1.089! ΕΝΑ ΠΟΛΥ ΙΣΧΥΡΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ..

Θυμόσαστε τα προβλήματα της πρακτικής αριθμητικής που λύναμε στο Δημοτικό; Τον τρόπο που τα λύναμε; Σκέψη, κατάστρωση, λύση, απάντηση.. Εγώ δεν τα θυμάμαι! Αδυνατώ, γενικά, να λύσω ένα πρόβλημα χρησιμοποιώντας απλά και μόνο τις τέσσερις στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις, αυτές δηλαδή που μαθαίνουμε στην απαρχή της μαθητικής μας καριέρας! Η πρώτη μου σκέψη, όταν μου ζητάνε να υπολογίσω "πόσοι", "πόσα", "σε πόσο"..,αντί να χρησιμοποιήσω το παραπάνω μοντέλο, είναι να πω:" Έστω Χ.. "!  Η αλήθεια είναι πως οι ενασχολήσεις μου δεν με φέρνουν συχνά αντιμέτωπη με προβλήματα, όπου για κάποιον λόγο επιβάλλεται η μη χρήση Άλγεβρας, τουτέστιν η μη χρήση των σωτήριων μεταβλητών Χ, Υ, για τη λύση τους. Αυτό ομολογώ πως με διευκολύνει πολύ. Από την άλλη πλευρά όμως, δεν υπάρχει περίπτωση να πέσω πάνω σε ένα πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής και να μην επιδοθώ άμεσα και για όσο χρειάζεται στη λύση του. Ακόμη κι όταν μου δίνουν τον αριθμό που αποτελεί την απάντηση στο ""πόσοι" ή στο "πόσα", ακόμη και τότε.. :)

Αυτό ακριβώς συνέβη σήμερα, όταν διαβάζοντας το βιβλίο 1.089, του David Acheson, που κυκλοφόρησε λίγες μέρες πριν από τις εκδόσεις οκτώ, σε μετάφραση του Νικόλα Πρωτονοτάριου, έπεσα πάνω στο παρακάτω πρόβλημα. 

"Ο Α και ο Β γεμίζουν τη στέρνα σε 4 ώρες. Ο Α και ο Γ γεμίζουν τη στέρνα σε 5 ώρες. Ο Β γεμίζει τη στέρνα δυο φορές πιο γρήγορα από τον Γ. Να βρεθεί πόσες ώρες χρειάζεται ο Γ, για να γεμίσει μόνος του τη στέρνα". 

 Ένα αστεράκι  (*) στο τέλος του προβλήματος παρέπεμπε στο κάτω μέρος της σελίδας, όπου έγραφε:  "Παρεμπιπτόντως ο καημένος ο Γ θα χρειαζόταν 20 ώρες για να γεμίσει τη στέρνα."

Παρόλο που ο  Acheson, ανέφερε το παραπάνω πρόβλημα ως κοινότοπο και καθόλου γοητευτικό σε σχέση με το μαγικό τρικ του 1.089 και παρόλο που είχε γίνει ήδη γνωστό πως ο καημένος ο Γ χρειάζεται 20 ώρες για να γεμίσει μόνος του τη στέρνα, ακολουθώντας τη συνήθειά μου-έξις δευτέρα φύσις-πήρα μολύβι και χαρτί και άρχισα...Πρώτα "ζωγράφισα" το πρόβλημα, όπως ακριβώς φαίνεται στη διπλανή εικόνα, κυρίως για να... κερδίσω χρόνο και φυσικά για να ... καταλάβω τα δεδομένα. Στο μεταξύ καθώς ζωγράφιζα είδα στη γεωμετρική αναπαράσταση  του προβλήματος ότι το "κεντρικό πρόσωπο"  είναι ο Α κι έτσι τα πράγματα ξεκαθάρισαν..

[Παραθέτω τη λύση μου, για όποιον ενδιαφέρεται.

Έστω χ το μέρος της στέρνας που γεμίζει ο Α σε 4 ώρες. Τότε σε μια ώρα γεμίζει χ/4 κι άρα σε 5 ώρες γεμίζει 5χ/4. Οπότε ο Β σε μια ώρα γεμίζει (1-χ)/4, ενώ ο Γ σε μια ώρα γεμίζει (1/5)(1-5χ/4)=(4-5χ)/20. Κι επειδή η παροχή του Β είναι διπλάσια από την παροχή του Γ, θα ισχύει:

(1-χ)/4=[2(4-5χ)]/20, από όπου προκύπτει ότι χ = 6/10, δηλαδή ο Α σε 4 ώρες γεμίζει τα 6/10 της στέρνας, άρα σε μια ώρα τα 6/40(=3/20), άρα σε 5 ώρες τα 15/20! Οπότε ο Γ στις 5 ώρες που μαζί με τον Α γεμίζει τη στέρνα καταφέρνει να γεμίσει μόνο τα 5/20, δηλαδή σε μιά ώρα το 1/20, οπότε πράγματι θα καταφέρει, ο καημένος, να γεμίσει μόνος του τη στέρνα σε 20 ολόκληρες ώρες!]

Το ό,τι κατέληξα στο "20", που ήδη ως αποτέλεσμα γνώριζα, ήταν για μένα το ζητούμενο.

Αν η λύση μου επιδέχονταν βελτιώσεων δε με ένοιαζε καθόλου, όχι γιατί συνήθως δε με νοιάζει κάτι τέτοιο, τουναντίον.  Τώρα όμως ήθελα όσο το δυνατόν γρηγορότερα να συνεχίσω την ανάγνωση του βιβλίου 1.089 ΕΝΑ ΜΑΓΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ και να απολαύσω τον φαιδρό και παιχνιδιάρικο τρόπο που με ταξίδευε ο  David Acheson, ομότιμος καθηγητής Μαθηματικών στο Jesus College του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης. Το βιβλίο του ξεκινάει με το κόλπο του 1.089!

Σκεφτείτε έναν τριψήφιο αριθμό, στον οποίον το πρώτο ψηφίο και το τελευταίο να διαφέρουν κατά τουλάχιστον δύο μονάδες. Αντιστρέψτε τον και αφαιρέστε τον μικρότερο από τον μεγαλύτερο, Μετά αντιστρέψτε τον νέο τριψήφιο αριθμό και προσθέστε..

το αποτέλεσμα είναι πάντα, μα πάντα λέμε, το 1.089!(*)

Ο David Acheson διάβασε το παραπάνω κολπάκι σε ηλικία 10 χρόνων και γοητεύτηκε τόσο πολύ που, ξεπερνώντας την πλήξη που του προκαλούσαν τα προβλήματα σαν αυτό με τη στέρνα που αναφέρει για παράδειγμα στο βιβλίο του, [το οποίο εγώ έλυσα στο χαρτί μου μόνο και μόνο, για να επαληθεύσω πως η απάντηση είναι το 20!!],αποφάσισε να γίνει μαθηματικός!  Βέβαια στον ελεύθερο χρόνο του, όπως οι περισσότεροι μαθηματικοί παίζουν ένα όργανο, έτσι κι αυτός παίζει ηλεκτρική κιθάρα.. Γι' αυτό στο 10ο κεφάλαιο  με τίτλο Θετικές δονήσεις, αφενός μας εκμυστηρεύεται πως ο Τζάνγκο Ράινχαρντ, Βέλγος τσιγγάνος που απέκτησε τη φήμη του μεγαλοφυούς κιθαρίστα της τζαζ είναι ο ήρωάς του, αφετέρου δίνει τα μυστικά των αρμονικών με στοιχειώδη Μαθηματικά..

Για το βιβλίο όμως αυτό καθαυτό και για τους τρόπους που παρουσιάζει/αναδεικνύει βασικές μαθηματικές έννοιες, καθώς και για τον τρόπο που θα μπορούσε να αξιοποιηθεί στην τυπική διδασκαλία των Μαθηματικών, μέσα στη σχολική τάξη ή σε μια σχολική λέσχη ανάγνωσης, και για το πόσο ισχυρό εργαλείο στη Διδακτική των Μαθηματικών μπορεί να αποδειχθεί, θα κάνω σύντομα μιαν άλλη ανάρτηση.

Σήμερα θα ήθελα απλά να ευχαριστήσω, δημοσίως, τον Νικόλα Πρωτονοτάριο, που το έχει μεταφράσει και μου το σύστησε..Σε ευχαριστώ, Νικόλα!

Αν, στο μεταξύ, εσείς θέλετε να μάθετε περισσότερα για το 1.089 ΕΝΑ ΜΑΓΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ έχετε τη δυνατότητα να το κάνετε άμεσα εδώ: http://www.facebook.com/1089greek

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

(*) Για το "1.089", το αποτέλεσμα που δίνει πάντα, μα πάντα λέμε, ο παραπάνω αλγόριθμος, ο οποίος ενθουσίασε τον τότε δεκάχρονο David Acheson, υπάρχει μια πανέμορφη μαθηματική απόδειξη, όπως και για κάθε τι άλλο για το οποίο οι μαθηματικοί ισχυρίζονται ότι ισχύει ΠΑΝΤΑ(!!), αλλά την αφήνω να την ανακαλύψετε μόνοι σας, εκτός κι αν... προτιμάτε να την πάρει το ποτάμι... :) :)