Δευτέρα, 31 Αυγούστου 2009

P και "όχι P" ταυτόχρονα, ήτοι: φάσκω και αντιφάσκω

Ο αιώνιος φόβος των μαθηματικών είναι η αντίφαση εκείνη που εμφανίζεται όταν μια πρόταση Ρ ισχύει και δεν ισχύει ταυτόχρονα. Γράφονται σελίδες επί σελίδων για να εξασφαλιστεί a priori πως μια τέτοια αντίφαση δε θα προκύψει ποτέ. Στην καθημερινότητά μας η σημειολογία είναι τελείως διαφορετική από αυτήν των Μαθηματικών. Συμβαίνει κάποτε, και μάλιστα με σχετική ευκολία, να εκφράζουμε την αντίφαση τού "και θέλω και δε θέλω", σε περιπτώσεις που προσμετρούμε ένα προς ένα τα υπέρ και τα κατά σε μια κατάσταση και καταλήγουμε να τα βρίσκουμε περίπου ίσα. Τότε μένουμε, ίσως, κάπως αμήχανοι, ίσως και όχι, μπροστά σε μια απόφαση και την κοιτάζουμε με μισόκλειστο μάτι και μια δόση καχυποψίας. Και ενώ στην καλύτερη περίπτωση μπορεί να βρούμε τη "μέση οδό", στη χειρότερη μπορεί να περιπέσουμε σε αντίφαση. Και όσο πιο σύνθετο είναι ένα πρόβλημα στο οποίο καλούμαστε να πάρουμε απόφαση τόσο πιο δύσκολο είναι να καταλήξουμε μονοσήμαντα κάπου. Το αποτέλεσμα είναι να αυτοαναιρούμαστε και να φτάνουμε σε κείνη την περίεργη αίσθηση του μετεωρισμού. Σε εκείνη την περίεργη κατάσταση που μας κάνει να λέμε "άλλα αντί άλλων" ή "τα έχω κάνει θάλασσα", (μπορεί και "θάλασσα μαύρη"), ή ακόμη - κατά το μαθηματικότερο - "το όλο σύστημα είναι ασυνεπές και καταρρέει από το βάρος του" κλπκλπ. Για να αποφεύγουν παρόμοιες καταστάσεις και να δημιουργούν ισχυρά θεμέλια στις θεωρίες τους, οι μαθηματικοί έχουν επινοήσει τις λεγόμενες αξιωματικές μεθόδους, στις οποίες ευθύς εξαρχής οφείλει να θέσει κανείς τα αξιώματά του, τις θεμελιώδεις εκείνες προτάσεις δηλαδή, που αφενός οφείλουν ρητώς να μην είναι αντιφατικές μεταξύ τους, αφετέρου πρέπει να είναι ακριβώς τόσες, όσες χρειάζονται για να λειτουργήσει θεωρητικά το μοντέλο, το οποίο προβλέπεται να δημιουργήσει το κατάλληλο περιβάλλον "επίλυσης του προβλήματος". Και λέγοντας "πρόβλημα", μπορούμε να εννοούμε οποιαδήποτε κατάσταση έχουμε να αντιμετωπίσουμε, κι όχι κατ' ανάγκην μαθηματικοποιημένη, όπως αυτήν, ας πούμε, που έχει να κάνει με την ίδια την αντιφατικότητά μας και το πως να την εκμηδενίσουμε! Ή, αν το να την εκμηδενίσουμε είναι ανέφικτο, έστω, πως να τη θεωρητικοποιήσουμε έτσι ώστε, αξιωματικά πλέον, να τη θεωρούμε απαραίτητη και σωτήρια!!!
Η " αντίφαση" θα μπορούσε, ίσως, να γίνει ακόμη και συνώνυμη της συνέπειας, κάτω από ορισμένες συνθήκες και με την επιλογή των κατάλληλων αξιωμάτων. Αν, για παράδειγμα, ξεκινούσαμε κάνοντας παραδοχές σχετικές με τη φύση της πραγματικότητας και την αντικειμενική μας αδυναμία να την αντιληφτούμε στο σύνολό της, τότε θα μπορούσαμε να διατυπώσουμε έτσι τα αξιώματά μας, ώστε να προβλέπουν κι αυτήν ακόμη την αντίφαση ως αποδεκτή και διαχειρίσιμη, κάτι που θα μας έσωζε, μάλλον, από την αμηχανία του παράδοξου και την αίσθηση της αποτυχίας. Κάτι, τέλος πάντων, που θα λειτουργούσε διορθωτικά στην αξιοπρέπεια της ανθρώπινης φύσης μας και στις αδυναμίες που την επιβαρύνουν.
Κι επειδή τέτοιες ρηξικέλευθες θέσεις, περί της συνέπειας της αντίφασης, δεν γίνονται εύκολα αποδεκτές, προς επίρρωση των όσων λέω, επικαλούμαι την άποψη του Umberto Eco, αντιγράφοντας ένα απόσπασμα από το βιβλίο του " Η σημειολογία στην καθημερινή ζωή".
Μας λέει ο Eco:

" ΑΝΤΙΦΑΣΚΩ; ΜΑΛΙΣΤΑ ΑΝΤΙΦΑΣΚΩ.

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνει κανείς μόλις τελειώνει το γράψιμο ενός άρθρου για εφημερίδα, είναι να γράφει ένα άλλον στο οποίο να δηλώνει τα αντίθετα. Δεν το λέω για να φανώ κυνικός ή να εκφράσω τη δυσπιστία μου για τις ιδέες. Συμβαίνει μάλλον το αντίθετο. Οι ιδέες είναι λεπτά και πολύπλοκα εργαλεία που, πρέπει κατά κάποιον τρόπο να εξηγήσουμε την πραγματικότητα. Και η πραγματικότητα δε μοιάζει με σφαίρα (που όταν την κοιτάμε από τη μια μόνο πλευρά, όσο λίγη γεωμετρία κι αν ξέρουμε, μπορούμε να μαντέψουμε πώς είναι από την άλλη). Η πραγματικότητα μοιάζει με ακανόνιστο πολύεδρο με το επιβαρυντικό στοιχείο ότι αποτελείται αν όχι από άπειρες πλευρές, τουλάχιστον από ακαθόριστο αριθμό πλευρών. Είναι ένα ιρκομεγάεδρο (η λέξη αυτή, δικής μου έμπνευσης, δε σημαίνει ουσιαστικά τίποτα, αλλά κάνει εντύπωση, θα έχει επιτυχία). Επομένως από οποιαδήποτε μεριά κι αν την κοιτάξουμε, η πραγματικότητα μας αποκαλύπτει μια μόνο όψη της και αυτή η όψη αφήνει στη σκιά τις υπόλοιπες, εξίσου "πραγματικές" (αυτή, αντίθετα, δεν είναι λέξη δικής μου έμπνευσης και σημαίνει πολλά πράγματα, έτσι τείνουμε συνήθως να την παραμελούμε: της δίνουμε λιγότερη αξία από όση της πρέπει).
Ακόμη κι όταν γράφει κανείς ένα βιβλίο πεντακοσίων σελίδων, θα πρέπει πάντα έπειτα να ξαναμελετάει αυτό που η προοπτική έχει θυσιάσει. Πόσο μάλιστα ένα άρθρο που όταν είναι μεγάλο πιάνει τρεις τέσσερις στήλες. Αν προβληματιζόμαστε και προσπαθούμε να δούμε όλες τις όψεις ενός ζητήματος, καταντάμε ασαφείς. Αν είμαστε σαφείς και πειστικοί, πάει να πει ότι κάναμε μιαν επιλογή, αφήσαμε κάτι στο σκοτάδι."

Λαμβάνοντας υπόψη τη θέση του Eco, θα μπορούσαμε να δημιουργήσουμε ένα σύστημα που θα μας έδινε τη δυνατότητα να είμαστε συνεπείς ακόμη κι όταν, φαινομενικά, δεν είμαστε.
Και μάλιστα με δυο μόνο αξιώματα και τις λιγοστές συνέπειες που απορρέουν από αυτά.
Όπως για παράδειγμα:

Αξίωμα 1ο: Η πραγματικότητα είναι ένα ιρκομεγάεδρο.
Συνέπειες:
α) Αν η απόφαση χ είναι αντίθετη στην απόφαση ψ, η αντίφαση αυτή είναι "τοπικό" και "φαινόμενο" φαινόμενο, επειδή, ακριβώς, υπάρχει θέση p, σε κάποιο άλλο σημείο του ιρκομεγάεδρου, όπου το ζεύγος (χ, ψ) είναι απολύτως συνεπές.
β) Αν δεν εντοπίζουμε, άμεσα, τη θέση p, όπου οι χ και ψ παύουν να λειτουργούν ως αμοιβαίως αποκλειόμενες αποφάσεις, δε συμπεραίνουμε πως δεν υπάρχει πάνω στο ιρκομεγάεδρο η θέση p, αλλά πως οι δυνατότητες μας είναι (τοπικά ή χρονικά) περιορισμένες.

Αξίωμα 2ο: Δε θα τηρήσουμε ποτέ το 2ο αξίωμα
(και κανένα άλλο αξίωμα με αύξοντα αριθμό >2!) :)
Συνέπειες: Με δεδομένο μόνο το 1ο αξίωμα διαμορφώνουμε το "ιρκομεγάεδρο" με τρόπο τέτοιον, ώστε να περιέχει και ... δέντρα και α
λσύλια και δάση και ψηλά βουνά και ποτάμια και θάλασσες και ήλιους και ένα αστέρι (.....)φωτεινό!
Το ιρκομεγάεδρο, εν ολίγοις, περιέχει ό,τι θεωρούμε απαραίτητο για να μπορούμε,
όταν μπαίνουμε στο σπίτι μας, να δακρύζουμε ανοίγοντας το φως της βεράντας κι ύστερα να ανασαίνουμε, ξανά, χαμογελώντας.
Κι ενώ τινάζουμε τη σκόνη από το παντελόνι μας, να αψηφούμε την αβεβαιότητα ή, αν το αντέχουμε, να την ενσωματώνουμε στα όνειρά μας...

5 σχόλια:

  1. Γεια σου Κατερίνα,

    Καταρχάς συγχαρητήρια για το blog σου! Βρήκα πολύ ενδιαφέρον το post σου.

    1)Ενδεχομένως το αίσθημα της αμηχανίας και του μετεωρισμού που κάποιες φορές καταλαμβάνει τους ανθρώπους που έρχονται αντιμέτωποι με διλήμματα να πηγάζει από ασυνέπειες, ίσως και ανεπάρκειες, του συστήματος αρχών και αξιών τους, των θεμελίων δηλαδή του χαρακτήρα τους... Υπάρχει βέβαια και ο "γκεντελικός" παράγοντας...

    2)Ενδεχομένως επίσης να ήταν εφικτό να δημιουργήσουμε ένα σύστημα που θα μας έδινε τη δυνατότητα να είμαστε συνεπείς ακόμη κι όταν, φαινομενικά, δεν είμαστε - έχουν τη γοητεία τους τέτοιου είδους σκέψεις. Αυτό όμως προσωπικά δε θα με παρηγορούσε καθόλου. Μιας και ο "χώρος" και ο "χρόνος" είναι δεδομένα για κάθε άνθρωπο (τουλάχιστον, μέχρι και σήμερα), μου φαίνεται θα είχε πιο πολύ νόημα να ψάχνεται κανείς στη διάσταση του "τρόπου" αξιοποιώντας τα δεδομένα που διαθέτει. Και νομίζω ότι το ζητούμενο του "τρόπου" είναι η απόφαση και η ενέργεια' ο προβληματισμός και η σκέψη είναι τα εργαλεία...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Σε ευχαριστώ.

    1) θεωρώ πως ακριβώς αυτό που λες "γκεντελικό" παράγοντα, και δεν είναι παρά η μαθηματικοποιημένη εκδοχή της θέσης στο κείμενο του Eco, είναι ακριβώς αυτό που αφήνει πολλά περιθώρια για μετεωρισμούς και διλήμματα!
    Αλλιώς, με παγιωμένο δηλαδή "αξιακό σύστημα", μμμ, κάτι μου λέει πως υπολανθάνει ο "δογματισμός" που κάθε άλλο παρά προάγει...

    2) Νομίζω πως το θέτεις πολύ σωστά, δεδομένου ότι η "παραμυθία" είναι καθαρά προσωπική υπόθεση.
    Αν υπήρχε μια κοινή για όλους, κάτι στο "one size", θα τα είχαμε βρει με τη φύση μας εδώ και μερικές χιλιάδες χρόνια και θα είχε εκλείψη ακόμη ακόμη και η βία, λέμε τώρα.
    Αλλά δυστυχώς δεν είναι έτσι. Είναι, όμως όντως γοητευτικό να μπορεί κανείς να αντιλαμβάνεται πως δε θέλει... κόπο, αλλά τρόπο!
    Ή όπως το θέτεις ακριβώς:
    θέλει Απόφαση!
    [Στο βάθος δε νομίζω πως διαφωνούμε, πάντως]

    Και πάλι ευχαριστώ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Αραγε η αβεβαιότητα της πολυεδρικότητας είναι μεγαλύτερη απο αυτή της σφαιρικότητας?
    Το σύστημα που θεωρητικά θα μπορούσε να μας δίνει την δυνατότητα να είμαστε συνεπείς ακόμη κι εκεί που φαινομενικά δεν είμαστε, είναι το "ιρκομεγάεδρο" του Eco! (?). Πονηρός ο Ιταλός! Αρκεί να ορίζουμε καθε φορα το σημείο p όπου χ και ψ είναι απολύτως συνεπή ως ζεύγος.
    Άνάσα και χαμόγελο λοιπον...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. ΙΡΚΟΜΕΓΑΕΔΡΟ=

    = 1. to irk = to irritate

    Μας ενοχλάς με τα αβέβαια,
    κάτσε στα αβγά σου τα βέβαια!

    = 2. Γιατι σε ξαποστέλνω στο Σοβιετικό Ιρκουτσκ,
    να μετράς εκεί μεγάεδρα, στου Γκουλάγκ τα λουξ! χαχα :-)

    πρέπει να αμυνθεί και ο κοινός ο νούς! :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. @Michalis Melidonis

    http://www.youtube.com/watch?v=TL7w-4gpvVI&feature=related

    ΑπάντησηΔιαγραφή