Τετάρτη, 9 Δεκεμβρίου 2015

"ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΟΝΑΔΑ" ΜΕ ΜΠΙΣΚΟΤΑ ΟΛΙΚΗΣ...

Μακάρι να είχα χρόνο να τα έγραφα όλα. Κάθε μέρα συμβαίνουν τόσα πολλά.  Κάθε ώρα, σε κάθε  τάξη. Οι μικροί μαθητές μου παρέχουν ένα πολύ ενδιαφέρον πεδίο έρευνας! Επειδή κατά τη διάρκεια του μαθήματος συμμετέχουν με ενθουσιασμό σε όλα τα δρώμενα, είναι πιο εύκολο να διερευνώ   τα διάφορα ερωτήματα που θέτω σχετικά με το επίπεδο κατανόησης μιας έννοιας,  με τη γνώση μιας θεωρίας, με κάποια  δεξιότητα ή και άλλα τέτοια, που ελέγχουμε εμείς οι δάσκαλοι, όταν κατά καιρούς αξιολογούμε την πορεία της διδασκαλίας μας.
Σήμερα, ολοκληρώνοντας σιγά σιγά το μεγάλο κεφάλαιο με τα κλάσματα, θέλησα να ελέγξω σε τι κατάσταση βρισκόμαστε. Στο προηγουμένο μάθημα είχα διδάξει τη διαίρεση και τα σύνθετα κλάσματα, εστιάζοντας στη διαδικασία της αντιστροφής και επιχειρώντας μια μάλλον δύσκολη για τους μικρούς μαθητές εννοιολογική προσέγγιση, αλλά πήγε καλά, πολύ καλά, αν κρίνω από τα χέρια, που φτεροκοπούσαν στον αέρα, για να τους δώσω το λόγο να απαντήσουν. Και απαντούσαν σωστά!

Κι έτσι σήμερα, θέλοντας να επιβραβεύσω τους μικρούς μαθητές για τις καλές τους επιδόσεις, ξεκίνησα το μάθημα, γράφοντας στον πίνακα ένα πολύ ... νόστιμο πρόβλημα. 
                 
 "Ένα εργοστάσιο μπισκότων χρησιμοποιεί για κάθε παρτίδα μπισκότων Cookies  το 1/6 του βαρελιού πλιγούρι βρώμης. Αν χθες χρησιμοποίησε 2/3 του βαρελιού, πόσες παρτίδες  παρήγαγε;"

Αφού περίμενα ένα δυο  λεπτά να το επεξεργαστούν, άρχισα να περιδιαβαίνω την τάξη, για να δω τις λύσεις τους. Στο μεταξύ κάποιοι άρχισαν πάλι να μαστιγώνουν με τα χέρια τον αέρα, φωνάζοντας "Κυρία, το έλυσα! Κυρίαα, το έλυσα, ελάτε να το δείτε! Ελάτε!". Πόσο επίμονα είναι τα μικρά. Δεν αρκεί ποτέ ένα νεύμα μου, μια κίνηση του κεφαλιού, για να σταματήσουν. Ή πρέπει να τρέξω όταν με φωνάζουν ή, αν δεν τρέξω, πρέπει να σταματήσω ο,τιδήποτε κάνω και να τους απευθύνω το λόγο σε προσωπικό επίπεδο. Αλλιώς δεν καταλαβαίνουν! Και δεν μπορούν να περιμένουν... Η αδημονία μοιάζει να είναι αντιστρόφως ανάλογη της ηλικίας! Όμως, παρόλα τα καλέσματα και τα υψωμένα δαχτυλάκια, έμεινα στη θέση μου βλέποντας τη λύση της μαθήτριας. Δεν μου περνούσε από το μυαλό, πως, δίνοντας το πρόβλημα με τα μπισκότα ολικής, θα δω αυτό!

 Η απάντηση μου θύμισε το γνωστό πρόβλημα του καπετάνιου:  «Πάνω σε ένα πλοίο υπάρχουν 26 πρόβατα και 10 κατσίκες. Ποια είναι η ηλικία του καπετάνιου;», που είχε δοθεί μερικές δεκαετίες πριν σε μια έρευνα. Από τους 97 μαθητές που συμμετείχαν στην έρευνα εκείνη, οι 76 είχαν απαντήσει ότι η ηλικία του καπετάνιου είναι: 26+10=36. Σύμφωνα με τους ερευνητές, για τους μαθητές καμιά απολύτως σημασία δεν είχε το τι δήλωναν οι αριθμοί 26 και 10. Το ζητούμενο του προβλήματος, δηλαδή η ηλικία του καπετάνιου, έπρεπε να απαντηθεί ... με κάθε θυσία! 
Εν πάση περιπτώσει, το εργοστάσιο των μπισκότων που έδωσα στους μαθητές μου είναι ένα κανονικό πρόβλημα, ενώ εκείνο του καπετάνιου αντιβαίνει τη λογική. Από την άλλη, τα κλάσματα 1/6 και 2/3 που εμφανίζονται στο πρόβλημα με τα μπισκότα, αναφέρονται και τα δύο σε ποσότητα βρώμης, άρα -κάτω από άλλες συνθήκες ή μάλλον κάτω από άλλα δεδομένα- θα μπορούσαν να προστεθούν και να μας δώσουν ποσότητα βρώμης. Όμως, όπως και να έχει, όσο και να προσπαθώ να δικαιολογήσω τη μαθήτρια, η λύση της  έχει κοινά στοιχεία με εκείνη των μαθητών της έρευνας. 
Προσθέτουμε όλους τους αριθμούς που υπάρχουν στην εκφώνηση!!! Και δεν ήταν η μόνη που το έκανε. Ήταν κι άλλοι δυο τρεις μαθητές που πρόσθεσαν τα κλάσματα.
Υπήρχαν βέβαια και αυτοί που το έλυσαν σωστά, αλλά οι περισσότεροι, από αυτούς που τα κατάφεραν, έκαναν -είτε κρυφά είτε φανερά- αναγωγή στη μονάδα.   
Και βέβαια, για μια ακόμη φορά, φάνηκε πόσο δύσκολο είναι να διατυπώσουν τη σκέψη τους!
Απαθανάτισα όλες τις απαντήσεις των παιδιών. [Δεν θα μπορούσα να παραλείψω ούτε μια, γιατί θα είχαμε γκρίνιες και παράπονα. "Το δικό μου δεν το είδατε!!", "Στο δικό μου δεν κάνατε τικ!!"...]. Ύστερα για να τους βοηθήσω να σκεφτούν με τα καινούρια εργαλεία, αυτά που είχαν μάθει στο προηγούμενο μάθημα, δηλαδή τη διαίρεση των κλασμάτων και τα σύνθετα κλάσματα, ζήτησα να λύσουν το ίδιο πρόβλημα με άλλα νούμερα:
"Ένα εργοστάσιο μπισκότων χρησιμοποιεί για κάθε παρτίδα μπισκότων Cookies 5 βαρέλια πλιγούρι βρώμης. Αν χθες χρησιμοποίησε 60 βαρέλια, πόσες παρτίδες  παρήγαγε;"

Ευτυχώς, έκαναν όλοι τους διαίρεση! Ευτυχώς! Κανείς δεν απάντησε: 60+5=65 παρτίδες! 
Μερικοί μάλιστα το έπιασαν αμέσως το νόημα και έκαναν διαίρεση κλασμάτων, οπότε άρχισαν πάλι τα "Κυρία, ελάτε να δείτε την καινούρια μου λύση!", άρχισα κι εγώ να τρέχω πάνω κάτω.Αφού είδα μερικά τετράδια με ολόσωστη (καινούρια) λύση, κατέγραψα στον πίνακα όλες τις κατηγορίες λύσεων που είχαν στο μεταξύ δοθεί, για να τις συζητήσουμε και να καταλήξουμε, από κοινού, σε κάποια συμπεράσματα. Τι είναι σωστό, τι είναι λάθος, τι μας συμφέρει να κάνουμε και διάφορα άλλα. Συνήθως καταλήγουμε κάπου.
Σήμερα όμως κάποιοι, φανατικοί της "αναγωγής στη μονάδα", αρνούνταν ακόμη και να συζητήσουν τη χρήση διαίρεσης κλασμάτων, πολύ δε περισσότερο των σύνθετων. 
 Όχι πως δεν συμβαίνει  να αρνούνται συχνά την αλλαγή διαδικασίας ή εργαλείου στη λύση μιας άσκησης, αλλά σήμερα ήταν πιο έντονη από ότι συνήθως η εμμονή τους  στην παλιά, κατακτημένη και ασφαλή γνώση, εν προκειμένω, στην αναγωγή στη μονάδα, που -για να είμαι ειλικρινής- δεν φανταζόμουν πως θα κυριαρχήσει, όταν επέλεξα να κάνω το πρόβλημα με τα μπισκότα ολικής... 

----------------------------------------------------------------------------------------------
Η αλήθεια είναι πως πολλοί μαθητές εκφράζουν σθεναρά την άρνησή τους σε κάθε ... καινοτομία και αλλαγή."Άλλα μας μαθαίνετε στο Γυμνάσιο κι άλλα στο Λύκειο!",  μου είχε πει θυμωμένη μια μαθήτρια της Α' Λυκείου, πριν τέσσερα χρόνια, όταν επιχείρησα να διδάξω την απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού σύμφωνα με την ύλη της τάξης αυτής. Είχε θυμώσει, επειδή νόμιζε ότι τους εμπαίζουμε! Δεν αντιλαμβάνονται τα παιδιά τη "σπειροειδή διδασκαλία" και τη σταδιακή κατάκτηση της γνώσης. Όταν κατανοήσουν μια έννοια ή μια διαδικασία δεν την ... αλλάζουν με τίποτα! Όσα έχουν μάθει στο Δημοτικό οι μικροί μου μαθητές τα θεωρούν ευαγγέλια και τα φυλούν σαν τα μάτια τους. Χρειάζεται πολλή προσπάθεια και μαεστρία για να επέλθει η αλλαγή στη στάση τους, για να αποδεχτούν κάποιες καινούριες έννοιες, για να μάθουν να χρησιμοποιούν τα πιο ισχυρά νοητικά εργαλεία, που τους παρέχουν τα Μαθηματικά καθώς μεγαλώνουν. 
Από το σημερινό μάθημα και από το υλικό που συγκέντρωσα και με προσοχή ξαναμελέτησα, προκύπτουν πολλά ενδιαφέροντα συμπεράσματα, που θα μπορούσαν  στα επόμενα μαθήματα να εμπλουτιστούν, για να αποτελέσουν θέμα εργασίας για τη Μαθηματική Εβδομάδα, το Μάρτιο στη Θεσσαλονίκη, καλέ μου φίλε, Μάκη Ε.
Το ενδιαφέρον δε είναι πως φέτος διδάσκω και στις τρεις τάξεις του Γυμνασίου, αλλά και σε ένα τμήμα της Α' Λυκείου, οπότε οι παρατηρήσεις μου γίνονται ταυτόχρονα σε δύο επίπεδα. Γι' αυτό, μάλλον, θα δυσκολευτώ να επιλέξω το ανοιξιάτικο θέμα μου! Δεν θα ξέρω τι να πρωτοδιαλέξω με τόσα διαφορετικά και ενδιαφέροντα, που ξεδιπλώνονται στις τάξεις μου :)
Μακάρι να είχα χρόνο, να τα γράφω όλα...


 

6 σχόλια:

  1. Κατερίνα πολύ καλή προσέγγιση του φαινομένου.
    Διδάσκω για δεύτερη χρόνια την Α΄ γυμνασίου και παρατήρησα και εγώ την τάση των παιδιών να κρατούν γερά στο μυαλό τους όσα έμαθαν στο Δημαρικό. Νιώθουν ασφάλεια για αυτό και εγώ αποφάσισα να τα αφήσω να κρατούν γερά τον ασφαλή βράχο (αναγωγή στην κλασματικη μονάδα)όταν βρίσκονται μόνα τους στη θάλασσα το Γυμνασίου, όμως τους έριξα και τα δυο σωσίβια (πολ/Μος διαιρεση κλασμάτων) για να καταλάβουν πως μόνο με αυτά θα σωθούν πραγματικά. Όλα είναι θέμα ωριμότητας μυαλού αργά ή γρήγορα θα νιώσουν τη διαφορά. Και πάλι μπραβο για τα θέματα που θίγεις.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευχαριστώ.
      Συμφωνώ μαζί σου. Κι εγώ δεν επιμένω να αλλάζουν τις πρακτικές και τις μεθόδους τους, όσοι έχουν και τις υπερασπίζονται. Συνήθως, κάνουμε μια συζήτηση όλοι μαζί για να συγκρίνουμε διάφορες λύσεις και να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα.
      Μακάρι να μπορούσαμε να ηχογραφούμε τέτοιες συζητήσεις στο κοινό μας μάθημα. Ακούγοντάς τες μετά θα μαθαίναμε πολλά για τον τρόπο σκέψης των μαθητών μας.

      Και πάλι ευχαριστώ.

      Διαγραφή
  2. Γι' αυτό τελικά το θέμα σου θα είναι "πολυτροπικό", γιατί τόσο πολυτροπική είναι η "ζωή" μέσα στο σχολείο! Η ιστορία που περιγράφεις κρύβει τόσο βαθιά νοήματα και δυσκολίες των μαθητών. Διαφαίνεται η διαφορετική αντιμετώπιση, όταν το πρόβλημα έχει κλάσματα κι όταν έχει φυσικούς αριθμούς, αλλά κρύβει και την απορία (μου) για τη διδασκαλία των μαθηματικών ιδεών στο δημοτικό σχολείο. Εχθές, δίνοντας βαθμούς Β' τριμήνου, μου λέει ένας πατέρας (πλήρως απογοητευμένος που η κόρη του δεν καταλαβαίνει τα προβλήματα τόσο εύκολα όσο αυτός), μήπως έχει κενά; μήπως 'μείνατε' για λίγο στα ανάλογα ποσά; Και του απαντώ: «Κενά στην ύλη του δημοτικού, εννοείται;»Δουλεύουμε έξι κεφάλαια στην ύλη της Α' Γυμνασίου, που αποτελούν επανάληψη των μαθηματικών του δημοτικού. Κι ενώ παλεύεις να εξηγήσεις κάθε μεθοδολογία που μηχανιστικά έμαθαν τα μικρά παιδάκια και να τα ξεαγχώσεις, διότι βασίζονται σε ένα σκεπτικό, σε μία ιδέα και ότι υπάρχει λόγος που τα 2/3 των 3/4, τα πολλαπλασιάζω μεταξύ τους για να βρω πόσο είναι, έρχεται ο πατέρας (τους) και βιάζεται! Πως να μάθει έτσι το παιδί και πως να βρεις τη δύναμη να συνεχίσεις ως δάσκαλος και να πεις: " Παιδιά μου, αφήστε τη 'βοήθεια' των γονιών σας στην άκρη..."

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αυτό που εντοπίζεις, Άννα, είναι ένα μεγάλο πρόβλημα.
      Πολύ συχνά το άγχος και η στάση των γονιών δημιουργεί προβλήματα ή επιτείνει τα υπάρχοντα.
      Όταν προτείνω σε γονείς να αφήσουν το παιδί τους να ετοιμάζεται μόνο του για το σχολείο, συχνά ακούω την εξής διαμαρτυρία: Και να τον αφήσω να πάει αδιάβαστος;

      Τόσο δοσμένο το έχουν οι (περισσότεροι) γονείς;

      Πολυτροπική η ζωή στο σχολείο, πράγματι, κι εγώ είχα ξεχάσει το συγκεκριμένο υλικό, οπότε ετοίμασα άλλη εισήγηση για την 8η Μαθηματική Εβδομάδα.
      Τι λες ετοιμάζουμε κάτι κοινό πάνω στο θέμα αυτό για την 9η Μ.Ε.; ;)

      Διαγραφή
    2. Ναι, ναι, ναι...Απλά ναι!Με πολλή χαρά κι ανυπομονησία!

      Διαγραφή
    3. Τέλεια! Μετά τη Σύρο, το συζητάμε... :)

      Διαγραφή