Τρίτη, 22 Δεκεμβρίου 2015

Αγαπητοί γονείς, αφήστε το παιδί σας να είναι μαθητής!

Χθες το απόγευμα πήγα στη Δημοτική Βιβλιοθήκη της γειτονιάς μου, όπου προσπαθώ εδώ και δύο μήνες να συντονίσω -εθελοντικά- μια Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας για μαθητές Γυμνασίου. Περιμένοντας τα παιδιά, βρέθηκα να συζητώ με τη νεαρή υπάλληλο της Βιβλιοθήκης. "Τι κάνετε;", με ρώτησε με ευγένεια στα όρια της λονδρέζικης τυπικότητας. "Καλά, ευχαριστώ", απάντησα. "Λίγο κουρασμένη είμαι, γιατί μέχρι τις τρεις ήμουν στο σχολείο. Δώσαμε βαθμούς σήμερα." Τι το 'θελα; Είναι να ξανοίγεσαι σε ανθρώπους που σε ρωτούν τι κάνεις μόνο και μόνο επειδή το απαιτεί το πρωτόκολλο!; 
"Βάλατε καλούς βαθμούς ή τα κάψατε τα καημένα τα παιδιά;", με ρώτησε και η μέχρι τότε προσποιητή της ευγένεια εξανεμίστηκε με μιας. 
Δεν έχω κάτι με τη συγκεκριμένη υπάλληλο, αλλά τις λίγες φορές που την είχα στο παρελθόν συναντήσει διαισθάνθηκα αυτήν την - ας την πω - καχυποψία των πολλών απέναντι στους εκπαιδευτικούς και δη στους μαθηματικούς. 
"Τους βαθμούς δεν τους βάζω εγώ. Τους βαθμούς τους παίρνουν τα παιδιά.", απάντησα πικαρισμένη. 
Η αλήθεια είναι πως δεν το ξεπερνώ εύκολα αυτό το συναίσθημα. Κάθε φορά που εισπράττω κατάμουτρα τη δυσπιστία της κοινής γνώμης για την - ας την πω - επαγγελματική μου ηθική, νιώθω την ανάγκη να δώσω εξηγήσεις. Εξήγησα με ποιον τρόπο υπολογίζω το βαθμό. Πόσο με δυσκολεύει η διαδικασία... Πόσο αντίθετη είμαι στο συγκεκριμένο τρόπο αξιολόγησης. Με λοξοκοίταζε με ένα βλέμμα που υπέκρυπτε μια δόση αμφισβήτησης. Τότε αποφάσισα να παίξω το δυνατό μου χαρτί. 
"Για σκέψου, σε παρακαλώ, τι προφορικό βαθμό έχω βάλει εγώ σε ένα παιδί που έβγαλε στα τέσσερα τεστ που έγραψε μέσο όρο, ας πούμε, 8 και στον έλεγχο έχει 14;". Την αιφνιδίασα. Περίμενα λίγο κι όταν βεβαιώθηκα πως δεν μπορεί να το υπολογίσει, είπα: 14 επί 2 μείον 8 κάνει 20! Ε ναι, στα προφορικά έβαλα 20! Πόσο παραπάνω να βάλω;" Φάνηκε να μπερδεύεται, αλλά δεν τα έβαλε κάτω. "Κι εμένα ο γιος μου πάει φέτος στην πρώτη Δημοτικού", μου είπε. "Κάνουν προσθαφαιρέσεις, τώρα, ξέρετε. Χθες είχε κάτι περίεργα μαγικά κουτάκια, που έπρεπε να βγάζουν δέκα στο έτσι και στο έτσι...", είπε δείχνοντας οριζοντίως και καθέτως. "Μαγικά τετράγωνα;", ρώτησα. "Μαγικά κουτάκια τα λέει η δασκάλα μας", επέμενε. Κι ύστερα, θέλοντας να κάνει τη ρεβάνς μου είπε: "Μέχρι να καταλάβω τι έπρεπε να κάνω... Τα πήρα και είπα στο γιο μου να παίξει μέχρι να τα συμπληρώσω. Ύστερα του είπα να τα αντιγράψει. Δεν μπορούσα να του εξηγήσω τι να κάνει... Να πας αύριο στην κυρία σου και να της πεις ότι είναι πολύ δύσκολα! Ακούς εκεί, τόσο μικρά παιδιά, τι τους έβαλε!". 
"Αχ, πόσο λάθος! Δεν πρέπει.... Κανονικά οι νέοι γονείς θα πρέπει να παρακολουθούν ένα τρίμηνο σεμινάριο, πριν στείλουν τα παιδιά τους στο σχολείο.". 
"Ναι, και οι εκπαιδευτικοί όμως πρέπει να κάνουν συνέχεια σεμινάρια". Είχε αγριέψει. Το έβλεπα στα μάτια της. "Δεν μπορώ να βλέπω καθηγητές ... καθηγητές κοντά στη σύνταξη να κάνουν μάθημα με μεθόδους που έχουν ξεπεραστεί!". Όσο πήγαινε θύμωνε περισσότερο. "Κάποιοι κάνουν σήμερα μάθημα με τον ίδιο τρόπο που έκαναν όταν ήμουν εγώ μαθήτρια..,", συνέχισε. 
"Πότε τέλειωσες το σχολείο;", ρώτησα για αντιπερισπασμό. Ήθελα να κερδίσω λίγο χρόνο. 
"Το 1998. Είμαι 35 χρονών". Με έβγαλε από τον κόπο να κάνω τις προσθαφαιρέσεις. Πήρα βαθιές ανάσες, προσπαθώντας να κρατήσω τη συζήτηση στο επίπεδο που επιβάλλει ο κοινωνικός μου ρόλος. "Ξέρεις γιατί είναι κακό να ετοιμάζεις εσύ τα μαθήματα του γιού σου;", επέμενα, "Επειδή του περνάς υποσυνείδητα τη δική σου άποψη για τη δυσκολία των μαθηματικών. Κάτι που δεν μπορεί να λύσει η μαμά του, είναι πολύ δύσκολο! Άρα θα πιστεύει ότι δεν μπορεί να το λύσει κι αυτός. Από την άλλη πλευρά, ασκώντας κριτική στο έργο της δασκάλας τον καθιστάς καχύποπτο απέναντί της κι αυτό είναι σε βάρος του παιδιού. Χάνεται η εμπιστοσύνη που πρέπει να έχει στο πρόσωπο της δασκάλας του..."

Είχα πάρει φόρα. Με άκουγε εκφράζοντας τις αντιρρήσεις της. Εγώ συνέχιζα. Της είπα πως από την έκφραση των μαθητών μου αντιλαμβάνομαι τις απόψεις των γονιών τους για τους εκπαιδευτικούς και για το σχολείο. Οι γονείς που ασκούν αρνητική κριτική στη δουλειά μας προϊδεάζουν τα παιδιά τους κι έρχονται αυτά στο σχολείο και νιώθουν τον καθηγητή απέναντι κι αυτό δυσκολεύει την κατάσταση,  χαλάει το κλίμα εμπιστοσύνης που είναι απαραίτητο, για μια αποτελεσματική διαδικασία μάθησης. Όταν το παιδί αρνείται a priori την καλή πρόθεση του δασκάλου, δεν κερδίζει τα λίγα ή τα πολλά που μπορεί να κερδίσει από τη συμμετοχή του στο μάθημα. Η μάθηση δεν είναι υπόθεση του ενός. Και σίγουρα όχι του δασκάλου. Είναι συλλογική δουλειά, συμμετοχική. Ο μαθητής παίζει το ρόλο του. Οι γονείς το δικό τους. 
Κι άλλα πολλά είπα. Έκανα και μια αναφορά στον Vygotsky. Επικαλέστηκα την αυθεντία, να μη φανεί πως δεν επιμορφώνομαι. Στο τέλος παραδέχτηκε πως και η δασκάλα του γιού της της είπε να μην κάνει τα μαθήματα του παιδιού, να το αφήνει να κάνει ό,τι μπορεί μόνο του.

Αυτό το λέω κι εγώ στους γονείς. Σε εκείνους τους γονείς που πιστεύουν ότι το παιδί τους έρχεται στο σχολείο για να δείξει στον δάσκαλο ότι ξέρει. Έρχεται για να δείξει και στους συμμαθητές του ότι ξέρει. Κι έτσι σιγά σιγά αυτό το παιδί πιστεύει ότι πρέπει να ξέρει τα πάντα και να δείχνει σε όλους ότι ξέρει τα πάντα και, συνηθίζοντας με τον καιρό το ρόλο αυτόν, δεν ανέχεται να το αμφισβητήσει κανείς, ούτε να το διορθώσει κανείς...
Και μέρα με τη μέρα χάνει την ιδιότητα του μαθητή, παύει να είναι το παιδί που μαθαίνει, που διερευνά, που αμφισβητεί, που αναθεωρεί και προοδεύει. 
Γίνεται το παιδί που αγανακτεί. Το παιδί που δεν μπορεί να αποδεχτεί και να διαχειριστεί την άγνοιά του και υποφέρει, καθώς δεν ξέρει πού πατά και πού πηγαίνει...
Γι' αυτό,  αν θέλετε να βοηθήσετε, αγαπητοί γονείς αφήστε το παιδί σας να είναι μαθητής!

Σάββατο, 19 Δεκεμβρίου 2015

ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ...

ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ ΝΑ ΜΕΛΕΤΟΥΝ ΟΛΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΑ; 
 
Τα μαθηματικά όντα, σύμφωνα με τη θεωρία του κονστρουκτιβισμού, είναι προϊόντα επινόησης του κοινωνικού χαρακτήρα των ανθρώπων. Η πολιτισμική πίεση, η αλληλεπίδραση, η ώσμωση, η ανάγκη, ο ανταγωνισμός οδήγησαν -και συνεχίζουν να οδηγούν- στην κατασκευή μαθηματικών θεωριών και μαθηματικών κόσμων, που αφενός ελάχιστοι πλέον κατανοούν, αφετέρου πλείστοι απολαμβάνουν στην καθημερινή τους ζωή, χωρίς καν να γνωρίζουν ποιες μαθηματικές θεωρίες κρύβονται πίσω από τις διευκολύνσεις ή τις απολαύσεις που τους παρέχει η μαθηματική επιστήμη. Θα ήταν καλό να διδάσκονταν στα σχολεία κάποια κεφάλαια, σχετικά με τον κοινωνικό ρόλο, τη χρήση και τη λειτουργία των Μαθηματικών  μέσα στο χρόνο. Θα έδιναν άλλη αίγλη στο μάθημα, βοηθώντας ταυτόχρονα πολλούς από τους δεκαπεντάχρονους μαθητές - ειδικά αυτούς που θεωρούν ότι η Ιστορία αρχίζει από τη στιγμή που οι ίδιοι γεννήθηκαν - να υποψιαστούν το ρόλο τους και τη θέση τους στο ρου της ανθρωπότητας. Δυστυχώς όμως, τα Μαθηματικά στο ελληνικό σχολείο περιορίζονται σε ένα πυκνό τυπολόγιο, έναν εσωτερικό κώδικα, που μοιάζει να διέπεται από τους κανόνες μιας κλειστής και αυτόνομης κοινωνίας, η οποία δεν αλληλεπιδρά, δεν συνυπάρχει και δεν διασυνδέεται με καμία άλλη πτυχή του επιστητού. Όταν μάλιστα η διδασκαλία γίνεται εντελώς αυτοματοποιημένα, τότε τα διδασκόμενα Μαθηματικά όχι απλά δεν διασυνδέονται με καμία πτυχή του επιστητού, αλλά φαίνεται πως δεν εντάσσονται ούτε στο ευρύτερο μαθηματικό πλαίσιο στο οποίο ανήκουν. Η ταχύτητα, ο ρυθμός, οι πρακτικές και οι στόχοι του μαθήματος έχουν ως αποτέλεσμα την εκμάθηση τεχνικών και διαδικασιών, που ενώ θεωρητικά επαναλαμβάνονται, στην πράξη απομονώνονται και "εκμηχανίζονται".  Τα αίτια του φαινομένου αυτού είναι πολλά και η διαχρονικότητά τους καθιστά την υπέρβαση των εμποδίων που δημιουργούν σχεδόν ανυπέρβλητη.
Αυτήν την αίσθηση αποκομίζω διδάσκοντας την Άλγεβρα φέτος σε ένα τμήμα της Α' Λυκείου.
Άλγεβρα στην Α' Λυκείου διδάσκω πολλά χρόνια. Πάνω από δύο δεκαετίες στον φροντιστηριακό χώρο και μια δεκαετία - περίπου ανελλιπώς - στο Δημόσιο σχολείο. Είναι ένα μάθημα γοητευτικό, ένα μάθημα τεχνικό, ένα μάθημα δεξιοτήτων, το οποίο αποτελεί βασικό εργαλείο για όποιον   στις εισαγωγικές εξετάσεις έχει να δώσει το μάθημα των Μαθηματικών, αλλά - από την άλλη πλευρά - είναι ένα μάθημα για λίγους. Και είναι ένα μάθημα που αποτρέπει τους πολλούς από το να αγαπούν τα Μαθηματικά ή - να το πω αλλιώς - τους κάνει να αμφιβάλουν τα μάλα για τη χρησιμότητα των Μαθηματικών στην καθημερινή τους ζωή. Το "Άλλη μια μέρα πέρασε από τη ζωή μου, δίχως να χρησιμοποιήσω πουθενά το τριώνυμο!", είναι ένα χιουμοριστικό σύνθημα αντιμαθηματικού περιεχομένου, που κυκλοφορεί κατά καιρούς στο διαδίκτυο.
Για όλους τους παραπάνω λόγους, που με τα χρόνια αποκρυσταλλώθηκαν στο μυαλό μου, [και για έναν ακόμη που συντρέχει φέτος και αφορά το επίπεδο, τη σύνθεση και το ωρολόγιο πρόγραμμα του ενός -και μόνο- τμήματος που διδάσκω, για συμπλήρωση ωραρίου :( ], όταν μπαίνω στην Α' Λυκείου για να διδάξω Άλγεβρα, επιστρατεύω κάθε είδους πρακτικές, για να αποδώσω στο μάθημα, στο μέγιστο δυνατό βαθμό, τον ... αλληγορικό του χαρακτήρα! Μερικές φορές η προσπάθειά μου έχει ιδιαίτερα καλά αποτελέσματα, όπως φαίνεται από τη στάση ή τα λεγόμενα των μαθητών, οι οποίοι στη μεγάλη τους πλειοψηφία μπερδεύουν την προτεραιότητα των πράξεων και σηκώνουν τα χέρια ψηλά μπροστά σε κάθε -λιγότερο ή περισσότερο- σύνθετη αλγεβρική παράσταση.
Μέσα σε ένα τέτοιο περιβάλλον, συχνά αναφέρομαι στην ευθεία των πραγματικών αριθμών σαν να   είναι μια κοινωνική δομή με τους δικούς της κανόνες και τους δικούς της νόμους. Για τη διδασκαλία κάθε νέας μαθηματικής έννοιας -είτε ο ορισμός της το απαιτεί λιγότερο είτε περισσότερο- η ευθεία είναι παρούσα και πάνω σε αυτήν είναι παρόντα και ζουν τη δική τους πραγματικότητα τα x, y, z, με τα δικά τους μέτρα, τις απόλυτες τιμές, τις ρίζες, τις ... τάξεις, τις ομάδες,  τις κάστες,  και από πάνω τους οι δύο πράξεις, αυτή της πρόσθεσης και εκείνη του πολλαπλασιασμού, παίζουν το δικό τους διαδικαστικό ρόλο και επιβάλλουν τις δικές τους ιδιότητες! Ένας ολόκληρος, επινοημένος, κόσμος που κινείται κάτω από τη μύτη μας και -ενώ ταλαιπωρεί πολλούς ανθρώπους στα χρόνια του σχολείου- δεν αντιλαμβάνονται οι περισσότεροι, ούτε και ως ενήλικες, ότι ολόκληρος ο πολιτισμός μας δομείται πάνω σε αυτόν. Αλλά αυτή η κατανόηση δεν συμπεριλαμβάνεται στους στόχους του μαθήματος ...
Οι δεκαπεντάχρονοι μαθητές δε, οι οποίοι καλούνται να μάθουν να διαχειρίζονται τους πραγματικούς αριθμούς χωρίς να τους "υποστασιοποιούν",  σε ένα μεγάλο βαθμό ταλαιπωρούνται και δικαίως δυσφορούν. Τίθεται το ερώτημα: "Χρειάζεται να μελετούν όλοι οι μαθητές Άλγεβρα;".
Στο ερώτημα αυτό έχουν προ πολλού απαντήσει κάποιοι ειδικοί μεταξύ των οποίων και ο (αείμνηστος πλέον)  Lynn Arthur Steen.
Και εγώ συχνά διατυπώνω το παραπάνω ερώτημα. Ειδικά πέρυσι, που δίδασκα στο ΕΠΑΛ, απαντούσα χωρίς περιστροφές πως δεν χρειάζεται... Και φέτος όμως, κάθε φορά που μπαίνω στο ένα και μοναδικό τμήμα της Α' Λυκείου που διδάσκω, για συμπλήρωση ωραρίου όπως ήδη είπα, αναρωτιέμαι πόσοι από τους συγκεκριμένους μαθητές μου χρειάζονται πραγματικά αυτήν την Άλγεβρα που διδάσκονται!
Και αυτήν την Άλγεβρα τη διδάσκω εγώ και προσπαθώ να την κάνω κατανοητή, προσφιλή, γοητευτική και να αναδείξω την ισχύ της και το μεγαλείο της. Να αποκαλύψω στους μαθητές μου πως η ανθρώπινη επινόηση κατάφερε με λίγα μόνο σύμβολα να διαχειρίζεται το άπειρο, αυτό που δεν χωράει ο κοινός νους κι αυτό που δεν καταλαβαίνει ο μέσος άνθρωπος. Πάνω σε μια ευθεία, οι άπειροι πραγματικοί υπακούουν στους δικούς τους κανόνες και είναι σαν να αποκτούν μιαν αυτοτέλεια, που μελετάμε και σεβόμαστε.
Το "σεβόμαστε" εδώ δηλώνει ότι δεν κάνουμε του κεφαλιού μας, όταν χειριζόμαστε τα σύμβολα. Δεν αυτοσχεδιάζουμε και δεν αποφασίζουμε ότι σήμερα ένα α κι άλλο ένα α θα μας δώσουν ως αποτέλεσμα α στο τετράγωνο... Όλο και πιο δύσκολα σέβονται τους κανόνες οι μαθητές. Κάθε χρόνο και πιο δύσκολα. Όλο και λιγότεροι μαθητές έχουν καλή επίδοση. Τι φταίει;
Κι όλο και περισσότερο αναγκάζομαι να επινοώ διάφορα για να μείνει στη μνήμη τους το στοιχειώδες.
Χθες, στις ασκήσεις εμπέδωσης των ριζών ανώτερης τάξης, κάναμε στον πίνακα μεταξύ άλλων και την άσκηση 8i   (8ii και 8iii HW :) )

 Ένας μαθητής πρότεινε να γράψουμε τα ριζικά ως δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Εγώ ήθελα να δούμε και τον άλλο τρόπο και μετά να συγκρίνουμε τις δύο επιλογές, οπότε τους ζήτησα να κάνουν τα ριζικά "ομόδεικτα" και αμέσως αναφώνησα: "Ομόδεικτα!!! Τι όμορφη λέξη! " και συνέχισα σαν να μην με άκουγε κανείς, "Δεν την έχω δει πουθενά. Γιατί δεν τη χρησιμοποιούμε, άραγε; Δηλώνει ακριβώς αυτό που είναι. Ομόδεικτα, όπως ομώνυμα, όπως ομότιμα...". Τα παιδιά παρακολουθούσαν χαμογελώντας τον μονόλογό μου και έδειχναν να διασκεδάζουν με τη γνήσια απορία που εξέφραζα.
Μετά, επανήλθαμε στο μάθημα και εστιάσαμε την προσοχή μας στην ιδιότητά εκείνη που μας επιτρέπει να κάνουμε "ομόδεικτα" τα ριζικά, δηλαδή να κάνουμε τις ρίζες ίδιας τάξης και ήταν σαν να είχαμε δώσει σάρκα και οστά σε αυτές τις περιέργες επινοημένες μαθηματικές οντότητες, που προκαλούν το φόβο και τον τρόμο από την πρώτη στιγμή που εμφανίστηκαν!
Όμως με έναν τόσο απλό τρόπο, με μια τόσο χρήσιμη ιδιότητα, γίνονται αμέσως ίδιας τάξης!
(Μακάρι να ίσχυε και στο δικό μας κόσμο, τον απάνθρωπο, αυτή η ευκολία στην εξίσωση των τάξεων! Το θίξαμε κι αυτό στα γρήγορα...)
Μετά κάναμε άλλες κατηγορίες ασκήσεων, μετατροπή κλασμάτων σε ισοδύναμα με ρητό παρονοναστή και άλλες από τη Β' Ομάδα του σχολικού. Κι ύστερα, κάποια στιγμή μια μαθήτρια σήκωσε το χέρι και ρώτησε τι θα κάνουμε στην περίπτωση που τα ριζικά δεν είναι ομόδεικτα! Πρόφερε τη λέξη με κάποιο δισταγμό κι εγώ σε μια προσπάθεια να την ενθαρρύνω την επανέλαβα με την ίδιο περίπου δισταγμό, αλλά η επανάληψη φάνηκε να νομιμοποιεί τη χρήση της νεόπλαστης λέξης, κυρίως όμως φάνηκε να δίνει ζωή και λόγο ύπαρξης σε αυτά τα περίεργα σύμβολα που, χωρίς να κατανοούμε, διαχειριζόμαστε στο μάθημα της Άλγεβρας.
Ένα μάθημα υψηλής κωδικοποίησης, δεξιοτεχνικό, γοητευτικό, ένα μάθημα μέσα από το οποίο αντιλαμβάνεται κανείς τη δύναμη της αφαίρεσης του ανθρώπινου μυαλού, αλλά και σίγουρα ένα μάθημα που, όπως λένε οι ειδικοί, δεν το χρειάζονται οι πιο πολλοί ...
----------------------------------------------------------------------------- 

Θα ήθελα να αναφερθώ και στο τμήμα της Γ' Γυμνασίου, όπου παλεύουμε εδώ και καιρό με την παραγοντοποίηση, ενώ οι περισσότεροι μαθητές έχουν κάνει όρκο νομίζω να μην κατανοήσουν ποτέ σε τι διαφέρουν ο πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση, γι' αυτό επιμένουν οι περισσότεροι να λένε πως α επί α κάνει  δύο α... κι άλλα τέτοια γνωστά, αλλά περιορίζομαι στο να αναρωτηθώ πώς θα είναι αυτά τα παιδιά - με εξαίρεση ελαχίστων - την επόμενη χρονιά...

Τρίτη, 15 Δεκεμβρίου 2015

ΗΜΙΕΥΘΕΙΑ όπως... ΗΜΙΘΕΟΣ!

ή ΜΙΑ ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
Έχω ήδη πει πόσο δύσκολο, αλλά ταυτόχρονα και πόσο όμορφο είναι να διδάσκεις Μαθηματικά σε μικρά παιδιά, όμως -καθώς το βιώνω με αυτόν τον τρόπο για πρώτη φορά-  δικαιούμαι να το πω ξανά!
Χθες στην Α' Γυμνασίου ολοκλήρωσα, επιτέλους, τα κλάσματα. Αφού κάναμε και τις τελευταίες ασκήσεις επανάληψης, στα μισά της ώρας περίπου, θέλοντας να περάσω στο καινούριο κεφάλαιο, ακούμπησα ελαφρώς τον μαρκαδόρο στην άσπρη επιφάνεια του πίνακα και ρώτησα "Τι είναι αυτό;", δείχνοντας το ίχνος που είχε αφήσει η ταλαιπωρημένη του μύτη. Πλημμύρισε η αίθουσα φωνές.
"Είναι πολλαπλασιασμός!", "Είναι επί!", ακούστηκαν όλα μαζί. "Όχι, όχι...", είπα αυθόρμητα.
"Ε, τότε είναι τελεία, δηλαδή στίξη", είπε μια μαθήτρια. "Μμμμ, ούτε...", επέμενα εγώ, περιμένοντας να βρεθεί κάποιος να πει πως αυτό που έδειχνα ήταν ένα "σημείο".
"Είναι ένα σημάδι", ακούστηκε μια άλλη μαθήτρια και είχε πλησιάσει πολύ στο ζητούμενο, αλλά κατάλαβα πως από κανένα μυαλουδάκι δεν θα έβγαινε στην επιφάνεια η λέξη που ζητούσα, το "σημείο" δηλαδή, για να πιαστώ από κει και να αρχίσω την Επιπεδομετρία, παρουσιάζοντας τις βασικές  γεωμετρικές έννοιες, που είναι στο 1ο Κεφάλαιο του Β' μέρους του βιβλίου της Α' Γυμνασίου.
Και πώς να πάει το μυαλό των παιδιών στο σημείο, όταν τόσο καιρό στο μάθημά μας με  μια τελίτσα ανάμεσα σε αριθμούς και σε γράμματα δηλώναμε  την πράξη του πολλαπλασιασμού; Δεν είναι εύκολο να αλλάζει ένα παιδί - αλλά ούτε και ένας μεγάλος - αναφορικό πλαίσιο από τη μια στιγμή στην άλλη. Έτσι αποφάσισα να κάνω ένα -κινηματογραφικά μιλώντας- "γενικό πλάνο" και έθεσα ένα καινούριο ερώτημα.
"Πόσες διαστάσεις έχει ο χώρος στον οποίο ζούμε;".
Οι απαντήσεις που ακούστηκαν, διατεταγμένες κατά αύξουσα σειρά, ήταν: Μία. Δύο. Τέσσερις. Άπειρες.  Ούτε ένας δεν είπε τρεις! Μετά από ώρα ακούστηκε το "3D", αλλά αυτό είναι κάτι που οι μικροί μαθητές δεν το συνδέουν μάλλον με το μάθημα των Μαθηματικών!
[Το "3D" πιθανότητα συνδέεται με ευχάριστα και διασκεδαστικά θέματα κι όχι με το σχολείο!]

Αυτές οι διαπιστώσεις με οδήγησαν να κάνω μια εντελώς διαφορετική προσέγγιση στο μάθημα από αυτήν που είχα σχεδιάσει αρχικά και η οποία ήταν βασισμένη στον τρόπο που το βιβλίο, διαισθητικά, ορίζει τις βασικές γεωμετρικές έννοιες:
σημείο-ευθύγραμμο τμήμα-ευθεία-ημιευθεία-επίπεδο-ημιεπίπεδο.
Έτσι σήμερα στο μάθημα, αφού είχα ήδη από την προηγουμένη ορίσει το "σημείο" αξιωματικά και ευκλείδεια, λέγοντας πως είναι αυτό που δεν έχει καμία διάσταση και, επίσης, αφού είχα εξηγήσει ότι ο κόσμος που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας έχει μόνο τρεις διαστάσεις, ξεκίνησα το μάθημα ορίζοντας τις διδακτέες έννοιες μέσω των διαστάσεών τους, καθώς επίσης και των συμβολισμών τους, της ονοματολογίας τους και όλων των σχετικών.
Και αφού ολοκληρώσαμε τις βασικές έννοιες πέρασα στα "ημι-".
"Τι σημαίνει "ημι-";", ρώτησα.
"Μισό", απάντησαν.
"Για πείτε μου μερικές λέξεις που αρχίζουν από "ημι-"", συνέχισα, για να χτίσουμε ολιστικά τη νέα γνώση.
Στο ένα τμήμα μου είπαν τη λέξη "ημίθεος" και με δική μου παρότρυνση βρήκαν το "ημίχρονο" και το "ημισφαίριο", που τα κατέγραψα στον πίνακα. Με βάση αυτά κατανοήσαμε τη χρήση του "ημι-" ή έτσι νόμιζα εγώ, τέλος πάντων, οπότε ορίσαμε την ημιευθεία και το ημιεπίπεδο.
Τότε ένας μαθητής με ξάφνιασε ευχάριστα. Το παιδί σήκωσε το χέρι του και όταν του έδωσα το λόγο μου είπε το εξής:
"Αφού η ευθεία, κυρία, δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος, πώς γίνεται να πάρουμε τη μισή της και να λέμε "ημιευθεία";".
Ήταν ο ίδιος μαθητής που είχε προλίγου αναφέρει τη λέξη "ημίθεος".
Ακαριαία κατάλαβα ότι το παιδί είχε σκεφτεί κάπως έτσι: "Το ημίσφαίριο είναι η μισή σφαίρα, το ημίχρονο είναι ο μισός χρόνος, η ημιευθεία τι είναι;", οπότε με τη βοήθεια του "ημίθεου" του εξήγησα πως η ημιευθεία δεν είναι η μισή στο μέγεθος ευθεία, αφού -όπως σωστά είχε καταλάβει- η ευθεία είναι άπειρη, αλλά η ημιευθεία είναι μισή στις ιδιότητες ευθεία!
Έχει τις μισές ιδιότητες από την ευθεία, έχει ένα μόνο άκρο, όπως ο ημίθεος έχει μόνο τον ένα γονέα θεό!
Θεέ μου, πόσα ερωτήματα γεννάει το μυαλό των παιδιών! Την ώρα που εμείς νομίζουμε πως έχουμε εξηγήσει τα πάντα ... εν σοφία, τα παιδιά πλέκουν με τα δικά τους νήματα, τα δικά τους νοήματα!

Επανέλαβα το μάθημα στο άλλο τμήμα, περιμένοντας να δω αντιδράσεις.
"Ημίαιμος", "Ημίγλυκος", "Ημίσκληρο". Όλοι ήθελαν να πουν μια δική τους λέξη. Τελειωμό δεν είχαν. Κι εγώ τις έγραφα στον πίνακα. Ακόμη και το "ημίγυμνος" που είπε ένας μαθητής έγραψα, αλλά μετά από λίγο αναγκάστηκα να το σβήσω, επειδή τα περισσότερα παιδιά εστίασαν το ενδιαφέρον τους εκεί. Μέσα σε αυτό το κλίμα ενθουσιασμού δόθηκε ο ορισμός της ημιευθείας. Όμως και πάλι βρέθηκε μια μαθήτρια, που δεν αρκέστηκε και δεν πείστηκε με όσα έλεγα.
"Μα πώς γίνεται αυτό, κυρία; Αφού κι όταν βάλουμε ένα σημείο πάνω στην ευθεία, αυτή πάλι ευθεία θα είναι και θα συνεχίζει από την άλλη πλευρά...".
Η μαθήτρια αυτή, όπως και ο μαθητής από το άλλο τμήμα, εστίασε στην ποσοτική διάσταση του "ημί-", ενώ στη συγκεκριμένη περίπτωση, εν μέσω του ... απείρου, χρησιμοποιούμε το "ημι-" με την ποιοτική του διάσταση.
Πώς να τα εξηγήσει κανείς όλα αυτά σε τόσο μικρά παιδιά;
Η δική μου απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα είναι η εξής:
Εξηγεί κάποιος τα δύσκολα στα μικρά, ακούγοντας προσεκτικά τι λένε τα ίδια τα παιδιά!




Άλλωστε, ακούγοντάς τα είναι βέβαιο ότι μαθαίνει πολλά! 
Ειδικά, όταν είναι παιδιά που αγαπούν τα Μαθηματικά! !:)

Έτσι βρίσκω τον πίνακα, όταν μπαίνω για μάθημα... <3
Όμως, να μην ξεχνάμε ότι όλα τα μικρά παιδιά αγαπούν τα Μαθηματικά, επειδή είναι ... μαγικά!
----------------------------------------------------------
Μια ερώτηση  μαθήτριας  που διατυπώθηκε στο σημερινό μάθημα, μεταξύ πολλών άλλων, ήταν και αυτή: "Κυρία, πώς θα ξέραμε ότι ζούμε σε τρεις διαστάσεις, αν δεν το ξέραμε ότι ζούμε σε τρεις διαστάσεις;". 
Δεν μπόρεσα να της απαντήσω...
Μπορώ όμως με βεβαιότητα να πω ότι, ως εκπαιδευτικός, καθημερινά ζω μια φανταστική περιπέτεια σε ... άπειρες διαστάσεις! :)

Τετάρτη, 9 Δεκεμβρίου 2015

"ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΟΝΑΔΑ" ΜΕ ΜΠΙΣΚΟΤΑ ΟΛΙΚΗΣ...

Μακάρι να είχα χρόνο να τα έγραφα όλα. Κάθε μέρα συμβαίνουν τόσα πολλά.  Κάθε ώρα, σε κάθε  τάξη. Οι μικροί μαθητές μου παρέχουν ένα πολύ ενδιαφέρον πεδίο έρευνας! Επειδή κατά τη διάρκεια του μαθήματος συμμετέχουν με ενθουσιασμό σε όλα τα δρώμενα, είναι πιο εύκολο να διερευνώ   τα διάφορα ερωτήματα που θέτω σχετικά με το επίπεδο κατανόησης μιας έννοιας,  με τη γνώση μιας θεωρίας, με κάποια  δεξιότητα ή και άλλα τέτοια, που ελέγχουμε εμείς οι δάσκαλοι, όταν κατά καιρούς αξιολογούμε την πορεία της διδασκαλίας μας.
Σήμερα, ολοκληρώνοντας σιγά σιγά το μεγάλο κεφάλαιο με τα κλάσματα, θέλησα να ελέγξω σε τι κατάσταση βρισκόμαστε. Στο προηγουμένο μάθημα είχα διδάξει τη διαίρεση και τα σύνθετα κλάσματα, εστιάζοντας στη διαδικασία της αντιστροφής και επιχειρώντας μια μάλλον δύσκολη για τους μικρούς μαθητές εννοιολογική προσέγγιση, αλλά πήγε καλά, πολύ καλά, αν κρίνω από τα χέρια, που φτεροκοπούσαν στον αέρα, για να τους δώσω το λόγο να απαντήσουν. Και απαντούσαν σωστά!

Κι έτσι σήμερα, θέλοντας να επιβραβεύσω τους μικρούς μαθητές για τις καλές τους επιδόσεις, ξεκίνησα το μάθημα, γράφοντας στον πίνακα ένα πολύ ... νόστιμο πρόβλημα. 
                 
 "Ένα εργοστάσιο μπισκότων χρησιμοποιεί για κάθε παρτίδα μπισκότων Cookies  το 1/6 του βαρελιού πλιγούρι βρώμης. Αν χθες χρησιμοποίησε 2/3 του βαρελιού, πόσες παρτίδες  παρήγαγε;"

Αφού περίμενα ένα δυο  λεπτά να το επεξεργαστούν, άρχισα να περιδιαβαίνω την τάξη, για να δω τις λύσεις τους. Στο μεταξύ κάποιοι άρχισαν πάλι να μαστιγώνουν με τα χέρια τον αέρα, φωνάζοντας "Κυρία, το έλυσα! Κυρίαα, το έλυσα, ελάτε να το δείτε! Ελάτε!". Πόσο επίμονα είναι τα μικρά. Δεν αρκεί ποτέ ένα νεύμα μου, μια κίνηση του κεφαλιού, για να σταματήσουν. Ή πρέπει να τρέξω όταν με φωνάζουν ή, αν δεν τρέξω, πρέπει να σταματήσω ο,τιδήποτε κάνω και να τους απευθύνω το λόγο σε προσωπικό επίπεδο. Αλλιώς δεν καταλαβαίνουν! Και δεν μπορούν να περιμένουν... Η αδημονία μοιάζει να είναι αντιστρόφως ανάλογη της ηλικίας! Όμως, παρόλα τα καλέσματα και τα υψωμένα δαχτυλάκια, έμεινα στη θέση μου βλέποντας τη λύση της μαθήτριας. Δεν μου περνούσε από το μυαλό, πως, δίνοντας το πρόβλημα με τα μπισκότα ολικής, θα δω αυτό!

 Η απάντηση μου θύμισε το γνωστό πρόβλημα του καπετάνιου:  «Πάνω σε ένα πλοίο υπάρχουν 26 πρόβατα και 10 κατσίκες. Ποια είναι η ηλικία του καπετάνιου;», που είχε δοθεί μερικές δεκαετίες πριν σε μια έρευνα. Από τους 97 μαθητές που συμμετείχαν στην έρευνα εκείνη, οι 76 είχαν απαντήσει ότι η ηλικία του καπετάνιου είναι: 26+10=36. Σύμφωνα με τους ερευνητές, για τους μαθητές καμιά απολύτως σημασία δεν είχε το τι δήλωναν οι αριθμοί 26 και 10. Το ζητούμενο του προβλήματος, δηλαδή η ηλικία του καπετάνιου, έπρεπε να απαντηθεί ... με κάθε θυσία! 
Εν πάση περιπτώσει, το εργοστάσιο των μπισκότων που έδωσα στους μαθητές μου είναι ένα κανονικό πρόβλημα, ενώ εκείνο του καπετάνιου αντιβαίνει τη λογική. Από την άλλη, τα κλάσματα 1/6 και 2/3 που εμφανίζονται στο πρόβλημα με τα μπισκότα, αναφέρονται και τα δύο σε ποσότητα βρώμης, άρα -κάτω από άλλες συνθήκες ή μάλλον κάτω από άλλα δεδομένα- θα μπορούσαν να προστεθούν και να μας δώσουν ποσότητα βρώμης. Όμως, όπως και να έχει, όσο και να προσπαθώ να δικαιολογήσω τη μαθήτρια, η λύση της  έχει κοινά στοιχεία με εκείνη των μαθητών της έρευνας. 
Προσθέτουμε όλους τους αριθμούς που υπάρχουν στην εκφώνηση!!! Και δεν ήταν η μόνη που το έκανε. Ήταν κι άλλοι δυο τρεις μαθητές που πρόσθεσαν τα κλάσματα.
Υπήρχαν βέβαια και αυτοί που το έλυσαν σωστά, αλλά οι περισσότεροι, από αυτούς που τα κατάφεραν, έκαναν -είτε κρυφά είτε φανερά- αναγωγή στη μονάδα.   
Και βέβαια, για μια ακόμη φορά, φάνηκε πόσο δύσκολο είναι να διατυπώσουν τη σκέψη τους!
Απαθανάτισα όλες τις απαντήσεις των παιδιών. [Δεν θα μπορούσα να παραλείψω ούτε μια, γιατί θα είχαμε γκρίνιες και παράπονα. "Το δικό μου δεν το είδατε!!", "Στο δικό μου δεν κάνατε τικ!!"...]. Ύστερα για να τους βοηθήσω να σκεφτούν με τα καινούρια εργαλεία, αυτά που είχαν μάθει στο προηγούμενο μάθημα, δηλαδή τη διαίρεση των κλασμάτων και τα σύνθετα κλάσματα, ζήτησα να λύσουν το ίδιο πρόβλημα με άλλα νούμερα:
"Ένα εργοστάσιο μπισκότων χρησιμοποιεί για κάθε παρτίδα μπισκότων Cookies 5 βαρέλια πλιγούρι βρώμης. Αν χθες χρησιμοποίησε 60 βαρέλια, πόσες παρτίδες  παρήγαγε;"

Ευτυχώς, έκαναν όλοι τους διαίρεση! Ευτυχώς! Κανείς δεν απάντησε: 60+5=65 παρτίδες! 
Μερικοί μάλιστα το έπιασαν αμέσως το νόημα και έκαναν διαίρεση κλασμάτων, οπότε άρχισαν πάλι τα "Κυρία, ελάτε να δείτε την καινούρια μου λύση!", άρχισα κι εγώ να τρέχω πάνω κάτω.Αφού είδα μερικά τετράδια με ολόσωστη (καινούρια) λύση, κατέγραψα στον πίνακα όλες τις κατηγορίες λύσεων που είχαν στο μεταξύ δοθεί, για να τις συζητήσουμε και να καταλήξουμε, από κοινού, σε κάποια συμπεράσματα. Τι είναι σωστό, τι είναι λάθος, τι μας συμφέρει να κάνουμε και διάφορα άλλα. Συνήθως καταλήγουμε κάπου.
Σήμερα όμως κάποιοι, φανατικοί της "αναγωγής στη μονάδα", αρνούνταν ακόμη και να συζητήσουν τη χρήση διαίρεσης κλασμάτων, πολύ δε περισσότερο των σύνθετων. 
 Όχι πως δεν συμβαίνει  να αρνούνται συχνά την αλλαγή διαδικασίας ή εργαλείου στη λύση μιας άσκησης, αλλά σήμερα ήταν πιο έντονη από ότι συνήθως η εμμονή τους  στην παλιά, κατακτημένη και ασφαλή γνώση, εν προκειμένω, στην αναγωγή στη μονάδα, που -για να είμαι ειλικρινής- δεν φανταζόμουν πως θα κυριαρχήσει, όταν επέλεξα να κάνω το πρόβλημα με τα μπισκότα ολικής... 

----------------------------------------------------------------------------------------------
Η αλήθεια είναι πως πολλοί μαθητές εκφράζουν σθεναρά την άρνησή τους σε κάθε ... καινοτομία και αλλαγή."Άλλα μας μαθαίνετε στο Γυμνάσιο κι άλλα στο Λύκειο!",  μου είχε πει θυμωμένη μια μαθήτρια της Α' Λυκείου, πριν τέσσερα χρόνια, όταν επιχείρησα να διδάξω την απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού σύμφωνα με την ύλη της τάξης αυτής. Είχε θυμώσει, επειδή νόμιζε ότι τους εμπαίζουμε! Δεν αντιλαμβάνονται τα παιδιά τη "σπειροειδή διδασκαλία" και τη σταδιακή κατάκτηση της γνώσης. Όταν κατανοήσουν μια έννοια ή μια διαδικασία δεν την ... αλλάζουν με τίποτα! Όσα έχουν μάθει στο Δημοτικό οι μικροί μου μαθητές τα θεωρούν ευαγγέλια και τα φυλούν σαν τα μάτια τους. Χρειάζεται πολλή προσπάθεια και μαεστρία για να επέλθει η αλλαγή στη στάση τους, για να αποδεχτούν κάποιες καινούριες έννοιες, για να μάθουν να χρησιμοποιούν τα πιο ισχυρά νοητικά εργαλεία, που τους παρέχουν τα Μαθηματικά καθώς μεγαλώνουν. 
Από το σημερινό μάθημα και από το υλικό που συγκέντρωσα και με προσοχή ξαναμελέτησα, προκύπτουν πολλά ενδιαφέροντα συμπεράσματα, που θα μπορούσαν  στα επόμενα μαθήματα να εμπλουτιστούν, για να αποτελέσουν θέμα εργασίας για τη Μαθηματική Εβδομάδα, το Μάρτιο στη Θεσσαλονίκη, καλέ μου φίλε, Μάκη Ε.
Το ενδιαφέρον δε είναι πως φέτος διδάσκω και στις τρεις τάξεις του Γυμνασίου, αλλά και σε ένα τμήμα της Α' Λυκείου, οπότε οι παρατηρήσεις μου γίνονται ταυτόχρονα σε δύο επίπεδα. Γι' αυτό, μάλλον, θα δυσκολευτώ να επιλέξω το ανοιξιάτικο θέμα μου! Δεν θα ξέρω τι να πρωτοδιαλέξω με τόσα διαφορετικά και ενδιαφέροντα, που ξεδιπλώνονται στις τάξεις μου :)
Μακάρι να είχα χρόνο, να τα γράφω όλα...


 

Σάββατο, 5 Δεκεμβρίου 2015

ΑΞΙΟΛΟΓΩΝΤΑΣ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΦΙΛ ΤΩΝ μικρών ΜΑΘΗΤΩΝ.

ή ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΤΟΥ ΚΡΥΜΜΕΝΟΥ ΘΗΣΑΥΡΟΥ...  
  Η αντίστροφη μέτρηση για τις διακοπές των Χριστουγέννων έχει αρχίσει. Οι σχολικές τάξεις, στο δικό μου σχολείο, μέσα σε μια στιγμή θαρρείς στολίστηκαν με δένδρα, με αστέρια, με γιρλάντες, με μικρούς Χριστούς και με Αγιοβασίληδες που κουβάλησαν οι μαθητές από τα σπίτια τους, για να δημιουργήσουν το γιορταστικό κλίμα και εκείνη την ατμόσφαιρα της γλυκιάς προσμονής που τόσο μεγάλη  ανάγκη έχουμε όλοι μας. 
  Χθες, Παρασκευή 4 Δεκεμβρίου, έκανα την υπηρεσία μου, δεύτερο διάλειμμα, στο υπόγειο (εκεί στεγάζεται η Α' Γυμνασίου...τα σχόλια τα αφήνω στον αναγνώστη) και πηγαίνοντας από αίθουσα σε αίθουσα, για να βγάλω τους μικρούς ατίθασους μαθητές στον καθαρό αέρα εξεπλάγην βλέποντας τα χριστουγεννιάτικα δεντράκια έτοιμα, στολισμένα και στερεωμένα πάνω σε  θρανία σε μια γωνιά της αίθουσας! Σε όλες τις αίθουσες το ίδιο πάνω κάτω μοντέλο!  Την προηγούμενη μέρα που είχα μάθημα στην Α' δεν υπήρχε ίχνος στολιδιού στις αίθουσες. Υπέβοσκε βέβαια η επιθυμία για στολισμό, στο τμήμα που είμαι υπεύθυνη έγιναν κάποιες προτάσεις, με ρώτησε μια μαθήτρια αν έχω κανένα περισσευούμενο δένδρο να τους φέρω, αλλά δεν έδωσα πολλά περιθώρια για συζήτηση, πρότεινα μόνο να στολίσουμε με τις όμορφες κάρτες που είχαν οι ίδιοι φτιάξει και ξεκίνησα το μάθημα κανονικά. Και σήμερα, ιδού, χριστουγεννιάτικα δέντρα παντού! "Πότε στολίσατε;", ρώτησα δυο τρεις μαθήτριες που ήταν ακόμη στην αίθουσα του τμήματος που είμαι υπεύθυνη. "Στο προηγούμενο διάλειμμα στολίσαμε, κυρία!", είπαν με μια φωνή μες στη χαρά τα κορίτσια, ανάμεσά τους και η μαθήτρια που με ρώτησε αν έχω κανένα περισσευούμενο δένδρο... Ένιωσα λίγο άβολα που δεν είχα συμβάλει, αλλά όπως φάνηκε μια χαρά τα κατάφεραν και μόνα τους! :) Κι έτσι θα κάνουμε το μάθημα σε ένα κλίμα στολισμένο και γιορταστικό μέχρι να αρχίσουν οι διακοπές των Χριστουγέννων. Και μέσα σε αυτό το κλίμα θα δώσουμε τους βαθμούς του πρώτου τριμήνου, που έληξε πριν από λίγες μέρες.
Εδώ ακριβώς, στο σημείο αυτό, είναι που ξεκινά ο μεγάλος προβληματισμός. Πώς να χωρέσω σε έναν διψήφιο βαθμό, τη χαρά και τον ενθουσιασμό των μικρών μου μαθητών;! Ποιος είναι ο αλγόριθμος που θα μου δώσει με ακρίβεια και δικαιοσύνη αυτό που αναλογεί σε κάθε μαθητή; Σχεδόν πάντα δίνω ιδιαίτερη βαρύτητα στη διαμορφωτική (σχετική και όχι απόλυτη) αξιολόγηση και δουλεύει καλά στα μεγάλα παιδιά, αλλά με αυτά τα ενθουσιασμένα και ενθουσιώδη μικρά τι μπορεί να δουλέψει καλά; Και ποιο είναι το πραγματικό ζητούμενο στην πρώτη Γυμνασίου; Να μάθει το παιδί τις πράξεις με τα κλάσματα ή να μάθει να μη φοβάται τα κλάσματα και τα μαθηματικά εν γένει; Να μάθει να εκτελεί άψογα τους αλγόριθμους, ακολουθώντας προκαθορισμένα βήματα ή να μάθει (επαρκώς) τους αλγόριθμους, κρατώντας παράλληλα τη φαντασία του δημιουργική και τους  ορίζοντές του ανοιχτούς; 
Είναι οι βαθμοί των τεστ που με τον μέσο όρο τους χαρακτηρίζουν το επίπεδο και τις γνώσεις του μαθητή;  Και είναι μόνο οι τυπικές γνώσεις, οι μετρήσιμες, που αξιολογεί το εκπαιδευτικό μας σύστημα; Τόσα πολλά, παλιά και χιλιοειπωμένα, ερωτήματα με απασχολούν και έχω πέσει σε σκέψεις, που ίσως φαίνονται υπερβολικές, αλλά  αν δώσω ένα συγκεκριμένο παράδειγμα -από τα πολλά που θα μπορούσα να δώσω από τη φετινή μου εμπειρία- θα γίνει αμέσως αντιληπτό τι μου εγείρει αυτόν τον προβληματισμό.  
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο μαθήτριες, την Χ και την Υ και θέλουμε να τις "διατάξουμε", όπως απαιτείται στο πλαίσιο της σχετικής αξιολόγησης.
Στα τρία τεστ και στο ένα ωριαίο οι βαθμοί τους είναι αντίστοιχα:
Χ: 20,  20,  20,  20 και  Υ:  16,  14,  11,5,  16,5
Πώς βαθμολογούμε στο τρίμηνο;
Η Χ με μέσο όρο 20, θα πάρει 20, η Υ με μέσο όρο 14,5, επειδή συμμετέχει στο μάθημα, φέρνει ασκήσεις και έχει ωραίο τετράδιο θα πάρει ας πούμε, 16...
Οπότε κλείνει, με μαθηματικούς υπολογισμούς η Υ.Β.  ("Υπόθεση Βαθμολόγηση") και γίνεται η διάταξη, η Χ έχει καλύτερη επίδοση από την Υ. 
Η Χ γνωρίζει περισσότερα από την Υ. 
Η Χ θα πάρει μεγαλύτερο βαθμό από την Υ.
Τέλος καλό, όλα καλά... Και έχω τη συνείδησή μου ήσυχη!
Αλλά, στην πραγματικότητα, δεν λύνεται τόσο απλά. Η αξιολόγηση δεν προκύπτει μόνο από τα  τεστ και τη συμμετοχή στο μάθημα. Γίνεται, από την πλευρά μου, ενδελεχής διερεύνηση των δυνατοτήτων των μαθητών, για την αναζήτηση των κρυμμένων τους πτυχών. 
Πώς αλλιώς να φτιάξεις το μαθηματικό προφίλ του μαθητή αν δεν κάνεις... ανασκαφές σε βάθος; :)
Για αυτό κάνουμε εργασίες, από τις οποίες κάποιες γίνονται στην τάξη και κάποιες στο σπίτι. 
Αυτές που γίνονται στην τάξη αναδεικνύουν συχνά στοιχεία από το "μαθηματικό προφίλ" του μαθητή. 
Σε τέτοιες δραστηριότητες συμμετείχαν και οι μαθήτριες Χ και Υ, των οποίων μια εργασία είναι αυτή.


Ποια από τις δύο εργασίες είναι πληρέστερη; Η πρώτη. Από ποια εργασία φαίνεται ότι η μαθήτρια έχει αφομοιώσει - με τη δική της οπτική - τη λειτουργία του κλάσματος; Από την πρώτη.
Τι μας δείχνει η δεύτερη εργασία; Ότι το συγκεκριμένο παιδί δεν ξέρει τι είναι κλάσμα ή ότι το ξέρει στο περίπου, αλλά δεν τολμά να το διατυπώσει. Έλλειψη θάρρους; Έλλειψη πρωτοβουλίας;  Έλλειψη κατανόησης της έννοιας;
Δεν θα δώσω περισσότερα στοιχεία για το τι προέκυψε από την επανάληψη της εργασίας στο σπίτι.
Θα διευκρινίσω μόνο πως η πρώτη, η πληρέστερη, εργασία είναι της μαθήτριας Υ, που σύμφωνα με την τυπική διαδικασία (μέσος όρος τεστ κλπ) θα έπρεπε να πάρει, ας πούμε 16, ενώ η δεύτερη εργασία, όπου η ερώτηση "τι είναι κλάσμα" μένει αναπάντητη, είναι της μαθήτριας Χ, που από την επίδοση στα τεστ, λογικά, θα πρέπει να βαθμολογηθεί με 20. Και αυτό το 20 θα συμβάλει στη διαμόρφωση και τη διατήρηση του "μαθηματικού προφίλ" της. Όπως και το 16 όμως θα διαμορφώσει το προφίλ (και την ψυχολογία) της μαθήτριας Υ. Λάθος κάνω;
Τελικά τι βαθμολογούμε και πώς αξιολογούμε τους μαθητές μας;

Στα μεγάλα παιδιά τα πράγματα είναι ευκολότερα. Οι (όχι πάντα εύστοχες) παρεμβάσεις μας, οι αυτοεκπληρούμενες προφητείες, οι προσδοκίες των μαθητών και οι δικές μας, χρόνο με το χρόνο αποδίδουν και σταδιακά διαμορφώνουν μια κατάσταση, που η διάγνωσή της γίνεται άμεσα και σχεδόν αντικειμενικά. 
Με τα μικρά όμως είναι αλλιώς. Στα μικρά το μαθηματικό προφίλ σμιλεύεται ακόμη, οπότε όλα είναι πιθανά. Μια στιγμιαία σωστή παρέμβαση, μια ματιά, μια ενθάρρυνση θα μπορούσε να ανοίξει στο παιδί νέους ορίζοντες. Όπως και μια λάθος εκτίμηση, μια κακή αξιολόγηση, ένα κρυφό παράπονο, θα μπορούσε να καταστρέψει οριστικά την αγάπη για τα Μαθηματικά, που -λογικά- υπάρχει έμφυτη σε κάθε παιδί μέχρι να την καταστρέψει το περιβάλλον του ή το εκπαιδευτικό σύστημα. 
Κι επειδή, για πρώτη φορά καλούμαι να αξιολογήσω τόσο μικρά παιδιά, βαραίνει πάνω μου η ευθύνη της αξιολόγησης και προβληματίζομαι.
ΚΑΡΤΕΣ ΠΟΥ ΦΙΛΟΤΕΧΝΗΣΑΝ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΟΥ (στο σπίτι τους...)

Ταυτόχρονα όμως νιώθω ότι μπορώ να παρεμβαίνω στο εύπλαστο (για λίγο ακόμη) μαθηματικό προφίλ, διερευνώντας τις αδυναμίες και τις δυνατότητες,  των μικρών μου μαθητών και είναι σαν να παίζω το ....παιχνίδι των κρυμμένων θησαυρών!
Τι κρύβουν στο μυαλό και στην καρδιά τους τα μικρά παιδιά;
Μήπως διάθεση για μάθηση και για παιχνίδι, μήπως ανάγκη για όμορφα και διασκεδαστικά Μαθηματικά; :)


---------------------------------------------------------------------------
Σε ποιο σημείο της μαθητικής πορείας χάνεται από τα περισσότερα παιδιά η διάθεση για μάθηση και τι οδηγεί στην αλλαγή στάσης και συμπεριφοράς, είναι κάτι που θα πρέπει να μας προβληματίσει γενικά!
  

Σάββατο, 28 Νοεμβρίου 2015

Η ΑΠΟΤΥΧΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ


    Επειδή τα Μαθηματικά δεν είναι μόνο "Μαθηματικά"!
   Τις περισσότερες φορές, ειδικά όταν το πρόγραμμα της ημέρας είναι πολύ φορτωμένο, σχεδιάζω τα μαθήματα μέχρι την τελευταία λεπτομέρεια, για να είμαι σίγουρη πως θα καταφέρω να ανταποκριθώ στις απαιτήσεις της δουλειάς μου, παρόλες τις αντίξοες συνθήκες που πιθανόν θα αντιμετωπίσω.  Και δεν είναι λίγες. Όλο και κάτι θα προκύψει. Φέτος ειδικά με δύο σχολεία, (τρεις γυμνασιακές τάξεις και μια λυκειακή), τα μεγάλα και ετερογενή τμήματα, τις αδιάφορες ή αποπνικτικές αίθουσες, αρκετούς μαθητές με ιδιαιτερότητες, έναν δύο που αδυνατούν ή αρνούνται να εγκλιματιστούν και συμπεριφέρονται με τρόπο που διαταράσσει το κλίμα εμπιστοσύνης και τις καλές συνθήκες μάθησης των υπολοίπων, τη σθεναρή αντίδραση αρκετών παιδιών στη νέα γνώση, την αμφισβήτηση της αναγκαιότητας εκμάθησης μαθηματικών εννοιών και διαδικασιών, όλο και κάτι θα προκύψει. 
Μικρές ή μεγάλες δυσκολίες, από αυτές που αντιμετωπίζουν οι εκπαιδευτικοί στη δουλειά τους και που γενικά αποφεύγουν να τις συζητούν ανοιχτά και δημόσια, για διάφορους λόγους, μεταξύ των οποίων τη συνήθη απάντηση: η αποτυχία της διδασκαλίας οφείλεται στον εκπαιδευτικό. Αυτό δεν μας λένε τόσα χρόνια; Και η αντίληψη πως για την κατάσταση του σχολείου φταίνε αποκλειστικά και μόνο οι εκπαιδευτικοί είναι δυστυχώς η κυρίαρχη αντίληψη και την ακούμε από πολλούς και διάφορους, σχετικούς και άσχετους. 
   Εν πάση περιπτώσει, το θέμα μου δεν είναι αυτό, αλλά δεν μπορώ να μην το αναφέρω, με την ελπίδα πως κάποτε θα αλλάξει, επειδή όσο η κοινή γνώμη απαξιώνει το Δημόσιο σχολείο και τους εκπαιδευτικούς του, τόσο δυσχεραίνει τη δουλειά μας, που από τη φύση της  κάθε άλλο παρά εύκολη είναι, όταν θέλουμε να την κάνουμε σωστά. 
Για το λόγο αυτό, επειδή δηλαδή η δουλειά μου είναι δύσκολη, μπαίνω στην τάξη, έχοντας ετοιμάσει με κάθε λεπτομέρεια το μάθημά μου, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι λειτουργώ ως απλός διεκπαιρεωτής μιας διδακτικής διαδικασίας, που προβλέπεται και προκαθορίζεται από το κεντρικά οργανωμένο εκπαιδευτικό μας σύστημα, μέσα από τις οδηγίες διδασκαλίας, τα ΑΠΣ και τα άλλα εργαλεία που αποβλέπουν στην ενιαία και καθολική μόρφωση των μαθητών μας. Ενιαία και αυτόνομη διδακτική διαδικασία δεν μπορεί να υπάρξει, επειδή η τάξη είναι ένα δυναμικό σύστημα που ακολουθεί τη δική της πορεία και συχνά οι αναδυόμενες ιδιότητες (ή η απουσία τους :) ) επιβάλλουν την αλλαγή πορείας και την ανατροπή της προσχεδιασμένης διαδικασίας!
Κάτι τέτοιες στιγμές ο δάσκαλος αφουγκράζεται, εκτιμά, ζυγίζει και στιγμιαία αποφασίζει. 
Μια τέτοια κατάσταση βίωσα προχθές στη Β' Γυμνασίου, όπου μπήκα με το σχέδιο μαθήματος υπό μάλης, εμβαδά σχημάτων κάνουμε - τι μας έχει απομείνει; -, το εμβαδόν του τραπεζίου, ασκήσεις x, y, z, δυο ασκήσεις κατανόησης, μια αποδεικτική, μια συνδυαστική, ένα πρόβλημα, ίσα που προλαβαίνουμε...Χτυπάει το κουδούνι!  Τέλεια! Μόνο που στο προχθεσινό μάθημα τα πράγματα δεν έγιναν ακριβώς έτσι. Για να πούμε την αλήθεια, δεν έγιναν καθόλου έτσι. 
Ξεκίνησα, ενημερώνοντας την τάξη για το πλάνο της ημέρας και μετά ρώτησα αν θυμάται κανείς τι ονομάζουμε τραπέζιο. Εξεπλάγην από τα πολλά χέρια που σηκώθηκαν. Περισσότερο όμως εξεπλάγην από τις απαντήσεις που άκουσα. Ήταν όλες πολύ ενδιαφέρουσες. Ιδιαίτερα αυτή του Κ., ο οποίος λέγοντας "Τραπέζιο είναι ένα τρίγωνο με δύο βάσεις"  κουνούσε τα χέρια του ζωγραφίζοντας στον αέρα το σχήμα που περιέγραφε με λόγια. 
Στιγμιαία μπροστά μου ανοίχτηκαν δύο επιλογές. Επιλογή πρώτη. Υπαγορεύω στους μαθητές τον ορισμό του τραπεζίου και ακολουθώ κατά γράμμα το σχέδιο μαθήματός μου. Επιλογή δεύτερη. Εγκαταλείπω το σχέδιο μαθήματος και φτιάχνω εδώ και τώρα ένα άλλο σχέδιο, που δεν προβλέπεται από τις οδηγίες διδασκαλίας των μαθηματικών του Γυμνασίου, από όσο γνωρίζω τουλάχιστον.
Και φυσικά όποιος διαβάζει τις αναρτήσεις μου, έχει ήδη καταλάβει τι επέλεξα τελικά. :)
Ανατροπή!
"Κλείστε τα βιβλία των Μαθηματικών, ανοίξτε τετράδια... "Ορισμός έννοιας", φύγαμε..."
Για να ορίσουμε μια έννοια, λέμε πρώτα το γένος της, τι είναι αυτό;; Παραδείγματα...
Μετά λέμε την ειδοποιό διαφορά της...
Μετά ο πίνακας γεμίζει, καλέ μου φίλε Μάκη, με λέξεις με προτάσεις και με σχήματα, που όλα μαζί βήμα βήμα και σκαλί σκαλί, χτίζουν τη γνώση των παιδιών και ειδικά των μικρών παιδιών του Γυμνασίου, που το μυαλό τους "αντέχει" (δηλαδή δέχεται) ακόμη την ολιστική προσέγγιση, επειδή δεν έχει υποστεί τις (όχι και τόσο θετικές) συνέπειες που επιφέρει ο κατεκερματισμός της γνώσης και η μονομερής προσέγγισή της.


   Δεν προχωρήσαμε εκείνη τη μέρα στο μάθημα, τουλάχιστον όχι σύμφωνα με το πλάνο που είχα από πριν ετοιμάσει. Οι ανάγκες της τάξης επέβαλαν αλλαγή πορείας. Αν ήταν η διδασκαλία επιτυχής, δεν μπορώ να απαντήσω τώρα, επειδή δεν είναι ορθό να κρίνουμε άμεσα μια διδασκαλία, αν δεν δούμε τα μεσοπρόθεσμα, αλλά και τα μακροπρόθεσμα, αποτελέσματά της. Οπότε, θα δείξει. 
Στο λίγο χρόνο που προβλέπει για κάθε μάθημα το ωρολόγιο πρόγραμμά μας το μόνο άμεσο κριτήριο για την επιτυχία ή την αποτυχία της διδασκαλίας, είναι η έκφραση των μαθητών όταν βγαίνουν από την τάξη. Για αυτό όταν χτυπάει το κουδούνι, βγαίνω πάντα τελευταία. Περιμένω να τους δω έναν έναν, να διαβάσω το βλέμμα τους. Και αν στα πρόσωπα λάμπουν χαμόγελα, κι αν τα βλέμματα αναζητούν το βλέμμα μου, για να δηλώσουν την "καλή επικοινωνία", τότε τα πράγματα πήγαν καλά. 

Μερικές φορές μάλιστα πηγαίνουν τόσο καλά, που στο επόμενο μάθημα, καθώς μπαίνω στην τάξη, οι μαθητές σχολιάζουν (προφορικά ή γραπτά) τα "συναισθήματά" τους για τα Μαθηματικά!
Και αυτό με γεμίζει πάντα χαρά!
Κυρίως, επειδή τα παιδιά κατανοούν πως τα Μαθηματικά δεν είναι μόνο "Μαθηματικά"!