Τετάρτη, 6 Δεκεμβρίου 2017

(απο)Δομώντας και "διερευνώντας" το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Φέτος διδάσκω στην Α' και στη Β' Γυμνασίου. Στην Α' δίδαξα και τα δύο προηγούμενα χρόνια σε αρκετά τμήματα, ενώ στην Β' είχα ένα μόνο τμήμα πρόπερσι. Παρόλο που έχω πλέον μια (έστω και μικρή) εμπειρία στο Γυμνάσιο, συχνά βρίσκομαι μπροστά σε ερωτήματα που έχουν να κάνουν με τον τρόπο διδασκαλίας μιας καινούριας έννοιας, ενός θεωρήματος ή μιας διαδικασίας. Θα μου πει κάποιος - και ενδεχομένως να έχει δίκαιο - γιατί δεν μελετώ προσεκτικά τις οδηγίες διδασκαλίας και γιατί δεν τις εφαρμόζω κατά γράμμα ή έστω στο βαθμό που μου το επιτρέπουν οι συνθήκες, ώστε να ξεπεράσω τις τυχόν απορίες, δυσκολίες ή ό,τι άλλο προκύπτει κατά την πορεία της διδασκαλίας. Και τότε εγώ - που έχω έτοιμη την απάντηση - θα του πω: επειδή οι οδηγίες διδασκαλίας θεωρούν a priori  δεδομένη την αποτελεσματική επικοινωνία του εκπαιδευτικού με τα παιδιά, καθώς και την επικοινωνία των παιδιών με τα κείμενα, τα γραπτά και τα προφορικά, μέσω των οποίων γίνεται η προσέγγιση της νέας γνώσης. Η επικοινωνία αυτή όμως ούτε αυτονόητη είναι ούτε πάντα εφικτή, επειδή δεν μιλάμε όλοι την ίδια γλώσσα. Μπορεί το θέμα της γλώσσας να το θίγω συχνά, είτε διδάσκω σε Λύκειο είτε σε Γυμνάσιο, αλλά το ζητούμενο είναι να ξεπεραστεί το επικοινωνιακό πρόβλημα που υπάρχει στις τάξεις των σχολείων μας και όχι να παρουσιάζω σε τούτο το ιστολόγιο ... πρωτότυπα θέματα! 
Για τον λόγο αυτό, επειδή δηλαδή διαπιστώνω πως τα επικοινωνιακά μας θέματα  στο μάθημα όχι μόνο δεν ξεπερνιούνται, αλλά δείχνουν να αυξάνονται, κάθε χρόνο ολοένα και περισσότερο επιχειρώ - ειδικά τώρα που διδάσκω σε μικρά παιδιά - να βάλω κάποιες βάσεις στα Μαθηματικά, που δομούνται πάνω σε γλωσσικές / φιλολογικές αναλύσεις, με όλες τις επιφυλάξεις που πρέπει να έχει ο μη ειδικός - όπως εγώ - όταν επεκτείνεται σε ... ξένα χωράφια.  Τώρα μπαίνει πάλι το θέμα ποια χωράφια είναι ξένα και ποια οικεία; Πού μπαίνουν τα όρια και πόσο αδιαπέραστα ή απαράβατα είναι τα όρια αυτά; 
Προτιμώ να αφήσω το ερώτημα ανοιχτό και αντί οποιασδήποτε απάντησης να παραθέσω δύο περιστατικά από την σχολική τάξη.

Στην Α' Γυμνασίου έδωσα για εργασία στο σπίτι, μεταξύ άλλων,  την άσκηση:
Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=4,5 cm. Πάνω στην ευθεία ΑΒ πάρε ένα σημείο Κ, τέτοιο ώστε ΑΚ=3 cm και ένα άλλο σημείο Λ, τέτοιο ώστε ΒΛ=3,5 cm. (α) Να βρεις το μήκος του ΚΛ, (β) Σε ποια περίπτωση συμβαίνει να είναι ΚΛ=11 cm; (γ) Να διερευνήσεις σε ποιες περιπτώσεις το ΚΛ είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 11 cm. (Άσκηση 11, σελίδα 164 σχολικού).
Την επομένη τα παιδιά ζήτησαν να την εξηγήσω στον πίνακα, επειδή δεν την κατάλαβαν. Στην ίδια σελίδα του σχολικού, όλες οι προηγούμενες ασκήσεις, που είχαν γίνει ήταν ανάλογες. Τι ήταν αυτό που έκανε την άσκηση 11 δυσνόητη; Ήταν αυτό το "Να διερευνήσεις...". Τι πάει να πει;  Πώς γίνεται; Τι πρέπει να κάνει ένας μικρός μαθητής προκειμένου να "διερευνήσει", όταν δεν γνωρίζει την λέξη;
Ή να το θέσω αλλιώς: τι πρέπει να κάνω εγώ, ο μαθηματικός, όταν οι μαθητές μου συναντούν τέτοιες δυσκολίες, κάτι μάλιστα που συμβαίνει συχνά;
Αναγκάστηκα να αφιερώσω χρόνο, για να εξηγήσω τι σημαίνει "διερευνώ". Και φυσικά αξιοποίησα την ευκαιρία που μου δόθηκε να μιλήσω όχι μόνο γενικά για τη διερεύνηση, αλλά και ειδικά για τη διερεύνηση στα Μαθηματικά. 
"Η διερεύνηση στα Μαθηματικά είναι μια πολύ σημαντική δραστηριότητα. Διερευνώ σημαίνει..." Και κάθε φορά που έλεγα κάτι ρωτούσα αν ήξεραν την επόμενη λέξη που χρησιμοποιούσα. Τους είχα πάρει από φόβο. Αποκατάσταση. Ξέρετε τι σημαίνει; Όχι,  δεν ήξεραν. Γράψτε, αποκατάσταση είναι... 
Και ο χρόνος φεύγει και δεν ξέρω ποιο είναι το πιο χρήσιμο. Να τους δείξω να χρησιμοποιούν το μοιρογνωμόνιο ή να κάνω ό,τι περνάει από το χέρι μου για να διασφαλίσω τη λεκτική μας επικοινωνία;
Και για την Α' Γυμνασίου, λέω: Είναι Α' Γυμνασίου, ας τους βάλω σιγά σιγά στο πνεύμα, ας τους "καλοπιάσω", ας τους καλλιεργήσω τις απαραίτητες δεξιότητες για διερευνητική μάθηση, ας ξεκλέψω λίγο χρόνο από τη μέτρηση γωνιών με το μοιρογνωμόνιο, που ούτως ή άλλως σε λαθεμένα αποτελέσματα καταλήγει. Από την άλλη όμως δεν είναι και η χρήση των γεωμετρικών οργάνων, των οργάνων γενικότερα, μια απαραίτητη δεξιότητα; Τι προέχει; Πού να καταναλώσω τον λίγο χρόνο μου; Τέλος πάντων. Χτυπάει κουδούνι. Ό,τι προλάβαμε προλάβαμε. 

Πάμε στη Β'. 
Πυθαγόρειο θεώρημα. Πόσο όμορφα Μαθηματικά! Διαχρονικά, καθολικά και αδιάσειστα! Τριακόσιες και βάλε αποδείξεις πιστοποιούν ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών! Κάτι που και λέγεται και συμβολίζεται, α^2=β^2+γ^2, και ζωγραφίζεται. Όπως και να το δεις είναι πανέμορφο! Μέχρι που έρχεται η ώρα να το αντιστρέψουμε. Έρχεται, δηλαδή, η ώρα να διδάξω το αντίστροφο του Πυθογορείου θεωρήματος. Και τότε ζητάω από τα παιδιά να αντιστρέψουν το θεώρημα. "Να κάνετε την υπόθεση συμπέρασμα και το συμπέρασμα υπόθεση" τους λέω, με τη βεβαιότητα πως ζητώ το αυτονόητο. 
Και αρχίζουν να ακούγονται διάφορα. "Να γράψουμε β^2+γ^2=α^2", λέει ένας. "Αυτό δεν είναι αντιστροφή του θεωρήματος, είναι η ανακλαστική ιδιότητα της ισότητας" απαντώ εγώ. Κουνάει το παδί το κεφάλι, προσποιούμενο πως κατάλαβε... Ακούστηκαν κι άλλα παρόμοια. Μέχρι που μια μαθήτρια είπε: "Να γυρίσουμε το τρίγωνο ανάποδα"! Αστειευόμενη θα το είπε, θέλω να πιστεύω, αλλά ποτέ δεν ξέρεις τι βλέπουν και πώς σκέφτονται. Τι στ' αλήθεια κατανοούν αυτά τα μικρά παιδιά, που γεμίζουν τις τάξεις μου και τον χρόνο μου;
Κάθε χρόνο, έχω την εντύπωση, κατανοούν διαφορετικά πράγματα. Ή μήπως είμαι εγώ που κατανοώ διαφορετικά το τι κατανοούν τα παιδιά; Όπως και να έχει, σήμερα αναγκάστηκα να μιλήσω στη Β' Γυμνασίου για τη "δομή" του θεωρήματος. Αναγκάστηκα, επειδή δεν μπορούσαν ούτε κατά διάνοια να βρουν τι να κάνουν για να αντιστρέψουν το Πυθαγόρειο θεώρημα.Έπρεπε τάχα να γνωρίζουν; Και αν ναι, από πού; Πού έμαθαν, πού άκουσαν για αυτό που στα Μαθηματικά λέμε "θεώρημα". Πώς τους έφερα έτσι ... άγαρμπα σε επαφή με ένα θαυμαστό θεώρημα, χωρίς να τους έχω πρώτα εξηγήσει τι είναι ένα θεώρημα; Γιατί δεν το σκέφτηκα νωρίτερα;  
Πάμε πάλι. Η δομή ενός θεωρήματος είναι η εξής: υπόθεση, τα δεδομένα δηλαδή, και συμπέρασμα, αυτό που προκύπτει, που συνεπάγεται από την υπόθεση. Μεσολαβεί, βεβαίως, η απόδειξη...

Απόδειξη; Άλλη πονεμένη ιστορία. Η μαθηματική απόδειξη στα γυμνασιακά Μαθηματικά...

Τι τους μαθαίνουμε τελικά; Πώς να το διδάξουμε σωστά;
Κάθε χρόνο, εδώ και τρία χρόνια, συνειδητοποιώ πόσο πιο δύσκολο είναι να διδάσκεις στα μικρά παιδιά... Όμως είναι θέμα χρόνου, ελπίζω, να βρω πώς θα το κάνω σωστά...

11 σχόλια:

  1. Πολύ εύστοχες οι παρατηρήσεις σου..κι εγώ που φέτος κάνω-για πρώτη φορά- Φυσική στη Β γυμνασίου, αντιμετωπίζω παρόμοια προβλήματα.
    Αφιερώνω αρκετό χρόνο σε " φιλολογικές" παρατηρήσεις, προσπαθώντας να εξηγήσω λέξεις και έννοιες που χρησιμοποιούμε και που συνήθως θεωρούμε πως τα παιδιά τις κατανοούν...Επίσης, υπάρχει και το φαινόμενο της αναντιστοιχίας των μαθηματικών προαπαιτούμενων. Πχ τα παιδιά δεν είχαν διδαχθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα που είναι απαραίτητο για τη σύνθεση δυο κάθετων δυνάμεων..αναγκαστικά προσπάθησα να τους εξηγήσω εγώ όσο καλύτερα μπορούσα...Υπάρχει και το μεγάλο θέμα της σύνδεσης θεμάτων από διάφορους τομείς της επιστήμης. αλλά αυτό είναι ένα τεράστιο κενό στην εκπαίδευση και θέμα μεγάλης κουβέντας...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Συγχαρητήρια Κατερίνα για τα τόσο εύστοχα σχόλιά σου αλλά και για το νέο σου βιβλίο!! Εχω να προσθέσω και εγώ στην έτοιμη απάντησή σου :"Και τότε εγώ - που έχω έτοιμη την απάντηση - θα του πω: επειδή οι οδηγίες διδασκαλίας θεωρούν a priori δεδομένη την αποτελεσματική επικοινωνία του εκπαιδευτικού με τα παιδιά, καθώς και την επικοινωνία των παιδιών με τα κείμενα, τα γραπτά και τα προφορικά, μέσω των οποίων γίνεται η προσέγγιση της νέας γνώσης" ότι θεωρούν a priori δεδομένο πως τα παιδιά γνωρίζουν την ύλη προηγούμενων τάξεων!!!π.χ. Στην μετατροπή μονάδων την οποία έχουν διδαχθεί στο δημοτικό αλλά και στη φυσική έγινε Βατερλώ όταν έγραψαν τεστάκι! Ειδικά στα ποσοστά διαπίστωσα ότι παρά το ότι τα διδάχθηκαν στο δημοτικό ΔΕΝ έχουν κατανοήσει τίποτα ακόμα και καλοί μαθητές! Δεν γνωρίζουν την διαφορά του τόκου από το επιτόκιο και φυσικά δεν μιλάμε για ένοιες όπως της κεφαλαιοποίησης του ανατοκισμού κτλ. Σε μια ερώτηση μου για το πώς λειτουργούν οι τράπεζες (ότι δανείζονται χρήματα που τα δανείζουν με μεγαλύτερο επιτόκιο) δεν γνώριζε ούτε ένα παιδάκι Α Γυμνασίου να μου πει κάτι σχετικό! Πολλά δε παιδιά μου απάντησαν ότι οι τράπεζες είναι απατεώνες αφού παίρνουν τα σπίτια του κόσμου και βιοπορίζονται από αυτό!!! Δεν ξέρω αν κάνω λάθος αλλά έχω την αίσθηση ότι κάθε χρόνο υποβαθμίζεται το επίπεδο των μαθητών που παραλαμβάνουμε από το δημοτικό στην Α΄Γυμνασίου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Από όσο θυμάμαι δε διδάσκονται πλέον στο Δημοτικό οι τόκοι και τίποτα σχετικό με το τραπεζικό σύστημα. Ευτυχώς γιατί δεν υπάρχει χρόνος.

      Η έλλειψη χρόνου, αλλά και η ακατάλληλη διδασκαλία, ευθύνεται και για τα προβλήματα με τις μετρήσεις. Πάντως, όσο καλά και να τα διδάξεις, πάλι θα θέλουν καλές επαναλήψεις στο Γυμνάσιο. Τα παιδιά του Δημοτικού δεν έχουν τις νοητικές ικανότητες των παιδιών του Γυμνασίου.

      Διαγραφή
  3. Ευαγγελια Παπασαββα7 Δεκεμβρίου 2017 - 3:50 μ.μ.

    Για άλλη μια φορά εύστοχα και με γλαφυρότητα αναπτύσσεις τους προβληματισμούς σου οι οποίοι τελικά είναι διαχρονικοί!Το ίδιο πρόβλημα αντιμετώπιζα και εγώ χρόνια πριν!Δυστυχώς η λεξιπενία είναι υπαρκτό πρόβλημα και χρειάζεται να αντιμετωπιστεί!Ομως πώς;;;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευαγγελία, η επικράτηση της εικόνας (της οθόνης) χρόνο με τον χρόνο δημιουργεί καινούρια προβλήματα.
      Θυμάμαι όμως και τη δική μου δασκάλα. Τις παρατηρήσεις που έκανε στους γονείς μας. Τους έλεγε: μην αφήνετε τα παιδιά να διαβάζουν Μικυ Μάους, γιατί μετά γράφουν στις εκθέσεις "άουτσ μπανγκ μπουνγκ"...".
      Σήμερα θα ήταν ευχής έργον να κλείσει ένα μικρό παιδάκι το κινητό (του γονιού συνήθως) όπου παίζει ένα πολεμοχαρές παιχνίδι και να ανοίξει ένα Μίκυ Μάους. Όχι;

      Σε ευχαριστώ για το σχόλιο. Για τα σχόλια γενικά. Μου ανοίγουν δρόμους σε νέες σκέψεις.

      Διαγραφή
  4. Σωτήρης Γκουντουβάς7 Δεκεμβρίου 2017 - 9:52 μ.μ.

    “Πού έμαθαν, πού άκουσαν για αυτό που στα Μαθηματικά λέμε "θεώρημα". Πώς τους έφερα έτσι ... άγαρμπα σε επαφή με ένα θαυμαστό θεώρημα;”

    Πολλές φορές, ακόμα και στο Λύκειο αναρωτιέται κανείς αν και που άκουσαν κάτι οι μαθητές για μια μαθηματική έννοια. Πολλές φορές το ξεπερνάει σκεπτόμενος ότι αν ανοίξει την κουβέντα θα αποκλίνει από τον προγραμματισμό που έχει στο μυαλό του. Άλλες φορές ανοίγει την κουβέντα και ενδεχομένως το μετανιώνει γιατί το πράγμα ξεφεύγει. Άλλες πάλι φορές λέει στους μαθητές να κοιτάξουν να το βρουν στο σπίτι τους και να το συζητήσουν την άλλη φορά.
    Από όλες αυτές τις δυνατότητες ποια να επιλέξει κανείς;

    Εκεί ακριβώς βρίσκεται η τέχνη της διδασκαλίας και λέω τέχνη γιατί σε αυτές τις επιλογές δεν υπάρχουν επιστημονικοί κανόνες.
    Γιατί στη διδακτική των μαθηματικών συμπλέκονται η επιστήμη της διδακτικής, αλλά και των μαθηματικών, η μεθοδολογία και η τέχνη δηλαδή η μαστοριά του δασκάλου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Συμφωνούμε, Σωτήρη.
      Το να αποφασίζεις στα γρήγορα την ώρα του μαθήματος αν θα κάνεις αυτό ή το άλλο, προκειμένου και να εξηγήσεις την καινούρια γνώση και να υπενθυμίσεις την προαπαιτούμενη είναι μια δουλειά που απαιτεί τελικά τέχνη και όχι τεχνική, επειδή δεν μπορεί να προβλεφθεί η τυχόν απορία και η τυχόν αντίδραση του κάθε μαθητή.
      Έχεις απόλυτο δίκαιο.

      Διαγραφή
  5. Νομίζω ότι κάποια πράγμτα πρέπει να τα διδάξεις. Αυτά που δε θα διδάξεις μάλλον είναι καλύτερα να τα λες όσο πιο απλά γίνεται. Είναι αναμενόμενο παιδιά Γυμνασίου να μην καταλαβαίνουν εκφράσεις, όπως: "Αυτό δεν είναι αντιστροφή του θεωρήματος, είναι η ανακλαστική ιδιότητα της ισότητας". Δεν είναι θέμα λεξιπενίας. Ούτε εμείς τα καταλαβαίναμε στην ηλικία τους. Έτσι κι αλλιώς οι γλωσσολόγοι δε δέχονται ότι υπάρχει λεξιπενία. Δεν υπάρχουν εμπειρικές έρευνες που να υποστηρίζουν κάτι τέτοιο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αυτό το "περί ανακλαστικής ιδιότητας" προφανώς δεν περίμενα να το κατανοήσει κανείς και ούτε χρειάζεται. Το είπα αυθόρμητα και μου έκανε εντύπωση η συναίνεση του μαθητή, που κουνούσε το κεφάλι του με σοβαρότητα, σαν να είχε καταλάβει τι είπα .
      Απαντώ στο σχόλιο προς αποφυγή παρεξηγήσεων.
      Θεωρούσα ότι είναι προφανής η σκωπτική μου διάθεση στο συγκεκριμένο σημείο.
      Ωστόσο, το "αντίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος" είναι στη διδακτέα ύλη και για να διδαχθεί σωστά πρέπει το παιδί να κατανοεί τι σημαίνει "αντιστροφή" μιας συνεπαγωγής. Αυτό με τη σειρά του προϋποθέτει να κατανοεί τι σημαίνει "συλλογισμός". Δύσκολο; Ναι, δεν διαφωνώ. Αλλά σε ποια ηλικία θα μάθει το μικρό παιδί να ... συλλογάται;
      Και στο κάτω κάτω στο σχολείο έρχεται ΓΙΑ ΝΑ ΜΑΘΕΙ και όχι για να δείξει ότι ξέρει.
      Διαπιστώσεις κάνουμε για το τι δεν ξέρει και προσπαθούμε να του τα μάθουμε.
      Όχι; Μήπως κάνουμε κάτι άλλο και μου διαφεύγει;

      Διαγραφή
    2. Νομίζω ότι στη Β΄ Γυμνασίου συναντούν μόνο το αντίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Αν έχω δίκιο είναι αρκετά δύσκολο να το καταλάβουν μόνο με ένα θεώρημα. Εννοώ να καταλάβουν την έννοια της αντιστροφής. Αν είναι παραπάνω τότε σιγά σιγά θα το καταλάβουν.

      Το φαντάστηκα ότι το "περί ανακλαστικής ιδιότητας" το είπες για τους λόγους που γράφεις. Ωστόσο, και η εξήγηση που δίνεις για τη διερεύνηση μού φαίνεται δυσνόητη για παιδιά Α΄ Γυμνασίου. Βέβαια, σχολιάζω ένα κείμενο και όχι τι έγινε στην τάξη, οπότε σίγουρα σε αδικώ. Το τι έγινε στην τάξη δεν το ξέρω, οπότε δεν μπορώ και να κρίνω.

      Διαγραφή
    3. Γιάννη, αυτό ακριβώς σχολιάζω.
      Το ότι συναντούν ξαφνικά ένα θεώρημα, χωρίς να έχουν καν "ενημερωθεί" στοιχειωδώς για το τι σημαίνει στα μαθηματικά "θεώρημα".
      Κι εγώ, που διδάσκω μόλις τρία χρόνια σε Γυμνάσιο, διαπιστώνω τα γνωστικά άλματα που γίνονται και αναζητώ τρόπους να τα καλύψω.
      Όμως δεν είμαι καθόλου της λογικής: "αυτό είναι δύσκολο, το αφήνω..."
      Αντιθέτως. Αν κάτι είναι δύσκολο (και δυστυχώς κάθε χρόνο όλα φαίνονται ολοένα και πιο δύσκολα) επιμένω και αναζητώ εναλλακτικούς τρόπους προσέγγισης.

      Αν προκύπτει κάποιο συμπέρασμα από όσα έγραψα παραπάνω, θέλω να πιστεύω ότι είναι αυτό:
      Κατά τη διδασκαλία εκλαμβάνονται ως δεδομένα πράγματα που - σε γενικές γραμμές -κάθε άλλο παρά δεδομένα είναι.

      Τίποτε δεν είναι δεδομένο εκτός ίσως από το ότι η διδασκαλία οποιοδήποτε γνωστικού αντικειμένου απαιτεί μια συνεχή ... διερεύνηση έως και ... αποδόμηση του δεδομένου και κυρίως του αυτονόητου.

      Καλό βράδυ

      Διαγραφή