Βιβλίο: Σχολικά μαθηματικά

Της Ιωάννας Σουφλέρη

Τι είναι άραγε μια σχολική τάξη; Πώς πρέπει να ιδωθεί από τον εκπαιδευτικό που μπαίνει σε αυτήν και ο οποίος πρέπει στο μικρό διάστημα των 45 λεπτών να εμπνεύσει τόσο ώστε να «παρασύρει» όσο περισσότερους μαθητές γίνεται στη μυσταγωγία του μαθήματος; Και εν τέλει να διδάξει σε βάθος αυτό που προβλέπεται από τη διδακτέα ύλη...

Για τη μαθηματικό κυρία Κατερίνα Καλφοπούλου, η οποία την τελευταία δεκαετία έχει διδάξει μαθηματικά σε επτά διαφορετικά δημόσια σχολεία, η σχολική τάξη είναι «ένα χαοτικό σύστημα όπου αναμφιβόλως παρατηρείται μια υπερευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες». Πράγματι, καμία τάξη δεν είναι ίδια με την άλλη, αλλά και η δυναμική της κάθε τάξης διαφέρει από μέρα σε μέρα και από στιγμή σε στιγμή. Ωστόσο, το μέγα ζητούμενο για τον δάσκαλο είναι να μπορέσει να επιτελέσει το έργο του, πιθανότατα εκμεταλλευόμενος τις ευχάριστες ή δυσάρεστες εκπλήξεις που διαφυλάσσει το χαοτικό αυτό σύστημα. 

Χαρακτηριστικά στιγμιότυπα από τη σχολική τάξη συνθέτουν το πόνημα της κυρίας Καλφοπούλου «Ο Γιάννης που αγάπησα: Ιστορίες ανατροπής στην τάξη των μαθηματικών». Οι μικρές ιστορίες, οι οποίες καταγράφονταν στο προσωπικό της ιστολόγιο και έχουν επιλεγεί για το βιβλίο της, δίνουν τροφή για σκέψη σε εκπαιδευτικούς και μη. 

Πάρτε για παράδειγμα την ιστορία με τίτλο «Η δύναμη του σημείου» όπου αφού έχουν εξηγηθεί όσα πρέπει να εξηγηθούν για τη δύναμη του σημείου ως προς τον κύκλο και οι μαθητές έχουν αντιληφθεί ότι αυτή μπορεί να είναι θετική (όταν το σημείο εντοπίζεται εκτός του κύκλου) ή μηδέν (όταν το σημείο εντοπίζεται στην περίμετρο του κύκλου) ή αρνητική (όταν το σημείο εντοπίζεται εντός του κύκλου), η δασκάλα συνεχίζει: «Ωραία, το καταλάβατε! Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο κύκλος αντιπροσωπεύει κάποιο πρόβλημα στη ζωή μας και εμείς, ο καθένας από εμάς, είμαστε κάποιο σημείο του επιπέδου. Πότε θα έχουμε τη μεγαλύτερη "δύναμη" για να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημά μας;».

«Οταν θα είμαστε έξω από το πρόβλημα» απαντούν πολλά παιδιά μαζί, ενώ στο διάλειμμα η δύναμη του σημείου γίνεται αντικείμενο συζήτησης θεμάτων καρδιάς...

Η ικανότητα της διδάσκουσας και συγγραφέως να φέρνει τα μαθηματικά στη ζωή των παιδιών αποτελεί ένα κλασικό «κόλπο» της για να τραβήξει την προσοχή τους και πιθανότατα νέοι συνάδελφοί της θα βρουν το πόνημά της χρήσιμο για τη δική τους επαφή με το χαοτικό σύστημα της τάξης. Εξίσου χρήσιμο είναι βεβαίως και για τους έμπειρους συναδέλφους της κυρίας Καλφοπούλου οι οποίοι θα μοιράζονται πιθανότατα τις αγωνίες της για τον παραλογισμό του βαθμολογικού μας  συστήματος, αλλά και τη δυσκολία αυτή καθαυτή του βαθμολογείν, καθώς αυτή προϋποθέτει καλή γνώση των ικανοτήτων του κάθε μαθητή (πράγμα σχεδόν αδύνατον να επιτευχθεί στον δεδομένο χρόνο και με δεδομένη την πίεση της κάλυψης της ύλης). 

Και αν είναι αναμενόμενο το βιβλίο μιας μαθηματικού να ενδιαφέρει μαθηματικούς, σας διαβεβαιώ ότι ενδιαφέρει εξίσου γονείς, μαθητές αλλά και ανθρώπους που καμία σχέση δεν έχουν με την εκπαίδευση και τα μαθηματικά. Διότι οι ιστορίες από την τάξη έχουν τη δύναμη να μας γυρνούν στο δικό μας σχολικό παρελθόν και μπορεί να είναι αργά για να μάθουμε την τριγωνομετρία ή την άλγεβρα που δεν μάθαμε όταν έπρεπε, αλλά δεν είναι ποτέ αργά να μάθουμε από το χαοτικό σύστημα που λέγεται τάξη. Και αν πρέπει να βρει κανείς ένα «μειονέκτημα» στο βιβλίο, αυτό θα ήταν η πικρία που μπορεί να δημιουργήσει στους άτυχους που διδάχθηκαν τα στείρα μαθηματικά των εγχειριδίων και δεν βρέθηκε μια Καλφοπούλου να φωτίσει τον δρόμο τους.

Πηγή: http://www.tovima.gr/science/article/?aid=951919

Ένας συναρπαστικός τρόπος ζωής

Βίβιαν Αβρααμίδου-Πλούμπη

Σάβ, 01/27/2018 - 08:58

Είναι έντεκα παρά τέταρτο το βράδυ και έχω μόλις ολοκληρώσει το βιβλίο της Μαθηματικού και καθηγήτριας στη δημόσια εκπαίδευση Κατερίνας Καλφοπούλου, μετά από πέντε με έξι ώρες συνεχές διάβασμα. Έχει τίτλο «Ο Γιάννης που αγάπησα – Ιστορίες ανατροπής στην τάξη των Μαθηματικών» και κυκλοφορεί από τις Εκδόσεις Τραυλός. Στην εισαγωγή του βιβλίου, η συγγραφέας μάς εξηγεί πως πρόκειται για τριάντα έξι «επεισόδια» από τη σχολική τάξη, μια προσεκτική επιλογή κάποιων από τα κείμενα που είχε αναρτήσει στο ιστολόγιό της με τίτλο «Μαθηματικά και Λογοτεχνία» το οποίο διατηρεί από το 2008 μέχρι και σήμερα. Τριάντα έξι λοιπόν οι ιστορίες ανατροπής, λέει η Καλφοπούλου. Ανατροπής της μεθόδου διδασκαλίας για να ταιριάξει με τα δεδομένα της στιγμής, ανατροπής των συνηθειών, των συνθηκών, καμιά φορά και του ίδιου του προγράμματος, προκειμένου να βρεθεί ο τρόπος να γίνει το μάθημα αποδεκτό, ευχάριστο, κατανοητό.

Έχοντας διαβάσει με ενδιαφέρον το βιβλίο της Καλφοπούλου, τολμώ να την αμφισβητήσω και να θέσω υπόψιν σας τη βαθιά πεποίθησή μου πως η κυρία Μαθηματικός κάνει λάθος στη μέτρηση.

Οι ανατροπές είναι τριάντα εφτά. Θα σας το αποδείξω αμέσως, χρησιμοποιώντας αποκλειστικά στοιχεία που καταθέτει η ίδια η συγγραφέας στο βιβλίο της.

Καταρχήν θα πρέπει να δηλώσω πως δεν είμαι εκπαιδευτικός, ούτε και Μαθηματικός (παρά μόνο όσο πατάει η γάτα, λόγω των σπουδών μου στη Στατιστική επιστήμη). Προ αμνημονεύτων δε χρόνων έπαψα να είμαι μαθήτρια και, τέλος, δεν έχω δικά μου παιδιά. Είμαι όμως βιβλιοφάγος και αθεράπευτα περίεργη. Εκείνο, λοιπόν, που μ’ έκανε να πάρω στα χέρια μου αυτό το βιβλίο, δεν ήταν η συνάφεια ανάμεσα στο θέμα που πραγματεύεται και στις δικές μου γνώσεις και εμπειρίες. Ήταν γιατί ήθελα να δω τι μπορεί να κρύβεται κάτω από έναν τέτοιο τίτλο και μάλιστα γραμμένο από μια καθηγήτρια θετικών επιστημών. Να γνωρίσω ποιος τέλος πάντων είναι ο Γιάννης και τι θέση μπορεί να έχει ο έρωτας σε μια σχολική τάξη. (Να τονίσω εδώ πως, στα δικά μου μαθητικά χρόνια, τα σχολεία ήταν μονοφυλικά).

Ε λοιπόν, ναι! Πρόκειται όντως για ένα ερωτικό βιβλίο που δικαιολογεί απόλυτα την επιλογή του τίτλου του. Γιατί η Καλφοπούλου δεν μπορεί ούτε για μια στιγμή να κρύψει από τον αναγνώστη τη σφοδρότητα του έρωτά της για τον Γιάννη. Χωρίς κανένα φόβο και με περίσσιο πάθος. Γιατί Γιάννη δεν λένε μόνο τον άριστο μαθητή, τον σπασίκλα, εκείνον που κάθεται στα πρώτα θρανία και κρέμεται από τα χείλη της καθηγήτριας. Γιάννης είναι ο τυχαίος, ο κάθε μαθητής, ακόμα κι αυτός με το ελάχιστο ενδιαφέρον για το μάθημα.

Μεγάλος ο έρωτας. Το δηλώνει από μόνη της («Οφείλω να παραδεχτώ ότι μ’ ενθουσιάζει η σχολική τάξη και θεωρώ τον εαυτό μου τυχερό που εργάζομαι σ’ αυτόν τον χώρο!»), το διαπιστώνει όμως και ο ίδιος ο αναγνώστης σε κάθε γραμμή. Το ίδιο το θέμα τής κάθε ιστορίας που μας διηγείται είναι μια ατράνταχτη απόδειξη πως τα Μαθηματικά και η εκπαίδευση αποτελούν το οξυγόνο που της δίνει ζωή. Ή, όπως η ίδια αναφέρει σε άλλο σημείο, «…Αρκεί η διδασκαλία να σου παίρνει την καρδιά και το μυαλό, να σε απογειώνει, όπως ακριβώς και ο έρωτας». Αυτή ακριβώς η μεγάλη της αγάπη προς τα Μαθηματικά (που πάντα φροντίζει να καταγράφει με το Μ κεφαλαίο) και ο πηγαίος ενθουσιασμός της για το λειτούργημα του εκπαιδευτή παρασύρουν μαζί και τον αναγνώστη, ταξιδεύοντάς τον στις δικές της θάλασσες, σε νερά που μέχρι σήμερα ίσως θεωρούσε ιδιαίτερα ταραγμένα. Η συνεχής αγωνία της Καλφοπούλου είναι να μπορέσει να μπει στο μυαλό και στην ψυχοσύνθεση του σημερινού μαθητή. Ν’ αποκαλύψει τον κόσμο του, να τον πλησιάσει, να τον καταλάβει. Έναν κόσμο διαφορετικό, όπως λέει η ίδια, που όμως, χωρίς καμιά απολύτως αμφιβολία, βρίθει Μαθηματικών, αλλά Μαθηματικών που διαφέρουν από τα περιεχόμενα του Αναλυτικού Προγράμματος Σπουδών.

Μέσα από τις πραγματικές ιστορίες που μας διηγείται, αποδεικνύει επανειλημμένα πως, αν ο εκπαιδευτικός αντιληφθεί τον τρόπο με τον οποίο σκέφτεται ο μαθητής, αν αναγνωρίσει τα αίτια που τον εμποδίζουν ν’ αποδεχθεί τη διδασκαλία έτσι όπως του προσφέρεται, τότε θα μπορέσει κι ο ίδιος να επιλέξει και να διαμορφώσει διδακτικές πρακτικές που θα φέρουν το επιθυμητό αποτέλεσμα. Η επιλογή των κατάλληλων παραδειγμάτων που θα σχετίζονται με τα σημερινά ενδιαφέροντα και τις ανησυχίες των εφήβων, ο τρόπος με τον οποίο θα πλησιάσει ο εκπαιδευτικός το νεαρό κοινό ώστε να του κινήσει το ενδιαφέρον για να μπορούν ν’ αντιληφθούν τι κρύβεται πίσω από τα σύμβολα, είναι όλη η δύναμη του μαθήματος. Η επιβράβευση έρχεται όταν ακούς τον μαθητή να λέει, «Ειλικρινά, κυρία, έτσι όπως βλέπω τώρα τον πίνακα, νιώθω μέσα μου χαρά».

Πολύ δύσκολο κοινό τα νιάτα, αναφέρει η Καλφοπούλου. Πρέπει συνεχώς να επινοείς, να αυτοσχεδιάζεις να εγκαταλείπεις το πλάνο μαθήματος που έχεις ετοιμάσει […] να περιφέρεσαι ανάμεσά τους, να πιάνεις τον σφυγμό τους, να ελέγχεις την σπίθα στο βλέμμα τους και να αρπάζεσαι από την πιο φευγαλέα αναλαμπή της, για να ανατροφοδοτείσαι να ανατροφοδοτείς και να συνεχίζεις.

Στα κείμενά της, μοιράζεται με τον αναγνώστη τον προβληματισμό της ως προς την ικανότητα των σημερινών μαθητών να κατανοήσουν σωστά μια μαθηματική ερώτηση και τη δυνατότητά τους να διατυπώσουν οι ίδιοι αντίστοιχες ερωτήσεις· προχωρώντας δε ένα βήμα παραπάνω, αναρωτιέται αν τα Μαθηματικά, ως γλώσσα, ακολουθούν και αυτά την πορεία εκφυλισμού της (φυσικής) γλώσσας.

Τον ίδιο βαθμό προβληματισμού διατυπώνει και για τα θέματα που αφορούν το ίδιο το σύστημα, ή, πιο σωστά, τα συστήματα γενικά, τα εκπαιδευτικά και σημειωτικά, που σχεδόν κάθε χρόνο είναι διαφορετικά, και αποτελούν την πιθανή αιτία για τη συνεχώς φθίνουσα επίδοση των μαθητών στα Μαθηματικά: όταν παράλληλα οι μαθητές αναγκάζονται να παρακολουθούν τα ίδια θέματα δυο φορές, μια στο σχολείο και μια στο φροντιστήριο, με ό,τι αυτό συνεπάγεται ως προς τον βαθμό ενδιαφέροντος που μπορούν να διατηρούν, την κόπωση που επιφέρει και τις ανάλογες λύσεις που μηχανεύονται για να αντεπεξέλθουν.

Θέματα όπως αυτά που σχετίζονται με τον ρόλο του ίδιου του καθηγητή, για την ευθύνη του, για παράδειγμα, ως διαχρονικού δασκάλου, ή ως βαθμολογητή και διορθωτή γραπτών εξετάσεων, δεν μένουν ασχολίαστα. Με γλώσσα στρωτή, περιγραφές που θα ζήλευαν πολλοί πεζογράφοι, ισορροπημένη μίξη διαλόγων και αφήγησης, με ικανοποιητικές επεξηγήσεις όσον αφορά τα μαθηματικά παραδείγματα που παρατίθενται έτσι ώστε να μπορεί να γίνουν κατανοητά και από όσους έχουν ξεχάσει τα Μαθηματικά του σχολείου, το κείμενο γίνεται απολαυστικό.

Με τον Γιάννη της, η Κατερίνα Καλφοπούλου με έχει πείσει πέραν πάσης αμφιβολίας πως η θεωρία ότι τα μαθηματικά είναι δύσκολα, άκαμπτα και αντιπαθητικά, στα χέρια ενός δασκάλου που αγαπά τη δουλειά του και ο οποίος δηλώνει ότι «τα Μαθηματικά, εν κατακλείδι, δεν είναι απλώς τρόπος σκέψης […] είναι ένας συναρπαστικός τρόπος ζωής!» ανατρέπεται. Με έχει πείσει ακόμα πως, όταν η εκπαίδευση προσφέρεται από καθηγητές που σέβονται τον μαθητή, που είναι έτοιμοι να τον ακούσουν και να μπουν στη θέση του, δασκάλους που δεν έχουν χάσει τη δική τους ζωντάνια αλλά ούτε και το χιούμορ τους, τότε είναι αποτελεσματική και ουσιαστική.

Αυτή, λοιπόν, η δική μου τελική διαπίστωση αποτελεί την τριακοστή έβδομη ανατροπή στο βιβλίο της Κατερίνας Καλφοπούλου και μου επιτρέπει να ελπίζω και να ονειρεύομαι ένα καλύτερο μέλλον.

Και, όπως θα κατέληγε και ο ίδιος ο Ευκλείδης, όπερ έδει δείξε.

Πηγή:  http://amagi.gr/content/enas-synarpastikos-tropos-zois

ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΤΗ ΜΟΡΦΩΣΗ ΜΕ ΑΦΟΡΜΗ ΤΗΝ "ΑΥΤΟΜΟΡΦΩΣΗ"

Το κείμενο που ακολουθεί δεν είναι δικό μου!
"..Θα σας περιγράψω αμέσως ποιο σημάδι βρίσκω  χαραγμένο πάνω σε όλα τα ζητήματα της παιδείας.. Μου φαίνεται πως θα πρέπει να ξεχωρίσω βασικά δύο τάσεις. Δύο φαινομενικά αντίθετα ρεύματα με εξίσου ολέθριες συνέπειες, δύο ρεύματα, που τα αποτελέσματά τους τελικά συγχωνεύονται, κυριαρχούν σήμερα στα εκπαιδευτικά μας ιδρύματα: Από τη μία η τάση για όσο το δυνατόν μεγαλύτερη επέκταση και διάδοση της παιδείας κι από την άλλη η τάση για τον περιορισμό και την αποδυνάμωσή της. Η παιδεία, για διαφορετικούς λόγους, πρέπει να φτάσει σε όσο το δυνατόν ευρύτερους κύκλους-αυτό επιδιώκει η μια τάση. Η άλλη προβάλλει την αξίωση να εγκαταλείψει η παιδεία τις πιο ψηλές, τις πιο ευγενικές και ανώτερες απαιτήσεις της και να αρκεστεί να υπηρετήσει κάποιο άλλο σχήμα, ας πούμε το κράτος.
Πιστεύω ότι έχετε προσέξει από ποια πλευρά ακούγεται πιο απροσχημάτιστα η κραυγή για όσο το δυνατό μεγαλύτερη επέκταση και διάδοση της παιδείας. Η επέκταση αυτή είναι ένα από τα πιο προσφιλή εθνικοοικονομικά δόγματα της εποχής. Όσο το δυνατόν περισσότερη γνώση και μόρφωση, άρα: όσο το δυνατόν περισσότερη παραγωγή και όσο το δυνατόν περισσότερες ανάγκες' άρα: όσο το δυνατόν περισσότερη ευτυχία-κάπως έτσι είναι η συνταγή. Ως στόχο και σκοπό της παιδείας έχουμε εδώ τη χρησιμότητα ή, ακόμη πιο συγκεκριμένα, την υλική απολαβή, τό όσο το δυνατό μεγαλύτερο χρηματικό κέρδος. Με αυτό το πρίσμα η παιδεία θα μπορούσε περίπου να οριστεί για το πως θα κρατηθεί κανείς "στο ύψος της εποχής του", η γνώση των μεθόδων, με τις οποίες αποκτά κανείς όσο το δυνατόν πιο άκοπα το χρήμα, η κατοχή όλων των μεθόδων, με τις οποίες συντελείται η επικοινωνία ανάμεσα στους ανθρώπους και τους λαούς. Η κατεξοχήν επομένως αποστολή της παιδείας θα ήταν να φτιάξει ανθρώπους με όση το δυνατό μεγαλύτερη "πέραση"-ακριβώς όπως λέμε και για ένα νόμισμα ότι "έχει πέραση". Όσο περισσότερους τέτοιους ανθρώπους με πέραση διαθέτει ένας λαός, τόσο πιο ευτυχισμένος είναι. Και αυτός ακριβώς πρέπει να είναι ο στόχος των σύγχρονων εκπαιδευτικών θεσμών: Να βοηθήσουν τον καθένα να αποκτήσει όση πέραση του επιτρέπουν οι  φυσικές του δυνάμεις, να διαμορφώσει τον καθένα έτσι ώστε να μπορεί να αντλεί από τις γνώσεις και τη γενικότερη κατάρτισή του το μέγιστο δυνατό μέτρο ευτυχίας και κέρδους. Ο καθένας πρέπει να μπορεί να αξιολογεί σωστά τον εαυτό του, πρέπει να ξέρει τι απαιτήσεις μπορεί να έχει από τη ζωή. Ο "συνδυασμός ευφυΐας και περιουσίας", που προβάλλεται από την πλευρά των κοσμοθεωριών αυτών, θεωρείται πια κυριολεκτικά ηθική επιταγή. Κάθε παιδεία που οδηγεί στη μοναξιά, που βάζει στόχους πέρα από το χρήμα και την απολαβή, που απαιτεί χρόνο, προκαλεί τώρα την απέχθεια. Έχει γίνει πια συνήθεια κάθε τάση για μια τέτοια παιδεία να την απορρίπτουν ως "εγωισμό ανώτερου βαθμού", ως "ανήθικο μορφωτικό επικουρισμό". Γιατί βέβαια, σύμφωνα με τις ηθικές αρχές που ισχύουν εδώ, αυτό που απαιτείται είναι κάτι εντελώς αντίθετο: είναι μια ταχύρρυθμη μόρφωση, ώστε να μπορεί κανείς γρήγορα να κερδίσει πάρα πολλά χρήματα.."

Το κείμενο που προηγήθηκε δε θα μπορούσε  να είναι δικό μου!
Αν το είχα γράψει εγώ, θα έκανα σαφή διάκριση ανάμεσα στην παιδεία και την κατάρτιση. Δεν θεωρώ  πως είναι "παιδεία" η ταχύρρυθμη εκμάθηση τεχνικών γνώσεων και η απόκτηση δεξιοτήτων, που δύνανται να σου διασφαλίζουν τον άρτον τον επιούσιον. Κι αυτόν τον άρτον, στις μέρες μας,   σου τον παρέχουν  όχι αδιαλείπτως και όχι στην ποσότητα που φτάνει για να χορτάσει όλα τα στόματα.. Όσο δε για χρήμα με ουρά ή για την ευτυχία, που σου προσφέρουν όπως λέει το παραπάνω κείμενο, ούτε κουβέντα.. Η ουσία όμως, εν προκειμένω, δεν βρίσκεται στη διάκριση ανάμεσα στην παιδεία και στην κατάρτιση αλλά στο πού και στο πότε γράφτηκε το παραπάνω απόσπασμα.
Δεν πιστεύω να φαντάστηκε κανείς πως το  έχει γράψει  η Άννα Διαμαντοπούλου απευθυνόμενη στην Κεντρική Επιτροπή Γενικών Εξετάσεων! Αν και θα μπορούσε, για να  υποδείξει στα μέλη της  Επιτροπής να διατυπώσουν το σχετικό με την αξία της "αυτομόρφωσης" θέμα, ώστε να αρχίσουν σιγά σιγά οι νέοι να συνειδητοποιούν πως οι καιροί το απαιτούν να αλλάζει ο καθένας σε τακτά χρονικά διαστήματα επάγγελμα, προκειμένου να επιβιώσει οικονομικά. Ναι, κάτι τέτοιο δε θα ήταν  αδύνατον, αν δεν ήταν τόσο έκδηλη η πικρία του γράφοντος για τη λαθεμένη "ηθική επιταγή" των καιρών του, αυτήν που θέλει την παιδεία μέσο πλουτισμού και κατάκτησης της πλασματικής ευτυχίας, μιας ευτυχίας  που εξασφαλίζεται με την πλήρωση των εικονικών και επιβεβλημένων αναγκών, που η ίδια η 'παιδεία' δημιουργεί.. Φαύλος κύκλος, δηλαδή!

Λοιπόν, το παραπάνω επίκαιρο κείμενο δεν το έγραψα-όπως  είπα ήδη δυο φορές-εγώ, αλλά ούτε και η Άννα Διαμαντοπούλου το έχει γράψει! Ούτε καν σύγχρονο είναι, αν και παραμένει επίκαιρο, σα να φωτογραφίζει την αθλιότητα της σημερινής ελληνικής παιδείας! 

Το κείμενο γράφτηκε στις αρχές του... 1872(!) από τον Νίτσε, όταν σε ηλικία 28 χρόνων, καθηγητής από τριετίας στο Πανεπιστήμιο της Βασιλείας, έδωσε πέντε διαλέξεις με τίτλο:

Περί μέλλοντος των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων μας.

Στις διαλέξεις αυτές ο Νίτσε έκανε μια σφοδρή επίθεση στη γερμανική εκπαίδευση, ασκώντας οξύτατη κριτική τόσο στο ρόλο του Γυμνασίου όσο και στο ρόλο του Πανεπιστημίου, λέγοντας πως απαμακρύνουν τους νέους από την κλασική παιδεία και από την αρχαία ελληνική γραμματεία! Το θέμα της παιδείας απασχολούσε τον Νίτσε από καιρό. Ήδη το Νοέμβριο του 1870 έγραφε στον φίλο του C.v. Gersdorff: "Εμπιστευτικά: θεωρώ τη σύγχρονη Πρωσσία μια δύναμη εξαιρετικά επικίνδυνη για τον πολιτισμό. Έχω την πρόθεση να ξεσκεπάσω κάποτε δημόσια το εκπαιδευτικό  σύστημά της..." όπως διαβάζουμε στην εισαγωγή του βιβλίου "ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΙΔΕΙΑ" του Friendrich Nitzsche, σε μετάφραση Ν. Μ. Σκουτερόπουλου που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις PRINTA,  σε πρώτη έκδοση το 1998, και περιέχει τις εν λόγω διαλέξεις, δομημένες σε μορφή διαλόγου, όπου ο Δάσκαλος, ο μαθητής, ο Φιλόσοφος και ο συνοδός συζητούν, αναλύουν, επικρίνουν, προτείνουν, εικάζουν τρόπους με τους οποίους η παιδεία θα ξεπεράσει τα ανυπέρβλητα εμπόδια που η ίδια στήνει στον εαυτό της, κατευθυνόμενη από τα συμφέροντα που καλείται να εξυπηρετήσει.. Και όταν η παιδεία υπηρετεί το Κράτος, με ό,τι μπορεί αυτό να δηλώνει, τότε σίγουρα δεν υπηρετεί το πνεύμα και δεν μορφώνει τον άνθρωπο, γιατί πού και πότε ταυτίστηκαν τα συμφέροντα του Κράτους με αυτά του ανθρώπου;! Πού και πότε καλλιεργήθηκε τόση ανασφάλεια σε άνθρωπο δεκαοχτώ μόλις χρόνων, ο οποίος, ενώ δίνει τις (πρώτες) εξετάσεις της ζωής του, στοχεύοντας σε μια ανώτατη σχολή, καλείται να προβληματιστεί για τα ποια και πόσα επαγγέλματα θα αλλάξει στο ασταθές και ταχέως μεταβαλλόμενο μέλλον του;  
Και όλα αυτά, χωρίς καν να έχουμε προηγουμένως εξοικειώσει τα παιδιά μας με τα αρχαία ελληνικά γράμματα, ώστε, θεωρητικά έστω, να γνωρίζουν πως η τραγωδία είναι σύμφυτη της ανθρώπινης μοίρας.. Και πως οι επιλογές μπρος στα διλήμματα είναι αυτές που μας υπαγορεύει το καθήκον μας, όπως αυτό μορφώνεται, αυτομορφώνεται, και όχι όπως μας το διαμορφώνουν τεχνιέντως..όσοι αποβλέπουν σε ίδια συμφέροντα..

Η ΤΑΥΤΙΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ...

Συνεχίζοντας αργά, πολύ αργά, την ανάγνωση του βιβλίου "ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ ο μαθηματικός, η sυμμετρία και το Τέρας", του Marcus Du Sautoy, από τις εκδόσεις Τραυλός,  διαβάζω ξανά και ξανά τις ίδιες σελίδες για να παρατείνω την απόλαυση και τη συγκίνηση που με κατακλύζει, καθώς ανακαλύπτω συνεχώς θέματα τα οποία συγκαταλέγονται στην κορυφή της λίστας των αγαπημένων μου. Πολύ δε περισσότερο όταν διαπιστώνω ότι τα θέματα αυτά εμπλέκονται μεταξύ τους και  διανθίζονται με τρόπο λιτό και θαυμαστό, όπως ταιριάζει στην κάθε φύσεως ομορφιά! Κι όταν η συγκίνηση φτάνει στο αποκορύφωμά της, ανατρέχω σε άλλα σχετικά αναγνώσματα ή διακόπτω την ανάγνωση, όπως τώρα, για να μοιραστώ ένα απόσπασμα του βιβλίου, γράφοντάς το εδώ...

σελίδα 186:
" Ο Καγιάμ ήταν  ένας αληθινός πολυμαθής. Έγραψε πραγματεία περί μουσικής. Ίδρυσε ένα από τα μεγαλύτερα αστρονομικά παρατηρητήρια της περιοχής, στο Ισπαχάν, από όπου υπολόγισε τη διάρκεια του έτους με εκπληκτικό βαθμό ακρίβειας, ενώ οι μετρήσεις του οδήγησαν σε διόρθωση του ημερολογίου που χρησιμποιούσαν εκείνη την εποχή. Έχει γράψει επίσης ένα από τα κλασικά έργα της περσικής γραμματείας, ένα επικό ποίημα 600 στροφών, το Ρουμπαγιάτ. Ο τίτλος προέρχεται από το όνομα της ποιητικής μορφής που χρησιμοποιεί ο Καγιάμ. Κάθε στροφή αποτελείται από τέσσερις στίχους, με μοτίβο αμοιοκαταληξίας το ΑΑΒΑ. Οι ποιητές την εποχή εκείνη έδιναν μεγάλο βάρος στα μοτίβα και τη δομή που μπορούσαν να υφάνουν στην ποίησή τους. Μερικές φορές, στον τρίτο στίχο μιας στροφής βασίζεται η ομοιοκαταληξία της επόμενης στροφής, BBCB. Μια κυκλική συμμετρία αρχίζει να αναδύεται από τον τρόπο συνύφανσης των στροφών.
Η άκαμπτη λογική της ομοιοκαταληκτικής δομής και τα ομοιοκαταληκτικά μοτίβα της καθιστούν την κλασική ποίηση μια από τις λογοτεχνικές μορφές που απηχούν περισσότερο την κατασκευή των μαθηματικών αποδείξεων. Δεν πρέπει να μας εκπλήσσει λοιπόν που ο Καγιάμ εντρυφούσε εξίσου στις χαρές των μαθηματικών όσο και της ποίησης. Παρόλο που έκανε κάποια πρόοδο στην επίλυση της κυβικής εξίσωσης, του διέφυγε η πλήρης λύση.
"Ίσως τη βρει κάποιος άλλος, ύστερα από εμάς", έγραψε.

Ο Du Sautoy στη συνέχεια περιγράφει τον τρόπο με τον οποίον ο Καγιάμ αντιμετώπισε τις δευτεροβάθμιες και τριτοβάθμιες εξισώσεις, θεωρώντας τες στενά συνυφασμένες με τη γεωμετρία.

Η ανάγκη για τον υπολογισμό εμβαδών και όγκων αντιστοίχως,  νομιμοποιούσε την ύπαρξη τέτοιων αφηρημένων αλγεβρικών αντικειμένων, ενώ οι τέταρτου  κι ανώτερου βαθμού εξισώσεις μη έχοντας το γεωμετρικό τους ισοδύναμο χαρακτηρίστηκαν από τον Καγιάμ α-νόητες και θεωρήθηκε πως ήταν αδύνατη η ύπαρξή τους...

[η επίλυση τέτοιων πολυωνυμικών εξισώσεων αποτελεί διδακτέα ύλη στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας της Β΄ Λυκείου και πάντα προκαλεί ερωτήματα του τύπου: Γιατί το μαθαίνουμε τώρα αυτό?! ]

Διαβάζοντας για τον Ομάρ Καγιάμ, το μυαλό μου, ακολουθώντας δυο διαφορετικές υπόγειες διαδρομές,  βρέθηκε ταυτόχρονα από τη  μια σε μια παλιότερη ανάρτησή μου με τίτλο "...Πρώτος τον λίθον βαλέτω..." και από την άλλη στο μέιλ που μου έστειλε η φιλόλογος, φίλη, Κέλλυ Πάλλα, πριν από δυο μέρες!  Η συσχέτιση των δυο παραπάνω κειμένων, όπου κατέληξε η σκέψη μου,  οφείλεται στη διασύνδεση  Μαθηματικών και  Λογοτεχνίας. Αυτή τη λεπτή, ιδιαίτερη σχέση μεταξύ Μαθηματικών και Λογοτεχνίας, που  για  τους πολλούς  περνάει ακόμη και σήμερα απαρατήρητη!   Δυστυχώς,  για τους ακόμη περισσότερους (όπως την ολότητα των μαθητών μας), όχι μόνο δεν υπάρχει καμιά απολύτως σχέση μεταξύ των δύο πεδίων, αλλά το ένα είναι εκ διαμέτρου αντίθετο και, πιθανόν, αμοιβαίως αποκλειόμενο του άλλου...
Και επειδή, όπως πρόσφατα είπε επί σχετικού θέματος η φίλη μαθηματικός Χριστίνα Ζουρνά, "το ψάρι από το κεφάλι του βρωμάει", θα πρέπει αρχικά η ολότητα των εκπαιδευτικών να ρίξει το τοίχος μεταξύ των, κατά Snow,  δύο κόσμων, των θετικών δηλαδή και θεωρητικών επιστημών και να ανακαλύψει τις μαγευτικές συναρμόσεις που υπάρχουν στα συμμετρικά κατανεμημένα μέρη αλήθειας των μαθηματικών και λογοτεχνικών δομών.
Η Κέλλυ, νομίζω πως έκανε την αρχή  συμμετέχοντας σε Λέσχη μαθηματικής Λογοτεχνίας. :)
Και από ό,τι φαίνεται ενθουσιάστηκε τόσο με τις διασυνδέσεις των " δύο κόσμων ", που, ως επιστήμων, αναζητά παρά πέρα στοιχεία για να αποδείξει πως τα Μαθηματικά και η Λογοτεχνία είναι οι δυο όψεις του ίδιου νομίσματος.
Δηλώνοντας πως συμμερίζομαι τον ενθουσιασμό της Κέλλυς και επικαλούμενη με τη σειρά μου το παραπάνω απόσπασμα από το βιβλίο του Marcus Du Sautoy, παραθέτω το μέιλ της συναδέλφου: 

«Το λογοτεχνικό έργο δεν βρίσκεται σε σχέση αναφοράς με τον «κόσμο», όπως κάνουν συχνά οι φράσεις του καθημερινού μας λόγου, δεν «αντιπροσωπεύει» κανένα άλλο πράγμα εκτός από τον εαυτό του. Σε τούτο, η λογοτεχνία μοιάζει με τα μαθηματικά, παρά με τον συνηθισμένο λόγο: ο λογοτεχνικός λόγος δεν μπορεί να είναι αληθινός ή ψεύτικος, μπορεί απλώς να είναι έγκυρος ως προς τα ίδια τα συλλογιστικά του αξιώματα.»
Tzetan Todorov, Εισαγωγή στη Φανταστική Λογοτεχνία


«Ο ποιητής όπως κι ο αμιγής μαθηματικός, εξαρτάται όχι από την περιγραφική αλήθεια, αλλά από τη συμμόρφωση στα υποθετικά του αξιώματα.»
Northrop Frey, Ανατομία της κριτικής

«Η λογοτεχνία, όπως τα μαθηματικά, είναι ένας λόγος, κι ένας λόγος αυτός καθαυτός δεν αντιπροσωπεύει καμιάν αλήθεια, μ’ όλο που μπορεί να παρέχει το μέσον για να εκφράζει κανείς έναν απεριόριστο αριθμό από αλήθειες.»
Northrop Frey, Ανατομία της κριτικής

Διαβάζοντας το βιβλίο του Du Sautoy, αυτό που αντιλαμβάνομαι πως απορρέει περισσότερο από  την ιστορική εξέλιξη των μαθηματικών εννοιών και θεωριών, οι οποίες οδήγησαν, όσους από τους μαθηματικούς  ασχολούνται με τη συμμετρία,  στη μελέτη ενός Τέρατος με 196.883 διαστάσεις, είναι τούτο ακριβώς που διατυπώνει  ο Northrop Frey στο δεύτερο παράθεμα:
η μακρά αυτή  διαδρομή, που ξεκινάει πολύ πριν από τον Καγιάμ και φτάνει μέχρι εμάς εδώ, σήμερα, γίνεται για ένα κυρίως σκοπό, για να δημιουργηθεί  ο Λόγος εκείνος που  παρέχει τη δυνατότητα να εκφράζεται ένας απεριόριστος αριθμός από αλήθειες...που ερμηνεύουν τον κόσμο!

Όμορφος  κόσμος ...αξιωματικός, μαθηματικο-λογοτεχνικά πλασμένος :)

Η ΣΤΟΙΧΕΙΩΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΔΥΟ

  Υπάρχουν  κείμενα που διαβάζουμε κάποτε και για λόγους διάφορους, κι όχι πάντα ευδιάκριτους, γίνονται σημεία αναφοράς της σκέψης μας ή καταφύγιο στην αγωνία μας ή τράπεζα πληροφοριών στις  αναζητήσεις  μας. Ακόμη μπορεί να γίνονται μέθοδος διασκέδασης της αρχέγονης μοναξιάς που κατατρύχει το είδος μας ή πολλά άλλα κι άλλα ακόμη περισσότερα που τα ανακαλύπτουμε,  όταν οι συνθήκες ευδοκιμούν. Πότε θα ευδοκιμήσουν οι συνθήκες και πώς θα καρπίσουν αυτές οι υποσυνείδητες επιρροές που έχουμε υποστεί από κάποιες ιδιαίτερες αναγνώσεις μας δεν είναι πάντοτε προβλέψιμο. Αν και με τον καιρό κάποιες από τις υποσυνείδητές μας λειτουργίες αποκτούν κανονικότητες  τέτοιες, ώστε να χαρακτηρίζουν πλέον τη ρουτίνα μας, ανεξάρτητα από τη συνειδητή αντίληψη που έχουμε εμείς γι' αυτές.

Μια τέτοια "κανονικότητα" έχει αποκτήσει η σκέψη μου επηρεασμένη από τη Βιβλιοθήκη της Βαβέλ που έγραψε ο  Χόρχε Λουίς Μπόρχες το 1941 και κυκλοφόρησε την ίδια χρονιά στη συλλογή των διηγημάτων του με τίτλο: Ο Κήπος με τα Μονοπάτια που Διακλαδώνονται.

Ο τρόπος που περιγράφει τη Βιβλιοθήκη της Βαβέλ, που είναι η βιβλιοθήκη-σύμπαν, όπου περιέχονται όλα τα βιβλία, κι όλα τα εν δυνάμει βιβλία, μέσα σε εξάγωνα δωμάτια με  ύψος μόλις ενός βιβλιοθηκάριου μέσου αναστήματος,  και η σύνθετη, δαιδαλώδης επικοινωνία των δωματίων, με τους διαδρόμους, τις σκάλες, τα συγκοινωνούντα εξάγωνα, που  καθιστούν τη βιβλιοθήκη  ατέρμονη, αλλά όχι άπειρη (!), είναι τόσο καταλυτικός, ώστε κάθε φορά που βλέπω ένα κανονικό εξάγωνο η σκέψη μου κάνει πάντα την ίδια κυκλική διαδρομή:  εξάγωνο, γέννηση, ψηλάφηση, αναζήτηση, σύνθεση, αμφισβήτηση, αίρεση, αναίρεση, επανασύνθεση, αποσύνθεση, θάνατος, εξάγωνο.

Υποσυνείδητα,  θα μπορούσα, με κάποιες επιφυλάξεις :),  να πω ότι έχω ... εξαγωνίσει τον κύκλο, αφού στην ουσία η θέα, αισθητή ή νοητή, του εξαγώνου μου εγείρει τον παραπάνω κυκλικό συνειρμό.

Αφενός, λοιπόν, αυτή η επιρροή που έχω υποστεί από το κείμενο του Μπόρχες, αφετέρου η μεγάλη μου αγάπη για τα βιβλία και τις βιβλιοθήκες με έσπρωξαν να αναζητήσω το μνημείο που υπάρχει στη Βebelplatz, στο Βερολίνο, αφιερωμένο στη νύχτα της ντροπής, εκείνη τη νύχτα του Μάη του '33 στη διάρκεια της οποίας οι ναζί έκαψαν 20.000 βιβλία, για να καταπνίξουν την όποια πνευματική ανέλιξη  μπορεί να επιφέρει η ανάγνωση  των  βιβλίων.

Το μνημείο, το αφιερωμένο σε 'κείνη τη νύχτα της ντροπής, είναι μια βιβλιοθήκη φάντασμα! Μια τετράγωνη, υπόγεια βιβλιοθήκη, πάλλευκη, με άδεια ράφια, περιμετρικά σε όλους τους τοίχους, που ξεκινούν από το πάτωμα και φτάνουν μέχρι την οροφή. Όμως πέρα από το ότι είναι υπόγεια, δηλαδή υποχθόνια, και τελείως λευκή, τόσο όσο κι ο θάνατος, εκείνο που κάνει τη βιβλιοθήκη απόκοσμη είναι πως η μόνη πρόσβαση που έχει ο επισκέπτης σ' αυτήν είναι η οπτική επαφή, μέσω ενός διάφανου τετραγώνου, στο έδαφος. Κάτω από τα πόδια του, μέσα από το χοντρό τετράγωνο γυαλί,  σα να κοιτάζει μέσα σε τάφο, αντικρύζει κανείς να διαγράφεται το κενό, ένα ομιχλώδες εφιαλτικό κενό, όπου  αμυδρά διακρίνονται τα ράφια που έχουν απομείνει, επί τούτου, κενά και μοιάζουν με χέρια απλωμένα, που εκλιπαρούν για ένα κομμάτι ψωμί ή για ένα νόμισμα που θα εξασφαλίσει την επιβίωση για μια μέρα ακόμη...

Ήταν τόσο ψυχρό κι εξωπραγματικό το συναίσθημα που με κατέκλυσε στη θέα αυτής της βιβλιοθήκης, που θα μπορούσα να το παρομοιάσω με την παγωμένη στέπα και την αίσθηση που κουβαλώ μέσα μου, ως αμυδρή ανάμνηση,  από τα βιβλία των ρώσων συγγραφέων,  που διάβαζα παιδί κι ελάχιστες συγκεκριμένες μνήμες κρατώ, έξω  από εκείνη την πολύ γενική εικόνα ενός απέραντα χιονισμένου τοπίου, που στοίχειωνε κάθε προσπάθεια των ηρώων να υπερβούν  τα στενά ανθρώπινα όρια απέναντι στη ζωή, απέναντι στον έρωτα, απέναντι στον θάνατο. Ένας κύκλος του χρόνου...

... Μια συνεχής προσπάθεια,  κύκλος ή εξάγωνο ή  τετράγωνο, μια συνεχής προσπάθεια, που διαγράφεται ξανά και ξανά, σε μια ατέρμονη, στοιχειμένη, βιβλιοθήκη. Αυτή που καβαλάει ο καθένας μέσα του και τον ωθεί υποσυνείδητα στην αναζήτηση των βιβλίων εκείνων που, απεγνωσμένα, του ζητάνε τα άδειά της ράφια...

ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΟΝΟ ΜΙΑ ΑΝΘΡΩΠΙΝΗ ΦΥΛΗ...

Με κάποια καθυστέρηση, ομολογώ, επισκέφτηκα το blog της συναδέλφου μαθηματικού ΧΖ και ενθουσιάστηκα κυριολεκτικά με αυτά που βρήκα εκεί, κυρίως δε με τα αποσπάσματα από τις ερωτήσεις που διατυπώθηκαν από το κοινό και τις απαντήσεις που δόθηκαν από τον Ντενί Γκετζ κατά την παρουσίαση του βιβλίου του "Η έπαυλη των αντρών", την 1η του Νοέμβρη του προηγούμενου χρόνου, όταν ήρθε στη Θεσσαλονίκη και μετά την παρουσίαση συνομίλησε με τους αναγνώστες του. Παραθέτω την ανάρτηση της συναδέλφου αυτούσια και δίνω τη διεύθυνση του blog της, ώστε να μπορεί κανείς να τη διαβάσει και στο...αρχικό της περιβάλλον, μαζί με τα σχόλια που ακολουθούν. Γράφει λοιπόν η συνάδελφος:

Με αφορμή την παρουσίαση του νέου του βιβλίου "Η έπαυλη των ανδρών" διατυπώθηκαν από το ακροατήριο ερωτήσεις:

-Γιατί το έτος 1917 επελέγη ως η ημερομηνία που διαδραματίζονται τα γεγονότα του βιβλίου σας;

- Είναι μία χρονιά πριν από την έναρξη του Α΄ Παγκοσμίου Πολέμου. Καταλάβετε, σας παρακαλώ, την ειρωνεία και τραγωδία του πράγματος: δύο άνδρες έγκλειστοι σε τρελοκομείο τη στιγμή που έξω από αυτό αρχίζουν οι λαοί της Ευρώπης να αλληλοσκοτώνονται. Ποιοι είναι τελικά οι τρελοί; Οι μέσα ή οι έξω;

-Υπάρχουν σήμερα ήρωες;

- Ήρωας είναι ο καθένας από εμάς. Μην περιμένετε σωτήρες ή μεσσίες με την έννοια των στρατηλατών του παρελθόντος. Καθένας από εμάς, τα απλά x του συνόλου των ανθρώπων, μπορεί να μεταμορφωθεί σε ήρωα. Είναι εν δυνάμει ήρωας, όταν έχει μπροστά του ένα έργο σημαντικό από το οποίο δεν μπορεί να απέχει (να απεργήσει): να χτίσει τον κόσμο μέσα στον οποίο θα ζήσει. Δεν μπορεί κανείς να αγαπά τον πλησίον του, αν πρώτα δεν αγαπά τον εαυτό του. Και αυτό που λέω δεν είναι θέμα εγωισμού ή εγωκεντρισμού. Και φαίνεται μέσα από τα βίβλία μου.

-Γιατί θαυμάζετε τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς;

-Η ευφυΐα των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών έγκειται στο γεγονός ότι εργάζονταν και σκέφτονταν με ιδεατότητες και όχι με αριθμούς. Η απόδειξη γι' αυτούς δε βασίζεται στους αριθμούς, σε συγκεκριμένα νούμερα, αλλά στη γενικότητα. Αν κάτι αποδειχθεί γενικά, τότε θα ισχύει και για τα συγκεκριμένα.

-Γιατί ονομάζετε τους μαθηματικούς "αναρχικά" άτομα;

- Ένας οποιοσδήποτε σύγχρονος μαθηματικός αρχικά προσπαθεί να πείσει τον εαυτό του για την αλήθεια μιας πρότασης και στη συνέχεια, να πείσει τους άλλους ότι έχει δίκιο. Ένας μαθηματικός είναι κατά βάθος αναρχικός, με την έννοια του αντιδραστικού, εφόσον η πρώτη του αντίδραση σε οτιδήποτε καινούργιο είναι: '"δεν το πιστεύω! Να μου το αποδείξεις!"

-Ποια είναι η αντίληψή σας για το σημερινό άνθρωπο;

-Υπάρχουν τρία πράγματα: η ατομικότητα, η διαφορετικότητα και η αριθμησιμότητα. Καθένας από εμάς είναι ένα ον, ίδιο και ίσο με οποιοδήποτε άλλο άνθρωπο, κάτι που μπορεί να μας αρέσει ή να μη μας αρέσει. Στα μαθηματικά, το ένα είναι ίδιο με οποιοδήποτε άλλο ένα. Στην πολιτική όμως, δουλεύει το θεσιακό σύστημα: το ένα αλλάζει αξία ανάλογα με τη θέση στην οποία βρίσκεται, π.χ. όπως άλλη αξία έχει το ψηφίο 1 στους αριθμούς 132 και 321. Παίζει μεγάλο ρόλο η θέση του.

-Πώς πορεύεται ο άνθρωπος στη ζωή;

-Καθένας πρέπει να κοιτάξει βαθιά μέσα του και να ανακαλύψει τα αξιώματά του. Δηλαδή τις πεποιθήσεις του, τις οποίες δεν μπορεί να αποδείξει, μόνο να επιλέξει, και σύμφωνα με αυτές να πορευθεί στη ζωή του. Επιλέγω να θέλω να μην υπάρχει π.χ. καταπίεση στον κόσμο, δεν μπορώ να αποδείξω γιατί το θέλω, όμως είναι το αξίωμά μου: το επιλέγω και σύμφωνα με αυτό ενεργώ.

-Τι έχετε να πείτε για το ρατσισμό;

-Πιστεύω ότι υπάρχει μία ανθρώπινη φυλή. Όσοι υποστηρίζουν ότι ανήκουν σε ανώτερη ανθρώπινη φυλή από άλλους ανθρώπους, με βρίσκουν αντίθετο. Δυστυχώς όμως με το να επιλέξω ότι υπάρχει μία ανθρώπινη φυλή μόνο, τελικά καταλήγω να ανήκω στην ίδια ράτσα ανθρώπων με αυτούς που υποστηρίζουν το αντίθετο. Δε μου αρέσει, αλλά έτσι είναι.

Posted by Ξανθιά at 12:10 PM

http://math4uandme.blogspot.com/2008/11/11108.html


Πίστευα πως, επειδή έχω διαβάσει επισταμένως τα βιβλία του Ντενί Γκετζ κι έχω συζητήσει μια δυο φορές για αρκετές ώρες μαζί του, έχω καταλάβει πόσο διαχρονικός, νεανικός, λιτός, ανατρεπτικός και φιλοσοφημένος συνάμα είναι.
Όμως διαβάζοντας προσεκτικά τις απαντήσεις του, (που στην παρουσίαση τις είχα ακούσει βέβαια με τη δέουσα προσοχή, πλην όμως είμαι καθαρά οπτικοκινητικός κι όχι ακουστικός τύπος), διαπίστωσα πως ο Ντενί Γκετζ ξεπερνάει κάθε βεβαιότητά μου γύρω από την απλότητά του, μιαν απλότητα από την οποία μπορεί να χαρακτηρίζεται μόνο ένας άνθρωπος, που έχει πλήρως αντιληφθεί ότι δεν υπάρχει παρά μόνο μια ανθρώπινη φυλή και σ'αυτήν ανήκουμε όλοι!

Θέλω να ευχαριστήσω τη συνάδελφο ΧΖ για την ανάρτηση, καθώς και τον μαθητή ΧΤ που βιντεοσκόπησε την ομιλία, επειδή μου δίνουν έτσι τη δυνατότητα να συζητήσω τις απαντήσεις του Ντενί Γκετζ στην αυριανή συνάντηση της Λέσχης Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας του Λυκείου Ν. Μουδανιών, όπου το βιβλίο που διαβάζουμε είναι το Μηδέν και είναι επίσης του Γκετζ.

Στη Γόνιμη Ημισέληνο

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

…στη Γόνιμη Ημισέληνο

Πριν από 13.000 χρόνια περίπου, οι άνθρωποι άρχισαν να χρησιμοποιούν ξύλινες ράβδους, όπου στερέωναν κοφτερούς πυρόλιθους, για να θερίζουν άγρια σιτηρά. Έτσι, οι κυνηγοί-τροφοσυλλέκτες, που ήταν αναγκασμένοι να ζουν σε μικρές ομάδες και να περιπλανιούνται σε μεγάλες εκτάσεις αναζητώντας την τροφή τους, αρχίζουν σταδιακά να οργανώνονται και να δημιουργούν τι πρώτες αγροκαλλιέργειες και τα πρώτα χωριά.

Η παλαιότερη αγροκαλλιέργεια εμφανίστηκε το 11.000 π.Χ. στην περιοχή της Γόνιμης Ημισελήνου, που εκτείνεται από την Ιεριχώ, του Ισραήλ, έως βόρεια τη Δαμασκό και το Χαλέπι της Συρίας και νοτιοανατολικά, έως τη Βαγδάτη και τη Βασόρα του Ιράκ και ακόμα πιο πέρα, έως τα Σούσα, έναν αρχαιολογικό χώρο του Ιράν.

Οι καλλιέργειες με το πέρασμα του χρόνου βελτιώνονται, καθώς σπόροι φυλάσσονται για να φυτευτούν την επόμενη χρονιά και οι άνθρωποι φρουρώντας τα χωράφια τους και ποτίζοντάς τα περιοδικά, τα βοηθούν να αναπτύσσονται. Το πρώτο σιτηρό , σε οργανωμένη καλλιέργεια, είναι το κριθάρι, που γίνεται σύντομα το κυρίαρχο μέσο συναλλαγών και από το οποίο παράγεται το πρώτο ψωμί και η πρώτη μπύρα.

Το πλεόνασμα τροφής και η αποθήκευση των σιτηρών έχουν ως αποτέλεσμα την ανάπτυξη των χωριών κι αυτή με τη σειρά της έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση και άλλων επαγγελμάτων. Εμφανίστηκε η κεραμοποιία το 6.500 π.Χ. και, γύρω στο 6.000 π.Χ., η υφαντουργική και τα κάρα με ρόδες. Στη Χαλκολιθική εποχή, (4.500-3.000π.Χ.), συντελέστηκε μια εντυπωσιακή αλλαγή στη Γόνιμη Ημισέληνο. Τα μικρά χωριά αγροκαλλιεργειών αναπτύχθηκαν σε αληθινές πόλεις, κατασκεύασαν ένα αρδευτικό σύστημα, όπως και υπερυψωμένα πλατέματα για να προφυλαχτούν από τις πλημμύρες. Οι πρώτες πόλεις εμφανίστηκαν στο κατώτερο τμήμα της πεδιάδας της Μεσοποταμίας, γνωστή με το όνομα Σουμερία, που σήμερα αποτελεί το νότιο Ιράκ.

Η οργάνωση της κοινωνίας και η ανάπτυξη του εμπορίου απαιτούν πλέον ένα είδος «αποδεικτικού» για τα εμπορεύματα που διακινούνται από τη μια πόλη στην άλλη, αλλά και για τα εμπορεύματα που σωρεύονται στις αποθήκες. Επινοούνται τότε τα λεγόμενα «ενθυμήματα» ή «κουπόνια», μικρά πήλινα κατασκευάσματα σε διάφορα σχήματα, (σφαιρικά, κωνικά, κυλινδρικά, κ.α.). Επειδή οι αριθμοί δεν έχουν εκείνη την εποχή την αφηρημένη έννοια με την οποία τους χρησιμοποιούμε σήμερα, τα πράγματα είναι κάπως σύνθετα. Ενώ στη δική μας κοινωνία το «δύο» αρκεί για να εκφράσει δύο ανθρώπους ή δύο βιβλία ή δύο ημέρες ή δύο ιδέες, στις κοινωνίες των Σουμερίων κάθε είδος που διακινείται με το εμπόριο έχει το δικό του σύμβολο. Δύο σακιά κριθάρι, για παράδειγμα, αντιστοιχούν σε δύο κυλινδρικά κουπόνια, ενώ δύο ψωμιά αντιστοιχούν σε δύο σφαιρικά. Επειδή τα κουπόνια μπορούσαν εύκολα να αφαιρεθούν και επομένως κάποια εμπορεύματα να κλαπούν από τους μεταφορείς, επινόησαν κάτι ακόμα σοφότερο, τους «φακέλους» ή «σφραγίδες». Οι φάκελοι είναι μικρές πήλινες σφραγισμένες μπάλες, μέσα στις οποίες έβαζαν τα κουπόνια, αφού προηγουμένως, κι ενώ ακόμα ήταν νωπός ο πηλός, πίεζαν πάνω τους τα κουπόνια, ώστε να μένουν τα «αποτυπώματα». Αρχίζει έτσι η ιστορική περίοδος επώασης της γραφής και της μέτρησης!

Σταδιακά, επειδή οι φάκελοι ήταν δύσχρηστοι και επειδή το επέβαλε η πολιτιστική ένταση, έγινε αντιληπτό ότι, ως εγγύηση για τη σωστή διακίνηση των εμπορευμάτων, αρκούν τα αποτυπώματα των ενθυμημάτων. Έτσι οι πήλινες μπάλες πήραν τη μορφή απλής ορθογώνιας πλάκας, πάνω στην οποία ήταν «αποτυπωμένα» τα είδη και η ποσότητα των εμπορευμάτων. Ένας σουμεριανός φάκελος, δηλαδή, είναι ένα έγγραφο που σήμερα θα αποκαλούσαμε απλά δελτίο αποστολής!

Με αυτό το τέχνασμα γεννήθηκε η πικτογράμματη γραφή, ως παραπροϊόν της αφηρημένης αρίθμησης. Με το διαχωρισμό των αντικειμένων από τα αποτυπώματα που παρίσταναν τον αριθμό των αντικειμένων οι Σουμέριοι έφτασαν σε σημείο να χρησιμοποιούν με ευχέρεια τους πληθικούς αριθμούς, (1,2,3,…) και να αναπτύξουν τα Μαθηματικά, χρησιμοποιώντας το εξηκονταδικό θεσιακό σύστημα αρίθμησης. Εμείς χρησιμοποιούμε το δεκαδικό θεσιακό σύστημα, όμως κατάλοιπα του αριθμητικού συστήματος των Σουμερίων είναι οι υποδιαιρέσεις της ώρας.

(1 ώρα = 60 λεπτά = 60x 60 δευτερόλεπτα)

Για την οργάνωση της κοινωνίας των Σουμερίων και για τα Μαθηματικά που ανέπτυξαν γίνεται αναφορά στο βιβλίο «Ο Ταξιδευτής των Μαθηματικών» του Calvin C. Clawson, εκδόσεις Κέδρος.

Ο συμπληρωματικός, επεξηγηματικός τίτλος στο βιβλίο είναι:

«Η εξερεύνηση της εντυπωσιακής ιστορίας των αριθμών».

Ο C.C. Clawson, καθηγητής Μαθηματικών στο Seattle Community College, επιχειρεί, στο βιβλίο του, ένα ταξίδι ξεκινώντας από τους μακρινούς προγόνους μας, που χρησιμοποιούσαν κλαδιά για την αρίθμηση και φτάνει μέχρι τη θεωρία των φράκταλ στα Μαθηματικά και τη θεωρία του χάους στις Φυσικές Επιστήμες. Σε όλη τη διάρκεια του ταξιδιού αυτού, μας αποδεικνύει, με τρόπο κατανοητό στο ευρύ κοινό, ότι οι αριθμοί διατρέχουν τον πολιτισμό μας ως αναπόσπαστο κομμάτι της ανθρώπινης εμπειρίας.

Κατερίνα Καλφοπούλου

12/10/2006

ΣΤΗ ΜΕΓΑΛΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑΣ

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

…στη Μεγάλη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας!

Στη θέση που οραματίστηκε ο νεαρός Αλέξανδρος, το 331 π.Χ., το κέντρο του μελλοντικού κόσμου, χτίστηκε η πόλη που φέρει το όνομά του.

Η Αλεξάνδρεια έγινε γρήγορα μια ανθηρή εμπορική μητρόπολη, αλλά και ισχυρό πολιτικό και πνευματικό κέντρο. Όταν, μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου, περιήλθε στη δυναστεία των Πτολεμαίων, οι βασιλείς Πτολεμαίος ο Σωτήρας, Πτολεμαίος ο Φιλάδελφος και Πτολεμαίος ο Ευεργέτης, που διαδέχτηκαν ο ένας τον άλλον από το 305 έως το 221 π.Χ., εγκαθίδρυσαν ένα ισχυρό βασίλειο το οποίο ανέδειξε τις Τέχνες και τις Επιστήμες.

Ο Σωτήρας, ύστερα από υπόδειξη του αθηναίου πολιτικού Δημητρίου του Φαληρέως, ίδρυσε το Μουσείο, το πρώτο στην ιστορία παράδειγμα ανώτατου εκπαιδευτικού και ερευνητικού ιδρύματος που λειτουργούσε με κρατική δαπάνη. Το Μουσείο συγκέντρωσε κορυφαίους ποιητές και λόγιους. Τα μέλη του είχαν στη διάθεσή τους κοιτώνες, τραπεζαρίες, εργαστήρια, βοτανικό και ζωολογικό κήπο και φυσικά την ονομαστή Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, όπου ο Πτολεμαίος ο Ευεργέτης πρόσθεσε ολόκληρες τις συλλογές των βιβλίων του Αριστοτέλη και του Θεόφραστου, όχι πάντα με τον πλέον θεμιτό τρόπο. Σχεδόν όλοι, όσοι καλλιεργούσαν τις επιστήμες και τα γράμματα, συνέρρευσαν στην Αλεξάνδρεια: γραμματικοί (φιλόλογοι), ιστορικοί, γεωγράφοι, μαθηματικοί, αστρονόμοι, φιλόσοφοι και ποιητές. Ένας από αυτούς ήταν και ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος (275-195 π.Χ.).

Ο Ερατοσθένης, ένας από τους μεγαλύτερους Έλληνες σοφούς και ο πρώτος γεωγράφος της Αρχαιότητας, γεννήθηκε στην Κυρήνη, σπούδασε στην Αθήνα και έζησε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στην Αλεξάνδρεια, όπου προσκλήθηκε από τον ίδιο τον Ευεργέτη, για να αναλάβει τη διεύθυνση της Βιβλιοθήκης και την εκπαίδευση του διαδόχου του θρόνου. Πράγματι, ο Ερατοσθένης έγινε ο δάσκαλος τόσο του Λάγου, που ήταν ο διάδοχος, όσο και του Μάγα και της Αρσινόης, των μικρότερων αδελφών. Επιπλέον όφειλε να επιλύει τα προβλήματα και να απαντά στα ερωτήματα που του έθετε ο ίδιος ο Ευεργέτης, πνεύμα ανήσυχο και φιλομαθές, αλλά και με «υπαρξιακά προβλήματα» και αγωνίες που τον οδήγησαν στην απορία: «Ποιο είναι το μέγεθος της γης πάνω στην οποία πατώ;» Ζητώντας απάντηση ο Ευεργέτης, ώθησε τον Ερατοσθένη σε ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματά του, στη μέτρηση της περιφέρειας της Γης.

Ο Ερατοσθένης υπέθεσε ότι, επειδή ο Ήλιος βρίσκεται πολύ μακριά από τη Γη, οι ακτίνες που φτάνουν σε αυτή μπορούν να θεωρηθούν παράλληλες. Από την άλλη, ως καλός γεωγράφος, γνώριζε ότι ο ποταμός Συήνης, σημερινός Ασουάν, βρίσκεται σχεδόν πάνω στον Τροπικό του Καρκίνου. Αυτό σημαίνει ότι το μεσημέρι της 21^ης του Ιουνίου ο γνώμονας ενός ηλιακού ρολογιού δε ρίχνει καθόλου σκιά, κάτι που μπορεί κανείς να διαπιστώσει, αν βρεθεί στον πάτο ενός πηγαδιού με μεγάλο βάθος, ο οποίος, εκείνη ακριβώς τη στιγμή φωτίζεται(!). Επίσης, παρατήρησε ότι το μεσημέρι της 21^ης Ιουνίου ο ήλιος στην Αλεξάνδρεια βρίσκεται σε γωνιακή απόσταση 360^ο /50 από την κατακόρυφο του παρατηρητή. Ο Ερατοσθένης, ως μαθηματικός και μελετητής των Στοιχείων του Ευκλείδη, γνώριζε ότι το μήκος ενός κυκλικού τόξου είναι ανάλογο προς το μέγεθος της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας. Χρησιμοποιώντας, λοιπόν, το «Βήμα» του βηματιστή Βήτωνα (μονάδα μέτρησης μήκους της εποχής, περίπου ίση με 0,65 μέτρα),μέτρησε την απόσταση από την Αλεξάνδρεια μέχρι την πόλη Συήνη και βρήκε πως είναι ίση με 5000 στάδια.. Έτσι κατέληξε στο συμπέρασμα πως η περιφέρεια της Γης ισούται με 5.000x50=250.000 στάδια. Το μήκος του σταδίου διέφερε στις αρχαίες πόλεις και εξαρτιόταν από το μήκος του ποδός, που κυμαινόταν από 0,3083 και 0,2970 μέτρα. Το αττικό στάδιο είχε μήκος 184,98 μέτρα, το ολυμπιακό 192,27 μέτρα, το οδοιπορικό 157,50 μέτρα. Αν ο Ερατοσθένης χρησιμοποίησε το αττικό στάδιο, τότε βρήκε πως η περιφέρεια της Γης είναι περίπου 46.000 χιλ., όχι και τόσο καλή προσέγγιση. Αν όμως χρησιμοποίησε το οδοιπορικό στάδιο, τότε βρήκε πως η περιφέρεια της Γης είναι περίπου 39.000 χιλ. Ο υπολογισμός αυτός είναι εντυπωσιακά ακριβής, γιατί το μήκος της περιφέρειας της Γης είναι 40.008 χιλ.!

Η μέτρηση της γης από τον Ερατοσθένη κατά παραγγελία του Πτολεμαίου Γ΄ αποτελεί το κεντρικό θέμα του βιβλίου «Τα αστέρια της Βερενίκης» του Ντενί Γκετζ, εκδόσεις Ψυχογιός. Το βιβλίο είναι ιστορικό μυθιστόρημα και η γλαφυρή πένα του Γκετζ μας περιγράφει με κάθε λεπτομέρεια τη ζωή στην Αλεξάνδρεια, την οργάνωση και λειτουργία της Μεγάλης Βιβλιοθήκης, το θαυμαστό Φάρο της πόλης και «βήμα προς βήμα» τη μέτρηση που πραγματοποίησε ο Ερατοσθένης, πλαισιωμένη από ίντριγκες, συνωμοσίες, δολοφονίες και γενικά όλο το παρασκήνιο του παλατιού. Είναι ένα βιβλίο «γνώσης» προσιτής σε κάθε αναγνώστη και ταυτόχρονα ένα βιβλίο ψυχαγωγικό που σε μεταφέρει σε μια από τις πιο δημιουργικές περιόδους της αρχαιότητας στα κατάμεστα από παπύρους δώματα της Μεγάλης Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας…