Παρασκευή, 18 Απριλίου 2008

Εδραιώνουμε αλήθειες, βάσει απoδείξεων

DΕΝΙS GUΕDJ

«Εδραιώνουμε αλήθειες, βάσει απoδείξεων»

Όταν η λογική εξωθείται στα άκρα μετατρέπεται σε τρέλα

Ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης και ο Διόφαντος βρίσκονται ακόμη εδώ, επηρεάζουν και σήμερα με τη σκέψη τους την εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης... «Αιώνες τώρα, κάνουμε μαθηματικές πράξεις, στηριζόμενοι στην αξιωματική-παραγωγική μέθοδο που ανέπτυξε, με αριστοτεχνικό τρόπο, στα Στοιχεία του, ο Ευκλείδης. Από τον 3ο αιώνα π.Χ. μέχρι σήμερα....», λέει ο Denis Guedj, δεδηλωμένος λάτρης των ελληνικών μαθηματικών. «Με βάση έναν συγκεκριμένο αριθμό αρχών που παραδεχόμαστε ως αληθινές ­ τα αξιώματα ­ και χρησιμοποιώντας τους αυστηρούς κανόνες της λογικής, δημιουργούμε καινούργιες αληθινές προτάσεις ­ τα θεωρήματα. Και με βάση αυτά τα τελευταία, δημιουργούμε καινούργια... Εδραιώνουμε αλήθειες, βάσει αποδείξεων. Το πρώτο παράδειγμα αυτού του είδους της τεκμηρίωσης βρίσκεται στην "Οδό της Αλήθειας" του Παρμενίδη, κι όχι σε κάποιο αυστηρά μαθηματικό κείμενο».

Μετά έρχονται τα έργα του Αρχιμήδη. «Τα διαβάζουμε ακόμη σήμερα, εντυπωσιασμένοι από το πόσο σύγχρονα και πρωτοποριακά είναι». Και ο Διόφαντος. «Ήταν τόσο πρωτότυπος ο τρόπος με τον οποίο έθετε τα προβλήματα, που ακόμη σήμερα ονομάζουμε "διοφαντικές" ορισμένες εξισώσεις, οι οποίες απασχολούν και τους σύγχρονους μαθηματικούς».
Αιγύπτιοι, Βαβυλώνιοι και Κινέζοι είχαν αναπτύξει τα μαθηματικά πολλά χρόνια πριν από τους Έλληνες. Γιατί τελικά έμειναν οι Έλληνες στην ιστορία;
Η ιστορία της Δύσης, μετά την Αρχαιότητα, ακολούθησε τα ίχνη της ελληνικής, ελληνιστικής, και κατόπιν λατινικής κουλτούρας. Αποκόπηκε από τον αιγυπτιακό και βαβυλωνιακό πολιτισμό, αν και διαφυλάχθηκαν οι μεταξύ τους σχέσεις. Όπως και να 'χει, ο ελληνικός τρόπος μελέτης των μαθηματικών ήταν που διαδόθηκε στον κόσμο: η υπέρβαση της αριθμητικής «απόδειξης»: για τους Έλληνες, η αριθμητική απόδειξη δεν είναι απόδειξη. Η αλήθεια αναδεικνύεται μέσω της τεκμηρίωσης.
Σήμερα πάντως, που πραγματοποιούνται πολυάριθμες μελέτες γύρω από τα αιγυπτιακά και βαβυλωνιακά μαθηματικά, αναγνωρίζουμε όλο και περισσότερο την προσφορά τους στα ελληνικά μαθηματικά. Γίνονται επίσης έρευνες γύρω από τα ινδικά και κινεζικά μαθηματικά, ενώ, εδώ και λίγο καιρό, εξετάζουμε αυτό που ονομάζεται «εθνομαθηματικά», τα «μαθηματικά των άλλων», που αφορούν τις κοινωνίες που θεωρούνται πρωτόγονες ή κοινωνίες χωρίς Ιστορία.
Γιατί συνέβη στην αρχαία Ελλάδα αυτή η ιστορική «μαθηματική επανάσταση»; Ποιες πολιτικές και κοινωνικές συνθήκες την ευνόησαν;
Η ύπαρξη της πόλης-κράτους (και όχι μιας αυτοκρατορίας ή ενός συγκεντρωτικού έθνους) συνέβαλλε στο να αναδυθεί η μορφή του στοχαστή, ο οποίος αναγνωρίζει στον εαυτό του το δικαίωμα τού «σκέπτεσθαι», τού «προβληματίζω τον νου μου σχετικά με τον κόσμο». Καθώς δεν έχει άλλη νομιμοποίηση πέραν του λόγου του, καθώς δεν έχει θέση μέσα στον κρατικό οργανισμό, ο στοχαστής, αναγκαστικά, δικαιώνει τα όσα λέει παραθέτοντας «αποδείξεις» και «εξηγήσεις». Μπλέκεται σ' έναν διάλογο με όσους διαφωνούν μαζί του, χρειάζεται να ανασύρει επιχειρήματα για να αποδείξει τους ισχυρισμούς του.
Από την άλλη, η απόλυτη και εντυπωσιακή καινοτομία της ελληνικής σκέψης ήταν ότι έκανε αντικείμενο τον ίδιο της τον εαυτό! Έθεσε ερωτήματα, όπως «τι σημαίνει σκέφτομαι;», «τι σημαίνει σκέφτομαι σωστά;», «ποια είναι τα εργαλεία της σκέψης;», «ποια είναι η σχέση ανάμεσα στη σκέψη και την αλήθεια;».
Τις ίδιες περιόδους, οι πολιτικές αλλαγές, και ιδιαίτερα η εφεύρεση της δημοκρατίας (sic)-η οποία πολλαπλασίασε τον αριθμό των κοινωνικών ομάδων που δεν υπόκειντο στην αυταρχική και αυθαίρετη εξουσία- έπαιξαν πολύ μεγάλο ρόλο. Χαρακτηριστικό παράδειγμα, στη σφαίρα της πολιτικής: η ύπαρξη εκλογών προϋποθέτει ότι οι υποψήφιοι επιχειρηματολογούν, προσπαθώντας να αποδείξουν την αξία τους. Στη σφαίρα της δικαιοσύνης, επίσης: η παρουσία ανταγωνιστικών φατριών, όπου κάθε μία όφειλε να βρει λογικές προτάσεις και με βάση αυτές να αποδείξει πως όσα ισχυρίζεται είναι πραγματικά και αληθινά, ενώ, αποδεδειγμένα, τα όσα ισχυρίζονται οι αντίπαλοι, είναι ψευδή. Όλα αυτά που υφαίνουν τον τρόπο ύπαρξης και λειτουργίας της ελληνικής κοινωνίας, είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με τη θεωρία περί σκέψης, που τελειοποιήθηκε στα μαθηματικά και τη φιλοσοφία.
Υπάρχουν ιστορικές στιγμές που η μαθηματική σκέψη να οδήγησε σε πολιτικές και κοινωνικές αλλαγές;
Τα «αραβικά» μαθηματικά, από τον 9ο έως τον 14ο αιώνα. Είναι ένα από τα καλύτερα παραδείγματα αυτής της σχέσης ανάμεσα στην ανάπτυξη μιας κοινωνίας, του πολιτισμού, της γλώσσας της και της γνώσης που παράγει.
Πώς απαντά η ιστορία των μαθηματικών στο ερώτημα «πόση απόσταση χωρίζει τη λογική από την τρέλα»;
Το παιχνίδι της λογικής είναι να καθορίσει μια σειρά λογικές προτάσεις, οι οποίες θα υποχρεώσουν έναν συνομιλητή να δεχθεί τον ισχυρισμό Χ από τη στιγμή που πιστεύει σ' έναν άλλο ισχυρισμό Ψ. Πιστεύοντας στον Ψ, βρίσκεται παγιδευμένος, καθώς αναγκάζεται να δεχθεί και τον Χ!
Παράλληλα, υπάρχει και μία... τρέλα της λογικής. Είναι η αδιάκοπη αλυσιδωτή σχέση μεταξύ αιτίας και αποτελέσματος. Οι συνέπειες είναι πάντα εκεί. Σε υποχρεώνουν να πληρώσεις τις αιτίες, αυτό που τις γέννησε. Συνέχεια, ακατάπαυστα. Όταν η λογική εξωθείται στα άκρα μετατρέπεται σε τρέλα ­ σκληρή τρέλα.
Η λογική βρίσκεται απέναντι από το συναίσθημα;
Με ρωτάτε ποια είναι η σχέση ανάμεσα στη λογική αυστηρότητα και τα συναισθήματα. Μπορεί η αλήθεια να παράγει συναισθήματα και, μεταξύ αυτών, συγκίνηση; Ασφαλώς και μπορεί. Το ότι καταφέρνω να τεκμηριώσω έναν ισχυρισμό ­ κατά τρόπο αδιαμφισβήτητο ­ με γεμίζει χαρά. Είναι ο ίδιος ακριβώς ενθουσιασμός που βρίσκει κανείς στη δημιουργία. Εκπλήσσομαι πάντα όταν η λογική και το συναίσθημα τοποθετούνται σε απόσταση μεταξύ τους. Είναι άρρηκτοι οι δεσμοί τους, κι αυτές είναι κεκτημένες ιδέες που δεν χωρούν αμφισβήτηση.
Πώς μπορεί να αξιοποιηθεί η ιστορία των μαθηματικών για να γίνει πιο ελκυστική η διδασκαλία του μαθήματος;
Κατ' αρχήν, η ιστορία των μαθηματικών πρέπει να ενταχθεί στη διδακτέα ύλη. Έτσι μόνο θα μπορέσουμε να συνειδητοποιήσουμε το πώς συγκροτείται ένα γνωστικό αντικείμενο, πώς εξελίσσεται. Είναι θεμελιώδες ακόμη και το να πούμε, στα σχολικά βιβλία, ότι τα μαθηματικά δεν ήταν πάντα αυτό που ξέρουμε σήμερα. Γιατί, από μόνη της η παραδοχή αυτή, αποκαλύπτει ότι έχουν μία ιστορία, ότι είναι φτιαγμένα από μικρά «παραμύθια» ­ αυτά που προσπάθησα να αναδείξω στο «Θεώρημα του Παπαγάλου».

Το πρόβλημα

Θέλει να δώσει ένα παράδειγμα διοφαντικής εξίσωσης ο Denis Guedj ­ να βάλει έναν γρίφο. Πανάρχαιο και ταυτόχρονα σύγχρονο. Και αναφέρει τη διοφαντική εξίσωση που λέγεται πως ήταν σκαλισμένη στον τάφο του Διόφαντου, προκαλώντας τους αναγνώστες να υπολογίσουν το μήκος της ζωής του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού:
«Σ' αυτόν εδώ τον τάφο κείται ο Διόφαντος. Τι θαυμαστός τάφος! Με αριθμητική τέχνη, μας λέει την ηλικία του. Το ένα έκτο της ζωής, του χάρισε ο Θεός να είναι παιδί. Το ένα δωδέκατο μετά από αυτό να βγάλει τρίχες στα μάγουλά του. Μετά το επόμενο ένα έβδομο παντρεύτηκε. Και πέντε χρόνια αργότερα τού χάρισε έναν γιο. Αλίμονο, άτυχο παιδί, στο μισό της ηλικίας του πατέρα του σαν έφτασε, αφού πέθανε, κρύο πτώμα κάηκε. Τότε παρηγόρησε το πένθος του για τέσσερα χρόνια με τη σοφία των αριθμών και μετά πέθανε και αυτός. Πόσο διήρκεσε η ζωή του;»
Επιμέλεια αφιερώματος Λαμπρινή Σταμάτη
ΤΑ ΝΕΑ , 01/12/2001 , Σελ.: R16
Κωδικός άρθρου: A17207R161

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου