Παρασκευή, 1 Οκτωβρίου 2010

ΔΙΑΛΕΞΗ 7: Το πρότυπο της αξιωματικής μεθόδου

"   Οι Έλληνες πέτυχαν πάρα πολλά πράγματα στα μαθηματικά τα τριακόσια χρόνια που ακολούθησαν το Θαλή στο 600 π.Χ. Όχι μόνο οι πυθαγόρειοι και άλλοι κατάφεραν να αναπτύξουν ένα σημαντικό μέρος της στοιχειώδους γεωμετρίας και της θεωρίας των αριθμών, αλλά δημιούργησαν επίσης έννοιες σχετικές με τα απειροστά και διαδικασίες πρόσθεσης, που αργότερα, τον 17ο αιώνα, ανθοφόρησαν στην ανάλυση. "

Είναι η εισαγωγή της 7ης διάλεξης του Howard Eves, στο δίτομο έργο του ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, με τίτλο Τα πρώτα βήματα στην οργάνωση των μαθηματικών και θέμα- τι άλλο; - τη διαδικασία του παραγωγικού συλλογισμού, που, κατά τον Eves - και όχι μόνο - ήταν η μεγαλύτερη ίσως επιτυχία των ελληνικών μαθηματικών στα τριακόσια πρώτα χρόνια της ζωής τους.

"Οι Έλληνες θεωρούσαν τη λογική πραγμάτευση ενός θέματος σαν μια ακολουθία προτάσεων που προκύπτουν με παραγωγικό συλλογισμό από ένα αποδεκτό σύνολο αρχικών προτάσεων που υιοθετούσαν στην αρχή της πραγμάτευσης. Ασφαλώς στην παρουσίαση ενός συλλογισμού με παραγωγική διαδικασία, κάθε πρόταση του συλλογισμού πρέπει να παράγεται από κάποια προηγούμενη πρόταση ή προτάσεις του  συλλογισμού, και κάθε τέτοια προηγούμενη πρόταση και η ίδια να παράγεται από ακόμη προγενέστερη πρόταση ή προτάσεις...", γράφει  παρακάτω ο Eves και ακριβώς αυτό έκαναν οι Έλληνες, αλλά έως πού; Μέχρι πού, δηλαδή, θα μπορούσε να συνεχίζεται  αυτή η διαδικασία; Πόσο πίσω θα  μπορούσαμε να φτάσουμε αναζητώντας την προηγούμενη ή τις προηγούμενες μιας έννοιας; Μήπως έτσι, με αυτήν την αναδρομή, υπάρχει ο κίνδυνος ορίζοντας μια πρόταση p από μια άλλη πρόταση q, καθώς προχωρούμε προς τα πίσω, να καταλήξουμε κάποτε σε φαύλο κύκλο με αποτέλεσμα  η q να ορίζεται από την p;
Και τότε; Τι γίνεται; Η p ορίζεται από την q ή μήπως η q από την p; Καταλήγουμε στο θεμελιώδες φιλοσοφικό ερώτημα: η κότα έκανε το αυγό ή το αυγό την κότα;  Και άντε να βρούμε απάντηση...
Οι Έλληνες όμως κατάφεραν να ξεπεράσουν τέτοιου είδους κακουχίες και ατέρμονες ταυτολογίες, εφαρμόζοντας κάποιες βασικές αρχές και ακολουθώντας ένα συγκεκριμένο πρότυπο, το λεγόμενο πρότυπο της Αξιωματικής Μεθόδου, σύμφωνα με  το οποίο  μια λογική πραγμάτευση  ακολουθεί τα εξής βήματα, όπως γράφει ο H. Eves:

(Α) Δίνονται αρχικές ερμηνείες ορισμένων βασικών τεχνικών όρων με σκοπό να εξηγηθεί ποιο θα είναι το νόημα αυτών των βασικών όρων.
(Β) Καταγράφονται ορισμένες αρχικές προτάσεις σχετικά με τους βασικούς όρους, προτάσεις που θεωρούνται αληθείς, σύμφωνα με τις ιδιότητες που περιέχονται στις αρχικές ερμηνείες. Αυτές οι προτάσεις ονομάζονται αξιώματα ή αιτήματα.
(Γ) Ορίζονται όλοι οι άλλοι όροι της πραγμάτευσης με τη βοήθεια των όρων που δόθηκαν προηγουμένως. (σύνθετοι όροι)
(Δ) Όλες οι άλλες προτάσεις της πραγμάτευσης  παράγονται λογικά από τις προτάσεις που προηγουμένως έγιναν αποδεκτές ή αποδείχτηκαν. Αυτές οι προτάσεις ονομάζονται θεωρήματα. (σύνθετες προτάσεις)

Η Αξιωματική Μέθοδος βρήκε την έκφρασή της στο μεγάλο έργο του Ευκλείδη του Αλεξανδρέως ,
στα γνωστά μας Στοιχεία, μέρος των οποίων διδάσκονται οι μαθητές στην Α΄και Β΄Λυκείου και έχουν έτσι την ευκαιρία να βιώσουν τη χαρά της παραγωγικής διαδικασίας!!
Ο H. Eves στη διάλεξή του αυτή δεν κάνει καμια απολύτως αναφορά στον Ευκλείδη, στον οποίον είναι αφιερωμένη ολόκληρη η επόμενη διάλεξη με τίτλο: Η ΒΙΒΛΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, που δεν είναι φυσικά άλλη από τα Στοιχεία! Στην Διάλεξη 7 όμως αρκείται σε ένα όμορφο παράδειγμα αξιωματικής παραγωγικής μεθόδου, το οποίο παραθέτω, όπως είναι στη σελίδα 80:

Για να πάρουμε μια ιδέα του προτύπου της αξιωματικής αυτής μεθόδου ας δούμε ένα παράδειγμα. Το παράδειγμα μας ίσως φανεί απλό και κάπως τεχνητό, πρέπει να δεχτούμε όμως ότι μπορεί να ενδιάφερει κάποιον και τελικά εξυπηρετεί το σκοπό μας.
Οι βασικοί ή αρχικοί όροι της μελέτης μας είναι ένα ορισμένο (πεπερασμένο και μη κενό) σύνολο Σ ανθρώπων και ένας αριθμός συλλόγων που σχηματίζονται από τους ανθρώπους αυτούς. Ακολουθώντας την ελληνική σύλληψη της αξιωματικής μεθόδου, αρχίζουμε επεξηγώντας στον αναγνώστη ποιο ακριβώς θα είναι το νόημα αυτών των αρχικών όρων. Με τον όρο άνθρωπος θα εννοούμε κάθε άνδρα, γυναίκα ή παιδί του συνόλου Σ και με τον όρο σύλλογος θα εννοούμε ένα (μη κενό) υποσύνολο αυτών των ανθρώπων που σχηματίζεται για κάποιο σκοπό που έχει σχέση με την ιδιότητά τους ως πολιτών ή άλλη. Για τους ανθρώπους αυτούς και τους συλλόγους τους υποθέτουμε τα παρακάτω:

Α1. Κάθε άνθρωπος του Σ είναι μέλος ενός τουλάχιστον συλλόγου.

Α2. Για κάθε ζεύγος ανθρώπων του Σ υπάρχει ένας και μόνο ένας σύλλογος στον οποίον ανήκουν και οι δύο.

Ορισμός: Δύο σύλλογοι που δεν έχουν κοινά μέλη λέγονται συζυγείς σύλλογοι.

Α3. Κάθε σύλλογος έχει έναν και μόνο έναν συζυγή σύλλογο.

Διακόπτω για να  τονίσω το γεγονός πως μεταξύ των αξιωμάτων Α2 και Α3 παρεμβάλλεται ο ορισμός των "συζυγών συλλόγων", μιας σύνθετης έννοιας που ορίζεται βάσει των αρχικών όρων και, με την ευκαιρία αυτή, να υπενθυμίσω ότι δεν χρησιμοποιούμε - στα μαθηματικά - καμιά έννοια αν προηγουμένως δεν την ορίσουμε. Και συνεχίζει παρακάτω ο H. Eves

Είναι τώρα δυνατόν με καθαρή παραγωγή να παράγουμε ένα πλήθος προτάσεων που να προκύπτουν από το παραπάνω σύνολο αξιωμάτων. Θα περιοριστούμε σε τέσσερις μόνο προτάσεις.

Θ1. Κάθε άνθρωπος του Σ είναι μέλος τουλάχιστον δύο συλλόγων.

Απόδειξη:
Έστω α ένα μέλος του Σ. Σύμφωνα με το Α1 υπάρχει ένας σύλλογος Α στον οποίον ανήκει το μέλος α. Σύμφωνα με το Α3 υπάρχει ένας σύλλογος Β που είναι συζυγής του Α. Επειδή ο Β δεν είναι κενός υπάρχει τουλάχιστον ένα μέλος β που ανήκει στον Β, αλλά όχι στον Α. Τότε σύμφωνα με το Α2 θα υπάρχει ένας σύλλογος στον οποίον θα ανήκει και ο α και ο β, αλλά ο σύλλογος αυτός δεν μπορεί να είναι ούτε ο Α ούτε ο Β, άρα είναι ένας τρίτος σύλλογος Γ, που σημαίνει ότι ο α είναι μέλος τουλάχιστον  δύο συλλόγων.

Θ2. Κάθε σύλλογος έχει τουλάχιστον δύο μέλη.[...] (η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη :) )
Θ3. Το Σ περιέχει τουλάχιστον τέσσερις ανθρώπους.[...]  (ομοίως)
Θ4. Υπάρχουν τουλάχιστον έξι σύλλογοι.[..] (και ξανά ομοίως)

Όποιος μαθητής θέλει ας προσπαθήσει να αποδείξει το παρακάτω πολύ πιο δύσκολο θεώρημα:

Θ5. Κανένας σύλλογος δεν έχει παραπάνω από δύο μέλη.

μας λέει ο H. Eves και κλείνει τη διάλεξή του μιλώντας για τις δύο θεωρίες που υπάρχουν γύρω από τη γέννηση της αξιωματικής μεθόδου. Στο τέλος, όπως και σε κάθε άλλη διάλεξη, έχει προτεινόμενες ασκήσεις, όπου χρησιμοποιώντας τους ίδιους αρχικούς όρους, δίνει τρία διαφορετικά αξιώματα βάσει των οποίων ζητά να αποδείξουμε τρία άλλα θεωρήματα! Για να είμαι ειλικρινής με την άσκηση δεν ασχολήθηκα (ακόμη), αλλά το Θ5 που λέει πως "κανένας σύλλογος δεν έχει παραπάνω από δύο μέλη", με την ιδιότητα της δια βίου μαθήτριας που έχω, το απέδειξα και πολύ το χάρηκα!
Εσείς μπορείτε να το αποδείξετε; Για προσπαθείστε.. Τα λέμε σύντομα! :)
 
Καλό ΣαββατοΚύριακο και καλό μήνα!

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου