Η ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΑΞΙΑ και ΤΟ ΗΘΙΚΟ ΠΡΟΣΗΜΟ !

"Μου φαίνεται ότι καθώς οι άνθρωποι συσσωρεύουν όλο και περισσότερα χρήματα αντιδρούν διαφορετικά με κάθε νέο ποσόν που προστίθεται στο κομπόδεμά τους. Πιστεύω ότι, ψυχολογικά, κάθε επιπλέον ρούβλι αξίζει γι' αυτούς λιγότερο από το προηγούμενο, οπότε, καθώς γίνονται όλο και πιο πλούσιοι, τα όποια κέρδη τούς ικανοποιούν όλο και λιγότερο, οπότε χρειάζονται συνεχώς περισσότερα χρήματα για να είναι ικανοποιημένοι".
"Έχεις δίκαιο", είπε ο Όιλερ. "Μήπως επινόησες κάποιον τύπο για την ψυχολογική αξία που έχει κάθε επιπλέον ρούβλι;"
"Όχι, αλλά πλησιάζω. Ήδη γνωρίζω πως η αξία που έχει κάθε νέο ρούβλι σε ένα άτομο είναι αντιστρόφως ανάλογη προς το ποσόν που ήδη διαθέτει", είπε ο Ντάνιελ, "αν και δεν έχω βρει ακόμη την ακριβή σχέση. Σκέφτομαι να ονομάσω την επιπλέον αυτή αξία στα χρήματά του 'ηθική τιμή' "
"Μου αρέσει αυτό Μπερνούλι", είπε ο Όιλερ. "Χρησιμοποιείς λοιπόν τη λέξη ηθική με τον ίδιο τρόπο που το έκανε και ο θείος σου, ο Γιάκομπ, όταν αναφερόταν στην ηθική βεβαιότητα" (*)
"Θαρρώ πως ναι. Ακόμα εργάζομαι σε αυτό", συνέχισε ο Ντάνιελ. "Αυτή η ηθική τιμή πρέπει να συσχετιστεί επίσης με τον τρόπο που κερδίζει κανείς τα χρήματα, καθώς και με το πώς εξελίσσονται οι προσδοκίες του όσο εργάζεται γι' αυτόν τον σκοπό. Είναι ένα αρκετά σύνθετο πρόβλημα".
"Πιστεύω πως θα περάσεις ωραία με αυτό", παρατήρησε ο Όιλερ. "Είμαι περίεργος να δω το αποτέλεσμα".
"Κι εγώ", είπε ο Ντάνιελ ταπεινά. "Πολύ θα ήθελα να το ποσοτικοποιήσω, αλλά βρίσκομαι ακόμη στην αρχή".

Θα καταλάβατε, ίσως,  ότι οι συνομιλητές στον παραπάνω διάλογο είναι ο (τεράστιος)  Λέοναρντ Όιλερ και ο Ντάνιελ Μπερνούλι, γιος του Γιόχαν, ανηψιός του Γιάκομπ και θείος των Γιόχαν, Ντάνιελ, Γιάκομπ, της μεγάλης μαθηματικής δυναστείας Μπερνούλι.
Αυτοί οι κορυφαίοι μαθηματικοί είναι οι ήρωες της Margaret Tent στο βιβλίο της "το μαθηματικό γονίδιο των Όιλερ και Μπερνούλι", που κυκλοφόρησε φέτος από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ. 

Είναι το τρίτο ιστορικό μυθιστόρημα της Tent που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ κι έχει  θέμα τη ζωή  κορυφαίων μαθηματικών!
Σε ένα διάστημα περίπου έξι ετών η Margaret Tent, μας έχει δώσει τρία όμορφα ιστορικά μυθιστορήματα, αφενός  διεξάγοντας εκτενή έρευνα για τους πρωταγωνιστές των βιβλίων της  και αφετέρου συμπληρώνοντας τα κενά στα ντοκουμέντα της με  φαντασία, αλλά και την υποστήριξη ειδικών, ιστορικών κλπ.
Νομίζω ότι αξίζει να σημειωθεί πώς αποφάσισε να γράψει το πρώτο της μυθιστόρημα, με τίτλο "Καρλ Φρίντριχ Γκάους ο  πρίγκιπας των Μαθηματικών", το οποίο με είχε ενθουσιάσει, όπως και πολλούς άλλους συναδέλφους, και το χρησιμοποίησα σε λέσχη ανάγνωσης με αφορμή το ιστορικό σημείωμα για τον Γκάους στο βιβλίο της πρώτης Γυμνασίου. (Για λεπτομέρειες δείτε εδώ).

M.B.W. Tent

« Αυτή η βιογραφία - του Καρλ Φρίντριχ Γκάους -  είναι αποτέλεσμα της συναναστροφής μου με τους μαθητές. Εκείνοι ήθελαν να πληροφορηθούν περισσότερα και εγώ με τη σειρά μου έψαξα και έμαθα όλες τις λεπτομέρειες.
Ελπίζω ότι η ιστορία του Γκάους θα παρακινήσει τους αναγνώστες να εξερευνήσουν τον κόσμο των μαθηματικών.  Αν κάτι τέτοιο συμβεί θα είμαι πραγματικά ευτυχής.», είπε η Tent, η οποία, όταν ήταν καθηγήτρια Μαθηματικών στην Αλαμπάμα των Η.Π.Α., 

...ένα πρωινό του 1992, στα πρώτα χρόνια της διδασκαλίας της είδε ένα προχειρογραμμένο μήνυμα στον πίνακα:
"Τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών και η θεωρία  αριθμών είναι η βασίλισσα των μαθηματικών".

"Ο Ν.Γ. και ο Μ.Μ. δύο μαθητές της Α' Γυμνασίου, μου εξήγησαν ότι ανακάλυψαν στη σχολική βιβλιοθήκη, στο βιβλίο του Έρικ Τεμπλ Μπελ Οι Μαθηματικοί.", μας εξομολογείται και συνεχίζει λέγοντας: "Όταν αργότερα έψαξα το βιβλίο στη βιβλιοθήκη, βρέθηκα εμπρός σε μια υπέροχη αφήγηση της ιστορίας των Μαθηματικών. Εκεί πραγματικά "κόλλησα" "

Δεν είναι η μόνη που "κόλλησε" σε μια υπέροχη αφήγηση της ιστορίας των Μαθηματικών! 
Σε μια αφηγηματική, εναλλακτική, προσέγγιση του κόσμου των Μαθηματικών και των θεμάτων που εξετάζουν έξω και πέρα από το τυπικό και περιορισμένο σχολικό εγχειρίδιο, αναδεικνύοντας την  ψυχολογική αξία και το ηθικό τους πρόσημο! 
Ναι, σίγουρα η Tent δεν είναι η μόνη που σαγηνεύτηκε από αυτόν τον υπέροχο κόσμο.

 Αλλά είναι η μόνη(;) καθηγήτρια  που δίδασκε  Μαθηματικά σε ένα Γυμνάσιο, κάποτε στην Αμερική, 

και βρέθηκε αίφνης, μετά από δυο-τρεις ερωτήσεις που  έκαναν οι μαθητές της για τον Γκάους, να ξεσκαλίζει τα ράφια στο Πανεπιστήμιο του Γκέτιγκεν  στη Γερμανία, τα συρτάρια στο Αρχείο Όιλερ στη Βασιλεία, τις προθήκες στην Πρωσική Ακαδημία στο Βερολίνο, και ποιος ξέρει πού αλλού και τι άλλο, για να ανακαλύψει στα ιστορικά ντοκουμέντα  ό,τι χρειαζόταν και μελετώντας το να ζωντανέψει με λέξεις τις ζωές του Καρλ Φρίντριχ Γκάους, της Έμυ Νέδερ, του Λέοναρντ Όιλερ και των οκτώ Μπερνούλι, η περίπτωση των οποίων εγείρει το ερώτημα: υπάρχει άραγε μαθηματικό γονίδιο;

Κι εγώ ρωτώ: υπάρχει κάποιος  που δεν θα επιθυμούσε να κάνει  αυτό που κάνει  η Margaret Tent; 

Να περιδιαβαίνει, δηλαδή, τα πνευματικά κέντρα της Ευρώπης, όπου τους τελευταίους τρεις και κάτι αιώνες έζησαν και διέπρεψαν πνευματικοί άνθρωποι τέτοιας εμβέλειας;  Να μπαίνει στα Μουσεία, στις Βιβλιοθήκες και στα γραφεία τους, να μελετά τα χειρόγραφά τους, να συναντά μακρινούς απογόνους τους, να αναβιώνει τις ζωές τους κι ύστερα, ν' ανοίγει  τα χαρτιά του, να ξεδιπλώνει τις σημειώσεις του και ν' αφηγείται, χαρτί και καλαμάρι, με το δικό τους στόμα και με τη δική τους δυναμική;

Υπάρχει, άραγε,  μαθηματικός τύπος που υπολογίζει την ψυχολογική αξία  μιας πράξη μας, όταν αυτή πηγάζει από τη βαθύτερη επιθυμία μας κι αυτή η βαθύτερη επιθυμία μας δεν είναι η στείρα συσσώρευση χρημάτων;  Αν υπήρχε τέτοιος τύπος, είμαι σχεδόν σίγουρη πως στην Tent, θα έδινε τη μέγιστη δυνατή τιμή!  Η αγάπη της για αυτό που κάνει  μεγαλώνει, από βιβλίο σε βιβλίο, και -καθώς παράλληλα αυξάνει  η εμπειρία-  το αποτέλεσμα γίνεται ολοένα και καλύτερο. 

Προσωπικά θέλω να πιστεύω ότι η Tent, παρόλο που έχει ήδη γράψει τρία ιστορικά μυθιστορήματα, θα συνεχίσει με την ίδια ζέση, επειδή νιώθει, όπως ακριβώς και ο Ντάνιελ Μπερνούλι, ότι βρίσκεται ακόμη στην αρχή!

===========================================================

(*) Ο Γιάκομπ Μπερνούλι, ο θείος του Ντάνιελ, στο έργο του Ars Conjectandi (η τέχνη του εικάζειν) παρουσίασε τη μελέτη των πιθανοτήτων ως μια προσπάθεια προς ποσοτικοποίηση της πιθανότητας να συμβεί ένα γεγονός, έτσι ώστε να μπορεί κάποιος να αναλάβει το ρίσκο ύστερα από σκέψη.  Την τιμή "αναφοράς", κάτω από την οποία συνέφερε σε κάποιον να αναλάβει το ρίσκο την ονόμασε  "ηθική βεβαιότητα", επηρεασμένος από τον Αριστοτέλη, τον οποίον είχε μελετήσει διεξοδικά, αφού πριν ασχοληθεί με τα Μαθηματικά σπούδασε Φιλοσοφία και Θεολογία, και όπως γράφει στη σελίδα 149:

"Ο Αριστοτέλης είχε αναγνωρίσει ότι, καθώς η απόλυτη βεβαιότητα είναι συνήθως κάτι ανέφικτο, ο ευφυής άνθρωπος πρέπει να θέτει ένα ελάχιστο όριο βεβαιότητας,  πέρα από κάθε λογική αμφιβολία."

Καθώς ξαναδιάβασα τώρα τις σελίδες όπου περιγράφεται η θεωρία του Γιάκομπ Μπερνούλι 
περί της τέχνης του εικάζειν, δεν μπόρεσα να αντισταθώ στον πειρασμό και να μην εικάσω... 
Να μην κάνω μια πρόβλεψη, δηλαδή, για το επόμενο θέμα της Margaret Tent! 

Ναι, αποτολμώ να εικάσω πως στο επόμενο βιβλίο της  θα ασχοληθεί με...
τον Βάιερστρας και την Σοφία Κοβαλέβσκι, πέρα από κάθε...λογική αμφιβολία! :)

ΠΟΙΟΣ ΣΚΟΤΩΣΕ ΤΟΝ ΚΥΡΙΟ Χ;

Όταν στην  αρχή της σχολικής χρονιάς 2008-2009, άρχισα - με πολύ άγχος..- τον σχεδιασμό για το Μαθηματικό Πανηγύρι που, για πρώτη φορά, θα γινόταν τον Ιούνιο  του 2009  στη Θεσσαλονίκη, [στην Αθήνα είχε γίνει ήδη τις δυο προηγούμενες χρονιές], είχα μόλις μάθει για την πρωτότυπη εργασία του  συναδέλφου Θοδωρή Ανδριόπουλου με  τίτλο "Ποιος σκότωσε τον κύριο Χ;".
Για τον λόγο αυτό τότε επικοινώνησα  μαζί του και συμφωνήσαμε να την παρουσιάσει, όχι ως ένας από τους τρεις καλεσμένους ομιλητές, αλλά -αφού την επεξεργαστεί πρώτα με κάποιους από τους μαθητές  του- ως συμμετοχή μιας σχολικής λέσχης ανάγνωσης. Άλλωστε ο στόχος του Μαθηματικού Πανηγυριού είναι αυτός ακριβώς, να εμπλέκει τους μαθητές σε διαφορετικές και διαθεματικές, ή αν το προτιμάτε πολυτροπικές,  προσεγγίσεις των Μαθηματικών. 
Το power point της παρουσίασης μου εστάλη ηλεκτρονικά, όπως και  το υλικό όλων των άλλων σχολικών ομάδων που συμμετείχαν, κάτι που ζητώ πάντα από τους συμμετέχοντες συναδέλφους, ώστε να βεβαιώνομαι έγκαιρα πως στο διήμερο της εκδήλωσης όλα θα  ... δουλέψουν ρολόι! :)

Πράγματι η παρουσίαση της ιστορίας "Ποιος σκότωσε τον κύριο Χ;", του Θοδωρή Ανδριόπουλου, σε σκίτσο του μαθητή Βλάση Γωγούση, αποτέλεσε μέρος του προγράμματος της διήμερης εκδήλωσης "Μαθηματικό Πανηγύρι" της ομάδας Θαλής+Φίλοι.
Έτσι γνώριζα από τότε την ιδέα του Θοδωρή και την εκτέλεσή της, μέχρι  ενός σημείου όμως, αφού...
Αφού ένα χρόνο μετά ο Θοδωρής μου ανακοίνωσε πως αναζητούσε κομίστα, επειδή ήθελε να εξελίξει την ιδέα του και να την εκδώσει σε μορφή κόμικ!
Κι ύστερα, ένα χρόνο περίπου μετά από αυτήν την ανακοίνωση, άρα δυο χρόνια μετά από την πρώτη μας σχετική με τη δολοφονία του κυρίου Χ επαφή, το  ανήσυχο πνεύμα του Θοδωρή Ανδριόπουλου ολοκλήρωσε το σχέδιο του.
Χθες μου ενεχείρησε το "Ποιος  σκότωσε τον κύριο Χ;", σε εικονογράφηση του Θανάση Γκιόκα, από τις εκδόσεις ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ.

Το διάβασα αμέσως και διαπίστωσα ότι είχε εμπλουτίσει την αρχική εκδοχή του, αυτή που μας είχε παρουσιάσει στο Μαθηματικό Πανηγύρι, χωρίς όμως
να έχει αλλάξει τίποτε από τη βασική του ιδέα. Οι πρωταγωνιστές της ιστορίας
του παρέμειναν οι ίδιοι, αλλά όπως ήταν φυσικό, λόγω της χωροχρονικής άνεσης που δίνει ένα βιβλίο σε σχέση με ένα power point, οι πληροφορίες για τον καθέναν από τους φερόμενους ως υπόπτους δολοφονίας αυξήθηκαν κι έγιναν ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες.

Για μιαν ακόμη φορά τα μαθηματικά τίθενται στην υπηρεσία του νόμου (βλέπε προηγούμενη ανάρτησή μου :)), αλλά τώρα  δεν είναι ο αστυνομικός που μαθηματικοποιεί και ...απομαθηματικοποιεί(!), τα δεδομένα του για να εξιχνιάσει το έγκλημα, αλλά είναι οι ύποπτοι, μαθηματικοί όλοι τους, αυτοί που δίνουν  καταθέσεις  με τη μορφή προβλημάτων.
Η αναζήτηση του δολοφόνου του κυρίου Χ και ο εντοπισμός του μεταξύ των δέκα μαθηματικών υπόπτων απαιτεί την επίλυση σύντομων μαθηματικών προβλημάτων (μαθηματικών ασκήσεων σχολικού επιπέδου)! Επιστρέφουμε δηλαδή στην απαρχή της βασικής ιδέας του Θοδωρή Ανδριόπουλου, που δεν ήταν άλλη από μια πρωτότυπη διδασκαλία! Για την  ιδέα του αυτή άλλωστε   κέρδισε  το 3ο Βραβείο στο 6^ο Πανευρωπαϊκό Forum Πρωτοπόρων Καθηγητών του Προγράμματος Συνεργάτες στη μάθηση της εταιρείας Microsoft.

Πιστεύω πως ο Ανδριόπουλος αξίζει διπλά συγχαρητήρια! Αφενός για την πρωτότυπη και διασκεδαστική διδασκαλία που εμπνέυστηκε, αφετέρου επειδή λόγω της γενικότερης ανήσυχης φύσης τους, και παρά τις δυσκολίες που αντιμετώπισε, κατάφερε να κάνει την ιδέα του  κόμικ, για το οποίο κόμικ, αυτό καθαυτό, δεν θα καταθέσω τη δική μου προσωπική άποψη, αλλά της - εξίσου με τον Θοδωρή ανήσυχης και δραστήριας  -  συναδέλφου Χριστίνας Ζουρνά, με την οποία ανταλλάξαμε ήδη αρκετά μηνύματα γύρω από ... το μυστήριο στην υπόθεση της δολοφονίας του κυρίου Χ! :)

                

                 Μου έγραψε η Χριστίνα:

Μου άρεσε πάρα πολύ η εικονογράφηση, οι χρωματικοί συνδυασμοί, οι εικόνες από τα τοπία και τις πόλεις, μουσεία κλπ ανάλογα με τον μαθηματικό στον οποίο αναφέρονται οι δυο τρεις σελίδες κάθε φορά,  η μεταφορά σε κόμικ ήταν εξαιρετική ιδέα που τραβάει πολύ μεγάλους και παιδιά - είναι ωραίος ο χωρισμός με τις καφέ σελίδες και τον καινούργιο τίτλο και το όνομα του υπόπτου, πολύ καλό στήσιμο στο τέλος με λίγα ιστορικά στοιχεία και τις λύσεις των προβλημάτων. Πιστεύω ότι άνετα θα μπορούσε κάποιος να χρησιμοποιήσει τις καφέ σελίδες για να λύσει το κάθε πρόβλημα, αν δε φοβάται να γράψει στις σελίδες ενός βιβλίου. Το σενάριο και η σειρά των εικόνων (ντεκουπάζ για τους γνώστες) πολύ πολύ καλή. Γενικά πολύ προσεγμένη δουλειά. Ο εικονογράφος υποστήριξε πολύ καλά το έργο- και τη δουλειά του Θοδωρή. Ανέδειξε την όλη εργασία!! Προσωπικά θα προτιμούσα διαφορετικό τέλος, αλλά αυτό δεν ενδιαφέρει - είναι θέμα του συγγραφέα!!!! Όσο για να χρησιμοποιηθεί από τους μαθητές, νομίζω ότι ναι θα ήθελα, προσφέρεται κυρίως για γ γυμνασίου ή α λυκείου, ανάλογα με το πρόβλημα ταιριάζει σε πολλές τάξεις. Πιστεύω όμως ότι για γυμνάσιο είναι ιδανικό. Σίγουρα θα τους το δείξω πάντως σε όλες τις τάξεις που κάνω μάθημα- και στη θεατρική. Όπως είπα και στο Θοδωρή, οι αξιόλογες προσπάθειες αν μη τι άλλο, τουλάχιστον να αναγνωρίζονται!
Φιλιά
Χριστίνα

Φιλιά και από μένα!

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΤΟΥ (αστυ)ΝΟΜΟΥ

"Τη δεκαετία του 1980, ο Κιμ Ρόμσο ήταν ένας νέος αστυνόμος που ανήκε στην αστυνομική δύναμη του Βανκούβερ, στον Καναδά. Αυτό που τον έκανε ασυνήθιστο για αξιωματικό της αστυνομίας ήταν το ταλέντο του στα μαθηματικά. Στο σχολείο είχε χαρακτηριστεί παιδί-θαύμα, το είδος του μαθητή που προκαλεί εκνευρισμό στους συμμαθητές του, ακόμη και στους δασκάλους του. Λέγεται ότι στις αρχές της τελευταίας τάξης του λυκείου, βαριεστημένος από τον αργό ρυθμό με τον οποίο διδασκόταν τα μαθηματικά στο σχολείο του, ζήτησε να δώσει τις τελικές εξετάσεις τη δεύτερη εβδομάδα του τριμήνου. Αφού αρίστευσε, απαλλάχθηκε για την υπόλοιπη χρονιά από το μάθημα των μαθηματικών.
Λίγο αργότερα, νιώθοντας επίσης να πνίγεται από τη συνήθη αργή πρόοδο των αστυνομικών ερευνών στα διάφορα βίαια κατά συρροήν εγκλήματα, ο Ρόμσο αποφάσισε να επιστρέψει στα θρανία, απο τα οποία έφυγε με ένα διδακτορικό δίπλωμα στην εγληματολογία από το Πανεπιστήμιο Σάιμον Φρέιζερ-ο πρώτος αστυνομικός με τέτοιο δίπλωμα στον Καναδά. Οι επιβλέποντες της εργασίας του, Πολ και Πατρίτσια Μπράντιγκχαμ, ήταν πρωτοπόροι στην ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων (συνόλων, δηλαδή, εξισώσεων που περιγράφουν μια κατάσταση) για την εγκληματική συμπεριφορά ιδιαιτέρως εκείνων που περιγράφουν τις πιθανότερες τοποθεσίες διάπραξης ενός εγκλήματος με βάση τον τόπο κατοικίας και εργασίας του εγκλήματια. [...]
Το ενδιαφέρον του Ρόμσο εστιάστηκε σε κάτι ελαφρώς διαφορετικό. Δεν ήθελε να μελετήσει τα πρότυπα της εγκληματικής συμπεριφοράς. Ως αξιωματικός της αστυνομίας, ήθελε να χρησιμοποιήσει τα πραγματικά δεδομένα σχετικά με τις θέσεις των εγκλημάτων ενός αγνώστου δράστη, ως ερευνητικό εργαλείο για την εξιχνίαση των εγκλημάτων.
Ο Ρόμσο ανέλυσε με επιτυχία κάποιες παλιότερες υποθέσεις και αφότου έλαβε το διδακτορικό του και προήχθη σε αστυνομικό επιθεωρητή, επικεντρώθηκε στην ανάπτυξη καλύτερων μαθηματικών μεθόδων, δημιουργώντας την επονομαζόμενη γεωγραφική στοχοποίηση του εγκληματία (criminal geographic targeting). Η μέθοδος ονομάζεται και "σκιαγράφηση γεωγραφικού προφίλ", επειδή συμπλήρωνε την πολύ γνωστή τεχνική της "σκιαγράφησης ψυχολογικού προφίλ", που χρησιμοποιείται για τον εντοπισμό των εγκληματιών βάσει των κινήτρων και των ψυχολογικών  χαρακτηριστικών τους. Με τη σκιαγράφηση γεωγραφικού προφίλ επιχειρείται να εντοπιστεί η πιθανή βάση δράσης ενός εγκληματία μέσω της ανάλυσης των τοποθεσιών όπου διέπραξε τα εγκλήματά του. [...]"

Αυτή είναι η πραγματική ιστορία  του Κιμ Ρόμσο και του μαγικού (μαθηματικού) τύπου , που  αυτός επινόησε! Ο τύπος του Ρόμσο, που βελτιώθηκε από τον επινοητή του στη συνέχεια, εξελίχτηκε στο πρόγραμμα Rigel, το οποίο σήμερα εφαρμόζεται από αστυνομικές και άλλες ερευνητικές υπηρεσίες σε όλον τον κόσμο!
Σε αυτήν την πραγματική ιστορία του Ρόμσο  βασίστηκε το σενάριο του πρώτου επεισοδίου της αστυνομικής σειράς NUMB3RS, που ο καλός μου φίλος, ΔΧ, προ πολλού μου είχε προτείνει να παρακολουθώ, αλλά εγώ λόγω της απέχθειας μου προς την TV, το ξέχασα!!! Συγγνώμη :(

Χθες βράδυ όμως, έπιασα στα χέρια μου το βιβλίο "ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΤΗΛΕΟΠΤΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ NUMB3RS", των Keith Devlin (συγγραφέα του βιβλίου ΦΕΡΜΑ-ΠΑΣΚΑΛ το τελευταίο παιχνίδι, το οποίο με είχε γοητεύσει τον Απρίλη...)   και  Gary Lorden, που μόλις κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ,  και ειλικρινά μετάνοιωσα που δεν είχα ακούσει νωρίτερα τη συμβουλή του φίλου μου, αν και δεν αντέχω να στέκομαι απέναντι από την τηλεόραση! :)

"Η σειρά NUMB3RS δεν δημιουργήθηκε με σκοπό τη διδασκαλία των μαθηματικών, ούτε την επεξήγησή τους. Είναι μια ψυχαγωγική σειρά, και μάλιστα εντυπωσιακά επιτυχημένη.Οφείλουμε να αναγνωρίσουμε πως οι συγγραφείς, οι ερευνητές και οι παραγωγοί κάνουν ό,τι μπορούν για να παρουσιάσουν ορθά τις μαθηματικές ιδέες, προσπαθώντας παράλληλα να δημιουργήσουν μία από τις πιο επιτυχημένες αστυνομικές σειρές στην ιστορία της τηλεόρασης", γράφουν οι συγγραφείς του βιβλίου στη σελίδα 307, ενώ ήδη από τον πρόλογο μας εξηγούν:
"Το βιβλίο μας σκοπεύει να περιγράψει, με μη τεχνικό τρόπο, μερικές από τις σημαντικότερες μαθηματικές τεχνικές που έχουν σήμερα στη διάθεσή τους η αστυνομία, η CIA και το FBI. Οι περισσότερες απ' αυτές αναφέρονται σε κάποιο επεισόδιο της σειράς NUMB3RS, και ενώ πολλές φορές συνδέουμε τις εξηγήσεις μας με ό,τι παίχτηκε στον αέρα, στο βιβλίο επικεντρωνόμαστε στις μαθηματικές τεχνικές και στον τρόπο με τον οποίο μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην εφαρμογή του νόμου."

Τον σκοπό τους τον πέτυχαν στην εντέλεια κι ακριβώς αυτό με έκανε να ξημερωθώ, παραμονή Χριστουγέννων, με ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΤΗΛΕΟΠΤΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ, στα χέρια..
Η κρυφή γοητεία των "στοχαστικών μαθηματικών", που οι K.Devlin και G.Lorden, αναλύουν με άκρως γλαφυρό και κατανοητό τρόπο, σε συνδυασμό με την πολύ καλή μετάφραση του Νίκου Αποστολόπουλου, καθιστούν το βιβλίο ένα εξαίρετο δώρο για όποιον θα ήθελε να χαρίσει στον εαυτό του ή σε όποιον αγαπά, ένα μέσο, επιμόρφωσης, ψυχαγωγίας, αλλά κυρίως "αποκάλυψης" της ομορφιάς και της δύναμης που περιέχουν τα συνεχώς εξελισσόμενα Μαθηματικά και γι' αυτό καταφέρνουν να μπαίνουν στην υπηρεσία του Νόμου και κάθε δυνατής ανθρώπινης επινόησης!

--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Στο βιβλίο θα επανέλθω με εκτενέστερη ανάρτηση, επειδή πολλά σημεία του είναι απίστευτα γοητευτικά, όπως το κεφάλαιο με τίτλο "Τα μαθηματικά στην αίθουσα του δικαστηρίου" ή το άλλο, όπου αναλύονται οι πιθανότητες των παιχτών στο παιχνίδι BLACK JACK...κι άλλα πολλά!
Σταματώ όμως εδώ, για να πάω στο κέντρο της πόλης, όπου  ακούγονται τα κάλαντα από κάθε γωνιά!

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΜΑΣ!

ΑΝΑ-ΚΑΤΑ-ΔΙΑ!

Συλλαμβάνω μερικές φορές τον εαυτό μου, σε στιγμές που ενώ φαίνεται πως είναι εντελώς χαλαρός και απαλλαγμένος από οποιαδήποτε σκέψη, να ψιθυρίζει με εκείνη την ακατάπαυστη και ενίοτε ενοχλητική  εσωτερική του φωνή: "ανάκατάδιάμετάπαρά"!

Εκεί, στο "παρά", συνειδητοποιώ ότι λέω πάλι τις κύριες προθέσεις, όπως τις είχαμε μάθει στο Δημοτικό (ή μήπως στο Γυμνάσιο;), και τότε ευκαιρίας δοθείσης το πιάνω από την αρχή, για να κάνω στα γρήγορα μια σύντομη άσκηση μνήμης, : "εν, εις, εκ ή εξ, συν, προς, προ, ανά κατά, διά, ...."!

 Ύστερα λέω στο καπάκι και τα νησιά της Ιαπωνίας, που τα 'χαμε μάθει στην Α' Γυμνασίου, και για κάποιον άγνωστο λόγο τα έχω συνδέσει με τις κύριες προθέσεις κι έτσι  συμπληρώνω την άσκηση μνήμης, στην οποία υποβάλλω τους εγκεφαλικούς μου νευρώνες, για να τους κρατώ όσο το δυνατόν σε φόρμα, ώστε να υπηρετούν τη μνήμη μου :)

Ναι, ανήκω σ΄ εκείνη την κατηγορία ανθρώπων που θεωρεί τη "μνήμη" πολύ μεγάλο προσόν και βασική προϋπόθεση για να διευρύνει κανείς, αρχικά τη γλώσσα του, στη συνέχεια τις γνώσεις του και τέλος ολόκληρο τον κόσμο του. Αν "Τα όρια του κόσμου μας είναι τα όρια της γλώσσας μας", όπως είχε πει ο Λούντβιχ Βιτγκενστάιν, τότε αναμφιβόλως περιορίζουμε αυτομάτως τον κόσμο μας, όταν περιορίζουμε τη γλώσσα μας. Τον κόσμο μας τον εξωτερικό και τον εσωτερικό.

Αυτή την άποψη  προσπαθώ να την περάσω στους μαθητές μου, οι οποίοι, πλην ελαχίστων εξαιρέσεων, έχουν  μνήμη που δεν τους επιτρέπει να αποδώσουν, ούτε στον προφορικό, ούτε στον γραπτό λόγο, όλα όσα οι ίδιοι πιστεύουν πως κατέχουν καλά και τα έχουν επισταμένως μελετήσει και τα έχουν μάθει. Το πρόβλημα δεν είναι  καθόλου απλό, δεν περιορίζεται στο δικό μου σχολείο και δεν ανησυχεί, πιστεύω,  μόνο εμένα. Είναι προφανές επίσης πως δεν το αναφέρω για να "κατακρίνω" τους μαθητές,  να τους επιρρίψω ευθύνες και  να πω το κλασικό "μα δεν διαβάζουν όσο θα έπρεπε" ή  κι άλλα τέτοια.

Το πρόβλημα είναι γενικευμένο και θέλει ιδιαίτερη προσοχή και ιδιαίτερη μεταχείριση, από εμάς τους εκπαιδευτικούς που διαπιστώνουμε πόσο "ανάκατα" είναι τα πράγματα στη "μνήμη" των μαθητών, η οποία μνήμη για ποικίλους λόγους, κυρίως όμως λόγω υψηλής τεχνολογίας και συνεχούς ενασχόλησης μ' αυτήν, έχει μεταλλαχθεί και μεταλλάσσεται συνεχώς  με γοργούς ρυθμούς, σε τέτοιο βαθμό που δεν μπορώ να διανοηθώ πως θα εξελιχθούν τα πράγματα, αν δεν συνειδητοποιήσουμε τι συμβαίνει και αν δεν αρχίσουμε ποικιλοτρόπως να το αντιμετωπίζουμε.  

Πριν δεχτώ τα πυρά όσων υπερασπίζονται τον κώδικα των νέων και το γλωσσικό τους ιδιόλεκτο, να ξεκαθαρίσω πως το πρόβλημά μου δεν είναι το γλωσσικό ιδιόλεκτο! Δεν αναφέρομαι, δηλαδή, στον τρόπο με τον οποίον οι νέοι επικοινωνούν μεταξύ τους, παραποιώντας τη γλώσσα με τη χρήση γλωσσικών τύπων που λειτουργούν παραβατικά ως προς την τυπική νόρμα. Σιγά το πρόβλημα! Αυτό είναι ένα αιώνιο και εντελώς ανώδυνο πρόβλημα, ξεπερασμένο προ πολλού, σε βαθμό που ούτε η Άννα Φραγκουδάκη, η  οποία τόσα έγραψε για το συγκεκριμένο θέμα προασπιζόμενη τους νέους και την ομιλία τους, θα πρέπει να ανησυχεί πλέον γι' αυτό! :) Είναι, εν πολλοίς, ένα χιλιοσυζητημένο τύποις πρόβλημα, από αυτά που πλουτίζουν τις σελίδες των φιλολογικών μαθημάτων στα σύγχρονα σχολικά εγχειρίδια! (στα δικά μας εγχειρίδια, δεν γινόταν κουβέντα για τέτοια θέματα..)

Αναφέρομαι, όχι  στον τρόπο με τον οποίον οι νέοι επικοινωνούν μεταξύ τους, αλλά σ' αυτόν με τον οποίον επικοινωνούν με την βασική, στοιχειώδη γνώση, αυτήν που καλούνται να αποκτήσουν όσο φοιτούν στο σχολείο. Και ακόμη πιο συγκεκριμένα αυτή τη στιγμή αναφέρομαι στο μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, το οποίο κάθε χρόνο γίνεται ολοένα και ... δυσκολότερο, παρόλο που το εγχειρίδιο που χρησιμοποιούμε παραμένει το ίδιο.
Σήμερα, για να κάνουμε έναν έλεγχο, από κοινού εγώ και οι μαθητές μου, πόσο καλά γνωρίζουμε το "Γλωσσάρι της Γεωμετρίας", είχαμε συμφωνήσει να γράψουμε ένα ιδιόρρυθμο τεστάκι.
Να εξηγήσω ότι το "Γλωσσάρι της Γεωμετρίας" είναι το ένα από τα δύο μέρη του τετραδίου που ονομάσαμε από την αρχή της χρονιάς "Γλωσσάρι των Μαθηματικών" και όπου σημειώνουμε τους ορισμούς μαθηματικών εννοιών κι οντοτήτων που συναντάμε στο μάθημα, όπως για για  παράδειγμα: διάμεσος τριγώνου, διάμετρος κύκλου κλπ κλπ. Οι λέξεις που είχαμε για το τεστ δεν ήταν πάνω από δέκα όλες κι όλες, αλλά αυτό δεν έχει σημασία καθότι..ουκ εν τω πολλώ το ευ!
Το θεώρησα περισσότερο, ως ένα "δωράκι" για τις γιορτές αφού σε ένα τόσο απλό τεστ θα έπεφταν τα εικοσάρια βροχή και θα χαιρόταν τα παιδιά, θα χαιρόμουν κι εγώ διπλά..

Τουλάχιστον αυτός ήταν ο  σκοπός μου αρχικά. Τα γραπτά των παιδιών όμως δεν ανταποκρίθηκαν στον δικό μου σχεδιασμό! Παραθέτω τα τεστ για όποιον θα ήθελε να δει τα ζητούμενα και να κρίνει το βαθμό δυσκολίας. (Θα με ενδιέφερε πολύ να δεχτώ σχόλια επ' αυτού)

Μόνο στο 1/3 των γραπτών η διάμετρος (ΑΒ, ΓΕ στα θέματα Α, Β αντίστοιχα) του κύκλου ονομάστηκε διάμετρος! Στα 2/3 η διάμετρος ονομάστηκε  διά-κεντρος, διά-μεσος, αλλά και διχοτόμος, κάθετος, εφαπτομένη, μεσοκάθετος, ακόμη  και απόσταση του κύκλου!...

Μάλιστα! Και τώρα; Τι κάνουμε τώρα; Σε ποιο βαθμό μπορούμε να παρέμβουμε και να βελτιώσουμε αυτήν την άναρχη κατάσταση; Πώς και γιατί μεγαλώνει συνεχώς το ποσοστό των "ανεπιτυχώς αυθαιρέτων" απαντήσεων που δίνουν οι μαθητές; Μήπως πίσω από όλην αυτήν την αναρχία υπολανθάνει μεταξύ των άλλων και η υπέρμετρη ανοχή σε κάθε παιδικό "καπρίτσιο", με αποτέλεσμα να τους έχει σταδιακά καλλιεργηθεί η πεποίθηση πως έχουν τη δυνατότητα και το δικαίωμα να λένε το κάθε τι αυθαίρετα με όποιον τρόπο επιθυμούν; Να τα λένε ανάκατα; Ή μήπως επιβάλλεται να τα λένε όλα με "δικά τους λόγια", αφού η "στείρα" απομνημόνευση έχει κριθεί αντιπαιδαγωγική; Τι νόημα έχει να μαθαίνουν τα "ανά, κατά, διά, μετά, παρά,.." απ' έξω κι ανακατωτά;

Αφού μπορούν, όπως πιστεύουν, να τα πουν  με τα δικά τους λόγια: ΄

Ή ακόμη μπορούν να χρησιμοποιήσουν τη φαντασία τους για να περιγράψουν τη μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος:

ΑΝΑ-ΚΑΤΑ-ΔΙΑ..διάμετρος, δίχως μέτρα και σταθμά!

Πάντων χρημάτων μέτρον έστιν άνθρωπος, των μεν όντων ως έστιν, των δε ουκ όντων ως ουκ εστίν,  είπε  ο Πρωταγόρας..ΑΛΛΑ κάποιων χρημάτων μέτρον έστι και η μνήμη του ανθρώπου...

Όσο κι αν την έχουμε επεκτείνει τεχνητά όλοι μας με τη χρήση σκληρών περιφερειακών δίσκων, αυτό που πραγματικά είναι δικό μας, αυτό που μας ανήκει, δεν είναι η περιφέρεια της μνήμης που κουβαλάμε στην τσάντα μας, στο κινητό μας, στο φλασάκι μας, αλλά είναι το κεφάλι μας και ό,τι αυτό έχει στο εσωτερικό του...

Τούτο είναι μάλλον που θα πρέπει να  καταλάβουν πρωτίστως τα παιδιά, τα οποία κάπως έχουμε, εμείς οι ίδιοι και η αφειδώς χορηγούμενη υψηλή μας τεχνολογία,  ανακαταδια-παραπλανήσει... 



ΔΥΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΛΑΘΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΕΣ ΜΩΒ ΑΝΤΑΥΓΕΙΕΣ...

"...το ελληνικό σχολείο εξακολουθεί να έχει τα διαμάντια του, τόσο ανάμεσα στους εκπαιδευτικούς που το υπηρετούν, όσο και στους μαθητές που γεμίζουν τις τάξεις του, παρά τις όποιες εξαιρέσεις.
Το λάθος της Πολιτείας είναι ότι αγνοεί προκλητικά την ύπαρξη όλων αυτών των λαμπρών ανθρώπων, μέσα στα πλαίσια μιας άθλιας νοοτροπίας εξωραϊσμού της μετριότητας.
Ο Αναστάσιος Ματσόπουλος, επίκουρος καθηγητής σχολικής ψυχολογίας στο πανεπιστήμιο της Κρήτης, σε κείμενό του με τίτλο "Καλό το "έξυπνο" σχολείο, αλλά τι κάνουμε με τα έξυπνα παιδιά του σχολείου;" που δημοσιεύτηκε από την ιστοσελίδα του Alfavita [...] αναφέρει μιλώντας για τους εξαιρετικούς μαθητές, ότι η Πολιτεία κάνει δύο θεμελιώδη λάθη. Πρώτο λάθος είναι πως αντί να εντοπίζει τα παιδιά με υψηλούς δείκτες νοημοσύνης για να τα βοηθήσει να μάθουν περισσότερα, να αποκτήσουν περισσότερη όρεξη και αγάπη για την μάθηση (και όχι να καταλήξουν να την αποστρέφονται) και εν γένει να εξελιχθούν περαιτέρω, τους κατατάσσει με τον "μέσο" μαθητή σε ένα σχολείο μετριότητας. Και ο κ. Ματσόπουλος συνεχίζει λέγοντας: "Δυστυχώς, χάνουμε την ευκαιρία να εκπαιδεύσουμε τα χαρισματικά και ταλαντούχα παιδιά στο δημόσιο σχολείο. Δεύτερο λάθος, που αποτελεί συνέχεια του πρώτου, είναι ότι δεν κάνουμε κάτι δυναμικό για να κρατήσουμε τα παιδιά αυτά στη χώρα μας, ώστε να προκόψουν εδώ, για να προκόψει και ο τόπος μαζί τους.  Όταν σπουδάσουν σε Ευρώπη και Αμερική, τα ξεχνάμε και δεν τους δίνουμε κανένα κίνητρο (μάλλον δίνουμε πολλά αντικίνητρα) για να επιστρέψουν πίσω στην πατρίδα, την ηλιόλουστη Ελλάδα.[...].
Αυτά τα παιδιά [...] είναι μια από τις καλύτερες στρατηγικές επενδύσεις που θα μπορούσε να κάνει η χώρα μας."

Το άρθρο του Αναστάσιου Ματσόπουλου, μαζί με άλλα σχετικά άρθρα,  παραθέτει ο Βαγγέλης Βαρβαρέσος, στο βιβλίο του
"Οι μωβ ανταύγειες της εκπαίδευσης...", που κυκλοφόρησε αυτές
τις μέρες από τις εκδόσεις ΜΥΓΔΟΝΙΑ, και παρουσιάστηκε σήμερα το πρωί στο Κέντρο Ιστορίας Θεσσαλονίκης.
Το πολυπληθές κοινό, που κατέκλυσε την αίθουσα και απαρτίζονταν κυρίως από καθηγητές  Μέσης Εκπαίδευσης, μαρτυρά πως η ανάγκη για μια κατά μέτωπο αντιμετώπιση της σχολικής δυσάρεστης πραγματικότητας δεν χωρά πλέον καμιά αναβολή.  
Ο Βαγγέλης Βαρβαρέσος με τόλμη και ειλικρίνεια επιχείρησε να περιγράψει τα μελανά σημεία της Εκπαίδευσης. Τις μωβ ανταύγειες στις πολιτικές, κοινωνικές και διδακτικές πρακτικές που διαιωνίζουν και διογκώνουν τα υπαρκτά προβλήματα. Συνεπικουρούμενος στην προσπάθεια του από κείμενα και άρθρα ειδικών, όπως του Αναστάσιου Ματσόπουλου, 
[διαβάστε όλο το άρθρο εδώ ], που παραθέτει και σχολιάζει στο βιβλίο του, πετυχαίνει να καταμερίσει στην κάθε μια από τις ομάδες που διαδρούν σ' αυτό που ονομάζουμε Εκπαίδευση το ποσοστό ευθύνης και λάθους που της αναλογεί. Δίχως εκπτώσεις και δίχως πρόθεση να γίνει αρεστός και να κερδίσει τις εντυπώσεις κάνει μια κάθετη τομή σε ό,τι επί χρόνια τώρα "ωραιοποιούμε" ή αποφεύγουμε, γονείς, εκπαιδευτικοί και Πολιτεία, αποβλέποντας σε εύκολες λύσεις και κυρίως σε λύσεις συμβατές με τις καταναλωτικές επιταγές της εποχής μας. 

Θα ήμουν ανειλικρινής αν ισχυριζόμουν πως οι πολιτικές και ιδεολογικές μου απόψεις ταυτίζονται κατά γράμμα με αυτές του Βαγγέλη Βαρβαρέσου, τον οποίον γνωρίζω από την εποχή που ήμασταν ακόμη φοιτητές. Όμως θα είμαι εξίσου ανειλικρινής αν δεν παραδεχτώ αφενός τη χρησιμότητα του εγχειρήματός του, αφετέρου την επιτυχία του στόχου του. Και η επιτυχία του έγκειται ακριβώς στο σημείο αυτό, στο ότι καταφέρνει να δημιουργήσει ένα κοινό πλαίσιο για προβληματισμό και συζήτηση σε ανθρώπους προερχόμενους από όλους τους δυνατούς πολιτικούς και κοινωνικούς χώρους, με μόνον κοινό παρονομαστή την εμπειρία τους και την καθημερινή τους τριβή στην ευαίσθητη και καθοριστική ζώνη της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης. Ο ίδιος ο Βαγγέλης Βαρβαρέσος δεν ισχυρίζεται πως θέτει καινούρια ζητήματα ούτε πως ό,τι λέει είναι κατ' ανάγκην ορθό. Και η μαρτυρία του αυτή είναι που προσδίδει μεγαλύτερο κύρος στην προσπάθειά του και διατρανώνει  τη σιγανή-εσωτερική διαμαρτυρία, την οποία ο καθένας σχεδόν από εμάς που εμπλεκόμαστε στην εκπαιδευτική διαδικασία, λίγο έως πολύ νιώθει μέσα του, αλλά συνήθως την  αποσιωπά για τους διάφορους δικούς του λόγους. "Ευθυγραμμίζεται" σε δοκιμασμένες πρακτικές  είτε επειδή επιλέγει μιαν κατ' επίφαση ευταξία στο σχολικό περιβάλλον  είτε  επειδή δεν θέλει να βρεθεί αντιμέτωπος με τη συνήθη πρακτική των προϊσταμένων που ως επί το πλείστον ακολουθώντας το ρεύμα της εποχής θεωρούν υπαίτιο των προβλημάτων τον ίδιο τον εκπαιδευτικό και την δική του ανεπάρκεια. 
 Έτσι μέσα στην ίδια τάξη και με το ίδιο πρόγραμμα σπουδών τα ιδιαίτερα "έξυπνα" παιδιά, για τα οποία μιλάει ο Αναστάσιος Ματσόπουλος στο άρθρο του, αναγκάζονται να υποβαθμιστούν και να μειώσουν τις απαιτήσεις τους, περιμένοντας τους υπόλοιπους συμμαθητές τους, το επίπεδο των οποίων κατεβάζει τον μέσο όρο..
Θα πρέπει βεβαίως να σκεφτούμε και τη ζημιά που προκαλείται στα άλλα παιδιά. Σ' αυτά που δεν είναι ιδιαίτερα έξυπνα, ώστε να αντιληφθούν αμέσως το έμμεσο αντικείμενο, τη δοτική διαιρετική ή το σημείο καμπής στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Αυτά τα παιδιά που έχουν κάποιες άλλες ικανότητες, όπως, ας πούμε, να δημιουργούν από το τίποτε μια κυψέλη και να παράγουν  μέλι ή να  ξεχορταριάζουν με μαεστρία την αυλή του σχολείου και να μαζεύουν τις ελιές από τα δέντρα.. Πόσο καταρρακώνεται άραγε ο ψυχικός τους κόσμος, όταν περιμένουν να χτυπήσει το κουδούνι μετρώντας το χρόνο με τη δική τους ελάχιστη ικανότητα ανταπόκρισης σε μια τυποποιημένη γνώση σε σχέση με κείνη κάποιων συμμαθητών τους; Και πόσο χρόνο άραγε τους παίρνει, αφότου τελειώσουν το σχολείο, για να καταλάβουν πως κάποιος που δεν μπορεί να παραγωγίσει σωστά μια συνάρτηση μπορεί να κάνει πολλά άλλα πράγματα ολόσωστα; 
Αλλά και πόσο είναι σε θέση ένας δάσκαλος μέσα στην τάξη να μανουβράρει σωστά όλο αυτό το "πολύτιμο" μαθητικό υλικό που έχει στα χέρια του, αν δεν μπορεί να συζητά καθημερινά τις αγωνίες τους και τα ποικίλα προβλήματα που αντιμετωπίζει; Πολύ δε περισσότερο στην εποχή μας που, όπως λέει και ο Βαγγέλης Βαρβαρέσος στο κλείσιμο του βιβλίου του:

Η πληροφορία έχει πάρει τη θέση της γνώσης η οποία με τη σειρά της έχει και αυτή αυξηθεί άναρχα.
Γι' αυτό και μπορεί, αν δεν χρησιμοποιηθεί με φρονιμάδα και σύνεση, να φυλακίσει τον άνθρωπο σε ένα αποπροσωποιημένο κοσμοείδωλο ή να τον ξεστρατίσει...[...]
Γι' αυτό και θα πρέπει να είμαστε έτοιμοι  να επαναλάβουμε τα λόγια που ο σοφιστής Πρωταγόρας στον ομώνυμο πλατωνικό διάλογο είπε για το περιεχόμενο της διδασκαλίας του, απαντώντας σε ερώτημα του Σωκράτη: "Το μάθημα που θα προσφέρουμε στους νέους θα είναι να σκέπτονται και να θέλουν το καλό του εαυτού τους (το ίδιον) και της κοινωνίας όλης (το κοινόν)".

Βαγγέλη, εσύ, εγώ και πολλοί πολλοί άλλοι, εκπαιδευτικοί και μη, θέλουμε να προσφέρουμε στους νέους ό,τι ακριβώς ήθελε να προσφέρει και ο σοφιστής Πρωταγόρας!
Και επειδή έχουμε κοινό στόχο θα πρέπει, όλοι εμείς, από κοινού να σκύψουμε πάνω από
τις μωβ ανταύγειες της εκπαίδευσης, με την ειλικρίνεια και την καθαρότητα που τις περιέγραψες...

ΤΑ ΥΠΑΡΞΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ και ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ από ΤΟΝ B. BOLZANO ως τον Κ. ΔΑΣΚΑΛΑΚΗ!

Ο Γαλιλαίος, φαντάζομαι μελετώντας την ελεύθερη πτώση των σωμάτων από τον πύργο της Πίζας :), διαπίστωσε πως όσοι είναι οι φυσικοί αριθμοί, δηλαδή οι 1, 2, 3, 4, .... (άπειρο!!), άλλα τόσα  είναι και τα τετράγωνά τους, δηλαδή οι 1, 4, 9, 16... (άπειρο!!). Και τότε... έπεσε από τα σύννεφα!

Δεν μπορούσε να το πιστέψει καθώς η παιδεία του βασισμένη στην Ευκλείδεια        Αξιωματική Μέθοδο απαιτούσε, όπως συνάδει άλλωστε με τη διαίσθηση όλων μας, ολόκληρη η πίτα να είναι μεγαλύτερη από ένα κομμάτι της... Ή όπως το είχε πει ο ίδιος ο Ευκλείδης σε ένα από τα αξιώματά του  (τις βασικές, αναπόδεικτες προτάσεις που θεμελίωναν το σύστημά του),

"και το όλον του μέρους μείζον".

Ο Γαλιλαίος δεν ήταν ο μόνος που βρέθηκε αντιμέτωπος με τέτοιου είδους παράδοξα.

 Η συνειδητοποίηση πως μια ολόκληρη πίτα "ισούται" τελικά με ένα μόνο κομμάτι της έκανε πολλούς επιστήμονες να βρεθούν σε αδιέξοδο και μάλιστα κάποιοι, όπως ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους, απαιτούσαν να μην ασχολείται κανείς άμεσα με τέτοια αντιφατικά και επικίνδυνα θέματα..

Σε αυτή τη μεγάλη  αδιέξοδη κρίση άνοιξε, μάλλον κατά λάθος,  ένα παράθυρο ο Μπέρναρντ Μπολζάνο. Μια απλή σύμβαση, με περίσσεια τόλμη και ανυπέρβλητο θάρρος από την πλευρά του, στάθηκε ικανή να δώσει ώθηση στα Μαθαματικά που έμοιαζαν να έχουν εγκλωβιστεί σε μια κατάσταση παραδοξολογίας..

Ο Μπέρναρντ Μπολζάνο είναι ένας από τους αγαπημένους μου ήρωες κι έχω γράψει ξανά σχετικά με το θέμα αυτό:

"Ο Μπέρναρντ Μπολζάνο, (Bernhard Bolzano, 1781-1848), στο έργο του Paradoxes of the Infinite, που δημοσιεύτηκε το 1851, τρία χρόνια δηλαδή μετά τον θάνατό του, ήταν ο πρώτος που έκανε θετικά βήματα προς την παραδοχή του απείρου. Ο Μπολζάνο είπε πως το γεγονός ότι ένα άπειρο σύνολο μπορεί να τεθεί σε "ένα προς ένα" αντιστοιχία με ένα γνήσιο υποσύνολό του πρέπει απλά να γίνει αποδεκτό ως γεγονός. "  ( όλο το κείμενο μπορείτε να δείτε εδώ)

Και αφού ο Μπολζάνο για χ λόγους είναι ο αγαπημένος μου ήρωας από την ιστορία των Μαθηματικών, φυσικώ τω λόγω, να είναι και το θεώρημα που φέρει το όνομά του και διδάσκεται στην τεχνολογική και θετική κατεύθυνση της Γ' Λυκείου, το αγαπημένο μου θεώρημα!

Φωτογραφία από την ομιλία του Κ. Δασκαλάκη

Και αυτό αποτέλεσε έναν επιπλέον λόγο που με έκανε να νιώσω μιαν αίσθηση αφόρητης χαράς,  [αφόρητης μέχρι δακρύων...:( ] , όταν ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης   ο κεντρικός ομιλητής στην έναρξη του ετήσιου, τριήμερου Συνεδρίου, της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, την Παρασκευή 19 Νοεμβρίου, στη Χαλκίδα ξεκινώντας την "αφήγησή" του, για το πως τελικά κατέληξε να λύσει τον γρίφο του Νας, ούτε λίγο ούτε πολύ ξεκίνησε από τον αγαπημένο μου Μπολζάνο!!

Ας το πιάσουμε από την αρχή ή περίπου...

Ο Μπολζάνο, διατύπωσε ένα θεώρημα σύμφωνα με το οποίο "κάθε  συνάρτηση  f που είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], με f(α)f(β)<0, έχει ένα τουλάχιστον σημείο μηδενισμού μέσα στο [α, β]".

Ίσως για τον μη ειδικό να μη βγαίνει νόημα, αλλά δεν θέλω να υπεισέλθω σε τεχνικές λεπτομέρειες. Και από την άλλη οι μαθητές της Γ' Λυκείου είμαι σίγουρη πως αναγνωρίζουν στη διαφάνεια που δείχνει ο Κ. Δασκαλάκης στην παραπάνω φωτογραφία, την άσκηση νούμερο.........,

 στη σελίδα νούμερο........... του σχολικού τους βιβλίου.

[Η συμπλήρωση των δύο παραπάνω κενών αφήνεται στους μαθητές μου, της Γ' Λυκείου, ως επανάληψη...:)]



(η διαφάνεια είναι από την ομιλία του Κ. Δασκαλάκη)

 Το γαρ πολύ των Μαθηματικών, μπορεί  να εξόντωσε κάποιους, προτείνω εδώ να κάνουμε ένα μικρό διάλειμμα  για παιχνίδι  και προτείνω να παίξουμε το "πέτρα-ψαλίδι-χαρτί".

 Για όσους δεν το ξέρουν, να πω ότι είναι μια  παραλλαγή του "μονά-ζυγά", παίζεται δηλαδή κι αυτό  από δύο παίχτες, απλά ο καθένας έχει τρεις επιλογές και όχι δύο  όπως στο "μονά-ζυγά".

Άρα μιλάμε για  ένα παιχνίδι με δύο παίχτες, που είναι "μηδενικού αθροίσματος", όπως λένε οι μαθηματικοί, επειδή σε κάθε εκδοχή του, σε κάθε δυνατό αποτέλεσμα,  το άθροισμα των πόντων είναι μηδέν, όπως φαίνεται στον πίνακα διπλής εισόδου της φωτογραφίας.

Ο von Neumann το 1928 απέδειξε πως πάντα υπάρχει ένα σημείο ισορροπίας σε τέτοιου είδους παιχνίδια κι αυτό μπορεί να μην κάνει ιδιαίτερη αίσθηση αν δεν αντιληφθούμε ότι το "σημείο ισορροπίας" αναφέρεται σε συμφέροντα και σημαίνει πως το συμφέρον των δύο παικτών απαιτεί καμια.. απολύτως αλλαγή στρατηγικής..

Η διαφάνεια είναι από την ομιλία του Κ. Δασκαλάκη

Αλλά θα έχετε φαντάζομαι καταλάβει όλοι σας πόσο ανικανοποίητα πλάσματα είναι οι μαθηματικοί και πόσο αρέσκονται στο να καταλύουν ...  τις ισορροπίες! Εντάξει, δεν θα το έλεγα έτσι ακριβώς, αλλά σίγουρα αρέσκονται στο να μεταβάλλουν τα αρχικά δεδομένα διευρύνοντας το πεδίο του προβλήματος που εξετάζουν...

Αυτό ακριβώς έκανε ο John Nash, όταν το 1951, αφού άλλαξε τις βολικές αρχικές συνθήκες του παιχνιδιού μηδενικού αθροίσματος, απέδειξε ότι ΥΠΑΡΧΕΙ πάντα σημείο ισορροπίας ανεξάρτητα από τις λεπτομέρειες του παιχνιδιού.

Αντιλαμβάνεται κανείς τι σημαίνει αυτό;  Δεν μιλάμε βέβαια για το παιχνίδι "πέτρα-ψαλίδι-χαρτί", αλλά για κάτι πολύ πολύ σημαντικό! Αρκεί να σκεφτούμε ότι η "Θεωρία Υπολογισμού" που ασχολείται με αυτά τα παιχνίδια, και  είναι κλάδος της Μαθηματικής Λογικής, που είναι κλάδος των Μαθηματικών,  βρίσκει εφαρμογή στη Φυσική, στη Βιολογία, στις Κοινωνικές Επιστήμες και στα Οικονομικά!!! Μάλιστα. Αυτό σημαίνει πως από το 1951 είναι γνωστό ότι υπάρχει ένα σημείο ισορροπίας στα Οικονομικά, τέτοιο ώστε κανένας παίχτης, όταν το παιχνίδι φτάνει στο σημείο αυτό, δεν έχει συμφέρον να αλλάξει τη στρατηγική του.

Πού βρίσκεται αυτό το σημείο σημείο ισορροπίας όμως;

Αν είχε βρεθεί, και είχε εφαρμοστεί από τους οικονομολόγους στην πράξη,  η οικονομία θα ήταν τέτοια που δεν θα ήθελαν οι περισσότερες  ευρωπαϊκές χώρες να αλλάξει άρδην η οικονομική τους  πολιτική. 

 

Ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης, λύνοντας τον γρίφο του Nash στα 28 του, βραβεύθηκε από τον διεθνή οργανισμό ΑCΜ (Αssociation for Computing Μachinery), την Ένωση δηλαδή όλων όσων ασχολούνται με την πληροφορική, η οποία δίνει ένα βραβείο για την καλύτερη διδακτορική διατριβή κάθε χρόνο.

(διαβάστε εδώ το σχετικό άρθρο στα ΝΕΑ)

Αυτό που απέδειξε όμως είναι πως δεν υπάρχει τρόπος να προσδιοριστεί  το σημείο ισορροπίας,  παρόλο που γνωρίζουμε, σύμφωνα με το θεώρημα του Nash, ότι  το σημείο αυτό υπάρχει!

Για μιαν ακόμη φορά οι μαθηματικοί βρίσκονται αντιμέτωποι με τα "υπαρξιακά προβλήματα"

(έτσι αποκαλώ, χαριτολογώντας, στο μάθημα τα θεωρήματα ύπαρξης που εξασφαλίζουν μεν την ύπαρξη ενός ιδιαίτερου σημείου, αλλά δεν δίνουν τη δυνατότητα του άμεσου υπολογισμού του, σε αντίθεση με τα κατασκευαστικά...).

Ωστόσο ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης, προκάλεσε ένα ρεύμα αισιοδοξίας.. Το ένιωσα έντονα στο κατάμεστο αμφιθέατρο στο Συνεδριακό Κέντρο της Νομαρχίας στη Χαλκίδα, και το επιβεβαίωσα στη συνέχεια από  πολλούς όπως και από την ανάρτηση του συναδέλφου Στράτου Κουζελέα που διάβασα εδώ. 

Και η αισιοδοξία που μας  ενέπνευσε ο νεαρός, λαμπρός, επιστήμονας έγκειται στη δήλωση που έκανε στο τέλος της ομιλίας του, σύμφωνα με την οποία η απόδειξη του πως είναι αδύνατος υπολογιστικά ο προσδιορισμός του σημείου ισορροπίας δεν σημαίνει πως  ο προσδιορισμός  θα είναι για πάντα αδύνατος!  Σημαίνει πως τα υπολογιστικά μαθηματικά εργαλεία που διαθέτουμε σήμερα δεν επαρκούν για την επίλυση του προβλήματος!!

Ακριβώς! Ένα σενάριο που η ανθρωπότητα ζει ξανά και ξανά.

Θυμηθείτε το Δήλιο Πρόβλημα, και τον χρησμό για  διπλασιασμό του κυβικού βωμού του Απόλλωνα! Δεν επαρκούσαν οι τότε  γνώσεις για να λυθεί το πρόβλημα..Μα ο χρησμός έλεγε ακριβώς αυτό: Ψάξτε να βρείτε νέες αλήθειες, νέα επιστημονικά εργαλεία, αποτελεσματικότερα υπολογιστικά μαθηματικά, για να μπορέσετε να διπλασιάσετε τον κύβο. Μην μένετε κολλημένοι στον κανόνα και τον διαβήτη... Το ίδιο και σήμερα.. Ανακαλύψτε νέες μαθηματικές μεθόδους, για να  υπολογίσετε το πολυπόθητο σημείο ισορροπίας!

Ελπίζω πως εκεί  κάποτε θα μπορέσουμε να φτάσουμε, στο σημείο δηλαδή εκείνο όπου θα επέλθει η ισορροπία και τα "συμφέροντα" δεν θα κατηγοριοποιούν τους εμπλεκόμενους σε αυτούς που βάλλονται και σ' αυτούς που ωφελούνται..

Νομίζω πως αφενός χρειάζεται επίγνωση της κατάστασης και αφετέρου τόλμη σαν κι αυτήν που έδειξε ο αγαπημένος μου ήρωας, ο Μπέρναρντ Μπολζάνο, τότε που άνοιξε τον δρόμο προς το άπειρο κάνοντας μια απλή σύμβαση: Ας το παραδεχτούμε!

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Θέλω, με καθυστέρηση, να συγχαρώ τον ΔΣ του Παραρτήματος ΕΜΕ της Εύβοιας,
 για την άριστη διοργάνωση του συνεδρίου και για την ευκαιρία που μας έδωσε
να παρακολουθήσουμε από κοντά  τον Κωνσταντίνο  Δασκαλάκη.

Ιδιαίτερα δε ευχαριστώ τον αντιπρόεδρο, Μ. Στεργίου για την ευγενή του φιλοξενία.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Από την καταπληκτική ομιλία του Κ. Δασκαλάκη επέλεξα τα αποσπάσματα που είναι συναφή με το θ.  Bolzano, για την ύπαρξη σταθερού σημείου.  Για οποιαδήποτε παρανόηση των λεγομένων του ή  λάθος στη μεταφορά μου, έχω την αποκλειστική ευθύνη.