Σάββατο, 3 Ιουλίου 2010

FOUR - STEP RULE και μια σταγόνα!

"Όλα τριγύρω αλλάζουνε...",
είπε μια μέρα ο Ηράκλειτος!
Για την ακρίβεια, είπε: "αεί γίγνεσθαι και μεταβάλλεσθαι και μηδέποτε το αυτό μένειν"
 και με αυτή  τη ρήση του έθεσε τα θεμέλια για ένα μεγάλο κλάδο των επιστημών,  ο οποίος με τη σειρά του, προκειμένου να εκφραστεί  και να προκόψει, ώθησε στη δημιουργία ενός νέου πεδίου των Μαθηματικών, το Διαφορικό Λογισμό. Έτσι γίνεται πάντοτε στην ιστορία της ανθρωπότητας. Η ανάγκη για νέα έκφραση, για υπέρβαση των προβλημάτων και  για παρά πέρα πορεία προκαλεί την έμπευση νέων μεθόδων και τη δημιουργία νέων Εργαλείων.. Πάντα εμφανίζονται κάποιοι εμπνευσμένοι, πρωτοπόροι επιστήμονες που κάνουν το άλμα από εκείνο το σημείο όπου είχαν φτάσει βήμα βήμα όλοι οι προηγούμενοι...
 Και ο Διαφορικός Λογισμός, που πήρε μερικούς αιώνες να φτάσει στη μορφή που σήμερα μελετάμε ακροθιγώς στη Γ' Λυκείου κι αρκετά εκτεταμένα στο Πανεπιστήμιο, είναι ένα από τα πιο ισχυρά Εργαλεία που επινόησαν ταυτόχρονα και ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, οι Λάιμπνιτς και Νεύτων, στην προσπάθειά τους να περιγράψουν τις μεταβολές. Στην πραγματικότητα ο Λάιμπνιτς επινόησε αυτό που ονόμασε differential calculus, κι έχει να κάνει με τον υπολογισμό των διαφορών μιας μεταβλητής συναρτήσει των διαφορών μιας άλλης, ενώ ο Νεύτωνας, μελετώντας τις ροές, επινόησε τον fluxional calculus. Κατά βάση όμως αυτό που διερευνούσαν και οι δύο ήταν αυτό που ο Ηράκλειτος είχε, σε φιλοσοφικό επίπεδο, εκφράσει το 500 π.Χ.,  κι έρχονταν τώρα αυτοί οι δυο κορυφαίοι επιστήμονες, λίγο μετά το  1650,  να το μαθηματικοποιήσουν και να ... το απλοποιήσουν!!
 Η αυστηρή διατύπωση και η διόρθωση των όποιων λαθών που υπήρχαν στα συγγράμματα των Λάιμπνιτς και Νεύτωνα, έγιναν στη συνέχεια από τον μέγα αναλύστα Ογκυστέν-Λουί Κωσύ (1789-1857) και από τους  διαδόχους του.

"Τα πάντα γύρω μας αλλάζουν.
Είτε αυτό είναι η θέση μιας ρακέτας του τένις, είτε είναι η αξία μιας μετοχής στο χρηματιστήριο, είτε η αρτηριακή πίεση, η αλλαγή είναι παντού..."
λέει ο David Αcheson στο περίφημο "1.089 ΕΝΑ ΜΑΓΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ", και παρακάτω συνεχίζει λέγοντας:
"...ο τομέας ττων μαθηματικών που ασχολείται κυρίως με την αλλαγή είναι ο διαφορικός λογισμός.
Η βασική ιδέα του διαφορικού λογισμού δεν είναι τόσο η ίδια η μεταβολή όσο ο ρυθμός με τον οποίον αυτή συμβαίνει.
Φανταστείτε ότι έχουμε μια ποσότητα y που μεταβάλλεται ως προς το χρόνο t.
Οι μαθηματικοί δηλώνουν το ρυθμό αύξησης της ποσότητας y με τον εξής μάλλον περίεργο συμβολισμό:  dy/dt = ρυθμός αύξησης της ποσότητας y "

Νομίζω πως εδώ, για να μην παραπλανώ τους μη ειδικούς, θα πρέπει να πω ότι το dy/dt, δεν εκφράζει τον ρυθμό αύξησης' για την ακρίβεια εκφράζει  τον ρυθμό μεταβολής. Η  μεταβολή αυτή άλλοτε είναι αύξηση, άλλοτε όμως είναι μείωση κι άλλοτε πάλι συμβαίνει να είναι μηδενική, οπότε τότε μιλάμε για...σταθερότητα!  :)
Και για να βοηθήσω ακόμη λίγο τους μη μαθηματικούς να κατανοήσουν την έννοια του ρυθμού μεταβολής, θα περιγράψω τη διαδικασία σύμφωνα με την οποία - σε πρωτολιακό στάδιο - υπολογίζεται ο ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους σε σχέση με τη μεταβολή ενός άλλου μεγέθους, ας πούμε του χρόνου t, όπως λέει και ο Acheson παραπάνω..
Φανταστείτε, λοιπόν, ένα μέγεθος  y που μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t, δηλαδή  y = f(t), και για να γίνει κάπως  ενδιαφέρον ας υποθέσουμε ότι το y εκφράζει ... τη σοφία μας, :):), όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Είναι προφανές, από το σχήμα, πως καθώς το t αυξάνει ή αλλιώς καθώς τα χρόνια περνούν,  το y,  η σοφία μας, δηλαδή, αυξάνει επίσης.
Το ζητούμενο, τώρα,  είναι να βρούμε ποια μεταβολή υφίσταται το y σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, δηλαδή με ποια ταχύτητα μεταβάλλεται το y ή αλλιώς , ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του. Για το σκοπό αυτό εκτελούμε την εξής αλγοριθμική διαδικασία, που είναι γνωστή ως four-step rule:
1) Στην y = f(t) αντικαθιστούμε το t με t+Δt, οπότε το y γίνεται y+Δy. Κάνουμε, δηλαδή, μια μικρή μετατόπιση Δt, πάνω στον οριζόντιο άξονα κι επομένως, από τη θέση t που βρισκόμασταν πριν, μεταβαίνουμε στη θέση t+Δt. Αυτή η μετατόπιση αυτομάτως προκαλεί αντίστοιχη μετατόπιση για το y. Στον κατακόρυφο άξονα το μέγεθος y, μετατοπίζεται στη θέση y+Δy.  Δηλαδή: y+Δy = f(t+Δt) (1)
2) Αφαιρούμε, στη συνέχεια,  την αρχική σχέση από την  (1) και παίρνουμε:  Δy = f(t+Δt) - f(t)
3)Για να υπολογίσουμε τη σχετική μεταβολή, Δy, του y,  ως προς τη μεταβολή, Δt, του t,   διαιρούμε και τα δυο μέλη με το Δt :    Δy/Δt = [f(t+Δt)-f(t)]/Δt  και τέλος
4)  φτάνουμε στο πιο κρίσιμο σημείο, το σημείο στο οποίο κάνουμε φόκους στη "στιγμή", στη ...λεπτομέρεια, στην οριακή κατάσταση, στο απειροστό του χρόνου... παίρνουμε, δηλαδή, το όριο και των δυο μελών ενώ το  Δt τείνει στο μηδέν, οπότε το 'Δ'  μετατρέπεται σε "d" κι έτσι  προκύπτει το dy/dt, που δίνεται από τον τύπο:

Τα πράγματα είναι αρκετά απλά, κι αυτό που καταφέραμε μέχρι εδώ είναι να βρούμε την ταχύτητα αύξησης της..σοφίας μας, σε μια τυχαία χρονική στιγμή.
Αυτό σημαίνει πως αν θελήσουμε  να βρούμε την ταχύτητα αύξησης της σοφίας μας, σε μια οποιδήποτε χρονική στιγμή, ας πούμε στο 34ο έτος της ζωής μας, θα πρέπει εξαρχής να υπολογσίουμε το παραπάνω όριο, αφού βάλουμε όπου t τον αριθμό 34! Ο υπολογισμός όμως τέτοιων ορίων και χρονοβόρος είναι κι όχι πάντα εύκολος. Γι' αυτό ορίζεται μια άλλη συνάρτηση που σε κάθε τιμή του t αντιστοιχίζει την τιμή του παραπάνω ορίου.. Η συνάρτηση αυτή περιγράφει το ρυθμό μεταβολής σε οποιαδήποτε θέση t, που υπάρχει το παραπάνω όριο, αλλά ας μην υπεισέλθουμε σε τεχνικές λεπτομέρειες.  Το κέρδος με τον ορισμό αυτής της νέας συνάρτησης είναι πως το πρόβλημα του υπολογισμού του παραπάνω ορίου ανάγεται σε λίγες στοιχειώδεις αλγεβρικές πράξεις και ο καθένας μπορεί να υπολογίσει τον ρυθμό μεταβολής έχοντας τον τύπο της παραγώγου συνάρτησης και χωρίς καθόλου να γνωρίζει θεωρία ορίων..
Αν υποθέσουμε, για παράδειγμα, πως η καμπύλη στο παραπάνω  σχήμα έχει εξίσωση f(t) = (5/2) t^2, t>=0 σε έτη, τότε για  κάθε  t ο ρυθμός μεταβολής της αποδεικνύεται ότι είναι: df/dt= 5t, που σημαίνει ότι για t = 34 ο ρυθμός μεταβολής της σοφίας είναι 5x34=170 σοφιόνια/έτος*. Τόσο απλά. Αν τώρα θελήσουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής του ρυθμού μεταβολής του αρχικού μεγέθους y, θα δούμε (από τον πίνακα των παραγώγων συναρτήσεων) πως αυτό είναι ίσο με 5, ανεξάρτητα από το t. Κι αν κάνουμε ένα βήμα ακόμη θα δούμε πως ο ρυθμός μεταβολής του ρυθμού μεταβολής του ρυθμού μεταβολής του αρικού μεγέθους y, εν τέλει, μηδενίζεται!!
Καθόλου παρήγορο, αν θυμηθούμε ότι  το αρχικό μέγεθος y, υποθέσαμε ότι υπολόγιζε την εξέλιξη της "σοφία" μας συναρτήσει του χρόνου. :)
Έχουμε βέβαια την πολυτέλεια ...αλλαγής παραδείγματος (!), αφού δικό μας είναι το παράδειγμα,  και αφού το φινάλε  δεν μας ενθουσιάσε, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τη συνάρτηση f(t) = (5/2) t^2, που υποτίθεται πως υπολογίζει τη σοφία μας στο πέρασμα των χρόνων, με την πιο όμορφη μεταβολή που παρατηρείται στη Φύση, την εκθετική μεταβολή, την οποία η ίδια η  Φύση φαίνεται να την προτιμάει, γι' αυτό τη χρησιμοποιεί ευρέως σε πολλά φαινόμενα. Ο χρόνος t εμφανίζεται στον εκθέτη μιας δύναμης με βάση e, όπου e ο μυστηριώδης αριθμός του Εuler, ο οποίος αποτελεί μια καταπληκτική και μεγάλη μαθηματική ιστορία, αλλά δεν έχω χρόνο τώρα να την πω, γι' αυτό θα αρκεστώ στα απαραίτητα..

Έστω, λοιπόν, πως η συνάρτησή μας είναι η εκθετική y = e^t, , τότε ο ρυθμός μεταβολής του y ισούται σε κάθε στιγμή με το ίδιο το y, δηλαδή dy/dt = y, και ο ρυθμός μεταβολής του ρυθμού μεταβολής ισούται με τον ρυθμό μεταβολής, δηλαδή d(dy/dt)/dt = dy/dt, και ο ρυθμός μεταβολής του ρυθμού μεταβολής του ρυθμού μεταβολής ισούται με ρυθμό μεταβολής του ρυθμού μεταβολής και ... Μπερδευτήκατε; Πράγματι ακούγεται κάπως περίπλοκο, αλλά θα μπορούσαμε να το πούμε απλούστερα κάπως έτσι:   ΟΛΑ ΤΡΙΓΥΡΩ ΑΛΛΑΖΟΥΝΕ ΚΙ ΟΛΑ ΤΑ ΙΔΙΑ ΜΕΝΟΥΝ...
Αυτή η επανάληψη, είναι ο ορισμός των φράκταλ, και  όπως διάβασα προσφάτως, και πάλι στο
καταπληκτικό 1.089 ΕΝΑ ΜΑΓΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, το e, τα φράκταλ και η σταγόνα συνδέοντα άμεσα, άρα, θα μπορούσαμε να πούμε πως  είναι μια μεγάλη και πανέμορφη οικογένεια...όπως μια μεγάλη και όμορφη παρέα είμαστε κι όλοι εμείς που αγαπάμε τα Μαθηματικά :):) ;)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Το θέμα είναι ανεξάντλητο και απίστευτα γοητευτικό, γι' αυτό απαιτεί πολλές αναρτήσεις...κι όχι μόνο...:)
Δεν είμαι καθόλου βέβαιη πως θα τις κάνω, τουλάχιστον όχι σύντομα,αλλά ελπίζω να έδωσα μια πρώτη εικόνα στον φίλο μου Δx που εκφράζει, ξανά, έντονες μαθηματικές ανησυχίες, για το 'εφ του χι' και το 'ντε εφ ντε χι', το οποίο εγώ  άλλαξα σε "ντε ψι ντε τε", για να μη γράφω Δx στον παρονομαστή!
Ενώ στη Φυσική η ανεξάρτητη μεταβλητή του οριζόντιου άξονα είναι συνήθως ο χρόνος t, με t>=0, στα Μαθηματικά  έχουμε ως ανεξάρτητη μεταβλητή το x που μπορεί να παίρνει τιμές από το μείον άπειρο μέχρι το συν άπειρο, αν αυτό δεν αντιβαίνει στον καλό ορισμό της συνάρτησης, που περιγράφει το πρόβλημα... Όπως και να 'χει, είτε στη Φυσική είτε στα Μαθηματικά το "Δ" είναι που κάνει τη ..διαφορά!
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Για περισσότερες πληροφορίες για τη "σταγόνα" ή αλλιώς "τη συμμετρία της πιτσιλιάς" μπορείτε να δείτε εδώ,  όπου υπάρχουν και δυο εξαιρετικά vide-ακια...
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
* Το "σοφιόνιο" είναι μια μονάδα που επινόησα για τις ανάγκες του παραδείγματος και στερείται παντελώς νοήματος, εκτός κι αν  εσείς... έχετε διαφορετική άποψη!

12 σχόλια:

  1. Κάπου στα βάθη του … υπολογιστή μου έχω μια ανάρτηση για την ιστορία του διαφορικού λογισμού από το Νεύτωνα με video και μια παρουσίαση. Όταν θα ‘ρθει ο χρόνος της θα αναρτηθεί…
    Μέχρι τότε απλά ….. διαβάζω αυτό το εξαίρετικο blog και θέλοντας μόνο να αφήσω το ίχνος μου θα γράψω ένα ανέκδοτο που μας είχε πει ο μαθηματικός μας (παλιά……) όταν μας δίδαξε παραγώγους, την πρώτη φορά, ύστερα από την παράγωγο της εκθετικής.
    “ Όλες οι ... συναρτήσεις κάνουν πάρτυ και γλεντοκοπάνε χαρούμενες και ευτυχισμένες. Κάποια στιγμή την ωραία ατμόσφαιρα διακόπτει η είσοδος ενός ή μιας κουκουλοφόρου που φωνάζει ως άλλος-η ληστής..
    Παράγωγος. Ψηλά τα χέρια και φρόνιμα , μη σας παραγωγίσω!!!
    Και ενώ τις αρχικές κραυγές αγωνίας και τα μουρμουρητά τα ακολουθεί μια τρομερή ησυχία, μια φωνή ακούγεται από το βάθος της αίθουσας:
    _ Σιγά ρε μεγάλε, φοβηθήκαμε τώρα….!
    Ήταν η φωνή της συνάρτησης f(x)=e^x.”

    Υ.Γ: Για το «σοφιόνιο» πρέπει να μας πείτε σε ποιο σύστημα μονάδων ανήκει, και επειδή η σοφία έχει διάφορους ορισμούς, τι μπορεί να εκφράζει….
    Θα ήταν πάντως εντυπωσιακό (προφανώς όχι ακριβές) να ορίζεις τη σοφία του Einstein ως "n" σοφιόνια και να προσπαθείς να "μετρήσεις" τη σοφία του Dirac, του Leibniz, του Gauss ως "n΄", "n΄΄" κ.λ.π

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Χαιρετώ κι ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια!!
    (τα οποία ανταποδίδω)

    Θα περιμένω την ανάρτηση για την ιστορία του διαφορικού λογισμού.
    Ίσως κάνω κι εγώ μια σχετική ανάρτηση με αφορμή το βιβλίο "Οι μεγάλες έριδες στην ιστορία των μαθηματικών", του Hal Hellman..
    Στο μυαλό μου το έχω, δηλαδή..:)
    Μεγάλος πόλεμος μεταξύ άγγλων και γερμανών, η διεκδίκηση της πατρότητας του Διαφορικού Λογισμού..Οι άγγλοι, εμμένοντας στο λογισμό του Νεύτωνα, έμειναν στα μαθηματικά περίπου έναν αιώνα πίσω από τους γερμανούς..

    Υ.Γ. ..το "σοφιόνιο" το αφήνω σε σένα!
    Μια χαρά μου φαίνεται η πρώτη προσέγγιση του ορισμού..
    [..άλλωστε είναι δουλειά των φυσικών ο ορισμός των μονάδων, οι εφαρμογές τους κ.λ.π.;) ]

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Είναι χαρακτηριστικό πάντως πως η χρήση των διαφορικών, όπως τα μεταχειριζόμαστε συνήθως, δημειρουγεί μια αίσθηση παραδοξότητας και η οποία είναι πολύ έντονη όταν κάποιος πρωτοσυναντάει τον ορισμό της παραγώγου μέσω των διαφορικών (π.χ. http://en.wikipedia.org/wiki/Ghosts_of_departed_quantities). Βέβαια, το πρόβλημα λύνεται με τη χρήση των ορίων αλλά μια πολύ ενδιαφέρουσα και ίσως και πιο διαισθητική εναλλακτική είναι οι υπερπραγματικοί αριθμοί (http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_numbers) οι οποίοι διαχειρίζονται τις απειροελάχιστες ποσότητες με ...ας πούμε πιο παραστατικό τρόπο! :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Μια εισαγωγή στους υπερπραγματικούς αριθμούς που αναφέρει παραπάνω ο Σωτήρης, μπορεί να βρει κανείς στο εξαιρετικό βιβλίο του Benjamin Crowell "Calculus", το οποίο κυκλοφορεί με άδεια CC οπότε μπορεί οποιοσδήποτε να το κατεβάσει σε μορφή pdf εδώ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Σας ευχαριστώ πάρα πολύ, Σωτήρη και Κώστα, για τις πληροφορίες!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Η μονάδα μέτρησης του μαθηματικού blog activity προτείνω να ονομαστεί κατερινόνιο!

    Για πληροφορίες σχετικά με το βιβλίο «1.089 ΕΝΑ ΜΑΓΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» επισκεφτείτε το:

    http://www.facebook.com/1089greek.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Γεια σου Νικόλα!

    ευχαριστώ πολύ για την ιδιαίτερη τιμή :):):)

    και με την ευκαιρία να σου πω ότι στο πενθήμερό μας στον Αγίο Νικόλαο, το 1.089 συζητήθηκε πολύ και ήταν πολλοί οι συνάδελφοι που το βρήκαν εξαιρετικό! Μεταξύ δε των μαθηματικών που εξέφρασαν γνώμη ήταν και ένας φιλόλογος, ο σύζυγός μου, που κυριολεκτικά ενθουσιάστηκε διαβάζοντάς το και μου δήλωσε το εξής: "τόσα χρόνια σε ακολουθώ στα μαθηματικά συνέδρια και νομίζω πως πρώτη φορά, διαβάζοντας αυτό το βιβλίο, κατάλαβα επιτέλους για ποια πράγματα μιλάτε..."

    Ωσονούπω, το 1.089 μας φέρνει πιο κοντά :):):)

    Να είσαι καλά

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Γεια σου Κατερίνα!

    Εξαιρετικά νέα για το 1.089! Το σχόλιο του άντρα σου είναι ό,τι πιο συγκινητικό και εμπνευστικό έχω ακούσει... Και όχι μόνο λόγω της ιδιότητάς του ως συζύγου σου, αλλά και ως -κυριότερα- φιλολόγου (έξω από το χορό δηλαδή). Το 1.089 μας ενώνει!

    Πολλά φιλιά!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. Το μεγάλο παράπονό μου από τις σπουδές μου είναι ότι δεν κατανόησα ποτέ τους μετασχηματισμούς (Laplace, Fourier, κλπ). Από τη φυσική κατάλαβα ότι μιά μη ημιτονοειδής συνάρτηση αναλύεται (κατά Fourier) σε ένα πλήθος από ημιτονοειδείς, αλλά δεν κατάλαβα πώς γίνεται αυτός ο μετασχηματισμός (ή ανάλυση) στα μαθηματικά. 'Οπως δεν έμαθα ποτέ την έννοια του τανυστή... 'Αλλο παράπονό μου αυτό! Αφού να φανταστείς ότι τώρα, στα γεράματα, προσπαθώ να κατανοήσω τις έννοιες αυτές (λες και θα με εξετάσει ο ...'Αγιος Πέτρος!), αλλά τα κείμενα που βρίσκω (στο Ιντερνετ) δεν με βοηθούν καθόλου...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. >Νικόλας Πρωτονοτάριος: Μήπως είσαι γιός του Αντώνη και της Φώφης;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. Καλή σου μέρα Epicure!

    Πολύ συμπαθές να εκφράζεις τον καημό σου, τον οποίον, αν αυτό σε παρηγορεί, τον μοιράζομαι μαζί σου...:)
    Κι έλεγα πως οι φυσικοί, οι οποίοι κάνουν εφαρμογή των μετασχηματισμών, των τανυστών (συναρτήσεις δεν είναι?)κλπ κατανοούν τις οντότητες αυτές σε βάθος, σε σχέση με τους θεωρητικούς/ποιητές μαθηματικούς...
    Τελικά, νομίζω, στην εποχή μας δεν ήταν επαρκώς αφομοιωμένα ούτε από τους διδάσκοντές μας, κι ιδού τα αποτελέσματα...
    Εν όψει του Αγίου Πέτρου, προσπαθούμε να κατανοήσουμε.. (ας ελπίσουμε πως θα μας δώσει όση παράταση χρειάζεται για να μάθουμε αυτά που δεν είχαμε μάθει...εγώ θα δηλώνω συνεχώς: "εν οίδα, ότι ουδέν οίδα" κι ελπίζω να πιάνει.:) )

    Ευτυχώς που η συγγραφή εκλαϊκευμένων βιβλίων με τέτοια θεματική (η ποσότητα και η ποιότητα των οποίων δείχνει ότι το πρόβλημα που έχουμε εσύ κι εγώ το έχει και πολύς ακόμη κόσμος) μας βοηθάει να δούμε, έστω και λίγο, την γοητεία όλων αυτών που δεν κατανοήσαμε στα νιάτα μας...

    ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ!

    (ο Νικόλας υπηρετεί τη θητεία του στο στρατό..Δεν νομίζω ότι θα σου απαντήσει άμεσα. κι εγώ δεν γνωρίζω τους γονείς του, ούτε και τον ίδιο..)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. Και το 6 D.O.G.S. πείραμα συνεχίζεται με επιτυχία...

    @Epicuros: Έπεσες κοντά Επίκουρε, είμαι γιος του Μανώλη, του αδερφού του Αντώνη!

    ΑπάντησηΔιαγραφή