Πέμπτη, 17 Μαρτίου 2016

ΠΟΣΟ ΛΑΘΟΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

ή ΧΑΜΕΝΟΙ ΣΤΗ ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ (Μέρος 2ο)

Υποσχέθηκα να ολοκληρώσω τη χθεσινή ανάρτηση, με τίτλο "ΧΑΜΕΝΟΙ ΣΤΗ ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ", περιγράφοντας το μάθημα της Άλγεβρας στην Α' Λυκείου, όπου ένας ιδιαίτερα ενδιαφέρων διάλογος διημείφθη, όταν ζήτησα από τους μαθητές να μου περιγράψουν στα ελληνικά τον τύπο: "αν - αν-1 = ω".


Είχε προηγηθεί η προσπάθειά μου να τους εξηγήσω πόσο απαραίτητη είναι η μετάφραση των αλγεβρικών συμβόλων στη φυσική γλώσσα για την επίλυση προβλημάτων, εν γένει.
Επειδή, όπως έγραψα και χθες, έδειξαν να αμφισβητούν τα επιχειρήματά μου, ζήτησα να λύσουν την άσκηση Β1 στη σελίδα 130, για να γίνει αντιληπτή η αναγκαιότητα της "μετάφρασης".


Η πρόβλεψή μου πως δεν θα σκεφτούν να χρησιμοποιήσουν τον ορισμό της Α.Π. αποδείχτηκε σωστή.
Κι έτσι, για να βοηθήσω την κατάσταση θύμισα ποια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος και ζήτησα την ελληνική απόδοση του ν - αν-1 = ω".
Μισοσηκώθηκαν δυο τρία χέρια. "Για πες, Παναγιώτη!", είπα για να προχωρήσει το μάθημα.
Ο μαθητής, αντί να πει "η διαφορά δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερή", άρχισε να διαβάζει ένα προς ένα τα αλγεβρικά σύμβολα. Αναμενόμενο. Έτσι λαθεμένα διδάσκουμε τα Μαθηματικά από την Α' Γυμνασίου μέχρι την Γ' Λυκείου. Όχι; Ακόμη και το 0,1, "μηδέν κώμα ένα" το διαβάζουμε και όχι "ένα δέκατο" όπως είναι το σωστό. Όχι; Έτσι δεν κάνουμε; Είναι σα να διαβάζουμε τη λέξη, ας πούμε, "λέξη" λέγοντας: "λάμδα έψιλον ξι ήττα". Αλλά δεν τη διαβάζουμε με αυτόν τον τρόπο. Λάθος; 
Όμως στα Μαθηματικά διαβάζουμε τα σύμβολα και περιμένουμε από τους μαθητές μας να δώσουν μόνοι τους το κατάλληλο νόημα σε κάθε (αλγεβρικό) γράμμα που διαβάζουν.
Πράγματι τα παιδιά δίνουν τα δικά τους νόημα και υφαίνουν τα δικά τους νοητικά μοντέλα, τα οποία συχνά απέχουν παρασάγγας από αυτό που εμείς πιστεύουμε!
Ο μαθητής για παράδειγμα, τον οποίον προφανώς δεν διέκοψα, παρόλο που δεν έδινε την πρέπουσα απάντηση είπε: "άλφα νι πλην αλφα νι πλην ένα ισουται με ωμέγα" και μέχρι εδώ όλα καλά και αναμενόμενα, αλλά ο Παναγιώτης δεν σταμάτησε. Είπε μια λέξη ακόμη που ήταν ... η μεγάλη έκπληξη! Πού πάει το μυαλό σας; Δεν πάει με τίποτα!!! :) 
Ο Παναγιώτης είπε: "άλφα νι πλην άλφα νι πλην ένα ισούται με ωμέγα. ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ"!
"Πώς είπες;", ρώτησα. Το παιδί επανέλαβε λέξη προς λέξη ό,τι είχε πει. 
Για μερικά δευτερόλεπτα έμεινα ασάλευτη. Αφήνεις όμως να πάει χαμένη μια τέτοια ευκαιρία; Όχι!
Την αρπάζεις για να εξηγήσεις για μια ακόμη φορά το (κατά το φιλολογικότερον) "επικοινωνιακό πλαίσιο"!  Μήπως δεν έχουν και τα Μαθηματικά το δικό τους επικοινωνιακό πλαίσιο; 
Και οι αριθμητικές πρόοδοι που μελετούσαμε χθες δεν έχουν και αυτές το δικό τους πλαίσιο; 
Αν δεν λάβουμε υπόψη το συγκεκριμένο πλαίσιο, τότε το "ω", μπορεί και να είναι ο,τιδήποτε. Μπορεί να είναι ένα ενδεχόμενο, οπότε τότε είτε ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ, όπως είπε ο Παναγιώτης, είτε όχι. Προφανώς ο Παναγιώτης είχε φέρει προς στιγμή  στο μυαλό του από το πρώτο κεφάλαιο, τους δειγματικούς χώρους Ω, τα στοιχειώδη ενδεχόμενά τους, ω και ποιος ξέρει τι άλλο;
Άνοιξα συζήτηση για το θέμα. 
"Τι μπορεί να είναι το "ω" στα φετινά σας Μαθηματικά;", ρώτησα κι άρχισα να σημειώνω στον πίνακα.
Κεντρική γωνία πολυγώνου! Σωστά. Στοιχειώδες ενδεχόμενο δειγματικού χώρου! Σωστά! 
Μέχρι και την επιλύουσα της διτετράγωνης θυμήκαν κάποιοι. 
"Είναι αυτό που θέτουμε για να λύσουμε εξισώσεις...", είπαν. Σωστά!
Πόσα πράγματα μπορεί να είναι ένα "ω", πέρα από διαφορά της αριθμητικής προόδου... 
Αλλά και πόσο λίγο χρόνο έχουμε, εμείς οι δάσκαλοι των Μαθηματικών, σε σαράντα μόλις λεπτά, να καταλάβουμε τι έχουν στο μυαλό τους εικοσιπέντε με τριάντα παιδιά;
Πόσο λάθος, τελικά, διδάσκονται τα Μαθηματικά;

 

4 σχόλια:

  1. Brainstorming:
    1) Είχα καιρό να ακούσω την έκφραση "απέχει παρασάγγας". Αν θυμάμαι καλά ο παρασάγγης είναι μια αρχαία περσική μονάδα μέτρησης μήκους περίπου ίση με 5km, θα το γκουγκλάρω!
    2) Η υπόθεση με το ω του μαθητή σου μου θυμίζει έναν παλιό μου μαθητή που του είχα ζητήσει κάποτε να μου πει έναν διαδοχικό ακέραιο του κ και μου είπε βέβαια τον λ. Κάνω τη σύνδεση υπό την έννοια ότι αμφότεροι οι μαθητές προσδίδουν, ή μάλλον συγχέουν τη γραμματική με την αλγεβρική χρήση του γράμματος. Αυτού του είδους τα λάθη ασκούσαν πάντα μία γοητεία πάνω μου. Ακόμη δεν έχω καταλήξει αν οφείλονται στη διδασκαλία ή στην ικανότητα του εγκεφάλου να κατασκευάζει νοηματικές συνδέσεις ακόμα κι εκεί που δε θα έπρεπε (ή και στα δύο).
    3) Θεωρώ ότι τα μαθηματικά διδάσκονται όσο πιο λάθος γίνεται!
    4) Γιατί έχεις κυκλώσει τη λέξη καράβι στο κάτω δεξιά μέρος του πίνακα;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Καλημέρα Κώστα!
      Πηγαίνω κατευθείαν στο 4 :)

      Κάθε φορά που διαβάζουν μια μαθηματική πρόταση κάνοντας ... spelling, γράφω (συνήθως) τη λέξη "καράβι" και τους λέω: εδώ τι γράφει; Λένε: "καράβι", οπότε απαντώ: όχι, γράφει: κου α ρου α βι ι, σύμφωνα με τον τρόπο που διαβάζετε τα Μαθηματικά.

      Οι πέντε στους δέκα πίνακές μου, έχουν ένα ... κυκλωμένο καράβι!!! :)

      Καλή συνέχεια!

      Διαγραφή
  2. Κυρία Καλφοπούλου. Ένας μόνο τρόπος υπάρχει για να γίνουν τα μαθηματικά απλά, εύκολα και κατανοητά και να τα αγαπήσουν οι μαθητές και ο τρόπος αυτός είναι: Να διδαχθούν αυστηρά με τη βοήθεια της Μαθηματικής Λογικής. Δεν ισχυρίζομαι ότι στο Λύκειο πρέπει να μπει το μάθημα αυτό. Ο καθηγητής οφείλει να γνωρίζει την Μαθηματική Λογική και μάλιστα πολύ καλά και να την εφαρμόζει συνειδητά όταν κάνει μάθημα, γιατί έτσι θα περάσει στους μαθητές αυτά που χρειάζονται για την κατανόηση των μαθηματικών. Αλλά πώς να συμβεί αυτό όταν οι καθηγητές στο Πανεπιστήμιο δεν έχουν διδαχθεί το μάθημα αυτό, που είναι η βάση όλων των Μαθηματικών; Συνήθως είναι μάθημα επιλογής! Ακόμα και όταν το κάνουν τους λένε Λογική για την.. Λογική και όχι αυτά που χρειάζονται για την κατανόηση των Μαθηματικών.
    --- Αυτό που ακούω να λένε μερικοί: « Το λέω έτσι ( δηλαδή λανθασμένα) για να το απλοποιήσω και να το καταλάβουν οι μαθητές» είναι ότι το χειρότερο μπορεί να συμβεί. Πώς είναι δυνατόν να τους λέμε κάτι λανθασμένα και θολά και οι μαθητές να καταλάβουν το σωστό;
    --- Πώς να καταλάβουν και να αγαπήσουν τα Μαθηματικά όταν δεν τονίζουμε όσο πρέπει ότι άλλο είναι πολυώνυμο και άλλο είναι πολυωνυμική συνάρτηση; Αποτέλεσμα; Όταν κάνουν μια διαίρεση, για παράδειγμα P(x) : x-2 να νομίζουν ότι η διαίρεση γίνεται με x διάφορο του 2, ενώ εκείνο που πρέπει να προσέξουν είναι ότι το x-2 δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο.
    ---Πώς να καταλάβουν και να αγαπήσουν τα Μαθηματικά όταν τους ρωτάμε να απαντήσουν για παράδειγμα: « 2x-3 > x-1 ( x πραγματικός αριθμός) Σ, Λ.»; Αφού άλλοτε είναι σωστό και άλλοτε είναι λάθος και δεν υπάρχει μονοσήμαντη απάντηση; (παρόμοιες ερωτήσεις έχουν τεθεί ακόμα και σε πανελλήνιες εξετάσεις!!!).
    ----Πώς να καταλάβουν και να αγαπήσουν τα Μαθηματικά όταν το σχολικό βιβλίο Άλγεβρας της Α΄ τάξης του Λυκείου (έκδοση 2009) στην σελίδα 36 είχε την εξής άσκηση 9: « Αν 4,5< α <4,6 και 5,3<= β <=5,4 να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις: i) α + β. ii) κτλ.». Αν ένας μαθητής απαντούσε για παράδειγμα: i) -1000 < α+β < 1000 θα έκανε λάθος;
    ----Πώς να καταλάβουν και να αγαπήσουν τα Μαθηματικά όταν το σχολικό βιβλίο Άλγεβρας της Α΄ τάξης του Λυκείου την παραπάνω άσκηση στην έκδοση 2014 στην σελίδα 60, άσκηση 5, την τροποποίησε εξής: «Αν 4,5<x<4.6 και 5.3<y<5.4 να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις: i) x+y ιι) κτλ.». Τι σημαίνει «όρια;». Το έχει εξήγηση προηγουμένως; ΟΧΙ ( άλλωστε πώς να το εξηγήσει;) . Έτσι, αν ένας μαθητής απαντήσει, για παράδειγμα : -1000 < x+y < 1000 ( που είναι σωστό) πώς θα τον πείσουμε ότι η άσκηση δεν ζητούσε αυτό και πώς θα τον πείσουμε ότι αυτό που ζητούσε είναι: 9,8 < x+y < 10;
    . ----Πώς να καταλάβουν και να αγαπήσουν τα Μαθηματικά όταν όλα τα σχολικά βιβλία γράφουν ισοδυναμίες εκεί που έπρεπε να γράφουν συνεπαγωγές;
    . ----Πώς να καταλάβουν και να αγαπήσουν τα Μαθηματικά όταν όλα τα σχολικά βιβλία δίνουν τους ορισμούς υπό μορφή συνεπαγωγής και όχι ισοδυναμίας που είναι το σωστό; Για παράδειγμα στο βιβλίο ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ και Β΄ Ενιαίου Λυκείου. Στη σελίδα 18, γράφει: « Δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές αν έχουν άθροισμα μια ορθή γωνία». Με άλλα λόγια, μας λέει ότι: « Αν δύο γωνίες έχουν άθροισμα μια ορθή γωνία , τότε οι γωνίες αυτές λέγονται συμπληρωματικές».
    Και τώρα γεννάται το ερώτημα, από πού προκύπτει ότι: « Αν δύο γωνίες είναι συμπληρωματικές έχουν άθροισμα μια ορθή γωνία;». Προφανώς από πουθενά!!!
    ---Θα μπορούσα να γεμίσω πολλές σελίδες με τέτοια ερωτήματα.
    --- Έτσι λοιπόν αρχίζουν οι ασάφειες και τα μυστήρια και κάνουν τα μαθηματικά αντιπαθητικά. Οι μαθητές καταλαβαίνουν πολύ περισσότερα από ότι νομίζουμε! Ενώ βλέπουμε (:)το φίδι, ψάχνουμε να βρούμε το συρσιμότου. Είμαστε ικανοί να δούμε το πραγματικό πρόβλημα και να το αντιμετωπίσουμε; Φοβάμαι πως όχι και αυτός ίσως είναι ο λόγος που προσπαθούμε να αντιμετωπίσουμε τα Μαθηματικά με… εξωμαθηματικά μέσα!!! ( ο νοών νοείτω).
    ---Σας λέω ότι τα αίτια είναι πολλά και σοβαρά και δεν διορθώνονται με... ασπιρίνες.
    Φιλικά.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Κατερίνα έχεις απόλυτο δίκιο! Ο λόγος και η σκέψη είναι τόσο σφιχταγκαλιασμένοι που οποιαδήποτε τεχνητή ρήξη οδηγεί τους ανθρώπους σε παραλογισμούς.
    Χωρίς να έχω την δική σου εμπειρία, έχω καταλήξει εδώ και χρόνια στο συμπέρασμα πως ο φορμαλισμός εισάγεται πολύ άτσαλα και σε πολύ μικρές ηλικίες.
    Μια σημαντική αιτία του προβλήματος που πραγματεύεσαι είναι το "πρόβλημα". Η ζυγαριά έγειρε υπέρ της τεχνικής της επίλυσης προβλημάτων. Έγειρε τόσο πολύ που οι μαθητές δεν έρχονται πλεόν αντιμέτωποι με προβλήματα. Χωρίς πρόβλημα, άρα χωρίς λόγο, η σκέψη στρεβλώνεται.
    Το παράδειγμα που αναφέρεις (για παράδειγμα), θα μπορούσε να πλαισιωθεί εντός ενός γρίφου που με κατάληλη σκηνοθεσία να οδηγούσε σε πρόβλημα. Μετά, η επίλυση του προβλήματος θα ενεργοποιούσε τον λόγο = σκέψη. Όταν η διαπραγμάτευση θα έφτανε σε ικανοποιητικό επίπεδο και εφόσον οι μαθητές δεν έβρισκαν την λύση, τότε θα ήταν η ώρα της τεχνικής.
    Αυτά όμως θα συνέβαιναν σε ένα άλλο σχολείο που όλοι ονειρευόμαστε αλλά "άργε νάρθει".

    ΑπάντησηΔιαγραφή