5o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ, Παράρτημα ΕΜΕ Ν. Ημαθίας

Προσφάτως έλαβα με ηλεκτρονικό μήνυμα την ενημερωτική επιστολή για τη διοργάνωση του 5ου Μαθηματικού Σχολείου, από το Παράρτημα Ν. Ημαθίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας και χάρηκα πολύ που οι αγαπητοί συνάδελφοι το προγραμματίζουν και  φέτος, παρ' όλες τις αντίξοες οικονομικό-κοινωνικές συνθήκες.
Δεδομένου ότι συμμετέχω ανελλιπώς στο Μαθηματικό Σχολείο, δίνοντας κι εγώ το εθελοντικό μου παρόν, όπως και όλοι οι άλλοι συνάδελφοι άλλωστε που έρχονται κάθε χρόνο στη Νάουσα από κάθε μεριά της Ελλάδας, μπορώ να πω ότι ενθουσιάστηκα βλέποντας πως το μεράκι κάποιων ανθρώπων δεν πτοείται, όσο κι αν βάλλεται ο κλάδος των εκπαιδευτικών, από παντού.
Ναι, είναι πολλοί οι εκπαιδευτικοί εκείνοι  που με αγάπη και αφωσίωση  παραμένουν πιστοί στο έργο τους. :)

 Προσωπικά έχω περάσει πολύ όμορφες μέρες στο πλατανόδασος του Αγίου Νικολάου, στη Νάουσα, πλαισιωμένη από μαθητές που αποζητούν τη γνώση, την επικοινωνία, τη συναναστροφή, την αναμέτρηση με τις δυσκολίες που ενέχει η κατάκτηση της γνώσης και τα εμπόδια που συναντά όποιος επιμένει να βάζει τον πήχη ψηλά και να τον ανεβάζει ολοένα ψηλότερα.
Βέβαια δεν είναι όλοι οι μαθητές ίδιοι, ούτε όλοι οι καθηγητές, μα ούτε και όλοι οι άνθρωποι..
Ευτυχώς.. Αλλιώς τα πράγματα θα ήταν εύκολα και πιθανότατα θα έχαναν το ενδιαφέρον τους. :)

2010,  "εν αρχή ην ένα ποτάμι", ο τίτλος της ομιλίας 

και έχει θέμα τις ανάγκες που ώθησαν στην επινόηση της γραφής, της αρίθμησης και στα πρώτα συστήματα αρίθμησης

τα παιδιά ξαφνίαζονται μαθαίνοντας ποιοι λόγοι ωθούν το είδος μας στην 'επινόηση'

γι' αυτό συμμετέχουν στη Λέσχη Ανάγνωσης, όπου συζητούν περισσότερα επί του θέματος με αφορμή ένα βιβλίο Μαθηματικής Λογοτεχνίας.. (εν προκειμένω το 'Αχμές, ο γιος του φεγγαριού')
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Να περάσατε εσείς καλά, αλλά εμείς που είμασταν εκεί, σίγουρα, περάσαμε καλύτερα!

Εύχομαι και φέτος επιτυχία στη διοργάνωση του Καλοκαιρινού Μαθηματικού Σχολείου.

Περισσότερες πληροφορίες διαβάστε εδώ

------------------------------------------------------------------------

Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο 2009. Με αφορμή το Logicomix μιλάμε για τα παράδοξα..

ΕΝΑ ΧΡΟΝΟ ΜΕΤΑ ...

Συμπληρώθηκε  ένας ολόκληρος χρόνος από τον θάνατο του Denis Guedj!
Στις 24  Απρίλη του 2010, ο αγαπημένος μας συγγραφέας, μαθηματικός, ερευνητής και καθηγητής Ιστορίας και Επιστημολογίας στο Πανεπιστήμιο Paris VIII, έφυγε από κοντά μας.

"Το Σάββατο στις 24 Απριλίου ο πολυγραφότατος Ντενί Γκετζ ξεκίνησε το τελευταίο του ταξίδι, αφήνοντας ένα μεγάλο κενό στο χώρο των μαθηματικών-συγγραφέων και μαζί με το κενό μια παγομάρα ανάμεσα στις χιλιάδες των αναγνωστών του, που διάβασαν την είδηση του θανάτου του..."  , διαβάσαμε στις λίγες σειρές της αναγγελίας του θανάτου του, στην kathimerini.gr

παρουσίαση του βιβλίου ΜΗΔΕΝ στη Θεσσαλονίκη

Λέγεται όμως πως ο άνθρωπος πεθαίνει δυο φορές, μια όταν κλείνει τα μάτια του για πάντα και  μια  δεύτερη  φορά, όταν παύει να ζει στη μνήμη των άλλων. Αυτή η δεύτερη φορά, ίσως, σηματοδοτεί τον πραγματικό  θάνατο, το πέρασμα στην ανυπαρξία, στο τίποτα, στο Μηδέν..

Χθες στην τελευταία μου ανάρτηση κάποιος αγανακτισμένος με τους μαθηματικούς- και δεν είναι ευκαταφρόνητο το πλήθος  των ανθρώπων που αδυνατώντας να αντιληφθούν τα μαθηματικά θεωρούν υπεύθυνους αποκλειστικά και μόνο τους ανθρώπους που τα διδάσκουν και καταφέρονται εναντίον τους- άφησε ένα ανώνυμο σχόλιο, όπου ούτε λίγο ούτε πολύ  ζητούσε -με όχι ιδιαίτερα ευγενικό τρόπο- από τους καθηγητές να κάνουν σωστά τη δουλειά τους και να υπενθυμίζουν πάντα στους μαθητές όλα όσα  αυτοί δεν θυμούνται...
[Το ό,τι απαιτούσε  να υπενθυμίζουν συνεχώς οι καθηγητές όλα όσα  δεν θυμούνται οι μαθητές, με οδηγεί στο συμπέρασμα πως δεν υπήρξε ποτέ μαθητής μου, επειδή πάντα υπενθυμίζω τα πλέον αυτονόητα, ακόμη κι όταν ένας και μόνο ένας μέσα στην τάξη δηλώσει πως δεν τα θυμάται.
Μερικές φορές τα υπενθυμίζω και χωρίς  να το ζητήσει κανείς, έχοντας επίγνωση της ολοένα μειούμενης απομνημονευτικής ικανότητας των νέων...]
Όμως παρόλο που το ύφος του ανώνυμου σχολιαστή δεν μου άρεσε, καθώς έφτασα στις τελευταίες γραμμές του σχολίου, ένιωσα βαθιά συγκίνηση, επειδή έγραφε:
"...να με κάνετε να αγαπάω τα μαθηματικά, βγάλτε φωτοτυπίες το θεώρημα του παπαγάλου και μοιράστε το, δεν με νοιαζει πως αλλά η δουλειά σας είναι να μου μάθετε μαθηματικά και να με κάνετε να τα αγαπήσω".
Μάλιστα. Βγάλτε φωτοτυπίες το θεώρημα του παπαγάλου και μοιράστε το!
Ιδού η πρόταση του μαθηματικοταλαιπωρημένου ανώνυμου σχολιαστή τη μέρα που συμπληρώνονταν ένας  χρόνος από τον θάνατο του Denis Guedj!
Πιστεύει πως η ανάγνωση του θεωρήματος του παπαγάλου, θα κάνει τον καθένα να αγαπήσει τα μαθηματικά! Και σίγουρα έχει  δίκαιο, αν κρίνουμε από το πόσος πολύς - μη ειδικός - κόσμος  έχει μέχρι τώρα ενθουσιαστεί με όσα έμαθε για τα μαθηματικά διαβάζοντας αυτό το βιβλίο.
Κατά τη δική μου γνώμη, ωστόσο, ακόμη περισσότερο  θα ενθουσιαστεί κάποιος αν διαβάσει το όχι τόσο γνωστό βιβλίο του Denis Guedj, ΤΟ ΔΩΡΕΑΝ ΔΕΝ ΑΞΙΖΕΙ ΠΛΕΟΝ ΤΙΠΟΤΑ, τα μαθηματικά χρονικά της liberation, εκδόσεις ΚΕΔΡΟΣ, όπου στα σύντομα άρθρα που δημοσιεύτηκαν στην εφημερίδα ο Denis Guedj ξεδίπλωσε  ένα άλλο πρόσωπο των μαθηματικών, το πρόσωπο που αυτά φορούν στην καθημερινότητά τους και κυκλοφορούν ανάμεσά μας κομψά, επιβλητικά, υποστηρικτικά, όμορφα, διακριτικά, αποκαλυπτικά, αυστηρά, παιχνιδιάρικα, συνεχή, ασυνεχή, διασπαστικά, κομφορμιστικά, υποταγμένα, αλλά κυρίως ελεύθερα, ασυμβίβαστα  κι αντικομφορμιστικά όπως ακριβώς ήταν και ο ίδιος ο Guedj, που διασπώντας το συνεχές της σκέψης μας κατάφερνε να  ζωγραφίζει με τις λέξεις του, έναν κόσμο δικαιοσύνης, ισοτιμίας και...μαθηματικής ελευθερίας.

ΚΑΙ ΠΡΟΣΔΟΚΩ ΑΝΑΣΤΑΣΙΝ...

Η προσδοκία, η αναμονή δηλαδή της επιθυμητής εξέλιξης, αποτελεί   κίνητρο σε κάθε μας δραστηριότητα..Πράττουμε επειδή ελπίζουμε πως η δράση μας θα επιφέρει το αποτέλεσμα που ποθούμε.. Στα πιο σημαντικά και στα πιο ασήμαντα, σε επιλογές ζωής και σε επιλογές καθημερινής τριβής, παίρνουμε τις αποφάσεις μας κάτω από το πρίσμα μιας προσωπικής μας επιθυμίας.. Κάθε απόφαση παίρνει φόρμα και μορφή, σχηματοποιείται δηλαδή, στα πλαίσια μιας συγκεκριμένης - αν και μερικές φορές όχι ξεκάθαρα αποκρυσταλλωμένης μέσα μας - προσδοκίας..
Όταν οι προσδοκίες μας διαψεύδονται, μας κατακλύζει ένα κύμα απογοήτευσης, μικρό ή μεγάλο, και ο τρόπος που αντιμετωπίζουμε την ανεπιθύμητη έκβαση των πραγμάτων εξαρτάται, σε μεγάλο βαθμό, από την ιδιοσυγκρασία μας και τον περιβάλλοντα χώρο.. :),
δηλαδή από το ποιος είναι στο πλάι μας, ποιος μας στηρίζει, ποιοι μοιράζονται  μαζί μας το βίωμα, πόσο συγκλίνουν οι εντυπώσεις μας με τις δικές τους κλπ κλπ..
Ως εκπαιδευτικός θα δώσω ..εκπαιδευτικό παράδειγμα! Θα αναφερθώ σε μένα, που  διδάσκοντας το γνωστικό μου αντικείμενο, προσδοκώ οι μαθητές μου να ανταποκριθούν στα ερεθίσματα, να σκεφτούν, να αλλάξουν στάση απέναντι στα 'προβλήματα', να αλλάξουν τρόπο σκέψης  στη διαχείριση των προβλημάτων, δείχνοντας έτσι πως έχουν "μάθει", πως έχουν δηλαδή υποστεί εκείνες τις 'ευεργετικές μεταβολές', τις οποίες  επιφέρει η απόκτηση της γνώσης, η συνοδευόμενη από 'πνευματική ανάταση',  και όλα τα αυτής παραφερνάλια.. Θέλω να προωθώ τη γνώση - θεωρητική και πρακτική -  του είδους που προφυλάσσει τον καθένα από καταστάσεις στις οποίες φτάνει να αναφωνεί: "στερνή μου γνώση να σ' είχα πρώτα!", μαρτυρώντας κατ' αυτόν τον τρόπο έλλειμμα στις γνώσεις και στις δεξιότητες που απαιτούσε η  περίσταση..
[Το "προωθώ τη γνώση",  παρακαλώ να μην εκληφθεί κυριολεκτικά με την έννοια που χρησιμοποιείται στις δασκαλοκεντρικές πρακτικές μάθησης, τις οποίες, ως 'οπαδός' τον νεογραμματισμού, αποφεύγω συνειδητά .. :)]
Κάτω από το πρίσμα της συγκεκριμένης προσδοκίας, κάποτε διαπιστώνω πως η επιθυμία μου δεν πραγματώνεται στο έπακρο, όπως είναι αναμενόμενο άλλωστε, και για το λόγο αυτό ξεκινώ διαλόγους, με αναρτήσεις στο blog,  'εκθέτοντας' εμένα και -ίσως- και τους ίδιους τους μαθητές, παρά την ανωνυμία των γραπτών τους που κατά καιρούς δημοσιεύω. Κρίνω όμως σκόπιμο να διατυπώνονται προβληματισμοί γύρω από τέτοιου είδους ζητήματα εκπαιδευτικής δραστηριότητας, τα οποία -όταν τα κρατάμε κλειδαμπαρωμένα στην τάξη μας- τα καθιστούμε ακόμη πιο δύσκολα από ότι στην πραγματικότητα είναι..Από την άλλη, πιστεύω πως με τη δημοσιοποίηση τους πιθανόν να προκύψει ένας γόνιμος διάλογος και η ανταλλαγή απόψεων να βοηθήσει, δίνοντας φως σε νέες οπτικές. Η προηγούμενη ανάρτηση με τίτλο: "η γνώση που μας λείπει είναι η επίγνωση των ορίων, γι' αυτό ζούμε την περιπέτεια των νούφαρων",   στάθηκε αφορμή για ένα διάλογο μεταξύ εμού και του κυρίου Δημήτρη Νταή, Αναπληρωτή Καθηγητή στον Τομέα Άλγεβρας και Γεωμετρίας, στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Κρήτης.  Επειδή θεώρησα πως στο διάλογο διατυπώθηκαν ένθεν και ένθεν μερικοί αξιόλογοι προβληματισμοί, ζήτησα την άδειά του κυρίου Νταή,  να  δημοσιεύσω ένα μέρος  εδώ. Το πρωτεύον ερέθισμα για το διάλογο που διημείφθη αποτέλεσε το σχόλιο που έγραψε ο  μαθητής μου στο διαγώνισμα της Γεωμετρίας.

Δημήτρης Νταής

Μία εκδοχή: "Εξ αιτίας της προχειρότητας δεν καταφέρνω να κάνω αυτό που πρέπει να κάνω. Ας υποθέσουμε τελικά ότι το έχω κάνει κι ας τελειώνουμε..."!! (*)

Άλλη εκδοχή: "Αμάν αυτά τα Μαθηματικά! Σιγά μην κάτσω να κοπιάσω με τέτοιες σπαζοκεφαλιές. Ούτως ή άλλως δεν με ενδιαφέρουν. Ας γράψω μια σαχλαμαρίτσα να τελειώνουμε."

Τρίτη εκδοχή: "Ωχ, αυτό το κεφάλαιο δεν το διάβασα. Για να μην παραδώσω λευκή κόλλα, ας γράψω κάτι λογικοφανές. Ποιος ξέρει; Μπορεί να κερδίσω καμιά μοναδούλα..."

[Θυμίστε μου να σας στείλω κάποια στιγμή γραπτό δευτεροετούς φοιτητή σε Τμήμα Μαθηματικών (!) για να δείτε τι γράφει μη μπορώντας να αποδείξει την απειρία των πρώτων αριθμών.... (που ανήκει, κατ' ουσίαν, στην ύλη τής Β' Λυκείου)... Εκεί να δείτε "μαργαριτάρια" (αντί για νούφαρα...)... Και μη χειρότερα...]

Katerina Kalfopoulou 

Καλή σας μέρα κύριε Νταή! Νομίζω πως αυτή η αντιμετώπιση των μαθητών[ ή και των φοιτητών που βάλατε εσείς στο γενικότερο προβληματισμό] είτε αντανακλά τη στάση όλων μας απέναντι στα πράγματα, που θα μου επιτρέψετε να επιμένω πως χαρακτηρίζεται από προχειρότητα, στα ασήμαντα, αλλά και στα σημαντικά όπως π.χ.οι πολιτικές αποφάσεις, ο 'εκσυγχρονισμός' της Παιδείας, οι αναλύσεις και οι κριτικές των 'απαίδευτων' δημοσιογράφων που διαμορφώνουν την 'κοινή γνώμη', κ.α. είτε διαμορφώνει τη μελλοντική τους στάση απέναντι στα πράγματα. Βεβαίως μπαίνει το ερώτημα ποιο είναι το αίτιο και ποιο το αιτιατό, αλλά όπως και να 'χει, δεν πιστεύετε πως πρέπει οι δάσκαλοι να βάζουμε ένα φρένο σε τέτοιες στάσεις ζωής; Είμαι σίγουρη πως το πιστεύετε.
(Σας θυμίζω να μου στείλετε το γραπτό που αναφέρατε παραπάνω. :)

 
Δημήτρης Νταής

Η προχειρότητα είναι το δίχως άλλο ένας σημαντικός παράγοντας για μια σειρά ολιγωριών. Ωστόσο, επιτρέψτε μου, εκ νέου, να προσθέσω και άλλους (σε ό,τι αφορά στη στάση ορισμένων μαθητών ή φοιτητών έναντι των Μαθηματικών): Ενσυνείδητη απώθηση, αδιαφορία, ή και ανασφάλεια. Τα Μαθηματικά είναι εκ φύσεως απαιτητικά. Σε αντίθεση με άλλα μαθήματα, είναι "αλυσίδα". Π.χ., εάν υπολογίσω ένα (ορισμένο) ολοκλήρωμα και βρω ως αποτέλεσμα το άθροισμα δύο κλασμάτων, ΔΕΝ μου επιτρέπεται να κάνω λάθος στην τελική αποτίμηση τού αθροίσματος (προσθέτοντας, π.χ., αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή), ΕΣΤΩ κι αν αυτό ανήκει στην ύλη τού Δημοτικού! Αναλογισθείτε το τι συμβαίνει στον ψυχισμό ενός αμελούς/μέτριου μαθητή που διαπιστώνει (στο Λύκειο) ότι είναι κατάφορτος με πάμπολλα κενά (από τις προηγούμενες τάξεις).....

Για τις πολιτικές αποφάσεις, τον 'εκσυγχρονισμό' τής Παιδείας, και τις αναλύσεις 'απαίδευτων' δημοσιογράφων θα μπορούσα να πω πολλά. Όπως επίσης και για την (απερίγραπτη) ευκολία αποκτήσεως πτυχίου μαθηματικού (που οδηγεί στη δημιουργία εκπ...αιδευτικών αμφιβόλου αξίας). Ωστόσο, όπως αντιλαμβάνεσθε, το fb δεν αποτελεί κατάλληλο forum για την πλήρη ανάπτυξη τέτοιων θεματικών κύκλων. [Όσο για τα "μαργαριτάρια", θα σας τα στείλω όταν κατέβω ξανά στο Ηράκλειο, μετά τις διακοπές τού Πάσχα.] Σας εύχομαι καλές εορτές.

Katerina Kalfopoulou

Ακριβώς αυτή η 'αλυσίδα' που περιγράφετε, με το πολύ εύστοχο παράδειγμα, [ στη Γ' Λυκείου το αντιμετωπίζουμε συχνά, π.χ. άψογη εφαρμογή του Θ. Fermat, αλλά αδυναμία επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης που προκύπτει κι εγκατάληψη της άσκησης..], είναι που κάνει αποκρουστικά τα Μαθηματικά σε μια εποχή του εύκολου, του άμεσου, του γρήγορου.., από το οποίο δεν ξεφεύγει τίποτα, αλλά πραγματικά τίποτα. Η απόκτηση του απολυτηρίου Λυκείου, του πτυχίου του Μαθηματικού Τμήματος (αυτό, βέβαια, το λέμε εσείς κι εγώ, ρωτήστε αυτούς που έχουν παρατήσει Πανεπιστημιακές Σχολές, δίχως να τις τελειώσουν), όπως και η απόκτηση Διδακτορικού Διπλώματος και πάει λέγοντας.. Δεν μπορώ να βγάλω εμένα έξω από αυτόν τον κύκλο. Προϊόν αυτού του συστήματος είμαι και -δυστυχώς- το αναπαράγω.. Όχι με ευχαρίστηση, όχι με υποταγή, όχι με περηφάνεια και σίγουρα με επίγνωση της ευθύνης που βαραίνει πάνω μου, αλλά και της αδυναμίας να κάνω κάτι περισσότερο από αυτό που κάνω στη σχολική μου τάξη. Δεν μπορεί ένας δάσκαλος να επωμίζεται όλα τα δεινά της κοινωνίας της οποίας είναι επιπλέον μέλος, και μάλιστα όχι από τα ..αξιοσέβαστα! Τουναντίον. Έχετε δίκαιο για την ακαταλληλότητα του χώρου, όμως όταν κάποιος δεν 'φοβάται' να εκτεθεί και λέει αυτό που πιστεύει με την ελπίδα πως 'λέγε-λέγε' κάτι μπορεί και να βελτιωθεί, τότε το λέει όπου του δίνεται η ευκαιρία να το πει.. Κι εσείς μου δίνετε μια καλή ευκαιρία! Καλό Πάσχα! [ θα περιμένω να επιστρέψετε στο Ηράκλειο.]

 

Και προσδοκώ...

ΚΑΛΗ ΑΝΑΣΤΑΣΗ! 
-----------------------------------------------------------------------------------
(*) Την εκδοχή αυτή διατύπωσα εγώ στην ανάρτησή μου και ο κος Νταής την επαναλαμβάνει στο σχόλιο του, για να συμπληρώσει με άλλες πιθανές εκδοχές. 
Αν θέλετε να συμπληρώσετε τις δικές σας εκδοχές, αφήστε το σχόλιο σας! :). 

ΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΚΑΙ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΤΗΡΙΞΗ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

   Η διδασκαλία της Άλγεβρας επιδρά αρνητικά σε μεγάλη μερίδα μαθητών, όταν δυσκολεύονται να κατανοήσουν και να διαχειριστούν τα αλγεβρικά σύμβολα.  Συνήθης αντίδραση σε μια τέτοια περίπτωση είναι η αποχή  από το μάθημα . Διαμορφώνεται η αντίληψη  πως τα Μαθηματικά είναι  ένα ψυχρό και αυστηρό  γνωστικό πεδίο, το οποίο δεν δύνανται  να προσεγγίσουν. Η άποψη αυτή ενισχύεται με  θεωρίες που  καθιστούν τη «μαθηματικοφοβία» τιμή για όσους κατατρύχονται από αυτήν. Τέτοιες πεποιθήσεις δεν αναθεωρούνται  μέσα από το μάθημα, απαιτούν  ειδική διδακτική προσέγγιση, που παρέχει τη δυνατότητα σε όλους τους μαθητές να συνδιαλέγονται μέσω εναλλακτικών διαδικασιών, συνδυάζοντας παρα-μαθηματικά κείμενα  με το σχολικό εγχειρίδιο

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

    Η συγκεκριμένη διδακτική παρέμβαση για την αξιοποίηση παρα-μαθηματικών κειμένων σε συνδυασμό με το σχολικό εγχειρίδιο πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Α₁ και Α₂,του 2^ου ΓΕ.Λ. Αγίου Αθανασίου, κατά τη σχολική χρονιά 2010-2011, από 20 Ιανουαρίου έως 10 Φεβρουαρίου, είχε τρεις φάσεις και απέβλεπε στους ακόλουθους διδακτικούς στόχους:

1. Τη διασύνδεση των μαθηματικών αντικειμένων με λογοτεχνικά και άλλα κείμενα.

2. Την περιγραφική παρουσίαση των φορμαλιστικών μαθηματικών συμβόλων.

3. Τον προβληματισμό για τον ρόλο που παίζουν τα Μαθηματικά,  ως ανθρώπινη δραστηριότητα.

4. Την ανάδειξη της συναισθηματικής πτυχής των Μαθηματικών.

5. Τη συμμετοχή όλων των μαθητών στο μάθημα μέσω εναλλακτικών κειμενικών προσεγγίσεων.

Η προστιθέμενη Αξία της διδακτικής παρέμβασης επικεντρώνεται κυρίως στην ευκαιρία που δίνει σε κάθε μαθητή/τρια να συμμετέχει στο μάθημα, καθώς η χρήση ενός μη μαθηματικού, πλην παρα-μαθηματικού, κειμένου, που γίνεται άμεσα κατανοητό, παρέχει σε κάθε μαθητή/τρια τη δυνατότητα να καλλιεργήσει σταδιακά την αυτοεκτίμησή του/της και να αναπτύξει εκείνες τις υποκειμενικές παραμέτρους που τον/την ωθούν σε περαιτέρω ενασχόληση με το μάθημα των Μαθηματικών.

 Εναλλακτική ανάγνωση  παρα-μαθηματικών κειμένων

    Μια εναλλακτική διαδικασία, μέσω της οποίας η ενασχόληση με τα Μαθηματικά όχι απλά επιτυγχάνεται, αλλά επιπλέον καταφέρνει να αναδείξει το συναισθηματικό υπόβαθρο των μαθηματικών αντικειμένων, είναι η ανάγνωση παρα-μαθηματικών κειμένων και ενίοτε η διασύνδεση των κειμένων αυτών με  το σχολικό εγχειρίδιο.

Παρα-μαθηματικό κείμενο, εξ ορισμού, ονομάζουμε κάθε κείμενο το οποίο αντλεί το θέμα του από τα Μαθηματικά, είτε ως εφαρμογή είτε ως φιλοσοφία είτε ακόμη και  ως δυνατότητα ή ως ιστορία. Ένα τέτοιο κείμενο που είναι συνήθως, αλλά όχι κατ’ ανάγκην, γραμμένο από μαθηματικό, μπορεί να είναι είτε άρθρο εφημερίδας είτε απόσπασμα βιβλίων Μαθηματικής Λογοτεχνίας ή Εκλαϊκευμένης Επιστήμης και  είναι δυνατόν να ενσωματωθεί σε κατάλληλα σημεία του μαθήματος για να δώσει μιαν εναλλακτική προσέγγιση και διαφορετική θέαση των μαθηματικών αντικειμένων με τρόπο  τέτοιον, ώστε όλοι οι μαθητές  να έχουν τη δυνατότητα ενεργούς συμμετοχής και μέσα από αυτήν να αναπτύξουν  εκείνους τους υποκειμενικούς παράγοντες που συμβάλλουν στη βελτίωση  της αυτοπεποίθησης.

Διδακτική παρέμβαση: Οι δύο πρώτες φάσεις

   Στην παρέμβαση που πραγματοποιήθηκε στη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου, αξιοποιήθηκε ένα απόσπασμα από συνέντευξη του αείμνηστου Denis Guedj*, συγγραφέα, μαθηματικού, καθηγητή Ιστορίας και Επιστημολογίας στο Πανεπιστήμιο Paris VIII, ερευνητή, καθώς και σεναριογράφου στον κινηματογράφο. Στη συγκεκριμένη συνέντευξη ο Denis Guedj, με την ιδιαίτερη εκφραστική του δεινότητα, εξηγεί το ρόλο που μπορούν να παίξουν τα μαθηματικά στη διαμόρφωση του τρόπου σκέψης. Οι δύο πρώτες φάσεις της παρέμβασης είναι οι ακόλουθες:

1^η Φάση: Το κείμενο εστάλη με ηλεκτρονικό μήνυμα στους μαθητές και  τους ζητήθηκε να το διαβάσουν και να βάλουν έναν τίτλο. Επιπλέον το ανάρτησα στον πίνακα ανακοινώσεων της αίθουσας έτσι, ώστε να μπορούν να το διαβάζουν  όλοι όποτε θέλουν. Έμεινε εκεί δύο εβδομάδες περίπου μέχρι να περάσουμε στο επόμενο βήμα. Στο διάστημα αυτό κάναμε αναφορές  στα λεγόμενα του Denis Guedj,  με κάθε ευκαιρία που προέκυπτε από το μάθημα και έτσι οι μαθητές είχαν τη δυνατότητα να προβληματιστούν και να σκεφτούν τα βαθύτερα νοήματα, κυρίως όμως να μιλήσουν για Μαθηματικά μέσω ενός κειμένου,  χωρίς να γνωρίζουν ακόμη τι ακριβώς θα έπρεπε να κάνουν με το ίδιο το κείμενο. Η μη a priori ενημέρωση των μαθητών για την έκβαση της δραστηριότητας ήταν σκόπιμη και απέβλεπε στην έκπληξη, η οποία επιδιώκεται επειδή λειτουργεί ως ενισχυτικός μηχανισμός για την ενεργοποίηση και τη συμμετοχή τους στο μάθημα.

2^η Φάση: Στο μάθημα της Άλγεβρας τους μοίρασα ένα απόσπασμα του κειμένου, όπου είχα υπογραμμίσει τέσσερις παραγράφους, και ζήτησα χρησιμοποιώντας το βιβλίο τους, από την αρχή μέχρι και τη σελίδα 70 στην οποία είχαμε φτάσει, να βρουν μια άσκηση ή μια εφαρμογή ή ακόμη και έναν ορισμό που συνάδει με καθένα από τα υπογραμμισμένα μέρη του κειμένου. Η έκπληξη λειτούργησε κατά τα αναμενόμενα, δηλαδή ενθουσιάστηκαν και άρχισαν να ξεφυλλίζουν τα βιβλία τους, αναζητώντας τη βέλτιστη απάντηση.  Εργάστηκαν ανά θρανίο, σε ομάδες των δύο ή τριών ατόμων επί μια διδακτική ώρα. Μερικοί μαθητές με καλούσαν συχνά για να ρωτήσουν κατά πόσο η επιλογή της άσκησης που είχαν κάνει ήταν σωστή και έμοιαζαν να είναι αβέβαιοι, να διαφωνούν μεταξύ τους και να συζητούν, διατυπώνοντας διάφορα επιχειρήματα για να πείσει ο καθένας τον διπλανό του για την ορθότητα της δικής του επιλογής. Για να εκμεταλλευτώ αυτή την τάση που παρατήρησα, ζήτησα επιπροσθέτως να εξηγήσουν επιγραμματικά για ποιον λόγο επέλεξαν αυτά που είχαν επιλέξει. Αυτό φάνηκε πως ενδυνάμωσε την αποφασιστικότητά τους με αποτέλεσμα αρκετοί να ολοκληρώσουν την προσπάθειά τους, πριν ακόμη χτυπήσει το κουδούνι.

Τα τέσσερα υπογραμμισμένα αποσπάσματα από τη συνέντευξη του Denis Guedj:

1. «Για μένα τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα. Δεν εννοώ ότι είναι μόνο μια γλώσσα, αλλά είναι συν τοις άλλοις και μια γλώσσα. Είναι κάτι με το οποίο εκφράζουμε σκέψεις και η διδασκαλία των μαθηματικών είναι η διδασκαλία της έκφρασης σκέψεων σε μια ορισμένη γλώσσα.»

2. «Ξεκινάμε με απλές σκέψεις, για παράδειγμα «πώς να κάνουμε πολλά με λίγα» (πρόβλημα αριθμών), «ποιες είναι οι εκφράσεις του ίδιου», δηλαδή πώς εκφράζουμε το ίδιο στα μαθηματικά, πώς εκφράζουμε το διαφορετικό, πώς γίνεται η συνεπαγωγή, τι ονομάζουμε υπερθετικό βαθμό και τι μέγιστο..»

3. «Τα μαθηματικά έχουν εμμονή στο να αποδείξουν ότι το «τάδε στοιχείο είναι μοναδικό»,  πως «είναι το μοναδικό που…»

4. «Και ξέρετε στα μαθηματικά μπορούμε να ξεκινήσουμε από μια λανθασμένη υπόθεση. Αυτό ονομάζεται απόδειξη της εις άτοπον απαγωγής.»

 

Μερικές ενδεικτικές απαντήσεις  των μαθητών

   Ακολουθούν μερικές από τις απαντήσεις που είχαν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Σημειώνουμε πως στις δύο πρώτες παραγράφους παρουσιάστηκε μια μεγάλη ποικιλία απαντήσεων σε αντίθεση με τις δύο τελευταίες παραγράφους, όπου  όλοι σχεδόν έκαναν την ίδια επιλογή.

Για την 1^η παράγραφο.  Επιλέχτηκαν:

--  σελίδα 66. x² – Sx + P = 0.  Είναι μια εξίσωση που για τους μαθηματικούς σημαίνει πολλά πράγματα. Είναι σαν μια μηχανή αναζήτησης όπου βάζουν διάφορους αριθμούς για τα S και P  και παίρνουν κάποιο αποτέλεσμα.

-- σελίδα 43 άσκηση 7.  (-∞, -5) U (1, +∞).  Το επιλέξαμε επειδή εκφράζεται η απόσταση μέσα από μια σειρά συμβόλων, δηλαδή στη γλώσσα των μαθηματικών.

-- σελίδα 13  Με Ν συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών, με Ζ το σύνολο των ακεραίων κλπ. Τα Μαθηματικά είναι μια γλώσσα.

Για την 2^η παράγραφο.

--- (α+β)² = α²+2αβ+β² Επιλέξαμε αυτό επειδή ξεκινάει από κάτι φαινομενικά μικρό και μετά το αναλύει. Επίσης εκφράζει και το ίδιο.

---σελίδα 70 άσκηση 7. Το επιλέξαμε επειδή από μια απλή σκέψη, αβ=0 <=> α=0 ή β=0, καταλήγουμε στην εξίσωση αχ²+βχ+γ=0, στην οποία βρίσκουμε τις ρίζες γνωρίζοντας μόνο το άθροισμα και το γινόμενό τους.

---σελίδα 130. Το βρήκαμε από τα περιεχόμενα του βιβλίου και είναι το εξής: «Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο χ_οє Α (ολικό ελάχιστο) όταν: f(χ)≥f(χ_ο), για κάθε χ є Α»

[η συγκεκριμένη ομάδα, κατά παράβαση,  αναζήτησε απαντήσεις πέρα από την προκαθορισμένη σελίδα 70, κρίνοντας, όπως είπε, πως εκεί βρισκόταν η ορθότερη απάντηση.]

Για την 3^η παράγραφο.

Στην παράγραφο αυτήν οι περισσότεροι μαθητές επέλεξαν να επιλύσουν μια εξίσωση που είχε μοναδική λύση και τόνισαν, υπογραμμίζοντας τη λύση που βρήκαν,  πως είναι μοναδική!

Για την 4^η παράγραφο.

Όλες σχεδόν οι απαντήσεις, όπως ήταν αναμενόμενο, αναφέρονταν στη σελίδα 25 και στη μέθοδο της Απαγωγής σε Άτοπο. Οι μαθητές αντέγραψαν την εφαρμογή του βιβλίου, εκτός από δύο ομάδες που επέλεξαν την άσκηση 7i στη σελίδα 29 και την απόδειξη της ισοδυναμίας  α < β <=> α^ν < β^ν, στη σελίδα 32, αντίστοιχα. 

Αξιολόγηση της παρέμβασης: Σχόλια και Παρατηρήσεις

1. Η χρήση ενός κειμένου και η διασύνδεσή του με το σχολικό εγχειρίδιο προκάλεσε έκπληξη και ενθουσιασμό, σε βαθμό που όλοι ασχολήθηκαν με ζήλο και δεν έμειναν στην πρώτη τους επιλογή, αλλά - οι περισσότεροι - διόρθωσαν ή συμπλήρωσαν ό,τι είχαν γράψει στην αρχή, προσθέτοντας και τις λύσεις των ασκήσεων που είχαν επιλέξει, σε μια προσπάθεια να επιτύχουν την καλύτερη δυνατή και την πλέον πειστική παρουσίαση.

2. Αυθόρμητα και σχετικά επιτυχημένα παρήγαγαν οι ίδιοι οι μαθητές κείμενο στο οποίο συνυπήρχαν τα μαθηματικά αντικείμενα με την καθαρά προσωπική τους επιλογή, καλλιεργώντας -σε πολλούς για πρώτη ίσως φορά- την πεποίθηση πως έχουν τη δυνατότητα να διαχειρίζονται και να συνδιαλέγονται με τα δυσνόητα και ψυχρά μαθηματικά σύμβολα.

3. Το αποτέλεσμα που παρήγαγαν στο τετράδιο τους, για πολλούς ήταν ικανό να αναπτύξει τη στοιχειώδη αυτοεκτίμηση που στερούνται ως προς τις επιδόσεις τους στα μαθηματικά και να δημιουργήσει ένα υποστηρικτικό πλαίσιο, απαραίτητο για την παραπέρα ενεργή συμμετοχή και δραστηριοποίησή τους.

4. Τα θετικά σχόλια που έκανα για τα κείμενά τους και ο «ενθουσιασμός» που έδειξα για τις καταπληκτικές τους ιδέες λειτούργησαν ενισχυτικά και τις  επόμενες εβδομάδες, καθώς με κάθε ευκαιρία έκανα αναφορά σε κάτι που είχαν γράψει.

5. Το εμφανέστερο των αποτελεσμάτων της συγκεκριμένης παρέμβασης είναι η αλλαγή στάσης των αδύναμων και μέτριων μαθητών και η συμμετοχή τους στο μάθημα, όπου συχνά σηκώνουν χέρι για να ρωτήσουν ή να απαντήσουν – έστω και λαθεμένα – κι αυτό πιθανόν να οφείλεται στην αλλαγή θέασης των δυνατοτήτων τους, όσον αφορά στις επιδόσεις τους στα μαθηματικά.

3^η  φάση της παρέμβασης

Αξιολόγηση και Σχόλια των μαθητών για τη δραστηριότητα**

   Μια εβδομάδα περίπου μετά από την υλοποίηση της συγκεκριμένης δραστηριότητας ζήτησα από τους μαθητές να την αξιολογήσουν γράφοντας τις εντυπώσεις τους σε ένα κείμενο 50 έως 100 λέξεων. Στο διάστημα που είχε στο μεταξύ μεσολαβήσει, οι ίδιοι οι μαθητές έκαναν αναφορές στο κείμενο του Denis Guedj, κατά τη διάρκεια του μαθήματος, συνεχίζοντας να εντοπίζουν συνάφειες των αντικειμένων που εξετάζαμε με τις περιγραφές του κειμένου.

Στην πλειοψηφία τους  χαρακτήρισαν τη δραστηριότητα πρωτότυπη, διασκεδαστική, ευχάριστη και εποικοδομητική, εξηγώντας τους λόγους που τους έκαναν να νιώσουν έτσι. Εξέφρασαν τον ενθουσιασμό τους για το ίδιο το κείμενο και κάποιοι σχολίασαν πως ο Denis Guedj μέσα από τη συνέντευξή του τους έδειξε μια άλλη εικόνα των Μαθηματικών.

Επιγραμματικά, κάποια από τα σχόλια των μαθητών, ως προς τα αποτελέσματα και τις συνέπειες που είχε η  δραστηριότητα, είναι τα ακόλουθα:

1. Βοήθησε να θυμηθούμε κάποιες μεθόδους/θεωρίες.

2. Βοήθησε να καταλάβουμε καλύτερα τις εκφωνήσεις των ασκήσεων.

3.Συνέβαλε στη λειτουργία του μυαλού, αφού έπρεπε να συγκρίνουμε τις λέξεις του κειμένου με έννοιες των μαθηματικών

4. Ξεφύγαμε από τα τυπικά του μαθήματος που το κάνουν βαρετό.

5. Γενικά αυτή η άσκηση ήταν πολύ πρωτότυπη και μας βοήθησε πολύ.

6. Μας εξάσκησε το μυαλό και γενικά καταλάβαμε κάποια πράγματα που δεν είχαμε καταλάβει.

7. Τέτοια παιχνίδια και δραστηριότητες είναι χρήσιμα στη ζωή και στο μάθημα των παιδιών για να μην είναι μονότονο και βαρετό. Θα το έκανα σίγουρα πολλές φορές.

8. Αναπτύχθηκε ο ανταγωνισμός, γιατί ήμασταν χωρισμένοι σε ομάδες (ανά δύο) και γράφαμε γρήγορα για να τελειώσουμε πρώτοι.

9.  Με βοήθησε να καταλάβω πως τα μαθηματικά δεν έχουν να κάνουν μόνο με αριθμούς.

10. Μας κίνησε το ενδιαφέρον γιατί ήταν κάτι καινούριο, μας ανάγκασε να ανοίξουμε τα βιβλία και να ψάξουμε αυτά που ζητούσε, χωρίς να το κάνουμε από αγγαρεία, γιατί η προσωπική ικανοποίηση του ότι θα απαντήσουμε ήταν μεγαλύτερη.

ΕΠΙΛΟΓΟΣ

   Ως επίλογο παραθέτω  το σχόλιο ενός από τους μαθητές που έχουν σημειώσει πολύ μεγάλη βελτίωση σε σχέση με την επίδοση που είχαν κατά τους πρώτους μήνες της σχολικής χρονιάς.  Ο Η.Σ. έγραψε:

« Το άρθρο του Ντενί Γκετζ κατά την προσωπική μου άποψη ήταν συναρπαστικό. Αυτό που μου έκανε περισσότερη εντύπωση ήταν ο τρόπος με τον οποίον ξαναείδα τα μαθηματικά. Με την βοήθεια του Ντενί Γκετζ κατάλαβα ότι τα μαθηματικά, είτε είναι Άλγεβρα είτε είναι Γεωμετρία, είναι ένα παιχνίδι σκέψης με το οποίο ακονίζουμε τα εγκεφαλικά μας κύτταρα και καλλιεργούμε τη φαντασία και τη σκέψη μας »

*Ολόκληρο το κείμενο του Denis Guedj, μπορείτε να το διαβάσετε εδώ:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Μερικά από τα σχόλια των παιδιών σχετικά με τη συγκεκριμένη δραστηριότητα υπάρχουν  στην ανάρτηση που είναι εδώ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ο χρόνος που "δαπανήθηκε" συνολικά στην παρέμβαση ήταν μια διδακτική ώρα, αυτή που απαιτήθηκε για την πραγματοποίηση της δεύτερης φάσης.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ΟΤΑΝ Ο ΚΟΜΠΟΣ ΦΤΑΝΕΙ ΣΤΟ ΧΤΕΝΙ

Θεωρητικά είναι αδύνατο να αναπτύξει ένας πολιτισμός τα (εθνο)Μαθηματικά του, αν δεν αναπτύξει πρώτα έναν κάποιο τρόπο γραφής. Για να μετρήσει και να υπολογίσει, για να διαχειριστεί και να αποφασίσει, ο άνθρωπος χρησιμοποιεί κάποια συγκεκριμένα εργαλεία, επινοημένα από την ανάγκη του και την επιθυμία του να καταγράψει τους "θησαυρούς" που είχε συσσωρεύσει.. Μια τέτοια ανάγκη, μάλλον, δεν υπήρχε κατά το χρονικό διάστημα εκείνο που ο μόνος τρόπος επιβίωσης ήταν η συνεχής μετακίνηση του είδους μας προς αναζήτηση της τροφής του.     

Τι να ήθελε να γράψει πριν, ενώ ακόμη περιπλανιόταν, τι να μετρήσει και τι είδους λογαριασμούς να ήθελε να κρατήσει, ποιος ξέρει; Εικασίες κάνουμε... Παρόλα αυτά το βέβαιο είναι πως η "γραφή" και η μέτρηση δεν εμφανίστηκαν σε μια νύχτα μέσα, αλλά ξεπήδησαν -σχεδόν ταυτόχρονα- μετά από πολλά χρόνια  προσπάθειας του ανθρώπου να εγκατασταθεί κάπου μόνιμα και να πάψει να περιπλανιέται αναζητώντας την τροφή του.. Κάπου εκεί στη Γόνιμη Ημισέληνο εμφανίζεται, περίπου 11.000 χρόνια πριν, η πρώτη αγροκαλλιέργεια και ξεκινά η μόνιμη εγκατάσταση ανάμεσα στον Τίγρη και στον Ευφράτη, όπου αναπτύσσονται  μεγάλες πόλεις κι εμφανίζονται οι πρώτες ταξικές κοινωνίες. Το πλεόνασμα της τροφής που παράγεται, απαιτεί να δημιουργηθούν νέα επαγγέλματα, όπως οι γραμματείς, οι λογιστές, οι αποθηκάριοι..Και η διαχείριση του πλεονάσματος απαιτεί την επινόηση νέων εργαλείων και νέων μεθόδων...Εδώ γίνεται πλέον επιτακτική η ανάγκη της μέτρησης και της καταγραφής των αποθηκευμένων πλεονασμάτων..

Το θέμα αυτό αποτελεί ένα από τα αγαπημένα μου θέματα, για ομιλία σε μαθητές,  και καταλήγει να εξηγεί το εξηκονταδικό σύστημα των Σουμερίων, που το υιοθέτησαν και το βελτίωσαν οι Βαβυλώνιοι, καθώς και εκείνο των Αιγυπτίων που αναπτύχθηκε περίπου την ίδια περίοδο, κατά μήκος του Νείλου.

"Εν αρχή ην..ένα ποτάμι", είναι ο τίτλος της ομιλίας και φαίνεται πως αρέσει στα παιδιά που την ακούν, επειδή δίνει έμφαση στα είδη των αριθμητικών συστημάτων, συγκρίνοντάς τα μεταξύ τους και καταλήγοντας στο συμπέρασμα πως, τελικά,  είμαστε πραγματικά τυχεροί που έχουμε έναν τόσο εύκολα διαχειρίσιμο κώδικα όπως το δεκαδικό, θεσιακό, σύστημα αρίθμησης που  επινόησαν οι Ινδοί και αξιοποίησαν οι Άραβες αρκετούς αιώνες πριν το πάρουμε χαμπάρι εμείς, οι δυτικοί.. Αλλά κι αφού το πήραμε είδηση, όταν ο Fibonacci έγραψε το "βιβλίο του άβακα", παρουσιάζοντας το ινδοαραβικό σύστημα και τις αλγοριθμικές του διαδικασίες για τους υπολογισμούς που θα μπορούσε πλέον να κατανοήσει ο καθένας - ή σχεδόν - σε αντίθεση με το κυρίαρχο λατινικό -πανδύσκολο- σύστημα,  χρειάστηκαν ακόμη μερικοί αιώνες μέχρι να επιτρέψουν οι κρατούντες να διαχυθεί μια τόσο πολύτιμη γνώση που θα έκανε τον καθένα ικανό να διαχειρίζεται το έχειν του, κυρίως το μη έχειν του, τουτέστιν το χρέος του, και να προλαβαίνει ενδεχομένως μια χρεοκοπία ή να βάζει φραγή στην αναίσχυντη κλοπή..

Έχει να κάνει με την αντιληπτική ικανότητα του είδους μας, ο τρόπος της αντίδρασής μας, για την οποία έχουν γραφτεί πολλά κι έχουν ειπωθεί ακόμη περισσότερα, όπως το καίριο ερώτημα:

"Πώς και πότε αναπτύσσουμε έναν "κώδικα";" Το πότε είναι σχετικά εύκολο να απαντηθεί. Ένας κώδικας αναπτύσσεται όταν το απαιτούν οι ανάγκες ή όταν το ευνοούν οι συνθήκες ή - κι αυτή είναι η καλύτερη περίπτωση - όταν συμβαίνουν και τα δύο.. Σε τέτοιες περιπτώσεις το είδος μας, όπως και άλλα έμβια είδη,  αναπτύσσει έναν ιδιαίτερο κώδικα επικοινωνίας, ο οποίος μπορεί να εξυπηρετεί την ανάγκη διαχείρισης των αποθηκευμένων υλικών πλεονασμάτων ή ακόμη και αυτών των .. ψυχικών αποθεμάτων(!), τα οποία είτε παρουσιάζουν έλειμμα είτε πλεόνασμα, απαιτούν τη δική τους, ιδαίτερη, μεταχείριση.. :)

Και στις διαπροσωπικές μας σχέσεις, όταν ευνοούνται από το συναισθηματικό υπόβαθρο ή από άλλους, κατά περίσταση, κατάλληλους καταλύτες, αναπτύσσονται κώδικες, που πιθανόν  για έναν τρίτο, μη εμπλεκόμενο, να μη σημαίνουν τίποτε απολύτως ή να έχουν ένα εντελώς διαφορετικό νόημα, από αυτό που εμείς δίνουμε στις λέξεις, στα σύμβολα, στις κινήσεις, στα σχήματα, (όπου ο ένας κάνει τα μισά κι ο άλλος τα άλλα μισά, μέχρι να αποκτήσουν νόημα), ακόμη και στα πράγματα, όπως, για παράδειγμα, αυτό το περιδέραιο της φωτογραφίας!

Τι μπορεί να είναι αυτό;  Ίσως ένα κόσμημα που στολίζει το μπούστο μιας νέας γυναίκας;  Ή ένας ενδείκτης του ετοιμοπόλεμου ιθαγενή, που 'χει ήδη χαράξει πορεία προς το μονοπάτι του πολέμου.. Ή, ίσως, να είναι κάτι πιο ..αισιόδοξο, όπως μια ονειροπαγίδα, απ' αυτές που κάποιοι τοποθετούν δίπλα στο κρεβάτι τους, για να παγιδεύουν τα όμορφα όνειρα κι ύστερα να ...  παγιδεύονται οι ίδιοι  σ' αυτά! Σαν να παγιδεύουν την παγίδα τους, δηλαδή! :)

Εντάξει, πιθανόν, να έχετε ήδη καταλάβει πως δεν είναι τίποτε από όλα τα προηγούμενα.. κι ίσως ακόμη να έχετε καταλάβει πως είναι ένα quipu, ένα σύστημα σκοινιών και κόμπων από αυτά που χρησιμοποιούσαν οι Ίνκας για να καταγράφουν  τις πληροφορίες που ήθελαν να μεταφέρουν στην αχανή τους κυριαρχία.. Ένας πολιτισμός που αναπτύχθηκε και ήκμασε, χωρίς να έχει προηγουμένως αναπτύξει ένα σύστημα γραφής..

Να που τελικά κάποιοι, όπως οι Ίνκας, σε αντίθεση με το γενικό κανόνα, κατάφεραν να αναπτύξουν τον πολιτισμό τους και τα μαθηματικά τους, χωρίς να έχουν  επινοήσει κάποιον γραπτό κώδικα επικοινωνίας..

Αλλά, η απουσία γραφής, από την άλλη, ίσως αποτέλεσε τον λόγο της βραχύβιας κυριαρχίας τους, σε αντίθεση με τους μακρόβιους πολιτισμούς που είχαν όλοι το δικό τους σύστημα γραφής ..

Οι Ίνκας διατήρησαν έναν πολιτισμό για εκατό μόλις χρόνια!! Τι συνέβη και χάθηκαν; Λύθηκαν οι κόμποι;  Ή μήπως ... έφτασαν στο χτένι.. Ποιος ξέρει;

Υπάρχουν κάποιοι που λένε πως όταν ο κόμπος φτάνει στο χτένι, για να λυθεί το πρόβλημα πρέπει να σπάσει το χτένι.. Αλλά σε τέτοια  θέματα δίνει ορθή απάντηση αυτός που 'χει .. το γένι!! :-)

-------------------------------------------------------------------------------------------

Ένα μέλος της φυλής Βουχούνα λέει σε έναν ανθρωπολόγο της Δύσης ότι 2+2=5. Ό ανθρωπολόγος τον ρωτά πως το ξέρει αυτό. Εκείνος λέει: "Μετρώντας, φυσικά. Πρώτα δένω δυο κόμπους σε ένα σχοινί. Μετά δένω  δυο κόμπους σε ένα άλλο σχοινί. Όταν ενώσω τα δυο σχοινιά, έχω πέντε κόμπους". *

*Απο το βιβλίο των T. Cathcart & D. Klein,  ο ΠΛΑΤΩΝ και ΠΛΑΤΥΠΟΥΣ μπαίνουν σε ένα μπαρ.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Να πω ότι ο παραπάνω ιθαγενής δεν είναι ο μόνος για τον οποίο η ισότητα 2+2=5 είναι ορθή.

Ένας άλλος χαρακτήρας που καταλήγει με τον δικό του τρόπο στο ίδιο συμπέρασμα είναι ο Ορντίνωφ

ΟΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ 3ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΑΝΗΓΥΡΙ ΣΤΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΑΡΧΙΣΑΝ!

Η ομάδας ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ διοργανώνει  το Μαθηματικό Πανηγύρι στη Θεσσαλονίκη για τρίτη συνεχόμενη χρονιά.
Το Σάββατο 18 Ιουνίου σχολικές λέσχες ανάγνωσης από κάθε γωνιά της Ελλάδας θα συναντηθούν και πάλι για να παρουσιάσουν τις ομάδες τους, να παρακολουθήσουν τη δουλειά των συμμαθητών τους, καθώς και ενδιαφέρουσες εισηγήσεις και, τέλος, να πάρουν μέρος στο μαθηματικό παιχνίδι ερωτήσεων από τον ευρύτερο χώρο των Μαθηματικών και των Επιστημών.

Μια μέρα γιορτής και χαράς πλαισιωμένη από διασκεδαστικά Μαθηματικά αποτελεί ξεχωριστή εμπειρία για τους συμμετέχοντες.
Αν θέλετε να λάβετε μέρος ως σχολική ομάδα με συμμετοχή στο πρόγραμμα, παρακαλώ επικοινωνήστε με την Κατερίνα Καλφοπούλου στο kalfokat@gmail.com.
Αν απλώς θέλετε να παρακολουθήσετε την εκδήλωση ή να λάβετε μέρος στο παιχνίδι δεν απαιτείται δήλωση συμμετοχής, αρκεί να είσαστε εκεί, στο 1ο Γυμνάσιο Συκεών, στο Επταπύργιο της Θεσσαλονίκης.

Δηλώσεις συμμετοχής μέχρι 10 Μαΐου.
Το αναλυτικό πρόγραμμα θα αναρτηθεί στις αρχές του Ιουνίου.

--------------------------------------------------------

Το ΓΕ.Λ. Νέας Μεσήμβριας ετοιμάζει πυρετωδώς τη συμμετοχή του..
 
Γράφουμε, σβήνουμε, μετράμε..Μετράμε συλλαβές, μετράμε βήματα, σε μια συλλογική προσπάθεια να γράψουμε τραγούδι, να το μελοποιήσουμε και, γιατί όχι, να το χορέψουμε, για να πάρουμε μέρος σε μια εκδήλωση που συνδυάζει το τερπνό με το ωφέλιμο, τη διασκέδαση με την ψυχαγωγία, τη μάθηση με το παιχνίδι..
Και μήπως το σχολείο δεν θα μπορούσε να είναι ένα ατέλειωτο παιχνίδι; Θα μπορούσε, όπως μπορεί και η ζωή μας ολόκληρη..
Αρκεί να ξέρουμε να ορίζουμε τους κατάλληλους κανόνες! :))

 Σημ: Δεν χωρίζουμε το τμήμα σε ομάδες..:) 

Αντιθέτως! Ενώνουμε τις ομάδες, για να έχουμε, αθροιστικά,  καλό αποτέλεσμα.. 

Οι κανόνες ορίζονται σωστά, όταν τηρείται η προκαθορισμένη σειρά
των...αλγεβρικών πράξεων!! :)

Και για να κλείσω θα παραθέσω ένα από τα αγαπημένα μου αποσπάσματα, από ένα από τα αγαπημένα μου βιβλία, από έναν από τους αγαπημένους μου συγγραφείς.. :))

"Και η ηθική και η αισθητική είναι μια άλγεβρα της επιθυμίας  

μια άλγεβρα που πάντα θα διαθέτει, σε όλα της τα παραδείγματα,

ανομολόγητες κακίες και ανομολόγητες καλοσύνες.."

Κάρλο Φραμπέτι, "Το βιβλίο Κόλαση", εκδόσεις Όπερα

ΤΟ ΔΟΓΜΑ ΤΗΣ ΖΩΗΣ: homo homini lupus

"Το δόγμα της ζωής είναι γνωστό από τότε που το πρώτο δίποδο σκότωσε ένα άλλο για να του αρπάξει τη λεία' το απροκάλυπτο "άρπαξε να φας και κλέψε να 'χεις" ήταν όρος επιβίωσης πολύ προτού ο Όμηρος μας προσφέρει την εκλέπτυνση: "αιέν αριστεύειν και υπείροχον έμμεναι άλλων" (ιδίως το δεύτερο που σε καλεί σε συνεχή μάχη). Και οι μεγάλοι ψυχογιατροί τα ίδια λένε: ο άνθρωπος βρίσκεται σε διαρκή αναμέτρηση με τους άλλους' κάθε άνθρωπος προετοιμάζεται για επίθεση και άμυνα. Αλλά το μόνο πλέον θήραμα του ανθρώπου είναι ο άνθρωπος (homo homini lupus)' ένας λύκος με λουρί πολιτισμού που το σπάει με κάθε ευκαιρία: φόνοι, αρπαγές, βιασμοί, ληστείες, πόλεμοι, πυρπολήσεις, λεηλασίες, υποδουλώσεις, αποικιοκρατία, Ιερά Εξέταση, εθνοκαθάρσεις, κρεματόρια, γκούλαγκ, Γκουαντάναμο. Αν αυτή η αλόγιστη επιθετικότητα απαντάει, όπως λένε, στο ένστικτο της απόκτησης, ο Τζένγκις Χαν, ο Τάρας Μπούλμπα και ο Αττίλας είναι σήμερα οι μεγαλοεπιχειρηματίες στις λίστες του Forbes. "

Από το βιβλίο του Διονύση Χαριτόπουλου, "ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΒΛΑΚΕΙΑΣ", εκδόσεις ΤΟΠΟΣ, Αθήνα, 2008*

Δεν είναι απαραίτητο να συμφωνεί κανείς στο εκατό τοις εκατό με τον Δ. Χαριτόπουλο για να παραδεχτεί ότι ο καθένας μας, άνθρωπος ων, κρύβει μέσα του έναν λύκο. Εντάξει, μπορεί αυτός ο λύκος  να βρίσκεται σε κατάσταση ύπνωσης ή, στην περίπτωση που είναι ξύπνιος,  να μην είναι από εκείνους τους πολύ κακούς,  που τρώνε τις μικρές κοκκινοσκουφίτσες. Ίσως πάλι, το ζώο που κρύβουμε μέσα μας  να  μην είναι καν λύκος,  αλλά  ένα  κακό πρόβατο από αυτά  που κρύβουν τον λύκο μέσα τους!  Ακόμη χειρότερα δηλαδή.. Φύλαγέ μας από τέτοιου είδους προβατοπροβιές..
Εν πάση περιπτώσει, χωρίς καθόλου να το εμβαθύνουμε  αναζητώντας το είδος του τετράποδου που κρύβει ο καθένας  μέσα του, νομίζω πως θα πρέπει να δεχτούμε αξιωματικά κι από την εμπειρία μας και μόνο αυτό που πρεσβεύουν οι ψυχογιατροί, όπως λέει κι ο Χαριτόπουλος παραπάνω, δηλαδή πως "ο άνθρωπος βρίσκεται σε διαρκή αναμέτρηση με τους άλλους' κάθε άνθρωπος προετοιμάζεται για επίθεση και άμυνα." 
Αυτή η στάση του ανθρώπου, όπως και κάθε έμβιου που παλεύει για την επιβίωσή του, διεκδικώντας την τροφή του, είναι κατανοητή όταν εκδηλώνεται στη διεκδίκηση των εκ των ων ουκ άνευ της ζωής. Αλλά, με μας τους ευφυείς, το θέμα επεκτείνεται, δεν σταματάει εκεί. Η αναμέτρηση, η επίθεση και η άμυνα αποκτούν έναν βλακώδη χαρακτήρα, όταν δεν έχουν ως κίνητρο την απόκτηση της βοράς, που όποιος την εξασφαλίσει εκείνος μόνο θα επιζήσει,  ούτε την απόκτηση άλλων τινών που ενδεχομένως συμβάλλουν στην εξασφάλιση αυτής της βοράς. Δεν έχουν κίνητρο ούτε την επικράτηση σε μια πνευματική, ας πούμε, αντιπαράθεση, που πιθανόν να οδηγήσει σε ένα θεμιτό ή  ευεργετικό για μας αποτέλεσμα.. Όλα αυτά είναι αποδεχτά και μοιάζουν να έχουν λογική βάση. Όταν το  κίνητρο της αντιπαράθεσης όμως  είναι...θέμα χρόνου, δηλαδή όταν είναι ο ίδιος ο Χρόνος!! Τότε;
Τότε ποια  λογική υπάρχει σ' αυτήν την αναμέτρηση;  Πώς στήνεται η επίθεση σε μια τέτοια διεκδίκηση; Πώς παίζεται η άμυνα; Σε τι σχηματισμό παρατάσσονται οι διεκδικητές;
Ιδού από που ξεκίνησα να σκέφτομαι όσα σκέφτομαι, από αυτό το κείμενο που 'γραψε η Sonata:

"Η παράδοση συνεχίζεται. Ο δάσκαλος δεν τολμά να γράψει την απόδειξη. Βρίσκει αφορμή να σταματήσει το μάθημα και γυρνάει απότομα το κεφάλι. Πιάνει το Σταμάτη να χαϊδεύει τα μαλλιά της Αρετής, τον Αλέξανδρο να κοιτάει έξω απ' τό παράθυρο, τη Ρεβέκκα να κοιμάται.Την Πωλίνα να γράφει κάτι σ' ένα ταλαιπωρημένο χαρτάκι. Τον Κωνσταντίνο να σχεδιάζει μια καρδιά στο θρανίο. Υψώνει τον τόνο της φωνής του, φοράει ένα βλέμμα παραπονεμένο και αυστηρό. Τους μαλώνει. Τους λέει να μαζέψουν το μυαλό τους και να συγκεντρωθούν μπας και μάθουν τίποτα. Κατηγορεί τη γενιά τους και τους προσάπτει αδικήματα :"Αδιάφοροι, τα βρήκανε όλα έτοιμα, καλομαθημένοι". Ξεφυσάει και γυρνά να γράψει την απόδειξη . Ευτυχώς! Ευτυχώς, χτύπησε το κουδούνι. Γλύτωσε την απόδειξη. Καλύτερα! Η πονεμένη του καρδιά ίσως να μην το άντεχε. Μαζεύει τα συμπράγκαλά του από την έδρα, σκύβει το κεφάλι. Φεύγει. Δεν κοιτάει κανέναν. Όσο να 'ναι, η θέα των τριάντα παιδιών να τον κοιτούν κατάματα του δημιουργεί μια κάποια ταχυπαλμία. Δεν τολμά να το πει στον καρδιολόγο του. Το αλάτι το 'χει κόψει εδώ και καιρό. Απλά, τριάντα παιδιά, εξήντα ζευγάρια μάτια, τριάντα καρδιές του θυμίζουν όσα έζησε ή όσα ήθελε να ζήσει μα δεν τα κατάφερε. Του θυμίζουν όσες επαναστάσεις ονειρεύτηκε, όσα συνθήματα ήθελε να γράψει, μα το σπρέι του ήταν πάντα άδειο. Του θυμίζουν το συναίσθημα του να στέκεσαι στη μέση μιας πλατείας, στην καρδιά μιας πολιτείας και να θες να πιάσεις τον κόσμο με τα δυο σου χέρια και να τον τραντάξεις, μα την τελευταία στιγμή πάντα αυτός να ξεγλιστράει μεσ' απ' τα δάχτυλα. Τα θυμάται ολ΄αυτά και το μόνο που ζητά είναι να βρεθεί στο γραφείο των συναδέλφων. Ο διάδρομος γεμίζει από φωνές παιδιών. Γέλια, ανούσιες συζητήσεις, βρισιές, πειράγματα."

Από  την ανάρτηση της μικρής Sonatas,  όπου μας περιγράφει το μάθημα στην τάξη της, με τούτη την σκληρότητα που δείχνουν οι (νέοι) άνθρωποι στον άνθρωπο,  θυμήθηκα το εγχειρίδιο βλακείας του Χαριτόπουλου. Ίσως κάποιο παρόμοιο εγχειρίδιο να 'πρεπε να διαβάζεται στα πλαίσια κάποιου μαθήματος ανθρωπιστικού χαρακτήρα..Για να μαθαίνουμε όλοι πως το δόγμα της ζωής που είναι το "άρπαξε να φας.." δεν θέτει ως αντικείμενο αρπαγής τον Χρόνο.. Ο Χρόνος δεν είναι διαπραγματεύσιμος,  ούτε  είδος που "αρπάζεται"..
Ο Χρόνος δεν χαρίζεται.  Κανενός! Δεν συνδιαλέγεται.. Είναι αγύριστο κεφάλι..
( ο λύκος αν εγέρασε κι άσπρισε το μαλλί του, ούτε τη γνώμη άλλαξε ούτε την κεφαλή του...)
Ο Χρόνος είναι Λύκος..  Είναι λύκος με προβιά..
Μόνο που μας παίρνει χρόνο ώσπου  να το καταλάβουμε.. :))
---------------------------------------------------------------------------------------------------
*Παλιότερη ανάρτηση από το βιβλίο του Δ. Χαριτόπουλου,  υπάρχει εδώ :)

Η απόλαυση του κειμένου στην υπηρεσία της διδασκαλίας των Μαθηματικών

Το κείμενο που ακολουθεί είναι περίληψη της ομιλίας στα πλαίσια της Μαθηματικής Εβδομάδας που πραγματοποιήθηκε  2-3-4-5-6/Μαρτίου στη Θεσσαλονίκη. 

      

 Οι δυσκολίες που αντιμετωπίζει ο εκπαιδευτικός κατά τη διδασκαλία των Μαθηματικών είναι ποικίλες. Οι περισσότερες πηγάζουν κυρίως από την αδυναμία του μεγαλύτερου μέρους των μαθητών να αντιληφθούν τον  αφηρημένο υψηλό κώδικα που χρησιμοποιούν τα Μαθηματικά, επειδή ο κώδικας αυτός, κατά την τυπική σχολική διδασκαλία, δεν διασυνδέεται με τις λοιπές εκφάνσεις της ανθρώπινης διανόησης και σπανιότατα  ξεπερνά το φράγμα της αυστηρότητας και του φορμαλισμού του, για να προσεγγιστεί θεωρητικά, περιγραφικά και διαθεματικά, με αποτέλεσμα να μην προκαλεί στους μαθητές το απαραίτητο ερέθισμα που θα τους κινητοποιήσει και δραστηριοποιήσει, ώστε να συμμετέχουν  στο μάθημα. Για το λόγο αυτό, ο εκπαιδευτικός οφείλει να επινοεί και να εφαρμόζει διάφορες μεθόδους εναλλακτικών προσεγγίσεων του μαθήματος, όπως, για παράδειγμα, τη χρήση κειμένων που αντλούν το θέμα τους από τα Μαθηματικά, είτε ως εφαρμογή είτε ως φιλοσοφία είτε ακόμη και ως δυνατότητα ή ως ιστορία. Μέσω αυτών  με τους κατάλληλους χειρισμούς ο εκπαιδευτικός εισάγει στο μάθημα τον ιστορικό-κοινωνικό-τεχνολογικό περίγυρο των Μαθηματικών. Αξιοποιεί παράλληλα την απόλαυση που μπορούν να προσφέρουν τα εν λόγω «παρα-μαθηματικά» κείμενα. Λέγοντας  απόλαυση εννοούμε την πνευματική χαρά που αισθάνεται ο αναγνώστης μέσω των αισθήσεων ή του πνεύματος όταν διαβάζει ένα κείμενο. Σε πιο γενικό επίπεδο αποδεδειγμένα, μια τέτοια προσέγγιση επιτρέπει να πέσουν τα στεγανά που διαχωρίζουν, στη συνείδηση των μαθητών και όχι μόνο, τις θετικές από τις ανθρωπιστικές επιστήμες και να αναδειχθεί ο ενιαίος και ολιστικός χαρακτήρας  της ανθρώπινης πνευματικής δραστηριότητας.                                   

Το παρακάτω κείμενο περιγράφει συνοπτικά ένα τέτοιο «πείραμα» το οποίο πραγματοποιήθηκε  σε μαθητές της Α' Λυκείου.  Σε μια κατάλληλη χρονική στιγμή, προσποιούμενη πως συμφωνώ με κάποιον μαθητή που αμφισβήτησε τη χρησιμότητα του μαθήματος,  διερωτώμενος  πού μπορεί να χρησιμοποιήσει στο μέλλον την παραγοντοποίηση των αλγεβρικών παραστάσεων, προτείνω να διακόψουμε το όχι ιδιαίτερα χρήσιμο μάθημα και να ασχοληθούμε με κάτι χρησιμότερο, όπως για παράδειγμα να ενημερωθούμε για τα νέα, διαβάζοντας εφημερίδα. Στη συνέχεια, εκμεταλλευόμενη την έκπληξη που τους προκαλεί η απρόβλεπτη συμπεριφορά μου, βγάζω από την τσάντα μου το απόκομμα με το παρακάτω άρθρο κι αρχίζω την ανάγνωση.

Ένα συνηθισμένο πρωινό, ενός συνηθισμένου ανθρώπου [1]  

 του Τεύκρου Μιχαηλίδη [2].

«Το ραδιόφωνο-ξυπνητήρι του Θανάση χτύπησε στις 7:00. Χάρη στην ψηφιακή τεχνολογία, βασισμένη στην αριθμητική ανάλυση και το δυαδικό σύστημα το δωμάτιο γέμισε μουσική, λες και μια ορχήστρα ολόκληρη είχε μαζευτεί στο προσκέφαλό του. Σηκώθηκε. Σε δέκα λεπτά το ψυγείο και το φουρνάκι του, που λειτουργούσαν με fuzzy logic - παρακλάδι της πλειότιμης συμβολικής λογικής που ήταν υπεύθυνη και για την ασφαλή λειτουργία του ΑΒS στο αυτοκίνητό του - του εξασφάλισαν ένα πλούσιο πρωινό. Στις 7:40 πληκτρολογούσε στο συναγερμό τον τετραψήφιο κωδικό του – η θεωρία των πιθανοτήτων λέει πως ο ενδεχόμενος διαρρήκτης είχε μόλις 1 στις 10.000 πιθανότητα να τον παραβιάσει – κι έφυγε ήσυχος για τη δουλειά. Μπήκε στο μετρό - άλλο θαύμα κι αυτό, σήραγγες, κανάλια υπονόμων, δίκτυα παροχής, μια ολόκληρη υπόγεια πόλη σχεδιασμένη με βάση τα γραφήματα του Όιλερ - βολεύτηκε κι άνοιξε την εφημερίδα. «Μείωση κατά 12% των ατυχημάτων μετά την εφαρμογή του αλκοτέστ. 27% των οδηγών συμμορφώθηκαν ήδη με τους νέους αυστηρούς κανονισμούς». 12%, 27%! Και πώς το βρήκανε; Τα νύχια τους μυρίσανε; Γύρισε στα αθλητικά. Ο Κωνσταντίνου να στέλνει με κεφαλιά στα δίχτυα το ημικανονικό 32-εδρο β’ τύπου του Αρχιμήδη – τη μπάλα του ποδοσφαίρου δηλαδή – δέσποζε στην σελίδα. Στις 8:30 έμπαινε στο γραφείο. Άνοιξε τον υπολογιστή (ήταν γεμάτος ολοκληρωμένα κυκλώματα βασισμένα στην άλγεβρα Μπουλ αλλά ο Θανάσης ούτε το ήξερε ούτε ήθελε να το μάθει) και μπήκε στο Ίντερνετ. Ο κώδικας RSA βασισμένος στους πρώτους αριθμούς του εξασφάλισε μια ασφαλή σύνδεση και άνοιξε το ηλεκτρονικό ταχυδρομείο. Μήνυμα από τη Μαρία! – το πρόσωπο. Καλό κορίτσι η Μαρία, σκέφτηκε. Καλλιεργημένη, πρόσχαρη, σπιρτόζα, όμορφη. Ένα μονάχα κουσούρι είχε. Σπούδαζε Μαθηματικά. Χάθηκε να σπουδάσει κάτι άλλο, κάτι πιο κοντά στην καθημερινή ζωή, κάτι χρήσιμο τελοσπάντων! Έτσι σκέφτηκε ο Θανάσης και βγήκε επειγόντως απ’ το e-mail γιατί πλησίαζε ο διευθυντής.»

Με τον κατάλληλο επιτονισμό δίνω έμφαση στην απορία του Θανάση, που εν πολλοίς είναι και απορία των μαθητών χάριν των οποίων διαβάζεται το κείμενο. Από τις αντιδράσεις και τα γέλια που ακούγονται συμπεραίνω πως απολαμβάνουν το κείμενο και το χιούμορ του συγγραφέα. Ίσως μάλιστα ξαφνιάζονται από τη συνύπαρξη των Μαθηματικών με το χιούμορ, καθώς η αυστηρότητα των Μαθηματικών αποκλείει, στο μυαλό τους, κάθε είδους αστεϊσμό. Και ακριβώς αυτό είναι που δίνει τη δυνατότητα περαιτέρω εκπαιδευτικής εκμετάλλευσης του συγκεκριμένου άρθρου. Η έκπληξη και η απόλαυση που προκαλεί:  ένα απολαυστικό άρθρο, όπως το παραπάνω  ωθεί τον αναγνώστη να αναζητήσει την ερμηνεία άγνωστων μαθηματικών όρων, αυξάνει την απόλαυση της αποκαλυπτικής πνευματικής διεργασίας και δίνει το έναυσμα για περαιτέρω ενασχόληση και δραστηριότητα.  

Επιγραμματικά κάποιες από τις δραστηριότητες που μπορούν να πραγματοποιηθούν με αφορμή το συγκεκριμένο άρθρο είναι: 1) Η αναζήτηση, στον Τίμαιο του Πλάτωνα, του χωρίου όπου γίνεται η αντιστοίχιση των κανονικών (πλατωνικών) στερεών με τα τέσσερα στοιχεία της Φύσης.  Για ευνόητους λόγους ανατίθεται κυρίως σε μαθητές με φιλολογική κλίση. 2) Η αναζήτηση ιστορικών στοιχείων για τη ζωή του Leonard Euler, και τον τρόπο που επινόησε και θεμελίωσε τη θεωρία των γράφων, που αποτελεί  βάση και του Διαδικτύου. Ο Euler είναι ένας από τους τέσσερεις μεγαλύτερους μαθηματικούς στην ιστορία των Μαθηματικών! (Οι άλλοι τρεις ποιοι είναι;) 3) Οι πρώτοι αριθμοί, την απειρία των οποίων απέδειξε ο Ευκλείδης, χρησιμοποιώντας για πρώτη φορά τη θαυμαστή αποδεικτική μέθοδο της «εις άτοπον απαγωγής», - του πιο αποτελεσματικού εργαλείου, στις περιπτώσεις που ο άνθρωπος δεν έχει να διαθέσει παρά μόνο το μυαλό του - αποτελούν τη βάση της Κρυπτογραφίας.

 Από κάθε δραστηριότητα ξεπετάγεται μια καινούρια ιδέα, ένα καινούριο πεδίο για αναζήτηση και μαθητική έρευνα. Η περιέργεια εξάπτεται και η κρυφή γοητεία των Μαθηματικών που αποκαλύπτεται σταδιακά κυριεύει τους μαθητές, οι οποίοι ανταποκρίνονται στην πλειοψηφία τους με ενθουσιασμό, αναθεωρώντας σε γενικές γραμμές την άποψη που είχαν αρχικά για το μάθημα. Εκπλήσσονται με τις απεριόριστες δυνατότητες που προκύπτουν κατά τη διασύνδεση των Μαθηματικών με όλους τους υπόλοιπους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας και ξαφνιάζονται ευχάριστα με το γεγονός πως οι ίδιοι βρίσκουν ενδιαφέρον σε ένα μάθημα που θεωρούσαν δύσκολο, ανιαρό ή αδιάφορο. Ακόμη και οι μαθητές με καλή επίδοση ενθουσιάζονται, αν και μερικές φορές, έστω και κεκαλυμμένα, εκφράζουν μια δυσφορία καθώς οι συγκεκριμένες  δραστηριότητες δίνουν σε όλους τη δυνατότητα να ασχοληθούν επιτυχώς με κάτι, που μερικοί από τους πολύ καλούς μαθητές, ίσως,  θεωρούν πως λίγοι το δικαιούνται!

Όμως τα Μαθηματικά είναι ένας κώδικας γραφής και ανάγνωσης, που  δικαιούνται να τον γνωρίζουν  όλοι! Είναι μια γλώσσα και όπως λέει ο Γ. Μπαμπινιώτης «Τελικά, δεν πρέπει ποτέ να ξεχνάμε ότι η γλώσσα μας στο σύνολό της και ως επικοινωνία είναι τα κείμενά μας, και το κυριότερο, ότι ο κόσμος μας είναι τα κείμενά μας, γραπτά και προφορικά». Άρα για να γνωρίσουμε τον κόσμο μας και τα Μαθηματικά, που αναμφιβόλως αποτελούν ένα αναπόσπαστο και θεμελιώδες κομμάτι του, θα πρέπει να έρθουμε σε επαφή με τα κείμενά μας, να τα διαβάσουμε, να τα κατακτήσουμε, αλλά κυρίως να τα απολαύσουμε, με όποια έννοια, αποδίδει ο καθένας μας, αλλά και ο κάθε μαθητής,  σε αυτό.

Τα αναλυτικά αποτελέσματα και συμπεράσματα του εγχειρήματος που περιέγραψα παραπάνω παρουσιάστηκαν σε ομιλία στα πλαίσια των εργασιών την Μαθηματικής Εβδομάδα, που διοργανώθηκε από το παράρτημα Ε.Μ.Ε Κεντρικής Μακεδονίας, στη Θεσσαλονίκη, 2 -6 Μαρτίου. [Μπορείτε να την παρακολουθείσετε στο youtube  εδώ κι εδώ ή να διαβάσετε το πλήρες κείμενο 
εδώ .] 

[1]   Δημοσιεύτηκε στην εφημερίδα Τα ΝΕΑ,,2 Μαρτίου 2005. 
[2]  Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης είναι διδάκτωρ των Μαθηματικών.                                             Εργάζεται ως καθηγητής στη Μέση Εκπαίδευση, είναι συγγραφέας και  μεταφραστής.

ΑΝ ΔΕΝ ΤΟ ΚΑΤΑΝΟΟΥΜΕ ... ΤΟΤΕ ΤΟ ΖΩΓΡΑΦΙΖΟΥΜΕ!

   Για τον Πέτρο, που ασχολήθηκε με την άσκηση της ανάρτησης που 'χει  τίτλο

"το αγόρι με τα πράσινα μάτια",  με τις  θερμές μου ευχές  για επιτυχία στις Πανελλαδικές!

ΓΙΑΤΙ "ΠΗΛΙΚΟ", ΒΡΕ ΑΔΕΡΦΕ;

Δεν λέω πως δεν είναι πολύ τιμητικό να βρίσκουν τη δουλειά σου, να τη δημοσιεύουν και να την αναδημοσιεύουν, ώστε  να φαίνεσαι παραέξω και εσύ που δουλεύεις, αλλά  και αυτό που κάνεις...

Ούτε λέω  πως όταν σου προτείνει κάποιος άγνωστός σου, όπως ο διαχειριστής ενός  site, να στέλνεις άρθρα σου για δημοσίευση στη σελίδα του, ώστε να συμμετέχεις κι εσύ στην αφιλοκερδή προσπάθεια που κάνουν κάποιοι άνθρωποι, "που θέλουν να ανακαλύπτουν, να μοιράζονται, να παρουσιάζουν μια ιδέα, μικρή ή μεγάλη, και να συζητούν γύρω από αυτήν. Μια κοινότητα που αρέσκεται να συζητά ό,τι είναι ενδιαφέρον, έξυπνο ή όμορφο σαν τροφή για περαιτέρω σκέψη...", έχει κάποιο μεμπτό σημείο.. Εκτός κι αν όταν λέμε αφιλοκερδώς, δεν εννοούμε αφιλοκερδώς! Ή δεν εννοούμε  "αφιλοκερδώς για πάντα",  αλλά εννοούμε ότι στο μέλλον κι αφού στο μεταξύ θα έχουν μαζευτεί καμπόσοι με καλές ιδέες που θα τις καταθέτουν δωρεάν για να δημοσιεύονται στη σελίδα, ο διαχειριστής  θα πουλά τη σελίδα του για να διαφημίζεται κόσμος! Νομίζω πως σ' αυτό το σημείο ένα μικρό πρόβλημα υπάρχει...

Και  να επιστρέψω στη σελίδα από το ΒΗMagazino, της 3η του Απρίλη, στο ΑΝΗΣΥΧΟ ΠΟΝΤΙΚΙ δηλαδή του Ηλία Νικολαΐδη και να του πω κι αυτουνού, μια και το έχει η μέρα σήμερα και τη λέω σε όλους όσους πάνε γυρεύοντας,  πως ναι μεν τον ευχαριστώ για την επιλογή του και την προβολή, αλλά θα ήθελα να τον ρωτήσω: γιατί "πηλίκο", βρε αδερφέ; Πώς σου 'ρθε το πηλίκο;  Πηλίκο, αν δεν το ξέρετε, λέγεται  το αποτέλεσμα της διαίρεσης και η διαίρεση φέρνει διχόνοια και διχασμό και εκμετάλλευση ανθρώπου από άνθρωπο.. Κι άλλα πολλά που τα μάθαμε καλά.
Χάθηκε ως τίτλος το γινόμενο ή το άθροισμα; Τόση δουλειά, τόσο προσπάθεια, που κάνουν κάποιοι δάσκαλοι για να γίνουν πολλά τα δυνατά μυαλά, να πολλαπλασιαστούν, να αθροίσουν τις δυνάμεις τους, να βρούνε λύσεις να δούμε  άσπρη μέρα..Τόσα άρθρα, τόσα κείμενα...Πολλά..Γιατί όχι πολλαπλασιασμός, λοιπόν;
Εκτός  πια κι αν το "πηλίκο", προέκυψε από την ιδέα της διαχείρισης στα site και "της μοιρασιάς των καλών, μικρών ή μεγάλων, ιδεών".. Αλλά τους "διαχειριστές", δεν ξέρω πια αν θα μπορώ να τους εμπιστεύομαι..

ΤΟ ΑΓΟΡΙ ΜΕ ΤΑ ΠΡΑΣΙΝΑ ΜΑΤΙΑ...

«Σε μια τάξη 30 μαθητών τα 18 παιδιά  είναι κορίτσια. Από τα αγόρια της τάξης αυτής τα 3 έχουν μαύρα μάτια. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα παιδί, να δείξετε ότι η πιθανότητα  να είναι  αγόρι με πράσινα μάτια  είναι  μικρότερη  ή ίση με 0,3»!

 -------------------------------------------------------------------------------------------------

Ποιος δεν θα πει πως είναι μια πολύ όμορφη άσκηση πιθανοτήτων!? (όποιος δεν έχει τραπεί ακόμη σε φυγή..:) ) Και είναι όμορφη όχι μόνο από μαθηματικής πλευράς, αλλά από κάθε άποψη. Πραγματολογικά, για παράδειγμα, είναι τελείως «επικαιροποιημένη»!!  Λέει «Σε μια τάξη 30 μαθητών»! Τριάντα! Τόσων όσων ακριβώς προβλέπεται να είναι, μαθητές ανά τάξη,  στο «νέο λύκειο»!

Επίσης η αναλογία ανδρών γυναικών πολύ καλή,  προσεγμένη και βολική.. :) Α:Κ=2:3!
Ούτε λίγοι ούτε πολλοί! Τόσοι ακριβώς όσοι πρέπει.. :)

 Όσο δε για τα μαύρα και τα πράσινα μάτια που πρωταγωνιστούν στα δεδομένα, όπως και να το κάνουμε μια κρυφή γοητεία την έχουν.. Δεν θα ήταν το ίδιο αν αντί  του χρώματος των ματιών γινόταν αναφορά στο χρώμα, ας πούμε, των μαλλιών! Τα μάτια, ό,τι χρώμα και να έχουν, είναι ο καθρέφτης της ψυχής μας.. Είναι αυτό που βλέπει ο ένας στον άλλον και καταλαβαίνει την πρόθεση, το βάθος, το συναίσθημα, τη διάθεση αστεϊσμού, τη σοβαρότητα, τη χαρά, τη θλίψη, την ανάγκη, την επιθυμία.. Είναι αυτό που έχουμε χάσει στο μεγαλύτερο βαθμό όλοι όσοι κάνουμε φιλίες  διαδικτυακές, όπου καθόμαστε  και μιλάμε  μεταξύ μας, σύγχρονα κι ασύγχρονα, για πράγματα σημαντικά κι ασήμαντα, χωρίς να ξέρουμε όχι μόνο το χρώμα των ματιών του άλλου, μα ούτε και το σουσούμι του, το περίγραμμά του, τις διαστάσεις του, το εκτόπισμά του.. Δίχως να φανταζόμαστε το βάθος της φωνής του, τον κυματισμό των κινήσεων του και το αθόρυβο ή το θορυβώδες και βροντερό του πάτημα. Ζούμε στους μοντέρνους καιρούς των πολλών "e-φίλων" και της ηλεκτρονικής συντροφιάς, της βουβής παρέας που ανταλλάσσει μηνύματα περιπαιχτικά, άλλοτε καλοπροαίρετα κι άλλοτε δεικτικά και εμπαθή σε μια προσπάθεια (αυτο)επιβεβαίωσης.. ή ακόμη και επικράτησης, κατάκτησης, επιβολής σε έναν άγνωστο που εμφανίζεται από το  πουθενά, από μια σειρά συμπτώσεων- σαν να καταρρέει η κυματοσυνάρτηση, ένα πράγμα :) - στις οποίες συμπτώσεις εμείς  αποδίδουμε τις ερμηνείες εκείνες που  κατά καιρούς  έχουμε ανάγκη να αποδώσουμε, και έτσι, ευκαιριακά,  γίνεται -αυτός ο άγνωστος- αποδέκτης μιας οικειότητας ή ακόμη και μιας ανόητης και αναίτιας επιθετικότητας! :) Αρχίζει μια αντιπαράθεση σαν να 'χουμε κάτι να χωρίσουμε.. Ναι, πράγματι, συμβαίνει κι αυτό. Το βλέπει κανείς όταν διαβάζει  στα blogoσχόλια ή στις συζητήσεις σε forum, facebook κι αλλού εκτενείς αντιπαραθέσεις που ξεκινούν από το τίποτΕ και τραβούν σε μάκρος κι εκφυλίζονται, χωρίς να λένε τίποτε πέρα από το "ό,τι και να μου πεις εσύ, εγώ θα βρω να σου πω κάτι ακόμη ... εξυπνότερο"!!. Αλλά  δεν είναι πάντα εξυπνότερο, μερικές φορές είναι απλά εξυπνακίστικο και ξεχειλωμένο!

Πόσο το ελέγχουμε αυτό, άραγε; Είναι υπολογίσιμο το αποτέλεσμα που επιφέρει μια τέτοια επικοινωνία; Πολλά έχουν γραφτεί και οι έρευνες, όλες σχετικά πρόσφατες αφού πρόσφατα μας προέκυψε  το σπορ τούτο, δίνουν αρνητικά αποτελέσματα, ως προς τις επιδράσεις του στην ψυχολογία μας... Κατάθλιψη προκαλεί και απομόνωση αυτή η επικοινωνία, ενώ  σε κάνει να νιώθεις περιστοιχισμένος από "φίλους" κι ανθρώπους που έχουν τα  ίδια με σένα ενδιαφέροντα ή που έχουν άλλα περίεργα και άγνωστα κι άρα  ακόμη πιο προκλητικά και πιο ενδιαφέροντα, επειδή-όπως λέει κι ένας φίλος- αυτά: "Ίσα-ίσα που είναι πρόκληση!" :)

Όπως και να 'χει, το πρόβλημα υπάρχει.. Η εξαπάτηση.. Το ό,τι  άλλο είναι κι άλλο φαίνεται, συχνά σε ξεγελάει!

Ενώ τα μάτια είναι αλλιώς, δεν ξεγελούν! Τα μάτια ό,τι χρώμα  και να 'χουν, θα πούνε την αλήθεια, επειδή είναι ο καθρέφτης της ψυχής και μέσα τους διαβάζεις κι αντιλαμβάνεσαι τη θέρμη και το ενδιαφέρον, την ειλικρινή  πρόθεση, το νοιάξιμο...

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Αυτή τη φορά, ζητώντας συγγνώμη από τους φίλους τους μη ειδικούς,  θα παραθέσω, μερικώς, τη λύση της άσκησης, επειδή είναι λιγάκι δύσκολη και η δυσκολία της έγκειται στο σωστό ορισμό των ενδεχομένων και την ακόμη σωστότερη επιλογή τους.
Είναι από τα δυσκολότερα πράγματα η επιλογή, το ξανάπαμε... 

Απαιτεί να έχουμε τ' αυτιά μας ανοιχτά και τα μάτια μας δεκατέσσερα!!

ΑΛΗΘΕΙΕΣ ΕΝΤΟΣ ΚΙ ΕΚΤΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ..

...Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο, μικρότερο ή μεγαλύτερο από δύο ορθές; 

"Από τις τρεις πιθανές περιπτώσεις, ένας παλαιός γεωμέτρης θα θεωρούσε την πρώτη ως αληθή, ενώ τις δύο άλλες ψευδείς. Για ένα σύγχρονο όμως αποτελούν τρία διαφορετικά θεωρήματα ενός και του ιδίου συστήματος, ανάλογα με το αν ο αριθμός των παράλληλων του σχετικού αιτήματος είναι ίσος, μεγαλύτερος ή μικρότερος από ένα. Ή ακόμη, μπορούν να συνυπάρξουν στα πλαίσια ενός χαλαρού και πιο γενικού συστήματος, όπου ο αριθμός των δυνατών παραλλήλων παραμένει ακαθόριστος. Το γεγονός ότι στον κόσμο μας η εμπειρία επιβεβαιώνει τη μία και μόνο από τις τρεις προτάσεις, αφορά την πρακτική εφαρμογή της επιστήμης κι όχι την τυπική και καθαρή επιστήμη.
Η ιδέα που εμφανίστηκε στα πλαίσια της θεωρίας των παραλλήλων μπορούσε φυσικά να επεκταθεί και στο σύνολο των αιτημάτων. Έτσι λοιπόν βλέπουμε ν' αποκόπτονται οι δύο όψεις της γεωμετρικής αλήθειας που μέχρι τότε ήταν αλληλένδετες. Ένα θεώρημα γεωμετρίας ήταν συγχρόνως μια πληροφορία για τ' αντικείμενα και μια πνευματική κατασκευή, νόμος της φυσικής και τμήμα του λογικού συστήματος, μια αλήθεια γεγονότος και μια αλήθεια Λόγου.[1] Απ' αυτά τα παράδοξα ζεύγη η θεωρητική γεωμετρία εγκαταλείπει τώρα το πρώτο στοιχείο και το αποδίδει στην εφαρμοσμένη γεωμετρία. Δεν υπάρχει πλέον για τα θεωρήματα ξεχωριστή αλήθεια, δηλαδή ατομική: Η αλήθεια τους είναι, αποκλειστικά και μόνο, η ολοκλήρωσή τους στο σύστημα. Γι' αυτό και ασυμβίβαστα μεταξύ τους θεωρήματα μπορούν να είναι εξίσου αληθή, αρκεί να τα αναφέρουμε σε διαφορετικά συστήματα. Όσο για τα ίδια συστήματα δεν τίθεται πλέον θέμα αλήθειας ή ψεύδους, παρά μόνο με τη λογική έννοια της συνέπειας ή της εσωτερικής αντίφασης.  Οι αρχές που τα διέπουν  είναι απλές υποθέσεις, με τη μαθηματική αποδοχή του όρου: Δεν επιβεβαιώνονται, απλώς τίθενται' δεν είναι αμφίβολες σαν τις εικασίες του φυσικού, αλλά τοποθετούνται υπεράνω αλήθειας ή ψεύδους,  σα μια απόφαση ή σύμβαση. Έτσι η μαθηματική αλήθεια αποκτάει ένα γενικό χαρακτήρα: Το χαρακτήρα μιας ευρύτερης συνεπαγωγής, όπου η σύζευξη όλων των αρχών συνιστά το ηγούμενο και κείνη όλων των θεωρημάτων το επόμενο."

'Ενα απόσπασμα από το βιβλίο "ᾀξιωματική μέθοδος", του Robert Blanche, (συλλογή θεαίτητος, εκδόσεις Καστανιώτη, 1973), που το θυμήθηκα σήμερα λόγω του περί αληθείας θέματος που άνοιξε νωρίτερα..

Στις μέρες μας,  όπου σ' όλα πια τα επίπεδα, ακόμα και σ' αυτό το άκρως ... χαοτικό των φιλολόγων, έχει γίνει  σαφές πως η "αλήθεια" είναι θέμα "πλαισίου" και κοινωνικών ή μη συμφραζομένων, είναι καθαρή αποκοτιά να μιλάει κανείς για την αλήθεια σαν να 'ναι  είδος κατ' απόλυτη τιμή μετρήσιμο!

Η αλήθεια του Χ ταυτίζεται με τη συνέπεια του εντός ενός συγκεκριμένου συστήματος,  έξω από το οποίο ο Χ δεν είναι ούτε αληθής ούτε ψευδής, είναι μια γατούλα του Σρέντιγκερ, που κάθεται ακίνητη και περιμένει να μάθει τι θα κάνει.. να μάθει αν θα ζήσει ή αν θα πεθάνει..

Και για να το "στρογγυλεύσω", όπως λέει κι ο καθηγητής μου στη γλωσσολογία, και να το κλείσω δια παντός, να πω ότι το θέμα δεν είναι να έχεις την Χ αλήθεια ανά χείρας,  το θέμα είναι να βρεις το κατάλληλο σύστημα για να την εναποθέσεις!

Κι αν δεν βρίσκεις κατάλληλο κανένα υπάρχον σύστημα, για ν' αναδείξει την αλήθειά  σου,  τότε φτιάχνεις ένα δικό σου, προσέχοντας, πάρα πολύ, μη μείνεις μοναχός σου :))

 

πολλά ήταν τα ψέματα που είπαμε ως εδώ... 

ας πούμε και μια αλήθεια κι ας πέσει στο γιαλό..

-------------------------------------------------------------------------------------------------

[1] Υπάρχουν ήδη δύο είδη Αληθειών, Αλήθειες του Λόγου και Αλήθειες του Γεγονότος.
Οι Αλήθειες του Λόγου είναι αναγκαίες και το αντίθετό τους είναι αδύνατον' οι αλήθειες του Γεγονότος είναι ενδεχομενικές και το αντίθετό τους είναι δυνατόν. Όταν μια αλήθεια είναι αναγκαία, μπορούμε να βρούμε το Λόγο της με την Ανάλυση, αναλύοντάς την δηλαδή σε ιδέες και αλήθειες απλούστερες, μέχρι να καταλήξουμε στις πρώτες (ιδέες και αλήθειες)
Άρθρο 33 από τη Μοναδολογία του Λάιμπνιτς. Περισσότερα εδώ