Σάββατο, 3 Φεβρουαρίου 2018

Ό,τι χάσαμε στον Φ.Π.Α. ... το κερδίσαμε στις εξισώσεις!

"Πόσων ετών είναι ο πατέρας σου, Θάνο;", ρωτάει η δασκάλα τον επτάχρονο μαθητή.
"Δώδεκα", απαντάει το παιδί. Έκπληκτη η δασκάλα ζητάει εξηγήσεις. "Πώς γίνεται αυτό, Θάνο;" και το παιδί, με εκείνον τον φυσικό τρόπο που μόνο τα παιδιά διαθέτουν, εξηγεί: "Δεν ήταν πατέρας, πριν γεννηθεί η αδερφή μου, κυρία". 
Σύμφωνα με τον Θάνο η ηλικία ενός πατέρα αρχίζει να μετράει από τη στιγμή που αποκτά παιδί, έτσι, για παράδειγμα, ένας σαραντατετράχρονος άνδρας που έχει μια κόρη στα δώδεκα -σαν τον πατέρα του Θάνου- είναι ένας δωδεκάχρονος πατέρας. 
Θα μπορούσε να είναι και έτσι. Δηλαδή, θα μπορούσε να έχει δίκαιο ο μικρός Θάνος. Άλλωστε, ότι έχει σχέση με αριθμούς και νούμερα δεν είναι παρά μια σύμβαση που έχουν κάνει οι άνθρωποι για να μπορούν να επικοινωνούν μεταξύ τους, για να μετράνε - οι άρχοντες παλιότερα, η πολιτεία στην εποχή μας - τους φόρους και τους στρατιώτες και τις γεννήσεις και τους θανάτους. Ενδεχομένως και τα χρόνια προϋπηρεσίας ενός δασκάλου.
Από όσα προανέφερα ως αριθμητικές συμβάσεις, θα μείνω στο τελευταίο.
Ως δασκάλα των Μαθηματικών έχω συνολική προϋπηρεσία που θα προτιμούσα να μην αποκαλύψω, δεδομένου ότι κάποιοι φίλοι αναγνώστες πιθανόν να με θεωρούν  νεώτερη από ότι πραγματικά είμαι... :) 
Ως διορισμένη καθηγήτρια, ειδικότητας ΠΕ03, μετρώ φέτος δεκατρία χρόνια, αλλά ως διδάσκουσα σε Γυμνάσιο μετρώ μόνο τρία. Και μάλιστα τα τρία τελευταία.
Όλη η προηγούμενη εμπειρία μου αθροιστικά, στο Δημόσιο και στα φροντιστήρια πριν διοριστώ, ήταν σε Λύκειο και κυρίως στην τρίτη Λυκείου, οπότε όταν βρέθηκα στο Γυμνάσιο, πριν τρία χρόνια, έκανα μια  καινούρια αρχή. Εντελώς καινούρια. Όποιος θεωρεί ότι επειδή κατέχει καλά τον Bolzano (πολυαγαπημένος), τον Fermat, (επίσης αγαπημένος),  τον Rolle, τον Lagrange και άλλους θαυμαστούς που έγραψαν ιστορία στα Μαθηματικά, μπορεί να διδάξει με άνεση στο Γυμνάσιο, μάλλον θα πρέπει να κάνει μια δοκιμή. Και ειδικά στην Α' Γυμνασίου, στην οποία διδάσκω φέτος για τρίτη συνεχόμενη χρονιά και θεωρώ ότι έχω πολύ μικρή πείρα στον τρόπο που διαχειρίζομαι τη διδασκόμενη ύλη και τα μικρά παιδιά... Τα παιδιά, πέντε έξι χρόνια μεγαλύτερα από τον Θάνο, ο οποίος πιστεύει ότι ο πατέρας του είναι δώδεκα χρονών, δεν παύουν να έχουν έναν εντελώς δικό τους τρόπο θέασης των πραγμάτων, αριθμητικών και μη, που χρήζει διερεύνησης και διευκρινίσεων.
Πρόπερσι, όταν δίδαξα τα ποσοστά και τον Φ.Π.Α. για πρώτη φορά, είχα την τύχη να είμαι σε  ένα σχολείο με αρκετά καλό επίπεδο μαθητών. Έκανα προβλήματα με Φ.Π.Α. περίπου σαν να συζητώ με...λογιστές. Πέρυσι - σε διαφορετικό σχολείο - επιχείρησα να διδάξω τα ποσοστά και τον ΦΠΑ με τον ίδιο τρόπο. Το αποτέλεσμα ήταν εντελώς διαφορετικό. Αναγκάστηκα να επιμείνω περισσότερο, αφενός γνωρίζοντας πως έχω να κάνω με ένα κατά μέσο όρο χαμηλότερο επίπεδο μαθητών από ότι την προηγούμενη χρονιά και αφετέρου επειδή έχω επίγνωση του πόσο σημαντικά είναι τα ποσοστά και ο Φ.Π.Α. όχι μόνο ως μια αριθμητική σύμβαση, αλλά και ως φορολογική-οργανωτική-κοινωνική πραγματικότητα.
Φέτος, έχοντας την εμπειρία των προηγούμενων πειραματισμών,  δίδαξα, επιτυχώς - θέλω να πιστεύω τα ποσοστά, όχι αυτόνομα, αλλά ενοποιημένα με τα κλάσματα και τους δεκαδικούς, με σκοπό να κατανοήσουν οι μαθητές τις διαφορετικές όψεις του ίδιου νομίσματος και την κατά περίσταση χρήση τους.  Παράδειγμα: 1/4 = 0,25 = 25%. Όλα εκφράζουν το ίδιο μέρος του όλου. Αλλά δεν λέμε ότι ένα μπουκάλι περιέχει 25% του λίτρου χυμό! Συνηθίζεται το 0,25 λίτρα, επειδή έτσι βολεύει περισσότερο. Ούτε λέμε ότι μου έγινε περικοπή μισθού κατά 0,25, αλλά κατά 25%, επειδή έτσι γίνεται ευκολότερα κατανοητό. Με πολλά και ενδιαφέροντα παραδείγματα και ισάριθμα προβλήματα τα μαθήματα με τα ποσοστά  κύλησαν ωραία και καλά και στο τέλος ήρθε και η ώρα του Φ.Π.Α. 
Και τότε άρχισαν τα περίπλοκα, άρχισαν τα οικονομικά Μαθηματικά, που εγώ οφείλω να τα πω απλά, για να τα καταλάβουν τα μικρά παιδιά. Και νομίζω πως φέτος ειδικά το κατάφερα αρκετά. Αν και χρειάστηκε να κάνω δύο ώρες παραπάνω, από όσες προβλέπει το πρόγραμμα, αντί να προχωρήσω (δηλαδή να γυρίσω πίσω) στο 4ο κεφάλαιο, για να διδάξω εξισώσεις, όπως προτείνουν οι οδηγίες.
Για όσους δεν γνωρίζουν το βιβλίο της Α' Γυμνασίου να πω πως, ενώ το 3ο κεφάλαιο είναι οι δεκαδικοί αριθμοί, το 4ο είναι οι πρωτοβάθμιες εξισώσεις, οι οποίες διδάσκονται εντελώς τεχνικά, δηλαδή διαδικαστικά και μηχανικά, ως αντιστροφή πράξεων. Μετά από τις εξισώσεις στο 5ο κεφάλαιο ακολουθούν καταϊδρωμένα τα ποσοστά, σαν να μην είναι κι αυτά δεκαδικοί αριθμοί, που κι αυτοί, επίσης, είναι κλάσματα, τα οποία βρίσκονται στο δεύτερο κεφάλαιο του βιβλίου, μετά το πρώτο που είναι οι φυσικοί αριθμοί. Κάπως αφύσικη η κεφαλαιοποίηση του βιβλίου, όπως και όλων των βιβλίων των σχολικών Μαθηματικών, αλλά  και πώς να γίνει διαφορετικά, όταν τα Μαθηματικά διαπλέκονται μεταξύ τους και για να πας από δω εκεί περνάς από ένα σωρό άλλα. Σαν τα διασταυρωμένα μονοπάτια του Καλβίνο... Και αυτές οι διαδρομές μερικές φορές, όταν δεν γίνονται σωστά έχουν ως αποτέλεσμα την παταγώδη αποτυχία του όλου εγχειρήματος... :(
Φέτος όμως, για να είμαι ειλικρινής, βρήκα μια πολύ ενδιαφέρουσα διαδρομή, για να πάω από τον Φ.Π.Α. στις εξισώσεις και την καταγράφω για να μείνει στα πρακτικά και να την ακολουθήσω και του χρόνου ξανά.
 Αφού δίδαξα τα ποσοστά, χωρίς αναφορά σε Φ.Π.Α., που τον είχα αφήσει για το τέλος, και αφού έκανα και την παρακάτω αφίσα, που ανήρτησα στους πίνακες ανακοινώσεων, (φωτοτυπίες γενικά, για διάφορους λόγους, δεν δίνω...)



έπιασα τα προβλήματα με Φ.Π.Α. Πώς βρίσκουμε από την τιμή χωρίς Φ.Π.Α. την τιμή με Φ.Π.Α. και πώς αποδίδουμε Φ.Π.Α.. Τα προβλήματα γενικεύονται όπως το 1ο και το 2ο  παράδειγμα της προηγούμενης αφίσας. Σχετικά εύκολα λύθηκαν από τα περισσότερα παιδιά. Εκείνο που τους δυσκόλεψε ήταν να ξέρουν την τιμή ενός προϊόντος με Φ.Π.Α. και να βρουν την καθαρή αξία. 
Παράδειγμα: η τιμή ενός προϊόντος μαζί με Φ.Π.Α. 24% είναι 84 ευρώ. Ποια είναι η τιμή χωρίς Φ.Π.Α.; 
Οι πιο πολλοί, ακόμη και οι δυο τρεις πραγματικά εύστροφοι, έπεσαν στην παγίδα της ... έκπτωσης. Πολλαπλασίασαν την τιμή του προϊόντος + Φ.Π.Α., δηλαδή το 84,  με το (100-24)%=76%, όπως είχαμε κάνει για να βρούμε την έκπτωση. Λογικό, αφού δεν είχαν τι άλλο να σκεφτούν.
Χρειάστηκε να το ζωγραφίσω, να το αναπαραστήσω σχηματικά, για να καταλάβουν ότι  είχαν να λύσουν κάτι διαφορετικό. Αν χ ήταν η καθαρή αξία του προϊόντος, αυτό που θα έπρεπε να κάνουν τα παιδιά, για να απαντήσουν ήταν να ....
Να λύσουν εξίσωση!!! 
Ζωγράφισα τα ορθογώνια για να φανεί η ισότητα που προέκυπτε. 1,24χ=84.   
Αυτό γνωρίζουν και από το Δημοτικό να το λύνουν. Είναι εξίσωση! 
Αρκετοί σήκωσαν το χέρι, για να πουν ότι το χ ισούται με 84:1,24!
Και τότε  η Ευδοξία, που είναι πάντα αυθόρμητη και ενθουσιώδης, αναφώνησε:

Πω πω, τι εύκολα που λύνεται το πρόβλημα με εξίσωση!

 
Δεν συγκρατήθηκα και σημείωσα στον πίνακα το σχόλιό της, που λειτούργησε ως αφόρμηση, για να συζητήσουμε την "εργαλειακή" αξία των εξισώσεων και στο υπόλοιπο της ώρας να θυμηθούμε τις γνωστές ήδη από το Δημοτικό  εξισώσεις, που υπάρχουν στο 4ο κεφάλαιο του βιβλίου μας, εμβόλιμες μεταξύ δεκαδικών αριθμών και ποσοστών...
Τελικά η σωστή σειρά για να παρουσιάσει κάποιος τα κεφάλαια στα Μαθηματικά, αλλάζει από χρονιά σε χρονιά; Μήπως καθορίζεται από τη ροή της τάξης και από τα ίδια τα παιδιά; Όταν προετοιμάζεται το έδαφος, για να ... φυτευτεί μια ιδέα σωστά, δεν πιστεύω πως πρέπει κατ' ανάγκη να τηρούμε τους προβλεπόμενους χρόνους και την προτεινόμενη σειρά.
Αυτό που προέχει είναι να αντιλαμβάνονται σε μεγαλύτερο βάθος τα παιδιά τη χρησιμότητα, τη λειτουργία και τη διασύνδεση των μαθηματικών αντικειμένων και εννοιών γενικά. Γι' αυτό, χαίρομαι που φέτος, αφιέρωσα λίγο περισσότερο χρόνο, για να διδάξω αναλυτικότερα τον Φ.Π.Α. 
Κάτι κερδίσαμε από τις εξισώσεις, τελικά... :)
Και του χρόνου, ποιος ξέρει, ίσως κερδίσω ακόμη πιο πολλά...
Μελετώντας τον τρόπο σκέψης του μικρού Θάνου, διδάσκομαι από την αρχή ξανά...

3 σχόλια:

  1. Τέλειο Κατερίνα! Έχει βγάλει μαλλιά η γλώσσα μου να επιμένω στα ποσοστά και γενικότερα στην πρακτική αριθμητική σε κάθε τάξη. Ειδικά στα μαθήματα της ΕΜΕ ασχολούμαι ιδιαίτερα με μαθητές από α γυμνασίου αλλά και τελευταίων τάξεων δημοτικού. Θα σου στείλω τα δικά μου παραδείγματα και τη δική μου προσέγγιση που είναι παρόμοια με τη δική σου. Νομίζω έχω και το μαιλ σου. Τα λέμε.

    Ανδρέας

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Κα Καλφοπούλου, το πλέον βολικό νομίζω είναι η απλή μέθοδος των τριών, εξοβελισταία τα τελευταία 40 χρόνια, μάλλον γιατί είναι υπερβολικά εύπεπτη. Ευχαριστώ, συνάδελφος.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Συμφωνώ. Όσα παιδιά το μαθαίνουν στο Δημοτικό το εφαρμόζουν και μάλιστα εμμονικά. Το δείχνω κι εγώ, φυσικά.

      Διαγραφή