ΠΕΡΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ

Με αφορμή το ψάξιμο, για κάποια συγκεκριμένα θέματα, που κάνω αυτές τις μέρες, ξεφύλλισα και το αγαπημένο μου δίτομο του Howard Eves, "ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ" και φυσικά σταμάτησα πάνω στη διάλεξη 34, που πραγματεύεται ένα από τα πλέον ενδιαφέροντα θέματα, το άπειρο. Άκομη και στο άκουσμα του γίνεται αρκετά τρομακτικό, γι' αυτό συχνά αντί για "άπειρο" λέμε "μη πεπερασμένο" ή, όπως ο τίτλος που χρησιμοποιεί ο Eves, "πέρα από το πεπερασμένο", που, λόγω του "πέρα" έχει και την αίσθηση μιας κίνησης, μάλλον αέναης, σα μια προσπάθεια προσέγγισης του άγνωστου ή σα μια προσπάθεια υπέρβασης του φόβου που γεννάει το άγνωστο. Αυτή όλη η προσπάθεια φαίνεται και στην ιστορία του απείρου, όπως αρκετά αναλυτικά παρουσιάζει ο συγγραφέας κι όπως "επιγραμματικά" θα πω εγώ, τώρα, επιλέγοντας κάποια μόνο αποσπάσματα.

"Οι μαθηματικοί και οι φιλόσοφοι παλεύουν με τις έννοιες του απείρου και των απειροσυνόλων από τις μέρες των αρχαίων Ελλήνων, και τα παράδοξα του Ζήνωνα είναι μία από τις πρώτες ενδείξεις για τις δυσκολίες που αντιμετωπίστηκαν Μερικοί Έλληνες, ανάμεσά τους ο Αριστοτέλης και ο Πρόκλος, αποδέχτηκαν το γεγονός ότι ένα σύνολο μπορεί να γίνει απεριόριστα μεγάλο, αλλά αρνήθηκαν την ύπαρξη ενός ολοκληρωμένου απειροσυνόλου. Κατά τον Μεσαίωνα, οι φιλόσοφοι συζητούσαν πάνω στο θέμα υποστηρίζοντας άλλοι το εν δυνάμει κι άλλοι το εν ενεργεία άπειρο. Παρατηρήθηκε δε πως η σύγκριση ορισμένων απειροσυνόλων οδηγεί σε παράδοξα. [...]. Ο Γαλιλαίος συνάντησε δυσκολίες στη μελέτη των απειροσυνόλων και υποστήριξε ότι η ύπαρξη εν ενεργεία απείρων πρέπει να απορριφθεί. Στο έργο του Two New Sciences, το 1638, παρατήρησε ότι τα σημεία δύο άνισων ευθύγραμμων τμημάτων μπορούν να τεθούν σε ένα προς ένα αντιστοιχία, με απλή προβολή το ενός τμήματος πάνω στο άλλο, κι έτσι ίσως τα δυο τμήματα περιέχουν τον ίδιο αριθμό σημείων, μόλο που το ένα τμήμα είναι μεγαλύτερο από το άλλο. Παρατήρησε επίσης ότι οι θετικοί ακέραιοι μπορούν να τεθούν σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τα τετράγωνά τους, αντιστοιχίζοντας κάθε θετικό ακέραιο με το τετράγωνό του, παρόλο που οι πρώτοι είναι περισσότεροι στο πλήθος από ότι οι δεύτεροι. Αυτά τα ανησυχητικά παράδοξα εμφανίζονται μόνο αν κάποιος δεχτεί την ύπαρξη εν ενεργεία απειροσυνόλων. [...]
Για να αποφύγουν τα παράδοξα, λοιπόν, πολλοί μαθηματικοί μεταξύ των οποίων και ο πρίγκιπας των Μαθηματικών Καρλ Φρίντριχ Γκάους, απέρριπταν την ιδέα του ολοκληρωμένου απειροσυνόλου. Σε μια επιστολή του δε προς τον Σουμάχερ, 12 Ιουλίου 1831, ο Γκάους έγραψε: "Διαμαρτύρομαιγια τη χρήση μιας άπειρης ποσότητας ως πραγματικής. Αυτό στα μαθηματικά δεν επιτρέπεται ποτέ. Το άπειρο είναι μόνο ένας τρόπος του λέγειν κατά τον οποίο μπορεί κανείς να μιλάει για τα όρια στα οποία ορισμένοι λόγοι μπορούν να πλησιάζουν όσο κοντά θέλουμε, ενώ άλλοι μπορούν να αυξάνονται απεριόριστα". Ο Κωσύ, όπως και πολλοί άλλοι αρνήθηκε επίσης την ύπαρξη εν ενεργεία άπειρων συνόλων, στηριζόμενος στην παράδοξη βάση ότι ένα τέτοιο σύνολο μπορεί να τεθεί σε ένα προς ένα αντιστοιχία του με ένα γνήσιο υποσύνολό του.".

...κι έτσι, αρνούμενοι να αντιμετωπίσουν την πραγματικότητα, απέφευγαν το άπειρο, σα να έκρυβαν επισταμένως τα προβλήματα πίσω από το δάχτυλο... Μα τα προβλήματα ήταν εκεί και συσσωρεύονταν...Κι όταν οι μαθηματικοί χρειάστηκε τελικά να επαναδιατυπώσουν την Ανάλυση, αφαιρώντας τις αυθαίρετες γεωμετρικές έννοιες που βοηθούσαν μεν, με μεγάλη δόση ασάφειας δε, τους υπολογισμούς των μεταβολών, τότε και μόνο τότε το άπειρο, με ένα σαρδόνιο γέλιο, ξεπρόβαλε από παντού! Αλλά όπως για κάθε δράκο, σε κάθε παραμύθι, υπάρχει κι ένας ήρωας, έτσι και στο παραμύθι του απείρου, ένας Τσέχος καθολικός ιερέας*, ο Μπολζάνο, περισσότερο φιλόσοφος και λιγότερο μαθηματικός, όρθωσε ηρωικό παράστημα μπρος στο τερατόμορφο άπειρο που ανάβλυζε παράδοξα και τρόμαζε τους πάντες.

"Ο Μπέρναρ Μπολζάνο, (Bernhard Bolzano, 1781-1848), στο έργο του Paradoxes of the Infinite, που δημοσιεύτηκε το 1851, τρία χρόνια δηλαδή μετά τον θάνατό του, ήταν ο πρώτος που έκανε θετικά βήματα προς την παραδοχή του απείρου. Ο Μπολζάνο είπε πως το γεγονός ότι ένα άπειρο σύνολο μπορεί να τεθεί σε "ένα προς ένα" αντιστοιχία με ένα γνήσιο υποσύνολό του πρέπει απλά να γίνει αποδεκτό ως γεγονός. "

Το έργο του είναι μάλλον φιλοσοφικό παρά μαθηματικό, αλλά το αποτέλεσμα μετράει, κι ο Μπολζάνο (για τον οποίον παιδιόθεν τρέφω έναν έρωτα, όχι γι' αυτόν, αφού ούτε ως μαθήτρια, αλλά δυστυχώς ούτε και ως φοιτήτρια είχα μάθει κάτι για την λαμπρή του προσωπικότητα, κι έτσι τον έρωτα τον έτρεφα για το θεώρημα που φέρει το όνομά του και είναι στην ύλη της Γ' Λυκείου, με πανέμορφες ασκήσεις...)κατάφερε να σκοτώσει τον δράκο και να ανοίξει τον δρόμο για τον Κάντορ που μαθηματικοποίησε το άπειρο! Ίσως μάλιστα επειδή το έργο του είναι φιλοσοφικό μοιάζει και με τις (παραδοχές/αξιώματα) προτάσεις με τις οποίες αρχίζει ο Ludwig Wittgenstein το Tractatus Logico Philosophicus.
1 Ο κόσμος είναι όλα όσα συμβαίνουν
1.1 Ο κόσμος είναι η ολότητα των γεγονότων, όχι των πραγμάτων


Με μιαν απλή παραδοχή ενός γεγονότος, ο Μπολζάνο χαράζει το δρόμο για ένα ταξίδι σε έναν καινούριο κόσμο. Όμως κάθε επικό ταξίδι, απαιτεί και μια θυσία! Έτσι έρχεται στη συνέχεια ο Κάντορ να θέσει εαυτόν εις τον βωμόν, καταθέτοντας όλην την πνευματική του υπόσταση και θυσιάζοντας τα λογικά του (!) στην ενατένιση πέρα από το πεπερασμένο. Ο Γκέοργκ Κάντορ κοίταξε βαθιά μέσα στο άπειρο κι αυτό που αντίκρισε τον έκανε να αναφωνήσει: "το βλέπω, αλλά δεν το πιστεύω!"
Είναι σχετικά εύκολο για μας εκ των υστέρων να το βλέπουμε και να το...πιστεύουμε! Αφού υπάρχει και η απόδειξη! Πώς να αμφισβητήσει κανείς μια μαθηματική απόδειξη?!
Ναι, εγώ προσωπικά, το πιστεύω αυτό που είδε ο Κάντορ, και που δεν το πίστεψε αρχικά, πως, δηλαδή, όσα σημεία υπάρχουν σε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους ενός εκατοστού, τόσα υπάρχουν και σε ένα τετράγωνο πλευράς ενός εκατοστού επίσης. Άρα είναι πράγματι αναμφισβήτητη η "ένα προς ένα" αντιστοίχιση στοιχείων από δυο σύνολα με (διαισθητικά! ) διαφορετικό πληθάριθμο! Και η πρώτη έκπληξη ξεπερνιέται αρκεί να θυμάται κανείς πως οι αισθήσεις μας και η διαίσθησή μας κατά συνέπεια, συχνά μας ξεγελούν, ειδικά δε μπροστά στα άπειρα, πεπερασμένες ούσες οι ίδιες, τι μπορούν να κάνουν?
Όμως μου φαίνεται περισσότερο μυστήριο κι από αυτό που είδε ο Κάντορ, αλλά κι από το ξεγέλασμα των αισθήσεων μας το γεγονός αυτό:
τι μπορεί να εγκυμονεί μια απλή παραδοχή ενός απλού γεγονότος?!
κάτι σαν το "ο γέγονε, γέγονε", τόσο απλά... Και μετά...

*Θα πρέπει να αναφέρω πως ο Μπολζάνο καθαιρέθηκε, όχι για τις μελέτες του γύρω από το άπειρο φυσικά, αλλά για κοινωνικοπολιτικές θεωρίες που είχε αναπτύξει σύμφωνα με τις οποίες θεωρούσε αξιοτιμώρητον όποιον διέθετε περιουσία που δεν είχε αποκτήσει με την εργασία του... (Να υπενθυμίσω πως ήταν καθολικός ιερέας?)