Η ΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΗ ΘΕΑ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

Το κείμενο της εισήγησής μου, από τα Πρακτικά του Συνεδρίου "6η Μαθηματική Εβδομάδα", που διοργανώθηκε στη Θεσσαλονίκη από το Παράρτημα Κεντρικής Μακεδονίας της ΕΜΕ, όπως και κάθε Μάρτιο εδώ και έξι χρόνια...

ΕΙΣΗΓΗΣΗ 6η ΜΕ,  ΚΑΛΦΟΠΟΥΛΟΥ

6η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΒΔΟΜΑΔΑ

ΣΑΒΒΑΤΟ, 29 ΜΑΡΤΙΟΥ 2014!

Ο ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΟΛΟΥΘΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΥΛΗΣ...

Διδάσκοντας τα Μαθηματικά στην Α' Λυκείου, κάθε χρόνο διαπιστώνω ότι η επίδοση των μαθητών στο σύνόλό τους  είναι πολύ καλύτερη στο 1ο και στο 5ο κεφάλαιο από ότι είναι στα υπόλοιπα. Και αν ακόμη η τελική γραπτή τους επίδοση δεν είναι η καλύτερη, σίγουρα είναι πολύ μεγαλύτερη η συμμετοχή τους στο μάθημα, άρα και η δυνατότητα κατανόησής του, όταν μελετάμε τα συγκεκριμένα κεφάλαια. Πιστεύω ότι αυτή η διαφορά οφείλεται στο γεγονός πως οι Πιθανότητες και οι Πρόοδοι, δηλαδή το 1ο και το 5ο κεφάλαιο αντίστοιχα, δεν έχουν τον όγκο της προαπαιτούμενης γνώσης που έχουν όλα τα υπόλοιπα κεφάλαια, και η οποία γνώση, όταν δεν υπάρχει, δημιουργεί τεράστια...κενά και αντιληπτικά "χάσματα", απενεργοποιώντας μια  μεγάλη μάζα μαθητών την ώρα του μαθήματος, οι οποίοι σταδιακά διαμορφώνουν την πεποίθηση πως  δεν τα καταφέρνουν στα Μαθηματικά με αποτέλεσμα να εγκαταλείπουν κάθε προσπάθεια...Ειδικά μετά από την πρωτοβάθμια παραμετρική εξίσωση και το πρόσημο του τριωνύμου, είναι πολλοί οι μαθητές που, μη μπορώντας να παρακολουθήσουν πλέον, ταμπουρώνονται την ώρα του μαθήματος πίσω από ό,τι βρίσκουν διαθέσιμο σε μια προσπάθεια να περάσουν ... απαρατήρητοι!

Μετά από μια τέτοια μακρά περίοδο ψυχικής ταλαιπωρίας καταλαβαίνει κανείς πόσο απολαυστικό γίνεται το μάθημα όταν μπαίνουμε στο 5ο κεφάλαιο, στις Προόδους, όπου σχεδόν όλα τα χέρια σηκώνονται για να απαντήσουν και (με ελάχιστες εξαιρέσεις) ένας ένας όλοι οι μαθητές ξεταμπουρώνονται, για να πάρουν μέρος στη συζήτηση γύρω από το ερώτημα "είναι αυτή η ακολουθία αριθμών μια Αριθμητική Πρόοδος;"!

Ειδικά χθες στο Α3 το μάθημα ήταν χαράς ευαγγέλια! Είχα κάνει ήδη ένα μάθημα στις ακολουθίες γενικά και είχα σκοπό να συζητήσω την Αριθμητική Πρόοδο, αλλά πριν αρχίσω ρώτησα, όπως πάντα, αν υπήρχαν απορίες από το προηγούμενο μάθημα. Μόνο μια μαθήτρια σήκωσε το χέρι και η απορία που διατύπωσε ήταν: ποια είναι η διαφορά γενικού και αναδρομικού τύπου μιας ακολουθίας. Ρώτησα στην τάξη αν κάποιος ήθελε να απαντήσει και σηκώθηκαν πολλά χέρια, δόθηκαν μερικές εξηγήσεις, άλλες επιτυχείς άλλες λιγότερο, αλλά όλες με καταγεγραμμένη δυσκολία έκφρασης και σαφώς αδιάκριτη χρήση της δομής και της λειτουργίας των εννοιών.

Ωστόσο, η μεγάλη συμμετοχή και το ενδιαφέρον των μαθητών με ώθησε να δοκιμάσω ένα κάπως ... επιστημονικό μάθημα. Έγραψα, λοιπόν, στον πίνακα τη διαφορά γενικού και αναδρομικού τύπου, κάνοντας σαφή διάκριση ανάμεσα στο κριτήριο που χρησιμοποιούσα για αυτή τη διαφορά.

 Ενημέρωσα πως είχα σκοπό να κάνουμε μια πολύ ... επιστημονική προσέγγιση, επειδή είναι όλοι τους εν δυνάμει επιστήμονες, και καθώς το ποσοστό συμμετοχής αύξανε και το κλίμα που διαμορφώθηκε ήταν το πλέον κατάλληλο για μάθηση, άρχισα την παράδοση γράφοντας στον πίνακα τρεις τριάδες αριθμών και ζητώντας να μαντέψουν σε καθεμιά τον επόμενο αριθμό...

  α) 2, 6, 10, ....   β) 2, -1, -4, ..... γ) 2014, 2014, 2014...

Ήθελα να προκύψει αβίαστα ο ορισμός της Αριθμητικής Προόδου, και όντως προέκυψε!

Βρήκαν πως συνέχιζαν οι ακολουθίες, κατανόησαν το πρότυπο δημιουργίας, όρισαν τη διαφορά ω, κατάλαβαν ότι ο ω είναι ένας πραγματικός αριθμός και όλα δούλευαν ρολόι! 

Τέλος, για να επαληθεύσω τον ικανοποιητικό βαθμό κατανόησης της Α.Π. από τους μαθητές, έγραψα στον πίνακα: 

και ρώτησα αν οι αριθμοί αποτελούν Αριθμητική Πρόοδο. Η αλήθεια είναι ότι στη θέα της ρίζας περιορίστηκε αισθητά η συμμετοχή, αλλά όπως και να έχει προέκυψε μια πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση. Ακούστηκε η άποψη ότι οι τρεις παραπάνω αριθμοί δεν αποτελούν όρους Α.Π., επειδή δεν είναι φυσικοί! Έτσι επανήλθε στο προσκήνιο η φύση της διαφοράς ω, το σύνολο από το οποίο παίρνει τιμές, και ξεκαθαρίστηκε, νομίζω, το τοπίο.  Ο Βαλάντης, στο μεταξύ, βρήκε το σωστό λόγο για τον οποίο οι τρεις αριθμοί δεν είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Αποφασίσαμε να αλλάξαμε τον τρίτο όρο, ώστε να προκύψει μια Α.Π., κι έτσι του έσβησα τον συντελεστή! 

Ύστερα αναγκαστικά συνεχίσαμε παρακάτω τρέχοντας, για να καλύψουμε το προγραμματισμένο μάθημα, επειδή η ύλη δεν βγαίνει...

 

Η αλήθεια είναι ότι το καλό κλίμα που είχε δημιουργηθεί, και η - ας την πούμε - επιστημοσύνη που είχε στο μεταξύ αναπτυχθεί, μας έδιναν τη δυνατότητα να προχωρήσουμε δυναμικά σε ασκήσεις πιο σύνθετες και όχι απλά να τις λύσουμε, αλλά να τις διερευνήσουμε σε "μεταγνωστικό" επίπεδο μελετώντας τον τρόπο με τον οποίον οι "δηλώσεις", (με απλά λόγια τα δεδομένα της άσκησης), μετασχηματίζονται σε εξισώσεις, που περιέχουν τους "πρωταγωνιστές" αγνώστους, (με απλά λόγια τα ζητούμενα της άσκησης).

Ενθουσιασμός! Συμμετοχή! Υψωμένα χέρια! Λαμπερά μάτια!  Σωστές απαντήσεις!

Να χαίρεσαι να τα βλέπεις και να εύχεσαι να είναι έτσι γελαστά και χαρούμενα σ' όλη τους τη ζωή!

Και τότε χτύπησε το κουδούνι, αλλά για μερικά λεπτά  δεν κουνήθηκε κανείς...

Συνεχίσαμε για λίγο, σαν να μην το ακούσαμε... Όμως, επειδή ξέρω τι σημαίνει για τα παιδιά το διάλειμμα, δεν θέλω να τους το "τρώω", γι' αυτό ζήτησα να περάσουν έξω.

 Όταν βγήκαν όλοι, με πλησιάσε η Α.Π. που είχε μείνει τελευταία, για να μου πει: "Κυρία, είμαι πολύ χαρούμενη! Πρώτη φορά που χτυπάει κουδούνι για έξω και στεναχωριέμαι... Τα καταλαβαίνω, κυρία! Είμαι πολύ χαρούμενη!" 

Ύστερα έφυγε και η Α.Π. κι έμεινα μόνη στην τάξη. Κάθισα στην έδρα κι άφησα τη χαρά μου να ξεχειλίσει και να με κατακλύσει!  Δεν μπορεί να το καταλάβει κανείς αυτό αν δεν το ζει.

Ακριβώς για το λόγο αυτό θεωρώ, όπως λέω συχνά, τον εαυτό μου τυχερό, που κάνει τη δουλειά που κάνει...

Και αναρωτιέμαι...

Για ποιο λόγο δεν ξεκινάμε την Άλγεβρα στην Α' Λυκείου από τα διακριτά Μαθηματικά, δηλαδή από τις Προόδους και το Ν, αλλά πάμε τόσο βεβιασμένα και πεισματικά στο συνεχές του R, στερώντας από τα πιο πολλά παιδιά την κατανόηση και την έντονη χαρά, σαν αυτήν που ένιωσε η μαθήτριά μου, η Α.Π. κι έσπευσε να μου το πει! Μια χαρά που στην αρχή της χρονιάς, ίσως συμβάλλει στη διαμόρφωση θετικής στάσης, απέναντι στα Μαθηματικά;

Μου φαίνεται πως ανάμεσα στα άλλα που προκαλούν στους δεκαπεντάχρονους τα αρνητικά συναισθήματα για τα Μαθηματικά είναι και η ύλη αυτή, που έχει ανακόλουθη κατανομή και ταλαιπωρεί τους μαθητές σαν τον ... ανάδρομο Ερμή!

......................................................................................................................................

Η ανάρτηση αυτή είναι αφιερωμένη στη μαθήτριά μου Α.Π., που τα αρχικά της είναι τα ίδια με της Αριθμητικής Προόδου! Εύχομαι και η πρόοδό της να είναι ανάλογη μιας Α.Π., με ω>0! :)

Η αβάσταχτη ... ελαφρότητα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, στο Καλαμαρί!

Στο χθεσινό μάθημα της Γεωμετρίας  οι μαθητές και των δύο τμημάτων της Α' Λυκείου έγραψαν τεστ στο άθροισμα των γωνιών τριγώνου. Ως είθισται, όταν τελειώνει το (συγκεκριμένο) κεφάλαιο πραγματοποιείται μια σύντομη γραπτή εξέταση. Σύντομη κατ' ευφημισμόν, διότι συνήθως διαρκεί ολόκληρη τη διδακτική ώρα. Και επίσης ως είθισται, η γραπτή εξέταση είναι πάντα προειδοποιημένη και προ πολλού αναμενόμενη, καθώς, όπως διευκρινίζεται εξαρχής, ο λόγος της εξέτασης είναι πρωτίστως η αυτοαξιολόγηση, δηλαδή να ελέγξουν οι εξεταζόμενοι κατά πόσο έχουν κατανοήσει το θέμα που διδάχτηκαν. Επίσης, η εξέταση γίνεται για να διαπιστώσει ο δάσκαλος, που εν προκειμένω είμαι εγώ, τι απήχηση είχε το μάθημα στους μαθητές του και μετά να αναστοχαστεί και μετά να επανασχεδιάσει τη διδακτική διαδικασία, λαμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσματα κλπ κλπ... 

Εν πάση περιπτώσει, το τεστ γράφεται για διάφορους λόγους και ένας από αυτούς είναι για να "τονώσει" τους μαθητές που θα γράψουν καλά. Κι εγώ, για να βοηθήσω  κατά το δυνατόν τους μαθητές, είχα τονίσει επισταμένως ότι στη θεωρία θα έχουν κυρίως το θεώρημα της παραγράφου 4.6, δηλαδή αυτό που λέει πως "Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές" και ... τήρησα τον λόγο μου. Ήθελα να γράψουν όλοι καλά, να τονωθεί το ηθικό τους, να ενισχυθεί από το καλό αποτέλεσμα η προσπάθειά τους, για να δείξουν, μεγαλώνοντας, τη δέουσα προσοχή σε ένα μάθημα που όλο και πιο "δύσκολο" γίνεται και όλο και περισσότερο παραγκωνίζεται.

Δείτε το test σε word εδώ

 

Δυστυχώς τα αποτελέσματα δεν ήταν τα αναμενόμενα.

19, 19, 18, 16, 14,5, 14, 13, 13, 12, 12, 12, 10, 10, 9, 9, 9, 7, 6, 5, 4, 4, 4, 0.           Μ.Ο. 10,4

Στο δεύτερο τμήμα ακόμη χειρότερα, με δύο εικοσάρια, αλλά με Μ.Ο. 8,5.

Τρία πράγματα θα ήθελα να επισημάνω.

1ο. Στο 1ο Θέμα, που περίμενα να το γράψουν όλοι αφού το είχα κυριολεκτικά "δώσει", από την προηγούμενη, πολλοί, πάρα πολλοί, ήταν οι μαθητές που έγραψαν:

Αφού ξέρουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 180 μοίρες και αφού 180 μοίρες είναι δύο ορθές, άρα ισχύει.  (Νομίζω πως στο σημείο αυτό το πρόβλημα είναι πολύ βαθύτερο από την κατανόηση της απόδειξης ενός θεωρήματος και μάλλον δεν αφορά μόνο τα μαθηματικά).  

2ο. Στο 2ο Θέμα,  λόγω των πολλών ασκήσεων που λύσαμε, (σχεδόν όλες τις ασκήσεις στη σελίδα 87) με τις δέουσες παρατηρήσεις, [όταν θέλουμε να υπολογίσουμε γωνία ελέγχουμε αν αυτή είναι γωνία τριγώνου ή αν είναι εξωτερική γωνία σε κάποιο τρίγωνο, για να την εκφράσουμε μπλαμπλαμπλα...] και δεδομένου ότι ακριβώς από πάνω, στο 1ο Θέμα δηλαδή, είχε γίνει υπενθύμιση της σχέσης Α+Β+Γ=180 μοίρες, πίστευα ότι οι μαθητές θα καταφέρουν να βρουν ότι Γ=20 μοίρες, αλλά έπεσα έξω. Πολλοί καλοί μαθητές, που έγραψαν σωστά το 1ο και το 3ο δεν κατάφεραν να  λύσουν αυτήν την άσκηση. Μπλέχτηκαν με τον υπολογισμό όλων των σχηματιζόμενων γωνιών και εξέφραζαν τη μια συναρτήσει της άλλης και της άλλης και της παράλλης, χωρίς να γράφουν τη βασική σχέση για το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ. Ξέρω πως οι συγκεκριμένοι μαθητές είχαν διαβάσει και τους ενδιέφερε (για τρεις τουλάχιστον διαφορετικούς λόγους) να γράψουν καλά.

Και το 3ο που θα ήθελα να επισημάνω δεν έχει σχέση με το παραπάνω τεστ της Α, αλλά με το τεστ Γεωμετρίας που έγραψε την ίδια μέρα ένα τμήμα της Β! 

Είναι άξιον απορίας το γεγονός ότι μαθητές που τους έχω στην κατεύθυνση και έχουν γράψει στα τεστ της Αναλυτικής Γεωμετρίας καλά, σε αυτό το πολύ απλό τεστ της Γεωμετρίας, στο λόγο των εμβαδών τριγώνων, δεν κατάφεραν να υπολογίσουν το αυτονόητο. (Ενώ το υπολόγισαν μαθήτριες της Θεωρητικής...) Και δεν είναι που οι συγκεκριμένοι μαθητές δεν ενδιαφέρονται. Ενδιαφέρονται και σίγουρα τους ένοιαζε να μου δώσουν καλό γραπτό, το λέω με σιγουριά...

Αλλά με τη Γεωμετρία στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, χρόνο με το χρόνο, κάτι μου φαίνεται δεν πάει καλά. Θα περιμένω εναγωνίως το Σάββατο 15 Μαρτίου να δω τι θα πουν  για το θέμα οι πλέον ειδικοί. Θα δώσουν λύση τελικά;  Θα δούμε! Ελπίζω να είσαστε κι εσείς εκεί για να τα πούμε από κοντά.  :)

Δείτε εδώ

ΤΟ "ΕΙΚΟΣΙ" ΚΑΙ ΤΟ ΓΑΛΛΙΚΟ ΚΛΕΙΔΙ...

Στις 3 Ιουλίου του 1936 ο Λεβ Ζαχάροβιτς Μεκχλίς, ο αρχισυντάκτης της εφημερίδας του Κόμματος, της Πράβντα, υποκινούμενος από τον σοβιετικό μαθηματικό Κόλμαν, έγραψε ένα γράμμα στην Κεντρική Επιτροπή του Κομμουνιστικού Κόμματος, στην οποία ήταν επικεφαλής ο ίδιος ο Στάλιν. Ο Μεκχλίς ζητούσε να ερευνηθεί η "κατάσταση στα σοβιετικά επιστημονικά ιδρύματα", καθώς και η "υπόθεση Λούζιν".

Ο Νικολάι Νικολάγιεβιτς Λούζιν, ο ένας εκ των τριών κορυφαίων ρώσων μαθηματικών που στις αρχές του 20ου αιώνα, παίρνοντας τη σκυτάλη από τους γάλλους μαθηματικούς, συνέχισαν τη θεωρία συνόλων του Κάντορ και ίδρυσαν στο Πανεπιστήμιο της Μόσχας την περίφημη "Λουζιτανία", μπήκε στο στόχαστρο των φανατικών σοβιετικών μαθηματικών κατά την περιόδο των "εκκαθαρίσεων" της μπουρζουαζίας από τους σοβιετικούς. Η φήμη του, ωστόσο, και η ευρεία  αποδοχή που έχαιρε στο χώρο του Πανεπιστημίου της Μόσχας ανάγκασε τον κύριο διώκτη του, τον Κόλμαν, να καιροφυλακτεί για αρκετό καιρό μέχρι να βρει την κατάλληλη ευκαιρία για να κατηγορήσει τον Λούζιν με την έσχατη κατηγόρια, αυτήν της δολιοφθοράς, μιας θανάσιμης κατηγορίας σαμποτάζ ενάντια στη σοβιετική κυβέρνηση. Οι ίντριγκες, οι καταδιώξεις, η προπαγάνδα, η ιστορία από μια άλλη οπτική, με φόντο τη μαθηματική ρωσική ιντελιγκέντσια, πριν και μετά την επανάσταση του 1917, είναι απαράμιλλα αποκαλυπτική στο 7ο και 8ο κεφάλαιο του βιβλίου "Ονοματίζοντας το άπειρο", των Loren Graham και Jean-Michel Kantor, που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις Αλεξάνδρεια σε μετάφραση του Τεύκρου Μιχαηλίδη.

Το σημείο όμως που θα ήθελα να εστιάσω έχει να κάνει κυρίως με τον τρόπο με τον οποίο κατάφερε τελικά ο Κόλμαν να κατηγορήσει τον Λούζιν. Φοβούμενος να κάνει μια κατά μέτωπον επίθεση στο Πανεπιστήμιο της Μόσχας, που ήταν η έδρα του Λούζιν, του έστησε καρτέρι όταν ο δεύτερος επισκεπτόταν σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης στην περιοχή της Μόσχας, για να ενισχύσει τη μαθηματική εκπαίδευση.

Αχ, αυτή η μαθηματική εκπαίδευση! Παντού και πάντα ενισχύεται και προκοπή δεν βλέπει... 

Εν πάση περιπτώσει, ο Κόλμαν πληροφόρησε έναν ρεπόρτερ ότι ο Λούζιν επρόκειτο να επισκεφτεί το 16ο Σχολείο της περιοχής Ντζερζίνσκι της Μόσχας και ενδεχομένως να προέκυπτε μια ενδιαφέρουσα είδηση από την επίσκεψη αυτή. 

Αν θέλεις να κάνεις μια ... βρωμοδουλειά, βάλε έναν δημοσιογράφο να την κάνει για σένα.

[Δεν είναι δικό μου αυτό, στην ταινία του Μπεν Άφλεκ, Argo, το είδα πρόσφατα, και να που το ξαναείδα, λίγες μέρες μετά, στο βιβλίο αυτό. Φαίνεται πως πιάνει τελικά... :)]

Ο ρεπόρτερ μετά την επίσκεψη πήρε μια συνέντευξη από τον Λούζιν, που ανυποψίαστος έγραψε ένα μικρό άρθρο στο οποίο επαινούσε με διθυραμβικά σχόλια την τάξη. Το άρθρο δημοσιεύτηκε στην εφημερίδα Ισβέστια, στις 27 Ιουνίου του 1936. Ο Λούζιν έγραψε ότι εντυπωσιάστηκε από την ποιότητα της τάξης, λέγοντας ότι, καθώς έκανε ολοένα και πιο δύσκολες ερωτήσεις, συνέχισε να παίρνει σωστές απαντήσεις. Πρόσθεσε δε ότι "δεν μπόρεσε να βρει αδύνατους μαθητές στην τάξη".

Αυτή η δήλωση ήταν ό,τι από καιρό περίμενε ο Κόλμαν για να τεκμηριώσει το κατηγορητήριό του.

Πίστευε ότι μπορούσε να εξισώσει τους αδικαιολόγητους επαίνους προς τους μαθητές του σχολείου με τη συνειδητή δολιοφθορά της βιομηχανικής παραγωγής μέσω της ρίψης ενός γαλλικού κλειδιού σε μια τουρμπίνα - κατηγορία που είχε διατυπωθεί παλιότερα κατά αντισοβιετικών μηχανικών.

Εν ολίγοις, ο Κόλμαν κατηγόρησε τον Λούζιν ότι επιχειρούσε να βλάψει τη σοβιετική εκπαίδευση, επαινώντας συνειδητά κατώτερου επιπέδου εργασία.

Οι συνέπειες της κατηγορίας αυτής και οι εξελίξεις που είχε το ρωσικό τρίο έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και αξίζει να τις διαβάσει κανείς στο βιβλίο των Graham-Kantor. 

Όμως, ανεξάρτητα από τις πολιτικές μας πεποιθήσεις, την ιδεολογία μας, τις παιδαγωγικές και εκπαιδευτικές πολιτικές μας, την αγάπη ή την έλλειψη αγάπης για τη δουλειά μας, νομίζω πως, ως εκπαιδευτικοί, θα πρέπει να αναρωτηθούμε μήπως οι έπαινοι και τα διθυραμβικά σχόλια (ή μάλλον οι βαθμολογικές καταστάσεις, που είναι φορτωμένες με εικοσάρια...) λειτουργούν τελικά σαν γαλλικό κλειδί που - σκοπίμως ή μη - μπλοκάρει την τουρμπίνα και μειώνει την επίδοση και την ... παραγωγή!

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Σήμερα πέρασαν από το σχολείο δυο περσινές μας μαθήτριες, επειδή θέλουν να ξαναδώσουν εισαγωγικές. Η μια δεν έχει πετύχει σε καμία σχολή. Όση ώρα έμεινε στο σχολείο είχε μια έκφραση πικραμένη, που την έβλεπες και σου μάτωνε την καρδιά.
Πέρυσι ήμουν υπεύθυνη στο τμήμα της και κατά συνέπεια έλεγχα την καρτέλα της, όπου περνούσα τη βαθμολογία από όλα τα μαθήματα. Θυμάμαι καλά πως είχε εικοσάρια πολλά..

ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ

Η ομάδα ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ

σας προσκαλεί στην ομιλία του

ΤΕΥΚΡΟΥ ΜΙΧΑΗΛΙΔΗ,

Δρα των Μαθηματικών, καθηγητή στη Μέση Εκπαίδευση,  μεταφραστή και συγγραφέα

με θέμα:

Μαθηματικές Ιστορίες από τον καιρό του Νεύτωνα

την Παρασκευή, 7 Φεβρουαρίου 2014, στις  19:30

στο Κέντρο Ιστορίας Θεσσαλονίκης

(Πλατεία Ιπποδρομίου, 546 21 Θεσσαλονίκη, τηλ. 2310 264668)

Περίληψη:

Η λογοτεχνική παραγωγή της κάθε ιστορικής περιόδου αποτελεί, άμεσα ή έμμεσα, τον καθρέφτη της εποχής της. Συνειδητά ή ασυνείδητα, σχεδιασμένα ή αυθόρμητα, ο λογοτέχνης αποτυπώνει στα κείμενά του την ερμηνεία, την κρίση και τις αντιδράσεις του για τα δρώμενα στο περιβάλλον του.  Μπορεί να μην είναι ακριβής και πιστός αφηγητής των ίδιων των γεγονότων, είναι όμως αξιόπιστος μάρτυρας της απήχησης των γεγονότων αυτών στον ευρύτερο κοινωνικό περίγυρο. Έτσι, μέσα στα λογοτεχνικά κείμενα του 17^ου και 18^ου αιώνα, θα αναζητήσουμε τον τρόπο με τον οποίο το αναγνωστικό κοινό των μη ειδικών «εισέπραξε» τον απειροστικό λογισμό, την αναλυτική γεωμετρία, τις πιθανότητες, τη μηχανική αλλά και τον τρόπο με τον οποίο αντιμετώπισε τους δημιουργούς της νέας επιστήμης, τους φυσικούς φιλοσόφους. Θα εντοπίσουμε και θα επιχειρήσουμε να ερμηνεύσουμε τη σκωπτική διάθεση του Jonathan Swift, της Margaret Cavendish, του Βολταίρου  απέναντι στα μαθηματικά και τους μαθηματικούς αλλά και τη λιγότερο ή περισσότερο επιτυχημένη προσπάθεια των ίδιων συγγραφέων να εκλαϊκεύσουν τις νέες επιστημονικές γνώσεις. Στον τομέα της εκλαΐκευσης ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν ακόμα οι περιπτώσεις στις οποίες ο συγγραφέας είναι ο ίδιος ένας από τους πρωτοπόρους ερευνητές όπως συμβαίνει στην περίπτωση του Kepler ή του Fontenelle.

 Η είσοδος είναι ελεύθερη

Υπεύθυνη διοργάνωσης: Κ. Καλφοπούλου, kalfokat@gmail.com

ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ: ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ

2014 ΕΥΧΕΣ

ΕΠΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΣ ΑΠΟ ΤΗ ΡΩΜΗ...

Είχα ακούσει παλιότερα μια γερμανική παροιμία που έλεγε "αν θέλεις να μάθεις κάτι, κάνε ένα ταξίδι...". Αυτά τα λόγια τα θυμήθηκα πολλές φορές κατά τη διάρκεια του ταξιδιού που έκανα πρόσφατα στην Ιταλία, ως συνοδός των μαθητών της τρίτης Λυκείου. Τα βιώματά μου στην επταήμερη δεν επιβεβαίωσαν απλώς την παλιά γερμανική παροιμία, αλλά μου έδωσαν επί πλέον την ευκαιρία να διατυπώσω διάφορες παραλλαγές της με επικρατέστερη αυτήν που λέει "αν θέλεις να μετρήσεις τις πάσης φύσεως αντοχές σου, κάνε ένα ταξίδι με 117 τελειόφοιτους Λυκείου!" :)

Δεν θέλω να υπεισέλθω σε λεπτομέρειες σχετικές με την εκδρομή, αναφέρω όμως τη συμμετοχή μου σε αυτήν για να εξηγήσω στους πολλούς φίλους που διαμαρτυρήθηκαν για την πολυήμερη απουσία μου από το blog, ότι ο βασικός λόγος της σιωπής μου είναι η επταήμερη της Γ' Λυκείου. Η προετοιμασία της εκδρομής, με όλα τα τυπικά/γραφειοκρατικά ξεκίνησε τρεις περίπου εβδομάδες πριν από το ταξίδι, ενώ η επανένταξή μου στην κανονική ροή της ζωής απαίτησε περίπου μια εβδομάδα μετά την επιστροφή. Θα μου πείτε, αφού είναι τόσο δύσκολη υπόθεση γιατί πήγα; Πήγα επειδή δεν υπήρχαν συνοδοί! Μόλις και μετά βίας συγκεντρώθηκε ο απαιτούμενος αριθμός καθηγητών που δέχτηκαν να συνοδεύσουν τους μαθητές στην εκδρομή. Και επειδή τα περισσότερα παιδιά μας είναι πολύ καλά παιδιά, είναι τα παιδιά που χάρη σε αυτά έζησα πέρυσι και πρόπερσι πολλές όμορφες στιγμές μέσα στη σχολική τάξη, κάποιες από τις οποίες μάλιστα μοιράστηκα με τους αναγνώστες του blog, δεν θα ήθελα να χάσουν την εκδρομή τους. Γι' αυτό δήλωσα ευθύς εξ αρχής πως δέχομαι να τα συνοδεύσω. Κι έτσι είχα την ευκαιρία να μάθω πολλά και διάφορα. Για παράδειγμα, έμαθα ότι μπορώ να αντέξω τρία συνεχόμενα μερόνυχτα ξάγρυπνη! Αναγκάστηκα επομένως να αναθεωρήσω την άποψη που είχα για τον εαυτό μου, πως δηλαδή χρειάζομαι επτά με οκτώ ώρες ύπνου, ανά δεκάξι περίπου ώρες εγρήγορσης!  

Πραγματικά! Άμα θέλεις να μάθεις τις αντοχές σου, κάνε ένα ταξίδι με εκατό εφήβους και θα αναθεωρήσεις τις απόψεις σου, για το άτομό σου!

Επιστρέφοντας από τη Ρώμη, η υπερένταση και η ταξιδιωτική διάθεση με έκαναν να νιώθω κυριολεκτικά άλλος άνθρωπος. Σε αντίθεση με τους περισσότερους μαθητές, που είχαν παραδοθεί κατάκοποι πια σε ύπνο βαθύ κι έγερναν τα κορμιά τους με όλες τις δυνατές κλίσεις στα καθίσματα του πούλμαν, εγώ είχα κέφι πολύ και ζωντάνια, οπότε κάποια στιγμή, για να εκτονώσω τη συσσωρευμένη μου ενέργεια, έκοβα βόλτες στο διάδρομο του λεωφορείου. Ένας από τους λίγους μαθητές που ήταν ξύπνιοι, όταν έφτασα δίπλα του, μου είπε: "Κυρία, δεν μας δίνετε καμιά εξίσωση να τη λύσουμε για να περάσει η ώρα;". Πιθανόν να το έλεγε με χιουμοριστική διάθεση, αλλά εγώ το εξέλαβα σοβαρά και σκέφτηκα να του δώσω μια εξίσωση που στο παρελθόν έγινε θέμα μεγάλης συζήτησης, στο mathematica.gr, με αφορμή μια εισήγηση που είχαμε κάνει με τον κο Θωμαΐδη. Πήγα στη θέση μου, πήρα ένα χαρτί κι έγραψα:

 

[Αργότερα θυμήθηκα πως το τριώνυμο της βάσης έχει σταθερό όρο 5 και όχι 7, για να βολεύει περισσότερο, αλλά εκείνη την ώρα αυτό ήταν μια ασήμαντη λεπτομέρεια.]

 Επέστρεψα με το ραβασάκι στο χέρι στον μαθητή που μου είχε ζητήσει καμιά εξίσωση, αλλά το παιδί είχε στο μεταξύ χάσει το ενδιαφέρον του. Αντιθέτως δυο άλλοι μαθητές, συγκεκριμένα μια μαθήτρια της Θεωρητικής και ένας μαθητής της Θετικής, έδειξαν να ενθουσιάζονται στη θέα της εξίσωσης. Μου ζήτησαν χαρτί και μολύβι για να τη λύσουν και αφού τους προμήθευσα με τα απαραίτητα, επέστρεψα στη θέση μου. Σε λίγα μόνο λεπτά ήρθαν τα παιδιά να μου δείξουν τις λύσεις τους.  Ήταν σειρά μου να ενθουσιαστώ, βλέποντας τι είχαν γράψει. Η μαθήτρια έκανε μια προσέγγιση βασισμένη σε θεμελιώδεις γνώσεις, όπως φαίνεται στη λύση της:

 Ο μαθητής αντιθέτως περιέπλεξε τα πράγματα, χρησιμοποιώντας πιο σύνθετη μέθοδο, που  απορρέει υποθέτω από τη γνώση που είχε προσφάτως αποκτήσει μελετώντας στον Διαφορικό Λογισμό την παραγώγιση σύνθετων εκθετικών συναρτήσεων.

 Ενώ σχολίαζα ακροθιγώς τις λύσεις τους, τα δυο παιδιά με άκουγαν με ενδιαφέρον και ζητούσαν να μάθουν περισσότερα. Τους εξήγησα πως οι λύσεις τους παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον από διδακτικής πλευράς, οπότε η μαθήτρια με ρώτησε: "Θα τις ανεβάσετε στο facebook, κυρία;". "Στο facebook όχι, αλλά πιθανότατα θα τις αξιοποιήσω με κάποιον τρόπο στο μέλλον, Κατερίνα", της απάντησα. "Μπορώ να κρατήσω τις λύσεις σας;". Έγνεψαν καταφατικά και μου τις έδωσαν. Και εκείνη τη στιγμή, επιστρέφοντας από τη Ρώμη, μιλώντας με την Κατερίνα και τον Αχιλλέα, ένιωσα μέσα μου μεγάλη χαρά που συνόδευσα  στην επταήμερη τα παιδιά...

Κάνοντας ένα ταξίδι αναμφιβόλως μαθαίνεις κάτι.
Κάνοντας όμως μια εκδρομή με τους τελειόφοιτους του Λυκείου, σίγουρα μαθαίνεις πολλά.

Και με την ευκαρία αυτή, εύχομαι σε όλους το 2014 να είναι μια καλύτερη χρονιά!

ΜΙΑ ΔΙΑΚΕΚΟΜΜΕΝΗ ΓΡΑΜΜΗ...

Θα μπορούσα να ισχυριστώ ότι η ραπτική δεν είναι κάτι  περισσότερο από εφαρμογή λίγων στοιχειωδών Μαθηματικών. Λίγες καμπύλες γραμμές στο πατρόν, δυο τρεις βασικές μετρήσεις, μια αντιστοίχιση ανάμεσα στις διαστάσεις μας και σ' αυτές του υφάσματος και τέλος μια σωστή συναρμολόγηση των κομματιών! Και το ρούχο είναι έτοιμο για φόρεμα, τουλάχιστον σε μια απλή και λιτή  εκδοχή, που όμως είναι επαρκής, συνήθως οικονομική και, πιθανόν,  οικολογική.

 Επειδή κάποτε είχα παρακολουθήσει λίγα μαθήματα κοπτικής-ραπτικής και για ένα μικρό διάστημα  έραβα ρούχα για μένα και για τη φίλη μου, δεν είναι εντελώς θεωρητικός ο ισχυρισμός μου. Είχα ράψει μερικές φούστες και κάμποσα καλοκαιρινά μπλουζάκια, με πατρόν που έφτιαχνα συνήθως μόνη μου, τραβώντας διακεκομμένες γραμμές πάνω σε λευκό ρυζόχαρτο, με εφαρμογή της στοιχειώδους Γεωμετρίας που απαιτούσε η περίσταση και με χρήση των δύο ειδικών οργάνων που είχα επί τούτου προμηθευτεί.

Αυτό που αναμφιβόλως δεν θα μπορούσα να ισχυριστώ είναι το αντίστροφο του παραπάνω ισχυρισμού, δηλαδή να ισχυριστώ πως τα Μαθηματικά δεν είναι κάτι περισσότερο από εφαρμογή λίγων στοιχειωδών μεθόδων της κοπτικής και της ραπτικής! 

Και αν στον πρώτο μου ισχυρισμό υπάρχουν ενστάσεις ή αντιρρήσεις, είμαι εντελώς σίγουρη πως όλοι θα συμφωνήσουν με τον δεύτερο. Τα Μαθηματικά είναι πολλά περισσότερα από τη δημιουργία ενός πατρόν και την κατασκευή ενός ρούχου. Ακόμη και όταν προσπαθούμε να τα απλοποιήσουμε και να τα κατεβάσουμε στο επίπεδο κατανόησης των μαθητών μας, ακόμη και τότε ο πληθωρικός τους χαρακτήρας και η πολυεπίπεδη φύση τους θα πρέπει να αντιμετωπίζεται με σεβασμό και να μην εκφυλίζεται. Ωστόσο, η διδασκαλία των Μαθηματικών, νομίζω πως - για πολλούς και διάφορους λόγους, που δεν είναι της ώρας - έχει σταδιακά απογυμνωθεί και έχει απλοποιηθεί σε βαθμό που δεν διαφέρει και πολύ από τη μηχανική δημιουργία ενός πατρόν. Και μάλιστα ενός πατρόν που δεν έχει καν ως αποτέλεσμα ένα ρούχο, ας πούμε, υψηλής αισθητικής ή, ακόμη καλύτερα, αυξημένης χρησιμότητας. Διδάσκονται μάλιστα τόσο μηχανικά, που τελικά οι έννοιες χάνουν το νόημά τους και τη διασύνδεσή τους, με αποτέλεσμα οι μέθοδοι να μην εδραιώνονται σε κάποια λογική διαδικασία, αλλά να περιορίζονται στη χρήση συμβόλων που, στην περίπτωση που δεν στερούνται παντελώς νοήματος, αποκτούν ένα ιδιαίτερο νόημα που δεν έχει σχέση με την πραγματικότητα. Συχνά δε φτάνουν στο σημείο τα σύμβολα να ταυτίζονται τελικά με τη μέθοδο! Για το θέμα αυτό είχα γράψει παλιότερα με αφορμή τη "μέθοδο βουλίτσα", όπως  είχε πει ένας μαθητής της Γ' Λυκείου, τη μέθοδο που θα εφάρμοζε σε μια άσκηση της Στατιστικής. (βλέπε εδώ)

Σήμερα, στο μάθημα της Γεωμετρίας στην Α' Λυκείου θυμήθηκα τη "μέθοδο βουλίτσα", με αφορμή  τη μέθοδο "διακεκομμένη γραμμή", που πρότεινε ένας μαθητής στη λύση μιας άσκησης.

Βρισκόμαστε στην τριγωνική ανισότητα και ο προγραμματισμός του σημερινού μαθήματος προέβλεπε τις αποδεικτικές ασκήσεις 3, 5 και 7 στη σελίδα 58 του σχολικού. Αφού πρώτα λύθηκε στον πίνακα η άσκηση 10, με τον χιλιομετρητή, που είχαν για το σπίτι,  ξεκίνησε η συζήτηση με θέμα τις προαναφερθείσες ασκήσεις.

Ειδικά η άσκηση 3, σύμφωνα πάντα με τον προγραμματισμό θα γινόταν διεξοδικά, για να αντιληφθούν οι μαθητές ότι όταν τα γνωστά θεωρήμα, πορίσματα κλπ, δεν καλύπτουν την περίπτωση που έχουμε να αντιμετωπίσουμε, τότε πρέπει εμείς να "επινοήσουμε" κάτι νέο, μια κίνηση φορσε ας πούμε, που θα σώσει την κατάσταση. Εν προκειμένω, θα έπρεπε να προεκτείνουμε κατά ίσο τμήμα τη διάμεσο του τριγώνου, κι αυτό ήταν που έπρεπε να σκεφτούν οι μαθητές.

Αφού διαβάσαμε προσεκτικά την άσκηση, έγραψα στον πίνακα τα δύο γνωστά από πριν θεωρήματα, της σελίδας 54, που μοίαζουν με το ζητούμενό της, και μετά από συζήτηση οδηγηθήκαμε στο συμπέρασμα πως κανένα από αυτά δεν εφαρμόζεται πιστά στη δική μας περίπτωση. Τότε πρότεινα να σκεφτούν για λίγο τι θα μπορούσαμε να κάνουμε. Σχεδόν αμέσως ο Π σήκωσε το χέρι του και του έδωσα τον λόγο. "Για να τη λύσουμε θα τραβήξουμε μια διακεκομμένη γραμμή!", είπε. Περίμενα για λίγο, να δω μήπως και το σώσει στη συνέχεια, αλλά το παιδί μάλλον είχε ολοκληρώσει την πρότασή του. Δυστυχώς δεν κατάφερα να συγκρατηθώ, δηλαδή να ρωτήσω τι εννοεί, για να του δώσω χρόνο να το ξανασκεφτεί. Μου προέκυψε αυθόρμητα η ερώτηση: "Δηλαδή Π, αν αντί για διακεκομμένη γραμμή τραβήξω μια κόκκινη γραμμή ή μια πράσινη συνεχόμενη γραμμή δεν θα μπορέσω να λύσω την άσκηση;".  Έσπευσα να διορθώσω την αντίδρασή μου, εξηγώντας πως η ουσία δεν είναι το στυλ της γραμμής, το πάχος της, το χρώμα της, η μορφή της τέλος πάντων, αλλά είναι η λειτουργία της! Τι θα κάνει αυτή η γραμμή, πώς θα λειτουργεί μέσα στο σχήμα μας; Με λίγη υπομονή ο μαθητής, που πιθανόν είχε λύσει την άσκηση από πριν και 'γνώριζε' τη λύση, παρόλο που δεν την είχαν ως homework, μας εξήγησε πως "η διακεκομμένη γραμμή θα συνέχιζε τη διάμεσο ΑΜ και θα ήταν ίση με αυτήν"!

Νομίζω πως η μέθοδος "προεκτείνω κατά ίσο τμήμα τη διάμεσο του τριγώνου...", που την είχα αναφέρει στο πρόσφατο παρελθόν και την είχα τονίσει ως μεθοδολογία σε ασκήσεις με διάμεσο τριγώνου, στην περίπτωση που δεν επαρκούν τα δεδομένα της άσκησης ή τα γνωστά θεωρήματα, στο μυαλό του Π, και πιθανότατα και σε πολλών άλλων μαθητών μου, κωδικοποιήθηκε απλά ως "μια διακεκομμένη γραμμή"! 

Και εδώ τίθεται το εξής πολύ σημαντικό ερώτημα: Πόσο συχνά οι μαθητές κόβουν και ράβουν όσα ακούν από τον δάσκαλο, πάνω σε ένα εντελώς δικό τους πατρόν, που πολύ απέχει από το "μοντέλο" που έχει  ο δάσκαλος στο δικό του μυαλό;

Είμαι απολύτως πεπεισμένη πως τα Μαθηματικά υπερέχουν πολύ από τη ραπτική, ακόμη και την υψηλή, την περιβόητη "haute couture", αλλά φοβάμαι πολύ πως η επικοινωνία μας με τους μαθητές μας ενέχει, τελικά, όλα εκείνα τα στοιχεία της ... κοπτικής!