Σάββατο, 4 Δεκεμβρίου 2010

ΤΑ ΥΠΑΡΞΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ και ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ από ΤΟΝ B. BOLZANO ως τον Κ. ΔΑΣΚΑΛΑΚΗ!

Ο Γαλιλαίος, φαντάζομαι μελετώντας την ελεύθερη πτώση των σωμάτων από τον πύργο της Πίζας :), διαπίστωσε πως όσοι είναι οι φυσικοί αριθμοί, δηλαδή οι 1, 2, 3, 4, .... (άπειρο!!), άλλα τόσα  είναι και τα τετράγωνά τους, δηλαδή οι 1, 4, 9, 16... (άπειρο!!). Και τότε... έπεσε από τα σύννεφα!
Δεν μπορούσε να το πιστέψει καθώς η παιδεία του βασισμένη στην Ευκλείδεια        Αξιωματική Μέθοδο απαιτούσε, όπως συνάδει άλλωστε με τη διαίσθηση όλων μας, ολόκληρη η πίτα να είναι μεγαλύτερη από ένα κομμάτι της... Ή όπως το είχε πει ο ίδιος ο Ευκλείδης σε ένα από τα αξιώματά του  (τις βασικές, αναπόδεικτες προτάσεις που θεμελίωναν το σύστημά του),
"και το όλον του μέρους μείζον".
Ο Γαλιλαίος δεν ήταν ο μόνος που βρέθηκε αντιμέτωπος με τέτοιου είδους παράδοξα.
 Η συνειδητοποίηση πως μια ολόκληρη πίτα "ισούται" τελικά με ένα μόνο κομμάτι της έκανε πολλούς επιστήμονες να βρεθούν σε αδιέξοδο και μάλιστα κάποιοι, όπως ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους, απαιτούσαν να μην ασχολείται κανείς άμεσα με τέτοια αντιφατικά και επικίνδυνα θέματα..

Σε αυτή τη μεγάλη  αδιέξοδη κρίση άνοιξε, μάλλον κατά λάθος,  ένα παράθυρο ο Μπέρναρντ Μπολζάνο. Μια απλή σύμβαση, με περίσσεια τόλμη και ανυπέρβλητο θάρρος από την πλευρά του, στάθηκε ικανή να δώσει ώθηση στα Μαθαματικά που έμοιαζαν να έχουν εγκλωβιστεί σε μια κατάσταση παραδοξολογίας..
Ο Μπέρναρντ Μπολζάνο είναι ένας από τους αγαπημένους μου ήρωες κι έχω γράψει ξανά σχετικά με το θέμα αυτό:
"Ο Μπέρναρντ Μπολζάνο, (Bernhard Bolzano, 1781-1848), στο έργο του Paradoxes of the Infinite, που δημοσιεύτηκε το 1851, τρία χρόνια δηλαδή μετά τον θάνατό του, ήταν ο πρώτος που έκανε θετικά βήματα προς την παραδοχή του απείρου. Ο Μπολζάνο είπε πως το γεγονός ότι ένα άπειρο σύνολο μπορεί να τεθεί σε "ένα προς ένα" αντιστοιχία με ένα γνήσιο υποσύνολό του πρέπει απλά να γίνει αποδεκτό ως γεγονός. "  ( όλο το κείμενο μπορείτε να δείτε εδώ)

Και αφού ο Μπολζάνο για χ λόγους είναι ο αγαπημένος μου ήρωας από την ιστορία των Μαθηματικών, φυσικώ τω λόγω, να είναι και το θεώρημα που φέρει το όνομά του και διδάσκεται στην τεχνολογική και θετική κατεύθυνση της Γ' Λυκείου, το αγαπημένο μου θεώρημα!
Φωτογραφία από την ομιλία του Κ. Δασκαλάκη
Και αυτό αποτέλεσε έναν επιπλέον λόγο που με έκανε να νιώσω μιαν αίσθηση αφόρητης χαράς,  [αφόρητης μέχρι δακρύων...:( ] , όταν ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης   ο κεντρικός ομιλητής στην έναρξη του ετήσιου, τριήμερου Συνεδρίου, της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, την Παρασκευή 19 Νοεμβρίου, στη Χαλκίδα ξεκινώντας την "αφήγησή" του, για το πως τελικά κατέληξε να λύσει τον γρίφο του Νας, ούτε λίγο ούτε πολύ ξεκίνησε από τον αγαπημένο μου Μπολζάνο!!
Ας το πιάσουμε από την αρχή ή περίπου...
Ο Μπολζάνο, διατύπωσε ένα θεώρημα σύμφωνα με το οποίο "κάθε  συνάρτηση  f που είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], με f(α)f(β)<0, έχει ένα τουλάχιστον σημείο μηδενισμού μέσα στο [α, β]".
Ίσως για τον μη ειδικό να μη βγαίνει νόημα, αλλά δεν θέλω να υπεισέλθω σε τεχνικές λεπτομέρειες. Και από την άλλη οι μαθητές της Γ' Λυκείου είμαι σίγουρη πως αναγνωρίζουν στη διαφάνεια που δείχνει ο Κ. Δασκαλάκης στην παραπάνω φωτογραφία, την άσκηση νούμερο.........,
 στη σελίδα νούμερο........... του σχολικού τους βιβλίου.
[Η συμπλήρωση των δύο παραπάνω κενών αφήνεται στους μαθητές μου, της Γ' Λυκείου, ως επανάληψη...:)]


(η διαφάνεια είναι από την ομιλία του Κ. Δασκαλάκη)

 Το γαρ πολύ των Μαθηματικών, μπορεί  να εξόντωσε κάποιους, προτείνω εδώ να κάνουμε ένα μικρό διάλειμμα  για παιχνίδι  και προτείνω να παίξουμε το "πέτρα-ψαλίδι-χαρτί".
 Για όσους δεν το ξέρουν, να πω ότι είναι μια  παραλλαγή του "μονά-ζυγά", παίζεται δηλαδή κι αυτό  από δύο παίχτες, απλά ο καθένας έχει τρεις επιλογές και όχι δύο  όπως στο "μονά-ζυγά".
Άρα μιλάμε για  ένα παιχνίδι με δύο παίχτες, που είναι "μηδενικού αθροίσματος", όπως λένε οι μαθηματικοί, επειδή σε κάθε εκδοχή του, σε κάθε δυνατό αποτέλεσμα,  το άθροισμα των πόντων είναι μηδέν, όπως φαίνεται στον πίνακα διπλής εισόδου της φωτογραφίας.


Ο von Neumann το 1928 απέδειξε πως πάντα υπάρχει ένα σημείο ισορροπίας σε τέτοιου είδους παιχνίδια κι αυτό μπορεί να μην κάνει ιδιαίτερη αίσθηση αν δεν αντιληφθούμε ότι το "σημείο ισορροπίας" αναφέρεται σε συμφέροντα και σημαίνει πως το συμφέρον των δύο παικτών απαιτεί καμια.. απολύτως αλλαγή στρατηγικής..
Η διαφάνεια είναι από την ομιλία του Κ. Δασκαλάκη
Αλλά θα έχετε φαντάζομαι καταλάβει όλοι σας πόσο ανικανοποίητα πλάσματα είναι οι μαθηματικοί και πόσο αρέσκονται στο να καταλύουν ...  τις ισορροπίες! Εντάξει, δεν θα το έλεγα έτσι ακριβώς, αλλά σίγουρα αρέσκονται στο να μεταβάλλουν τα αρχικά δεδομένα διευρύνοντας το πεδίο του προβλήματος που εξετάζουν...
Αυτό ακριβώς έκανε ο John Nash, όταν το 1951, αφού άλλαξε τις βολικές αρχικές συνθήκες του παιχνιδιού μηδενικού αθροίσματος, απέδειξε ότι ΥΠΑΡΧΕΙ πάντα σημείο ισορροπίας ανεξάρτητα από τις λεπτομέρειες του παιχνιδιού.
Αντιλαμβάνεται κανείς τι σημαίνει αυτό;  Δεν μιλάμε βέβαια για το παιχνίδι "πέτρα-ψαλίδι-χαρτί", αλλά για κάτι πολύ πολύ σημαντικό! Αρκεί να σκεφτούμε ότι η "Θεωρία Υπολογισμού" που ασχολείται με αυτά τα παιχνίδια, και  είναι κλάδος της Μαθηματικής Λογικής, που είναι κλάδος των Μαθηματικών,  βρίσκει εφαρμογή στη Φυσική, στη Βιολογία, στις Κοινωνικές Επιστήμες και στα Οικονομικά!!! Μάλιστα. Αυτό σημαίνει πως από το 1951 είναι γνωστό ότι υπάρχει ένα σημείο ισορροπίας στα Οικονομικά, τέτοιο ώστε κανένας παίχτης, όταν το παιχνίδι φτάνει στο σημείο αυτό, δεν έχει συμφέρον να αλλάξει τη στρατηγική του.
Πού βρίσκεται αυτό το σημείο σημείο ισορροπίας όμως;
Αν είχε βρεθεί, και είχε εφαρμοστεί από τους οικονομολόγους στην πράξη,  η οικονομία θα ήταν τέτοια που δεν θα ήθελαν οι περισσότερες  ευρωπαϊκές χώρες να αλλάξει άρδην η οικονομική τους  πολιτική. 
 
Ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης, λύνοντας τον γρίφο του Nash στα 28 του, βραβεύθηκε από τον διεθνή οργανισμό ΑCΜ (Αssociation for Computing Μachinery), την Ένωση δηλαδή όλων όσων ασχολούνται με την πληροφορική, η οποία δίνει ένα βραβείο για την καλύτερη διδακτορική διατριβή κάθε χρόνο.
(διαβάστε εδώ το σχετικό άρθρο στα ΝΕΑ)
Αυτό που απέδειξε όμως είναι πως δεν υπάρχει τρόπος να προσδιοριστεί  το σημείο ισορροπίας,  παρόλο που γνωρίζουμε, σύμφωνα με το θεώρημα του Nash, ότι  το σημείο αυτό υπάρχει!
Για μιαν ακόμη φορά οι μαθηματικοί βρίσκονται αντιμέτωποι με τα "υπαρξιακά προβλήματα"
(έτσι αποκαλώ, χαριτολογώντας, στο μάθημα τα θεωρήματα ύπαρξης που εξασφαλίζουν μεν την ύπαρξη ενός ιδιαίτερου σημείου, αλλά δεν δίνουν τη δυνατότητα του άμεσου υπολογισμού του, σε αντίθεση με τα κατασκευαστικά...).
Ωστόσο ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης, προκάλεσε ένα ρεύμα αισιοδοξίας.. Το ένιωσα έντονα στο κατάμεστο αμφιθέατρο στο Συνεδριακό Κέντρο της Νομαρχίας στη Χαλκίδα, και το επιβεβαίωσα στη συνέχεια από  πολλούς όπως και από την ανάρτηση του συναδέλφου Στράτου Κουζελέα που διάβασα εδώ

Και η αισιοδοξία που μας  ενέπνευσε ο νεαρός, λαμπρός, επιστήμονας έγκειται στη δήλωση που έκανε στο τέλος της ομιλίας του, σύμφωνα με την οποία η απόδειξη του πως είναι αδύνατος υπολογιστικά ο προσδιορισμός του σημείου ισορροπίας δεν σημαίνει πως  ο προσδιορισμός  θα είναι για πάντα αδύνατος!  Σημαίνει πως τα υπολογιστικά μαθηματικά εργαλεία που διαθέτουμε σήμερα δεν επαρκούν για την επίλυση του προβλήματος!!
Ακριβώς! Ένα σενάριο που η ανθρωπότητα ζει ξανά και ξανά.
Θυμηθείτε το Δήλιο Πρόβλημα, και τον χρησμό για  διπλασιασμό του κυβικού βωμού του Απόλλωνα! Δεν επαρκούσαν οι τότε  γνώσεις για να λυθεί το πρόβλημα..Μα ο χρησμός έλεγε ακριβώς αυτό: Ψάξτε να βρείτε νέες αλήθειες, νέα επιστημονικά εργαλεία, αποτελεσματικότερα υπολογιστικά μαθηματικά, για να μπορέσετε να διπλασιάσετε τον κύβο. Μην μένετε κολλημένοι στον κανόνα και τον διαβήτη... Το ίδιο και σήμερα.. Ανακαλύψτε νέες μαθηματικές μεθόδους, για να  υπολογίσετε το πολυπόθητο σημείο ισορροπίας!

Ελπίζω πως εκεί  κάποτε θα μπορέσουμε να φτάσουμε, στο σημείο δηλαδή εκείνο όπου θα επέλθει η ισορροπία και τα "συμφέροντα" δεν θα κατηγοριοποιούν τους εμπλεκόμενους σε αυτούς που βάλλονται και σ' αυτούς που ωφελούνται..
Νομίζω πως αφενός χρειάζεται επίγνωση της κατάστασης και αφετέρου τόλμη σαν κι αυτήν που έδειξε ο αγαπημένος μου ήρωας, ο Μπέρναρντ Μπολζάνο, τότε που άνοιξε τον δρόμο προς το άπειρο κάνοντας μια απλή σύμβαση: Ας το παραδεχτούμε!
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Θέλω, με καθυστέρηση, να συγχαρώ τον ΔΣ του Παραρτήματος ΕΜΕ της Εύβοιας,
 για την άριστη διοργάνωση του συνεδρίου και για την ευκαιρία που μας έδωσε
να παρακολουθήσουμε από κοντά  τον Κωνσταντίνο  Δασκαλάκη.
Ιδιαίτερα δε ευχαριστώ τον αντιπρόεδρο, Μ. Στεργίου για την ευγενή του φιλοξενία.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Από την καταπληκτική ομιλία του Κ. Δασκαλάκη επέλεξα τα αποσπάσματα που είναι συναφή με το θ.  Bolzano, για την ύπαρξη σταθερού σημείου.  Για οποιαδήποτε παρανόηση των λεγομένων του ή  λάθος στη μεταφορά μου, έχω την αποκλειστική ευθύνη.

13 σχόλια:

  1. ...στη διαφάνεια που δείχνει ο Κ. Δασκαλάκης στην παραπάνω φωτογραφία, την άσκηση νούμερο 8 της Β'Ομάδας,στη σελίδα νούμερο 200 του σχολικού βιβλίου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. :)
    Είναι από τις αγαπημένες μου, λόγω της γεωμετρικής της παρουσίασης και λόγω του γνωστού (σχετικού) προβλήματος που λέει:

    Αν ένας [ ας τον πούμε...:)] Χ, ξεκινήσει από το σημείο Α στις 8.00 το πρωί και βαδίζοντας καταλήξει στις 16.00 να βρίσκεται στο σημείο Β
    [ας πούμε στην κορυφή ενός βουνού], από όπου την επομένη μέρα θα ξεκινήσει στις 8.00 και βαδίζοντας, με μεγαλύτερη άνεση λόγω κατηφόρας... φτάσει στις 16.00 στο Α,
    τότε θα υπάρχει (τουλάχιστον) ένα σημείο της διαδρομής στο οποίο ο Χ, θα έχει βρεθεί ακριβώς την ίδια χρονική στιγμή κατά την ανάβαση και την κατάβασή του...

    Τέλειο είναι ειδικά όταν ο Χ παίρνει διάφορες μορφές, όπως και η διαδρομή που διανύει παίρνει διάφορες εκδοχές... :)
    Η κρυφή γοητεία των Μαθηματικών!

    Να είσαι καλά Πέτρο.
    Καλό σου βράδυ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. ΑΣΤΕΡΙΟΣ ΔΑΜΟΥΛΑΣ5 Δεκεμβρίου 2010 - 4:39 π.μ.

    Πολύ ενδιαφέρον το θέμα της διάλεξης Δασκαλάκη και ακόμα πιο ενδιαφέρον το γεγονός ότι το θεώρημα Bolzano διδάσκεται ακόμη στην ύλη της Γ λυκείου και δεν έχει καταργηθεί όπως άλλα μη "ενδιαφέροντα" θέματα.(Βλ πχ Αλγεβρα Πινάκων...τι να πώ!)
    Καλημέρα

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Καλημέρα Αστέριε!

    Απίστευτα ενδιαφέρον το θέμα της εισήγησης, αλλά αυτό που δεν μεταφέρεται είναι η καταπληκτική "σκηνική παρουσία" του εισηγητή.

    Συμφωνώ μαζί σου για τη λαθεμένη περικοπή
    της ύλης. Εδώ και χρόνια δεν διδάσκονται οι πίνακες, οι μετασχηματισμοί και όλα τα συναφή..
    Φέτος έχουν επί πλέον περιορίσει και τα συστήματα στην Α΄Λυκείου... Όλο και χειρότερα..

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Μου άρεσε πολύ αυτό το άρθρο σου Κατερίνα. Πάντα τέτοια! Πώς σου φάνηκαν τα Καλλιστεία του Ντίνου Κορδώση;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Γεια σου Χριστίνα και συγγνώμη που άργησα να απαντήσω...

    Δεν πρόλαβα να δω την παράσταση του Ντίνου, έχω δει όμως σε Μαθηματικό Πανηγύρι δουλειά του, παλιότερα κι έχω στη βιβλιοθήκη μου δυο τρία θεατρικά του.
    Γνωριζόμαστε από τις πρώτες Ιστορίες Αγνώστων, το 2006, στην Πάρο.

    φιλιά πολλά και καλή δύναμη

    (σκέφτομαι σοβαρά να διοργανώσω το ΜΠ.
    Πώς πάει η δική σου δουλειά?)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Κατερίνα καταπληκτικό άρθρο, τώρα το είδα! Όσο για την άσκηση που λες:
    "Αν ένας [ ας τον πούμε...:)] Χ, ξεκινήσει από το σημείο Α στις 8.00 το πρωί και βαδίζοντας καταλήξει στις 16.00 να βρίσκεται στο σημείο Β
    [ας πούμε στην κορυφή ενός βουνού], από όπου την επομένη μέρα θα ξεκινήσει στις 8.00 και βαδίζοντας, με μεγαλύτερη άνεση λόγω κατηφόρας... φτάσει στις 16.00 στο Α,
    τότε θα υπάρχει (τουλάχιστον) ένα σημείο της διαδρομής στο οποίο ο Χ, θα έχει βρεθεί ακριβώς την ίδια χρονική στιγμή κατά την ανάβαση και την κατάβασή του... "

    Λύνεται και πολύ απλά χωρίς να ξέρει καθόλου μαθηματικά, όπως και να μην ξεκίνησαν την ίδια ώρα οι δύο συνοδοιπόροι!! Την αφήνω ως άσκηση!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. γεια σου Μάκη!

    Πώς είναι να μην ξέρει κάποιος καθόλου μαθηματικά?! Το έχω ξεχάσει...:)
    Ακόμα κι όταν διαβάζω ένα λογοτεχνικό βιβλίο ξεχνιέμαι και "μετράω" τα ρήματα ή τα "και" ή ορίζω σύνολα και υποσύνολα για τις πιο απίθανες συλλογές αντικειμένων..:)

    Θα προσπαθήσω πάντως να τη σκεφτώ την άσκηση, χωρίς μαθηματικά...(αν τα καταφέρω)

    καλές γιορτές

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. ...Ως "γεωμετρια",το σημειο θα υπαρχει..,
    ως μαθηματικο συνολο χρονικης στιγμης θα διαφερει..

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. οι φυσικοί αριθμοί, δηλαδή οι 1, 2, 3 ειναι άπειροι; __Λ_Α_Θ_Ο_Σ__ ΜΟΝΟ ΕΝΑΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΥΠΑΡΧΕΙ το 1 οι υπολοιποι ειναι συντομευσεις του.. & το μηδεν "0" συμβολο της ανυπαρξιας...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. Σχετικα με το προβλημα , μου φαινεται πολυ απλο. Αντι για ενα θεωρουμε 2 ατομα εκ των οποιων ο ενας ανεβαινει το βουνο και ο αλλος το κατεβαινει(στις 8).Εφοσον και οι δυο φτανουν στον προορισμο τους πρεπει να συναντηθουν σε ενα σημειο Χ μια χρονικη στιγμη t.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. @kostas

    Καλό..

    :)αναδίπλωσες τον χρόνο και κλωνοποίησες τον Χ!!

    Καλή Χρονιά!

    ΑπάντησηΔιαγραφή