Σάββατο, 4 Σεπτεμβρίου 2010

"Τί δέ μοι πλέον ἔσται ταῦτα μαθόντι;"

Σήμερα το πρωί συνάντησα τυχαία έναν παιδικό μου φίλο, τον Λ, με τον οποίον  είχαμε πολύ καιρό να τα πούμε. Στον ελάχιστο χρόνο της συνομιλίας μας, ένα - και μόνο ένα - ήταν το κυρίαρχο θέμα της κουβέντας  και αφορούσε στην αμφισβήτηση που εκφράζει,  ως τελειόφοιτος - μαθητής δηλαδή της Γ΄Λυκείου - ο γιος του! Στο ύφος του Λ διέκρινα εκείνη την αγωνία που διακατέχει τον καθένα από μας μπροστά στα "τι" και τα "γιατί" των παιδιών, ειδικά δε όταν οι απαντήσεις που αναζητούμε βρίσκονται σε περιοχές που δεν μπορούμε να προσεγγίσουμε. Και ο Λ έχει απόλυτο δίκαιο να νιώθει έτσι όταν ο γιος του, ο οποίος,  ως γνήσιος εκπρόσωπος της γενιάς του, αμφισβητεί τη χρησιμότητα της γνώσης, θέτοντάς του ερωτήματα, όπως: "Γιατί να μάθω εγώ τους φανταστικούς αριθμούς;  Γιατί να μαθαίνω άχρηστα πράγματα;  Εδώ τους κανονικούς αριθμούς δε χρειαζόμαστε, θα χρειαστούμε αυτούς που  μόνο στη φαντασία μας υπάρχουν...". Ο Λ, όπως και οι περισσότεροι γονείς, αδυνατεί να απαντήσει με τρόπο ικανοποιητικό, ώστε  να μεταπείσει τον γιο του για τη χρησιμότητα της γνώσης, και ο νέος, όπως οι περισσότεροι νέοι,  μένει με την εντύπωση πως κάνει χάρη στο γονιό του, στους δασκάλους του και σε όλη την κοινωνία, επειδή χάνει - όπως πιστεύει -  το χρόνο του μαθαίνοντας τη φανταστική μονάδα i, την οποίαν οι μαθηματικοί, αλλά και όλοι οι επιστήμονες, την έχουν περί πολλού, για λόγους που έχω ξαναγράψει σε διάφορες παλαιότερες αναρτήσεις. Ωστόσο, η σύντομη κουβέντα μου με τον Λ γέννησε στο μυαλό μου δυο σκέψεις ταυτόχρονα.
Η μια σκέψη μου είχε να κάνει με το βιβλίο του Απόστολου Δοξιάδη, "Άπό την παράνοια στους Αλγορίθμους", όπου στις σελίδες 180-186 υπάρχει μια στιχομυθία μεταξύ του Γ.Ε. και του συγγραφέα για τη φανταστική μονάδα, αυτήν που τόσα δεινά προκαλεί στο φίλο μου Λ, καθώς τον φέρνει αντιμέτωπο με έναν αμφισβητία νεαρό που δεν αναχαιτίζεται... Για να συμμεριστώ την αγωνία του Λ και να τον στηρίξω μερικώς,  αντιγράφω ένα μικρό μέρος από τον διάλογο για τους φανταστικούς αριθμούς, που είναι αφάνταστα διασκεδαστικός και ..."παραπλεύρως" διδακτικός:

-Απάντησέ μου εσύ, ο απόφοιτος ενός παραδοσικού ελληνικού λυκείου...Ή μάλλον όχι, ας το διερευνύσουμε μαζί. Θέλω να ψάξουμε να βρούμε τη λύση της εξίσωσης χ^2+1=0. Μήπως μπορεί να είναι το 1;
-Όχι. Το 1 στο τετράγωνο είναι πάλι ένα, και αν προστεθεί και στο 1 κάνει 2, και όχι 0.
-Ωραία. Άρα θέλουμε έναν αριθμό ο οποίος στο τετράγωνο να είναι πόσο;
-Πλην 1.
-Λαμπρά. Αν δοκιμάσουμε τώρα το χ να είναι ίσο με πλην 1.Το πλην 1 στο τετράγωνο κάνει πάλι 1, έτσι δεν είναι;
-Ακριβώς Σωκράτη.
-...Γιατί εδώ έχουμε κάποιους συγκεκριμένους κανόνες, έτσι δεν είναι; Τους μαθαίνουμε στα πρώτα μαθήματα της άλγεβρας, στο γυμνάσιο, ότι "συν επί συν ίσον συν", και "πλην επί πλην ίσον συν". Καθώς λοιπόν ένας αριθμός στο τετράγωνο σημαίνει το ίδιο πρόσημο επί το ίδιο, όποιο και αν είναι το πρόσημο ενός αριθμού, το τετράγωνο θα είναι πάντα θετικό, συν. Άρα, στην εξίσωση χ^2+1=0 τι γίνεται;
-Με αυτήν την έννοια δεν υπάρχει λύση.
-Αυτό ακριβώς λένε οι καθηγητές του γυμνασίου και του λυκείου στα παιδιά, σήμερα, μέχρι και τη δευτέρα λυκείου: "Η εξίσωση αυτή δεν έχει λύση". Σε αυτή ακριβώς την απάντηση μας οδηγούν οι κανόνες. Μάλιστα, ένας μαθητής της πρώτης λυκείου, που τον ρώτησα τελευταία ποια είναι η λύση της εξίσωσης, μου είπε επί λέξει,  ότι "δεν έχει λύση γιατί η ποσότητα κάτω από τη ρίζα δεν μπορεί να είναι αρνητική". Προφανώς,  μου διατύπωνε τον κανόνα.
-Βέβαια μετά μαθαίνουμε ότι η λύση της εξίσωσης είναι το γιοτ.
-Ποιο γιοτ; Απέκτησες σκάφος και δεν το ξέρω;
-Το γιοτ, παιδί μου, πώς το λένε; Ο φανταστικός αριθμός.
-"Φανταστικός" αριθμός είπες; Τι είναι ετούτο πάλι;
-Έλα τώρα! Η τετραγωνική ρίζα του πλην 1!
-Μα είπαμε ότι αυτή δεν υπάρχει!
-Ναι, και γι' αυτό λέμε το γιοτ φανταστικό αριθμό.
-Γιατί δηλαδή; Εξήγησέ το.
-Γιατί δεν υπάρχει.
-Δηλαδή η τετραγωνική ρίζα του πλην 1 είναι ένας αριθμός που δεν υπάρχει;
-Ναι!
-Καλά με δουλεύεις;
-...Εντάξει, εντάξει, έχε χάρη που έχω αναλάβει να κάνω τον άσχετο, γιατί θα σου 'λεγα!
-Και βέβαια είσαι άσχετος! Άκου ξανά τι είπαμε: "Ποια είναι η λύση;"_"...Το γιοτ"_"Τι είναι το γιοτ;"__"Φανταστικός αριθμός"_"Γιατί το λες φανταστικό;"_"Γιατί δεν υπάρχει!"
Σου φαίνονται φυσιολογικές οι απαντήσεις σου;
-Τι να σου πω τώρα; Ζήτα τον λόγο από τον κύριο Ξενόπουλο:
-...Τον Γρηγόριο;
-Όχι, άνθρωπέ μου, τον Περικλή, τον καθηγητή μου των μαθηματικών στο σχολείο, αυτός μου το έμαθε το γιοτ! Αλλά ο καημένος τι φταίει; Κάπου θα τον άκουσε κι αυτός, δεν το 'βγαλε από το κεφάλι του...
-Ακριβώς έτσι είναι. Αυτό το τόσο παράλογο πράγμα, περί "φανταστικών αριθμών", το διδάχτηκε ο κύριος Ξενόπουλος, και πάμπολλοι άλλοι, στο πανεπιστήμιο. Κι αυτοί που του το δίδαξαν, πάλι από κάποιους άλλους το ακούσανε, από τους δικούς τους δασκάλους, κι αυτοί απ' τους δικούς τους και πάει λέγοντας, μέχρι που φτάσαμε πίσω στο δέκατο έκτο αιώνα, όπου ένας ιταλός μαθηματικός ο Τζιρόλαμο Καρντάνο (Girolamo Cardano) μιλάει για πρώτη φορά για τους αριθμούς που αποκαλεί "σοφιστικούς"
-"Σοφιστικούς"; Ενδιαφέρουσα ονομασία!
-Για να δούμε, πώς ορίζει ο Μπαμπινιώτης τη "σοφιστεία"...
(Από το λεξικό) "Ο ηθελημένα εσφαλμένος, αλλά και λογικοφανής συλλογισμός, που οδηγεί σε παραπλανητικά συμπεράσματα". Κατά συνέπεια, καλύτερη ονομασία δεν θα μπορούσε να βρει ο Καρντάνο: ορίζει ως "σοφιστικούς αριθμούς" κάποιες ποσότητες για τις οποίες λέει, εν γνώσει της αναλήθειας της υπόθεσης, ότι τετραγωνιζόμενες δίνουν το πλην 1. Βέβαια, αυτός τις εισάγει στο φημισμένο του εγχειρίδιο της άλγεβρας ως τέχνασμα, κατά κάποιον τρόπο, για να καταλήξει χρησιμοποιώντας τες σε λύσεις εξισώσεων με αριθμούς πραγματικούς _ που υπάρχουν....

Και ο διάλογος συνεχίζεται εξηγώντας πως η παραδοχή της ύπαρξης του ανύπαρκτου i = √-1, που βεβαίως αρχικά  αποτελεί παράβαση του κανόνα, (πως δηλαδή η ποσότητα κάτω από την ρίζα δεν μπορεί να είναι αρνητική), καθώς υιοθετείται ολοένα και από περισσότερους επιστήμονες της εποχής, εν τέλει  νομιμοποιήθηκε και στην πορεία του χρόνου αποδείχτηκε ένα από τα χρησιμότερα εργαλεία των μαθηματικών και της σύγχρονης τεχνολογίας, της τεχνολογίας  που διαμορφώνει την καθημερινότητά μας και τον πολιτισμό μας εν γένει..
Και συνεχίζοντας τον διάλογο μεταξύ των δύο φίλων ο Απόστολος Δοξιάδης, αφού αναφέρει πολλούς από τους μαθηματικούς που εμπλέκονται στην θεμελιώση και αναπτύξη των φανταστικών και μιγαδικών αριθμών, προχωράει στην ιστορία του πέμπτου αιτήματος του Ευκλείδη, σύμφωνα με το οποίο: "εκ σημείου εκτός ευθείας άγεται μία και μόνον μια παράλληλος προς την ευθεία", και το οποίο αποτελεί μια άλλη μεγάλη περιπέτεια στην αναζήτηση των θεμελίων των μαθηματικών και στο χτίσιμο του μαθηματικού οικοδομήματος, που, στην ουσία, αποτελεί το θεμέλιο όλης της τεχνολογίας και της τεχνογνωσίας που διαθέτουμε σήμερα.
Και καθώς ανέφερα τον Ευκλείδη, θυμήθηκα τη δεύτερη σκέψη που έκανα ακούγοντας τον φίλο μου, τον Λ, να μου περιγράφει τις αδιέξοδες κουβέντες του με τον γιο του, καθώς το παιδί αμφισβητεί τη χρησιμότητα της γνώσης που αποκτά στο σχολείο, ακριβώς όπως έκανε κάποτε και ο μαθητής του Ευκλείδη, καθώς μαρτυρά το παρακάτω κείμενο:


Έτσι, λοιπόν, φίλε Λ, έχεις θαρρώ δυο επιλογές. Ή για κάθε θεώρημα που θα μαθαίνει ο γιος σου θα του δίνεις "τριώβολον", όπως έκανε ο Ευκλείδης με τὸν παῖδα  ή θα διαβάσεις το βιβλίο του Απόστολου Δοξιάδη, "Από την παράνοια στους αλγορίθμους, η 17η νύχτα και άλλες διαδρομές", για να αντλήσεις  επιχειρήματα και να μπορείς να εξηγήσεις στο νεαρό πως η ανθρωπότητα, ο πολιτισμός, η ιστορία, οι ιδέες, δεν ξεκινούν με τη δική του γενιά και - ελπίζω κι εύχομαι - ούτε με τη δική του θα τελειώσουν!

Είναι αναμφιβόλως δύσκολο να διδάξουμε την χρησιμότητα της γνώσης, αλλά πιστεύω, πως είναι ένα από τα θέματα που πρέπει να διδάξει κανείς στα παιδιά του,  πριν ακόμη και από την ίδια τη γνώση..
Κι αυτό ας μην το περιμένουμε μονάχα από τους δασκάλους...

Καλή σχολική χρονιά σε όλους τους γονείς που αντιμετωπίζουν τα ίδια προβλήματα με τον Λ..:)

12 σχόλια:

  1. Οι απαντήσεις υπάρχουν , γιατι υπάρχουν οι ερωτήσεις...
    Σ ευχαριστώ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Αντώνης Κυριακόπουλος4 Σεπτεμβρίου 2010 - 10:06 μ.μ.

    Αν οι μιγαδικοί αριθμοί εισαχθούν αυστηρά στην άλγεβρα ( και αυτό μπορεί να γίνει στο λύκειο) , δεν χρειάζεται να φανταστούμε τίποτα και οι μαθητές δεν είχαν τέτοιες απορίες.
    Αντώνης Κυριακόπουλος

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Αντώνης Κυριακόπουλος4 Σεπτεμβρίου 2010 - 10:11 μ.μ.

    Αν οι μιγαδικοί αριθμοί εισαχθούν αυστηρά στην άλγεβρα ( και αυτό μπορεί να γίνει στο λύκειο) , δεν χρειάζεται να φανταστούμε τίποτα και οι μαθητές δεν θα είχαν τέτοιες απορίες.
    Αντώνης Κυριακόπουλος
    ( στο προηγούμενο μήνυμα μου ξέχασα ένα «θα»)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Κύριε Κυριακόπουλε

    δε διαφωνώ μαζί σας και μακάρι να διδάσκονταν πλήρως οι μαγαδικοί στο Λύκειο.
    Θα μου επιτρέψετε όμως να επιμένω στη βασική μου θέση: δεν αρκεί η καθαρά φορμαλιστική προσέγγιση των Μαθηματικών, αν θέλουμε την πλειοψηφία των μαθητών κοντά μας κι όχι απέναντί μας με αντιδράσεις ανάλογες με αυτές του γιού του φίλου μου Λ.

    Σας ευχαριστώ ιδιαίτερα για την τιμή που μου κάνετε με το σχόλιο σας.
    Να είσαστε καλά.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. ΑΣΤΕΡΙΟΣ ΔΑΜΟΥΛΑΣ5 Σεπτεμβρίου 2010 - 9:54 π.μ.

    Καλημέρα Κατερίνα
    Χαίρομαι που αναφέρεσαι στους μιγαδικούς αριθμούς.Πάντα με γοήτευε η τετραγωνική ρίζα του μείον ένα.Πάντα και κατά τη διάρκεια των σπουδών μου "γαργαλούσαν" τη φαντασία μου!Πώς είναι δυνατό να υπάρχει τετραγωνική ρίζα αρνητικό αριθμού,με απασχολούσε αυτό από την Τρίτη γυμνασίου όταν προτοσυνάντησα τις β'βάθμιες εξισώσεις.Εξάλου η πιστεύω ακράδαντα ότι οδηγός της μάθησης πρέπει να είναι η περιέργεια!Ο Αινστάιν έλεγε πάντα ότι "απλώς είμουνα εξαιρετικά περίεργος"-και φυσικά η μοναδικά προτομή που είχε πάνω στο γραφείο του ήταν αυτή του......Ευκλείδη!Ισως επειδή κατάλαβε ότι το μοναδικό κέρδος από τα Μαθηματικά γι'αυτόν είναι ο κορεσμός της περιέργειας του!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Όταν από τους μιγαδικούς έχει μείνει στην ύλη μας απλώς η καρτεσιανή μορφή και το μέτρο και έχουν εξοστρακιστεί η ερμηνεία και οι εφαρμογές των μιγαδικών και η σύνδεσή τους με τους υπόλοιπους τομείς των μαθηματικών που ήδη γνωρίζουν οι μαθητές από μικρότερες τάξεις, τι να περιμένει κανείς πια; Οι μαθητές φταίνε; Η περικοπή της ύλης για να δείχνουμε στους άσχετους δημοσιογράφους, πολιτικούς αντιπάλους και χαχόλους πολίτες ότι σκεφτόμαστε τα παιδιά και τον κόπο τους, θα έπρεπε τουλάχιστον να συνοδεύεται και από ενδιαφέρον για το τι μαθαίνουν τα παιδιά, ποια λογική συνέχεια έχει και ποια ποιότητα. Και επαναλαμβάνω: οι μαθητές φταίνε;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Καλή σου μέρα Αστέριε.
    Κι εγώ πιστεύω πως η φυσική περιέργεια παίζει τον καθοριστικότερο ρόλο τόσο στα πρώτα στάδια της μάθησης, όσο και στη συνέχεια όπου όμως έχει κι ακόμη κι αυτή η ίδια η περιέργεια υποστεί τις αλλαγές που επιφέρει η ίδια η μάθηση..

    Καλή βδομάδα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Γεια σου Χριστίνα!

    Η διασύνδεση της ύλης νομίζω θα έπρεπε να γίνεται και οριζόντια και κάθετα, κάτι που στο σχολείο δε συμβαίνει και μπαίνει ο καθένας από μας και διδάσκει τα μαθήματα της ειδικότητάς του ανεξάρτητα από τον άλλον κι αυτά "τσεκουρωμένα", όπως τα ορίζει το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών. Και δε μιλώ μόνο για τις "συναφείς" ειδικότητες, ας πούμε μαθηματικά και θετικές επιστήμες, μιλώ γενικότερα.
    Τέλος πάντων.
    Οι μαθητές σαφώς και δεν έχουν την ευθύνη για τα κακώς κείμενα στην παιδεία..
    Τη μόνη ευθύνη που εγώ καταλογίζω σε μια μεγάλη μερίδα ευφυών μαθητών είναι να αποδέχονται αλόγιστα την πλήρη απαλλαγή ευθυνών που συχνά τους προσφέρουν απλόχερα και με ιδιοτέλεια οι μεγάλοι,(για ποικίλους λόγους, κάποιους από τους οποίους αναφέρεις) και με αυτήν την αποποίηση ευθυνών ως άλλοθι να μειώνουν ή να εξανεμίζουν την προσωπική τους εξέλιξη, συχνά δε ρίχνοντας την ευθύνη στον "κακό καθηγητή" κλπκλπ!
    Φαύλος κύκλος!!
    Τα παιδιά έχουν μια φοβερή ικανότητα να αξιοποιούν τα άλλοθι, γι' αυτό νομίζω, αν πραγματικά νοιαζόμαστε, μάλλον δε θα πρέπει να προσφέρουμε αφειδώς άλλοθι της μορφής:
    καμιά ευθύνη δεν έχεις εσύ, παιδί μου, για τα κακώς κείμενα της κοινωνίας που ζεις...
    Ο καθένας, για μένα, έχει το αναλογούν μέρος της ευθύνης.


    Μεγάλο θέμα και δύσκολο!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. Πάντως εκείνο το θεματάκι με τον οβολό, να το ξανασκεφτόμασταν; Δε μου φαίνεται καθόλου άσκημη ιδέα! (χε χε) Ίσως να συμφωνούσαν και μερικοί μαθητές με αυτό. Διάβαζε παιδί μου κι όταν μεγαλώσεις θα δεις το χρήμα, δεν είναι πολύ βολικό! Άσε που αργεί... Συμφωνώ για το άλλοθι κλπ. Είναι πιστεύω θέμα γονιών και σπιτιού... Αλλά αν και ο γονιός είναι μόνος στο έλεος του παραλόγου που ζούμε όσοι πραγματικά ενδιαφερόμαστε ...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Ας μην ξεχνάμε και την πολύ σοφή παροιμία: "έξω από το χορό πολλά τραγούδια λέμε" - καθώς και την άλλη που επίσης ταιριάζει: "τα εν οίκω μη εν δήμω". Συμβαίνει και στις καλύτερες οικογένειες...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. τὸ τοῦ Εὐκλείδου βεβαίως,
    ἀνθολογεῖ ὁ Στοβαῖος :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. Σε ευχαριστώ πολύ, Μιχάλη, για την άμεση και ορθή πληροφόρηση,κυρίως δε για τη χρήση της ελληνικής! :))
    Καλή σου μέρα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή