Τετάρτη, 9 Ιουνίου 2010

1.089! ΕΝΑ ΠΟΛΥ ΙΣΧΥΡΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ..

Θυμόσαστε τα προβλήματα της πρακτικής αριθμητικής που λύναμε στο Δημοτικό; Τον τρόπο που τα λύναμε; Σκέψη, κατάστρωση, λύση, απάντηση.. Εγώ δεν τα θυμάμαι! Αδυνατώ, γενικά, να λύσω ένα πρόβλημα χρησιμοποιώντας απλά και μόνο τις τέσσερις στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις, αυτές δηλαδή που μαθαίνουμε στην απαρχή της μαθητικής μας καριέρας! Η πρώτη μου σκέψη, όταν μου ζητάνε να υπολογίσω "πόσοι", "πόσα", "σε πόσο"..,αντί να χρησιμοποιήσω το παραπάνω μοντέλο, είναι να πω:" Έστω Χ.. "!  Η αλήθεια είναι πως οι ενασχολήσεις μου δεν με φέρνουν συχνά αντιμέτωπη με προβλήματα, όπου για κάποιον λόγο επιβάλλεται η μη χρήση Άλγεβρας, τουτέστιν η μη χρήση των σωτήριων μεταβλητών Χ, Υ, για τη λύση τους. Αυτό ομολογώ πως με διευκολύνει πολύ. Από την άλλη πλευρά όμως, δεν υπάρχει περίπτωση να πέσω πάνω σε ένα πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής και να μην επιδοθώ άμεσα και για όσο χρειάζεται στη λύση του. Ακόμη κι όταν μου δίνουν τον αριθμό που αποτελεί την απάντηση στο ""πόσοι" ή στο "πόσα", ακόμη και τότε.. :)
Αυτό ακριβώς συνέβη σήμερα, όταν διαβάζοντας το βιβλίο 1.089, του David Acheson, που κυκλοφόρησε λίγες μέρες πριν από τις εκδόσεις οκτώ, σε μετάφραση του Νικόλα Πρωτονοτάριου, έπεσα πάνω στο παρακάτω πρόβλημα. 
"Ο Α και ο Β γεμίζουν τη στέρνα σε 4 ώρες. Ο Α και ο Γ γεμίζουν τη στέρνα σε 5 ώρες. Ο Β γεμίζει τη στέρνα δυο φορές πιο γρήγορα από τον Γ. Να βρεθεί πόσες ώρες χρειάζεται ο Γ, για να γεμίσει μόνος του τη στέρνα". 
 Ένα αστεράκι  (*) στο τέλος του προβλήματος παρέπεμπε στο κάτω μέρος της σελίδας, όπου έγραφε:  "Παρεμπιπτόντως ο καημένος ο Γ θα χρειαζόταν 20 ώρες για να γεμίσει τη στέρνα."

Παρόλο που ο  Acheson, ανέφερε το παραπάνω πρόβλημα ως κοινότοπο και καθόλου γοητευτικό σε σχέση με το μαγικό τρικ του 1.089 και παρόλο που είχε γίνει ήδη γνωστό πως ο καημένος ο Γ χρειάζεται 20 ώρες για να γεμίσει μόνος του τη στέρνα, ακολουθώντας τη συνήθειά μου-έξις δευτέρα φύσις-πήρα μολύβι και χαρτί και άρχισα...Πρώτα "ζωγράφισα" το πρόβλημα, όπως ακριβώς φαίνεται στη διπλανή εικόνα, κυρίως για να... κερδίσω χρόνο και φυσικά για να ... καταλάβω τα δεδομένα. Στο μεταξύ καθώς ζωγράφιζα είδα στη γεωμετρική αναπαράσταση  του προβλήματος ότι το "κεντρικό πρόσωπο"  είναι ο Α κι έτσι τα πράγματα ξεκαθάρισαν..

[Παραθέτω τη λύση μου, για όποιον ενδιαφέρεται.
Έστω χ το μέρος της στέρνας που γεμίζει ο Α σε 4 ώρες. Τότε σε μια ώρα γεμίζει χ/4 κι άρα σε 5 ώρες γεμίζει 5χ/4. Οπότε ο Β σε μια ώρα γεμίζει (1-χ)/4, ενώ ο Γ σε μια ώρα γεμίζει (1/5)(1-5χ/4)=(4-5χ)/20. Κι επειδή η παροχή του Β είναι διπλάσια από την παροχή του Γ, θα ισχύει:
(1-χ)/4=[2(4-5χ)]/20, από όπου προκύπτει ότι χ = 6/10, δηλαδή ο Α σε 4 ώρες γεμίζει τα 6/10 της στέρνας, άρα σε μια ώρα τα 6/40(=3/20), άρα σε 5 ώρες τα 15/20! Οπότε ο Γ στις 5 ώρες που μαζί με τον Α γεμίζει τη στέρνα καταφέρνει να γεμίσει μόνο τα 5/20, δηλαδή σε μιά ώρα το 1/20, οπότε πράγματι θα καταφέρει, ο καημένος, να γεμίσει μόνος του τη στέρνα σε 20 ολόκληρες ώρες!]
Το ό,τι κατέληξα στο "20", που ήδη ως αποτέλεσμα γνώριζα, ήταν για μένα το ζητούμενο.
Αν η λύση μου επιδέχονταν βελτιώσεων δε με ένοιαζε καθόλου, όχι γιατί συνήθως δε με νοιάζει κάτι τέτοιο, τουναντίον.  Τώρα όμως ήθελα όσο το δυνατόν γρηγορότερα να συνεχίσω την ανάγνωση του βιβλίου 1.089 ΕΝΑ ΜΑΓΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ και να απολαύσω τον φαιδρό και παιχνιδιάρικο τρόπο που με ταξίδευε ο  David Acheson, ομότιμος καθηγητής Μαθηματικών στο Jesus College του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης. Το βιβλίο του ξεκινάει με το κόλπο του 1.089!
Σκεφτείτε έναν τριψήφιο αριθμό, στον οποίον το πρώτο ψηφίο και το τελευταίο να διαφέρουν κατά τουλάχιστον δύο μονάδες. Αντιστρέψτε τον και αφαιρέστε τον μικρότερο από τον μεγαλύτερο, Μετά αντιστρέψτε τον νέο τριψήφιο αριθμό και προσθέστε..
το αποτέλεσμα είναι πάντα, μα πάντα λέμε, το 1.089!(*)


Ο David Acheson διάβασε το παραπάνω κολπάκι σε ηλικία 10 χρόνων και γοητεύτηκε τόσο πολύ που, ξεπερνώντας την πλήξη που του προκαλούσαν τα προβλήματα σαν αυτό με τη στέρνα που αναφέρει για παράδειγμα στο βιβλίο του, [το οποίο εγώ έλυσα στο χαρτί μου μόνο και μόνο, για να επαληθεύσω πως η απάντηση είναι το 20!!],αποφάσισε να γίνει μαθηματικός!  Βέβαια στον ελεύθερο χρόνο του, όπως οι περισσότεροι μαθηματικοί παίζουν ένα όργανο, έτσι κι αυτός παίζει ηλεκτρική κιθάρα.. Γι' αυτό στο 10ο κεφάλαιο  με τίτλο Θετικές δονήσεις, αφενός μας εκμυστηρεύεται πως ο Τζάνγκο Ράινχαρντ, Βέλγος τσιγγάνος που απέκτησε τη φήμη του μεγαλοφυούς κιθαρίστα της τζαζ είναι ο ήρωάς του, αφετέρου δίνει τα μυστικά των αρμονικών με στοιχειώδη Μαθηματικά..
Για το βιβλίο όμως αυτό καθαυτό και για τους τρόπους που παρουσιάζει/αναδεικνύει βασικές μαθηματικές έννοιες, καθώς και για τον τρόπο που θα μπορούσε να αξιοποιηθεί στην τυπική διδασκαλία των Μαθηματικών, μέσα στη σχολική τάξη ή σε μια σχολική λέσχη ανάγνωσης, και για το πόσο ισχυρό εργαλείο στη Διδακτική των Μαθηματικών μπορεί να αποδειχθεί, θα κάνω σύντομα μιαν άλλη ανάρτηση.
Σήμερα θα ήθελα απλά να ευχαριστήσω, δημοσίως, τον Νικόλα Πρωτονοτάριο, που το έχει μεταφράσει και μου το σύστησε..Σε ευχαριστώ, Νικόλα!
Αν, στο μεταξύ, εσείς θέλετε να μάθετε περισσότερα για το 1.089 ΕΝΑ ΜΑΓΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ έχετε τη δυνατότητα να το κάνετε άμεσα εδώ: http://www.facebook.com/1089greek
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

(*) Για το "1.089", το αποτέλεσμα που δίνει πάντα, μα πάντα λέμε, ο παραπάνω αλγόριθμος, ο οποίος ενθουσίασε τον τότε δεκάχρονο David Acheson, υπάρχει μια πανέμορφη μαθηματική απόδειξη, όπως και για κάθε τι άλλο για το οποίο οι μαθηματικοί ισχυρίζονται ότι ισχύει ΠΑΝΤΑ(!!), αλλά την αφήνω να την ανακαλύψετε μόνοι σας, εκτός κι αν... προτιμάτε να την πάρει το ποτάμι... :) :)


19 σχόλια:

  1. Καλησπέρα σας :)

    1*1089 = 1089
    2*1089 = 2178
    3*1089 = 3267
    4*1089 = 4356
    5*1089 = 5445
    6*1089 = 6534
    7*1089 = 7623
    8*1089 = 8712
    9*1089 = 9801

    Τυχαίο; Δεν νομίζω... :D

    Τροποποίησε τον αλγόριθμο και την διαφορά καν' την τουλάχιστον ένα. Θα δεις πως τα αποτελέσματα είναι ίδια(βέβαια, το 99 όταν το αντιστρέψεις πρέπει να το κάνεις 990).

    D4R14N, Τάσος.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Φυσικά και δεν είναι τυχαίο!!
    Υπάρχουν πολύ όμορφες γενικεύσεις για όλα αυτά..
    Εμένα προσωπικά μου αρέσουν πολύ τα κόλπα με τη δεκ...μμμ δεν τα λέω.
    Μπορεί να θέλουν κι άλλοι να ασχοληθούν, να μην τους στερήσω τη χαρά της ανακάλυψης!

    Καλό σου βράδυ
    και σε ευχαριστώ για την υπομονή σουννα γράψεις ένα τέτοιο (όμορφο) σχόλιο :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Εμένα πάλι μου αρέσει εξαιρετικά πολύ η πρακτική αριθμητική και μάλιστα με μεγάλη διαφορά από την άλγεβρα και τις τυποποιημένες της μεθόδους - παρόλο που γύρισα το βράδυ κουρασμένη από τις υποχρεώσεις της ημέρας - το πρόβλημα που έθεσες, Κατερίνα μου, με κέντρισε τόσο πολύ που κάθισα να το λύσω και να μοιραστώ τη λύση μου μαζί σας. Λοιπόν, σκεφτόμαστε ως εξής: στην πρώτη περίπτωση ο Α και ο Β σε μία ώρα γεμίζουν μαζί το 1/4 της στέρνας, στη δεύτερη περίπτωση ο Α και ο Γ γεμίζουν σε μία ώρα μαζί το 1/5 της στέρνας. Επομένως, η διαφορά 1/4-1/5=1/20 οφείλεται στο ότι ο Β δουλεύει δύο φορές γρηγορότερα από τον Γ. Έτσι, στον ίδιο χρόνο (οποιοδήποτε χρονικό διάστημα) η διαφορά ανάμεσα στα δύο γεμίσματα είναι όσο ακριβώς είναι το γέμισμα του Γ, οπότε ο Γ γεμίζει σε μία ώρα το 1/20 της στέρνας. Άρα χρειάζεται ακριβώς 20 ώρες για να γεμίσει μόνος του τη στέρνα. Πολύ όμορφο πρόβλημα. Ευχαριστούμε, Κατερίνα, που δεν αφήνεις το μυαλό μας να πήξει!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Και σε σύμβολα:
    Όταν γενικά υπάρχει παράλληλη εργασία ισχύει:

    1/t_ol = 1/t_A + 1/t_B

    καθώς

    ρυθμός του Α=ρ_Α={Συνολική Εργασία}/t_A=W/t_A
    ρ_Α=W/t_B

    (Ανεξάρτητη) Συνεργασία: ρ=ρ_Α+ρ_Β = W * (1/t_A + 1/t_B)
    Συνολικός χρόνος: t_ol=W/ρ => 1/t_ol = W/ρ

    Επομένως:
    1/t_A + 1/t_B = 1/4
    1/t_B + 1/t_Γ = 1/5

    1/t_Γ - 1/t_B = 1/20

    Και επειδή t_B = t_Γ / 2

    t_Γ = 20

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. 1089 = 33 x 33 = 9 x 121

    άρα η ανάλυση σε Hilbert πρώτους παράγοντες δεν είναι μοναδική.

    αριθμός Hilbert: ακέραιος της μορφής 4n + 1
    πρώτος Hilbert: ένας αριθμός Hilbert που δεν διαιρείται από μικρότερο αριθμό Hilbert (εκτός από το 1)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. πωπωπω!
    τι ομορφιές είναι αυτές που βλέπω πρωί πρωί!!
    Όταν λέω εγώ πως το "1.089" είναι πολύ ισχυρό εργαλείο, φαίνεται - εκ των πραγμάτων - πως έχω δίκαιο!! :)

    Χριστίνα, στο Δημοτικό, αντί να ασχολούμαι με τα μαθήματά μου, προτιμούσα να παίζω στις αλάνες που ακόμη υπήρχαν.. Έπαιρνα βέβαια τα δεκαράκια μου, αλλά όχι επειδή ήμουν εγώ καλή..
    Επειδή ήταν οι συμμαθητές μου ...μη καλοί :)
    Κι έτσι απώλεσα τον καιρό της πρακτικής αριθμητικής, γι΄αυτό ευλογώ την Άλγεβρα που μου έδωσε το αβαντάζ :):)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Αγαπητέ Άγνωστε,

    [έχω την εντύπωση πως είσαι πολυτεχνίτης!!..:)]
    Σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο.
    Από δω και στο εξής, για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, θα ακολουθώ τα βήματα της πρακτικής αριθμητικής, έχοντας όμως στο μυαλό μου τα σύμβολά σου!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Αγαπητέ Νικόλα,

    Σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο. :)
    Και για την κοινοποίηση της ανάρτησής μου στο προφίλ του 1.089 στο facebook.

    [Σε σχολικό επίπεδο και με γνώση μόνο των πρώτων αριθμών, των κατά Ευκλείδη άπειρων, οι αποδείξεις των παραπάνω ολοκληρώνονται με την αναπαράσταση των αριθμών στη δεκαδική τους μορφή,
    δηλαδή ο τριψήφιος xyz γράφεται x*10^2+y*10+z, άρα αν αντιστρέψω τα ψηφία του, ο zyx, θα είναι ο z*10^2+y^10+x κλπκλπ.
    Αυτά τα γράφω συμπληρωματικά, ώστε αν κάποιος μη γνώστης "σκληρών Μαθηματικών" :)θελήσει να ασχοληθεί, να μην παραιτηθεί στο άκουσμα των πρώτων του Hilbert! :)
    Α, κι επίσης να θυμάται πως η ανάλυση κάθε αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι μοναδική! Έτσι απλά δηλαδή το 1.089 είναι 3^2*11^2.. (σε επίπεδο Δημοτικού :) )]

    Υ.Γ.Νικόλα, γράφω όλες αυτές τις επεξηγήσεις, επειδή το blog έχει ως αναγνώστες και αρκετούς μαθητές..:)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. ΚΑΛΗΜΕΡΑ ΚΑΤΕΡΙΝΑ
    ΠΟΛΥ ΚΑΛΟ ΒΙΒΛΙΟ!ΕΝΑ ΤΕΤΟΙΟ ΨΑΧΝΩ ΓΙΑ ΝΑ ΔΙΝΩ ΠΙΟ ΕΥΚΟΛΑ ΡΕΣΤΑ ΣΤΟ ΜΑΓΑΖΙ ΜΑΣ!!!!ΠΟΣΟ...ΕΧΕΙ ΑΝ ΕΠΙΤΡΕΠΕΤΑΙ?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Δυστυχώς η λύση που έκανα δεν "μπαίνει" στα σχόλια γιατί χαλάνε όλοι οι μαθηματικοί συμβολισμοί.
    Γι' αυτό λοιπόν την ανέβασα στο sendspace όπου μπορείτε να την δείτε πατώντας τον παρακάτω σύνδεσμο:
    http://www.sendspace.com/file/n2qq5e

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. manosnikol,

    ευχαριστώ πολύ που μου στείλατε λύση!
    Για να είμαι ειλικρινής, δεν περίμενα πως θα έμπαινε κάποιος στη διαδικασία να γράψει ολόκληρη απάντηση:)
    (αυτήν είχα κάνει κι εγώ :) )

    Ευχαριστώ και πάλι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. αποφάσισα να γράψω τη μια από τις δυο λύσεις, όχι αυτήν του κου manosnikol, αλλά μια δεύτερη που έκανα, με περισσότερο εποπτικό-εμπειρικό τρόπο, που είναι μάλλον και πιο προσιτός σε μη ειδικούς, από αυτόν της αλγεβρικής διαχείρισης συμβόλων.. :)

    Αν χψω ο τριψήφιος με χ-ω>=2 ή ω-χ>=2, τότε:
    χψω=χ*10^2+ψ*10+ω και ωψχ=ω*10^2+ψ*10+χ.
    Έστω χ-ω>=2
    Θα είναι: χψω- ωψχ=(χ-ω)*10^2-(χ-ω)= 99*(χ-ω), όπου χ-ω είναι ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9.
    Άρα ο αριθμός 99*(χ-ω) είναι ένας από τους 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891, δηλαδή της γενικής μορφής: α*10^2+9*10+(9-α), α =1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 ή 7 ή 8.
    Οπότε θα είναι:
    [α*10^2+9*10+(9-α)]+ [(9-α)*10^2+9*10+α] = 9*10^2+2*9*10+9=9*121=
    [3*11]^2=33^2=1.089

    υπάρχουν κι άλλοι τρόποι?? :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  13. Οι δύο λύσεις (του manosnikol και της Κατερίνας) είναι ισοδύναμες. Δεν νομίζω ότι υπάρχουν άλλοι τρόποι. Πάντως το κόλπο του 1089 εντυπωσιάζει, απ΄ ό,τι έχω δει, και σχετικούς και ασχέτους με την άλγεβρα. Είναι μάλλον αυτό που αποκαλεί ο Acheson "the element of surprise in mathematics" (το στοιχείο της έκπληξης στα μαθηματικά).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  14. καλημέρα Νικόλα!

    το "the element of surprise in mathematics", εμείς που διδάσκουμε Μαθηματικά στο σχολείο, έχουμε την ευκαιρία να το "προκαλούμε" πότε πότε στους μαθητές μας και πραγματικά είναι πολύ ενδιαφέρον να καταγράφεις αντιδράσεις, ειδικά από κάποιους που σε γενικές γραμμές δεν πολυνοιάζονται ή δεν τα πολυκαταφέρνουν.. :)

    Υ.Γ. Τη λύση του κου manosnikol.. ?? Σου την έστειλε, σου την είπε ή την.. υποθέτεις?! :):)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  15. Γεια σου και πάλι Νικόλα!!

    πολύ πολύ ευγενικό εκ μέρους σου να πεις "λύση της Κατερίνας" αυτήν που έγραψα στο προπροηγούμενο σχόλιο!!! :)
    η αλήθεια είναι πως την έκανα με το μολύβι μου και το χαρτί μου, μόνη μου, αλλά επίσης αλήθεια είναι πως υπάρχει στη σελίδα 35 του βιβλίου, στο 4ο Κεφάλαιο: ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ, το οποίο όμως στην πρώτη, βιαστική, ανάγνωση του βιβλίου το είχα πηδήξει... :(
    Σήμερα που το ξανάπιασα για να δω το θέμα της επόμενης ανάρτησης μου αναφορικά πάντα με το 1.089, διάβασα και το 4ο Κεφάλαιο και αφενός σκέφτηκα πόσο ευγενικό παιδί είσαι.., που δε μου είπες πως η λύση που έγραψα υπήρχε ήδη στο βιβλίο :), αφετέρου όμως διαπίστωσα πως έχω απόλυτο δίκαιο να λέω ότι το 1.089 είναι ένα πολύ ισχυρό διδακτικό εργαλείο!

    Βρήκα πως θα ξεκινήσω την επόμενη σχολική χρονιά το μάθημά μου στη Β' Λυκείου! Εξαιρετικές ιδέες μου έδωσε αυτό το 4ο Κεφάλαιο, για μια γενική εισαγωγή... :)

    Και πάλι ευχαριστώ!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  16. Γεια σου Κατερίνα!

    Μια χαρά περί "λύση της Κατερίνας" πρόκειται, και όχι περί ευγένειας...

    ΕΓΩ σ'ευχαριστώ πολύ και πάλι που αγκάλιασες το βιβλίο, αλλά και που μου έδωσες την ευκαιρία να αναστοχαστώ σχετικά με την διδακτική του χρησιμότητα (βλ. ως ενός ισχυρότατου εργαλείου). Και απ' ό,τι βλέπω, το εργαλείο θα χρησιμοποιηθεί την επόμενη σχολική χρονιά κιόλας: wow!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  17. Κατερίνα στο πρόβλημά σου
    "Ο Α και ο Β γεμίζουν τη στέρνα σε 4 ώρες. Ο Α και ο Γ γεμίζουν τη στέρνα σε 5 ώρες. Ο Β γεμίζει τη στέρνα δυο φορές πιο γρήγορα από τον Γ. Να βρεθεί πόσες ώρες χρειάζεται ο Γ, για να γεμίσει μόνος του τη στέρνα"

    ομολογώ ότι και εγώ δυσκολεύομαι αρκετά στην πρακτική αριθμητική και πολύ φοβάμαι ότι δεν φταίμε τόσο εμείς, όσο παλιά οι καθηγητές μας - βιβλία, που δεν έδιναν έμφαση σε τέτοιου είδους προβλήματα.

    Οπότε όταν βλέπω αυτά τα προβλήματα το μυαλό μου πάει στις εξισώσεις - συστήματα, όπως πολύ εύστοχα είπες και εσύ Κατερίνα! Παραθέτω την λύση μου για μαθητές Γυμνασίου
    x: οι ώρες που κάνει για να γεμίσει μόνος του την στέρνα ο Α
    y: οι ώρες που κάνει για να γεμίσει μόνος του την στέρνα ο Β
    z: οι ώρες που κάνει για να γεμίσει μόνος του την στέρνα ο Γ
    άρα υπολογισμένα σε μία ώρα παίρνουμε το εξής σύστημα:
    1/x + 1/y = 1/4
    1/x + 1/z = 1/5
    z = 2y

    Επίσης από την λύση του συστήματος σου μαρτυρά πως να την λύσεις-εξηγήσεις στου μαθητές του Δημοτικού, δεν διαφέρει από τον πιο πάνω τρόπο επίλυσης της Χριστίνας.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  18. Κατερίνα όσο για την απόδειξη του 1089 με ενέπνευσες και ανάρτησα αυτό http://lisari.blogspot.com/2011/08/1089.html
    το άρθρο στο blog μου! Στο αφιερώνω!

    Να είσαι καλά!

    Δεν μας είπες, το βιβλίο το προτείνεις; Για το καλοκαίρι έτσι;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  19. Το βιβλίο το προτείνω γενικώς! Όχι μόνο για το καλοκαίρι. Το διάβασα πέρυσι και το χρησιμοποίησα κατ' επανάληψη σε λέσχες ανάγνωσης, αλλά και σε διάφορες αναρτήσεις επ' αφορμής άλλων αναγνωσμάτων. Το 1089 είναι, όπως λέει και ο τίτλος αυτής της ανάρτησης "ένα πολύ ισχυρό εργαλείο", ταιριάζει με πολλά, ακόμα και ο φιλόλογος σύζυγός μου το διάβασε-στο μεγαλύτερο μέρος του- και ενθουσιάστηκε, μου είπε μάλιστα: "τόσα χρόνια σε ακολουθώ σε συνέδρια και ακούω διάφορα για τα Μαθηματικά, αλλά νομίζω πως τώρα κατάλαβα επιτέλους περί τίνος πρόκειται!" !!!

    Θα σου αφιερώσω κι εγώ την επόμενη ανάρτηση :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή