ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ, Βιβλιοπαρουσίαση του Θ. Βουγιουκλή

ΑΝΑΜΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μια μυθιστορηματική περιήγηση στο έργο του χαράκτη Μάουριτς Κορνέλις Έσερ του Ανδρέα Λύκου, Εκδόσεις Γαβριηλίδη, 2015

Βιβλιο-παρουσίαση από τον Θωμά Βουγιουκλή

Το βιβλίο είναι μια καλαίσθητη έκδοση, 160 σελίδων με μερικά βοηθητικά σχήματα-διαγράμματα, με βιβλιογραφία και αναφορές σε πραγματικά γεγονότα. Παρουσιάζει την πορεία-περιήγηση δυο νέων στο έργο του χαράκτη Μ. Κ. Έσερ. Γλαφυρές-συναισθηματικές περιγραφές κρατούν τον αναγνώστη σε εγρήγορση από την πρώτη ως την τελευταία σελίδα. Ίσως κάτι τέτοια θα θέλατε να ακούσετε από έναν ακαδημαϊκό και μάλιστα μαθηματικό. Αυτά είναι αλήθεια αλλά δεν φαίνεται να τα γράφω εγώ, για όσους με γνωρίζουν, ακόμα και ο συγγραφέας ο οποίος αν με άκουγε να μιλώ κάπως έτσι, μάλλον θα μετάνιωνε που με πρότεινε! Άρα ας το πάρουμε από την αρχή. Διάβασα το βιβλίο με μια ανάσα. Νόμισα βέβαια ότι πρόκειται για ένα αστυνομικό μυθιστόρημα διότι όπως γνωρίζετε ο 21ος αιώνας λένε ότι είναι ο αιώνας του μαθηματικού μυθιστορήματος και μάλιστα του θρίλερ. Αυτό έχει αγωνία, δεν έχει φόνο! Επιπλέον μάλλον με ξεγέλασε ο Αντρέας διότι, ανεξάρτητα από τα φαινόμενα, είναι ένα εξαιρετικά συναισθηματικό-συγκινητικό βιβλίο. Η ραγδαία εξέλιξη διακόπτεται από ιστορικές και μαθηματικές πληροφορίες που ‘δένουν’ την πλοκή. Και εκεί κάπου ο συναισθηματικός-μυθιστορηματικός λόγος τα συνδέει όλα σφιχτά. Βγαίνεις έξω από την διαδρομή για να ασχοληθείς με τον άνθρωπο, με το ανθρώπινο καλύτερα. Ξανά στη διαδρομή, ξανά στην αιτιολόγηση των μαθηματικών προβλημάτων με σχηματάκια απλά κατανοητά ώστε να σε αποσπάσουν την προσοχή για να μη λιώσει το μυαλό σου στην διαδικασία. Να υπακούσεις στον ρυθμό, αλλά να μην αγανακτήσεις, να μην εκνευριστείς από την υποταγή σου στην εικόνα. Πάνω σε όλα εμφανίζονται, όπως πάντα, και οι άνθρωποι που φοβούνται μη τους θέσεις κανένα μαθηματικό πρόβλημα. Και αναφωνείς, ως μαθηματικός: «Βρε τι πάθαμε, άνθρωποι οι οποίοι δηλώνουν άσχετοι με τα μαθηματικά αποδεικνύουν ότι κάνουν βαθύτερα και υψηλότερα μαθηματικά!» Και προσπαθούν οι φουκαράδες μαθηματικοί να εξηγήσουν το μαθηματικό υπόβαθρο αυτών που γράφουν, κατά δήλωσή τους, οι υποτίθεται άσχετοι! Λένε ότι δεν έχουν σχέση με τα μαθηματικά από το φόβο μη τους ρωτήσεις κανένα πρόβλημα και δεν βρουν τη λύση. Θαρρείς και οι μαθηματικοί λύνουν όλα τα μαθηματικά προβλήματα! Βέβαια υπάρχουν κάποια μαθηματικά προβλήματα αλλά ποιος τα δίνει σημασία; Ποιος παρατηρεί στη σελίδα 45 ότι γράφει: «Περπατήσαμε πάνω στο πλακόστρωτο πεζοδρόμιο προσπαθώντας, χωρίς να συνεννοηθούμε, να μην πατάμε τους αρμούς ανάμεσα στα πλακάκια. Ανάμεσά μας είχαμε φροντίσει να αφήσουμε μια κενή σειρά από τετράγωνα πλακάκια». Αυτή είναι μια αυστηρά μαθηματική διαδικασία, απλή απλούστατη που όλοι την έχουμε κάνει, την έχουμε ‘παίξει’ και παιδιά και μεγάλοι, αλλά όταν τη βλέπουμε στους άλλους πάντα λέμε: «δες τον χαζό πως βαδίζει»! και όμως από εκεί ξεκινάει η απόδειξη του περίφημου Θεωρήματος του Θαλή! Ίσως εκεί είναι το πρόβλημα με τα μαθηματικά προβλήματα: να μη τα χαρακτηρίσεις ως μαθηματικά προβλήματα. Άμα τα χαρακτηρίσεις ακολουθεί ένα σφίξιμο, ένα κούμπωμα! Ο συγγραφέας μας βάζει να βαδίζουμε στις εικόνες, να βαδίζουμε μέχρι να γίνουμε μέρος τους. Αυτός είναι ο σκοπός του. Μας παίρνει απ’ το χεράκι και μας πάει. Όπου θέλει αυτός. Γιατί εμείς τελικά ούτε πού είμαστε βλέπουμε αλλά ούτε και πού πάμε! Φυσικά για όλα φταίει ο Έσερ, που θέλει να τον φωνάζουν Μάουκ. Που διάλεξε το Θωμά και τη Ραφαέλα. Όπως ο συγγραφέας διάλεξε τον Θωμά Ιωάννου. Γιατί άραγε; Και όχι τον Ιωάννη Θωμά; Άκου λέει η πόλη Ατράνι! Και νάσου η συμμετρική της η Ινάρτα, η αντίστροφή της! Αν νομίζετε ότι θα σας περιγράψω την υπόθεση, είστε γελασμένοι! Θα το διαβάσετε και ίσως να το ξαναδιαβάσετε! Εγώ απλώς ψιλο-περιγράφω τι έπαθα από την ανάγνωσή του! Μπαίνοντας, λοιπόν, τακτικά στην εικόνα και βαδίζοντας από το πάτωμα έως το ταβάνι, όχι γιατί η λογική ακολουθεί τους νόμους της βαρύτητας αλλά επειδή το οικοδόμημα περιστρέφεται, ζαλίζεσαι και θυμάσαι! Έτσι και εγώ μπήκα στην εικόνα του Αντρέα και θυμήθηκα το Ravello και το Amalfi όταν τον Μάιο του 1988 συμμετείχα στο Συνέδριο Μαθηματικών με τίτλο «Combinatorics ’88, Ravello, Italy». Τόσο ζωντανή η περιγραφή που κατάλαβα ότι, εκτός από τις καταπληκτικές φυσικές εικόνες, δεν πήρα μυρουδιά του κρυμμένου θησαυρού του ζωντανού Έσερ! Και να φανταστεί κανείς ότι το αντικείμενο του συνεδρίου ήταν οι ομάδες συμμετρίας! Έτσι μου φαίνεται υποχρεωτικό να ξαναπάω! Πιστεύω ότι ο καθένας θα θυμηθεί και θα αναθεωρήσει πράγματα που άλλοτε δεν τα είχε δώσει σημασία, αφού δεν μπήκε στη διαδικασία και στην ερευνητική διάθεση του θέματος. Προσωπικά μπήκα αρκετές φορές στην αναθεώρηση αυτών που βλέπω. Γι' αυτό είπα παραπάνω ότι το έπαθα. Μπήκα στο πάθος! Πριν από πάρα πολλά χρόνια πήγα στο Άγιο Νόρος! Ακούστηκε τι είπα; Άγιο Νόρος! Τόσο μεγάλο ήταν τότε! Επισκεφτήκαμε μια εκκλησία ενός μοναστηριού. Μπήκαμε, θαυμάσαμε, βγήκαμε. Μετά παρατήρησα ότι στον πρόναο, γέροντας μοναχός καθόντανε, που κοιτούσε απέναντί του εικόνα αγίου. Εμείς είχαμε περάσει από μπροστά του, μπήκαμε-βγήκαμε, δεν τον εμποδίσαμε καθόλου. Γιατί; Γιατί δεν ήταν εκεί που τον βλέπαμε! Ήταν απέναντι στην εικόνα! Τότε κατάλαβα τη σημασία της λέξης «μέθεξη»! Το μεγαλείο να μπεις και να ζήσεις στο όνειρο! Δεν είναι απλή διαδικασία! Θέλει μέθοδο, θέλει μαθηματική μέθοδο ή να έχεις αποκτήσει την εμπειρία, να το έχεις προσπαθήσει πάρα πολλές φορές! Σε ευχαριστώ Αντρέα που μου έδειξες μια τέτοια διαδικασία μέσα από τις «Αναμνήσεις συμμετρίας». Θα τελειώσω με ένα ‘μειονέκτημα’ που αποκόμισα όταν τέλειωσα το βιβλίο: Ο Αντρέας είναι υποχρεωμένος, αφού έγραψε αυτό το υπέροχο βιβλίο, να γράψει και άλλα και άλλα, να μη καθίσει καθόλου! Με άλλα λόγια, την πάτησε! Και για να τον προβοκάρω, για να μη νομίζει ότι τέλειωσε με τούτο το βιβλίο, εγώ θα ονόμαζα το βιβλίο: Μύστης Συμμετρίας!

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Αυτό ήταν το κείμενο του καθηγητή Θωμά Βουγιουκλή στη χθεσινή παρουσίαση του βιβλίου ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ του Ανδρέα Λύκου, που έγινε στην Κομοτηνή. Ο τρόπος που παρουσίασε το βιβλίο ο κος Βουγιουκλής, το χιούμορ του, οι εκ προθέσεως επαναλήψεις και οι παύσεις, ο αυθορμιτισμός και ο ενθουσιασμός με τον οποίο μιλάει δεν είναι δυνατόν να μεταφερθούν στο γραπτό κείμενο. Όμως του ζήτησα τις σημειώσεις του, για να αναρτήσω εδώ όσα είπε, επειδή η προσέγγιση που έκανε στο βιβλίο ήταν πολύ ενδιαφέρουσα και, λόγω της ιδιότητας και της θέσης του, αναμφιβόλως βαρύνουσα...

ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

Το πρώτο βιβλίο του Ανδρέα Λύκου θα μας ταξιδέψει στην όμορφη, πολυπολιτισμική Κομοτηνή, όπου θα το παρουσιάσουμε την Παρασκευή 24 Απριλίου 2015.

"ο ΒαsιΛιαs του Απειρου Χωρου"

Χθες το απόγευμα, μετά από πολύ καιρό, πέρασα πάνω από μια ώρα μέσα σε ένα από κείνα τα βιβλιοπωλεία που διαθέτουν τραπεζοκαθίσματα και επιτρέπουν στους πελάτες να κάθονται και να ξεφυλλίζουν τα βιβλία, που προτίθενται (ή δεν προτίθενται) να αγοράσουν. Για διάφορους λόγους, με κυρίαρχο την οικονομική κρίση, δεν επισκέπτομαι επισταμένως τα βιβλιοπωλεία κάθε πρωινό  Σαββάτου, όπως στην προ κρίσης εποχή! Η αλήθεια είναι πως μου είναι πολύ δύσκολο να αντισταθώ στην αγορά βιβλίων, ακόμη κι όταν έχει εξαντληθεί ο -λόγω "δημοσιονομικής προσαρμογής" κατά το 1/3 μειωμένος- μισθός μου... Ας είναι, όμως.

Χθες, πέρασα πάνω από μια ώρα καθισμένη στο πατάρι ενός βιβλιοπωλείου με τρία βιβλία μπροστά μου, διαβάζοντας μια το ένα και μια το άλλο, μέχρι που με απορρόφησε πλήρως "ο ΒαsιΛιαs του Απειρου Χωρου", του David Berlinski, από τις εκδόσεις Τραυλός. Διάβασα σχεδόν τρία ολόκληρα κεφάλαια και θα συνέχιζα αν δεν άκουγα τον Σαράντη, που επίσης διάβαζε τα δικά του παραπέρα να λέει κάποια στιγμή στον πωλητή να μην ανησυχεί, πως αν πρόκειται να κλείσει εμείς θα φύγουμε... "Σε ένα τέταρτο θα κλείσουμε", απάντησε ο νεαρός βλέποντας το ρολόι του. "Έχετε χρόνο", συμπλήρωσε συγκαταβατικά. Η κουβέντα όμως μας επανέφερε στην πραγματικότητα του ωραρίου και, αφού πληρώσαμε τα βιβλία που είχαμε επιλέξει - από ένα ο καθένας, λόγω λιτότητας - καληνυχτίσαμε και φύγαμε. Βιαζόμουν να γυρίσω στο σπίτι να συνεχίσω την ανάγνωση. Ο βασιλιάς του άπειρου χώρου, ο Ευκλείδης, όπως τον παρουσίαζει ο David Berlisnki, είναι σχεδόν καθηλωτικός.

Ο Berlinski, διδάκτωρ του Πανεπιστημίου του Πρίνστον, που έχει διδάξει Μαθηματικά και Φιλοσοφία σε πανεπιστήμια της Αμερικής και της Γαλλίας, εγκωμιάζει τα Στοιχεία του Ευκλείδη με έναν τρόπο μοναδικό! Αποδομεί το έργο του Ευκλείδη, αποδομώντας παραλλήλα την κριτική των επικριτών του, με κυρίαρχο τον David Hilbert, για να καταλήξει στο συμπέρασμα, σε κάθε κεφάλαιο σχεδόν -τουλάχιστον μέχρι εκεί που έχω φτάσει- ότι ο Ευκλείδης είπε ακριβώς αυτό που όφειλε να πει!

Αντιγράφω ένα απόσπασμα από το VI Κεφάλαιο, με τίτλο:

Ο ΕΥΡΥΤΕΡΟΣ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 

"ο ΒαsιΛιαs του Απειρου Χωρου"

  "ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ανήκουν σε μια παράξενη παράδοση, μια παράδοση την οποία αυτά δημιούργησαν και τώρα ενσαρκώνουν-ένα βουκολικό έργο για την ορειβασία. Οι μαθηματικοί θεωρούν τους εαυτούς τους αναρριχητές. "Η μαθηματική μελέτη και έρευνα θυμίζει πολύ την ορειβασία", παρατήρησε ο Άγγλος μαθηματικός Λούις Τζόελ Μόρντελ, καθώς θυμόταν με συμπάθεια ότι, όταν ο Έντουαρντ Γουίμπερ ανέβηκε για πρώτη φορά στο Μάτερχορν, τέσσερις σύντροφοί του χάθηκαν κατά την αναρρίχηση. Το έργο είναι βουκολικό, επειδή τα Στοιχεία εκφράζουν την έντονη αναζήτηση του Ευκλείδη για έναν εξιδανικευμένο κόσμο, έναν κόσμο όπου τα πράγματα είναι ελεύθερα από την τριβή και τα συμπεράσματα λεία σαν το χιόνι. Στη μελέτη του Some Versions of Pastoral (Ορισμένες Εκδοχές του Βουκολικού), που άσκησε μεγάλη επιρροή, ο Γουίλιαμ Έμπσον ταύτισε το βουκολικό με την τάση να "εισαχθεί το σύνθετο στο απλό". Τι θα μπορούσε να είναι περισσότερο ευκλείδειο; Τα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι αυτό το σπάνιο πράγμα: το καλύτερο παράδειγμα του εαυτού τους.  

   Αν τα θεωρήματα των Στοιχείων είναι οι κορυφές του έργου, οι αποδείξεις καταγράφουν τις αναρριχήσεις του συγγραφέα. Σε μερικές από αυτές ο Ευκλείδης φτάνει γρήγορα στην κορυφή, σε άλλες ανεβαίνει αγκομαχώντας και σε αυτές τις περιπτώσεις μοιάζει με γέρο, γκριζομάλη αναρριχητή που θυμάται πώς, κάποτε, λίγο έλειψε να παγώσει ο πρωκτός του. Πέρα από τις αποδείξεις που παρουσιάζει, ο Ευκλείδης αναμένει από τον αναγνώστη να παρακολουθήσει το δράμα που εμπεριέχουν. Οι αποδείξεις εκφράζουν ένταση, ανακούφιση, θρίαμβο. Επιτρέπουν στον αναγνώστη να διακρίνει το βάθος στις δυσκολίες του συγγραφέα.

   Γιατί, όμως, να κάνει κάποιος αυτό που έχει ήδη κάνει ο Ευκλείδης; Οι γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Αυτή είναι η πέμπτη πρόταση του Ευκλείδη. Για ποιο λόγο να την αποδείξει κάποιος απ' την αρχή; Αν το ερώτημα ακούγεται εντυπωσιακά συνηθισμένο, η ευκλείδεια απάντηση είναι ασυνήθιστα αυστηρή.

   Ο Ευκλείδης θεωρούσε πως η αναρρίχηση προς την απόδειξη είναι από μόνη της μια ανταμοιβή. "Δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη γεωμετρία", επισήμανε περιφρονητικά όταν ένας αναιδής Πτολεμαίος (ο Πτολεμαίος Σωτήρ) παραπονέθηκε ότι οι αποδείξεις ήταν δύσκολες.

   Χωρίς δουλειά τίποτε δεν κερδίζεται, χωρίς δουλειά τίποτε δεν μαθαίνεται, χωρίς δουλειά τίποτε.

   Κι αυτό επίσης, είναι μέρος της ευκλείδειας παράδοσης, η ηθική επιταγή της."

                                                    ************************************

    Οι επιτονισμοί και οι υπογραμμίσεις στο απόσπασμα είναι δικά μου και υποδηλώνουν ακριβώς για ποιο λόγο επέλεξα το συγκεκριμένο απόσπασμα ανάμεσα σε τόσα άλλα άκρως ενδιαφέροντα και πρωτότυπα αποσπάσματα, που ίσως μάλιστα αναδείκνυαν περισσότερο την αξία του συγγράμματος του Berlinksi. Ίσως. 

   Αυτό όμως που με ενδιαφέρει είναι να επισημάνω  ότι εμείς οι δάσκαλοι των Μαθηματικών έχουμε ηθικό χρέος να διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρία με το σεβασμό που της πρέπει, μέσα από μια ολιστική προσέγγιση του έργου κι όχι αποσπασματικά με ασκήσεις "ειδικού σκοπού" από Τράπεζες θεμάτων ή από αλλού, επειδή, όπως φαίνεται στο παραπάνω απόσπασμα, η "ηθική επιταγή" του μαθήματος είναι η εμπέδωση του: "χωρίς δουλεία τίποτε", το οποίο έχει εκλείψει, όπως έχει εκλείψει και το "όποιος δεν δουλεύει δεν τρώει", με το οποίο μας μεγάλωναν κάποτε, παραδοσιακά, οι γονείς μας. Κάποτε. Σήμερα, οι γονείς, το εκπαιδευτικό σύστημα και η κοινωνία ολόκληρη,  έχω την εντύπωση,  στερούν από τα παιδιά το όραμα. Ίσως γι' αυτό θα πρέπει να γυρίσουμε πίσω στην παράδοση και να το αναζητήσουμε εκεί, καθώς  όπως διαβάζουμε στο "αυτί" του βιβλίου:

   Τα Στοιχεία, αυτό το διαχρονικό μαθηματικό σύγγραμα, η αποθέωση της Γεωμετρίας, αποκαλύπτουν ένα μυαλό μοναδικό, απολύτως προσηλωμένο. Ξεδιπλώνουν μπροστά στα μάτια μας την προσωπικότητα και το ύφος του γεωμέτρη, ο οποίος κληρωδότησε στους μαθηματικούς του μέλλοντος κάτι που σπάνια προσφέρουν οι άνθρωποι: ένα όραμα.

  Και αφού προσφέρθηκε το όραμα, οι αυθεντίες αυτής της επιστήμης έθεσαν το ερώτημα που η διατύπωσή του μόνο μέσα από ένα όραμα θα μπορούσε να προκύψει: ποια μορφή ενότητας κρύβεται κάτω από τους αριθμούς και τα σχήματα; Ποια είναι η βαθύτερη δομή-la coeur dans le coeur, η καρδιά της εσώτερης ταυτότητας- μεταξύ σχημάτων και αριθμών;

                                              *********************************

Και μήπως μόνο μέσα από ένα όραμα δεν θα μπορούσε να τεθεί το καυτό ερώτημα που καλούμαστε να απαντήσουμε σήμερα: πώς θα επιτευχθεί η ενότητα μεταξύ των λαών της Ευρώπης;
Και μεταξύ των λαών της Υφηλίου;

ΚΑΛΗ ΑΝΑΣΤΑΣΗ!

7η ΔΙΕΘΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΒΔΟΜΑΔΑ

Η παρουσίασή μου στην 7η Διεθνή Μαθηματική Εβδομάδα, 18-22 Μαρτίου, στη Θεσσαλονίκη, με θέμα "Μαθηματικά για το Περιβάλλον. Μπορούν να αποτελέσουν εργαλείο καλλιέργειας και ευαισθητοποίησης του σύγχρονου πολίτη;"
Ευχαριστώ πολύ όσους παραβρέθηκαν στην παρουσίαση, την οποία δημοσιεύω για όσους ήθελαν να έρθουν, αλλά για διάφορους λόγους δεν τα κατάφεραν.
Τα Μαθηματικά για το Περιβάλλον είναι ένα πεδίο με το οποίο, πιστεύω, θα πρέπει να ασχοληθούμε άμεσα. Και για να το θέσω όπως ακριβώς το είπε ο καθηγητής που με έχει εμπνεύσει να ασχοληθώ με το θέμα, παραθέτω αυτό που εκείνος είπε 30 χρόνια νωρίτερα:

This project is perhaps the most valuable one that mathematical educators can be involved in
                                                           --Marty Walter, University of Colorado, Boulder

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Αγαπητές φίλες και φίλοι, πιθανόν θα έχετε ήδη δει το πρόγραμμα της 7ης Διεθνούς Μαθηματικής Εβδομάδας, που διοργανώνει το Παράρτημα ΕΜΕ Κεντρικής Μακεδονίας. Αν όχι, δείτε το εδώ.

Οι συμμετέχοντες είναι πολλοί και ιδιαίτερα ενδιαφέροντες, τα δε θέματα καλύπτουν όλα τα πεδία  σε έκταση και σε βάθος.

Η δική μου συμμετοχή στην 7η Δ.Μ.Ε. συνδυάζει τα Μαθηματικά με το Περιβάλλον, την Περιβαλλοντική Εκπαίδευση και τα οξυμένα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε ως πολίτες του πλανήτη Γη. Για το λόγο αυτό έχω προσωπικά καλέσει το μαθηματικό-περιβαντολόγο Martin Walter, καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Colorado, Boulder, συγγραφέα του βιβλίου "Mathematics for the Environment"

Η εισήγησή του, την Πέμπτη 19 Μαρτίου στις 18.00 έχει θέμα:
Some Arithmetic and Logic for a Successful Society: Economics and Ecology.

Την Παρασκευή 20 Μαρτίου στις 16.40 θα αναπτύξω τον δικό μου προβληματισμό:

"Μαθηματικά για το Περιβάλλον". 
Μπορούν να αποτελέσουν εργαλείο ευαισθητοποίησης και καλλιέργειας του σύγχρονου πολίτη;

Τέλος, προκειμένου να αξιοποιήσουμε όσο το δυνατόν την παρουσία του καθηγητή Martin Walter, στην πόλη μας για να συζητήσουμε τους προβληματισμούς μας και να ανταλλάξουμε τις απόψεις μας, το Σάββατο 21 Μαρτίου, 10.00 με 14.30, θα πραγματοποιηθεί σεμινάριο με θέμα τα "Μαθηματικά για το Περιβάλλον". Η δομή του σεμιναρίου παρουσιάζεται στο ακόλουθο Δελτίο Τύπου.

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

Σχετικά με την πραγματοποίηση σεμιναρίου με θέμα:

 «Μαθηματικά για το Περιβάλλον»

 Σάββατο 21 Μαρτίου, 10.00–14.30, Συνεδριακό Κέντρο «Ν. Γερμανός».

           Στο πλαίσιο της 7ης Διεθνούς Μαθηματικής Εβδομάδας, που διοργανώνει το Παράρτημα Κεντρικής Μακεδονίας της ΕΜΕ, θα πραγματοποιηθεί σεμινάριο με θέμα «Μαθηματικά για το Περιβάλλον»,  στο οποίο θα συζητηθούν σκέψεις και θα γίνουν προτάσεις για Περιβαλλοντική Εκπαίδευση μέσα από τη μαθηματική δραστηριότητα.

          Στο πρώτο μέρος του σεμιναρίου θα καλυφθεί το θεωρητικό πλαίσιο περιβαλλοντικών προβλημάτων και θα γίνουν προτάσεις δράσεων για την ένταξη τους στο τυπικό μάθημα των Μαθηματικών.

          Στο δεύτερο μέρος του σεμιναρίου, θα πραγματοποιηθεί εργαστήριο, στο οποίο οι συμμετέχοντες, ως τάξη, θα επεξεργαστούν σημαντικά περιβαλλοντικά προβλήματα, με μαθηματικές μεθόδους, όπως για παράδειγμα ο νόμος του Arrhenius.

          Η ανάπτυξη των θεμάτων, ως προς το περιεχόμενο και ως προς το επίπεδο δυσκολίας των Μαθηματικών, θα διαμορφωθεί ανάλογα με τα ενδιαφέροντα, τις ανάγκες και τις δυνατότητες των συμμετεχόντων.

Απαραίτητη η στοιχειώδης γνώση της αγγλικής γλώσσας.

Εισηγητές:

Marty Walter, π. Πρόεδρος του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου του Colorado, Boulder, συγγραφέας του βιβλίου «Mathematics for the Environment».

Κατερίνα Καλφοπούλου,  μαθηματικός, kalfokat@gmail.com.

Για περισσότερες πληροφορίες και για δήλωση συμμετοχής επισκεφτείτε την ιστοσελίδα της 7^ης ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉΣ ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ.

Ο αριθμός των συμμετεχόντων είναι περιορισμένος και για το λόγο αυτό, αναγκαστικά, θα τηρηθεί σειρά προτεραιότητας.

ΤΑ ΑΙΤΙΑ ΤΟΥ επαναλαμβανόμενου ΛΑΘΟΥΣ...

Τα λάθη των μαθητών στα Μαθηματικά έχουν μελετηθεί πολύ και από πολλούς. Έχουν αναλυθεί, έχουν κατηγοριοποιηθεί, έχει προταθεί η αξιοποίησή τους στη διδασκαλία, κι όλα αυτά σε τόσο μεγάλη έκταση και σε τόσο βάθος, που θα πίστευε κανείς ότι αν ένας εκπαιδευτικός  ασχοληθεί εκτενώς με το θέμα σε θεωρητικό και σε πρακτικό επίπεδο θα μπορεί στη συνέχεια να τα διαχειρίζεται, να τα προβλέπει, να τα προκαλεί, να τα αξιοποιεί και, εν τέλει, να τα εξαλείφει ή έστω να τα περιορίζει.

Κι εγώ ασχολήθηκα με το θέμα επισταμένως, έκανα μια έρευνα σε θεωρητικό επίπεδο, έκανα δυο τρεις πρακτικές έρευνες και, κατά συνέπεια, κάποιες σχετικές δημοσιεύσεις, οπότε έφτασα στο σημείο να θεωρώ τις μεθόδους μου αποτελεσματικές στον τρόπο διαχείρισης των λαθών για ένα μεγάλο μέρος των μαθητών μου, τουλάχιστον για όσους ανήκουν στις "ιάσιμες" περιπτώσεις.
Στις "ιάσιμες" περιπτώσεις θεωρώ ότι ανήκουν όσοι από τους μαθητές επιθυμούν να βελτιωθούν και προσπαθούν συνειδητά να το πετύχουν, μελετώντας και κοπιάζοντας, οπότε, όταν έχουν την κατάλληλη παρακολούθηση και υποστήριξη, (εφόσον το επιτρέπουν οι συνθήκες)  το  πετυχαίνουν, άλλοι λιγότερο και άλλοι περισσότερο.
Βέβαια, η εμπειρία μου περιορίζεται στις Λυκειακές τάξεις. Αλλά οι ελπίδες βελτίωσης μετά την πρώτη χρονιά στο Λύκειο σχεδόν εκμηδενίζονται, με αποτέλεσμα οι "ιάσιμες" περιπτώσεις στη Β' και Γ' να είναι συνήθως πιο σπάνιες και από τους ... τέλειους αριθμούς! (Τέλειος αριθμός λέγεται ο αριθμός που ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του. Σχετική ανάρτηση εδώ).
Το όλο πρόβλημα διογκώνεται ακόμη περισσότερο, όταν στην τρίτη τάξη τρέχουμε για να ολοκληρώσουμε μια ύλη που στηρίζεται σε έναν τεράστιο όγκο προαπαιτούμενων γνώσεων. Και ακόμη μεγαλύτερη δυσκολία προκαλεί το γεγονός πως η ύλη αυτή στηρίζεται σε ένα συγκεκριμένο τρόπο επαγωγικής ή παραγωγικής σκέψης, που είναι εντελώς, μα εντελώς  άγνωστος ειδικά στους, ας τους πούμε, αγύμναστους μαθητές.
Σε αυτό το συμπέρασμα έχω καταλήξει φέτος από τα απίθανα και επαναλαμβανόμενα λάθη των μαθητών μου.
Στην Α' και Β' Λυκείου οι μαθητές υπόκεινται συχνά σε σύντομη γραπτή εξέταση, που αντικαθιστά τη χρονοβόρα και αναποτελεσματική εξέταση στον πίνακα. Τα τεστ είναι πάντα προειδοποιημένα και τα θέματα είναι ακριβώς ίδια με τα παραδείγματα που έχουμε κάνει στα δύο ή και τρία μαθήματα πριν την εξέταση, σε μια μόνο παράγραφο. Οι περισσότεροι μαθητές δέχονται την εξέταση αδιαμαρτύρητα, επειδή, όπως έχουμε συμφωνήσει, η διαδικασία αποσκοπεί στην αυτοαξιολόγηση και στην προσπάθεια να βελτιωθούμε ένθεν κακείθεν. Βελτιωνόμαστε όμως; Η αλήθεια είναι ότι κάποια φιλότιμα παιδιά, που συμμερίζονται την αγωνία μου και την προσπάθειά μου, στρώνονται στο διάβασμα και καταφέρνουν να μάθουν(;) τα παραδείγματα τόσο καλά, ώστε τα γράφουν -σχεδόν άριστα- στο τεστ, με τη διαφορά πως στο τεστ τα "νούμερα" είναι -αναγκαστικά- διαφορετικά από ότι στα παραδείγματα κι άρα η λύση των μαθητών είναι σωστή μεν, αλλά για άλλη εκφώνηση!  Αυτό το φαινόμενο παρατηρείται από την αρχή της χρονιάς και με έχει αναγκάσει, τουλάχιστον στη Γ' Λυκείου, να καταφύγω σε μεταγνωστικές προσεγγίσεις, για να βοηθήσω τα παιδιά, να ξεπεράσουν τις παρανοήσεις τους.
Χθες, ας πούμε, όταν στα Μαθηματικά Επιλογής κάναμε μονοτονία και ακρότατα [Μαθηματικά Επιλογής στο ΕΠΑΛ είναι τα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας του ΓΕΛ] συνέβη το εξής αξιοσημείωτο περιστατικό. Όταν ζήτησα να αποδείξουν ότι η συνάρτηση f(x)=x^3+1 δεν έχει ακρότατα, μετά από λίγο μια μαθήτρια σχεδόν ενθουσιασμένη μου είπε: "Κυρία, να σας δείξω τι έκανα;". Είδα το τετράδιό της και προσπάθησα να καταλάβω τι ακριβώς είχε κάνει, χωρίς να τα καταφέρνω.
Είχε γράψει f' (x) = -3*2*x. "Πώς το βρήκες αυτό;", ρώτησα. "Αμάν πια, κυρία! Μια φορά έκανα κι εγώ κάτι μέχρι το τέλος και δεν είναι σωστό! Τι πού το βρήκα!? Εδώ το βρήκα!", μου είπε δείχνοντας μου την προ-προηγούμενη άσκηση, που ήταν μια άσκηση από το σχολικό βιβλίο και είχαν να την κάνουν, για εξάσκηση στο σπίτι. Είχε αντιγράψει ακριβώς τα ίδια νούμερα. Προσπάθησα να της εξηγήσω ότι για να υπολογίσει την παράγωγο μιας συνάρτησης θα πρέπει να βρει το "γενικό τύπο" από τη λίστα των παραγώγων και να τον εφαρμόσει στην ειδική περίπτωση της συνάρτησης που παραγωγίζει. Έκανα ένα σχήμα περίπου τέτοιο στο τετράδιό της.

Το παιδί με κοίταζε με μάτια διάπλατα. "Μπορείτε να τα πείτε πιο απλά, κυρία;" με ρώτησε. 

Αποφάσισα, με την ευκαιρία που μου δινόταν να εξηγήσω με απλά λόγια σε όλο το τμήμα τη διαφορά μεταξύ "επαγωγικού" και "παραγωγικού" συλλογισμού. Τους εξήγησα και πώς θα σκέφτονται "απλά", για να παραγωγίζουν σωστά, περνώντας από την ειδικό τύπο της συνάρτησης που έχουν να παραγωγίσουν στο γενικό τύπο, να τον εφαρμόζουν στην ειδική περίπτωση, κλπκλπ. Και φυσικά όλα αυτά τα λέγαμε για σχεδόν νιοστή φορά (με το ν να τείνει στο άπειρο...).

Η Μ, μια από τις μαθήτριες που προσπαθούν, κυριολεκτικά κρεμόταν από τα χείλη μου. "Αν καταλάβει έστω και ένα παιδί τον τρόπο σκέψης, κάτι θα έχω πετύχει", σκέφτηκα για να δώσω κουράγιο στον εαυτό μου και να μην καταρρεύσω...

Μετά από λεπτομερή και με όσο το δυνατόν απλούστερα λόγια εξήγηση της διαδικασίας (για απειροστή φορά, το τονίζω), τους πρότεινα να ξαναδούν πιο προσεκτικά την άσκηση που τους είχα βάλει και να τη λύσουν χωρίς να αντιγράψουν τη λύση της προηγούμενης άσκησης, επειδή τώρα η συνάρτηση έχει διαφορετικό τύπο. Μετά από αρκετή ώρα η Μ. τέλειωσε και με φώναξε. Πήγα να δω το τετράδιό της, με μιαν ελπίδα να τρεμοπαίζει στην καρδιά... Στη θέα της λύσης της η καρδιά μου, προς στιγμή, σταμάτησε να χτυπά... Το χέρι μου αυτόματα διέγραψε δυο γραμμές. Αμέσως το μετάνιωσα. Τα λάθη της, πέρα από κάθε αμφιβολία, αποκαλύπτουν τα αιτία της ... ανήκεστου βλάβης στον τρόπο της μαθηματικής -και όχι μόνο- σκέψης  μιας μεγάλης μερίδας μαθητών.
Αποκαλύπτεται πλήρης αδυναμία γενίκευσης, αφαίρεσης, αναλογίας, εφαρμογής, λύσης, επίλυσης και εντέλει ίασης του προβλήματος. 

Η λύση της άσκησης 1ii είναι αυτή που μου είχε δείξει η πρώτη μαθήτρια, όταν ρωτήθηκε πώς βρήκε ότι η παράγωγος της f(x)=x^3+1 είναι -3*2*x.  Από κει την είχε αντιγράψει.

 Όσο για τη Μ., αφού είχε ακούσει πολύ προσεκτικά όσα είχα πει περί επαγωγικής-παραγωγικής και αναλογικής σκέψης, για να υπολογίσει τη μονοτονία και τα ακρότατα της f(x)=x^3+1, αντέγραψε τις παραγώγους των συναρτήσεων και των δύο προηγούμενων ασκήσεων.

Οι συγκεκριμένοι μαθητές, όπως και όλοι οι μαθητές, απαιτείται να διδαχτούν και το επόμενο κεφάλαιο, τα ολοκληρώματα, και να τελειώσουν την ύλη, παλεύοντας με έναν αμείλικτο μαθηματικό φορμαλισμό, που δεν τους βοηθάει σε τίποτε και τους γεμίζει απογοήτευση, παρόλες τις φιλότιμες προσπάθειές μου και τις δικές τους προσπάθειες. Και με γεμίζει απογοήτευση κι εμένα. Γιατί υποχρεώνουμε τους αδύναμους μαθητές να ασχολούνται με τόσο δύσκολες μαθηματικές διεργασίες, αποστραγγίζοντάς την πίστη στον εαυτό τους, στις δυνατότητές τους και στο μέλλον τους;

Μπορεί τα λάθη που κάνουν οι μαθητές στα Μαθηματικά να έχουν μέχρι τώρα μελετηθεί σε βάθος και σε πλάτος, αλλά, τελικά, όπως δείχνουν τα πράγματα δεν είναι δυνατόν να τα διαχειριστεί κάποιος αποτελεσματικά, αν δεν αλλάξουν πρώτα οι εκπαιδευτικές δομές μας ριζικά.
Γιατί σ' αυτές βρίσκονται θαμμένα τα αίτια του επαναλαμβανόμενου λάθους...

"Γιατί μας βρίζετε, κυρία;"

Συχνά συμβαίνει ένας μαθητής  γεμάτος απορία, κοιτάζοντάς με με μάτια ορθάνοιχτα, να με ρωτάει:  "Κυρία, δεν βαριέστε  κάθε χρόνο να λέτε τα ίδια και τα ίδια;". Τέτοιες ερωτήσεις μου τις κάνουν συνήθως οι μαθητές που ολοφάνερα ταλαιπωρούνται από τη μαθητική τους ιδιότητα και δεν βλέπουν την ώρα να τελειώσουν το σχολείο και να απαλλαγούν μια για πάντα από όσα αυτό τους επιβάλλει. Και δεν είναι λίγα αυτού του είδους τα παιδιά, που μόνο  με τέτοια βιώματα και τέτοια συναισθήματα συνδέουν το σχολείο. Δυστυχώς είνα πολλά. Οπότε, όταν εγώ με έναν ασυγκράτητο ενθουσιασμό την ώρα του μαθήματος  λέω: "Για ανοίξτε το βιβλίο  στη σελίδα xx να κάνουμε την άσκηση yy, που είναι μια πολύ πολύ πολύ όμορφη ασκησούλα..." και ξεροκαταπίνω σαν να βλέπω μπροστά μου ένα λαχταριστό κομμάτι black forest,  λογικό είναι οι μαθητές που δεν συμμερίζονται τη χαρά μου να απορούν και να εξίστανται. Πώς είναι δυνατόν εμείς οι καθηγητές να λέμε κάθε χρόνο τα ίδια και τα ίδια και να μη βαριόμαστε; Είναι μάλλον μια αφελής ερώτηση που την κάνει κάποιος που δεν μπορεί να αντιληφθεί τη δυναμική της σχολικής τάξης.  Μια δυναμική τέτοια που δεν αφήνει κανένα μάθημα να είναι ίδιο με κάποιο άλλο. Όσες φορές και να επαναλάβεις μια συγκεκριμένη διαδικασία, όσες ομοιότητες και να εμφανίσει, θα υπάρχουν πάντα κι εκείνες οι πολύ ουσιαστικές διαφορές. Μερικές από τις διαφορές οφείλονται στο διαφορετικό σύνολο των μαθητών που απαρτίζουν το τμήμα, μερικές σε άλλους αστάθμητους παράγοντες, όπως οι καιρικές συνθήκες που επηρεάζουν πολύ κάποια σχολεία,  όπως το ΕΠΑΛ Σταυρού κλπ. Όμως υπάρχουν και εκείνες οι διαφορές που οφείλονται στις εκάστοτε αναζητήσεις, μελέτες και  προβληματισμούς του δασκάλου και γίνονται  ένας χάρτης πάνω στον οποίο εξελίσσεται το μάθημα.

Σήμερα εγώ, για παράδειγμα,  στην Α' Λυκείου έκανα την άσκηση 1 από τις Αποδεικτικές Ασκήσεις στη σελίδα 54. Είμαστε πίσω, και πώς να μην είμαστε, μονόωρο μάθημα η Γεωμετρία στο ΕΠΑΛ και μια βρέχει μια φυσάει, μια χιονίζει, πώς να προχωρήσει κανείς; Τέλος πάντων.

Η συγκεκριμένη άσκηση πάντως είναι μια πολύ πολύ όμορφη ασκησούλα που δίνει τη δυνατότητα στον εκπαιδευτικό  να ελέγχει κάποιες στάνταρ συμπεριφορές των μαθητών του.

Την κάνω κάθε χρόνο στην τάξη θέτοντας το ερώτημα: Κατά πόσο αντιλαμβάνονται οι μαθητές την ελληνική γλώσσα; (Υπάρχει η προσέγγιση αυτή στο δεύτερο μέρος της ανάρτησης εδώ ).
Φέτος την επανέλαβα και φυσικά εμφανίστηκαν τα ίδια λάθη στην κατασκευή του σχήματος και οι ίδιες παρανοήσεις, αλλά δεν έμεινα πολύ σε αυτό το σημείο. Βοήθησα να κατασκευάσουν το σωστό σχήμα και μετά έδωσα χρόνο να συγκρίνουν τα τρίγωνα, για να αποδείξουν τη ζητούμενη ισότητα. 

Οι δύο ικανότεροι στη Γεωμετρία μαθητές μου έδειξαν μετά από λίγο τις λύσεις τους.

Και στις δύο λύσεις εμφανιζόταν η ισότητα ΕΓ=ΔΒ, στα στοιχεία που τεκμηρίωναν την απόδειξη της ισότητας των τριγώνων ΜΕΓ και ΜΔΒ. Αναμενόμενο το λάθος. "Αυτό δεν μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε", τους είπα και φυσικά αντέδρασαν. "Γιατί όχι, αφού είναι ίσα! Δεν είναι; Φαίνονται!", διαμαρτυρήθηκαν, όπως ακριβώς διαμαρτύρονται πάντα οι μαθητές σε ανάλογες περιπτώσεις. Τι να απαντήσεις  στα παιδιά, που εμπιστεύονται τις αισθήσεις τους περισσότερο από την όποια λογική τους;

"Και είναι ίσα και φαίνονται, αλλά δεν μπορείτε να  χρησιμοποιήσετε την ισότητά τους ως στοιχείο, πριν αποδείξετε την ισότητα των τριγώνων ΜΕΓ και ΜΔΒ", τους είπα. 

"Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μόνο τα στοιχεία που σας δίνονται, αυτά που δηλώνονται άμεσα ή έμμεσα στην εκφώνηση της άσκησης", επέμενα. Και τότε επηρεασμένη από τα τελευταία μου διαβάσματα στο Introduction to Critical Thinking, του COURSERA , όπου από την αρχή γίνεται μια σαφής  διάκριση μεταξύ γεγονότων, ισχυρισμών και γνωμών, όπως φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα

είπα στους μαθητές μου: "Μόνο τα "γεγονότα" θα χρησιμοποιείτε στις αποδείξεις σας. Μόνο τα γεγονότα. ΦΑΚΤΣ!" Ο ΜΧ με κοίταξε σαστισμένος. "Μας βρίζει;" ψιθύρισε σκύβοντας στο μπροστινό θρανίο. Ο συμμαθητής του χαμογελώντας έγνεψε καταφατικά. "Γιατί μας βρίζετε, κυρία;", είπε γυρνώντας προς εμένα. "Ε; Γιατί μας βρίζετε;".
"Δεν σας βρίζω, φάκτς είπα,  παιδί μου! Facts, τα γεγονότα είπα". Αλλά μάλλον δεν κατάφερα να του αλλάξω γνώμη. Ο ισχυρισμός του ότι για κάποιο λόγο τους έβρισα δεν έγινε αποδεκτός από τους υπόλοιπους που στο μεταξύ γελούσαν με τη δική μας συνομιλία.
Τελικά είναι γεγονός ότι και δεν βαριέται ο εκπαιδευτικός  και απολαμβάνει τη διδασκαλία!
Ειδικά, όταν διδάσκει την Ευκλείδεια Γεωμετρία!

----------------------------------------------------------------------------------------
Η ανάρτηση αφιερώνεται εξαιρετικά στην αγαπητή συνάδελφο που μου έστειλε χαιρετίσματα με την Έλλη από το ΕΠΑΛ του Λαγκαδά!  <3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ

Η ομάδα ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ

σε συνεργασία με την ομάδα εκπαιδευτικών Πρόταση

σας προσκαλεί στην ομιλία του

Τεύκρου Μιχαηλίδη,

μαθηματικού-συγγραφέα

με θέμα:

Μαθηματικά και γλωσσική διδασκαλία

το Σάββατο 7 Φεβρουαρίου στις  19:00

στο Κέντρο Ιστορίας Θεσσαλονίκης

(Πλατεία Ιπποδρομίου, 546 21 Θεσσαλονίκη, τηλ. 2310 264668)

Με την υποστήριξη του Δήμου Θεσσαλονίκης

Διαβάζουμε σε διάφορους σχολιαστές της αλεξανδρινής εποχής ότι ο Ερατοσθένης ήταν σημαντικός μαθηματικός, γεωγράφος και φιλόλογος· κι ενώ η διπλή ιδιότητα μαθηματικού και γεωγράφου δεν ξενίζει κανέναν, σε πολλούς ακούγεται παράξενο ότι ένας μεγάλος μαθηματικός θα μπορούσε να είναι και σπουδαίος φιλόλογος.

Στην ομιλία του ο Τεύκρος Μιχαηλίδης θα επιχειρήσει να αντιπαραβάλει τον αφηγηματικό με τον μαθηματικό – αποδεικτικό λόγο, αναδεικνύοντας τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Μέσω αυτής της σύγκρισης θα προσπαθήσει να εξηγήσει πώς μπορούν τα μαθηματικά να συμβάλουν στην αποτελεσματικότερη οργάνωση της γλωσσικής διδασκαλίας αλλά και πώς η ορθή διαχείριση της γλώσσας αποτελεί μια σημαντική μαθηματική δεξιότητα.

Η είσοδος είναι ελεύθερη

Περισσότερες πληροφορίες: Κατερίνα Καλφοπούλου, kalfokat@gmail.com,