Μεταβάλλεται σημαίνει αλλάζει...

Παλιότερα συνήθιζα να απομνημονεύω τα γενέθλια των φίλων και των γνωστών με διάφορες αριθμητικές μνημοτεχνικές που κατά καιρούς τις επαναλάμβανα ως ασκήσεις μνήμης, από φόβο μήπως μεγαλώνοντας χάσω την ικανότητα να θυμάμαι...όλα όσα ξέρω. 

Τη σημερινή ημερομηνία για παράδειγμα, που την έχω ταυτισμένη με τον σύντεκνό μου, τον   ποιητή Βασίλη Δασκαλάκη, την έχω στο μυαλό μου ως δύο διαδοχικές δυνάμεις του τρία, σε φθίνουσα διάταξη. 

Το 27 είναι ο κύβος του 3, δηλαδή 3^3, και το 9 είναι το τετράγωνο του 3, δηλαδή 3^2.  

Ξεκινώντας το μάθημα σε ένα τμήμα της Γ' το πρωί, ανέφερα την ιδιαιτερότητα της σημερινής ημερομηνίας κι ύστερα άρχισα αμέσως την επανάληψη των άρρητων, που δεν είναι και από τα ευκολότερα ακόμη και για τα μεγάλα παιδιά. Το μάθημα πήγε σχεδόν καλά, όπως φάνηκε από τις ερωτήσεις κατανόησης που απαντήθηκαν.

Βέβαια, χθες προηγήθηκε ένα ολόκληρο μάθημα στο οποίο δεν μιλήσαμε για τίποτε άλλο εκτός από τα είδη των αριθμών και την πράξη της πρόσθεσης. 

Η πρόθεσή μου, όταν μπήκα χθες στην τάξη, δεν ήταν αυτή, αλλά αναγκάστηκα να πιάσω το θέμα από την αρχή, λόγω της εσφαλμένης απάντησης στην ερώτηση "με τι ισούται το τρία ρίζα τρία συν ρίζα τρία;". 

Ακούστηκαν ποικίλες εσφαλμένες απαντήσεις με επικρατέστερη την "τρία ρίζα έξι".

Αναγκάστηκα να κάνω ένα γρήγορο  flashbach, ξεκινώντας με την ερώτηση:

"Θυμόσαστε τι σας είχα πει στο πρώτο μάθημα, όταν ήσασταν στην πρώτη Γυμνασίου;"

Εντάξει, αστειευόμουν! Υπήρχε περίπτωση να θυμάται κανείς; Θαύματα δεν γίνοντα! Εγώ, βέβαια, θυμόμουν επειδή κάνω ασκήσεις μνήμης! :)  Κυρίως  όμως θυμόμουν, επειδή έχω έναν συγκεκριμένο τρόπο "γνωριμίας με τους μαθητές" στην Α΄ Γυμνασίου! 

Στο πρώτο μάθημα τους μιλώ για τους φυσικούς αριθμούς, τους άρτιους και τους περιττούς! Τονίζω πάντα με ενθουσιασμό το πόσο τυχεροί είμαστε που χρησιμοποιούμε αυτά τα εύχρηστα ψηφία και δεν αναγκαζόμαστε να κουβαλάμε στο σχολείο πετραδάκια και χαλίκια, για να παριστάνουμε τους αριθμούς όπως οι Πυθαγόρειοι, κλπ κλπ. Και φυσικά τους λέω για τα τέλεια τετράγωνα. Τέλος, ζητώ, ως άσκηση, να γράψουν στο τετράδιό τους τα τετράγωνα των πρώτων είκοσι θετικών ακέραιων αριθμών και συνιστώ να προσπαθήσουν να τα θυμούνται... Κάνει καλό στη μνήμη! Αυτό κάνω από τότε που βρέθηκα να διδάσκω σε Γυμνάσιο. Αυτά είχα πει και στα συγκεκριμένα παιδιά, δυο χρόνια πριν, όταν τα συνάντησα για πρώτη φορά.  Κι αφού δεν θυμούνται, τα είπα και χθες, αναγκαστικά, συμπληρώνοντας φυσικά και τους άρρητους.

Μετά από πολλά παραδείγματα κατάλαβαν πώς και πότε γίνεται η πρόσθεση των άρρητων αριθμών και σήμερα το μάθημα ήταν σχεδόν απολαυστικό.

Βγήκα από την αίθουσα χαρούμενη και αισιόδοξη και πήγα να συνεχίσω με τη Β' Γυμνασίου, όπου βρίσκομαι σε ένα πολύ πολύ κρίσιμο σημείο: στον ορισμό, στη λειτουργία και στη χρήση των μεταβλητών! Είχαμε κάνει ήδη δυο μαθήματα και ολοκληρώσαμε τα δύο από τα τέσσερα είδη των ασκήσεων που περιέχει το σχολικό εγχειρίδιο, όταν διαπίστωσα πως δεν είχαν καταλάβει επαρκώς τη διαδικασία της "αναγωγής όμοιων όρων". Αρκετά λάθη, απορίες, δυσκολίες... Είναι δυσνόητη η έννοια της μεταβλητής και γενικά η χρήση των "γραμμάτων" στα Μαθηματικά, ακόμη και για παιδιά με ... προδιαγραφές. 

Αναγκάστηκα και πάλι να αλλάξω το πλάνο του μαθήματος και να επιχειρήσω μια "εκλαΐκευση" στα όρια της ... μπακαλικής! 

"Γράψτε ό,τι γράφω στον πίνακα", είπα, "κι αν δεν καταλαβαίνετε κάτι να με ρωτάτε". Γύρισα πλάτη στην τάξη - παρόλο που δεν μου αρέσει να το κάνω, αλλά πώς αλλιώς να γράψω όλες τις επεξηγήσεις, προκειμένου να καταλάβουν πώς λειτουργούν τα γράμματα και να πάψουν να τα φοβούνται; - κι άρχισα να γράφω...

"Στην Άλγεβρα χρησιμοποιούμε γράμματα που παίζουν τον ρόλο των αριθμών. Ένα γράμμα είναι ένας "γενικός αριθμός",  μια "μεταβλητή" δηλαδή μια ποσότητα ή ένα μέγεθος που οι τιμές του μεταβάλλονται, παραδείγματος χάριν το βάρος μου, ο μισθός μου, η θερμοκρασία της ατμόσφαιρας), ..."

Ακριβώς εκεί ήταν που με διέκοψε ένας μαθητής λέγοντας: 

"Δηλαδή, κυρία, μεταβάλλεται σημαίνει αλλάζει;"

"Ακριβώς, μεταβάλλεται σημαίνει αλλάζει", είπα καταβάλλοντας προσπάθεια να διατηρήσω την ψυχραιμία μου... Δεν είναι εύκολο να συνειδητοποιείς ότι προσπαθείς να διδάξεις σε παιδιά τη λειτουργία της μεταβλητής, όταν αυτά δεν κατανοούν τη σημασία του ρήματος "μεταβάλλω" και "μεταβάλλομαι".

Κι ενώ στην εποχή μας τα περισσότερα σχολεία είναι πλέον πολιπολιτισμικά και τα πάντα ραγδαία μεταβάλλονται, εμείς δεν αλλάζουμε απολύτως τίποτα στον τρόπο  που διδάσκουμε τα Μαθηματικά!

Νομίζω πως ο μικρός μαθητής που μου έκανε σήμερα το πρωί την ερώτηση: 

"Μεταβάλλεται σημαίνει αλλάζει;" έχει περισσότερες ελπίδες από μας να καταλάβει τι σημαίνει "ΑΛΛΑΖΕΙ"...

Καλή χρονιά, Κωνσταντίνε!

Χθες, πρώτη μέρα μετά τον Αγιασμό, στο δικό μου σχολείο ξεκινήσαμε τα μαθήματά μας, σχεδόν κανονικά! Λίγες είναι οι εκκρεμότητες σε προσωπικό και από αυτές οι πιο πολλές άμεσα ρυθμίσιμες, οπότε μέχρι το τέλος της επόμενης εβδομάδας, αισιοδοξώ,  να μη μας λείπει κανένας. 

Και πρόπερσι είχα ξεκινήσει έτσι, αμέσως μετά τον Αγιασμό με τα τμήματά μου κανονικά, αλλά ήμουν στο σχολείο αυτό για πρώτη φορά. Όλες τις άλλες χρονιές, επειδή έπρεπε να μετακινηθώ, να αποσπαστώ, να πάω σε άλλο σχολείο για να συμπληρώσω  το ωράριό μου κλπ κλπ., όλον τον Σεπτέμβριο, ακόμη και μέχρι τα μέσα του Οκτώβρη κάποιες φορές, ήμουν σε "προσωρινή" κατάσταση, με ό,τι αυτό συνεπάγεται. Γι' αυτό κατανοώ  τους συναδέλφους που είναι προσωρινά τοποθετημένοι και αγωνιούν να δουν σε ποιο σχολείο θα βρεθούν. Κι όσο περισσότερο αργεί η τοποθέτηση, τόσο πιο δύσκολα μπαίνουν τα πράγματα σε σειρά, επειδή δεν είναι μόνο ο χρόνος εγκλιματισμού που απαιτείται, καθώς το κάθε σχολείο και ο κάθε σύλλογος διδασκόντων έχει το δικό του ιδιαίτερο προφίλ, είναι η ύλη που δεν την προλαβαίνεις, είναι που πρέπει να "συμβαδίσεις" με τους έχοντες την ίδια ειδικότητα και πιθανόν να έχουν αρχίσει δυο και τρεις και τέσσερις εβδομάδες πριν από σένα, αλλά καλείσαι να βγάλεις κοινά θέματα στο τέλος της χρονιάς. Είναι κι άλλα τέτοια πολλά, που αν δεν τα αντιμετωπίσεις δεν τα φαντάζεσαι! 

Τα έχω ζήσει κατ' επανάληψη και γνωρίζω εξ ιδίων τα προβλήματα που ενσκύπτουν, πέρα από το ό,τι ο ... τελευταίος τοποθετηθείς παίρνει συνήθως ό,τι περισσέψει και ως προς το γνωστικό αντικείμενο και ως προς το ... ποιόν των τμημάτων. Ναι, να τα λέμε κι αυτά... 

Έχοντας περάσει από τη βάσανο της καθυστερημένης τοποθέτησης, είμαι σε θέση να εκτιμώ πολλαπλώς τη σημερινή μου κατάσταση. Φέτος, διδάσκω στο ίδιο σχολείο για τρίτη χρονιά και μάλιστα έχω πλήρες ωράριο, ενώ πέρυσι συμπλήρωνα και σε άλλο σχολείο. Γνωρίζω σχεδόν όλα τα παιδιά, εκτός από αυτά της Α' που ήρθαν φέτος για πρώτη φορά.  Και όχι μονο τα γνωρίζω, αλλά ξέρω καταλεπτώς τι τους έχει διδάξει η ... προηγούμενη μαθηματικός, δηλαδή εγώ! Οπότε από την πρώτη κιόλας στιγμή, χωρίς περιστροφές, συστάσεις, τυπικούρες και ό,τι άλλο απαιτεί κάθε νέα αρχή, μπήκαμε αμέσως στο ψητό! Ίσα ίσα ένα μάθημα "σύνδεσης με τα προηγούμενα" έκανα στη Β' Γυμνασίου, για να πάμε στις δυνάμεις των ρητών, που μας έχουν περισσέψει από πέρυσι, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών. Για το μάθημα "σύνδεσης με τα προηγούμενα", είχα αποφασίσει να γράψω τέσσερις αριθμητικές παραστάσεις στον πίνακα και μετά να τους ρωτήσω:

"Τι είναι αυτά που έχω γράψει στον πίνακα;"

Το βρήκαν! Αν και ήμουν σίγουρη πως θα το βρουν, χάρηκα όταν απάντησαν σωστά!

"Ποια εκφώνηση πιστεύετε ότι θα έπρεπε να συνοδεύει αυτές τις αριθμητικές παραστάσεις;".

Το βρήκαν κι αυτό. Φυσικά, μεταξύ άλλων, ακούστηκε και το "να λυθούν οι αριθμητικές παραστάσεις" και προκλήθηκε η γνωστή συζήτηση για τη  σωστή χρήση του "λύνω".

Την επόμενη μέρα, δηλαδή σήμερα, δεύτερη μέρα των μαθημάτων, σε ένα άλλο τμήμα της Β' το μάθημα κύλησε περίπου πανομοιότυπα.

Και το χάρηκα το ίδιο πολύ και τις δυο μέρες, όπως θα το χαρώ πολύ όσες φορές κι αν το επαναλάβω! Επειδή με τις "παραστάσεις" και τις "αναπαραστάσεις" έχω την ευκαιρία να θίγω θέματα που αφορούν τους κώδικες, τις "μεταμφιέσεις" και γενικά τη δυνατότητα... "καμουφλαρίσματος". 

Αρκεί να προσέξει κανείς πως η δεύτερη και η τρίτη παράσταση δίνουν και οι δύο αποτέλεσμα -3, για να καταλάβει τι εννοώ, λέγοντας "καμουφλάρισμα". 

Και μπαίνει το ερώτημα: "Με πόσους τρόπους μπορεί να παρασταθεί ο ίδιος αριθμός;".

"Με άπειρους!" απαντούν τα παιδιά κι εγώ δεν βλέπω την ώρα να τα βάλω για τα καλά στον κόσμο της Άλγεβρας, των μεταβλητών και των αγνώστων...

Ωστόσο, έγραψα όλα αυτά τα εισαγωγικά μόνο και μόνο επειδή θέλω να τονίσω δύο γεγονότα. 

Γεγονός πρώτο: Στην πρώτη αριθμητική παράσταση, που έγραψα στον πίνακα:

έβαλα την τελεία (το σημάδι του πολλαπλασιασμού) στον πρώτο όρο της παράστασης και όχι στον δεύτερο. Δεν το έκανα σκόπιμα, αλλά κάποιοι μαθητές βρήκαν λάθος αποτέλεσμα, επειδή τον δεύτερο όρο δεν το εξέλαβαν ως πολλαπλασιασμό, αλλά ως πρόσθεση!

Σήμερα, στο άλλο τμήμα - που έχει μεγαλύτερο μέσο όρο - το έγραψα σκόπιμα με τον ίδιο τρόπο. Και πάλι υπήρξαν μαθητές, μεταξύ των οποίων και μερικοί "καλοί", που έκαναν το ίδιο λάθος.

Συμπέρασμα: Πρέπει να προσέχω και να επεξηγώ την παραμικρή λεπτομέρεια. Ακόμη και μια ... τελεία που μπαίνει ή δεν μπαίνει!  (Ειδικά αυτή που δεν μπαίνει δημιουργεί τις περισσότερες παρανοήσεις, είτε είναι σημάδι πολλαπλασιασμού είτε σημείο, γεωμετρικό ή στίξης!  :) )

Γεγονός δεύτερο: Χθες, πρώτη μέρα των μαθημάτων έλαβα ένα μήνυμα από έναν αγαπητό  συνάδελφο, με τον οποίο γνωριζόμαστε εδώ και πολλά χρόνια, μέσω των δραστηριοτήτων της ομάδας Θαλής+Φίλοι. Ο νεαρός φίλος μαθηματικός θέλησε να μοιραστεί μαζί μου την εμπειρία του κι επειδή τη βρίσκω πολύ ενδιαφέρουσα, θέλω κι εγώ να τη μοιραστώ με όλους και - με την άδειά του - τη γράφω εδώ: 

      Καλημέρα Κατερίνα και καλή σχολική χρονιά!

    Μια παραρατήρηση/προβληματισμό σήμερα από το σχολείο που θα ήθελα να μοιραστώ     μαζί σου...

   Γεωμετρία Β' Λυκείου. Σχεδιάζω έναν κύκλο  και μια επίκεντρη γωνία και ρωτάω τους    μαθητές πόσα κοινά σημεία έχει η γωνία με τον κύκλο. Φυσικά ολόκληρο το τμήμα, με ένα στόμα μια φωνή, απάντησε το ... προφανές και όχι το αληθές, δηλαδή δύο και όχι άπειρα, αφού κοινά σημεία είναι όλα τα σημεία του τόξου στο οποίο βαίνει η γωνία. 

Δεν τους κατηγορώ, άλλωστε κι εγώ ως καθηγητής κατάλαβα πλήρως τι είναι η γωνία!!!

Θέλω να ευχαριστήσω τον Κωνσταντίνο, επειδή  μοιράστηκε άμεσα μαζί μου την εμπειρία του και έμμεσα με τους αναγνώστες του ιστολογίου.

Και με αυτήν την ευκαιρία να επισημάνω ότι η επικοινωνία γενικώς -και μέσω του ιστολογίου ειδικώς- με έχει βοηθήσει όχι μόνο να κατανοήσω έννοιες και διαδικασίες, που αφορούν τα Μαθηματικά, αλλά και διδακτικές πρακτικές που βοηθάνε τα παιδιά. 

Σε ευχαριστώ πολύ, Κωνσταντίνε.

Σου εύχομαι - και πάλι - καλή σχολική χρονιά!

Καλή και δημιουργική χρονιά σε όλους!

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Einstein verso Tolstoy

Στις 29 Σεπτεμβρίου, καλεσμένη από το Παράρτημα Φλώρινας της Ε.Μ.Ε., θα έχω την ιδιαίτερη τιμή -και φυσικά την πολύ μεγάλη χαρά- να πάρω μέρος σε συζήτηση  με θέμα: 

" "Ο Γιάννης που αγάπησα" στην "Οδό Μαθηματικής Σκέψης" ", όπου σε συνεργασία με τον τ. Σχολικό Σύμβουλο, κύριο Γιάννη Θωμαΐδη, θα προσπαθήσουμε να συνδυάσουμε τα δύο βιβλία, από τους τίτλους των οποίων προέκυψε  ο τίτλος της ομιλίας. 

Τα βιβλία αυτά κυκλοφόρησαν πέρυσι με λίγους μήνες διαφορά και έχω ήδη γράψει για το βιβλίο των κ.κ. Θωμαΐδη-Ρίζου αμέσως μόλις είχα αρχίσει να το διαβάζω. 

Τώρα το ξαναδιαβάζω, προκειμένου να αποφασίσω σε τι θα αναφερθώ στο λίγο χρόνο που θα έχω στη διάθεσή μου, στην εκδήλωση της Φλώρινας. Και ειλικρινά έχω πάνω από δέκα μέρες που το παλεύω χωρίς αποτέλεσμα. 

Εκτός από την εισαγωγή και το παράρτημα, στο οποίο αναφέρεται "Το πρόβλημα του Ήρωνα", στο βιβλίο υπάρχουν τρία εκτενή  κεφάλαια με τίτλους

1. "Αρμονικές σχέσεις των Μαθηματικών Προβλημάτων από την αρχαιότητα ως σήμερα"

2. "Οι άγνωστοι, οι μεταβλητοί και οι εξισώσεις"

3. "Συναρτησιακή σκέψη", αντίστοιχα.

Αρχικά, είχα επιλέξει να εστιάσω στο 2ο κεφάλαιο, επειδή γενικά οι άγνωστοι, οι μεταβλητές, οι παράμετροι έχουν κάτι γοητευτικό για μένα και δύσκολο για τα παιδιά!  Επιπλέον στην επιλογή μου βάρυνε το πρόβλημα που αναφέρεται στη σελίδα 146, στην παράγραφο 4.1 

"Ένα πρόβλημα που άρεσε στον Λέοντα Τολστόι"!

Πόσο αρμονικά εμφανίζεται ο μέγας λογοτέχνης σε βιβλίο με προβλήματα μαθηματικά!

Ο Τολστόι μου αρέσει, οπότε το παραπάνω πρόβλημα κέντρισε αμέσως την περιέργειά μου. 

Όταν το μελέτησα αποφάσισα να το συμπεριλάβω στην ομιλία και για έναν ακόμη λόγο: η λύση του αναδεικνύει τη δύναμη της "σχηματικής αναπαράστασης" των δεδομένων, την οποία -σχηματική αναπαράσταση- γενικά η τυποποιημένη, φορμαλιστική, ασκησιολογία που χρησιμοποιούμε στην Άλγεβρα δεν  υποστηρίζει και δεν αναδεικνύει.

Ήμουν σχεδόν βέβαιη πως έχω καταλήξει στα θέματα της σύντομης παρουσίασης που θα κάνω στη Φλώρινα, αλλά είπα να το διαβάσω από την αρχή.
Διαβάζοντας το πρώτο κεφάλαιο ξανά, βρέθηκα και πάλι μπροστά σε ενδιαφέροντα ζητήματα, όπως το πρόβλημα από τον πάπυρο Rhind (1650 π.Χ.) για τις ανταλλαγές του ψωμιού στην Αρχαία Αίγυπτο* και το πρόβλημα από το Liber Abaci (1202)  του Leonardo Pisano Fibonacci, με τα σαρκοβόρα και τα θηράματα.
Μεταξύ μας, το συγκεκριμένο πρόβλημα μου έφερε στο μυαλό εικόνες από τσίρκο και επειδή  το θέμα "τσίρκο vs λαβύρινθου" τον τελευταίο καιρό με απασχολεί, με συγκίνησε και έτσι αποφάσισα πως δεν θα μιλησω για το πρόβλημα που άρεσε στον Τολστόι, αλλά για το πρόβλημα με τα άγρια θηρία του Φιμπονάτσι! Κι άντε πάλι από την αρχή.

Μετά, καθώς διάβαζα, άλλαξα πάλι γνώμη.
Τώρα η απόφασή μου βαραίνει στο πρόβλημα που μπέρδεψε τον Αϊνστάιν.
Πιθανόν να είναι η τελική μου επιλογή. Άλλωστε, πέρα από το πρόβλημα καθαυτό, (που το γνώριζα από καιρό, επειδή πριν μερικά χρόνια το είχα κάνει λαθος κι εγώ, χωρίς βέβαια αυτό να με εξισώνει με τον Αϊνστάιν, δυστυχώς... :) ) το πραγματικό ενδιαφέρον στο συγκεκριμένο χωρίο είναι το σχόλιο που έκανε ο Αϊνστάιν, όταν αντίκρυσε την αλγεβρική λύση του προβλήματος.

"Δεν υπάρχει καθόλου διαθέσιμος χρόνος, για να επιτευχθεί αυτό το αποτέλεσμα"** είπε.

Ποιο ήταν το αποτέλεσμα; Ποιο ήταν το πρόβλημα; 

Και γιατί δεν υπάρχει διαθέσιμος χρόνος; 

Πόσο διασκεδαστικά μπορούν να γίνουν τα Μαθηματικά μέσω προβλημάτων που αφενός αναδεικνύουν την ιστορία τους και τη γοητεία τους, αφετέρου συνδυάζονται μεταξύ τους αρμονικά, για να φτάσουν από την Αρχαία Αίγυπτο και απ' τον Μεσαίωνα σε αυτά που εμείς διδάσκουμε τόσο (ή και μόνο) "κανονιστικά"!

*******************************************************

* Για περισσότερα ιστορικό-λογοτεχνικό-μαθηματικά προβλήματα από τον πάπυρο Rhind βλέπετε στο βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη, "Αχμές ο γιος του φεγγαριού", εκδόσεις Πόλις.

** Αν ρωτούσαμε τον φύλαρχο Τουιάβιι από το νησί Τιαβέα του Νότιου Ειρηνικού τη γνώμη του για τον "διαθέσιμο χρόνο", θα μας έλεγε μια πολύ ενδιαφέρουσα άποψη, την οποία κάποτε θα ήθελα να παρουσιάσω  και θα το κάνω, όταν θα βρω ... τον διαθέσιμο χρόνο