Πέμπτη, 25 Νοεμβρίου 2010

ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΠΑΜΠΑ;

Διδάσκοντας την Άλγεβρα στην Ά Λυκείου, αντιλαμβάνομαι συχνά τη δυσκολία που αντιμετωπίζουν τα παιδιά στη διαδικασία της "νοηματοδότησης" των συμβόλων. Επειδή πιστεύω πως, για να είναι διαχειρίσιμη μια συμβολική αλγεβρική οντότητα,  θα πρέπει να είναι πολύ ξεκάθαρη εννοιολογικά, επιμένω να γίνεται  "ανάγνωση" κάθε αλγεβρικής πρότασης στη φυσική  μας γλώσσα. Επιμένω δηλαδή στις "ελεύθερες" περιφραστικές διατυπώσεις και αναδιατυπώσεις και διαπιστώνω πως η "μετάφραση" από τη μια γλώσσα στην άλλη, δηλαδή η κωδικοποίηση και η αποκωδικοποίηση, είναι κάτι που οι μαθητές τελικά αντιμετωπίζουν σαν παιχνίδι και μάλιστα με ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Όλοι ζητούν να πουν κάτι, να προσπαθήσουν να το "ερμηνεύσουν", να το "διατυπώσουν", να το "αποκωδικοποιήσουν" ή αντίστροφα. Αν για παράδειγμα ζητήσω να μου "διαβάσουν"  μια πρόταση όπως αυτή: Ι α Ι = Ι -α Ι, σχεδόν πάντα ξεκινάει κάποιος κάνοντας καθαρή ανάγνωση συμβόλων, δηλαδή:"Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ισούται με την απόλυτη τιμή του αριθμού μείον α". Αυτό είναι κάτι που μπορεί να γίνει σωστά σχεδόν από το 95% της τάξης.  Επιμένω ωστόσο να διατυπωθούν διάφορες "αποκωδικοποιημένες" εκδοχές, μεταξύ των οποίων και η καθαρά αλγεβρική: "οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες απόλυτες τιμές" ή , για τους πιο προχωρημένους το γεωμετρικό της ισοδύναμο, πως δηλαδή "οι αποστάσεις των αντίθετων αριθμών από το μηδέν πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι μεταξύ τους ίσες".
Αν δεν επιμείνουμε στην πλήρη κατανόηση αυτών των περίεργων "γραμματοαριθμών" που αποτελούν το αλφαβητάρι της Άλγεβρας, πώς θα μάθουμε να "συνομιλούμε" μαζί τους, να τους αξιοποιούμε και να τους... εκμεταλλευόμαστε; (με την καλή έννοια.. :) )
 Στα παιδιά του Α1 και του Α2, για τις όμορφες στιγμές που μοιραζόμαστε σπάζοντας   αλγεβρικούς κώδικες, είναι αφιερωμένο το παρακάτω απόσπασμα από το βιβλίο της Μ.Β.W. TENT, "Εμι Νέδερ. Η ΚΥΡΙΑ ΤΗS ΆΛΓΕΒΡΑS", που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ σε μετάφραση Ν. Κυριαζόπουλου.

Ένα βράδυ μετά το δείπνο, η Έμι πλησίασε τον πατέρα της και κάθισε δίπλα του, στον καναπέ. "Μπαμπά", του είπε, "την προηγούμενη βδομάδα είπες ότι ο Φριτς και ο Άλφρεντ αρχίζουν να μαθαίνουν άλγεβρα. Τι είναι η άλγεβρα;"
"Κοίταξε, είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να μιλάμε γενικά για διάφορα πράγματα που κάνουμε στην αριθμητική", απάντησε εκείνος.
"Τι σημαίνει αυτό;", ρώτησε η Έμι.
"Για παράδειγμα,  ξέρεις ότι 9+7=16, αλλά και ότι 7+9=16. Στην αριθμητική μπορείς να το πεις αυτό με σαφήνεια και μάλιστα να αναφερθείς στους συγκεκριμένους αριθμούς' όμως αν θες να κάνεις μια γενική δήλωση προκειμένου να πεις ότι "αν προσθέσεις δύο ποσότητες θα πάρεις την ίδια απάντηση ανεξάρτητα από το ποια ποσότητα προστίθεται πρώτη", είσαι υποχρεωμένος να χρησιμοποιήσεις όλες αυτές τις λέξεις. Στην άλγεβρα, θα λέγαμε απλά x + y = y + x για όλους τους αριθμούς x και y", εξήγησε ο πατέρας της.
"Ώστε η άλγεβρα είναι ένα είδος κώδικα που μας επιτρέπει να μιλάμε γενικά για αριθμούς;", ρώτησε η Έμι.
"Αυτή θα ήταν μια πολύ καλή περιγραφή", είπε ο πατέρας της. "Εμένα μου αρέσει να το σκέφτομαι σαν ένα είδος ποίησης. Σου επιτρέπει να εκφράζεις περίπλοκες σκέψεις χρησιμοποιώντας ελάχιστα σύμβολα, και εντούτοις είναι απολύτως σαφής για όποιον γνωρίζει άλγεβρα. Είναι στ' αλήθεια όμορφο."
"Ποιος επινόησε την άλγεβρα;", ρώτησε η Έμι.
"Χμ. Δεν θα ήταν δίκαιο να πούμε ότι την επινόησε ένα μόνο άτομο. Κατά τη δική μου άποψη, αυτό που συνέβη είναι ότι κάποιος είχε μια καλή ιδέα και την δοκίμασε, και μετά ήρθε κάποιος άλλος και βρήκε έναν τρόπο να την προχωρήσει πιο πέρα. Αυτό θα πρέπει να συνέβη ξανά και ξανά αμέτρητες φορές σε διάστημα πολλών αιώνων", εξήγησε ο πατέρας της.
"Όμως ποιος άρχισε πρώτος; Ξέρεις μπαμπά;", ρώτησε η Έμι.
"Νομίζω ότι ο πρώτος που διατύπωσε την άλγεβρα όπως τη γνωρίζουμε ήταν ο Διόφαντος, ένας έλληνας μαθηματικός που έζησε τον τρίτο αιώνα μ.Χ. Συχνά τον αποκαλούν πατέρα της άλγεβρας."

Και η μικρή Έμι συνέχισε να πυρπολεί τον πατέρα της με ερωτήσεις, θέλοντας να μάθει τα πάντα γύρω από τον Διόφαντο και την Άλγεβρα, όπως αυτή ήταν γνωστή μέχρι τη δική της εποχή, γιατί όταν η Έμι μεγάλωσε και έγινε  η κυρία της Άλγεβρας,  ο συγκεκριμένος κλάδος των Μαθηματικών άλλαξε  τελείως μορφή.  Ίσως επειδή εκτός από τον πατέρα της τον Διόφαντο, η Άλγεβρα απέκτησε και μητέρα, την Έμι Νεδέρ... :)

Σκοπίμως δεν θα γράψω περισσότερα, ούτε για τον Διόφαντο, ούτε για την Έμι Νέδερ...
Το αφήνω σε σας.. Αν θέλετε να μάθετε δεν έχετε παρά να ψάξατε...κι ύστερα το συζητάμε μαζί.
Πιστεύω όμως ότι πρέπει να γνωρίσουμε στοιχειωδώς τους δυο "γονείς" της Άλγεβρας, αν θέλουμε να καταλάβουμε τι ακριβώς μελετάμε όλοι μαζί δυο φορές τη βδομάδα!
Και για να βοηθήσω κάπως σας παραθέτω το γνωστό πρόβλημα του Διόφαντου, αυτό που οι μαθητές του έγραψαν κατά παραγγελία του ίδιου στον τάφο του:

"Η νεότητα του Διόφαντου διήρκησε το ένα έκτο της ζωής του. Μετά από ένα δωδέκατο της ζωής του άφησε γενειάδα. Ύστερα από ένα έβδομο της ζωής του παντρεύτηκε. Πέντε χρόνια αργότερα απόκτησε έναν γιο. Ο γιος έζησε τόσα ακριβώς χρόνια όσο η μισή ζωή του πατέρα του, και ο Διόφαντος πέθανε τέσσερα χρόνια μετά το γιο του. Πόσο έζησε ο Διόφαντος;" 

7 σχόλια:

  1. Κατερίνα, πιστεύω ότι κάποια στιγμή αυτή την ερώτηση θα την ακούσω!! Όσο για τον γρίφο του Διόφαντου είναι γνωστό και νομίζω ότι βρίσκεται σε κάποιο σχολικό βιβλίο. Φυσικά θα κάνω ένα c(l)opy-paste kαι θα την μεταφέρω στο blog μου!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Γεια σου Μάκη!

    Τυχερό το παιδί σου!
    [είτε σου θέσει την ερώτηση:
    "τι είναι η Άλγεβρα, μπαμπά;" είτε όχι... :), που κατά πάσα πιθανότητα θα το κάνει, όπως και "τι είναι ο διαφορικός λογισμός, μπαμπά" κλπκλπ... Τυχερό που θα του απαντάς εσύ..]

    Χαίρομαι να μου κάνεις copy-paste ;)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Μπράβο Μίλτο!

    Θέλω όμως πλήρη απάντηση, και μην τη γράψεις εδώ, μου τη λες τη Δευτέρα στο σχολείο :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. ΑΣΤΕΡΙΟΣ ΔΑΜΟΥΛΑΣ28 Νοεμβρίου 2010 - 9:06 μ.μ.

    Πολύ τυχερά τα παιδιά στην τάξη Κατερίνα που σ'εχουν καθηγήτρια μακάρι και κάποιοι άλλοι εκπαιδευτικοί να είχαν τη δικιά σου διάθεση για προβολή της δουλειάς τους μέσα από το Διαδίκτυο!Οσο για την Εμι Νέδερ ομολογώ ότι δεν ήξερα τίποτα για τη δουλειά της!Μάλλον θα πρέπει να διαβάσουμε με πιο πολύ προσοχή το βιβλίο .

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Γεια σου Αστέριε
    ευχαριστώ και πάλι για τα τόσο καλά σου λόγια.

    Το βιβλίο της Μ.Tent είναι μια μυθιστορηματική βιογραφία και δεν λέει παρά ελάχιστα για την Άλγεβρα της Έμι Νέδερ.
    Μου άνοιξε την όρεξη να διαβάσω (ξανά) Αλγεβρικές Δομές, Δακτύλιους, Ιδεώδη κλπ.
    Πού να βρω χρόνο για όλα όμως?

    Καλή βδομάδα

    ΑπάντησηΔιαγραφή