Τετάρτη, 4 Νοεμβρίου 2015

ΟΣΟ ΘΑ ΔΙΔΑΣΚΟΥΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΙΧΩΣ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΔΕΝ ΘΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΜΕ ΜΕΓΑΛΗ ΑΛΛΑΓΗ

   Φέτος στη Β' Γυμνασίου, διδάσκοντας τις εξισώσεις α' βαθμού είχα την ευκαιρία να παρουσιάσω στα παιδιά, και να συζητήσω διεξοδικά μαζί τους, το περιβόητο μοντέλο της ζυγαριάς! Πάντα έκανα αναφορά στη ζυγαριά, κατά τη διδασκαλία της πρωτοβάθμιας εξίσωσης  στην Α' Λυκείου, αλλά στο Λύκειο γίνεται  μια απλή αναφορά, ενώ στη Β' Γυμνασίου τα πράγματα είναι διαφορετικά. Το γυμνασιακό σχολικό εγχειρίδιο υποστηρίζει αυτήν την προσέγγιση και δίνει τη δυνατότητα για πολλή συζήτηση μέσα από δραστηριότητες και προβλήματα. Ήμουν πολύ χαρούμενη που θα είχα την ευκαιρία να αξιοποιήσω τη ζυγαριά για να μοντελοποιήσω την εξίσωση και να δώσω ειδικό βάρος στα αλγεβρικά σύμβολα και στις τυπικές διαδικασίες. Επέλεξα να κάνω το μάθημα με ερωταποκρίσεις, για να δω πώς σκέφτονται και πού θα φτάσει η συζήτηση. Στη διάρκεια του μαθήματος όμως τα πράγματα δεν εξελίχτηκαν και τόσο ειδυλλιακά, τουλάχιστον όχι όσο τα είχα εγώ στο μυαλό μου! Όταν φτάσαμε στη διαδικασία της επίλυσης της πρωτοβάθμιας εξίσωσης και - χρησιμοποιώντας πάντα το ισοδύναμο της ζυγαριάς - άρχισα να προσθαφαιρώ βάρη στους δίσκους και κατά συνέπεια όρους στα δύο μέλη της εξίσωσης, συζητώντας τη διαδικασία με την τάξη, δυο τρεις μαθητές αντέδρασαν ορμητικά και γέμισε η αίθουσα βροντερές αγορίστικες φωνές. "Δεν γίνεται έτσι κυρία!". "Δεν αφαιρείτε και από τα δύο μέλη το 5, κυρία! Το μεταφέρετε από την άλλη και του αλλάζετε πρόσημο!". "Αυτό που κάνετε είναι λάθος, κυρία...".
Οι έντονες - και εν πολλοίς αγενείς- αντιδράσεις έσπειραν την καχυποψία στους υπόλοιπους μαθητές που μέχρι εκείνη την ώρα ήταν συνεργάσιμοι και δεκτικοί. Μου πήρε ώρα να κατευνάσω τα πνεύματα. Οι νεαροί, που γνώριζαν ήδη (από άλλη πηγή) τα αλγοριθμικά βήματα επίλυσης της εξίσωσης,  αρνούνταν να παρακολουθήσουν το μάθημα. Επέμενα να τους εξηγώ τη λογική πίσω από τις μηχανικές κινήσεις που έλεγαν πως έπρεπε να κάνουμε για να λύσουμε την εξίσωση, αλλά αυτοί ήταν εντελώς αδιαπραγμάτευτοι. Η βεβαιότητά τους πως οι ίδιοι έχουν απόλυτο δίκαιο και πως εγώ -μάλλον- δεν έχω ιδέα από εξισώσεις δεν σήκωνε συζήτηση. Ευτυχώς είναι μόνο δυο τρεις στο τμήμα οι τόσο απόλυτα βέβαιοι για την ορθότητα των γνώσεών τους. Αν ήταν περισσότεροι, πιθανόν δεν θα είχα και λόγο ύπαρξης εκεί μέσα... :) 
Εν πάση περιπτώσει, εκείνη τη μέρα το μάθημα θεωρώ πως δεν ολοκληρώθηκε με επιτυχία και αρκετοί μαθητές φάνηκε πως δεν κατανόησαν επαρκώς το ρόλο του αγνώστου της εξίσωσης. Για το επόμενο μάθημα, θέλοντας να διορθώσω την κατάσταση, ετοίμασα Φύλλο Εργασίας: "Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές Παραστάσεις - Εξισώσεις". Φτου κι από την αρχή! Το μάθημα αυτή τη φορά εξελίχτηκε καλά. Ενστάσεις δεν υπήρξαν. Ούτε αμφισβητήσεις. Το Φύλλο συμπληρώθηκε από τους μαθητές ανά θρανίο και μετά οι δυάδες συνεργαζόμενες ανά δύο έλεγξαν τα αποτελέσματά τους, τα διόρθωσαν τα συζητήσαμε και ανανεώσαμε το ραντεβού για την επόμενη μέρα! Και συνεχίσαμε την επόμενη και τη μεθεπόμενη με ασκήσεις από το σχολικό  κι είχα την αίσθηση πως τα πράγματα πηγαίνουν καλά, μέχρι χθες που ζήτησα να λυθεί στην τάξη η άσκηση 8.
Και τότε όλοι σχεδόν οι μαθητές σήκωσαν τα χέρια ψηλά, όχι για να προτείνουν λύση. Σήκωσαν τα χέρια ψηλά από αδυναμία να κατανοήσουν. Παρέδωσαν τα όπλα, δηλαδή. "Τι να κάνουμε;". "Τι εννοεί;". "Πώς να το βρούμε το χ;". Χαμός!
"Να λύσουμε το καθένα χωριστά!", πρότεινε ένας μαθητής κι εγώ ζήτησα να εξηγήσει τι εννοεί.
"Να, να βρούμε πόσο είναι το Α και μετά να βρούμε πόσο είναι το Β", απάντησε. Ζήτησα κι άλλες εξηγήσεις, αλλά το παιδί δεν κατάφερε να υπερασπιστεί την πρότασή του και την απέρριψε από  μόνο του...
Όσο για τους νεαρούς "παντογνώστες", που μερικές μέρες πριν είχαν βάλει τις φωνές και διέκοψαν την παράδοση, [επειδή εγώ, λύνοντας την πρωτοβάθμια εξίσωση, δεν μετέφερα κατευθείαν τους γνωστούς όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζοντάς τους το πρόσημο, αλλά πρόσθεσα κι αφαίρεσα και στα δύο μέλη της εξίσωσης τον ίδιο αριθμό, για να διατηρήσω την ισορροπία της ζυγαριάς], αυτή τη φορά  άχνα δεν έβγαλαν. Οι "στεγνές" αλγοριθμικές διαδικασίες που γνώριζαν δεν επαρκούσαν για την άσκηση αυτή.

Πού βρίσκεται η δυσκολία στην άσκηση 8 και τι είναι αυτό που δεν κατανοούν τα παιδιά; 
Ακόμη και εκείνα τα παιδιά που έμαθαν  να λύνουν (τυπικά) την πρωτοβάθμια εξίσωση  σωστά...
Πιστεύω πως η δυσκολία πηγάζει από το ΑΝ της εκφώνησης... Η υπόθεση δεν ερμηνεύεται εύκολα από το μεγαλύτερο μέρος των μαθητών, ακόμη και στο Λυκείο. Ίσως επειδή η διαχείριση του "ΑΝ" προϋποθέτει, τρόπον τινά, κριτική σκέψη και η εκπαιδευτική μας κουλτούρα δεν στοχεύει σε αυτό το είδος σκέψης.
Στη συγκεκριμένη άσκηση, εκτός από την υπόθεση που δυσκολεύει τους μαθητές, μεγάλη δυσκολία παρουσιάζει και η "διττή" λειτουργία του " = ". Το " = " ως δήλωση και το  " = " ως προσταγή.   (Έχω γράψει για το θέμα εδώ.) Πόσοι μαθητές το κατανοούν αυτό; Θα μου πείτε Μαθηματικά κάνουμε, δεν κάνουμε Γλώσσα, ούτε Συντακτικό και Γραμματική. Κι εγώ θα σας απαντήσω πως όσο θα κάνουμε Μαθηματικά δίχως Γλώσσα και Γραμματική δεν θα επιφέρουμε μεγάλη αλλαγή...

=============================================================
Μεταξύ μας αναρρωτιέμαι αν θα πρέπει να τρέξω, για να "βγάλω" την ύλη ή αν θα πρέπει να βραδυπορήσω, για να εξηγήσω στους μικρούς μαθητές πώς να διαχειρίζονται τις υποθέσεις και τα ΑΝ ...
Τείνω στο δεύτερο, αλλά θα πρέπει να πείσω πρώτα τους ...μικρούς παντογνώστες της τάξης πως την τυπική διαδικασία, αυτή δηλαδή που έμαθαν, τη μαθαίνει (και τη διδάσκει) ο καθένας εύκολα, σε αντίθεση με  εκείνη τη βαθύτερη, την αληθινή, μαθηματική ... ουσία :)


10 σχόλια:

  1. Δε θα μπορούσα να συμφωνώ περισσότερο. Θα ήθελα να 'σουν δασκάλα μου και να με έκανες να αγαπήσω πολύ περισσότερο τα μαθηματικά. Μου λείπεις!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Κι εμένα μου έχεις λείψει Βαλιούσα!
      Ποτέ δεν είναι αργά να αγαπήσει κανείς τα μαθηματικά.
      Το έχεις ζήσει και το ξέρεις καλά. :)
      Πολλά φιλιά.

      Διαγραφή
  2. ΒΑΣΩ ΛΑΛΑΚΙΔΟΥ4 Νοεμβρίου 2015 - 8:20 μ.μ.

    Πόσο σε καταλαβαίνω σε αυτά που γράφεις... το ζω καθημερινά. (Μαθητές "παντογνώστες" υπάρχουν παντού και δυστυχώς γι' αυτούς δεν ανακαλύπτουν τη γνώση αλλά τους προσφέρεται κονσερβοποιημένη)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. 100% συμφωνώ σε αυτά που λες Κατερίνα. Επειδή τυχαίνει να κάνω και εγώ φέτος σε Β΄Γυμνασίου απέφυγα τελείως ασκησεις του τύπου Α=Β(σαν την 8). Οπως και όταν μου είπαν ότι πάει από την άλλη και αλλάζει πρόσημο απλώς τους είπα ότι λέμε το ίδιο πράγμα...Το πιο δύσκολο μου ήταν να τους πείσω να ΜΗΝ χρησιμοποιούν συνεπαγωγή(που είχαν διαδαχθεί στην Α΄Γυμνασιου καλώς ή κακώς) γιατι οι 7 στους 10 την χρησιμοποιούσαν λανθασμενα στη θέση του ¨=¨ και χρησιμοποιούσαν το ¨=¨ στη θέση της συνεπαγωγης...
    Keep walking...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Καλημέρα Δαμιανέ!
      Πιστεύεις πως χωρίς να κατανοήσουν τη "συντακτική δομή" της ισότητας και της συνεπαγωγής μπορούν να μάθουν να τα χρησιμοποιούν σωστά;
      Φέτος κάνω - για πρώτη φορά - και τις τρεις τάξεις του Γυμνασίου και ψάχνω να βρω τις πιο αποτελεσματικές πρακτικές. Με ενδιαφέρει η γνώμη σου και όλων όσων έχουν εμπειρία στην πράξη από Γυμνάσιο.

      Διαγραφή
  4. Κώστας Μαραπίδης6 Νοεμβρίου 2015 - 12:20 μ.μ.

    Στον προβληματισμό που αναφέρεις αν πρέπει να 'τρέξεις' την ύλη ή να εξηγήσεις την σημασία του ΑΝ, νομίζω πως η ζυγαριά γέρνει- να μην πω σπάζει- προς την δεύτερη μεριά,
    Συνέχισε την καλή δουλειά που κάνεις.
    Πολλά φιλιά & χαιρετισμους
    Κώστας

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Tελικά σήμερα κάποια σχολικά εγχειρίδια..είναι πολύ ενδιαφέροντα....καλή επιτυχία στη νέα σου πρόσπάθεια Κατερίνα!!!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Κατερίνα συμπληρώνω κάτι σχετικό με αυτό που ανέφερες...

    Σε ένα φυλλάδιο ασκήσεων που δίνω στην Α τάξη Γυμνασίου είχα την άσκηση:

    Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων
    Α=(6+5)^2 και 6^2+5^2. Τι παρατηρείτε;

    Πολλά παιδιά υπολόγισαν τις παραστάσεις χωριστά και με το "και" ανάμεσα τις πρόσθεσαν!
    Πόσο δίκιο έχεις για τη γλώσσα!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Κώστα, είναι πολύ ενδιαφέρον το παράδειγμα που αναφέρεις.
      Θα το συμπεριλάβω στην εργασία μου περί παρανοήσεων και εμποδίων στην εκμάθηση της Άλγεβρας!

      Διαγραφή