Παρασκευή, 13 Μαΐου 2011

ΚΑΘΕ ΧΡΟΝΟ ΤΕΤΟΙΕΣ ΜΕΡΕΣ..

  Κάθε χρόνο τέτοιες μέρες μαζί με τους εκατοντάδες χιλιάδες  τελειόφοιτους  και τους γονείς τους που καρδιοχτυπούν αγωνιώντας για την έκβαση των Πανελλαδικών Εξετάσεων, καρδιοχτυπούν και οι εκπαιδευτικοί, που διδάσκουν, υποδεικνύουν, βοηθούν και υποστηρίζουν τους μαθητές,  προετοιμάζοντάς τους για αυτήν την πανελλαδική εξέταση.
   Μαθητές, γονείς, καθηγητές, στον πυρετό της τελικής αναμέτρησης.
 Όσοι δε από τους εκπαιδευτικούς είναι  μέλη των Λυκειακών Επιτροπών που συντονίζουν τις  διαδικασίες στα Εξεταστικά Κέντρα και συμβάλλουν στην ομαλή και αδιάβλητη διεξαγωγή των εξετάσεων, νομίζω πως καρδιοχτυπούν διπλά. Μεγάλη η ευθύνη! Απαιτεί αυξημένη ευσυνειδησία, όπως άλλωστε απαιτεί γενικότερα το επάγγελμα του εκπαιδευτικού. Αλλά δεν  φτάνει μόνο η ευσυνειδησία, για να κάνουμε σωστά τη δουλειά μας. Και για να είμαστε βέβαιοι πως μιλάμε για το ίδιο πράγμα και πως οι λέξεις δεν έχουν χάσει το νόημά τους δυσχεραίνοντας τη μεταξύ μας επικοινωνία, νομίζω πως θα πρέπει εδώ και τώρα να ορίσουμε από κοινού τη λέξη «ευσυνειδησία», επικαλούμενοι το λεξικό: Εξ ορισμού, λοιπόν, ισχύει το ακόλουθο:  «ευσυνειδησία (η) [μτγν.]{χωρίς πληθ.} η βαθιά επίγνωση από κάποιο πρόσωπο των ευθυνών και των καθηκόντων του, η αφοσίωση στην εκτέλεση του καθήκοντος και γενικότερα η ακεραιότητα του χαρακτήρα»(Γ. Μπαμπινιώτης)  

  Χθες, πρώτη μέρα των Πανελλαδικών εξετάσεων, στο δικό μας Εξεταστικό Κέντρο, από υπηρεσιακής πλευράς, όλα εξελίχτηκαν ομαλά, ακριβώς όπως απαιτεί – σε τέτοιες περιπτώσεις – το πρωτόκολλο! Πινακίδες, διαβιβαστικά, καταστάσεις, δισκέτες, πακέτα, πρακτικά… Ένας όγκος γραφειοκρατικών, πλην αναγκαίων, ενεργειών που διαφυλάσσουν την όλη διαδικασία. Μια εντελώς μαθηματική διαδικασία με ξεκάθαρα αλγοριθμικά βήματα.. Και ανάμεσα σε όλα αυτά υπήρχε διάχυτη η αγωνία μας για τους μαθητές  που  εξετάζονταν στο μάθημα της Νεοελληνικής Γλώσσας, υπό την επιτήρηση κάποιων άλλων συναδέλφων, 

 

αλλά ο καθένας στο είδος του.. κι εμείς οι μαθηματικοί στην … ειδικότητά μας! :)
   Η συνάδελφος μαθηματικός, που είναι μέλος της Λυκειακής Επιτροπής και  ήρθε από γειτονικό Λύκειο, ξεφύλλιζε τα περιοδικά  Ευκλείδης Β΄, που ήταν πάνω στο γραφείο μου.  Κάποια στιγμή ήρθε με ένα τεύχος στο χέρι. «Δες εδώ», μου είπε, δείχνοντάς μου μια άσκηση, «δεν καταλαβαίνω γιατί λέει ότι είναι λάθος να κάνουμε πρώτα αλλαγή μεταβλητής και μετά να βρούμε το πεδίο ορισμού…» 
Ακούγοντας το σχόλιο της, πριν ακόμη δω την άσκηση, της απάντησα: «Απαγορεύεται δια ροπάλου να ακουμπήσεις μια συνάρτηση, να την ‘πειράξεις’ κατά οποιονδήποτε τρόπο, αν πρώτα δεν βρεις το πεδίο ορισμού της». Η νεαρή συνάδελφος διαμαρτυρήθηκε λέγοντας: «μα τι πειράζει να την αλλάξω πρώτα, αφού στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγω;» Δεν είχα χρόνο να δω την άσκηση, αφού έπρεπε να ετοιμάσω τα έντυπα για τα εξώφυλλα των πακέτων, αλλά συνέχισα να υπερασπίζομαι τη θεμελιώδη μου θέση: «Όλα είναι θέμα ΟΡΙΣΜΟΥ! Αν δεν ορίσουμε μια έννοια, αν δεν ορίσουμε το πλαίσιο, αν -για τα Μαθηματικά- δεν ορίσουμε ευθύς εξ αρχής το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, μπορεί και να καταλήξουμε κάποτε στο ίδιο –σωστό- αποτέλεσμα, αλλά το πιθανότερο είναι στην πορεία να έχουμε κάνει λάθη, αυθαιρεσίες, άνομες συμβάσεις, παράνομες πράξεις  και πάει λέγοντας!»
Ναι, αυτό, ο καθορισμός δηλαδή του πλαισίου, που είναι εν προκειμένω ο υπολογισμός του Π.Ο., είναι για μένα μια θεμελιώδης αρχή και την εφαρμόζω πάντα στο μάθημα, ζητώντας από τους μαθητές μου να την υιοθετήσουν στα Μαθηματικά και, αν τα καταφέρουν, και στη ζωή τους γενικότερα. Μια τέτοια αρχή μας δίνει, εν πολλοίς, τη δυνατότητα να βάζουμε βάσεις, να οριοθετούμε, να πλαισιώνουμε κάθε τι όπου και όπως εμείς επιθυμούμε ή όπως η φύση αυτού μας επιβάλλει. Βοηθάει να είμαστε σύννομοι και να έχουμε μεταξύ μας έναν κοινό –κατά το δυνατόν - κώδικα επικοινωνίας, που είναι απαραίτητος σε κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα.

Όταν τελείωσε ο χρόνος της εξέτασης και τα τετράδια των παιδιών πακεταρίστηκαν,  σφραγίστηκαν και  πήραν το δρόμο για το σταθμό συγκέντρωσης, από όπου θα φύγουν για έναν άγνωστο σε μας προορισμό, δηλαδή για κάποιο Βαθμολογικό Κέντρο της Επικράτειας (! Όταν λέμε αδιάβλητες εξετάσεις , το εννοούμε..), βρήκα την ευκαιρία να ρίξω μια ματιά στην άσκηση που μου είχε δείξει η 
νεαρή συνάδελφος, νωρίτερα.

 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ 80 τ.4/68..
Γύρισα τις σελίδες, για να δω ποιος ήταν ο συγγραφέας του άρθρου.  «Αντώνης Κυριακόπουλος-Γιώργος Τασσόπουλος»! «Ο ορισμός της μαθηματικής ευσυνειδησίας», σκέφτηκα, βλέποντας το όνομα του κου Κυριακόπουλου. Κάτω από την εκφώνηση της άσκησης υπήρχε αναλυτική και εκτενής η λύση της και στην επόμενη σελίδα ένα ακόμη εκτενέστερο σχόλιο, όπου στην αρχή έδινε τη λάθος λύση της άσκησης, δηλαδή πρώτα αλλαγή μεταβλητής και μετά υπολογισμό του πεδίου ορισμού και αμέσως μετά, στη μέση του σχολίου, έγραφε:
 (ο σκοπός δεν αγιάζει τα μέσα) Γενικότερα, όταν θέλουμε να βρούμε το σύνολο ορισμού μιας συνάρτησης, δεν θα πρέπει πρώτα να κάνουμε οποιαδήποτε ενέργεια (πράξη ή απλοποίηση) στον τύπο της συνάρτησης. Γιατί τότε, εκτός του ότι δεν ξέρουμε για ποια χ ισχύουν οι ενέργειες που κάνουμε, ενδέχεται να φτάσουμε και σε λανθασμένα αποτελέσματα.
Και το σχόλιο έκλεινε, όπως απαιτείται σε έναν καθαρά μαθηματικό λόγο, με παράδειγμα που αποδείκνυε την ορθότητα του παραπάνω ισχυρισμού. Διαβάζοντάς το φαντάστηκα τον κύριο Κυριακόπουλο να αγορεύει με ευσυνειδησία και απόλυτη αφοσίωση, όπως τον έχω δει κατ’ επανάληψη να κάνει σε μαθηματικά συνέδρια.. Είναι πραγματικά ο ορισμός της ευσυνειδησίας. Δεν φείδεται κόπου και προσπάθειας  προκειμένου να εξηγήσει, να διδάξει, να υπερασπιστεί την ορθή διαδικασία, εμμένοντας στις απόψεις του.
«Όμως παρόλα αυτά», σκέφτηκα, «παρόλο το εκτενές σχόλιο και το αντιπαράδειγμα που παρέθεταν οι συγγραφείς, η νεαρή συνάδελφος επέμενε πως είναι το ίδιο και το αυτό είτε βρούμε το πεδίο ορισμού από την αρχή είτε το βρούμε, αφού έχουμε αλλάξει πρώτα τη μορφή της συνάρτησης! Δεν φάνηκε να πείθεται από όλο αυτό το κατεβατό..»
 Και το κριτήριο της συναδέλφου ήταν πως το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήγαμε και με τους δύο τρόπους είναι το ίδιο! Η αλήθεια είναι πως ο υπολογισμός του πεδίου ορισμού της συνάρτησης ‘σ’-στη μορφή που αυτή δόθηκε- απαιτούσε αρκετά υψηλού επιπέδου λογικές πράξεις, σε σχέση με την τυπική διαδικασία  που εφαρμόζεται αν ακολουθήσουμε την εσφαλμένη σειρά, δηλαδή αν πρώτα μετασχηματίσουμε τον τύπο και μετά από τη ’μεταλλαγμένη’ συνάρτηση υπολογίσουμε το  πεδίου ορισμού.
 Ίσως αυτό να είναι τελικά που οδηγεί τους ανθρώπους στην –κατά πάσα πιθανότητα εν γνώσει τους- εσφαλμένη επιλογή. Θυσιάζουν την ορθότητα στο όνομα της ευκολίας, κρίνοντας αποκλειστικά εκ του ορθού αποτελέσματος την ορθότητα της όλης διαδικασίας!!
Αυτό ίσως να ταίριαζε σε άλλου τύπου διαδικασίες, πχ σε νομικές ή σε πειραματικές επιστήμες :), αλλά στα Μαθηματικά, τέτοιου είδους ασυνέπειες που προκύπτουν, όταν αποφασίζουμε πως «θα τα βρούμε μετά ..», αντιβαίνουν στην αυστηρότητα και στη συνέπεια που χαρακτηρίζουν το αντικείμενο. Οι νομικοί, ας πούμε, οι οποίοι ασχολούνται με την παρασκευή νόμων,  μπορεί να μη νοιάζονται για το που ‘ανήκουν’ οι άνθρωποι οι οποίοι θα κληθούν να εφαρμόσουν τους νόμους αυτούς. Από την άλλη έχουν κατά νου πως όποιο σφάλμα προκύψει θα το διορθώσουν αναθεωρώντας και τροποποιώντας τον αρχικό νόμο. :)
Οι μαθηματικοί όμως επιβάλλεται  να γνωρίζουν εξ αρχής το πεδίο όπου ανήκουν τα x στα οποία  ενεργούν … 

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΝΤΑΙ ΑΥΡΙΟ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ:  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ! (και στα λοιπά μαθήματα επιλογής)
Προσεκτικά παιδιά! Τηρείτε πάντα τη «σωστή σειρά» και μην αγνοείτε τους ΟΡΙΣΜΟΥΣ,  κλασικούς και  αξιωματικούς!! 
Αν δεν ορίσουμε το σωστό πλαίσιο ευθύς εξ αρχής, αποδίδοντας στην Τύχη το μερίδιο που της αναλογεί, μπορεί να θεωρούμε πως η  άγνοιά μας είναι ... τυχαιότητα!:)

18 σχόλια:

  1. Νομίζω ότι το μυστικό βρίσκεται ακριβώς στο σημείο: "ενδέχεται να φτάσουμε και σε λανθασμένα αποτελέσματα". Συμφωνώ απολύτως ότι ο σκοπός δεν αγιάζει τα μέσα, ειδικά στα μαθηματικά, και όχι μόνο όμως, διότι αυτό το "ενδέχεται" ή το "ενδεχομένως" αρκεί και σε μία μοναδική περίπτωση να τινάξει στον αέρα όλη τη δουλειά μας. Η σύγκριση με τη νομική επιστήμη, όπου δύο αντιτιθέμενες απόψεις μπορεί να είναι εξίσου σωστές, νομίζω ότι είναι ατυχής. Ας θυμηθούμε και το ανέκδοτο με το Χότζα:
    Πάει κάποιος στο Χότζα να διαμαρτυρηθεί για το γείτονά του. Εκείνος φεύγοντας, του λέει: φίλε μου, έχεις δίκιο. Σε λίγη ώρα έρχεται και ο γείτονας και του λέει ακριβώς τα αντίθετα για τη διαφωνία τους. Φεύγοντας, ο Χότζας του λέει: φίλε μου έχεις δίκιο. Ακούει η γυναίκα του Χότζα και τις δύο περιπτώσεις, απορεί και ρωτάει τον άντρα της: μα καλά, Χότζα, αφού οι δύο άνθρωποι έλεγαν ακριβώς τα αντίθετα, πώς μπορεί και οι δύο να έχουν δίκιο; Και λέει ο Χότζας: Γυναίκα, ξέρεις κάτι; Κι εσύ δίκιο έχεις!
    Ευτυχώς για την ψυχική μας ισορροπία και λογική σκέψη, στα μαθηματικά δεν μπορεί να γίνει αυτό.
    Από την άλλη μεριά, θλίβομαι για την ασυνείδητη, αφελή και απλοϊκή αντιμετώπιση τέτοιων θεμάτων των μαθηματικών, γιατί ακόμη και τα σχολικά βιβλία υποστηρίζουν καμιά φορά αυτές τις ανακατωσούρες (βλ. λύση εξισώσεων με ριζικά Β λυκείου) μπερδεύοντας καλοπροαίρετους συναδέλφους.
    Κι εμείς χρειαζόμαστε κάποιους βράχους για να λύνουμε τέτοιες απορίες. Κι ας προτιμάμε για λόγους βιασύνης και ευκολίας τον ταχύτερο αλλά αβέβαιο δρόμο...
    Σε ευχαριστώ Κατερίνα για ακόμη μία φορά που μας δίνεις τη δυνατότητα να μοιραζόμαστε τέτοιες σκέψεις με σένα και άλλους παρομοίως ανήσυχους ερευνητές της γνώσης.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Επίσης, πιστεύω ότι δε χρειάζεται να πάμε σε τόσο πολύπλοκα παραδείγματα για να αποδείξουμε του λόγου το αληθές. Καμιά φορά μπορεί να νομίζει κάποιος ότι επίτηδες δίνουμε δύσκολο αντιπαράδειγμα για να τον μπερδέψουμε περισσότερο. Οι βράχοι που ανέφερα είναι βράχοι θεωρητικής γνώσης των μαθηματικών, που βοηθούν κι εμάς να αποφεύγουμε σκοπέλους που δεν αποδεικνύονται εύκολα και μας οδηγούν σε πατάτες...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. :) κι εγώ σ'ευχαριστώ για το σχόλιο και την κατάθεση των απόψεών σου.
    Θα μου επιτρέψεις όμως να αποσαφηνίσω κάτι.
    σχετικά με τη Νομική, συμφωνώ απολύτως με...
    τον Χότζα! :))
    Εμένα μου θυμίζει πάλι κάτι τύπους που όταν τους ρωτάς: "πόσο θα κοστίσει;", σου απαντούν: "εντάξει, μην ανησυχείς, θα τα βρούμε"!!
    Όταν ακούω κάτι τέτοιο, δεν ξέρω γιατί, αλλά πάντα ανησυχώ!

    Καλό βράδυ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Θα μπορούσαμε τότε να πούμε ότι ταιριάζει και η παροιμία: "Οι καλοί λογαριασμοί κάνουν τους καλούς φίλους". Πριν αρχίσεις, πρέπει να μετρήσεις. Από την άλλη μεριά, σκέψου απλώς τις περιπτώσεις που δε χρειάζεται να κάνει κανείς τίποτε και καμία απολύτως πράξη, αφού ούτε καν ορίζεται αυτό που ζητείται (πχ όρια χωρίς νόημα, εξισώσεις αδύνατες από την πρώτη στιγμή κλπ).
    Εγώ θα ρωτούσα τη συνάδελφό σου: Γιατί να μάθει κάποιος να παιδεύεται με αυτόν τον υποτίθεται απλό και ταχύ δρόμο, αφού με μία κουβέντα φτάνει στην τελική απάντηση;; Δεν έχει νόημα το όριο πχ, η εξίσωση είναι αδύνατη γιατί το πεδίο ορισμού της είναι το κενό κλπ.
    Μήπως τελικά ο ταχύς δρόμος είναι ο πιο αργός;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Την άσκηση αυτή την έλυσα και εγώ χωρίς να μετασχηματίσω τη συνάρτηση. Βασικά χωρίς να διαβάσω καθόλου του κείμενο (πάω πάντα πρώτα στα προβλήματα που βάζεις).

    Διαβάζοντας το κείμενο μετά, η πρόταση της συναδέλφου σου για μετασχηματισμό της συνάρτησης δεν είναι λάθος. Μάλιστα οδηγεί πολύ εύκολα στο αποτέλεσμα χωρίς να παραβιάζει κανένα κανόνα για τη συγκεκριμένη άσκηση. Είναι σωστή λύση και αυτό μετράει!

    Είναι όμως "επικύνδυνη" μέθοδοςο. Θα μπορούσε σε ένα άλλο πρόβλημα αυτή η μέθοδος να αποκλείσει δυνατές λύσεις όπως π.χ. ο μετασχηματισμός να περιείχε κλάσμα με παρανομαστή το x οπού εκεί πρέπει να πάρουμε περιπτώσεις.

    Η λύση της συναδέλφου σου είναι σωστή. Του κου Κυριακόπουλου είναι σωστή αλλά καί κομψή! Μάλιστα το σχόλιο με τα bold τονίζει ακριβώς αυτό! (πουθενά δε λέει ότι κάποια άλλη μέθοδος είναι λανθασμένη!)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. @CsLaKoNaS

    Δεν θεωρώ πως μια μέθοδος είναι σωστή μόνο και μόνο επειδή καταλήγει σε σωστό αποτέλεσμα,
    ούτε δέχομαι πως νομιμοποιείται επειδή περισσότεροι από ένας που ασχολήθηκαν με την άσκηση εφάρμοσαν τη συγκεκριμένη (λάθος) μέθοδο :)))
    [εν ολίγοις σου λέω ότι επειδή την έλυσες εσύ με τον χ τρόπο δεν με πείθεις πως ο τρόπος είναι ο σωστός! Στα Μαθηματικά δεν ισχύει το
    "η πλειοψηφία κερδίζει"!!! :) ]

    Επίσης, δεν κατάλαβα πού είδες τη λύση του κου Κυριακόπουλου, αφού δεν την έχω παραθέσει. Εκτός κι αν έχεις το τεύχος 80 του περιοδικού Ευκλείδης Β΄. Στο bold σχόλιο που παραθέτει ο κυς Κυριακόπουλος πριν από το αντιπαράδειγμα που αποδεικνύει την ορθότητα του ισχυρισμού του γράφει: "Γενικότερα, όταν θέλουμε να βρούμε το σύνολο ορισμού μιας συνάρτησης, δεν θα πρέπει πρώτα να κάνουμε οποιαδήποτε ενέργεια (πράξη ή απλοποίηση) στον τύπο της συνάρτησης. Γιατί τότε, εκτός του ότι δεν ξέρουμε για ποια χ ισχύουν οι ενέργειες που κάνουμε, ενδέχεται να φτάσουμε και σε λανθασμένα αποτελέσματα."
    Το "δεν πρέπει" που λέει είναι "απαγορευτικό" και τα απαγορευτικά στα Μαθηματικά έχουν καθολική ισχύ! :)
    Δεν είναι σαν τα, ας πούμε, νομικά.. :)))
    Λέω παράδειγμα: Δεν πρέπει να περνάς με κόκκινο, αλλά αν περάσεις φρόντισε να μην σε δει ο τροχονόμος! :) Αν δεν σε δει κανείς, δεν τρέχει τίποτε!
    Καμιά σχέση..Στα Μαθηματικά είτε μόνο σου το κάνεις το λάθος (την παράβαση) είτε παρουσία μαρτύρων, το λάθος είναι λάθος..
    Έχω την εντύπωση πως δεν διάβασες σωστά το σχόλιο του κου Κυριακόπουλου.
    Πολύ θα ήθελα να σχολιάσει ο ίδιος τη δική σου άποψη. :)

    Καλό ΣΚ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. @CsLaKoNaS

    Παρεμπιπτόντως να σου πω ότι δεν φανταζόμουν ποτέ ότι θα ενδιαφερόσουν για τις ασκήσεις που παραθέτω στις αναρτήσεις! :)
    Μου βάζεις ιδέες..Μάλλον θα το καθιερώσω.
    Κάθε ανάρτηση θα περιέχει τουλάχιστον μια άσκηση :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Δεν έχω το τεύχος του Ευκλείδη. Η άσκηση λύνεται με μάλλον δύο από αυτούς τους τρόπους:

    1. Δεν κάνεις κανένα μετασχηματισμό. Παίρνεις το όρισμα της φ να είναι το όρισμα του πεδίου ορισμού και από τα όρια ολοκληρώματος καταλήγεις για ποιες τιμές του x έχει ορίσεται η σ.

    2. Παίρνεις το γραμμικό μετασχηματισμό z:=2x-t και "πετάς" το x στα όρια της ολοκλήρωσης από εκεί βλέπεις για ποια x η ολοκλήρωση περιλαμβάνει αρνητικά διαστήματα και τα αποκλείεις αφού εκεί δεν ορίζεται η φ.

    Εικάζω ότι ο πρώτος τρόπος είναι του Ευκλείδη και ο δεύτερος της συναδέλφου σου. Αν αυτό ισχύει δεν καταλαβαίνω γιατί ο δεύτερος τρόπος είναι λάθος. Δεν ξέρουμε για ποια x ισχύει ο μετασχηματισμός γιατί αυτό ακριβώς μας ζητείται στην άσκηση. ΕΔΩ ΕΙΝΑΙ ΤΟ "ΛΑΘΟΣ" που εντοπίζει ο κος Κυριακόπουλος. Επειδή όμως ΣΤΗ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ περίπτωση, πρόκειται για έναν γραμμικό μετασχηματισμό (1-1 και επί), δεν υπάρχει λάθος.

    Δεν είναι σωστό λοιπόν το παράδειγμα με τον τροχονόμο, αρκεί να αποδείξεις ότι ο μετασχηματισμός που χρησιμοποιείς δε σκοτώνει τιμές. :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. Άσχετο, αλλά μόλις παρατήρησα ότι η φ ορίζεται ως συνάρτηση από το επίπεδο στην πραγματική ευθεία. Μετά δίνεται ότι ορίζεται ως μονοδιάστατη συνάρτηση.

    Θέλει ένα συμμάζεμα η διατύπωση (ίσως φ_x(t)dt ή κάτι ανάλογο).

    Επίσης πρέπει να είναι σίγουρα εκτός ύλης του Λυκείου, έτσι;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Όχι, δεν είναι εκτός ύλης του Λυκείου κι εκεί ακριβώς είναι το δύσκολο σημείο και γι' αυτό έχουμε χάσει την "επικοινωνία" μας. Εσύ μιλάς για Μαθηματικά κι εγώ μιλάω για την ύλη του Λυκείου!
    Δεν έχουν ιδέα από "μετασχηματισμούς", γιατί οι μετασχηματισμοί είναι εκτός ύλης..
    Όλοι οι υπολογισμοί, σαν κι αυτούς που απαιτεί η παραπάνω άσκηση, γίνονται τελείως μηχανικά, χωρίς να υπάρχει κάποιο λογικό ή εννοιολογικό πλαίσιο..
    Η μέθοδος "αλλαγή μεταβλητής" γίνεται με αυτόν τον τρόπο, όταν η συνάρτηση έχει αυτή τη μορφή. Τελεία!
    Κι εγώ σε ρωτώ: με ποιο κριτήριο ένας μαθητής θα αποφασίσει πού και πότε δεν βλάπτει να μην ξεκινήσει από τον υπολογισμό του Π.Ο. Αυτό προϋποθέτει ότι είναι σε θέση να αναγνωρίσει μια "1-1 και επί" (αυτό όμως είναι εκτός ύλης..Γενικά με την ύλη ένα θέμα το έχουμε..)

    Εσύ πού τέλειωσες το Λύκειο;
    Δεν ξέρεις πώς είναι εδώ το σύστημα;
    Τελειώνοντας ένα μέσο Λύκειο δεν έχεις ιδέα από Μαθηματικά [και δυστυχώς αυτό δεν σταματάει στο Λύκειο..], γιατί μαθαίνεις πώς θα πρέπει να γράψεις τα θέματα στις Πανελλαδικές..Με ελάχιστες εξαιρέσεις αυτός είναι ο κανόνας.

    Υ.Γ. Η εικασία σου για την δεύτερη περίπτωση, εικάζω πως δεν είναι ορθή :)
    Μπορώ να το ελέγξω τη Δευτέρα..

    Μπορείς εσύ να προτείνεις ένα συμμάζεμα;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. 1. Άλλο πράγμα είπε η συνάδελφός σου για τη λύση ;

    2. Η δεύτερη μέθοδος είναι "λάθος" μεν, όμως πιο περιγραφική για το πρόβλημα αυτό. Νομίζω πως είναι πιο εύπεπτο για το μαθητή να δει τα x στα όρια του ολοκληρώματος και να καταλάβει ότι για κάποια x βρίσκεται σε αρνητικό για την ολοκληρώσα συνάρτηση φ, κάτι που απαγορεύεται από το πεδίο ορισμού της. Φυσικά μπορεί να κάνω και λάθος γιατί δεν είμαι εκπαιδευτικός.

    3. Το Λύκειο το τελείωσα στην Ελλάδα, το 2002, όπως και τις προπτυχιακές σπουδές, το 2007. Δε θυμάμαι να είχαμε ολοκλήρωμα με μεταβλητά όρια τα οποία παραγωγίζαμε. Ήμουν σίγουρος ότι αυτό ήταν εκτός ύλης τότε. Δεν το θυμάμαι κάν στο βιβλίο. Ούτε γενικευμένα ολοκληρώματα (στο άπειρο) δεν είχαμε.

    4. Το πρόβλημα των μαθηματικών είναι πως στο πλαίσιο του Λυκείου και των Πανελλαδικών αντιμετοπίζονται δογματικά. Κατά συνέπεια μία ασυνεχής συνάρτηση φυσικά και είναι ολοκληρώσιμη και μπορεί να αποδειχτεί αυτό ακόμα και με τα μαθηματικά του Λυκείου. Όμως στο Σωστό / Λάθος των Πανελλαδικών πρέπει να επιλέξεις Λάθος. Παρά του ότι στο τέλος η σελίδα των εξετάσεων γράφει πως κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη λύση είναι σωστή, αν επιλέξεις Σωστό και το τεκμηριώσεις λίγοι εξεταστές θα σε καταλάβουν, σίγουρα όχι το υπουργείο! Υπάρχει λοιπόν ένας αντι-επιστημονισμός που είναι φυσικά κατανοητός στα πλαίσια λειτουργίας του Λυκείου.

    5. Ένα συμμάζεμα θα μπορούσε να είναι φ(g(x,t)) αλλιώς νομίζει κανείς πως η φ είναι πολλαπλών μεταβλητών. Αλλά είναι λεπτομέρια αυτό.

    :))

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. 1. δεν είδα γραμμένη τη λύση της, γι'αυτό θα σου απαντήσω τη Δευτέρα. Θα της πω να μου τη λύσει! :)

    2. μάλλον κάνεις λάθος, αλλά κρίνω πάντα έχοντας ως μέτρο το επίπεδο των δικών μου μαθητών.
    (αν συζητούσαμε μερικά χρόνια πριν πιθανόν θα συμφωνούσα μαζί σου)

    3. Το 2002???!!! καλά, δεν πειράζει :))
    Αφού τέλειωσες το 2002 είχες το βιβλίο που έχουν ακόμη, άρα στο 3ο Κεφάλαιο του 2ου μέρους διδάχτηκες την "συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα". (&3.5 σούπερ!! από τα καλύτερα κομμάτια, δένει με όλα τα ωραία θεωρήματα, Bolzano, Rolle, Langrange (γνωστό ως Θ.Μ.Τ.) Fermat κλπ.. Σου θύμησε κάτι;)

    4. Συμφωνώ.

    5. μμμ, μπα δεν νομίζει κανένας (μαθητής) τίποτε, γιατί όταν δεν έχει διδαχτεί συναρτήσεις πολλών μεταβλητών δεν μπορεί να πάει το μυαλό του σ'αυτές..
    Το μυαλό μας πηγαίνει μόνο σε πράγματα που γνωρίζει. Όταν πηγαίνει σε πράγματα που δεν γνωρίζει τότε ξεπερνάμε το προσδοκόμενο, προηγούμαστε της εποχής μας και γινόμαστε πρωτοπόροι στην Τέχνη ή στην Επιστήμη ή αλλού :)

    [εν προκειμένω η μεταβλητή της φ είναι το t,λόγω του dt, ενώ η μεταβλητή της σ είναι το x, λόγω της δήλωσης σ(x), ήτοι σίγμα του χι. χχχ! τόσο απλά! Κάθε γράμμα διαφορετικό του t για την φ είναι σταθερό κλπκλπ..]

    Τα λέμε :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  13. 3. Έχεις δίκιο.!Κατέβασα τώρα το βιβλίο από το παιδαγωγικό ινστιτούτο να το θυμηθώ. Όλα αυτά είναι εντός ύλης! Το 3.6 ήταν τότε εκτός ύλης πάντως.

    5. Τώρα νομίζω πως πέρασες εσύ με κόκκινο ώντας σίγουρη ότι ο τροχονόμος-μαθητής δε σε είδε. :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  14. Κάπου έχασα την μπάλα - ή το φανάρι...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  15. ναι, στο 5ο κι εγώ νομίζω πως έχασα το φανάρι, αλλά δεν είμαι και πολύ σίγουρη :)
    Μάλλον σχολιάζει την "υπέρβασή" μου, αν και δεν πρόκειται ακριβώς για υπέρβαση, αλλά για στατιστικό συμπέρασμα! :)

    Όπως και να ΄χει νομίζω πως πρέπει να μεταφερθούμε στην επόμενη ανάρτηση :)

    Σας ευχαριστώ πολύ και τους δύο και καλό βράδυ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  16. Kαλημέρα Κατερίνα και καλή δύναμη στις εξετάσεις
    Εχω μία ΑΠΟΡΙΑ παρακολουθώντας την ανάρτηση και τα σχόλια ορισμένων φίλων.Δεν είμαι Μαθηματικός ..αλλά πιστεύω ότι κάποια πράγματα στα Μαθηματικά είναι ..."κτήμα" μου από τα σχολικά χρόνια!ΕΡΩΤΩ πως είναι ΔΥΝΑΤΟ ν'αλλάξεις τον τύπο μίας συνάρτησης και μετά να βρείς το πεδίο ορισμού της?
    Ο τύπος μίας συνάρτησης ...δεν είναι και ο...κανόνας με τον οποίο ορίζεται ο τρόπος αντιστοιχίας ανάμεσα στα δύο σύνολα Α και Β?Αλλάζοντας το τύπο μίας συνάρτησης δεν υπάρχει ο κίνδυνος να ...πάρεις μία άλλη ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ?Βέβαια υπάρχουν συναρτήσεις ...πιστεύω...που έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και διαφορετικούς τύπους.Αλλά που είναι αποδεδειγμένο στα Μαθηματικά ότι οι δύο συναρτήσεις με διαφορετικό τύπο έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  17. Γεια σου Αστέριε!

    Πολύ καλά θυμάσαι!
    Ακριβώς αυτά έμαθες στο Λύκειο.. :)

    Καλή δύναμη και σε σένα και καλή εβδομάδα.
    [που ξεκινάει αύριο για μας με την πανελλαδική εξέταση των Μαθηματικών Κατεύθυνσης! ]

    ΑπάντησηΔιαγραφή