ΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΚΑΙ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΤΗΡΙΞΗ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

   Η διδασκαλία της Άλγεβρας επιδρά αρνητικά σε μεγάλη μερίδα μαθητών, όταν δυσκολεύονται να κατανοήσουν και να διαχειριστούν τα αλγεβρικά σύμβολα.  Συνήθης αντίδραση σε μια τέτοια περίπτωση είναι η αποχή  από το μάθημα . Διαμορφώνεται η αντίληψη  πως τα Μαθηματικά είναι  ένα ψυχρό και αυστηρό  γνωστικό πεδίο, το οποίο δεν δύνανται  να προσεγγίσουν. Η άποψη αυτή ενισχύεται με  θεωρίες που  καθιστούν τη «μαθηματικοφοβία» τιμή για όσους κατατρύχονται από αυτήν. Τέτοιες πεποιθήσεις δεν αναθεωρούνται  μέσα από το μάθημα, απαιτούν  ειδική διδακτική προσέγγιση, που παρέχει τη δυνατότητα σε όλους τους μαθητές να συνδιαλέγονται μέσω εναλλακτικών διαδικασιών, συνδυάζοντας παρα-μαθηματικά κείμενα  με το σχολικό εγχειρίδιο

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

    Η συγκεκριμένη διδακτική παρέμβαση για την αξιοποίηση παρα-μαθηματικών κειμένων σε συνδυασμό με το σχολικό εγχειρίδιο πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Α₁ και Α₂,του 2^ου ΓΕ.Λ. Αγίου Αθανασίου, κατά τη σχολική χρονιά 2010-2011, από 20 Ιανουαρίου έως 10 Φεβρουαρίου, είχε τρεις φάσεις και απέβλεπε στους ακόλουθους διδακτικούς στόχους:

1. Τη διασύνδεση των μαθηματικών αντικειμένων με λογοτεχνικά και άλλα κείμενα.

2. Την περιγραφική παρουσίαση των φορμαλιστικών μαθηματικών συμβόλων.

3. Τον προβληματισμό για τον ρόλο που παίζουν τα Μαθηματικά,  ως ανθρώπινη δραστηριότητα.

4. Την ανάδειξη της συναισθηματικής πτυχής των Μαθηματικών.

5. Τη συμμετοχή όλων των μαθητών στο μάθημα μέσω εναλλακτικών κειμενικών προσεγγίσεων.

Η προστιθέμενη Αξία της διδακτικής παρέμβασης επικεντρώνεται κυρίως στην ευκαιρία που δίνει σε κάθε μαθητή/τρια να συμμετέχει στο μάθημα, καθώς η χρήση ενός μη μαθηματικού, πλην παρα-μαθηματικού, κειμένου, που γίνεται άμεσα κατανοητό, παρέχει σε κάθε μαθητή/τρια τη δυνατότητα να καλλιεργήσει σταδιακά την αυτοεκτίμησή του/της και να αναπτύξει εκείνες τις υποκειμενικές παραμέτρους που τον/την ωθούν σε περαιτέρω ενασχόληση με το μάθημα των Μαθηματικών.

 Εναλλακτική ανάγνωση  παρα-μαθηματικών κειμένων

    Μια εναλλακτική διαδικασία, μέσω της οποίας η ενασχόληση με τα Μαθηματικά όχι απλά επιτυγχάνεται, αλλά επιπλέον καταφέρνει να αναδείξει το συναισθηματικό υπόβαθρο των μαθηματικών αντικειμένων, είναι η ανάγνωση παρα-μαθηματικών κειμένων και ενίοτε η διασύνδεση των κειμένων αυτών με  το σχολικό εγχειρίδιο.

Παρα-μαθηματικό κείμενο, εξ ορισμού, ονομάζουμε κάθε κείμενο το οποίο αντλεί το θέμα του από τα Μαθηματικά, είτε ως εφαρμογή είτε ως φιλοσοφία είτε ακόμη και  ως δυνατότητα ή ως ιστορία. Ένα τέτοιο κείμενο που είναι συνήθως, αλλά όχι κατ’ ανάγκην, γραμμένο από μαθηματικό, μπορεί να είναι είτε άρθρο εφημερίδας είτε απόσπασμα βιβλίων Μαθηματικής Λογοτεχνίας ή Εκλαϊκευμένης Επιστήμης και  είναι δυνατόν να ενσωματωθεί σε κατάλληλα σημεία του μαθήματος για να δώσει μιαν εναλλακτική προσέγγιση και διαφορετική θέαση των μαθηματικών αντικειμένων με τρόπο  τέτοιον, ώστε όλοι οι μαθητές  να έχουν τη δυνατότητα ενεργούς συμμετοχής και μέσα από αυτήν να αναπτύξουν  εκείνους τους υποκειμενικούς παράγοντες που συμβάλλουν στη βελτίωση  της αυτοπεποίθησης.

Διδακτική παρέμβαση: Οι δύο πρώτες φάσεις

   Στην παρέμβαση που πραγματοποιήθηκε στη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου, αξιοποιήθηκε ένα απόσπασμα από συνέντευξη του αείμνηστου Denis Guedj*, συγγραφέα, μαθηματικού, καθηγητή Ιστορίας και Επιστημολογίας στο Πανεπιστήμιο Paris VIII, ερευνητή, καθώς και σεναριογράφου στον κινηματογράφο. Στη συγκεκριμένη συνέντευξη ο Denis Guedj, με την ιδιαίτερη εκφραστική του δεινότητα, εξηγεί το ρόλο που μπορούν να παίξουν τα μαθηματικά στη διαμόρφωση του τρόπου σκέψης. Οι δύο πρώτες φάσεις της παρέμβασης είναι οι ακόλουθες:

1^η Φάση: Το κείμενο εστάλη με ηλεκτρονικό μήνυμα στους μαθητές και  τους ζητήθηκε να το διαβάσουν και να βάλουν έναν τίτλο. Επιπλέον το ανάρτησα στον πίνακα ανακοινώσεων της αίθουσας έτσι, ώστε να μπορούν να το διαβάζουν  όλοι όποτε θέλουν. Έμεινε εκεί δύο εβδομάδες περίπου μέχρι να περάσουμε στο επόμενο βήμα. Στο διάστημα αυτό κάναμε αναφορές  στα λεγόμενα του Denis Guedj,  με κάθε ευκαιρία που προέκυπτε από το μάθημα και έτσι οι μαθητές είχαν τη δυνατότητα να προβληματιστούν και να σκεφτούν τα βαθύτερα νοήματα, κυρίως όμως να μιλήσουν για Μαθηματικά μέσω ενός κειμένου,  χωρίς να γνωρίζουν ακόμη τι ακριβώς θα έπρεπε να κάνουν με το ίδιο το κείμενο. Η μη a priori ενημέρωση των μαθητών για την έκβαση της δραστηριότητας ήταν σκόπιμη και απέβλεπε στην έκπληξη, η οποία επιδιώκεται επειδή λειτουργεί ως ενισχυτικός μηχανισμός για την ενεργοποίηση και τη συμμετοχή τους στο μάθημα.

2^η Φάση: Στο μάθημα της Άλγεβρας τους μοίρασα ένα απόσπασμα του κειμένου, όπου είχα υπογραμμίσει τέσσερις παραγράφους, και ζήτησα χρησιμοποιώντας το βιβλίο τους, από την αρχή μέχρι και τη σελίδα 70 στην οποία είχαμε φτάσει, να βρουν μια άσκηση ή μια εφαρμογή ή ακόμη και έναν ορισμό που συνάδει με καθένα από τα υπογραμμισμένα μέρη του κειμένου. Η έκπληξη λειτούργησε κατά τα αναμενόμενα, δηλαδή ενθουσιάστηκαν και άρχισαν να ξεφυλλίζουν τα βιβλία τους, αναζητώντας τη βέλτιστη απάντηση.  Εργάστηκαν ανά θρανίο, σε ομάδες των δύο ή τριών ατόμων επί μια διδακτική ώρα. Μερικοί μαθητές με καλούσαν συχνά για να ρωτήσουν κατά πόσο η επιλογή της άσκησης που είχαν κάνει ήταν σωστή και έμοιαζαν να είναι αβέβαιοι, να διαφωνούν μεταξύ τους και να συζητούν, διατυπώνοντας διάφορα επιχειρήματα για να πείσει ο καθένας τον διπλανό του για την ορθότητα της δικής του επιλογής. Για να εκμεταλλευτώ αυτή την τάση που παρατήρησα, ζήτησα επιπροσθέτως να εξηγήσουν επιγραμματικά για ποιον λόγο επέλεξαν αυτά που είχαν επιλέξει. Αυτό φάνηκε πως ενδυνάμωσε την αποφασιστικότητά τους με αποτέλεσμα αρκετοί να ολοκληρώσουν την προσπάθειά τους, πριν ακόμη χτυπήσει το κουδούνι.

Τα τέσσερα υπογραμμισμένα αποσπάσματα από τη συνέντευξη του Denis Guedj:

1. «Για μένα τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα. Δεν εννοώ ότι είναι μόνο μια γλώσσα, αλλά είναι συν τοις άλλοις και μια γλώσσα. Είναι κάτι με το οποίο εκφράζουμε σκέψεις και η διδασκαλία των μαθηματικών είναι η διδασκαλία της έκφρασης σκέψεων σε μια ορισμένη γλώσσα.»

2. «Ξεκινάμε με απλές σκέψεις, για παράδειγμα «πώς να κάνουμε πολλά με λίγα» (πρόβλημα αριθμών), «ποιες είναι οι εκφράσεις του ίδιου», δηλαδή πώς εκφράζουμε το ίδιο στα μαθηματικά, πώς εκφράζουμε το διαφορετικό, πώς γίνεται η συνεπαγωγή, τι ονομάζουμε υπερθετικό βαθμό και τι μέγιστο..»

3. «Τα μαθηματικά έχουν εμμονή στο να αποδείξουν ότι το «τάδε στοιχείο είναι μοναδικό»,  πως «είναι το μοναδικό που…»

4. «Και ξέρετε στα μαθηματικά μπορούμε να ξεκινήσουμε από μια λανθασμένη υπόθεση. Αυτό ονομάζεται απόδειξη της εις άτοπον απαγωγής.»

 

Μερικές ενδεικτικές απαντήσεις  των μαθητών

   Ακολουθούν μερικές από τις απαντήσεις που είχαν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Σημειώνουμε πως στις δύο πρώτες παραγράφους παρουσιάστηκε μια μεγάλη ποικιλία απαντήσεων σε αντίθεση με τις δύο τελευταίες παραγράφους, όπου  όλοι σχεδόν έκαναν την ίδια επιλογή.

Για την 1^η παράγραφο.  Επιλέχτηκαν:

--  σελίδα 66. x² – Sx + P = 0.  Είναι μια εξίσωση που για τους μαθηματικούς σημαίνει πολλά πράγματα. Είναι σαν μια μηχανή αναζήτησης όπου βάζουν διάφορους αριθμούς για τα S και P  και παίρνουν κάποιο αποτέλεσμα.

-- σελίδα 43 άσκηση 7.  (-∞, -5) U (1, +∞).  Το επιλέξαμε επειδή εκφράζεται η απόσταση μέσα από μια σειρά συμβόλων, δηλαδή στη γλώσσα των μαθηματικών.

-- σελίδα 13  Με Ν συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών, με Ζ το σύνολο των ακεραίων κλπ. Τα Μαθηματικά είναι μια γλώσσα.

Για την 2^η παράγραφο.

--- (α+β)² = α²+2αβ+β² Επιλέξαμε αυτό επειδή ξεκινάει από κάτι φαινομενικά μικρό και μετά το αναλύει. Επίσης εκφράζει και το ίδιο.

---σελίδα 70 άσκηση 7. Το επιλέξαμε επειδή από μια απλή σκέψη, αβ=0 <=> α=0 ή β=0, καταλήγουμε στην εξίσωση αχ²+βχ+γ=0, στην οποία βρίσκουμε τις ρίζες γνωρίζοντας μόνο το άθροισμα και το γινόμενό τους.

---σελίδα 130. Το βρήκαμε από τα περιεχόμενα του βιβλίου και είναι το εξής: «Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο χ_οє Α (ολικό ελάχιστο) όταν: f(χ)≥f(χ_ο), για κάθε χ є Α»

[η συγκεκριμένη ομάδα, κατά παράβαση,  αναζήτησε απαντήσεις πέρα από την προκαθορισμένη σελίδα 70, κρίνοντας, όπως είπε, πως εκεί βρισκόταν η ορθότερη απάντηση.]

Για την 3^η παράγραφο.

Στην παράγραφο αυτήν οι περισσότεροι μαθητές επέλεξαν να επιλύσουν μια εξίσωση που είχε μοναδική λύση και τόνισαν, υπογραμμίζοντας τη λύση που βρήκαν,  πως είναι μοναδική!

Για την 4^η παράγραφο.

Όλες σχεδόν οι απαντήσεις, όπως ήταν αναμενόμενο, αναφέρονταν στη σελίδα 25 και στη μέθοδο της Απαγωγής σε Άτοπο. Οι μαθητές αντέγραψαν την εφαρμογή του βιβλίου, εκτός από δύο ομάδες που επέλεξαν την άσκηση 7i στη σελίδα 29 και την απόδειξη της ισοδυναμίας  α < β <=> α^ν < β^ν, στη σελίδα 32, αντίστοιχα. 

Αξιολόγηση της παρέμβασης: Σχόλια και Παρατηρήσεις

1. Η χρήση ενός κειμένου και η διασύνδεσή του με το σχολικό εγχειρίδιο προκάλεσε έκπληξη και ενθουσιασμό, σε βαθμό που όλοι ασχολήθηκαν με ζήλο και δεν έμειναν στην πρώτη τους επιλογή, αλλά - οι περισσότεροι - διόρθωσαν ή συμπλήρωσαν ό,τι είχαν γράψει στην αρχή, προσθέτοντας και τις λύσεις των ασκήσεων που είχαν επιλέξει, σε μια προσπάθεια να επιτύχουν την καλύτερη δυνατή και την πλέον πειστική παρουσίαση.

2. Αυθόρμητα και σχετικά επιτυχημένα παρήγαγαν οι ίδιοι οι μαθητές κείμενο στο οποίο συνυπήρχαν τα μαθηματικά αντικείμενα με την καθαρά προσωπική τους επιλογή, καλλιεργώντας -σε πολλούς για πρώτη ίσως φορά- την πεποίθηση πως έχουν τη δυνατότητα να διαχειρίζονται και να συνδιαλέγονται με τα δυσνόητα και ψυχρά μαθηματικά σύμβολα.

3. Το αποτέλεσμα που παρήγαγαν στο τετράδιο τους, για πολλούς ήταν ικανό να αναπτύξει τη στοιχειώδη αυτοεκτίμηση που στερούνται ως προς τις επιδόσεις τους στα μαθηματικά και να δημιουργήσει ένα υποστηρικτικό πλαίσιο, απαραίτητο για την παραπέρα ενεργή συμμετοχή και δραστηριοποίησή τους.

4. Τα θετικά σχόλια που έκανα για τα κείμενά τους και ο «ενθουσιασμός» που έδειξα για τις καταπληκτικές τους ιδέες λειτούργησαν ενισχυτικά και τις  επόμενες εβδομάδες, καθώς με κάθε ευκαιρία έκανα αναφορά σε κάτι που είχαν γράψει.

5. Το εμφανέστερο των αποτελεσμάτων της συγκεκριμένης παρέμβασης είναι η αλλαγή στάσης των αδύναμων και μέτριων μαθητών και η συμμετοχή τους στο μάθημα, όπου συχνά σηκώνουν χέρι για να ρωτήσουν ή να απαντήσουν – έστω και λαθεμένα – κι αυτό πιθανόν να οφείλεται στην αλλαγή θέασης των δυνατοτήτων τους, όσον αφορά στις επιδόσεις τους στα μαθηματικά.

3^η  φάση της παρέμβασης

Αξιολόγηση και Σχόλια των μαθητών για τη δραστηριότητα**

   Μια εβδομάδα περίπου μετά από την υλοποίηση της συγκεκριμένης δραστηριότητας ζήτησα από τους μαθητές να την αξιολογήσουν γράφοντας τις εντυπώσεις τους σε ένα κείμενο 50 έως 100 λέξεων. Στο διάστημα που είχε στο μεταξύ μεσολαβήσει, οι ίδιοι οι μαθητές έκαναν αναφορές στο κείμενο του Denis Guedj, κατά τη διάρκεια του μαθήματος, συνεχίζοντας να εντοπίζουν συνάφειες των αντικειμένων που εξετάζαμε με τις περιγραφές του κειμένου.

Στην πλειοψηφία τους  χαρακτήρισαν τη δραστηριότητα πρωτότυπη, διασκεδαστική, ευχάριστη και εποικοδομητική, εξηγώντας τους λόγους που τους έκαναν να νιώσουν έτσι. Εξέφρασαν τον ενθουσιασμό τους για το ίδιο το κείμενο και κάποιοι σχολίασαν πως ο Denis Guedj μέσα από τη συνέντευξή του τους έδειξε μια άλλη εικόνα των Μαθηματικών.

Επιγραμματικά, κάποια από τα σχόλια των μαθητών, ως προς τα αποτελέσματα και τις συνέπειες που είχε η  δραστηριότητα, είναι τα ακόλουθα:

1. Βοήθησε να θυμηθούμε κάποιες μεθόδους/θεωρίες.

2. Βοήθησε να καταλάβουμε καλύτερα τις εκφωνήσεις των ασκήσεων.

3.Συνέβαλε στη λειτουργία του μυαλού, αφού έπρεπε να συγκρίνουμε τις λέξεις του κειμένου με έννοιες των μαθηματικών

4. Ξεφύγαμε από τα τυπικά του μαθήματος που το κάνουν βαρετό.

5. Γενικά αυτή η άσκηση ήταν πολύ πρωτότυπη και μας βοήθησε πολύ.

6. Μας εξάσκησε το μυαλό και γενικά καταλάβαμε κάποια πράγματα που δεν είχαμε καταλάβει.

7. Τέτοια παιχνίδια και δραστηριότητες είναι χρήσιμα στη ζωή και στο μάθημα των παιδιών για να μην είναι μονότονο και βαρετό. Θα το έκανα σίγουρα πολλές φορές.

8. Αναπτύχθηκε ο ανταγωνισμός, γιατί ήμασταν χωρισμένοι σε ομάδες (ανά δύο) και γράφαμε γρήγορα για να τελειώσουμε πρώτοι.

9.  Με βοήθησε να καταλάβω πως τα μαθηματικά δεν έχουν να κάνουν μόνο με αριθμούς.

10. Μας κίνησε το ενδιαφέρον γιατί ήταν κάτι καινούριο, μας ανάγκασε να ανοίξουμε τα βιβλία και να ψάξουμε αυτά που ζητούσε, χωρίς να το κάνουμε από αγγαρεία, γιατί η προσωπική ικανοποίηση του ότι θα απαντήσουμε ήταν μεγαλύτερη.

ΕΠΙΛΟΓΟΣ

   Ως επίλογο παραθέτω  το σχόλιο ενός από τους μαθητές που έχουν σημειώσει πολύ μεγάλη βελτίωση σε σχέση με την επίδοση που είχαν κατά τους πρώτους μήνες της σχολικής χρονιάς.  Ο Η.Σ. έγραψε:

« Το άρθρο του Ντενί Γκετζ κατά την προσωπική μου άποψη ήταν συναρπαστικό. Αυτό που μου έκανε περισσότερη εντύπωση ήταν ο τρόπος με τον οποίον ξαναείδα τα μαθηματικά. Με την βοήθεια του Ντενί Γκετζ κατάλαβα ότι τα μαθηματικά, είτε είναι Άλγεβρα είτε είναι Γεωμετρία, είναι ένα παιχνίδι σκέψης με το οποίο ακονίζουμε τα εγκεφαλικά μας κύτταρα και καλλιεργούμε τη φαντασία και τη σκέψη μας »

*Ολόκληρο το κείμενο του Denis Guedj, μπορείτε να το διαβάσετε εδώ:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Μερικά από τα σχόλια των παιδιών σχετικά με τη συγκεκριμένη δραστηριότητα υπάρχουν  στην ανάρτηση που είναι εδώ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ο χρόνος που "δαπανήθηκε" συνολικά στην παρέμβαση ήταν μια διδακτική ώρα, αυτή που απαιτήθηκε για την πραγματοποίηση της δεύτερης φάσης.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------