ΟΙ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΕΝΤΟΣ ΚΑΙ ΕΚΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ

Εισήγηση στην 5η Μαθηματική Εβδομάδα, ΕΜΕ, Παράρτημα Κεντρικής Μακεδονίας, Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2013.

ABECEDARIUS

Ο Ιωάννης (Johannes Balbus) της Γένουας, το 1286 στο έργο του Catholicon, πίστευε ότι επινοεί την αλφαβητική σειρά για πρώτη φορά, γι' αυτό έδινε λεπτομερείς οδηγίες στον αναγνώστη, όπως για παράδειγμα: 

"...σκοπεύω να εξετάσω τις λέξεις amo και bibo. Θα εξετάσω το amo πριν από το bibo, επειδή το a είναι το πρώτο γράμμα του amo και το b είναι το πρώτο γράμμα στο bibo και το a προηγείται του b στο αλφάβητο. Ομοίως....". 

Ο Ιωάννης της Γένουας, έχοντας μάλλον επίγνωση της δυσκολίας που αντιμετώπιζαν οι σύγχρονοί του στην "τεχνολογία της γραφής", έδινε στον πρόλογο του βιβλίου του ένα μακρύ κατάλογο παραδειγμάτων αρχειοθέτησης κατά αλφαβητική σειρά, για να καταλήξει στο εξής: 

"Σε εκλιπαρώ, ευγενικέ αναγνώστη, να μην περιφρονήσεις αυτόν τον μεγάλο κόπο μου και αυτή τη σειρά σαν κάτι ανάξιο λόγου".

Διαβάζοντας αυτήν την παράγραφο στο βιβλίο Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ, του James Gleick, εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ, 2011, ένιωσα να ... συμμερίζομαι την αγωνία του Ιωάννη! :) 

Θέλησα να μοιραστώ το ανάγνωσμα μαζί σου, αγαπητέ αναγνώστη! Αλλά, μετά σκέφτηκα μήπως πληκτρολογώ εις μάτην. Μήπως εσύ, ευγενικέ μου αναγνώστη, βρίσκεσαι στον Φλοίσβο και απολαμβάνεις τη ρέμβη σου, έχοντας πλήρως αποσυνδεθεί από το διαδίκτυο; Μακάρι! Ελπίζω να είναι έτσι κι ελπίζω  να περνάς καλά, αν μπορείς...

Εγώ διαβάζω τώρα το τρίτο κεφάλαιο του βιβλίου που έχει τίτλο "Δύο λεξικά", και από αυτό το κεφάλαιο θα αντιγράψω ένα μικρό και πολύ ενδιαφέρον απόσπασμα, που ανατρέπει την αντίληψη του Ιωάννη της Γένουας, για να το διαβάσεις εσύ όταν θα επιστρέψεις. :)
Αλλά πριν αρχίσω την αντιγραφή, να πω ότι στο 2ο κεφάλαιο που έχει τίτλο "η διατήρηση της λέξης" ο Gleick προσεγγίζει το θέμα από γλωσσολογική σκοπιά και μεταξύ πολλών ενδιαφερόντων - από τα οποία τα μισά και περισσότερα, για να μην πω σχεδόν όλα, αφορούν στον Πλάτωνα και στον Αριστοτέλη - εξηγεί ότι στα πρώτα κείμενα οι νομικοί και οι λοιποί, από την αμηχανία που τους προκαλούσε ο γραπτός λόγος, (οι γραπτές λέξεις εκλαμβάνονταν ως φωνή του απόντος!), απευθύνονταν σε κάποιον φανταστικό αναγνώστη, με αποτέλεσμα πολλά καταστατικά κείμενα,  νομικά ή λογιστικά, να κλείνουν με τη λέξη  "αντίο"! Και ο Ιωάννης της Γένουας, από αμηχανία απευθυνόταν σε έναν τέτοιον αναγνώστη  και μάλιστα ικετευτικά, επειδή θεωρούσε ότι η κωδικοποίηση κατά  αλφαβητική σειρά, που ο ίδιος-όπως πίστευε- είχε επινοήσει για πρώτη φορά, ήταν δυσνόητη και  θα απέτρεπε τον άγνωστη από το να μελετήσει το σύγγραμα. Τελικά δεν ήταν έτσι, αφού άλλοι, πολύ πριν από αυτόν, είχαν ήδη χρησιμοποιήσει τους αλφαβητικούς καταλόγους, όπως διαβάζουμε στο βιβλίο του Gleick:

 

Στον αρχαίο κόσμο, οι αλφαβητικοί κατάλογοι σπάνιζαν μέχρι περίπου το 250 π.Χ., οπότε εμφανίζεται σε παπύρους από την Αλεξάνδρεια. Φαίνεται πως στη μεγάλη βιβλιοθήκη χρησιμοποιήθηκε, τουλάχιστον ως ένα σημείο, η αλφαβητική σειρά για την τακτοποίηση των βιβλίων. Η ανάγκη για ένα τέτοιο τεχνητό σχήμα ταξινόμησης ανακύπτει μόνο όταν υπάρχουν μεγάλες συλλογές δεδομένων, που δεν ταξινομούνται διαφορετικά. Και η δυνατότητα της αλφαβητικής σειράς υπάρχει μόνο στις γλώσσες που διαθέτουν αλφάβητο: ένα συγκεκριμένο μικρό σύνολο συμβόλων με τη δική τους συμβατική ακολουθία (" abecedarie, η σειρά των γραμμάτων ή εκείνος που την χρησιμοποιεί"). Ακόμη και σ' αυτήν την περίπτωση το σύστημα είναι αφύσικο. Αναγκάζει τον χρήστη να αποσυνδέσει την πληροφορία από το νόημα, να δει τις λέξεις αυστηρά σαν σειρές από χαρακτήρες, να εστιάσει αφηρημένα στο σχηματισμό της λέξης. Επιπλέον, η αλφαβητική σειρά περιλαμβάνει δύο διαδικασίες, τη μία αντίστροφη της άλλης: την οργάνωση ενός καταλόγου και τον έλεγχο για την εύρεση συγκεκριμένων στοιχείων, την ταξινόμηση και την αναζήτηση. Και στις δύο κατευθύνσεις η διαδικασία χαρακτηρίζεται από την αναδρομή (" recourse, το να τρέχεις προς τα πίσω"). Η βασική λειτουργία είναι μια δυαδική επιλογή: 'περισσότερο από...' ή 'λιγότερο από...'. Αυτή η λειτουργία εκτελείται πρώτα σε ένα γράμμα, κατόπιν ενσωματωμένη ως υπορουτίνα, εκτελείται στο επόμενο γράμμα, κ.ο.κ.

Πιθανόν για μας που έχουμε εξοικειωθεί με τη γραφή και την ανάγνωση, με τη χρήση λεξικών, με τους υπολογιστές, με τις ρουτίνες, τις υπορουτίνες και όλες τις αλγοριθμικές διαδικασίες, η παραπάνω περιγραφή να είναι περιττή, αλλά για τον δάσκαλο και ιερέα Robert Cawdrey, που το 1604 έκρινε απαραίτητο να συγγράψει ένα βιβλίο με τον μακροσκελή τίτλο: "Αλφαβητικός Πίνακας, που περιλαμβάνει και διδάσκει την ορθή γραφή και κατανόηση ασυνήθιστων αγγλικών λέξεων", τα πράγματα ήταν πολύ διαφορετικά.
"Ο Cawdrey γνώριζε ότι δεν μπορούσε να περιμένει ούτε από τους πιο μορφωμένους αναγνώστες του να είναι εξοικειωμένοι με την αλφαβητική σειρά, γι' αυτό προσπάθησε να φτιάξει έναν μικρό οδηγό χρήσης". 

Η τακτοποίηση κατ' αλφαβητική σειρά, αυτή η κατά Cawdrey αλλόκοτη διαδικασία, "έχει εκπληκτική αποτελεσματικότητα. Το σύστημα κλιμακώνεται εύκολα σε οποιοδήποτε μέγεθος, καθώς η μακροδομή είναι ταυτόσημη με τη μικροδομή. Όποιος κατανοεί την αλφαβητική σειρά γρήγορα κατευθύνεται σε οποιοδήποτε στοιχείο, ανάμεσα σε χίλια ή σε ένα εκατομμύριο, με ακρίβεια και απόλυτη βεβαιότητα. Και χωρίς να γνωρίζει τίποτε για το νόημα." 

Κρατώ την τελευταία φράση του Gleick: "Και χωρίς να γνωρίζει τίποτε για το νόημα", η οποία εγείρη έντονο προβληματισμό γύρω από το πόσο μπορεί να γνωρίζει το νόημα κάποιος που  εκτελεί ρουτίνες, όπως για παράδειγμα αυτές που ακολουθούν οι μαθητές μας, όταν λύνουν τις πρωτοβάθμιες και τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις...
Θα επανέλθω στο θέμα της κατανόησης του νοήματος από τους μαθητές και όχι μόνο, όπως θα επανέλθω και στο βιβλίο συντόμως με νέα ανάρτηση.  Πώς να το αποφύγω άλλωστε, αφού στο τέλος του τρίτου κεφαλαίου κάνει παρέμβαση ο ...Gottfried Wilhelm Leibniz, οπότε η αρχικά "φαινόμενη" γλωσσολογική προσέγγιση αποκαλύπτει το μαθηματικό της προφίλ και η γοητεία του θέματος  χτυπά κόκκινο! :) ) Όσο δε για το δεύτερο λεξικό το οποίο αναφέρεται στο κεφάλαιο αυτό, να πω ότι είναι το Oxford English Dictionary  και να σταματήσω προς το παρόν εδώ, για να αφήσω τον James Gleick να μιλήσει για τη θεωρία της πληροφορίας και την πολύ μακρά της ιστορία.

ΟΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΤΡΥΠΕΣ TOY REULEAUX

"Η ιδέα ενός τρυπανιού που ανοίγει σχεδόν τετράγωνες τρύπες εναντιώνεται στην κοινή λογική! Πώς είναι δυνατόν μια περιστρεφόμενη κεφαλή τρυπανιού να ανοίγει μη κυκλικές τρύπες;"

γράφει στη σελίδα 93  του βιβλίου "η λωρίδα του Μέμπιους", του Clifford Pickover, που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ και που τυχαία άνοιξα στη σελίδα αυτή σήμερα το πρωί, περιμένοντας στο γραφείο του Διευθυντή. Προσπάθησα να φέρω στο μυαλό μου την κεφαλή του τρυπανιού και, καθώς διαθέτω δικό μου κρουστικό κι άρα έχω καλή σχέση με το εργαλείο, αναπαράστησα νοερά την κίνηση της κεφαλής και μια ολοστρόγγυλη τρύπα σχηματίστηκε στον ... αέρα, εκεί μπροστά στα μάτια μου! "Τελικά θα πρέπει να παραδεχτώ ότι η λογική μου δεν ξεφεύγει από την "κοινή" και γι' αυτό  εναντιώνεται στις τετράγωνες τρύπες", σκέφτηκα και για να λύσω τον γρίφο της τετράγωνης οπής έπιασα να διαβάσω την παράγραφο από την αρχή:

"Τα μαθηματικά αξιοποιούνται και εφαρμόζονται στις ευρεσιτεχνίες με εντυπωσιακούς τρόπους: ένας από αυτούς είναι το τρίγωνο Ρελό - ένα τρίγωνο με καμπύλες πλευρές. Η συγκεκριμένη πατέντα με το τρίγωνο Ρελό αφορά κεφαλές τρυπανιών που μας βοηθούν να ανοίξουμε τετράγωνες τρύπες! [...] Η διατομή τους ορίζεται από το τρίγωνο Ρελό, το οποίο πήρε το όνομά του από τον διακεκριμένο μηχανολόγο μηχανικό Φραντς Ρελό (1829-1905)."

Στη συνέχεια μας παρέπεμπε σε εικόνα που παρίστανε το δίπλωμα ευρεσιτεχνίας "Τρυπάνι για τετράγωνες τρύπες" (Δίπλ. Ευρ. ΗΠΑ 4.074.778) και συνέχιζε λέγοντας: 

"Το ίδιο τρίγωνο εμφανίζεται και σε ευρεσιτεχνίες για άλλες κεφαλές τρυπανιών, καθώς και για καινοφανείς φιάλες, έλαστρα, κουτάκια αναψυκτικών, κεριά, ράφια που μπορούν να περιστραφούν, κιβώτια ταχυτήτων και ερμάρια. "

Μετά τον πρώτο ενθουσιασμό μου για το τρίγωνο Ρελό και καθώς το θέμα άρχισε να γίνεται εντελώς "μηχανικό" το ενδιαφέρον μου έτεινε να εξαντληθεί και προς στιγμή σκέφτηκα να κλείσω το βιβλίο και να περιμένω τον Διευθυντή άπραγη, αλλά τότε το μάτι μου πήρε τη λέξη "μαθηματικά" στην αμέσως επόμενη σειρά, οπότε, όπως ήταν φυσικό, κράτησα το βιβλίο ανοιχτό και συνέχισα να διαβάζω. Άλλωστε ο Διευθυντής είχε ακόμη πολλή δουλειά στο εργαστήριο της Φυσικής.

"Για αναγνώστες που τους ενδιαφέρουν τα μαθηματικά, αναφέρουμε πως είναι εύκολο να κατασκευαστεί ένα τρίγωνο Ρελό. Αρχικά κατασκευάστε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά μήκους s. Στη συνέχεια με τη βοήθεια του διαβήτη, σχεδιάστε τρείς κύκλους με κέντρο καθεμία από τις κορυφές του τριγώνου και ακτίνα s.  Τα τόξα που σχηματίζονται από τα σημεία τομής των τριών κύκλων και περνούν από τις κορυφές του αρχικού τριγώνου, αποτελούν τις πλευρές του τριγώνου Ρελό.

Χάρη στις μελέτες πολλών μαθηματικών, γνωρίζουμε αρκετά για τις ιδιότητες του τριγώνου Ρελό. Το εμβαδόν του ισούται με:

και το εμβαδόν της περιοχής που διανοίγεται από ένα τέτοιο τρυπάνι καλύπτει το 0,9877003907...του εμβαδού ενός τετραγώνου. Η μικρή αυτή διαφορά οφείλεται στο ότι η κεφαλή του τρυπανιού Ρελό δημιουργεί τελικά ένα τετράγωνο με ελαφρώς στρογγυλεμένες κορυφές."

Η ενότητα για το τρίγωνο Ρελό τέλειωνε εδώ και η επόμενη ενότητα με τίτλο Η λωρίδα του Μέμπιους σε διάφορες ευρεσιτεχνίες ανέφερε διάφορα διπλώματα ευρεσιτεχνίας Μέμπιους, όπως για παράδειγμα του Όουεν Χάρις που του χορηγήθηκε  ένα δίπλωμα ευρεσιτεχνίας το 1949, για έναν λειαντικό ιμάντα που αύξανε σημαντικά τη λειαντική ή στιλβωτική επιφάνεια..." κλπκλπ

Όσο προχωρούσα το διάβασμα άρχισα να σκέφτομαι πως το βιβλίο αυτό θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ως βασικό εργαλείο στο μάθημα της ερευνητικής εργασίας! Ένα project που διασυνδέει τα Μαθηματικά και την Τεχνολογία, ιδανικός συνδυασμός με δυνατότητα ενεργοποίησης όλων των μαθητών ...Ενθουσιάστηκα δε ακόμη περισσότερο, όταν ανακάλυψα πως το 7ο κεφάλαιο έφερε τον πολλά υποσχόμενο τίτλο Παιχνίδια, λαβύρινθοι, τέχνη, μουσική και αρχιτεκτονική, ενώ το 8ο με τον τίτλο Λογοτεχνία και ταινίες ερχόταν για να υπερκαλύψει και όλα τα προσωπικά μου ενδιαφέροντα. Αυθόρμητα η σκέψη μου πλημμύρισε με εικόνες παιδιών που εργάζονταν σε τετραμελείς ομάδες, έχοντας κιόλας επιλέξει θέματα από τα πολλά που πρόσφερε το βιβλίο του Clifford Pickover, αλλά όταν τα βήματα του Διευθυντή αντήχησαν στο διάδρομο του άδειου από παιδιά σχολείου, επανήλθα με θλίψη στην ωμή πραγματικότητα... 

Κάνω όνειρα για την επόμενη χρονιά, για το project και για τα μαθηματικά, ενώ δεν ξέρω πού θα βρίσκομαι την επόμενη σχολική χρονιά... Δεν μπορώ να προβλέψω πού θα με "ξεβράσει" η χαοτική κατάσταση που επικρατεί στον χώρο της παιδείας, και παντού, και γενικά... 

Φοβάμαι μήπως οι γοητευτικές και πέρα από την κοινή λογική τετράγωνες τρύπες του Ρελό κι όλα  τα σχέδια του project  που έχω για του χρόνου στο μυαλό, αποδειχτούν στο τέλος μια ... τρύπα στο νερό.
  

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Για περισσότερες πληροφορίες για το τρυπάνι Reuleaux δείτε εδώ "Est-il possible de forer des trous de forme carrée ?"   και εδώ

ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ...

 

"Φυσιολογικά, ο  κάτοχος μιας κλειδαριάς διαθέτει και το απαραίτητο κλειδί με το οποίο μπορεί να την ανοίξει."

Με αυτήν τη φράση ξεκινά το βιβλίο που κρατώ στα χέρια μου και προσπαθώ εδώ και λίγες μέρες να διαβάσω. Διαβάζοντας όμως την πρώτη κιόλας αράδα αναρωτήθηκα πώς μπορεί να ξεκινά κατ' αυτόν τον τρόπο ένα τέτοιο βιβλίο! Η αλήθεια είναι πως είχα προετοιμαστεί για κάτι εντελώς διαφορετικό.

Η κλειδαριά και το κλειδί, με κάτοχο ή χωρίς, έφεραν στη σκέψη μου χίλια μύρια θέματα με πύργους, με κλειδωμένες πριγκίπισσες, με χαμένους παραδείσους κι άλλα διάφορα. Κι ύστερα σκέφτηκα μερικές αγαπημένες φράσεις, με επικρατέστερη ανάμεσά τους αυτήν του Κάρλο Φραμπέτι: "η επίγνωση της άγνοιας είναι το κλειδί της γνώσης". Ακόμη και τίτλους άρθρων σκέφτηκα όπως το  "Αναζητούν το ... γαλλικό κλειδί για την αξιολόγηση των δημοσίων υπαλλήλων", που μου είχε κάνει εντύπωση όταν τον πρωτοδιάβασα, γιατί πάντα πίστευα πως το "γαλλικό κλειδί" είναι ένα εργαλείο που σφίγγει τις βίδες που έχουν λασκάρει, αλλά να που τελικά είναι εργαλείο ... αξιολόγησης δημοσίων υπαλλήλων!

Με τα πολλά, εν τέλει, κάποτε κατάφερα να συγκεντρωθώ και να συνεχίσω την ανάγνωση, οπότε στο γύρισμα της σελίδας, αντί να ξεκαθαρίσει το τοπίο, το πράγμα περιπλέχτηκε ακόμη περισσότερο. Ιδού τι έγραφε:

Φυσιολογικά, ο  κάτοχος μιας κλειδαριάς διαθέτει και το απαραίτητο κλειδί με το οποίο μπορεί να την ανοίξει. Ωστόσο, το να διαθέτεις ένα κλειδί που να μπορεί να  ανοίξει και άλλες κλειδαριές, κλειδαριές περίεργες που ουδέποτε έχουμε αντικρίσει μέχρι τώρα είναι νομίζω κάτι το συναρπαστικό! Ένα αντικλείδι κάνει πιο συναρπαστικά τα αστυνομικά μυθιστορήματα και, παρότι οι σύγχρονες κλειδαριές παραβιάζονται δύσκολα από αντικλείδια, η ιδέα αυτή δεν έχασε ποτέ την αίγλη της και τη γοητεία της.

Ένας κλειδαράς θα μπορούσε να κατασκευάσει πενήντα κλειδαριές που καθεμιά θα είχε το δικό της κλειδί. Θα μπορούσε όμως να κατασκευάσει και ένα κοινό αντικλείδι το οποίο θα άνοιγε και τις πενήντα κλειδαριές. Αυτό μπορεί να συμβεί επειδή ο μηχανισμός που ανοίγει την κάθε κλειδαριά είναι πάντα ο ίδιος. Ο μηχανισμός τίθεται σε λειτουργία από ένα μικρό τμήμα του κλειδιού, το οποίο τμήμα περιέχεται σε όλα τα κλειδιά. Στο αντικλείδι υπάρχει μόνο αυτό το μικρό τμήμα, στερεωμένο μέσω μιας λεπτής ράβδου στο στέλεχος του κλειδιού. Το αντικλείδι δεν έχει τίποτε το οποίο δεν είναι ουσιαστικό στα άλλα κλειδιά και, επειδή δεν διαθέτει τίποτε περιττό, μπορεί ανενόχλητα να μπαίνει, να γυρίζει μέσα σε όλες τις πενήντα κλειδαριές και να τις ανοίγει. 
Επομένως, η αρχή που ακολουθείται για την κατασκευή ενός κλειδιού είναι ο εντοπισμός του ελάχιστου εκείνου τμήματος που είναι απαραίτητο και ταυτόχρονα ο αποκλεισμός κάθε άλλου μη απαραίτητου. Αυτός ο αυστηρός περιορισμός επιβραβεύεται από τη διεύρυνση των δυνατοτήτων και του πεδίου εφαρμογής.

Αν δεν είχα ήδη ελέγξει δυο τρεις φορές το εξώφυλλο και τα περιεχόμενα του βιβλίου που κρατούσα στα χέρια μου, θα πίστευα πως το ανάγνωσμά μου έχει τίτλο "το εγκώμιο του καλού διαρρήκτη" ή κάτι συναφές τέλος πάντων! 

Επρόκειτο όμως για το βιβλίο του D.E. Littlewood, "Στοιχειώδης εισαγωγή στα Ανώτερα Μαθηματικά", από τις εκδόσεις Κάτοπτρο, που - μαζί με δυο άλλα - είχα αποφασίσει  να διαβάσω αμέσως μόλις ξεκινούσαν οι θερινές διακοπές, κάτι που όντως έκανα. Ή τουλάχιστον προσπάθησα, και προσπαθώ, αφού ακόμη δεν έχω ολοκληρώσει τη μελέτη. Όμως δεν ολοκληρώνεται εύκολα και γρήγορα η μελέτη ενός βιβλίου μαθηματικών, ακόμη και στοιχειωδών.

Για να μελετήσεις ένα βιβλίο μαθηματικών πρέπει να κατανοήσεις τις βασικές αρχές που διέπουν τις διάφορες μαθηματικές κατασκευές, όπως ακριβώς για να κατασκευάσεις ένα κλειδί που ανοίγει πενήντα κλειδαριές πρέπει πρώτα να κατανοήσεις την αρχή που ακολουθείται για την κατασκευή ενός κλειδιού.

"Στο πεδίο των μαθηματικών, η αρχή αυτή λέγεται αφαίρεση και δικαιολογημένα μπορούμε να την αποκαλέσουμε μίτο της Αριάδνης για την εν λόγω επισήμη",  λέει  ο D.E. Littlewood στην αμέσως επόμενη παράγραφο. Και συνεχίζει: "στην πραγματικότητα τα μαθηματικά γεννήθηκαν από την αφαίρεση, όπως αποδεικνύεται από το παράδειγμα της ίδιας της έννοιας του αριθμού". 

Και ακριβώς εκεί, στον αριθμό, ξεκινά η απόλυτη αφαίρεση, οπότε αν δεν έχει κάποιος την ικανότητα να διαχειρίζεται το νου του με τρόπον τέτοιο, ώστε να αφήνει τα εγκόσμια και να περιέρχεται σε μια μορφή ...ύπνωσης και μαθηματικού διαλογισμού, δεν νομίζω πως θα έχει ποτέ τη δυνατότητα να κατανοήσει πλήρως τους αλγεβρικούς ακέραιους, τα ιδεώδη, τους p-αδικούς αριθμούς κι όλα αυτά τα  αλγεβρικά όντα που  κρατούν επτασφράγιστα τα ουράνια μυστικά τους και για να τα κατακτήσει κανείς πρέπει αναμφιβόλως να διαθέτει το απαραίτητο κλειδί, που -εν γένει-  είναι  το πείσμα, η επίγνωση και η υπομονή...

--------------------------------------------------
Ευτυχώς το άλλο βιβλίο που δεσμεύτηκα να διαβάσω είναι Απειροστικός Λογισμός και το τρίτο είναι η Αξιωματική Μέθοδος. Γήινα πράγματα, δηλαδή! :)