Πέμπτη, 1 Δεκεμβρίου 2016

ΑΓΩΓΗ ΑΝΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ...

  Καθώς οι μέρες περνούν και ο χειμώνας προχωράει βαρύς και παγερός η σχολική καθημερινότητα αποκτά, φαινομενικά τουλάχιστον, τις κανονικότητές της, δηλαδή εκείνα τα μοτίβα που την καθιστούν επαναλαμβανόμενη και κατά συνέπεια προβλέψιμη, αλλά όχι κατ' ανάγκη διαχειρίσιμη. Από το σύνολο της πολύπλοκης σχολικής ζωής όμως θα περιοριστώ στα όσα συμβαίνουν εντός των τειχών της σχολικής τάξης, εκεί όπου καθημερινά με τους μαθητές μου, τουλάχιστον με όσους εμπλέκονται στο μάθημα -και ευτυχώς για μένα είναι σχεδόν όλοι τους- παλεύουμε με ... τα σημεία και τα τέρατα της Άλγεβρας. Με τους παράγοντες και τους όρους και γενικά με τις μαθηματικές έννοιες, που ένας θεός οίδε πού θα φανούν χρήσιμες! Και καθόλου δεν αστειεύομαι λέγοντάς το αυτό. Σοβαρολογώ. 
Διδάσκω σε δύο τμήματα της Γ' Γυμνασίου, με πολύ χαμηλό μέσο όρο και μεγάλο εύρος επίδοσης. Όσα τα εικοσάρια, τόσα και τα μηδενικά στο ωριαίο διαγώνισμα του τετραμήνου σε θέματα μέσης δυσκολίας και μετά από επανάληψη όπου λύθηκαν αναλυτικά και με πολλές υπογραμμίσεις πανομοιότυπες ασκήσεις... Ο λόγος που το έκανα αυτό ήταν πως ήθελα να τους παράσχω ψυχολογική υποστήριξη και να γράψουν σχεδόν όλοι έναν αξιοπρεπή διψήφιο βαθμό! Δυστυχώς το αποτέλεσμα ήταν πολλοί από τους μέσους μαθητές να γράψουν άριστα και σχεδόν όλοι οι χαμηλότερης επίδοσης να πάρουν περίπου μηδέν. (Δικόρυφη κατανομή με δύο επικρατούσες τιμές, το 3 και το 19!).
Τίθεται τώρα το τετριμμένο ερώτημα:
Τι κάνει ο δάσκαλος σε μια τέτοια περίπτωση; Αφήνει τους μισούς στο έλεος του θεού και συνεχίζει (ανεβάζοντας το επίπεδο) με τους άλλους μισούς; 
Πώς διαχειρίζεται κανείς τη μεγάλη ανομοιογένεια των τμημάτων; 
Στα Αγγλικά χωρίζουν τους μαθητές σε επίπεδα. Στα Μαθηματικά all together... 
Όμως αυτό δεν είναι κατ' ανάγκη κακό. Είναι σίγουρα περιοριστικό για τους "καλούς" μαθητές, αλλά όχι κακό. Ειδικά όταν το μάθημα γίνεται με συζήτηση μεταξύ των μαθητών, οπότε αναδύονται όλα τα υφέρποντα, πλην πασίγνωστα, προβλήματα, όπως η παντελής αδυναμία κατανόησης των αλγεβρικών συμβόλων, η τυφλή τους διαχείριση, η άκριτη "αναπαραγωγή" διαδικασιών σε περιπτώσεις, στις οποίες είναι ανεφάρμοστες και άλλα τέτοια, τα οποία  έχουν όλα κοινή βάση: τη δυσλειτουργία της γλώσσας γενικά και την ένδεια της αλγεβρικής γλώσσας ειδικότερα. 
Προς επίρρωση του ισχυρισμού μου, θα αναφέρω μερικά σχετικά παραδείγματα. Δικά μου  αλλά και ένα παράδειγμα συναδέλφου, το οποίο αναρτήθηκε σε ομάδα μαθηματικών σε κοινωνικό δίκτυο, με σκοπό να συμβάλει στη συζήτηση που διατηρούμε ανοιχτή όσοι διδάσκουμε Μαθηματικά και ενδιαφερόμαστε για τα αποτελέσματα της διδασκαλίας μας.
Τον καιρό αυτό, όπως και οι περισσότεροι συνάδελφοι στη Γ' Γυμνασίου, διδάσκω την παραγοντοποίηση, δηλαδή "τη διαδικασία μετατροπής ενός αλγεβρικού αθροίσματος σε γινόμενο πρώτων παραγόντων". Προφανώς για να καταλάβει κανείς τι σημαίνει όλο αυτό απαιτείται να γνωρίζει τουλάχιστον τι σημαίνει "άθροισμα", τι "γινόμενο" και τι οι άλλες έννοιες που συνδέονται με αυτές τις λέξεις. Οι "όροι" του αθροίσματος δηλαδή και οι "παράγοντες" του γινομένου. Σχετικά εύκολες λέξεις, που  τα παιδιά διδάσκονται ήδη από το Δημοτικό και τις ακούν κάθε χρόνο σε κάθε μάθημα Άλγεβρας, άρα θεωρητικά τις γνωρίζουν όλοι οι μαθητές. Θεωρητικά! Και μόνο θεωρητικά, όμως. Τι εμποδίζει τους μαθητές μας να μάθουν μερικές τόσο απλές λέξεις; Δεν γνωρίζω! Υποθέτω μόνο... Άλλωστε το θέμα πρέπει να απασχολήσει τους ειδικούς και πρέπει να διερευνηθεί.
Αυτό που γνωρίζω εγώ είναι ότι η άγνοια τέτοιων απλών, λειτουργικών και επαναλαμβανόμενων λέξεων εμποδίζει τους μαθητές να εφαρμόσουν στοιχειώδεις(;)  αλγοριθμικές διαδικασίες, όπως η εφαρμογή των ταυτοτήτων και η παραγοντοποίηση. 
Σε ένα από τα τελευταία μαθήματα, όπου κάναμε ασκήσεις παραγοντοποίησης έχοντας ολοκληρώσει τη θεωρία, ζήτησα να παραγοντοποιήσουν την παράσταση:  x^3-2x^2+x-2.


Σηκώθηκαν πολλά χέρια, για να πουν τι θα κάνουμε. Έδωσα το λόγο στη Σ. η οποία  ήταν πολύ χαρούμενη, επειδή είχε καταλάβει πώς παραγοντοποιούνται αυτές οι παραστάσεις και τότε εγώ, που ήμουν επίσης πολύ χαρούμενη με τη χαρά της, την άκουσα να λέει "Επειδή υπάρχουν ... όμοιοι όροι θα τους πάρουμε δύο δύο". Αυτό το "όμοιοι όροι" το ένιωσα  να περιστρέφεται βαρύ στον αέρα και να πέφτει σαν χαστούκι στο μάγουλό μου! Σλάααατσ! Με έτσουξε! "Όμοιοι όροι;!", ρώτησα με φωνή που ίσα που ακούστηκε. "Ναι!", είπε όλο ενθουσιασμό η μαθήτρια. "Ε, άμα υπάρχουν όμοιοι όροι, τότε γιατί δεν κάνουμε  αναγωγή όμοιων όρων...", είπα μονολογώντας για να προκαλέσω αντιδράσεις.  Καμία αντίδραση δεν προκάλεσα στο σύνολο της τάξης. Αναγκάστηκα για εκατομμυριοστή φορά να πω τη διαφορά ανάμεσα στο "όμοιοι όροι" και "κοινός παράγοντας", μένοντας με την αίσθηση πως δεν τους αγγίζει και πολύ το θέμα. Όλοι βιάζονταν να τελειώσουν την άσκηση.
Τέλος πάντων, κάναμε κι άλλες ασκήσεις. 
Αλλά εμένα μου είχε σταθεί πολύ στραβά αυτό το "τι όμοιοι όροι, τι κοινός παράγοντας...", οπότε κάποια στιγμή ενώ συζητούσαμε την 12x^2-8xy-15x+10y και είχαμε κάνει τη μερική ενδιάμεση παραγοντοποίηση, επειδή κάποιος από κάτω είπε πάλι: "υπάρχουν όμοιοι όροι, οι παρενθέσεις (3x-2y)", σταμάτησα απότομα την άσκηση στη μέση. "Περιμένετε!", είπα, σχεδόν αγριεμένη. "Για κάντε λίγο αυτό: 3α-β+6α-2β". Και τα παιδιά το έκαναν.
Εγώ γύριζα πάνω κάτω στην τάξη και έβλεπα τα τετράδια. Με ελάχιστες εξαιρέσεις, όπου έκαναν κανονικά την αναγωγή των όμοιων όρων, οι περισσότεροι μαθητές έκαναν  κάποιες κινήσεις/αλλαγές και έδωσαν ως τελική απάντηση ένα αμφιλεγόμενο αποτέλεσμα με εμφανή τα ίχνη της ... παραγοντοποίησης ! Υπήρχαν και μια δυο σωστές απαντήσεις, όπου η αναγωγή των όμοιων όρων είχε γίνει με την "ανάποδη επιμεριστική", όπως ακριβώς στην Α' Γυμνασίου και όχι με τον άμεσο τρόπο που συνήθως εφαρμόζουν τα μεγάλα παιδιά της Γ' ή όσα από αυτά μπορούν, τέλος πάντων!




Όταν εξήγησα στη συνέχεια πόσο είχαν παραπλανηθεί και πόσο άκριτα λειτούργησαν, μια μαθήτρια χτύπησε το κεφάλι της στο θρανίο σε ένδειξη δυσαρέσκειας για τον τρόπο που είχε εφαρμόσει! Η μαθήτρια αυτή ήταν ένα από τα εικοσάρια του ωριαίου!

Δυστυχώς αυτά τα φαινόμενα είναι είναι πολύ συχνά. Είναι επαναλαμβανόμενα και τείνουν αυξανόμενα όχι μόνο στη δική μου σχολική  τάξη.  Παντού! Όπως φαίνεται και στις φωτογραφίες 1 και 2.  Τις έχει αναρτήσει ένας άλλος προβληματισμένος με το ζήτημα συνάδελφος στη σελίδα της διαδικτυακής ομάδας "Εφαρμοσμένη Διδακτική Μαθηματικών". Ο συνάδελφος   διδάσκει (νομίζω) σε φροντιστήριο και όχι σε Δημόσιο σχολείο. 

ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ 1
ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ 2

Θεωρώ ότι το υπόβαθρο του λάθους, που έχει κάνει το παιδί που έλυσε τις ασκήσεις στις παραπάνω φωτογραφίες, διόλου δεν διαφέρει από το λάθος που έκαναν τα δικά μου παιδιά , όταν υπολόγισαν το άθροισμα "3α-β+6α-2β", κάνοντας τρόπον τινά παραγοντοποίηση. Και στις δύο περιπτώσεις το λάθος προκύπτει από την εφαρμογή μιας μεθόδου ενός άλλου παραδείγματος, είναι δηλαδή ένα λάθος "αναλογικότητας",  με τη διαφορά ότι οι λάθος απαντήσεις των μαθητών μου δεν ήταν τόσο ... ανατριχιαστικά λάθος όσο το -8=x=4, στο οποίο κατέληξε ο μαθητής του συναδέλφου.
Δεν πρέπει να κρίνουμε εκ του αποτελέσματος όμως.
Θα πρέπει να διερευνούμε τον τρόπο που σκέφτεται ή που δεν σκέφτεται ο μαθητής, καθώς εκεί, στον τρόπο σκέψης και στη "γλώσσα" που χρησιμοποιεί σκεπτόμενος, ελλοχεύει η βάση του προβλήματος, ενός αξεπέραστου προβλήματος για το μεγάλο όγκο των μαθητών, των οποίων καλούμαστε να αναλάβουμε τη ... μαθηματική αγωγή. Ενός προβλήματος που είναι ο μόνιμος πονοκέφαλος των εκπαιδευτικών...

-------------------------------------------------------------------------------------------
Ως μια μικρή παρηγοριά θα αναφέρω ένα παρόμοιο λάθος "αναλογικότητας" που είχε κάνει μια μαθήτριά μου μερικά χρόνια πριν, στην Α' Λυκείου. Ήταν το μοναδικό εικοσάρι που είχα βάλει (σε Άλγεβρα και σε Γεωμετρία) στο 1ο τετράμηνο. Μια μέρα μετά την παράδοση της βαθμολογίας του τετραμήνου, η μαθήτρια σηκώθηκε στον πίνακα και έλυσε μια εξίσωση. Η λύση με είχε αφήσει άναυδη! 

(Ολόκληρη η σχετική ανάρτηση υπάρχει εδώ )
Θα αναρωτηθεί κανείς πού βρίσκεται η παρηγοριά... :)
Η παρηγοριά βρίσκεται στο ότι η  μαθήτρια της οποίας η λύση φαίνεται στον παραπάνω πίνακα είναι σήμερα τριτοετής στην Ιατρική και απέχει πολύ από εκείνη την εποχή που μελετούσε την Άλγεβρα τη σχολική, πιθανότατα χωρίς να πολυκαταλαβαίνει τι κάνει και γιατί.
Μελετούσε συστηματικά τούτο το άνευ νοήματος παιχνίδι  συμβόλων, που επιβάλλεται για την αγωγή όλων ανεξαιρέτως των παιδιών και των ... ανόμοιων όρων.

6 σχόλια:

  1. 100% συμφωνώ με τους προβληματισμούς σου Κατερίνα και επαυξάνω!Τα ίδια ακριβώς αντιμετωπίζω και εγώ που κάνω επίσης στην Γ΄Γυμνασίου. Εκεί που είσαι σίγουρος ότι ο καλός μαθητής το έχει καταλάβει πλήρως σου κάνει ένα τέτοιο λάθος που πέφτεις από τα σύννεφα! Φταίει η επιπολαιότητα της μελέτης τους, η αδιαφορία για το μάθημα, η βιασύνη, η απροσεξία, η ελλιπής κατανόηση ή λίγο απ όλα αυτά μαζι; Οσο για τους μέτριους-αδύνατους μαθητές νομίζω ότι τα σχόλια περιττεύουν...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Καλημέρα, συμπρογραμματιστή Δαμιανέ!
      (Παρεμπιπτόντως να σου πω πως την κοινή μας εκπαιδευτικό, δεν τη μοιραζόμαστε πλέον...)

      Νομίζω πως φταίνε όλα όσα αναφέρεις, καθώς και πολλοί εξωγενείς παράγοντες εξίσου σοβαροί, οι οποίοι προς το παρόν δεν φαίνεται να μπαίνουν στο μικροσκόπιο των ειδικών...

      [Θα περάσω στην περίοδο των γιορτών... :)]

      Διαγραφή
  2. Πάντα γίνονταν τέτοια λάθη, αλλά στην εποχή της εικόνας ή απουσία λόγου επιτείνει την απουσία λογικής. Τα παιδιά χρησιμοποιούν το αριστερό ημισφαίριο του εγκεφάλου με το δεξί σε ύπνωση. Πώς να το παλέψει ο δάσκαλος όταν όλες οι άλλες πηγές πληροφόρησης τον κατευθύνουν προς αυτό?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Καλησπέρα κύριε Μαρίνη. Ευχαριστώ για το σχόλιο.

      Πράγματι, τέτοια λάθη γίνονταν πάντα και θα συνεχίσουν να γίνονται.
      Το ερώτημα είναι πώς θα μπορέσουμε να τα μειώσουμε και να βοηθήσουμε τους μαθητές μας, στο βαθμό που εμείς μπορούμε να παρέμβουμε και να τους βοηθήσουμε.
      Δεν είναι πολύ μεγάλη η δυνατότητα παρέμβασής μας, αλλά δεν είναι και τελείως ανύπαρκτη.
      Το ζητούμενο για μένα είναι να την κάνω τη μέγιστη δυνατή.

      Η αναφορά σας στα ημισφαίρια του εγκεφάλου μου θύμισε την εισήγηση του κυρίου Καραγιαννάκη περίπου ένα μήνα πριν στα Χανιά, με θέμα τα μαθησιακά προβλήματα στα Μαθηματικά.
      Η χαρτογράφηση του εγκεφάλου, καθώς αναπτύσσονται οι νευροεπιστήμες, καταδεικνύει ότι οι διεργασίες που συντελούνται κατά την ενασχόλησή μας με τα Μαθηματικά δεν περιορίζονται σε ένα σημείο του εγκεφάλου, όπως μέχρι τώρα πιστεύαμε, αλλά συντελούνται σε πολλά διαφορετικά σημεία που σχεδόν καλύπτουν όλες τις περιοχές του εγκεφάλου.
      Συγκεκριμένα το "κέντρο λήψεις αποφάσεων" βρίσκεται - μας είπε ο κύριος Καραγιαννάκης- στο μετωπιαίο μυελό, πολύ κοντά στο σημείο όπου "παράγονται" τα συναισθήματα και σε αυτό οφείλεται - πιθανότατα - το άγχος που μπλοκάρει πολλούς μαθητές όταν προσπαθούν να λύσουν μια άσκηση ή να απαντήσουν στις ερωτήσεις ενός διαγωνίσματος.

      Τέλος πάντων, το θέμα είναι πολύ μεγάλο και ο δάσκαλος έχει πραγματικά περιορισμένες δυνατότητες να υποστηρίξει τους μαθητές του. Μιλάμε για όλους τους μαθητές. Προφανώς υπάρχουν και οι μαθητές που -σχεδόν ανεξάρτητα από τον δάσκαλο- τα καταφέρνουν τέλεια!

      Καλό βράδυ.

      Διαγραφή
  3. Kαλημέρα κυρία Καλφοπούλου.
    Ενα μεγάλο χαμόγελο για τον Θαυμάσιο τίτλο.
    Εύστροφος, πρωτότυπος,μας δείχνει πόσο απλό είναι το όμορφο.
    Δεν θέλω να συμπληρώσω ούτε να βελτιώσω κάτι απο όσα γράφετε.
    Απλά ξαναγράφω - ανάμεσα στα άλλα- μια φράση μου σε παρόμοια ανάρτηση σας στις 5 Δεκέμβρη εδω στο blog σας.
    <<...Είχατε και σε προηγούμενες αναρτήσεις ασχοληθεί με την δυσκολία των γυμνασιακών τάξεων.Μάλιστα θα αναφέρω την γραφή σας : Ποσο μικρές είναι οι ώρες στο Γυμνάσιο...

    .... ¨Oμως ο άλλος μαθηματικός με/μας
    μάγεψε, Στεναχωριόμασταν όταν χάναμε μάθημα!
    Το Γυμνάσιο έχει αυτήν την ομορφιά-δυσκολία.
    Φαίνεται καλύτερα στην Γ γυμν.
    Εδω η παραγοντοποίηση είναι ο ''μετατροπέας" των μαθητών. Αν προσέχουν, αν λίγο τους κερδίσει
    ο καθηγητης τότε μαγεύονται απο τον εαυτό τους με τις "δύσκολες" ασκήσεις που λύνουν.
    Ζητάνε και άλλες και φέρνουν δικές τους.>>
    Καλή Κυριακή, φίλη Κατερίνα.
    Κωνσταντάρας Γιώργος

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σας ευχαριστώ κύριε Κωνσταντάρα!

      Θυμάμαι το σχόλιο που κάνατε σε προηγούμενη ανάρτηση.
      Επειδή μου έχει τύχει να ζήσω ξανά και ξανά αυτό που περιγράφετε καταλαβαίνω καλά τι λέτε.

      Φέτος, οι δυσκολίες που αντιμετωπίζω είναι ιδιαίτερες. Θα βρω τρόπο να τις ξεπεράσω. Ελπίζω και προσπαθώ...
      Μέχρι τότε δεν έχω παρά να πειραματίζομαι και να διερευνώ τι είναι αυτό που γιγαντώνει χρόνο με το χρόνο τις δυσκολίες...
      Αν και, δεδομένου ότι σχεδόν κάθε χρόνο είμαι σε άλλο σχολείο, δεν μπορώ να έχω σαφή εικόνα για την εξέλιξη της κατάστασης.

      Από το 2011 μέχρι και το 2013 ήμουν σε Λύκειο της Νεάπολης. Εξαιρετικοί οι μαθητές και εξαιρετικές και οι διδακτικές εμπειρίες. Γι' αυτό υπάρχουν και τόσες πολλές αναρτήσεις από εκείνη την περίοδο.
      Το 2014 σε ΕΠΑΛ, άλλη κατάσταση.
      Το 2015 σε ένα Γυμνάσιο στον Εύοσμο. Μοναδική εμπειρία.
      Φέτος πάλι σε Γυμνάσιο, αλλά με την προοπτική της μόνιμης... εγκατάστασης. Κάτι είναι κι αυτό. Τουλάχιστον στο εξής θα έχω κάτι σταθερό... :)

      Κάθε χρόνο, κάθε σχολείο, κάθε συγκυρία μου δίνει μια μοναδική ευκαιρία.
      Και οι καλοί φίλοι- αναγνώστες του ιστολογίου με τα σχόλιά τους παρέχουν το αναγκαίο feedback. :)

      Σας ευχαριστώ πολύ.
      Να είσαστε καλά.

      Διαγραφή