Τετάρτη, 16 Μαρτίου 2016

ΧΑΜΕΝΟΙ ΣΤΗ ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ...

Σήμερα,  διδάσκοντας τα "αλγεβρικά", είχα την ευκαιρία να διαπιστώσω για μια ακόμη φορά πόσο δύσκολη διαδικασία είναι η απόδοση νοήματος στα ποικίλα μαθηματικά σύμβολα από τα μικρά - και από τα μεγαλύτερα - παιδιά. 
Ξεκίνησα τη μέρα μου με ένα τμήμα της Α΄ Γυμνασίου, όπου είχα ήδη διδάξει τις εξισώσεις (όχι με τον τρόπο και τη σειρά του βιβλίου της Α' Γυμνασίου, αλλά με το μοντέλο της ζυγαριάς, ακολουθώντας τις οδηγίες του Συμβούλου, με τις οποίες συμφωνώ απόλυτα). Στο προηγούμενο μάθημα  είχα προχωρήσει στη μετάφραση από τη μια γλώσσα στην άλλη, δηλαδή από τη φυσική στη συμβολική και αντιστρόφως, που είναι και το δυσκολότερο σημείο στις εξισώσεις, αλλά ταυτόχρονα είναι και το σημαντικότερο επειδή η δεξιότητα αυτή είναι προϋπόθεση για την επίλυση προβλημάτων με χρήση εξισώσεων. Άλλωστε την αλγοριθμική διαδικασία επίλυσης εξισώσεων την καταφέρνουν οι περισσότεροι. Μαθαίνουν να εφαρμόζουν οδηγίες, να ακολουθούν βήματα και να λύνουν τις πρωτοβάθμιες εξισώσεις ικανοποιητικά. Και ας είναι μικρά. Αλλά το ζητούμενο δεν είναι η τυφλή εφαρμογή κανόνων, ευτυχώς. Το ζητούμενο είναι η επίλυση προβλημάτων. Και για την επίλυση των προβλημάτων οι μικροί μαθητές πρέπει να εξοικειώνονται με την "λεκτική ανάγνωση" των αλγεβρικών παραστάσεων και των εξισώσεων. Και όχι με την ανάγνωση των συμβόλων που κάνουν συνήθως, προφέροντας ένα ένα τα σύμβολα.
Για το λόγο αυτό αφιερώνω τουλάχιστον ένα μάθημα στη διδασκαλία των "αλγεβρικών".
"Μεταφράστε στα αλγεβρικά την πρόταση "το διπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 10 ισούται με 8" και μετά βρήτε αυτόν τον αριθμό".
"Πώς γίνεται να ισούται το διπλάσιό του, αυξημένο κιόλας κατά δέκα, με έναν αριθμό μικρότερο από το δέκα!?", ακούστηκε μια αυθόρμητη διαμαρτυρία, η οποία αποδεικνύει ότι οι αρνητικοί αριθμοί δεν έχουν  γίνει ακόμη ... εντελώς αποδεκτοί! :).
Μετά ζητάω να κάνουν το αντίστροφο. 
"Μεταφράστε στα ελληνικά την πρόταση 2x-5=12".
Οι περισσότεροι το κάνουν σωστά. Υπάρχουν όμως και απαντήσεις που βοηθάνε τον δάσκαλο να καταλάβει τι δεν έχουν καταλάβει τα παιδιά... Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η ακόλουθη απάντηση από μια μαθήτρια, η οποία γενικά μέχρι τώρα τα πήγαινε πολύ καλά.
Η απάντησή της όμως δείχνει πως το παιδί κάπου έχει.. χαθεί!
[Αν δεν βοηθήσω άμεσα να ξεκαθαρίσει τη λειτουργία του συντελεστή 2 μπροστά από τον άγνωστο x, θα έχει δυσκολίες και εμπόδια στο μέλλον, από αυτά που σιγά σιγά αποτρέπουν τα μικρά παιδιά και τα κάνουν να χάνουν την επαφή και, στο τέλος, να φοβούνται τα Μαθηματικά.]
Την επόμενη ώρα, σε άλλο τμήμα της Α', ξεκίνησα το μάθημα, ζητώντας να μου μεταφράσουν μια πρόταση από τα ελληνικά στα "αλγεβρικά".  
"Και τι είναι, κυρία, τα "αλγεβρικά", γλώσσα;", ρώτησε η μεγαλύτερη αμφισβητίας του τμήματος.
"Ναι, Ιωάννα! Τα "αλγεβρικά" είναι μια γλώσσα με σύμβολα, γραμματικούς και συντακτικούς κανόνες και είναι πολύ περιεκτική και πολύ χρήσιμη, επειδή μας βοηθάει να λύνουμε προβλήματα!", της απάντησα.
"Και μπορούμε με αυτή τη γλώσσα να μιλάμε μεταξύ μας;" 
"Μπορούμε να λύνουμε προβλήματα!", απάντησα.
"Ναι, αλλά μπορούμε να λέμε και λέξεις;" [Ζόρικη η Ιωάννα, το ομολογώ.:)]
"Ε, άμα θέλουμε μπορούμε να τις κωδικοποιούμε", ξανααπάντησα.
"Για πείτε ένα παράδειγμα". 
Έδωσα κι ένα παράδειγμα. 
Ύστερα και με αφορμή τις απορίες της Ιωάννας, έβαλα και μια προαιρετική εργασία για το Σαββατοκύριακο.
"Κωδικοποιείστε το: "ΣΕ ΑΓΑΠΩ" ". Διαπραγματεύτηκαν τη λέξη, "Μπορούμε να διαλέξουμε μια άλλη λέξη, κυρία...". Στο τέλος τα βρήκαμε και, παρά τα πολλά και διάφορα απρόβλεπτα, καταφέραμε να ολοκληρώσουμε το προγραμματισμένο μάθημα.
Ύστερα συνέχισα τη μέρα μου στο Λύκειο.
Στην Α' Λυκείου είχαμε ασκήσεις και προβλήματα στην Αριθμητική Πρόοδο.
Επηρεασμένη από την "αλγεβρική" που είχε προηγηθεί , εξήγησα στα (μεγάλα) παιδιά, πόσο σημαντική είναι η κατανόηση της γλώσσας που χρησιμοποιούμε στην Άλγεβρα και πως όταν δεν μπορούμε να "μεταφράσουμε" στην ελληνική, αλλά απλά διαβάζουμε τα σύμβολα συχνά παρανοούμε την ερμηνεία τους και κάνουμε λάθη...
Στο Λύκειο η αμφισβήτηση έχει άλλη μορφή και άλλο περιεχόμενο από αυτήν που έχει στο Γυμνασίο. "Σιγά...", είπε ένας. Κανένας δε ζήτησε παράδειγμα. Ήταν και 6η ώρα. Αρκετοί είχαν την έκφραση του: "Δεν βαριέσαι, πες μας ό,τι έχεις να μας πεις να τελειώνουμε...".
Υπάρχουν βέβαια πάντα και αυτοί που ακούν προσεκτικά, ακόμη και την έκτη ώρα. Ευτυχώς!
Ανάμεσά τους και ο Παναγιώτης, ο οποίος σήμερα με την απάντηση που έδωσε, όταν ζήτησα να διαβάσει κάποιος τον τύπο: "αν - αν-1 = ω", ξεδίπλωσε ένα μεγάλο πρόβλημα που δημιουργεί ο τρόπος διδασκαλίας των Μαθηματικών στη μεγαλύτερη μερίδα των μαθητών.
Και το πρόβλημα, για μια ακόμη φορά, συνδέεται με τη γλώσσα και με τα Φιλολογικά!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Αλλά τώρα πρέπει να πάω να παρακολουθήσω τη διδακτική πρόταση του συναδέλφου, φιλολόγου Πανταζή Μητελούδη, οπότε θα σας αφήσω και αύριο θα συνεχίσω, επειδή αξίζει να γνωρίζει ο καθηγητής, πώς σκέφτεται ο κάθε μαθητής ...  
  


Πέμπτη, 10 Μαρτίου 2016

8η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΒΔΟΜΑΔΑ ... εξ ορισμού!

Ο μήνας Μάρτιος τα τελευταία οκτώ χρόνια είναι στενά συνδεδεμένος με το Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο που διοργανώνει το Παράρτημα Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. Στο Συνέδριο έχει δοθεί ο τίτλος "Μαθηματική Εβδομάδα", αν και η διάρκειά του είναι μικρότερη. Από Τετάρτη απόγευμα μέχρι Κυριακή μεσημέρι, πλήθος μαθηματικών από όλη την Ελλάδα και όχι μόνο συγκεντρώνονται στη Θεσσαλονίκη, για να καταθέσουν τα ευρήματα των ερευνών τους ή τις σκέψεις και τους προβληματισμούς τους γύρω από τη Μαθηματική έρευνα, αλλά και τη Μαθηματική Εκπαίδευση. Εκπαιδευτικοί και των τριών βαθμίδων, όπως επίσης φοιτητές και μαθητές, συμμετέχουν είτε ως σύνεδροι, για να παρακολουθήσουν ομιλίες που απευθύνονται σε όλες τις ηλικίες και σε όλα τα (μαθηματικά) ενδιαφέροντα είτε ως επισκέπτες, για να δουν τα διάφορα εκθέματα, τα μαθηματικά παιχνίδια και άλλα πολλά και ενδιαφέροντα.
Πολλοί είναι και οι ξένοι καλεσμένοι που συμμετέχουν στο Συνέδριο και με την παρουσία τους το καθιστούν "διεθνές".
Ανάμεσα στα λαμπρά ονόματα των φετινών μας καλεσμένων συμπεριλαμβάνεται και αυτό του Gilles Dowek, ο οποίος είναι μαθηματικός, λογικός και πληροφορικός, ερευνητής στο ΙNRIA (Γαλλικό Εθνικό Ινστιτούτο Έρευνας Πληροφορικής και Αυτοματισμού) και καθηγητής στην Ecole Polytechnique. Ο Dowek, μεταξύ των άλλων διακρίσεων του, τιμήθηκε το 2007 με το "Μεγάλο βραβείο φιλοσοφίας της Γαλλικής Ακαδημίας" για το βιβλίο του "ΟΙ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ. ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΠΑΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΣΤΟΡΙΑ", που κυκλοφορεί στα ελληνικά από τις εκδόσεις ΕΚΚΡΕΜΕΣ σε μετάφραση Τεύκρου Μιχαηλίδη (... όλα τα ιδιαιτέρως ενδιαφέροντα βιβλία ο Τεύκρος Μιχαηλίδης τα μεταφράζει!!! :) ).
Περιμένοντας να γνωρίσω από κοντά τον κύριο Dowek, στον ελεύθερο χρόνο μου -που τελευταία τείνει στο μηδέν- διαβάζω το ΟΙ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ. Η αλήθεια είναι πως το βιβλίο απαιτεί μελέτη και όχι ανάγνωση. Ξεκινώντας από την προϊστορία των Μαθηματικών και τους πρώτους υπολογισμούς, περνά στους πρώτους συλλογισμούς των αρχαίων ελληνικών Μαθηματικών και στον τρόπο που αυτοί εξελήχτηκαν αρκετούς αιώνες μετά, για να γυρίσει και πάλι στους υπολογισμούς και να διατυπώσει τις απόψεις του για τις μεθόδους που θα πρέπει να εφαρμόζουν σήμερα τα Μαθηματικά, στην εποχή της πληροφορίας. 
Αν είχα το δικαίωμα να το κάνω θα χαρακτήριζα την άποψη του Dowek μεταμοντέρνα, προσθέτοντας έτσι μια "πέμπτη φάση" των Μαθηματικών στις τέσσερις που περιγράφει ο Απόστολος Δοξιάδης στο βιβλίο του "Από την παράνοια στους Αλγορίθμους. Η 17η νύχτα και άλλες διαδρομές".
Προτιμώ να μην παραχωρήσω στον εαυτό μου αυτό το δικαίωμα και να αφήσω τέτοιου είδους προσεγγίσεις για τους ειδικούς.
Εγώ θα περιοριστώ στην αναφορά των "a priori συνθετικών κρίσεων", τις οποίες ορίζει και περιγράφει  ο Dowek στη σελίδα 50 του βιβλίου του, εξηγώντας τις διακρίσεις που κάνει ο Kant. 
Η κρίση πως μια πρόταση είναι αναγκαστικά αληθής, εξ ορισμού, όπως για παράδειγμα ότι ένα τρίγωνο έχει τρεις γωνίες, είναι κατά τον Kant αναλυτική κρίση. Αντιθέτως, η κρίση πως η πρόταση είναι αληθής αλλά όχι εξ ορισμού, όπως π.χ.  η πρόταση "η Γη έχει έναν δορυφόρο", λέγεται συνθετική κρίση.
Εκτός από αυτή τη διάκριση ο Kant κάνει μια ακόμη διάκριση. Χαρακτηρίζει "a priori" τις κρίσεις εκείνες που γίνονται μέσα στο μυαλό μας και "a posteriori" αυτές που προκύπτουν ύστερα από παρατήρηση της φύσης.
Ίσως, μας λέει ο Dowek, πιστέψει κάποιος ότι όλες οι αναλυτικές κρίσεις είναι "a priori" και όλες οι συνθετικές "a posteriori", αλλά στην πραγματικότητα δεν ισχύει κάτι τέτοιο. Συγκεκριμένα μας λέει:

Το πιο ονομαστό παράδειγμα συνθετικής κρίσης a priori είναι η κρίση "είμαι". Η φύση υπήρξε επί μακρόν χωρίς εμένα, θα υπάρξει επί μακρόν μετά από εμένα και κάλλιστα θα μπορούσε να υπάρξει χωρίς να υπάρξω ποτέ εγώ. Δεν είναι δυνατόν να πούμε λοιπόν ότι υπάρχω εξ ορισμού. Συνεπώς η κρίση περί της υπάρξεώς μου είναι συνθετική. Αφ' ετέρου, αντίθετα με αυτό που θα έκανα αν ενδιαφερόμουν σχετικά με την ύπαρξη των καγκουρό, δεν μου χρειάζεται να ερευνήσω την αυστραλιανή πανίδα ώστε να βεβαιωθώ για την ίδια μου την ύπαρξη, αφού σκέφτομαι, άρα υπάρχω.

Ως δεύτερο παράδειγμα a priori συνθετικής κρίσης ο Dowek αναφέρει τον χρόνο.
Αλλά δεν έχω χρόνο να το αντιγράψω και θα σταματήσω εδώ, λέγοντας ότι η κρίση πως η πρόταση: 
"Η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα αποτελεί μια ιδιαίτερα επιτυχημένη διοργάνωση" είναι αληθής,
είναι μια ... "a posteriori αναλυτική κρίση"!
Τώρα θα μου πείτε πως αυτό δεν γίνεται. Δεν γίνεται να είναι ταυτόχρονα και  a posteriori (που προκύπτει από παρατήρηση) και αναλυτική (που ισχύει εξ ορισμού), αλλά εγώ θα επιμένω πως γίνεται.
Είναι αναλυτική, επειδή είναι εξ ορισμού επιτυχημένη ή τουλάχιστον επιδιώκουμε να είναι εξ ορισμού επιτυχημένη όλοι εμείς που ασχολούμαστε με τη διοργάνωσή της και την  έχουμε καταστήσει θεσμό.
Και, από την άλλη, είναι a posteriori επιτυχημένη, επειδή οι σύνεδροι που συμμετέχουν  κάθε χρόνο,  φεύγοντας ικανοποιημένοι ανανεώνουν το ραντεβού μας για την επόμενη χρόνια!
Το φετινό ραντεβού, την Τετάρτη 30 Μαρτίου, είναι σε τρεις εβδομάδες!
Όλοι εμείς  θα είμαστε και φέτος εκεί. Για τα Μαθηματικά!
Και θα γνωρίσουμε τον Gilles Dowek και άλλους πολλούς, για να τα πούμε από κοντά!

----------------------------------------------------------------------------
Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη διοργάνωση επισκεφτείτε την ιστοσελίδα της 8ης Μαθηματικής Εβδομάδας, πατώντας εδώ
----------------------------------------------------------------------------
Προς διευκόλυνση των νεαρών αναγνωστών μου - και ιδιαίτερα του μαθητή μου που παρατήρησε πως έχω καιρό να γράψω κάτι στο blog.. :) -, να πω ότι οι a priori κρίσεις γίνονται βάσει της λογικής, ενώ οι a posteriori βάσει των αισθήσεων.