Δευτέρα, 18 Δεκεμβρίου 2017

Περί δημόσιας συζήτησης...

Διαβάζω τον τελευταίο καιρό το βιβλίο του Φρανσουά Ζυλλιέν (François Jullien) "ΕΓΚΩΜΙΟ ΤΗΣ ΑΠΡΑΞΙΑΣ η αποτελεσματικότητα στην κινεζική σκέψη",  που (πρωτο)εκδόθηκε από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης το Νοέμβριο του 2012 και έφτασε στην 4η ανατύπωσή τον Ιανουάριο του τρέχοντος έτους. Καθώς το διαβάζω -και φτάνω πλέον στο τέλος-  αναρρωτιέμαι πώς και δεν είχε πέσει στα χέρια μου νωρίτερα! Είμαι σίγουρη πως αν το είχα διαβάσει τουλάχιστον δύο χρόνια πριν, θα είχα καταφέρει να απαντήσω σε αυτούς που απογοητευμένοι όντες από την Κυβέρνηση, επειδή  δεν κάνει αυτά που είχε υποσχεθεί, καταφέρονται εναντίον της ίδιας τους της αρχικής επιλογής, να ψηφίσουν δηλαδή αυτό που ψήφισαν... 
Θα επανέλθω στο θέμα με ένα απόσπασμα από το βιβλίο, αλλά πρώτα θέλω να κάνω μια αναφορά σε αυτό που ο Ζυλλιέν αποκαλεί "προτυπολογική σκέψη" και εξηγεί πώς η σκέψη αυτή καθορίζει και διαμορφώνει ολόκληρη την Ευρωπαϊκή ιδιοσυγκρασία, η οποία, βεβαίως, εκπήγασε από την αρχαία Ελληνική Φιλοσοφία.
Η "προτυπολογική σκέψη", η σκέψη δηλαδή η οποία στοχεύει σε ένα συγκεκριμένο σκοπό (πρότυπο) και τον οποίον συστηματικά επιδιώκει με την επιλογή των κατάλληλων μέσων, δεν είναι τίποτε άλλο από αυτό που κάνουμε και στο σχολείο μας, τηρουμένων των αναλογιών, είτε ως απλοί διδάσκοντες, ως μαχόμενοι εκπαιδευτικοί, είτε ως ΚΕΕ (Κεντρική Επιτροπή Εξετάσεων) είτε ως ΟΟΣΑ (Οργανισμός Οικονομικής Συνεργασίας και Ανάπτυξης).  
Το βιβλίο του Ζυλλιέν, που δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια ομιλία του σε διευθυντικά στελέχη επιχειρήσεων, πίστευα πως δεν θα είχε να μου δώσει κάτι σχετικό με την τάξη και με το σχολείο γενικότερα, όπως εγώ - η προοδευτική δασκάλα - τα οραματίζομαι. Έπεσα έξω. Έχω συλλέξει αρκετά σημεία, τα οποία σκοπεύω στο μέλλον να επεξεργαστώ είτε πειραματικά στη διδασκαλία είτε θεωρητικά, για να στηρίξω τυχόν προϊόντα αναστοχασμού  πρακτικών και  μεθόδων που έχω κατά καιρούς ακολουθήσει.
Αποτέλεσμα εικόνας για φρανσουά ζυλλιένΕπιστρέφω όμως στο συγκεκριμένο απόσπασμα, τέσσερις μόλις σελίδες πριν από το τέλος του βιβλίου,  το οποίο με ώθησε να γράψω δυο λόγια για ένα σύγγραμμα, που το είδος του δεν φιλοξενείται συνήθως σ΄αυτό το ιστολόγιο.

Γράφει ο Ζυλλιέν στη σελίδα 115:

"[...] Γιατί, όπως πολύ καλά γνωρίζουμε, ο λόγος που στην πολιτική, ιδίως στη Γαλλία, προβαίνουμε σε σχηματοποιήσεις και στη διαμόρφωση ιδεατών προτύπων, όχι μόνο σε αναφορά με τα συντάγματα, αλλά ακόμα και στα προεκλογικά προγράμματα των πολιτικών κομμάτων (γιατί και τα προεκλογικά προγράμματα δεν είναι τίποτε άλλο παρά βραχυπρόθεσμες ή μεσοπρόθεσμες ιδεατές προβολές), δεν είναι ενόψει του περιγραφόμενου μελλοντικού αποτελέσματος: ο λόγος που τα κόμματα συντάσσουν τα προγράμματά τους, όπως "πολύ καλά γνωρίζουμε" δεν είναι για να τα εφαρμόσουν. Διότι κατόπιν θα έλθουν οι "περιστάσεις"... Αυτό το ξέρει όλος ο κόσμος, κανείς δεν είναι τόσο ανόητος... Σε τι λοιπόν χρησιμεύει η διαμόρφωση ιδεατών προτύπων στην πολιτική; Διαμορφώνουμε πρότυπα, όχι για να τα εφαρμόσουμε, αλλά για να συνομιλήσουμε και να συνεννοηθούμε, για να παράξουμε δημοκρατία. Τα προεκλογικά προγράμματα δεν συντάσσονται για να υλοποιηθούν, αλλά για να αντιπαρατεθούμε. Με λίγα λόγια, χρησιμεύουν για να οργανωθεί μια δημόσια συζήτηση."

Κι εγώ, ως μια απλή δασκάλα των Μαθηματικών, αναρρωτιέμαι:
Γιατί, τάχα, δεν αποδεχόμαστε όλοι μας αξιωματικά αυτό που μας λέει ξεκάθαρα ο Ζυλλιέν σχετικά με τον ρόλο και τη λειτουργία των προεκλογικών προγραμμάτων;
Ένα τέτοιο πολιτικό αξίωμα, θεωρώ, θα ήταν ιδιαίτερα χρήσιμο και βολικό. Και, υπό μία έννοια θα  μας επανέφερε στην τάξη, επειδή θα μας υποβίβαζε -επί τέλους- στη χοϊκή μας διάσταση, από την οποία θεωρώ ότι έχουμε προ πολλού ξεφύγει.
Πώς αλλιώς να εξηγήσω ότι όταν εγώ ο (άγνωστος) X, εσύ ο Y ή ο πολιτικός Z, σχεδιάζοντας  το αύριο (το εγγύς ή το απώτερο), θεωρούμε πως είμαστε ικανοί (σαν μικροί ή  μεγάλοι θεοί) να προβλέψουμε τα πάντα, να λάβουμε υπόψη όλες τις "περιστάσεις", να (προ)αξιολογήσουμε τις (μελλοντικές) συνθήκες και να δράσουμε όχι στο εδώ, αλλά στο εκεί, ένα "εκεί" που συντελείται μέσα στις ασύλληπτα δυναμικές καταστάσεις; 
Για τούτο τον λόγο συμφωνώ, στο σημείο αυτό, με τον Φρανσουά Ζυλλιέν.
Τα προεκλογικά προγράμματα των κομμάτων ένα βασικό σκοπό εξυπηρετούν: την οργάνωση της δημόσιας συζήτησης, μέσα από την οποία μπορεί (θεωρητικά μιλώντας) να επιτευχθεί η Δημοκρατία.
Με την ίδια ακριβώς λογική και τα σχέδια μαθήματος, που ετοιμάζουμε εμείς οι δάσκαλοι για την τάξη μας, ένα βασικό σκοπό εξυπηρετούν: την οργάνωση της "συζήτησης" μέσα από την οποία μπορεί να επιτευχθεί η μάθηση, με την ευρύτερή της σημασία.

Σάββατο, 9 Δεκεμβρίου 2017

Συζητώντας με τη Βάλια για τον Πυθαγόρα!

Σήμερα, μετά από πάρα πολύ καιρό, είχα την ευκαιρία να κάνω μια μεγάλη βόλτα στο κέντρο της πόλης και να περάσω από τα βιβλιοπωλεία. Παλιότερα τα πρωινά του Σαββάτου ήταν αφιερωμένα αποκλειστικά σε αυτήν τη δραστηριότητα. Παλιότερα όμως ήταν αλλιώς. Υπήρχαν τα "μικρά" βιβλιοπωλεία του κέντρου, όπου εργάζονταν άνθρωποι που γνωρίζαμε το μικρό τους όνομα, όπως και αυτοί γνώριζαν το δικό μας. Γνώριζαν εμάς, αλλά και τα ενδιαφέροντά μας, τις αναγνώσεις μας και τις αναγνωστικές μας ανησυχίες. Συχνά, μόλις δρασκελίζαμε την πόρτα του βιβλιοπωλείου, μας προλάβαιναν. Κουβαλώντας δυο τρεις καινούριους τίτλους, μαζί με το εγκάρδιο καλωσόρισμα, μας ενημέρωναν για τις νέες εκδόσεις. "Αυτό το έχεις δει;", ρωτούσαν και, ενώ εμείς ξεφυλλίζαμε τα βιβλία που ανέδιδαν ακόμη τη μυρωδιά του φρεσκοκομμένου ξύλου, ξεκινούσε η κουβέντα, που συνήθως συνοδευόταν με μια κούπα ζεστού καφέ. Ήταν σήμα κατατεθέν η καφετέρια. Σε κεντρική θέση, πάντα γεμάτη και αχνιστή ερέθιζε τα ρουθούνιά μας, όπως και οι πολύχρωμες στριμωγμένες ράχες των καινούριων βιβλίων στα ράφια ερέθιζαν τη φαντασία μας. Στα πατάρια και στα υπόγεια τέτοιων βιβλιοπωλείων έχω περάσει πολλά χειμωνιάτικα πρωινά Σαββάτου. Όμως εκείνες οι όμορφες και ξέγνοιαστες εποχές χάθηκαν, όπως χάθηκαν τα "μικρά" βιβλιοπωλεία του κέντρου με τη ζεστή τους ατμόσφαιρα και τη διαπροσωπική επικοινωνία... Στη θέση τους τα πολυκαταστήματα, οι μεγάλες αλυσίδες και οι νεαροί -συνήθως- υπάλληλοι με το καρτελάκι που γράφει το όνομά τους και που σχεδόν ποτέ δεν χρειάζεται να διαβάσουμε. Άλλωστε ο χρόνος που συνδιαλεγόμαστε είναι ελάχιστος. "Μπορώ να βοηθήσω;". "Ναι, παρακαλώ. Θα ήθελα το...". "Από δω. Αν θέλετε κάτι άλλο, μου λέτε.". Τι νόημα έχει να γνωρίζεις το όνομα του συνομιλητή σε μια τέτοια στιχομυθία; Δεν πα να τον λένε Χαράλαμπο ή Γιάννη ή Μαρία; Τέλος πάντων... Ας είναι.
Η σημερινή βόλτα, όμως, ήταν ξεχωριστή και είχε κάτι από το άρωμα και την ομορφιά εκείνης της περασμένης εποχής, επειδή την έκανα με τη φίλη μου τη Βάλια. Η Βάλια είναι νέα, είναι φιλόλογος, είναι ενθουσιώδης και αγαπάει πολύ τα Μαθηματικά. Είναι από τις πλέον ένθερμες αναγνώστριες του ιστολογίου μου. Διαβάζει διεξοδικά όλες τις αναρτήσεις, ακόμη και αυτές που ξεφεύγουν κάπως στα Μαθηματικά και περιγράφουν λεπτομέρειες μη οικείες σε μη μαθηματικούς. Η Βάλια τα διαβάζει όλα. Δεν αφήνει τίποτα. Συχνά, μάλιστα, παίρνει μολύβι και χαρτί, για να λύσει τις ασκήσεις που παραθέτω στα κείμενά μου. "Αν δεν τις λύσω μόνη μου, πώς θα τις καταλάβω;", μου λέει κάθε φορά που της εκράζω τον θαυμασμό μου, για την επιμονή της. Άλλοτε, πάλι, προστρέχει στα σχολικά βιβλία για να θυμηθεί κάποιες από καιρό ξεχασμένες έννοιες, όπως για παράδειγμα τα διανύσματα. Μακάρι να έκαναν το ίδιο και οι μαθητές μας. Να άνοιγαν δηλαδή τα βιβλία προηγούμενων τάξεων, όποτε διαπίστωναν ότι δεν θυμούνται κάτι...
Η Βάλια, που μένει  σε άλλη πόλη, ήρθε στη Θεσσαλονίκη για Σαββατοκύριακο. Κανονίσαμε να βρεθούμε, για να τα πούμε. Και βρεθήκαμε. Επί δύο ώρες μπαίναμε και βγαίναμε στα βιβλιοπωλεία του κέντρου. Καθοδόν ανοίγαμε μια συζήτηση και πριν την ολοκληρώσουμε μπαίναμε σε ένα βιβλιοπωλείο και εκεί ανοίγαμε βιβλία, χανόμασταν η καθεμια στις δικές της αναζητήσεις, ξαναβρισκόμασταν. Σχολιάζαμε, σκαρφαλώναμε στα ράφια. Μου κατέβαζε όσα εγώ δεν έφτανα. Δείχναμε η μια στην άλλη ποια βιβλία διάβασε και ποια θέλει να διαβάσει. Όλα! Όλα τα θέλαμε! 
"Γιατί κρατάει τόσο λίγο η ζωή μας, όταν υπάρχουν τόσα πολλά βιβλία που θέλουμε να διαβάσουμε;". "Γιατί να ζούμε μόνο μια ζωή;".  "Τι να χωρέσει μια ζωή μόνο;"
Μας έπιασε μια κάπως ελαφρά απελπισία. Τότε αποφασίσαμε να πάμε κάπου για καφέ, να συζητήσουμε τα θέματα που είχαμε καθοδόν ανοίξει... Να πούμε, τέλος πάντων, αυτά που λένε δυο φίλες, όταν βρίσκονται για να τα πούνε. 
Πριν ακόμη έρθουν τα ροφήματα που παραγγείλαμε μου λέει η Βάλια "Με αφορμή την ανάρτησή σου στις 6-12, να σου πω. Το δεύτερο μέρος δεν το κατάλαβα... Το πρώτο το κατάλαβα. Τα σημεία Κ, Λ, εντάξει. Είδα που έλεγε ευθεία. Στην αρχή δεν το είχα δει και δεν μου' βγαινε, αλλά μετά το ξαναδιάβασα. Το δεύτερο μέρος όμως δεν το κατάλαβα...". (Για το σχετικό κείμενο βλέπε εδώ)

Απόρησα. Το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος; Ποιος δεν το κατάλαβε; Η φίλη μου η Βάλια; Η Βάλια, η οποία -διαβάζοντας το βιβλίο μου, "Ο Γιάννης που αγάπησα" - λύνει μόνη της, με μολύβι και χαρτί τις ασκήσεις της Γεωμετρίας που συναντάει; Περίεργο.












"Το Πυθαρόγειο θεώρημα μας λέει...". Δεν πρόλαβα να τελειώσω τη φράση μου."Μας λέει ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών",  είπε. "Ωραία. Ένα θεώρημα έχει την υπόθεση, το δεδομένο του δηλαδή, έχει και το συμπέρασμα. Στο αντίστροφο...", πάλι δεν πρόλαβα να τελειώσω τη φράση μου. Φωτίστηκε το πρόσωπό της! "Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο!", είπε με ένα πλατύ χαμόγελο, που όμως δεν στάθηκε αρκετό να νεύσω καταφατικά και να το προσπεράσω. 
"Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς (όχι της υποτείνουσαςισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία αυτήν που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά.", είπα, καθώς η μαθηματική επαγγελματική μου ... διαστροφή -ακόμη και σε μια τέτοια χαλαρή συζήτηση, με μια αγαπημένη φίλη μη μαθηματικό και δη φιλόλογο- απαιτεί την ακριβή διατύπωση... 
Είπαμε με τη Βάλια κι άλλα για τον Πυθαγόρα, για το θεώρημά του, το ευθύ και το αντίστροφο, αλλά κυρίως είπαμε, δηλαδή εγώ ήμουν που, με αφορμή τη δυσκολία της να κατανοήσει το δεύτερο μέρος της τελευταίας μου ανάρτησης, είπα ότι εμείς -οι δάσκαλοι των Μαθηματικών- έχουμε μεγάλη δυσκολία στο να κατανοούμε ποιο σημείο ακριβώς είναι αυτό που δυσκολεύει τους μη μαθηματικούς να κατανοήσουν κάτι που λέμε. 
 Γι' αυτό - και όχι μόνο - είναι πολύτιμοι οι φίλοι σαν τη Βάλια, που καίτοι μη  μαθηματικοί αγαπούν τα Μαθηματικά, κοπίαζουν να τα καταλάβουν και συζητούν μαζί μας ό,τι απορίες τους προκύπτουν σχετικά. Μας βοηθάνε έτσι να φτάσουμε στον πυρήνα της δυσκολίας, αυτής της δυσκολίας που συνήθως οι μαθητές μας δεν είναι σε θέση να διατυπώσουν και να εξωτερικεύσουν ρητά, οπότε μας δίνουν εσφαλμένα την  εντύπωση πως τα κατάλαβαν καλά. 
Τελικά, Βάλια, πιστεύω πως πρέπει να έρχεσαι στη Θεσσαλονίκη πιο συχνά. :)
Να είσαι πάντα καλά και να μου δίνεις - όπως σήμερα - χαρά!

Τετάρτη, 6 Δεκεμβρίου 2017

(απο)Δομώντας και "διερευνώντας" το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Φέτος διδάσκω στην Α' και στη Β' Γυμνασίου. Στην Α' δίδαξα και τα δύο προηγούμενα χρόνια σε αρκετά τμήματα, ενώ στην Β' είχα ένα μόνο τμήμα πρόπερσι. Παρόλο που έχω πλέον μια (έστω και μικρή) εμπειρία στο Γυμνάσιο, συχνά βρίσκομαι μπροστά σε ερωτήματα που έχουν να κάνουν με τον τρόπο διδασκαλίας μιας καινούριας έννοιας, ενός θεωρήματος ή μιας διαδικασίας. Θα μου πει κάποιος - και ενδεχομένως να έχει δίκαιο - γιατί δεν μελετώ προσεκτικά τις οδηγίες διδασκαλίας και γιατί δεν τις εφαρμόζω κατά γράμμα ή έστω στο βαθμό που μου το επιτρέπουν οι συνθήκες, ώστε να ξεπεράσω τις τυχόν απορίες, δυσκολίες ή ό,τι άλλο προκύπτει κατά την πορεία της διδασκαλίας. Και τότε εγώ - που έχω έτοιμη την απάντηση - θα του πω: επειδή οι οδηγίες διδασκαλίας θεωρούν a priori  δεδομένη την αποτελεσματική επικοινωνία του εκπαιδευτικού με τα παιδιά, καθώς και την επικοινωνία των παιδιών με τα κείμενα, τα γραπτά και τα προφορικά, μέσω των οποίων γίνεται η προσέγγιση της νέας γνώσης. Η επικοινωνία αυτή όμως ούτε αυτονόητη είναι ούτε πάντα εφικτή, επειδή δεν μιλάμε όλοι την ίδια γλώσσα. Μπορεί το θέμα της γλώσσας να το θίγω συχνά, είτε διδάσκω σε Λύκειο είτε σε Γυμνάσιο, αλλά το ζητούμενο είναι να ξεπεραστεί το επικοινωνιακό πρόβλημα που υπάρχει στις τάξεις των σχολείων μας και όχι να παρουσιάζω σε τούτο το ιστολόγιο ... πρωτότυπα θέματα! 
Για τον λόγο αυτό, επειδή δηλαδή διαπιστώνω πως τα επικοινωνιακά μας θέματα  στο μάθημα όχι μόνο δεν ξεπερνιούνται, αλλά δείχνουν να αυξάνονται, κάθε χρόνο ολοένα και περισσότερο επιχειρώ - ειδικά τώρα που διδάσκω σε μικρά παιδιά - να βάλω κάποιες βάσεις στα Μαθηματικά, που δομούνται πάνω σε γλωσσικές / φιλολογικές αναλύσεις, με όλες τις επιφυλάξεις που πρέπει να έχει ο μη ειδικός - όπως εγώ - όταν επεκτείνεται σε ... ξένα χωράφια.  Τώρα μπαίνει πάλι το θέμα ποια χωράφια είναι ξένα και ποια οικεία; Πού μπαίνουν τα όρια και πόσο αδιαπέραστα ή απαράβατα είναι τα όρια αυτά; 
Προτιμώ να αφήσω το ερώτημα ανοιχτό και αντί οποιασδήποτε απάντησης να παραθέσω δύο περιστατικά από την σχολική τάξη.

Στην Α' Γυμνασίου έδωσα για εργασία στο σπίτι, μεταξύ άλλων,  την άσκηση:
Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=4,5 cm. Πάνω στην ευθεία ΑΒ πάρε ένα σημείο Κ, τέτοιο ώστε ΑΚ=3 cm και ένα άλλο σημείο Λ, τέτοιο ώστε ΒΛ=3,5 cm. (α) Να βρεις το μήκος του ΚΛ, (β) Σε ποια περίπτωση συμβαίνει να είναι ΚΛ=11 cm; (γ) Να διερευνήσεις σε ποιες περιπτώσεις το ΚΛ είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 11 cm. (Άσκηση 11, σελίδα 164 σχολικού).
Την επομένη τα παιδιά ζήτησαν να την εξηγήσω στον πίνακα, επειδή δεν την κατάλαβαν. Στην ίδια σελίδα του σχολικού, όλες οι προηγούμενες ασκήσεις, που είχαν γίνει ήταν ανάλογες. Τι ήταν αυτό που έκανε την άσκηση 11 δυσνόητη; Ήταν αυτό το "Να διερευνήσεις...". Τι πάει να πει;  Πώς γίνεται; Τι πρέπει να κάνει ένας μικρός μαθητής προκειμένου να "διερευνήσει", όταν δεν γνωρίζει την λέξη;
Ή να το θέσω αλλιώς: τι πρέπει να κάνω εγώ, ο μαθηματικός, όταν οι μαθητές μου συναντούν τέτοιες δυσκολίες, κάτι μάλιστα που συμβαίνει συχνά;
Αναγκάστηκα να αφιερώσω χρόνο, για να εξηγήσω τι σημαίνει "διερευνώ". Και φυσικά αξιοποίησα την ευκαιρία που μου δόθηκε να μιλήσω όχι μόνο γενικά για τη διερεύνηση, αλλά και ειδικά για τη διερεύνηση στα Μαθηματικά. 
"Η διερεύνηση στα Μαθηματικά είναι μια πολύ σημαντική δραστηριότητα. Διερευνώ σημαίνει..." Και κάθε φορά που έλεγα κάτι ρωτούσα αν ήξεραν την επόμενη λέξη που χρησιμοποιούσα. Τους είχα πάρει από φόβο. Αποκατάσταση. Ξέρετε τι σημαίνει; Όχι,  δεν ήξεραν. Γράψτε, αποκατάσταση είναι... 
Και ο χρόνος φεύγει και δεν ξέρω ποιο είναι το πιο χρήσιμο. Να τους δείξω να χρησιμοποιούν το μοιρογνωμόνιο ή να κάνω ό,τι περνάει από το χέρι μου για να διασφαλίσω τη λεκτική μας επικοινωνία;
Και για την Α' Γυμνασίου, λέω: Είναι Α' Γυμνασίου, ας τους βάλω σιγά σιγά στο πνεύμα, ας τους "καλοπιάσω", ας τους καλλιεργήσω τις απαραίτητες δεξιότητες για διερευνητική μάθηση, ας ξεκλέψω λίγο χρόνο από τη μέτρηση γωνιών με το μοιρογνωμόνιο, που ούτως ή άλλως σε λαθεμένα αποτελέσματα καταλήγει. Από την άλλη όμως δεν είναι και η χρήση των γεωμετρικών οργάνων, των οργάνων γενικότερα, μια απαραίτητη δεξιότητα; Τι προέχει; Πού να καταναλώσω τον λίγο χρόνο μου; Τέλος πάντων. Χτυπάει κουδούνι. Ό,τι προλάβαμε προλάβαμε. 

Πάμε στη Β'. 
Πυθαγόρειο θεώρημα. Πόσο όμορφα Μαθηματικά! Διαχρονικά, καθολικά και αδιάσειστα! Τριακόσιες και βάλε αποδείξεις πιστοποιούν ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών! Κάτι που και λέγεται και συμβολίζεται, α^2=β^2+γ^2, και ζωγραφίζεται. Όπως και να το δεις είναι πανέμορφο! Μέχρι που έρχεται η ώρα να το αντιστρέψουμε. Έρχεται, δηλαδή, η ώρα να διδάξω το αντίστροφο του Πυθογορείου θεωρήματος. Και τότε ζητάω από τα παιδιά να αντιστρέψουν το θεώρημα. "Να κάνετε την υπόθεση συμπέρασμα και το συμπέρασμα υπόθεση" τους λέω, με τη βεβαιότητα πως ζητώ το αυτονόητο. 
Και αρχίζουν να ακούγονται διάφορα. "Να γράψουμε β^2+γ^2=α^2", λέει ένας. "Αυτό δεν είναι αντιστροφή του θεωρήματος, είναι η ανακλαστική ιδιότητα της ισότητας" απαντώ εγώ. Κουνάει το παδί το κεφάλι, προσποιούμενο πως κατάλαβε... Ακούστηκαν κι άλλα παρόμοια. Μέχρι που μια μαθήτρια είπε: "Να γυρίσουμε το τρίγωνο ανάποδα"! Αστειευόμενη θα το είπε, θέλω να πιστεύω, αλλά ποτέ δεν ξέρεις τι βλέπουν και πώς σκέφτονται. Τι στ' αλήθεια κατανοούν αυτά τα μικρά παιδιά, που γεμίζουν τις τάξεις μου και τον χρόνο μου;
Κάθε χρόνο, έχω την εντύπωση, κατανοούν διαφορετικά πράγματα. Ή μήπως είμαι εγώ που κατανοώ διαφορετικά το τι κατανοούν τα παιδιά; Όπως και να έχει, σήμερα αναγκάστηκα να μιλήσω στη Β' Γυμνασίου για τη "δομή" του θεωρήματος. Αναγκάστηκα, επειδή δεν μπορούσαν ούτε κατά διάνοια να βρουν τι να κάνουν για να αντιστρέψουν το Πυθαγόρειο θεώρημα.Έπρεπε τάχα να γνωρίζουν; Και αν ναι, από πού; Πού έμαθαν, πού άκουσαν για αυτό που στα Μαθηματικά λέμε "θεώρημα". Πώς τους έφερα έτσι ... άγαρμπα σε επαφή με ένα θαυμαστό θεώρημα, χωρίς να τους έχω πρώτα εξηγήσει τι είναι ένα θεώρημα; Γιατί δεν το σκέφτηκα νωρίτερα;  
Πάμε πάλι. Η δομή ενός θεωρήματος είναι η εξής: υπόθεση, τα δεδομένα δηλαδή, και συμπέρασμα, αυτό που προκύπτει, που συνεπάγεται από την υπόθεση. Μεσολαβεί, βεβαίως, η απόδειξη...

Απόδειξη; Άλλη πονεμένη ιστορία. Η μαθηματική απόδειξη στα γυμνασιακά Μαθηματικά...

Τι τους μαθαίνουμε τελικά; Πώς να το διδάξουμε σωστά;
Κάθε χρόνο, εδώ και τρία χρόνια, συνειδητοποιώ πόσο πιο δύσκολο είναι να διδάσκεις στα μικρά παιδιά... Όμως είναι θέμα χρόνου, ελπίζω, να βρω πώς θα το κάνω σωστά...