Τρίτη, 28 Απριλίου 2009

Ο ΑΝΘΡΩΠΟΣ ΠΟΥ ΑΓΑΠΟΥΣΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

Αναμφιβόλως ο Πυθαγόρας έδωσε πρώτος περίεργα ονόματα στους αριθμούς, όπως: τρίγωνοι, τετράγωνοι, πεντάγωνοι, τέλειοι, φίλιοι ή φιλικοί κλπ κλπ και τους ταξινόμησε σε ποικίλες κατηγορίες, ανάλογα με τις ιδιότητες που τους χαρακτηρίζουν.
Ο δικός μου αγαπημένος διψήφιος είναι το 28, επειδή και τέλειος είναι, δηλαδή το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του ισούται με αυτόν, (1+2+4+7+14=28 (!)) και τρίγωνος είναι αφού μπορούμε να διατάξουμε 28 κουκίδες με τρόπο ώστε να αποτελούν ένα όμορφο ισόπλευρο τριγωνάκι! Και επειδή "οι τέλειοι αριθμοί είναι τόσο σπάνιοι όσο και οι τέλειοι άνθρωποι", όπως γράφει ο μεγάλος αριθμοθεωρητικός G.H. Hardy στο βιβλίο του "η απολογία ενός μαθηματικού", το 28 και μόνο γι' αυτή του την ιδιότητα, την τελειότητα, είναι ο αγαπημένος μου.
(Μονοψήφιος τέλειος είναι ο 6, αφού 1+2+3=6, τριψήφιος ο 496, τετραψήφιος ο 8128 κλπ).

Από τότε λοιπόν, από την εποχή του Πυθαγόρα, οι μαθηματικοί δεν έπαψαν να παίζουν με τους αριθμούς και να ανακαλύπτουν διάφορες ιδιότητές τους, που μερικές φορές είναι τόσο εξεζητημένες ώστε φτάνεις να αναρωτιέσαι τι νόημα έχουν και σε τι μπορεί να χρησιμεύουν ιδιότητες εγγενείς στο σύνολο των ακέραιων... όπως για παράδειγμα οι ακέραιοι αριθμοί 714-715, που θα μπορούσαν απλά να αποτελούν το νούμερο τηλεφώνου ενός κατοίκου της Θεσσαλονίκης ή της Πάτρας, ας πούμε. Και όμως οι δυο αυτοί αριθμοί έχουν κάποιες μυστήριες ιδιότητες.
Αρχικά αποτελούν τους αριθμούς ρεκόρ των νικών που σημείωσαν στο μπέιζμπολ ο Μπέιμπι Ρουθ, το 1935 και ο Χανκ Άαρον το 1974, αντίστοιχα!
Αυτό βέβαια δεν αποτελεί ακριβώς ό,τι λέμε "αριθμητική ιδιότητα", αποτελεί όμως την αφορμή που ο Καρλ Πόμερανς, ένας νεαρός μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Τζόρτζια
και προφανώς φαν του μπέιζμπολ, παρατήρησε, με τον τρόπο που παρατηρούν οι μαθηματικοί, αυτούς τους δύο αριθμούς. Τους "έσπασε", όπως έκαναν και οι πυθαγόρειοι, σε άλλους αριθμούς και διαπίστωσε πως το γινόμενό τους ισούται με το γινόμενο των εφτά μικρότερων πρώτων, δηλαδή ότι: 714 x 715 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17.
Κάποιος φοιτητής του στη συνέχεια διαπίστωσε ότι
714 = 2 x 3 x 7 x 17
και 715 = 5 x 11 x 13 ,
αλλά 2 + 3 + 7 + 17= 5 + 11 + 13
Μετά από αυτό υπήρχαν όντως αριθμητικές ιδιότητες, κάτι που έδινε το δικαίωμα στους 714 και 715 να "διακριθούν", γι' αυτό ονομάστηκαν αριθμοί "Ρουθ-Άαρον" !
Οι μαθηματικοί, όπως πάντα, μόλις ανακαλύψουν κάτι καινούριο, θέτουν αμέσως την ερώτηση: πόσα τέτοια να υπάρχουν άραγε;
Με χρήση υπολογιστών βρέθηκαν μόνο 26 ζεύγη τέτοιων περίεργων αριθμών, αλλά ο Πόμερανς είκασε πως υπάρχουν άπειρα.
Ο Πώλ Έρντος, όταν διάβασε το άρθρο που δημοσίευσε ο Πόμερανς, του τηλεφώνησε για να του πεί πως είχε ήδη αποδείξει την εικασία του κι έτσι ξεκίνησε μια συνεργασία από την οποία προέκυψαν εικοσιένα πρωτότυπα άρθρα.

"Ο Πολ Έρντος υπήρξε ένας απο τους πιο παραγωγικούς όσο και εκκεντρικούς μαθηματικούς της εποχής μας, ένας άνθωπος με αφάνταστες πνευματικές δυνάμεις, ανίκανος, ωστόσο, να διαχειριστεί ακόμη και τα πιο απλά, καθημερινά πράγματα.", όπως γράφει στο οπισφόφυλλο του βιβλίου "Ο ΑΝΘΡΩΠΟΣ ΠΟΥ ΑΓΑΠΟΥΣΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ", του Πολ Χόφμαν που κυκλοφόρησε μόλις από τον εκδοτικό οίκο Α. Α. ΛΙΒΑΝΗ, σε μετάφραση του Τεύκρου Μιχαηλίδη.
"Η ευρυματική και πρωτότυπη αυτή βιογραφία ρίχνει μια διερευνητική ματιά στη ζωή του Έρντος, ξεναγώντας τον αναγνώστη στον κόσμο των πιο λαμπρών και ιδιοφυών ερευνητών, καθώς και των πιο σημαντικών μαθηματικών ανακαλύψεων του 20ου αιώνα"

"Για να ανακαλύψει κανείς στον αιώνα μας κάποιον άλλον άνθρωπο που να έχει αφιερώσει τόσο απόλυτα τη ζωή του στην αφαιρετική σκέψη, θα πρέπει να ανατρέξει στον Λούντβιχ Βιτγκενστάιν (1889-1951), που απογύμνωσε τη ζωή του για χάρη της φιλοσοφίας. [...]
Κι ενώ ο Βιτγκενστάιν πορεύτηκε με σχεδόν αυτοκτονικές παρορμήσεις ο κ. Έρντος οικοδόμησε τη ζωή του έτσι ώστε να αποσπάσει από αυτήν όσο το δυνατόν περισσότερη ευτυχία."
The Economist

8 σχόλια:

  1. Με αφορμή τα όσα ωραία διάβασα:
    Μήπως, μέσα στο άπειρο των αριθμών, είναι δυσκολότερο να ερευνά κανείς ιδιότητες δεδομένων αριθμών από το να τις καθορίζει πρώτα και μετά να ψάχνει ποιοί τις πληρούν;
    Επίσης, μήπως ένα 3δικό ή 12δικό ή 28δικό σύστημα αντί του 10δικού διευκόλυνε τη διαλεύκανση των ιδιοτήτων; Υπάρχουν σχετικά αναγνώσματα ή μήπως οι απορίες μου είναι της πλάκας;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. καλημέρα κι ευχαριστώ.

    Μου θυμήσατε έναν καθηγητή μου στο Πανεπιστήμιο που έλεγε: δεν υπάρχουν χαζές ερωτήσεις, μόνο χαζές απαντήσεις υπάρχουν! Με την ίδια λογική δεν υπάρχουν "απορίες της πλάκας", πιθανότατα όμως να υπάρχουν τέτοιου είδους απαντήσεις...

    Θα προσπαθήσω να δώσω μια απάντηση στις ερωτήσεις σας, στο βαθμό που μπορώ κι ελπίζω να έχει μια δόση τουλάχιστον σοβαρότητας.
    Σαφώς και μέσα στο άπειρο των αριθμών είναι δυσκολότερο να ερευνά κανείς ιδιότητες δεδομένων αριθμών, απλά τις παρατηρεί "κατά τύχη". Σκεφτείτε πως αν οι Ρουθ - Άαρον είχαν ένα άλλο ρεκόρ δεν θα είχε παρατηρηθεί ίσως η ιδιότητα των 714-715.
    Έτσι νομίζω πως λειτουργούν τα καθαρά μαθηματικά, "ανακαλύπτουν" τις ιδιότητες που έχουν(!) οι ακέραιοι.
    Πλατωνική άποψη, αλλά ομολογώ πως δε μπορώ να σκεφτώ κάτι μη πλατωνικό στο συγκεκριμένο θέμα. Αντιθέτως αν "ορίσουμε" ιδιότητες τότε λειτουργούμε αξιωματικά ή φορμαλιστικά και a priori κατασκευάζουμε ένα μαθηματικό σύμπαν. Αυτό όμως είναι μια πολύ μεγάλη κουβέντα κι ίσως μου δίνεται ένα κίνητρο να σκεφτώ περισσότερο μερικά πράγματα.

    Τώρα γιατι δεκαδικό σύστημα; Καταλήξαμε ως είδος μετά από πολλές αναζητήσεις στο δεκαδικό μάλλον λόγω της ανατομίας μας. Πεντάδες-δεκάδες-εικοσάδες αποτελούν τα δάχτυλά μας και βολεύουν στην μέτρηση.
    Ελπίζω να δοθούν απαντήσεις στις απορίες σας κι από άλλους.
    Ίσως συμπληρώσω κι εγώ κάτι ακόμη.
    Προς το παρόν εύχομαι σε όλους καλό ΠΣΚ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Κι εγώ αυτή την εξήγηση θα έδινα για την επικράτηση του δεκαδικού συστήματος (μου φαίνεται, μάλιστα, προφανές, αν και είχα και κάποτε ένα δάσκαλο στο δημοτικό που του το είχα πει και αρνήθηκε να το σχολιάσει). Πέραν τούτων, κατά καιρούς διαβάζω ότι η εξιχνίαση των ιδιοτήτων των πρώτων αριθμών ίσως είναι το κλειδί για την κατανόηση του συνόλου των μαθηματικών, μου έχει, όμως, γεννηθεί η εντύπωση ότι οι ιδιότητες αυτές είναι κατά κάποιο τρόπο «συμβατές» με τον τρόπο που επιλέγουμε να σκεφτούμε και με τους κανόνες που έχουμε θέσει εξ αρχής. Όχι ότι μπορεί –ή πρέπει- να γίνει και πολύ διαφορετικά, αλλά συμφωνώ απολύτως με το σχόλιό σας περί εξεζητημένων ιδιοτήτων, πιστεύοντας παράλληλα ότι θα συμφωνούσαμε και στην αποκήρυξη της χρησιμοθηρίας, τουλάχιστον στην ακραία της μορφή.
    Με αφορμή αυτά, καθώς και τη σχέση των Ruth-Aaron με το ισχύον σύστημα αρίθμησης, θα ήθελα να επιμείνω στα «της πλάκας» και να δοκιμάσω λίγο τα νεύρα σας, περιγράφοντάς το εξής πείραμα:
    Παίρνουμε ένα ζεύγος Ruth-Aaron, υψώνουμε τους όρους του στο τετράγωνο και αφαιρούμε τη μεταξύ τους διαφορά από το αντίστοιχο επταδικό της. Προσθέτουμε το 1 και τι βρίσκουμε; Πρώτο!
    Ισχύει για πολλά ζεύγη, σίγουρα τα (5,6), (8,9), (15,16), (24,25), (49,50), (77,78), (492,493), (714,715), (1520,1521), (1682,1683), (5405,5406), (26642,26643) και για άλλα, αν και σίγουρα όχι για όλα. Θα παρατηρήσω πάντως ότι ισχύει για όλα αυτά η παραγοντοποίηση των όρων των οποίων μπορεί να γίνει διαζευκτικά είτε με πολλαπλή (επαναλαμβανόμενη) είτε με μοναδική χρήση των σχετικών πρώτων (είμαι σίγουρος ότι υπάρχει σχετική ορολογία, αλλά δεν την ξέρω…).
    Δεν ξέρω αν κι άλλες ιδιότητες αριθμών έχουν προκύψει από παρόμοιες λανθασμένες ή λογικοφανείς συνταγές (ή αν η παραπάνω «εφεύρεσή» μου έχει συμπτωματικά τον ίδιο μηχανισμό με τα quiz που σε βάζουν να σκεφτείς έναν αριθμό, σου λένε να κάνεις μερικές πράξεις και βρίσκεις την ηλικία σου), αλλά πάντως μου φάνηκε ενδιαφέρον το, σχετικά σταθερά, επαναλαμβανόμενο του πράγματος, παρ’ ότι περιέχει ένα εσκεμμένο λάθος, ή μάλλον ειδικά λόγω αυτού.
    Γενικά πάντως δεν είμαι τόσο αργόσχολος, μη νομίζετε… :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. νομίζω πως δεν κατάλαβα καθόλου τον "αλγόριθμο" που περιγράφετε!
    θα το πω με παράδειγμα για να γίνει κατανοητό.
    Παίρνω το ζεύγος (5, 6), τα αντίστοιχα τετράγωνα είναι 25 και 36, η μεταξύ τους διαφορά (κατά απόλυτη τιμή) 11, η αντίστοιχη επταδική της (του 11?) μια εφτάδα και τέσσερις μονάδες άρα είναι 14, οπότε 14 μείον 11 κάνει 3! Προσθέτουμε το 1 και τι βρίσκουμε?
    Το 4, που δεν είναι πρώτος!
    Όπως σας είπα δεν κατάλαβα καθόλου τα βήματα που ακολουθήσατε και καταλήξατε στο συμπέρασμά σας.
    Αν θέλετε μου εξηγείτε τι έκανα λάθος στη σειρά των βημάτων που περιγράφετε/

    Νομίζω πως κρύβετε μέσα σας έναν Πιερ ντε Φερμά !!!
    (Και ο Φερμά δεν ήταν ο μόνος νομικός που συνεισέφερε τα μέγιστα στα Μαθηματικά!)

    καλό σας βράδυ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Καλή σας μέρα,
    θα διαφωνήσω εν μέρει μαζί σας. Είναι -όντως- ευκολότερο να βρεθούν αριθμοί που πληρούν μία συγκεκριμμένη ιδιότητα ( για αυτό άλλωστε έχουμε τους υπολογιστές) παρά για ένα τυχαίο ζεύγος αριθμών να βρούμε μία ιδιότητα που έχουν. Η θέσπιση όμως του κριτηρίου- ιδιότητας νομίζω ότι είναι πολύ πιο δύσκολη και πολύ πιο σημαντική λειτουργία. Τα θεωρήματα άλλωστε είναι ιδιότητες που ικανοποιούνται από το σύνολο των αριθμών και σε αυτή την περίπτωση ούτε οι Η/Υ μπορούν να βοηθήσουν. Άλλωστε το παράδειγμα με το πείραμα σας, αν και δε μου είναι απόλυτα κατανοητό νομίζω ότι συγκλίνει προς την άποψή μου. Θα το χαρακτήριζα απίθανο, ίσως κάπως "διαστροφικό" να ψάξει κάποιος να βρει τα ζεύγη εκείνα των αριθμών που "υψώνοντας τους όρους τους στο τετράγωνο και αφαιρώντας τη μεταξύ τους διαφορά από το αντίστοιχο επταδικό της και προσθέτοντας το 1 βρίσκουμε πρώτο". Αντίθετα τα αντίστροφο, ψάχνοντας μια ιδιότητα για δεδομένα ζεύγη μόλις το κάνατε!!!

    Ως προς το δεκαδικό σύστημα θα συμφωνήσω απόλυτα μαζί σας. Και εγώ νομίζω ότι είναι θέμα καθαρα πρακτικό, αν και σε περίπτωση που μου δινόταν η δυνατότητα να το ορίσω από την αρχή θα επέλεγα το δυαδικό σύστημα. Γιατί μπορεί να έχουμε 10 δάχτυλα στα χέρια μας, ανοιγοκλείνοντας τα όμως μπορούμε να σχηματίσουμε 1024 διαφορετικούς αριθμούς!!!

    Τέλος, κάτι λίγο διαφορετικό. Τη σημασία της συνεργασίας στην επιστήμη ίσως ο πρώτος που τη συνέλαβε πλήρως είναι ο Πόλ Έρντος, ο οποίος ανέπτυξε ατέλειωτες συνεργασίες. Προς τιμήν του καθιερώθηκε ο αριθμός Erdos. Όσοι έχουν δημοσιεύσει ένα μαθηματικό άρθρο μαζί του έχουν αριθμό 1. Όσοι έχουν δημοσιεύσει μαζί με έναν από αυτούς έχουν αριθμό 2 κλπ. Αν θυμάμαι καλά ο μεγαλύτερος αριθμός Erdos είναι γύρω στο 15!! και η συντριπτική πλειοψηφία έχει λιγότερο από 10. Και αυτό ίσχυε για αρκετά χρόνια μετά το θάνατο του. Εξαιρούνται φυσικά οι ελάχιστοι αυτοί που δεν έχουν τέτοιο αριθμό.

    Οι επισκέψεις σε αυτό το blog συχνά είναι καταστροφικές για την τσέπη... Παρόλα αυτά ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ. Πρέπει να πάω αύριο να βρω το "Ο ΑΝΘΡΩΠΟΣ ΠΟΥ ΑΓΑΠΟΥΣΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ"

    Και πάλι καλή σας μέρα

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Αγαπητέ Ανώνυμε

    ο τρόπος που εκφραζόσαστε για τα πράγματα δείχνει πως είσαστε πολύ νέος και δεν εννοώ -μόνο- στην ηλικία, κυρίως εννοώ στην τεχνολογία!
    Διαφωνείτε μαζί μου, αλλά δεν κατάλαβα σε τι!
    Πιστεύετε πως ο "κανόνας" θέλει να θεσπίζονται οι ιδιότητες των αριθμών και στη συνέχεια να γίνεται έλεγχος μέσω των υπολογιστών για το αν υπάρχουν αριθμοί και πόσοι που ικανοποιούν αυτές τις ιδιότητες? Αν πράγματι συμβαίνει αυτό που περιγράφετε σίγουρα δεν αποτελεί τον κανόνα και δεν είναι ο μοναδικός τρόπος ανακάλυψης τέτοιων περίεργων ιδιοτήτων που ικανοποιούν οι ακέραιοι!
    Το παράδειγμα των αριθμών Ρουθ-Άραρον, άλλωστε, επικυρώνει τον ισχυρισμό μου! Ο Πόμερανς δεν όρισε πως θα ονομάζονται έτσι δύο διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί στην περίπτωση που το άθροισμα των πρώτων παραγόντων του ενός ισούται με το άθροισμα των πρώτων παραγόντων του άλλου και στη συνέχεια άρχισε να ψάχνει που βρίσκονται αυτά τα ζεύγη. Αν συνέβαινε αυτό θα εντόπιζε το ζεύγος (5, 6) πρώτο και καλύτερο και ενδεχομένως τα συγκεκριμένα ζεύγη να ονομάζονταν, ζεύγη Πόμερανς, προς τιμή του!!!
    Όμως ξέρετε ήδη πως ανακαλύφτηκε αυτή η ιδιότητα, από την παρατήρηση και μόνο του ζεύγους 714 και 715!
    Άλλωστε, αυτό που ισχυρίζεστε περί υπολογιστών σίγουρα θα έβρισκε ολοκληρωτικά αντίθετο τον Πολ Έρντος, ο οποίος διαφωνούσε κάθετα με τη χρήση υπολογιστών και τα μόνα του εργαλεία ήταν το χαρτί και το μολύβι!
    Θα αναγκαστώ ωστόσο να συμφωνήσω μαζί σας πως είναι πράγματι "διαστροφικό" να ψάξει κάποιος να βρει ένα προς ένα τα ζεύγη κλπκλπ!
    Αλλα μάλλον είναι διαστροφικό για μας που ζούμε σε εποχή μεγάλης ταχύτητας. Αυτήν ακριβώς τη διαδικασία ακολούθησε και ο Euler, όταν προσπάθησε να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Φερμάτ...
    Έψαχνε έναν έναν τους αριθμούς 3, 4, 5, 7, ... για να διαπιστώνει πως η εξίσωση χ^ν + ψ^ν = ω^ν δεν έχει ακέραιες λύσεις!

    Πάντως χαίρομαι ιδιαίτερα που θα αγοράσετε και θα διαβάσετε το βιβλίο! Εύχομαι να το απολαύσετε όσο κι εγώ.

    καλή βδομάδα

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Έχετε δίκιο, δεν ισχύει για το πρώτο ζεύγος, το λάθος μου οφείλεται σε μια παράμετρο του προγράμματος μετατροπής σε επταδικό. Τα υπόλοιπα, πάντως, είναι σωστά. Όχι ότι έχει κάποια ιδιαίτερη σημασία, εκτός ίσως του ότι δικαιώνεται η επιμονή του Έρντος στο μολύβι του. Δεν νομίζω πάντως ότι θα μπορούσε εύκολα να επιχειρηματολογήσει κανείς σήμερα υπέρ της άρνησης της τεχνολογίας, είτε στα μαθηματικά, είτε στα νομικά, είτε όπου αλλού. Και δεν είναι τόσο θέμα απόδειξης, όσο θέση αρχής. Θα το επεξέτεινα, αλλά εδώ και μια βδομάδα η FORTHnet αρνείται να επιδιορθώσει τη βλάβη του δικτύου της, με αποτέλεσμα να μην έχω internet, να χρησιμοποιώ το κινητό μου τηλέφωνο και τα δάχτυλά μου να έχουν πάθει κράμπες.
    Σας χαιρετώ,

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. πράγματι οι επισκέψεις σε αυτό το μπλογκ μας ξεσηκώνουν να επισκεφτούμε το ταχύτερο το κοντινότερό μας βιβλιοπωλείο...

    ΑπάντησηΔιαγραφή