Σάββατο, 19 Δεκεμβρίου 2015

ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ...

ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ ΝΑ ΜΕΛΕΤΟΥΝ ΟΛΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΑ; 
 
Τα μαθηματικά όντα, σύμφωνα με τη θεωρία του κονστρουκτιβισμού, είναι προϊόντα επινόησης του κοινωνικού χαρακτήρα των ανθρώπων. Η πολιτισμική πίεση, η αλληλεπίδραση, η ώσμωση, η ανάγκη, ο ανταγωνισμός οδήγησαν -και συνεχίζουν να οδηγούν- στην κατασκευή μαθηματικών θεωριών και μαθηματικών κόσμων, που αφενός ελάχιστοι πλέον κατανοούν, αφετέρου πλείστοι απολαμβάνουν στην καθημερινή τους ζωή, χωρίς καν να γνωρίζουν ποιες μαθηματικές θεωρίες κρύβονται πίσω από τις διευκολύνσεις ή τις απολαύσεις που τους παρέχει η μαθηματική επιστήμη. Θα ήταν καλό να διδάσκονταν στα σχολεία κάποια κεφάλαια, σχετικά με τον κοινωνικό ρόλο, τη χρήση και τη λειτουργία των Μαθηματικών  μέσα στο χρόνο. Θα έδιναν άλλη αίγλη στο μάθημα, βοηθώντας ταυτόχρονα πολλούς από τους δεκαπεντάχρονους μαθητές - ειδικά αυτούς που θεωρούν ότι η Ιστορία αρχίζει από τη στιγμή που οι ίδιοι γεννήθηκαν - να υποψιαστούν το ρόλο τους και τη θέση τους στο ρου της ανθρωπότητας. Δυστυχώς όμως, τα Μαθηματικά στο ελληνικό σχολείο περιορίζονται σε ένα πυκνό τυπολόγιο, έναν εσωτερικό κώδικα, που μοιάζει να διέπεται από τους κανόνες μιας κλειστής και αυτόνομης κοινωνίας, η οποία δεν αλληλεπιδρά, δεν συνυπάρχει και δεν διασυνδέεται με καμία άλλη πτυχή του επιστητού. Όταν μάλιστα η διδασκαλία γίνεται εντελώς αυτοματοποιημένα, τότε τα διδασκόμενα Μαθηματικά όχι απλά δεν διασυνδέονται με καμία πτυχή του επιστητού, αλλά φαίνεται πως δεν εντάσσονται ούτε στο ευρύτερο μαθηματικό πλαίσιο στο οποίο ανήκουν. Η ταχύτητα, ο ρυθμός, οι πρακτικές και οι στόχοι του μαθήματος έχουν ως αποτέλεσμα την εκμάθηση τεχνικών και διαδικασιών, που ενώ θεωρητικά επαναλαμβάνονται, στην πράξη απομονώνονται και "εκμηχανίζονται".  Τα αίτια του φαινομένου αυτού είναι πολλά και η διαχρονικότητά τους καθιστά την υπέρβαση των εμποδίων που δημιουργούν σχεδόν ανυπέρβλητη.
Αυτήν την αίσθηση αποκομίζω διδάσκοντας την Άλγεβρα φέτος σε ένα τμήμα της Α' Λυκείου.
Άλγεβρα στην Α' Λυκείου διδάσκω πολλά χρόνια. Πάνω από δύο δεκαετίες στον φροντιστηριακό χώρο και μια δεκαετία - περίπου ανελλιπώς - στο Δημόσιο σχολείο. Είναι ένα μάθημα γοητευτικό, ένα μάθημα τεχνικό, ένα μάθημα δεξιοτήτων, το οποίο αποτελεί βασικό εργαλείο για όποιον   στις εισαγωγικές εξετάσεις έχει να δώσει το μάθημα των Μαθηματικών, αλλά - από την άλλη πλευρά - είναι ένα μάθημα για λίγους. Και είναι ένα μάθημα που αποτρέπει τους πολλούς από το να αγαπούν τα Μαθηματικά ή - να το πω αλλιώς - τους κάνει να αμφιβάλουν τα μάλα για τη χρησιμότητα των Μαθηματικών στην καθημερινή τους ζωή. Το "Άλλη μια μέρα πέρασε από τη ζωή μου, δίχως να χρησιμοποιήσω πουθενά το τριώνυμο!", είναι ένα χιουμοριστικό σύνθημα αντιμαθηματικού περιεχομένου, που κυκλοφορεί κατά καιρούς στο διαδίκτυο.
Για όλους τους παραπάνω λόγους, που με τα χρόνια αποκρυσταλλώθηκαν στο μυαλό μου, [και για έναν ακόμη που συντρέχει φέτος και αφορά το επίπεδο, τη σύνθεση και το ωρολόγιο πρόγραμμα του ενός -και μόνο- τμήματος που διδάσκω, για συμπλήρωση ωραρίου :( ], όταν μπαίνω στην Α' Λυκείου για να διδάξω Άλγεβρα, επιστρατεύω κάθε είδους πρακτικές, για να αποδώσω στο μάθημα, στο μέγιστο δυνατό βαθμό, τον ... αλληγορικό του χαρακτήρα! Μερικές φορές η προσπάθειά μου έχει ιδιαίτερα καλά αποτελέσματα, όπως φαίνεται από τη στάση ή τα λεγόμενα των μαθητών, οι οποίοι στη μεγάλη τους πλειοψηφία μπερδεύουν την προτεραιότητα των πράξεων και σηκώνουν τα χέρια ψηλά μπροστά σε κάθε -λιγότερο ή περισσότερο- σύνθετη αλγεβρική παράσταση.
Μέσα σε ένα τέτοιο περιβάλλον, συχνά αναφέρομαι στην ευθεία των πραγματικών αριθμών σαν να   είναι μια κοινωνική δομή με τους δικούς της κανόνες και τους δικούς της νόμους. Για τη διδασκαλία κάθε νέας μαθηματικής έννοιας -είτε ο ορισμός της το απαιτεί λιγότερο είτε περισσότερο- η ευθεία είναι παρούσα και πάνω σε αυτήν είναι παρόντα και ζουν τη δική τους πραγματικότητα τα x, y, z, με τα δικά τους μέτρα, τις απόλυτες τιμές, τις ρίζες, τις ... τάξεις, τις ομάδες,  τις κάστες,  και από πάνω τους οι δύο πράξεις, αυτή της πρόσθεσης και εκείνη του πολλαπλασιασμού, παίζουν το δικό τους διαδικαστικό ρόλο και επιβάλλουν τις δικές τους ιδιότητες! Ένας ολόκληρος, επινοημένος, κόσμος που κινείται κάτω από τη μύτη μας και -ενώ ταλαιπωρεί πολλούς ανθρώπους στα χρόνια του σχολείου- δεν αντιλαμβάνονται οι περισσότεροι, ούτε και ως ενήλικες, ότι ολόκληρος ο πολιτισμός μας δομείται πάνω σε αυτόν. Αλλά αυτή η κατανόηση δεν συμπεριλαμβάνεται στους στόχους του μαθήματος ...
Οι δεκαπεντάχρονοι μαθητές δε, οι οποίοι καλούνται να μάθουν να διαχειρίζονται τους πραγματικούς αριθμούς χωρίς να τους "υποστασιοποιούν",  σε ένα μεγάλο βαθμό ταλαιπωρούνται και δικαίως δυσφορούν. Τίθεται το ερώτημα: "Χρειάζεται να μελετούν όλοι οι μαθητές Άλγεβρα;".
Στο ερώτημα αυτό έχουν προ πολλού απαντήσει κάποιοι ειδικοί μεταξύ των οποίων και ο (αείμνηστος πλέον)  Lynn Arthur Steen.
Και εγώ συχνά διατυπώνω το παραπάνω ερώτημα. Ειδικά πέρυσι, που δίδασκα στο ΕΠΑΛ, απαντούσα χωρίς περιστροφές πως δεν χρειάζεται... Και φέτος όμως, κάθε φορά που μπαίνω στο ένα και μοναδικό τμήμα της Α' Λυκείου που διδάσκω, για συμπλήρωση ωραρίου όπως ήδη είπα, αναρωτιέμαι πόσοι από τους συγκεκριμένους μαθητές μου χρειάζονται πραγματικά αυτήν την Άλγεβρα που διδάσκονται!
Και αυτήν την Άλγεβρα τη διδάσκω εγώ και προσπαθώ να την κάνω κατανοητή, προσφιλή, γοητευτική και να αναδείξω την ισχύ της και το μεγαλείο της. Να αποκαλύψω στους μαθητές μου πως η ανθρώπινη επινόηση κατάφερε με λίγα μόνο σύμβολα να διαχειρίζεται το άπειρο, αυτό που δεν χωράει ο κοινός νους κι αυτό που δεν καταλαβαίνει ο μέσος άνθρωπος. Πάνω σε μια ευθεία, οι άπειροι πραγματικοί υπακούουν στους δικούς τους κανόνες και είναι σαν να αποκτούν μιαν αυτοτέλεια, που μελετάμε και σεβόμαστε.
Το "σεβόμαστε" εδώ δηλώνει ότι δεν κάνουμε του κεφαλιού μας, όταν χειριζόμαστε τα σύμβολα. Δεν αυτοσχεδιάζουμε και δεν αποφασίζουμε ότι σήμερα ένα α κι άλλο ένα α θα μας δώσουν ως αποτέλεσμα α στο τετράγωνο... Όλο και πιο δύσκολα σέβονται τους κανόνες οι μαθητές. Κάθε χρόνο και πιο δύσκολα. Όλο και λιγότεροι μαθητές έχουν καλή επίδοση. Τι φταίει;
Κι όλο και περισσότερο αναγκάζομαι να επινοώ διάφορα για να μείνει στη μνήμη τους το στοιχειώδες.
Χθες, στις ασκήσεις εμπέδωσης των ριζών ανώτερης τάξης, κάναμε στον πίνακα μεταξύ άλλων και την άσκηση 8i   (8ii και 8iii HW :) )

 Ένας μαθητής πρότεινε να γράψουμε τα ριζικά ως δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Εγώ ήθελα να δούμε και τον άλλο τρόπο και μετά να συγκρίνουμε τις δύο επιλογές, οπότε τους ζήτησα να κάνουν τα ριζικά "ομόδεικτα" και αμέσως αναφώνησα: "Ομόδεικτα!!! Τι όμορφη λέξη! " και συνέχισα σαν να μην με άκουγε κανείς, "Δεν την έχω δει πουθενά. Γιατί δεν τη χρησιμοποιούμε, άραγε; Δηλώνει ακριβώς αυτό που είναι. Ομόδεικτα, όπως ομώνυμα, όπως ομότιμα...". Τα παιδιά παρακολουθούσαν χαμογελώντας τον μονόλογό μου και έδειχναν να διασκεδάζουν με τη γνήσια απορία που εξέφραζα.
Μετά, επανήλθαμε στο μάθημα και εστιάσαμε την προσοχή μας στην ιδιότητά εκείνη που μας επιτρέπει να κάνουμε "ομόδεικτα" τα ριζικά, δηλαδή να κάνουμε τις ρίζες ίδιας τάξης και ήταν σαν να είχαμε δώσει σάρκα και οστά σε αυτές τις περιέργες επινοημένες μαθηματικές οντότητες, που προκαλούν το φόβο και τον τρόμο από την πρώτη στιγμή που εμφανίστηκαν!
Όμως με έναν τόσο απλό τρόπο, με μια τόσο χρήσιμη ιδιότητα, γίνονται αμέσως ίδιας τάξης!
(Μακάρι να ίσχυε και στο δικό μας κόσμο, τον απάνθρωπο, αυτή η ευκολία στην εξίσωση των τάξεων! Το θίξαμε κι αυτό στα γρήγορα...)
Μετά κάναμε άλλες κατηγορίες ασκήσεων, μετατροπή κλασμάτων σε ισοδύναμα με ρητό παρονοναστή και άλλες από τη Β' Ομάδα του σχολικού. Κι ύστερα, κάποια στιγμή μια μαθήτρια σήκωσε το χέρι και ρώτησε τι θα κάνουμε στην περίπτωση που τα ριζικά δεν είναι ομόδεικτα! Πρόφερε τη λέξη με κάποιο δισταγμό κι εγώ σε μια προσπάθεια να την ενθαρρύνω την επανέλαβα με την ίδιο περίπου δισταγμό, αλλά η επανάληψη φάνηκε να νομιμοποιεί τη χρήση της νεόπλαστης λέξης, κυρίως όμως φάνηκε να δίνει ζωή και λόγο ύπαρξης σε αυτά τα περίεργα σύμβολα που, χωρίς να κατανοούμε, διαχειριζόμαστε στο μάθημα της Άλγεβρας.
Ένα μάθημα υψηλής κωδικοποίησης, δεξιοτεχνικό, γοητευτικό, ένα μάθημα μέσα από το οποίο αντιλαμβάνεται κανείς τη δύναμη της αφαίρεσης του ανθρώπινου μυαλού, αλλά και σίγουρα ένα μάθημα που, όπως λένε οι ειδικοί, δεν το χρειάζονται οι πιο πολλοί ...
----------------------------------------------------------------------------- 

Θα ήθελα να αναφερθώ και στο τμήμα της Γ' Γυμνασίου, όπου παλεύουμε εδώ και καιρό με την παραγοντοποίηση, ενώ οι περισσότεροι μαθητές έχουν κάνει όρκο νομίζω να μην κατανοήσουν ποτέ σε τι διαφέρουν ο πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση, γι' αυτό επιμένουν οι περισσότεροι να λένε πως α επί α κάνει  δύο α... κι άλλα τέτοια γνωστά, αλλά περιορίζομαι στο να αναρωτηθώ πώς θα είναι αυτά τα παιδιά - με εξαίρεση ελαχίστων - την επόμενη χρονιά...

2 σχόλια:

  1. Λύσε μου μιαν απορία. Πως διάολο έφτασαν μέχρι τη Γ' Γυμνασίου και δεν κατάφεραν να ξεχωρίσουν την πρόσθεση από τον πολλαπλασιασμό; Πως έφτασαν χωρίς να έχουν καταφέρει να μάθουν το α στο τετράγωνο και το λένε άλφα δύο ή αλφα στη δύο (οι πιο ψυλλιασμένοι);
    Γιατί έφτασαν μέχρι τη Γ' γυμνασίου;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Τι προτείνεις; Να μην είχαν φτάσει στη Γ' Γυμνσίου;
    Μήπως να μην έκαναν τόσα πολλά "τυπικά" μαθηματικά;
    Και γιατί να μπορούν να θυμούνται ότι το α^2 διαβάζεται "α στο τετράγωνο" ή "α στη δευτέρα";
    Μια - από τις πολλές πολλές απαντήσεις - υπάρχει στην εισαγωγή του βιβλίου "έρωτας & μαθηματικά" του Edward Frenkel, για το οποίο πάω ευθύς τώρα να κάνω μια ανάρτηση... :)
    Καλή Χρονιά!

    ΑπάντησηΔιαγραφή