ένα παράδειγμα κατακλείδας, και μάλιστα από τα πιο αγαπημένα μου, θα προσπαθήσω να παρουσιάσω σήμερα. Το παράδειγμα σχετίζεται με το μάθημα που φέρει τον απολύτως λογοτεχνικό τίτλο: "Δύναμη σημείου ως προς κύκλο" και που - ως τίτλος και μόνο - δίνει τροφή στη φαντασία... Το θέμα, από θεωρητική σκοπιά, θα μπορούσε να το μελετήσει όποιος ενδιαφέρεται στο σχολικό βιβλίο "Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Λυκείου", ή, στοχευμένα, στο ιστολόγιο του αγαπητού συναδέλφου, Σωκράτη Ρωμανίδη, εδώ , αλλά αυτά που πραγματικά θα πρέπει να γνωρίζει, για να κατανοήσει την τελική φιλοσοφική ενατένιση είναι μόνο τα εξής δύο:
1ο. τρεις είναι οι δυνατές σχετικές θέσεις του σημείου, ας το πούμε Ρ, ως προς τον κύκλο, που έχει κέντρο Ο και ακτίνα R, δηλαδή τον κύκλο (Ο, R), οι εξής:
α) Το Ρ είναι μέσα στον κύκλο (Ρ εσωτερικό του κύκλου)
β) Το Ρ είναι πάνω στον κύκλο (Ρ σημείο του κύκλου ή  Ρ ανήκει στον κύκλο)
γ) Το Ρ είναι έξω από τον κύκλο (Ρ εξωτερικό του κύκλου).
2ο. Η θέση του σημείου Ρ σε σχέση με τον κύκλο (Ο, R) εκφράζεται από έναν πραγματικό αριθμό που ονομάζεται δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο και ισούται με τη διαφορά των τετραγώνων δυο πραγματικών αριθμών.
Ως γνωστόν η διαφορά δυο πραγματικών αριθμών είναι ένας άλλος πραγματικός αριθμός και επίσης ως γνωστόν ένας πραγματικός αριθμός μπορεί να είναι ή θετικός ή μηδέν ή αρνητικός.
Άρα η δύναμη ενός σημείου ως προς έναν κύκλο είναι ή θετική ή μηδέν ή αρνητική.
Και μπλαμπλαμπλα, τόσο απλά.
Το μάθημα ολοκληρώνεται κανονικά με όλα τα συναφή, τύπους, σύμβολα, ερμηνείες, ορισμούς κλπ.
Και τότε, ως ανακεφαλαίωση, πριν από τις ασκήσεις, μπαίνει το μεγάλο ερώτημα:
Το ΠΟΤΕ!
Πότε είναι θετική, πότε είναι μηδέν, πότε είναι αρνητική η δύναμη του σημείου ως προς τον κύκλο;
Χαίρονται τα παιδιά που κατάλαβαν το μάθημα και απαντούν. Χαίρομαι κι εγώ που η τάξη γεμίζει υψωμένα χέρια και νεανικές φωνές και προχωρώ ένα βήμα παραπέρα...



"Ωραία, το καταλάβατε! Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο κύκλος παριστάνει κάποιο πρόβλημα κι εμείς, ο καθένας μας, είμαστε ένα σημείο του επιπέδου.
Πότε θα έχουμε τη μεγαλύτερη "δύναμη", για να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημά μας;"
"Όταν είμαστε έξω από το πρόβλημα!", απαντούν πολλά παιδιά μαζί.

"Ακριβώς! Τότε... Όταν καταφέρουμε να βγούμε έξω από το πρόβλημα, όταν μπορέσουμε να το δούμε από απόσταση, τότε μόνο έχουμε .... θετική δύναμη! Και, τελικά, έτσι θα πρέπει να αντιμετωπίζουμε τα προβλήματά μας. Γιατί όταν μένουμε προσκολλημένοι στο κέντρο του κύκλου, δηλαδή στο κέντρο του προβλήματος, η "δύναμή" μας παίρνει τη μικρότερη τιμή... γίνεται -R^2, αποδυναμωνόμαστε εντελώς..."

Κάθε χρόνο η ίδια κατακλείδα στο μάθημα κάνει τους μαθητές να συμμετέχουν και να προβληματίζονται...Κάποιοι κοιτάζουν με δυσπιστία τα σχήματα στον πίνακα, σαν να αναρωτιούνται πώς τα καταφέραμε με αφορμή το μάθημα της Γεωμετρίας να φτάσουμε να συζητάμε για τον καλύτερο δυνατό τρόπο αντιμετώπισης των προβλημάτων μας...
Όπως κάθε χρόνο έγινε  και φέτος η συζήτηση, και μάλιστα φάνηκε πως είχε άμεση επίδραση.
Όταν χτύπησε το κουδούνι και βγήκαν όλοι έξω, έμεινα να γράψω στο βιβλίο ύλης και στο δικό μου προσωπικό ημερολόγιο μαθήματος (όπως λέμε "ημερολόγιο καταστρώματος"!) τα πεπραγμένα. Τελειώνοντας, σήκωσα το κεφάλι μου και είδα δυο μαθήτριες σε ένα θρανίο να συζητούν χαμηλόφωνα. 
"Τι έγινε, κορίτσια;", ρώτησα. "Τι συμβαίνει, έχετε κάποιο πρόβλημα;" Η μία ψιλοκοκκίνησε και μου χαμογέλασε, χαμηλώνοντας το βλέμμα. Επειδή την γνωρίζω από πέρυσι, κατάλαβα.
"Τι έγινε; Έχουμε προβλήματα καρδιάς;", επέμενα εγώ, με όλο το θάρρος. Αναθάρρυσε και η μαθήτρια, σήκωσε το βλέμμα και μου απάντησε: "Ακριβώς, κυρία, αυτό. Κι όταν είπατε πριν στο μάθημα πότε έχουμε μεγαλύτερη δύναμη απέναντι σε ένα πρόβλημα, με βοηθήσατε...Αυτό συζητάμε τώρα...".

Η δύναμη του σημείου...
Η δύναμη του  μαθήματος!
Η δύναμη του ΣΧΟΛΕΙΟΥ...
Πώς μπορεί να τα καταλάβει κανείς όλα αυτά όταν δεν έχει την τύχη να "δουλεύει", και μάλιστα κάτω από αντίξοες συνθήκες, μέσα σε μια τάξη με εικοσιεφτά παιδιά;
Και πώς θα μπορέσει  κάποιος να αξιολογήσει μια τέτοια - ας την πούμε - δουλειά;
...........................................................................................................................


μαθηματικά β΄λυκείου: δύναμη σημείου ως προς κύκλο από sonomgr