Δευτέρα, 6 Ιουλίου 2009

ΠΕΡΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ

Με αφορμή το ψάξιμο, για κάποια συγκεκριμένα θέματα, που κάνω αυτές τις μέρες, ξεφύλλισα και το αγαπημένο μου δίτομο του Howard Eves, "ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ" και φυσικά σταμάτησα πάνω στη διάλεξη 34, που πραγματεύεται ένα από τα πλέον ενδιαφέροντα θέματα, το άπειρο. Άκομη και στο άκουσμα του γίνεται αρκετά τρομακτικό, γι' αυτό συχνά αντί για "άπειρο" λέμε "μη πεπερασμένο" ή, όπως ο τίτλος που χρησιμοποιεί ο Eves, "πέρα από το πεπερασμένο", που, λόγω του "πέρα" έχει και την αίσθηση μιας κίνησης, μάλλον αέναης, σα μια προσπάθεια προσέγγισης του άγνωστου ή σα μια προσπάθεια υπέρβασης του φόβου που γεννάει το άγνωστο. Αυτή όλη η προσπάθεια φαίνεται και στην ιστορία του απείρου, όπως αρκετά αναλυτικά παρουσιάζει ο συγγραφέας κι όπως "επιγραμματικά" θα πω εγώ, τώρα, επιλέγοντας κάποια μόνο αποσπάσματα.

"Οι μαθηματικοί και οι φιλόσοφοι παλεύουν με τις έννοιες του απείρου και των απειροσυνόλων από τις μέρες των αρχαίων Ελλήνων, και τα παράδοξα του Ζήνωνα είναι μία από τις πρώτες ενδείξεις για τις δυσκολίες που αντιμετωπίστηκαν Μερικοί Έλληνες, ανάμεσά τους ο Αριστοτέλης και ο Πρόκλος, αποδέχτηκαν το γεγονός ότι ένα σύνολο μπορεί να γίνει απεριόριστα μεγάλο, αλλά αρνήθηκαν την ύπαρξη ενός ολοκληρωμένου απειροσυνόλου. Κατά τον Μεσαίωνα, οι φιλόσοφοι συζητούσαν πάνω στο θέμα υποστηρίζοντας άλλοι το εν δυνάμει κι άλλοι το εν ενεργεία άπειρο. Παρατηρήθηκε δε πως η σύγκριση ορισμένων απειροσυνόλων οδηγεί σε παράδοξα. [...]. Ο Γαλιλαίος συνάντησε δυσκολίες στη μελέτη των απειροσυνόλων και υποστήριξε ότι η ύπαρξη εν ενεργεία απείρων πρέπει να απορριφθεί. Στο έργο του Two New Sciences, το 1638, παρατήρησε ότι τα σημεία δύο άνισων ευθύγραμμων τμημάτων μπορούν να τεθούν σε ένα προς ένα αντιστοιχία, με απλή προβολή το ενός τμήματος πάνω στο άλλο, κι έτσι ίσως τα δυο τμήματα περιέχουν τον ίδιο αριθμό σημείων, μόλο που το ένα τμήμα είναι μεγαλύτερο από το άλλο. Παρατήρησε επίσης ότι οι θετικοί ακέραιοι μπορούν να τεθούν σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τα τετράγωνά τους, αντιστοιχίζοντας κάθε θετικό ακέραιο με το τετράγωνό του, παρόλο που οι πρώτοι είναι περισσότεροι στο πλήθος από ότι οι δεύτεροι. Αυτά τα ανησυχητικά παράδοξα εμφανίζονται μόνο αν κάποιος δεχτεί την ύπαρξη εν ενεργεία απειροσυνόλων. [...]
Για να αποφύγουν τα παράδοξα, λοιπόν, πολλοί μαθηματικοί μεταξύ των οποίων και ο πρίγκιπας των Μαθηματικών Καρλ Φρίντριχ Γκάους, απέρριπταν την ιδέα του ολοκληρωμένου απειροσυνόλου. Σε μια επιστολή του δε προς τον Σουμάχερ, 12 Ιουλίου 1831, ο Γκάους έγραψε: "Διαμαρτύρομαιγια τη χρήση μιας άπειρης ποσότητας ως πραγματικής. Αυτό στα μαθηματικά δεν επιτρέπεται ποτέ. Το άπειρο είναι μόνο ένας τρόπος του λέγειν κατά τον οποίο μπορεί κανείς να μιλάει για τα όρια στα οποία ορισμένοι λόγοι μπορούν να πλησιάζουν όσο κοντά θέλουμε, ενώ άλλοι μπορούν να αυξάνονται απεριόριστα". Ο Κωσύ, όπως και πολλοί άλλοι αρνήθηκε επίσης την ύπαρξη εν ενεργεία άπειρων συνόλων, στηριζόμενος στην παράδοξη βάση ότι ένα τέτοιο σύνολο μπορεί να τεθεί σε ένα προς ένα αντιστοιχία του με ένα γνήσιο υποσύνολό του.".

...κι έτσι, αρνούμενοι να αντιμετωπίσουν την πραγματικότητα, απέφευγαν το άπειρο, σα να έκρυβαν επισταμένως τα προβλήματα πίσω από το δάχτυλο... Μα τα προβλήματα ήταν εκεί και συσσωρεύονταν...Κι όταν οι μαθηματικοί χρειάστηκε τελικά να επαναδιατυπώσουν την Ανάλυση, αφαιρώντας τις αυθαίρετες γεωμετρικές έννοιες που βοηθούσαν μεν, με μεγάλη δόση ασάφειας δε, τους υπολογισμούς των μεταβολών, τότε και μόνο τότε το άπειρο, με ένα σαρδόνιο γέλιο, ξεπρόβαλε από παντού! Αλλά όπως για κάθε δράκο, σε κάθε παραμύθι, υπάρχει κι ένας ήρωας, έτσι και στο παραμύθι του απείρου, ένας Τσέχος καθολικός ιερέας*, ο Μπολζάνο, περισσότερο φιλόσοφος και λιγότερο μαθηματικός, όρθωσε ηρωικό παράστημα μπρος στο τερατόμορφο άπειρο που ανάβλυζε παράδοξα και τρόμαζε τους πάντες.

Μπέρναρ Μπολζάνο, (Bernhard Bolzano, 1781-1848), στο έργο του Paradoxes of the Infinite, που δημοσιεύτηκε το 1851, τρία χρόνια δηλαδή μετά τον θάνατό του, ήταν ο πρώτος που έκανε θετικά βήματα προς την παραδοχή του απείρου. Ο Μπολζάνο είπε πως το γεγονός ότι ένα άπειρο σύνολο μπορεί να τεθεί σε "ένα προς ένα" αντιστοιχία με ένα γνήσιο υποσύνολό του πρέπει απλά να γίνει αποδεκτό ως γεγονός. "

Το έργο του είναι μάλλον φιλοσοφικό παρά μαθηματικό, αλλά το αποτέλεσμα μετράει, κι ο Μπολζάνο (για τον οποίον παιδιόθεν τρέφω έναν έρωτα, όχι γι' αυτόν, αφού ούτε ως μαθήτρια, αλλά δυστυχώς ούτε και ως φοιτήτρια είχα μάθει κάτι για την λαμπρή του προσωπικότητα, κι έτσι τον έρωτα τον έτρεφα για το θεώρημα που φέρει το όνομά του και είναι στην ύλη της Γ' Λυκείου, με πανέμορφες ασκήσεις...)κατάφερε να σκοτώσει τον δράκο και να ανοίξει τον δρόμο για τον Κάντορ που μαθηματικοποίησε το άπειρο! Ίσως μάλιστα επειδή το έργο του είναι φιλοσοφικό μοιάζει και με τις (παραδοχές/αξιώματα) προτάσεις με τις οποίες αρχίζει ο Ludwig Wittgenstein το Tractatus Logico Philosophicus.
1 Ο κόσμος είναι όλα όσα συμβαίνουν
1.1 Ο κόσμος είναι η ολότητα των γεγονότων, όχι των πραγμάτων


Με μιαν απλή παραδοχή ενός γεγονότος, ο Μπολζάνο χαράζει το δρόμο για ένα ταξίδι σε έναν καινούριο κόσμο. Όμως κάθε επικό ταξίδι, απαιτεί και μια θυσία! Έτσι έρχεται στη συνέχεια ο Κάντορ να θέσει εαυτόν εις τον βωμόν, καταθέτοντας όλην την πνευματική του υπόσταση και θυσιάζοντας τα λογικά του (!) στην ενατένιση πέρα από το πεπερασμένο. Ο Γκέοργκ Κάντορ κοίταξε βαθιά μέσα στο άπειρο κι αυτό που αντίκρισε τον έκανε να αναφωνήσει: "το βλέπω, αλλά δεν το πιστεύω!"

Είναι σχετικά εύκολο για μας εκ των υστέρων να το βλέπουμε και να το...πιστεύουμε! Αφού υπάρχει και η απόδειξη! Πώς να αμφισβητήσει κανείς μια μαθηματική απόδειξη?!
Ναι, εγώ προσωπικά, το πιστεύω αυτό που είδε ο Κάντορ, και που δεν το πίστεψε αρχικά, πως, δηλαδή, όσα σημεία υπάρχουν σε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους ενός εκατοστού, τόσα υπάρχουν και σε ένα τετράγωνο πλευράς ενός εκατοστού επίσης. Άρα είναι πράγματι αναμφισβήτητη η "ένα προς ένα" αντιστοίχιση στοιχείων από δυο σύνολα με (διαισθητικά! ) διαφορετικό πληθάριθμο! Και η πρώτη έκπληξη ξεπερνιέται αρκεί να θυμάται κανείς πως οι αισθήσεις μας και η διαίσθησή μας κατά συνέπεια, συχνά μας ξεγελούν, ειδικά δε μπροστά στα άπειρα, πεπερασμένες ούσες οι ίδιες, τι μπορούν να κάνουν?
Όμως μου φαίνεται περισσότερο μυστήριο κι από αυτό που είδε ο Κάντορ, αλλά κι από το ξεγέλασμα των αισθήσεων μας το γεγονός αυτό:

τι μπορεί να εγκυμονεί μια απλή παραδοχή ενός απλού γεγονότος?!
κάτι σαν το "ο γέγονε, γέγονε", τόσο απλά... Και μετά...

*Θα πρέπει να αναφέρω πως ο Μπολζάνο καθαιρέθηκε, όχι για τις μελέτες του γύρω από το άπειρο φυσικά, αλλά για κοινωνικοπολιτικές θεωρίες που είχε αναπτύξει σύμφωνα με τις οποίες θεωρούσε αξιοτιμώρητον όποιον διέθετε περιουσία που δεν είχε αποκτήσει με την εργασία του... (Να υπενθυμίσω πως ήταν καθολικός ιερέας?)

5 σχόλια:

  1. παντως ειναι σωστο να πουμε οτι η αναλυση εκτοξευτηκε οταν διερευνηθηκε σε βαθος η εννοια του απειρου.προτου τον καντορ η μελετη του οριο ισοδυναμουσε με θεολογια οπως ελεγε καποιος για τον συμβολισμο του leibniz.

    και βεβαια υπαρχει παλι το ψυχολογικο οριο:πως να δεχτεις οτι ενα απειρο συνολο ειναι υποχρεωτικα ισοπληθικο με καποιο γνησιο υποσυνολο του.

    για τον καντορ αυτο ηταν που τον οδηγησε στον ορισμο της ισοπληθικοτητας.αλλα για εναν συνιθισμενο ανθρωπο αυτο ειναι αδιανοητο....

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. χρηστος ευαγγελινος (ξεχασα να το γραψω)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. πάντως κάνεις ένα λαθάκι, γιατί το άπειρο του Κάντορ δεν έχει σχέση με την Ανάλυση, την οποία εξ αρχής θεμελίωσαν με αυστηρούς ορισμούς ο Βάιερστρας και ο Κοσύ, με τα εψιλοτικά και τέτοια, ξέρεις.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. νομιζω κατερινα οτι ο καντορ ενεταξε τη δουλεια του βαιρστρασσ και του κωσυ σε μια καλα θεμελιωμενη θεωρια.

    ο βαιρστρας μιλησε για οριο δηλαδη για απειρη διαδικασια (προσσεγιση ενος αριθμου απο μια μεταβλητη χωρις να επιτυγχανεται ποτε η ταυτιση).απο την αλλη ο καντορ μιλησε για απειρο πληθος στοιχειων ενος συνολου (ισοπληθικοτητα μη πεπερασμενων συνολων).

    ειναι προφανες οτι ο καντορ αγκαλιαζει τον βαιρστρας και τον κωσυ.δηλαδη ο βαιρστρας χρησιμοποιει το απειρο χωρις να τον ενδιαφερει η φυση του ή οι διαφορες κλασεις του,ενω ο καντορ μελετα την εννοια "απειρο συνολο".

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. νομίζω πως ενώ ο Βάιερστρας και ο Κοσύ ασχολήθηκαν "αναλυτικά", δηλαδή με συναρτήσεις και γραφικές παραστάσεις και καθολικούς και υπαρξιακούς ποσοδείκτες, και τους γνωστούς εψιλοτικούς ορισμούς σύγκλισης συναρτήσεων στο άπειρο και με άπειρα όρια, ο Κάντορ με αριθμητικές μεθόδους όρισε τους υπερπεπερασμένους αριθμούς και τις διαφορετικές τάξεις απείρου και δεν υπάρχει συνάφεια στις μεθόδους.

    Και για να το κάνουμε λίγο πιο λάιτ, ως προς τις τελείως διαφορετικές μεθόδους, ας θυμηθούμε τον θείο Πέτρο, που μια το παλεύει με αναλυτικές και μια με γεωμετρικές μεθόδους και φασόλια γίγαντες!!!

    χχχ να είσαι καλά στρατιώτη!
    Τα λέμε

    ΑπάντησηΔιαγραφή