Κυριακή, 15 Αυγούστου 2010

Ο ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ "ΑΧΑ", η λαθεμένη παραδοχή και ... λίγες κουζουλάδες!

"Αν στα βιβλία μιας  Βιβλιοθήκης  προστεθεί 1/5 του  αριθμού των βιβλίων της, τότε το πλήθος τους θα ισούται με 3.600! Πόσα είναι τα βιβλία που υπάρχουν  στη Βιβλιοθήκη;"

Το παραπάνω πρόβλημα είναι ένα από τα 47 προβλήματα που περιέχει το "Τετράδιο της Σίβηρης"*. Σκέφτηκα προς στιγμήν να πω, αλλάζοντας τις λέξεις "βιβλία" και "βιβλιοθήκη",  πως το παραπάνω πρόβλημα είναι ένα από τα 84 προβλήματα που περιέχει ο πάπυρος Ριντ, που το 1.700 π.Χ. περίπου, τον αντέγραψε ο αιγύπτιος γραφέας Αχμές, του οποίου την άγνωστη ζωή  έκανε μυθιστόρημα ο Τεύκρος Μιχαηλίδης και εμείς με τη σειρά μας τη διαβάζουμε, είτε κατά μόνας είτε σε λέσχες ανάγνωσης, και αφενός χαιρόμαστε κι αφεταίρου μαθαίνουμε πολλά κι ενδιαφέροντα  πράγματα!  Επειδή όμως είναι πολλοί αυτοί που γνωρίζουν καλά τα προβλήματα του παπύρου Ριντ, ένα τέτοιο ψέμα θα με καθιστούσε μάλλον αναξιόπιστη, ακόμη κι αν η μόνη μου σκοπιμότητα ήταν καθαρά εκπαιδευτικού χαρακτήρα!
Ωστόσο η επινόηση φανταστικών ιστορίων ή η διάνθηση πραγματικών ιστοριών με φανταστικά στοιχεία, αποτελεί αναμφιβόλως θεμιτή εκπαιδευτική μέθοδο, αν βέβαια δεν ξεπερνά κάποια όρια, δεν αποβλέπει σε ιδιοτέλεια και  δεν εγκυμονεί τυχόν κινδύνους. Φυσικά δεν είναι κάτι καινούριο και πρωτοποριακό αυτό που λέω. Είναι μέθοδος που εφάρμοζαν οι δάσκαλοι ανά τους αιώνες, τουλάχιστον όσοι εκ των δασκάλων ήθελαν να ασκήσουν πραγματικά τους μαθητές τους και να τους δώσουν την ευκαιρία να αναπτύξουν όλα τους τα προσόντα, σε τέτοιο σημείο, ώστε να ξεπεράσουν κι αυτούς ακόμη τους δασκάλους τους. Φαίνεται πως στην αρχαία Αίγυπτο ίσχυε σε έναν βαθμό κάτι τέτοιο,  κατά την κρίση σημαντικών μελετητών, όπως οι Toomer, van der Waerden κ.ά. Σαφώς υπάρχει και η αντίθετη άποψη, κάτι που κρίνεται απαραίτητο άλλωστε για να ισχύει ο γενικός κανόνας που θέλει η κάθε "θέση" να προκαλεί και μια -τουλάχιστον- "αντίθεση".
Θα μείνω όμως στη θέση των Toomer και van der Waerden, όχι γιατί έχω την επάρκεια να κρίνω την ορθότητά της, αλλά γιατί απλά τη θέση αυτή τη βρίσκω πολύ πιο γοητευτική από την αντίθετή της. :)

Επανέρχομαι  στο πρόβλημα 47 από το "Τετράδιο της Σίβηρης" και ρωτώ, ξανά, πόσα είναι τα βιβλία που υπάρχουν αυτή τη στιγμή στη Βιβλιοθήκη; Ένα τέτοιο πρόβλημα, για τον καθένα από μας σχεδόν, αποτελεί παιχνιδάκι, αφού δεν απαιτεί τίποτε περισσότερο από την επίλυση μιας πρωτοβάθμιας γραμμικής εξίσωσης με έναν μόνο άγνωστο, κάτι που διδασκόμαστε - κακώς ή καλώς- ήδη από το Δημοτικό. Παρόλα αυτά, και για να έχουμε κοινή αναφορά, παραθέτω τη λύση:
Έστω x  ο αριθμός των βιβλίων που υπάρχουν τώρα στη βιβλιοθήκη, τότε θα ισχύει η σχέση:
x + x/5 = 3.600, άρα 6x/5 = 3.600 κι επομένως x = 3.600/(6/5) = 3.000!
Σωστά; Σωστά και τελείως αλγεβρικά, έτσι, για να προλάβω όποιον σκέφτεται να πει ότι με πρακτική αριθμητική λύνεται άμεσα :) Το θέμα δεν είναι αν θα το λύσουμε αλγεβρικά ή πρακτικά, αλλά ότι το λύνουμε άμεσα και ορθά σε αντίθεση με τους αρχαίους αιγύπτιους που για να λύσουν το παραπάνω πρόβλημα  χρησιμοποιούσουν μια μέθοδο γνωστή ως "μέθοδο της λαθεμένης παραδοχής", η οποία  παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, επειδή συνίσταται σε μια ενσυνείδητη παραδοχή ενός a priori  λάθους! Κάτι σαν το "άσε με να κάνω λάθος", δηλαδή, με τη διαφορά πως εδώ υπήρχε πλήρης επίγνωση του λάθους και  σαφής "σχεδιασμός"  της a posteriori διόρθωσης του λαθεμένου αποτελέσματος! Ακούγεται λίγο δύσκολο, ίσως, αλλά το πράγμα είναι πολύ απλό. Αν, για παράδειγμα,  έλυνα το παραπάνω πρόβλημα με τα βιβλία σαν αιγύπτια, μάλλον σαν αιγύπτιος γιατί δε νομίζω πως τα κορίτσια εκείνης της εποχής ασχολούνταν με τέτοια θέματα :), θα έλεγα:
Έστω ότι η Βιβλιοθήκη έχει  1.000 βιβλία.[λαθεμένη παραδοχή!]
 Αν προσθέσω ακόμη 1/5 θα είναι 1.000 + 200 = 1.200 [λαθεμένο αποτέλεσμα]
Αλλά θα έπρεπε να έχει 3.600, σύμφωνα με το ζητούμενο, δηλαδή το τριπλάσιο του 1.200[σύγκριση]
επομένως η αρχική, λαθεμένη, παραδοχή των 1.000 βιβλίων θα πρέπει να τριπλασιαστεί. [διόρθωση]
Κι άρα η βιβλιοθήκη τώρα έχει 3.000 βιβλία! [ΑΡΙΣΤΑ!]
 Κάπως έτσι θα σκεφτόταν ο αρχαίος αιγύπτιος που θα έλυνε το πρόβλημα αυτό! Αρκεί βέβαια να κατείχε τον Λογισμό των "Αχά". "Αχά" ή "χα" σήμαινε στα αιγυπτιακά "ποσότητα" και "σωρός" και ήταν τρόπον τινά ο άγνωστος "x" που χρησιμοποιούμε εμείς σήμερα για να δημιουργούμε γραμμικές εξισώσεις και να λύνουμε, με  αλγεβρική μέθοδο,  προβλήματα ενός αγνώστου, όπως το παραπάνω.
Αν σας φάνηκε ενδιαφέρουσα η μέθοδος της λαθεμένης παραδοχής και θέλετε να την εφαρμόσετε άμεσα μπορείτε να πειραματιστείτε με το υπ'.αρ. 26 πρόβλημα του παπύρου του Ρίντ, που λέει:
"Μια ποσότητα και το τέταρτο μέρος αυτής μας δίνουν μαζί 15."
Θεωρείται αυτονόητο πως το ζητούμενο είναι η αρχική ποσότητα. Η δυσκολία της γραφής, η έλλειψη γραφικών υλών κι άλλες τινές δυσκολίες, ή ίσως ακόμη και η οικολογική συνείδηση, ωθούσαν τους γραφείς να καταγράφουν τα άκρως απαραίτητα, παραλείποντας ο,τιδήποτε μπορούσε εύκολα ή και λιγότερο εύκολα να εννοηθεί..
Μέχρι εδώ όμως τίποτε δεν φαίνεται να επαληθεύει τον αρχικό μου ισχυρισμό πως δηλαδή ακόμη και οι σοφοί δάσκαλοι στην αρχαία Αιγύπτο, χρησιμοποιούσαν φανταστικές ιστορίες ή διάνθιζαν πραγματικές ιστορίες με φανταστικά στοιχεία έχοντας καθαρά διδακτικό σκοπό.
Αυτή ακριβώς είναι η θέση των Toomer και van der Waerden, που ισχυρίζονται ότι ο πάπυρος Ριντ ήταν ένα εκπαιδευτικό εργαλείο, επειδή περιείχε μαθηματικές δραστηριότητες οι οποίες υπήρχαν "χάριν αυτών των ιδίων". Απόδειξη αποτελεί το πρόβλημα υπ' αρ. 40 του παπύρου, το οποίο ζητάει να μοιραστούν 100 ψωμιά σε 5 άνδρες, ώστε  οι δύο τελευταίοι να πάρουν το 1/7 των τριών πρώτων (και τα μερίδια όλων να διαφέρουν κατά σταθερή ποσότητα)!
Πού αντιμετωπίζει κανείς προβλήματα τέτοιας φύσης στην καθημερινότητά του; Ποιος μοιράζει τα ψωμιά με τέτοιους κανόνες ίσων διαφορών; Κανείς! Τα "επινοημένα" προβλήματα, τα  εκτός πραγματικότητας,  υπάρχουν στον πάπυρο του Ρίντ, για να εξυπηρετούν εκπαιδευτικούς στόχους.           
Οι "επινοημένες" ιστορίες, στο χώρο των Μαθηματικών, συχνά έχουν ως στόχο την ενασχόληση με θέματα που ξεφεύγουν από τα στενά όρια και τους αυστηρούς κανόνες. Άλλοτε ως ιστορίες, άλλοτε ως γρίφοι κι ως "quiz", κι άλλοτε ως σκέτα παραμύθια, δεν περιορίζονται στην ομορφιά των αριθμών και των κρυμμένων τους ιδιοτήτων, αλλά ανοίγουν δρόμους, για να βαδίζει η σκέψη και χαράζουν ρότα για να αρμενίζει η φαντασία. Ταξίδια μετ' επιστροφής!  220 km στο πάνε, 284 στο έλα! Έλα!?.. :)
..................................................................................................................

Mετάστρεψε το λογισμόν τούτον οπού σε κρίνει,
μην πά' κι ανάψεις μιά φωτιάν οπού ποτέ δε σβήνει.
Aδέρφι, τά σου γρίκησα, τά μου 'χεις μιλημένα,
ποτέ μου δεν τα λόγιαζα, μηδ' έλπιζα σε σένα..
[Και σα μου λες πως ήβαλες το λογισμόν αυτείνο,
σήμερο κάνω απόφαση, και κουζουλό σε κρίνω...]
                                                                                             Ερωτόκριτος.
.......................................................................................................
"Σήμερο", λέμε! Σήμερο που είναι  της Παναγίας
 και γιορτάζει η Ελλάδα σύμπασα!
 Γιορτάζει κι ελπίζει. Για την επαύριον βλέπομεν...
 Χρόνια Πολλά!
----------------------------------------------------------------------------

*Το "τετράδιο της Σίβηρης", φαντάζομαι πως είναι ένα απλό τετράδιο, [αλλά με αυτό το... βαρύγδουπο όνομα :)], που το 'χω όλο το καλοκαίρι δίπλα μου, για να σημειώνω σκέψεις, ιστορίες και σχόλια φίλων, καθώς και κουζουλάδες δικές μου. Αλλά δεν είναι... Δεν υπάρχει, δηλαδή, κάτι τέτοιο.
Όλο λέω να πάρω ένα τετράδιο γι' αυτό το σκοπό κι όλο το ξεχνώ!
 Έτσι γράφω μόνο στο νου, αν δεν είναι χαμένος! :)

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου